1200 Ejercicios Resueltos De Calculo Elemental

Universidad Nacional Experimental del Táchira

1200

EJERCICIOS RESUELTOS DE

CÁLCULO ELEMENTAL

ITALO G. CORTES A

SERIE PROBLEMARIO

PROLOGO El comienzo del nuevo milenio plantea grandes desafíos. La transición del próximo siglo será registrada en la historia como el comienzo de la era de la información, del conocimiento y de la globalización. Se trata de otra revolución económica y social de grandes proporciones donde nuevamente existirán oportunidades y abundarán las amenazas y una ola gigantesca donde existen dos alternativas: hacer verdaderos esfuerzos por colocarse en su cresta y salir airosos como país o ser arrollados por ella. Es necesario adquirir una comprensión cabal de la situación y prepararse para actuar en consecuencia. Hay que impedir que se profundicen las brechas y los factores de inestabilidad social tanto a escala nacional como internacional. La globalización debe poseer un rostro humano delante de sus inmensos tentáculos cibernéticos. Conscientes de esta situación el Decanato de investigación de la UNET y su consejo de Decanato (CODEIN) han aprobado la creación y adscripción del fondo Editorial de la UNET, un anhelo desde la creación misma de la Universidad Nacional experimental del Táchira, y en conjunto, colocamos en sus manos el producto de mucho trabajo, esfuerzo y dedicación de los actores principales, nuestros docentes e investigadores, quienes a lo largo de muchos años esperaron pacientemente esta oportunidad. El Decanato de Investigación se prepara para afrontar nuevos retos. El proceso de reestructuración académica y administrativa, actualmente en marcha, se repiensa, revisa y apunta en la dirección de lograr una investigación con una visión de futuro adaptada a las nuevas realidades, y satisfaciendo las necesidades de su entorno.

Ing. Raúl A. Casanova Ostos Decano de Investigación

2

INTRODUCCION 1200 ejercicios de cálculo Elemental, es un libro diferente a problemario de cálculo Elemental, editado por el centro de estudiantes de la UNET como cuaderno Universitario Nº 1. Este libro que hoy entrego, lo hago con profundo sentimiento latinoamericano, como muestra de mi agradecimiento y simpatía para todos aquellos que de una u otra forma han hecho de por sí agradable y bella mi residencia en esta hermosa y generosa tierra, muestra que pretendo hacer efectiva en la persona de cada joven educando al cual humildemente le hago entrega de este presente problemario.

Agradezco desde ya a todos los usuarios que me comuniquen los errores que encuentren, y toda sugerencia que implique mejora en este libro, para satisfacer su única finalidad cooperar con todos y cada uno de nuestros estudiantes.

S.C Febrero 78

3

INSTRUCCIONES Este problemario no es auto contenido. En forma intencionada se ha evitado la parte teórica, no porque se juzgue poco conveniente, sino mas bien para, instar al estudiante a usar adecuadamente los textos y libros en general, estimarlos discriminatoriamente

conforme a la intencionalidad con que fueron

creados. Este libro no es teórico. Quien pretenda aprehender los conceptos y mecanismos operatorios conducentes a lograr los objetivos particulares de un programa de cálculo Elemental, escogió un libro equivocado; pero quien pretenda afianzar la parte operativa en los contenidos adecuados, vayan para ellos las presentes palabras: i.

Estudie la parte teórica del tópico a tratar realizando los ejercicios

programados en el texto respectivo, o del material de apoyo que pueda conseguir. ii.

En un cuaderno especial, anote los ejercicios de la sección I,

desarrollándolas ordenadamente tratando de lograr un resultado. iii.

Compare los desarrollos y resultados obtenidos, con los de este

problemario. Si hay coincidencia, pase de inmediato a la sección II, y así sucesivamente; en caso de discrepancia, proceda a revisar su trabajo, ya que de haber algún error, es muy posible que usted mismo lo capte. En caso de persistir tal discrepancia, consulte a otras personas, pues puede no ser error, sino resultados equivalentes, t porque no decirlo, puede que el error sea de este problemario. Es muy posible que note la falta de linealidad en los ejercicios, que estos aparentemente se repiten o se parecen; tienen toda la razón, ya que acá no se pretende mostrar ejercicio, sino afianzar los mecanismos operatorios pertinentes. A usted, que va a ser usuario de este problemario, mil gracias por la oportunidad que me da, de colaborar con su desarrollo.

