Metode Runge-Kutta. ○ Metode Taylor. ○ Metode Adam. ○ Metode Milne. ○
Metode Adam-Moulton. ○ Metode modifikasi Euler. 4. Diferensiasi Numerik ...
METODE NUMERIK DIFERENSIASI NUMERIK
http://maulana.lecture.ub.ac.id
Apersepsi
Diferensiasi Numerik
2
Pendekatan Konsep Diferensiasi
Diferensiasi Numerik
3
Jenis-Jenis Metode Diferensiasi
Metode Euler Metode Runge-Kutta Metode Taylor Metode Adam Metode Milne Metode Adam-Moulton Metode modifikasi Euler Diferensiasi Numerik
4
Metode Euler
Menghitung persamaan differensial melalui taksiran langsung dari slope xi diberi turunan pertama.
y i 1 y i f x i , y i h
Diferensiasi Numerik
5
Metode Euler (Ex.) dy x y Selesaikan persamaan differensial dx
pada interval x = 0 s/d x = 1, h = ¼. Pada saat x = 0, nilai y = 1. Hitung kesalahan sebenarnya!
Diferensiasi Numerik
6
Metode Euler (Ex.)
Untuk x = 0 y=1 Untuk x = 0,25 yi+1 = yi + f(xi, yi).h = 1 + f(0,1).0,25 = 1 0 1 0,25 =1 Untuk x = 0,5 yi+1 = yi + f(xi, yi).h = 1 + f(0,25;1).0,25 = 1 0,25 1 0,25 = 1,0625 Diferensiasi Numerik
7
Metode Euler (Ex.)
Untuk x = 0,75 yi+1 = yi + f(xi, yi).h = 1,0625 + f(0,5;1,0625).0,25 = 1,0625 0,5 1,0625 0,25 = 1,1914 Untuk x = 1 yi+1 = yi + f(xi, yi).h = 1,1914 + f(0,75;1,1914).0,25 = 1,1914 0,75 1,1914 0,25 = 1,3961 Diferensiasi Numerik
8
Metode Euler (Ex.) x y 0 1 0,25 1 0,5 1,0625 0,75 1,1914 1 1,3961
Diferensiasi Numerik
9
Metode Euler (Ex.)
Nilai eksak dy x y dy x y dx dx
dy y y
y
1
1
2
2
x.dx 0
dy x dx 0
dy x dx 0 1 2 2 y x C 2 Diferensiasi Numerik
10
Metode Euler (Ex.)
Pada saat x = 0; y = 1 2 1
1 2 0 C C 2 2
Persamaan 1 2 2 y x 2 2
Diferensiasi Numerik
11
Metode Euler (Ex.)
Untuk x = 0,25 1 2 2 y 0,25 2 2 2 y 2,0325 y 1,015625 y 1,0315
Diferensiasi Numerik
12
Metode Euler (Ex.)
Untuk x = 0,5 1 2 2 y 0,5 2 2 y 1,0625 y 1,1289
Diferensiasi Numerik
13
Metode Euler (Ex.)
Untuk x = 0,75 1 2 2 y 0,75 2 2 y 1,140625 y 1,3010
Diferensiasi Numerik
14
Metode Euler (Ex.)
Untuk x = 1 1 2 2 y 1 2 2 y 1,25 y 1,5625
Diferensiasi Numerik
15
Metode Euler (Ex.) x
yEuler ysebenarnya
0 1 0,25 1 0,5 1,0625 0,75 1,1914 1 1,3961
t
1 1,0315 1,1289 1,3010 1,5625
t 0% 3,0538 % 5,8818 % 8,4243 % 10,6496 %
y Euler y sebenarnya y sebenarnya Diferensiasi Numerik
100% 16
Metode Heun
Untuk memperbaiki Metode Euler, digunakan Metode Heun dengan cara perbaikan dari perkiraan nilai slopenya. Perbaikan perkiraan slope tersebut, ditempuh melalui nilai turunan dari slope-nya pada titik awal. Kemudian mencari turunan slope-nya pada titik akhir dan nilai tersebut dirataratakan. Diferensiasi Numerik
17
Metode Heun Langkah-langkah Metode Heun:
1. 2.
Mencari slope awal = f(xi, yi) Slope awal pada no.1 digunakan untuk o ekstrapolasi nilai y , dengan rumus i1
o
y i 1 y i f x i , y i h
Diferensiasi Numerik
18
Metode Heun o
3.
Persamaan prediktor (y ) digunakan untuk i1 | mencari slope akhir (sebut dengan y ), dengan i1 rumus |
y i 1 4.
o f x i 1; y i 1
Mencari slope rata-rata (sebut dengan y ) o f x i , y i f x i 1 , y i 1 y 2 Diferensiasi Numerik
19
Metode Heun 5.
Slope rata-rata ini yang sebenarnya digunakan untuk mengekstrapolasikan yi ke yi+1 yi+1 = yi + (slope rata-rata).h
y i 1
o f x i , y i f x i 1 , y i 1 h yi 2
Diferensiasi Numerik
20
Metode Heun (Ex.) dy x y Selesaikan persamaan differensial dx
pada interval x = 0 s/d x = 1, h = ¼. Pada saat x = 0, nilai y = 1. Hitung kesalahan sebenarnya!
Diferensiasi Numerik
21
Metode Heun (Ex.)
22
Metode Heun (Ex.)
23
Metode Heun (Ex.)
24
Metode Heun (Ex.)
25
Metode Heun (Ex.) x 0
t
yHeun ysebenarnya 1
0%
0,25 1,0313
1,0315
0,01939 %
0,5 1,1284
1,1289
0,0443 %
0,75 1,3001
1,3010
0,06918 %
1,5625
0,1088 %
1
1
1,5608
Diferensiasi Numerik
26