El autor / Febrero 78

4

INDICE

MATERIA

EJERCICIOS

PAGINA

Orden en los reales

1-137

11

Bidimensional

138-374

42

Limites de funciones

375-508

79

Continuidad

509-579

119

Derivación

580-877

142

Integrales

878-1200

208

Geometría analítica

5

Sección I: Demostrar que: 1. La suma de un natural par mas un impar, es impar 2. el producto de un natural par por un impar, es par. 3. El cuadrado de un natural par, es par. 4. El cubo de un natural impar, es impar. 5. La diferencia de dos naturales pares, es par 6. La suma de dos naturales impares, es par. 7. El cuadrado de un natural impar, es impar. Soluciones: n ∈ N ⇒ 2nc es natural par m ∈ N ⇒ 2m +1 (ó 2m-1) es natural impar 1. 2n+(2m+1)=(2n+2m)+1=2(n+m)+1;impar 2. 2n (2m+1)=2n.2m+2n.1=4nm+2n=2. (2nm+n),par 3. (2n) 2 =4n 2 =2(2n 2 ); par 4. (2m+1) 3 =8m 2 +12 m 2 +6m+1=2(4m 3 +6m 2 +3m) +1; impar 5. 2m-2n=2 (m-n); par 6. (2m+1)+ (2n+1)=2m+2n+2=2(n+m+1); par 7. (2m+1)

2

=4m 2 +4m+1=2(2m 2 +2m) +1; impar

Sección II. -Dar la solución conjuntista y la solución gráfica correspondiente a cada una de las siguientes inecuaciones: 8.

x−3 ≤1 2x

x2 11. 0 x −1

10.

x−3 0 x2

Soluciones: 8. si: 2x>0 ⇒ x>0

si:2x0

x0} Sol gráfica:

9.

x−3 ≤ 1 ⇒ x-3 ≤ ⇒ x ≤ 5 2

Sol: conjuntista :{x ∈ R/ x ≤ 5} Sol gráfica:

10.

x−3 < 1 ⇒ x-30, entonces, x+1>0. Luego: x>-1 2 x

Sol. Conjuntista:{x ∈ R/ x>-1} Sol gráfica:

Seccion III.- Dar la solución conjuntista y la solución gráfica correspondiente a cada una de las siguientes inecuaciones: 14. x

2

15. x2 +9x1

⇒ No dá sol en R

Sol. Conjuntista:{x ∈ R/-10 −2

56.

x − 3 < −2

57.

x−3 = 0

58.

x−3 > 0

59.

x−3 < 0

Soluciones: 51. x − 3 =2 ⇒ x-3=2 x=5

ó ó

x-3=-2 x=1

Sol.- {1,5} 52. X ∈ R ⇒ x ≥ 0 Sol. Conjuntista: Φ 53. x − 3 0 x+7 > 0 x−4 > 0

x > −7 x>4

x>4 ⇒

⇒

⇒ó

(b)

x < −7 x+7 < 0 x−4 < 0

137.

1 5

x 4 ⇒ x > 3 2

5

10

(a)

36

Sección XIV. Calcular las X-intersecciones de las rectas siguientes: 138.

140.

x −3 = 2x + y 2 2x − 3

139.

3x − y = 2(1− x) 2

141. 2 − y + 3x = 5(x − y)

1 2 = x + 2(3 − y)

2

142.

x =3 2

143.

y +5 =1 2

144.

x =1 y

145.

1 1 = y x

Soluciones: 138.

y=0 ⇒

x −3 = 2x ⇒ x − 3 = 4x ⇒ x = −1 2

3 x=0 ⇒ − = y 2

139.

y=0 ⇒

3x 4 = 2(1− x) ⇒ 3x = 4 − 4x ⇒ x = 2 7

x=0 ⇒-y=2 ⇒y=-2 X-intersección:

140.

4 ; y-intersección:-2 7

1 2 =x+6 ⇒ 2x − 1 = 3x +18 ⇒−18 1 = x 3 2 2

2x −

y=0 ⇒

1 1 37 x=0 ⇒ 2 = 2(3 − y) ⇒ − = 6 − 2 y ⇒ y = 3 6 12 −

1 1 X-intersección: −18 ; y-intersección: 3 2 2

141.

y=0 ⇒

x=0 ⇒

2 + 3x 2 = 5x ⇒ 2 + 3x = 10x ⇒ x = 2 7

2− y 2 = −5 y ⇒ 2 − y = −10 y ⇒ y = − 2 9

37

X-intersección:

2 2 ; y-intersección: − 7 9

142.

X-intersección: 6; y-intersección: No tiene

143.

X-intersección: No tiene; y-intersección:-3

144.

x = 1 ⇒x=y X-intersección = o; y-intersección =0 y

138.

1 1 = ⇒x= y y x

soluciones de (144)

Sección XV.- Dado los puntos: A (3,-2), B (-1,-4), C (2,1) y D (4,5). Calcular: 146.

El perímetro del cuadrilátero anterior.

147.

La longitud de las diagonales del cuadrilátero anterior.

148.

Los puntos medios de los lados de tal

149.

El

perímetro

puntos

del

cuadrilátero

cuadrilátero.

descrito

por

los

medios de los lados del cuadrilátero

primitivo. 150.

¿Qué figura es este nuevo cuadrilátero?

Justificar

la

respuesta. Dado los puntos: A (-3,3) y B (3,-3). Ubicar el

punto

C tal que: 151.-

ABC sea un triángulo equilátero ¿Cuántas soluciones existen? Justificar la respuesta.

152.-

ABC sea un triángulo isósceles ¿Cuántas soluciones existen? Justificar la respuesta.

Soluciones: Las respuestas (146) al (150), están relacionadas con la figura adjunta 146.-

6

C(4, 5)

5

Sea P el perímetro:

4

P

3

P= AD + DC + CB + BA , donde:

2

N

1 -2

-1

0 -1 0

Q

1

AD = 1 + 49 = 5 2

-3 B(-1, -4)

2

3

4

5

A(3, -2)

-2 M

-4 -5

38

DC = 4 + 16 = 2 5 CB = 9 + 25 = 34 ∴ p= 5 2 + 4 5 + 34

147.-

diagonales: BDy AC BD = 25 + 81 = 106 AC = 1 + 9 = 10

148.-

M, N, P y Q Puntos medios de: BAy AD , DC yCB respectivamente: 3 −1 −2 − 4 =1, Ym= =-3; 2 2

M (1,-3)

Xn=

4+3 7 5 +1 = ; Yn= =3; 2 2 2

⎛7 3⎞ N (⎜ , ⎟ ⎝2 2⎠

Xp=

4+2 5 +1 =3; Yp= =3; P= (3,3) 2 2

Xq=

2 −1 1 1− 4 3 ⎛1 3⎞ = ; Yq= = Q= ( ⎜ , − ⎟ 2 2 2 2 ⎝2 2⎠

Xm=

149.-

perímetro p; p= MN + NP + PQ + QM MN =

25 81 1 + = 106 4 4 2

NP =

1 9 1 + = 10 4 4 2

⇒p= 106 + 10

150.-

PQ =

25 81 1 + = 106 4 4 2

QM =

1 9 1 + = 10 4 4 2

El cuadrilátero MNPQ es un paralelogramo, ya que de (149) se tiene que sus lados opuestos son de igual longitud

( ( MN = PQ ; NP = QM )

39

Nota: Se puede aprovechar el siguiente recurso: “En un triángulo cualquiera, el segmento que une los puntos medios de dos lados, es paralelo, y de longitud, la mitad del tercer lado”, en tal caso el resultado se hace inmediato. 6

151.

C

ABC equilátero,

A(-3, 3)

4

luego C se encuentra

3

2

en la mediatriz de

0

0 -6

AB que en este caso

-4

-2

-2 -4

coincide con la C´

bisectriz

0

2

4

6

-3 B(3, -3)

-6

del I y III cuadrante. AC = AB , AB = 36 + 36 = 6 2 aprovechando el hecho de que C debe tener sus coordenadas iguales, se tiene: AC =

(

)

( x + 3) 2 + ( x − 3) 2 = 6 2 ⇒

( x + 3) 2 + ( x − 3) 2 = 72 ⇒ x 2 + 6 x + 9 + x 2 − 6 x + 9 = 72 ⇒ 2 x 2 = 54

⇒ x 2 = 27 ⇒ x = ±3 3 Es inmediato de la figura como de la deducción, que existen dos soluciones y son: C = (3 3,3 3), C ′( −3 3, −3 3) 152.

Cada punto 4

de la

A(-3, 3)

3

mediatriz

2 1

de AB es solución (a excepción del origen).

-4

-3

-2

-1

0 -1 0

1

2

3

4

-2 -3 -4

B(3, -3)

40

Existen infinitas soluciones. Sección XVI.- Por el punto de intersección de las rectas: L1, 2x-y=9 y L2, 3x+2y=1, se pasa una recta. Dar la ecuación

de esta tercera recta, si esta pasa además:

153.

paralela al eje x

154.

paralela al eje y

155.

perpendicular al eje x

156.

perpendicular al eje y

157.

paralela a la recta L1

158.

paralela a la recta L2

159.

por el origen del sistema de coordenadas.

Soluciones: P punto de intersección de L1 L2:

2x − y = 9 3x + 2 y = 1

7x=19 ⇒ x=

⇒

4 x − 2 y = 18 3x + 2 y = 1

19 19 ;2 − y = 9⇒ 7 7

⇒ 38-7y=63 ⇒ y=P( 153.-

25 ∴ 7

19 25 , − ) punto de intersección. 7 7

paralela al eje x; y-intersección: − Ecuación pedida y= −

154.-

25 7

25 7

paralela al eje y; x-intersección: Ecuación pedida: x=

155.-

⇒

19 7

19 7

perpendicular al eje x, o sea paralela al eje Y Solución (154)

156.-

perpendicular al eje y, o sea paralela al eje x .

41

Solución (153). 157.- coincidente con L1 obvio. 158.- coincidente con L2. Obvio. 25

159.- y= − 7 x ⇒ y = − 25 x 19 7

19

Sección XVII.- Determinar si son colineales o no, cada uno de los siguientes tríos de puntos: 160.-

(2,-3), (1-1), (2-4)

161.-

(7,0), (2-3), (1,1)

162.-

(-2,2), (1,-1), (3,-4)

163.-

(-2,1), (1,-3), (2,4)

164.-

(0,0), (-3,3), (2,2)

165.-

(0,3),(0,5),(0,-2)

166.-

(2,1), (3,1), (5,1)

167.-

(1,6), (-2,3), (0,5)

Soluciones: 160.-

AB = 1 + 4 = 5 BC = 1 + 9 = 10 ⇒ No son colineales ya que:

10 ≠ 5 + 1

AC = 0 + 1 = 1 161.-

AB = 25 + 9 = 34 BC = 1 + 16 = 17 ⇒ Ídem, ya que:

37 ≠ 34 + 17

AC = 36 + 1 = 37 162.-

AB = 9 + 9 = 18 BC = 4 + 9 = 13 ⇒ Ídem, ya que: 61 ≠ 18 + 13 AC = 25 + 36 = 61

163.-

AB = 9 + 16 = 5 BC = 1 + 49 = 5 2 ⇒ Ídem, ya que: 5 2 ≠ 5 + 5 AC = 16 + 9 = 5

42

164.-

AB = 9 + 9 = 3 2 BC = 25 + 25 = 5 2 ⇒ Son colineales ya que:

5 2 =3 2+2 2 AC = 4 + 4 = 2 2 Nota: .- Se puede observar que los tres puntos pertenecen a la bisectriz del 1º y 3º cuadrante. 165.-

AB = 0 + 4 = 2 BC = 0 + 49 = 7 ⇒ Son colineales, ya que: 7=5+2 AC = 0 + 25 = 5

Nota: se puede observar, que los tres puntos pertenecen al eje de ordenadas. 166.-

AB = 1 + 0 = 1 BC = 4 + 0 = 2 ⇒ Son colineales, ya que: 3=2+1 AC = 9 + 0 = 3

Nota.-Se puede observar, que los tres puntos pertenecen a una recta paralela al eje x. 167.-

AB = 9 + 9 = 3 2 BC = 4 + 4 = 2 2 ⇒ Son colineales, ya que: 3 2 = 2 2 + 2 AC = 1 + 1 = 2

Sección

XVIII.-Determinar

si

las

ecuaciones

siguientes,

representan

circunferencias. 168.-

2 x 2 + 2 y 2 + 4 x + 6 y = 18

169.-

x 2y + + 2 x + 21 = 0 2 3

170.-

x2 − y 2 + 3x + 2 y + 1 = 0

2

2

43

171.172.-

x2 + y2 + 6x + 9 = 0

x2 + y 2 = 1

173.-

x2 y 2 + + y −1 = 0 2 2

174.-

( x + y)2 = 1

Soluciones: 168.-

2 x 2 + 2 y 2 + 4 x + 6 y = 18 x2 + y 2 + 2 x + 3 y = 9 ( x 2 + 2 x) + ( y 2 + 3 y ) = 9 3 49 ( x + 1) 2 + ( y + ) 2 = 2 4 3 9 ( x 2 + 2 x + 1) + ( y 2 + 3 y + ( ) 2 ) = 9 + 1 + 2 4 3 7 Sol: Circunferencia: centro (-1,- ), radio 2 2

169.-

x2 y 2 + 2 x + 21 = 0 ⇒ x 2 + y 2 + 6 x + 63 = 0 ⇒ 3 2 ( x 2 + 6 x) + y 2 + 63 = 0 ⇒ ( x 2 + 6 x + 9) + y 2 = −63 + 9 ( x + 3) 2 + y 2 = −54 Sol.-no representa circunferencia, ya que no existe r ∈ R tal que r 2 b. El semi-eje menor es radio de la circunferencia pedida. Sol.- x 2 + y 2 = b 2

264.-

Longitud de circunferencia de radio 6 Sol.- 2π b

265.-

Área del circulo de radio b Sol.- π b

2

266.-

Los focos son: (-c, 0), (c, 0) aceptando la relación: a 2 − b 2 = c 2 se tiene que: c= ± a 2 − b 2

Sol.- (− a2 − b2 ,0),( a2 − b2 ,0) 267.-

2 Sol.- 2b

a

268.-

Longitud de circunferencia circunscrita tiene radio a Sol.- 2π a

269.-

Área del circulo de radio a Sol.- π a 2

270.-

Sol.- x 2 + y 2 = a 2

Sección XXXIII.- Sean los puntos (-5,-2), (5,-2), (5,2), (-5,2); determinar: 271.-

que tipo de cuadrilátero queda descrito

272.-

El área encerrada por dicho polígono

273.-

El perímetro del polígono

274.-

La ecuación de la elipse centrada en el origen e inscrita en tal polígono

63

Soluciones: 271.-

El cuadrilátero es un rectángulo ya que sus lados opuestos son: iguales (en longitud); paralelos y dos lados contiguos forman ángulo recto

272.-

Área = base.altura; base: 10; altura: 4 Sol.- 40

273.-

Perímetro=2(base + altura) Sol.- 28

274.-

Semi eje mayor: a=5; semi eje menor: b=2 2 2 Sol.- x + y = 1

25

4

Sección XXXIV.- Sean una elipse centrada en el origen, de foco (2,0) y lado recto de longitud: 6 obtener: 275.-

Su ecuación

276.-

Sus vértices

277.-

Su excentricidad

278.-

La longitud de eje mayor

279.-

La longitud de eje menor

280.-

Su intersección con la recta: y=2

281.-

Su intersección con la recta: y=x

Soluciones: 275.-

2

Foco (2,0) ⇒ c = 2 ; longitud lado recta: 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b2 = 3a a

como: a 2 − b 2 = c 2 ⇒ b 2 = a 2 − c 2 o sea: a 2 − c 2 = 3a ⇒ a 2 − 4 = 3a ⇒ a 2 − 3a − 4 = 0 ⇒ ( a − 4)( a + 1) = 0 ⇒ a = 4, a = −1

a = 4 ⇒ b 2 = 12 (a 2 = 16)

a = −1 ⇒ b = −3*

64

2

2

16

12

Sol.- ⇒ x + y = 1 276.-

x=0 ⇒ y 2 = 12 ⇒ y = ±2 3 y=0 ⇒ x 2 = 16 ⇒ x = ±4 Sol.- (4, 0), ( −4, 0), (0, 2 3), (0, −2 3) c 1 ⇒e= a 2

277.-

c=2, a=4; e =

278.-

a=4 ⇒ 2a=8

279.-

b= 2 3 ⇒ 2b = 4 3

280.-

x2 y 2 x2 4 x2 2 32 + =1 ⇒ + =1⇒ = ⇒ x2 = 16 12 16 12 16 3 3 y=2

2 3

⇒ x = ±4

Sol.- (4 2 , 2), (−4 2 , 2) 3

281.-

3

2 2 x2 y 2 + = 1 ⇒ x + x = 1 ⇒ 28 x 2 = 192 ⇒ x 2 = 48 16 12 16 12 7 y=x

⇒ x = ±4

Sol.-

(4

3 7 3 3 3 3 , 4 ), (−4 , −4 ) 7 7 7 7

Sección XXXV.- Sea la elipse centrada en el origen que pasa por los puntos (-1,2) y (3,1).Dar: 282.-

Su ecuación

283.-

Sus focos

284.-

Sus vértices

285.-

Su excentricidad

286.-

Su intersección con la recta: y=2x

287.-

Longitud de los ejes

65

Soluciones: Sea k la elipse. 282.-

1 4 + =1 ⇒ a 2 b2 9 1 (3,1) ∈ k ⇒ 2 + 2 = 1 a b (−1, 2) ∈ k ⇒

b 2 + 4a 2 = a 2 b 2 9b2 + a 2 = a 2b 2

⇒

⇒ b 2 + 4a 2 = 9b 2 + a 2 ⇒ 8b 2 = 3a 2 ⇒ b 2 = 3a

2

8

Ecuación de k: x 2 + y 2 = 1 Tomando (-1,2) ∈ k ⇒ 2 2 3a 8

a

⇒

1 4 1 32 35 + 2 = 1 ⇒ 2 + 2 = 1 ⇒ 3 + 32 = 3a 2 ⇒ a 2 = 2 3a a a 3a 3 8

2 2 Ecuación pedida: x + y = 1 ⇒ 3x 2 + 8 y 2 = 35

35 3

3 35 . 8 3

Sol.- 3 x 2 + 8 y 2 = 35 283.-

284.-

c 2 = a 2 − b2 ; a 2 =

35 2 35 35 35 280 − 105 ⇒ c2 = − = ;b = 3 8 3 8 24

⇒ c2 =

175 175 5 7 ⇒c=± ⇒c=± 24 24 2 6

Sol.-

5 7 5 7 .0), (− , 0) 2 6 2 6

(

x=0 ⇒ 8 y 2 = 35 ⇒ y = ± 35 8

y=0 ⇒ 3x 2 = 35 ⇒ x = ± 35 3

Sol.- (

35 35 35 35 , 0), (− , 0), (0, ), (0, − ) 3 3 8 8

5 8

285.-

Sol.-e=

286.-

3 x 2 + 8 y 2 = 35 ⇒ 8 x 2 + 8.4 x 2 = 35 ⇒ 40 x 2 = 35 ⇒ y = 2x

66

⇒ x2 =

35 7 7 ⇒ x2 = ⇒ x = ± 40 8 8

Sol.- ( 7 , 7 ), (− 7 , − 7 ) 8

287.-

2

8

2

35 3

Longitud eje mayor: 2a; a=

Longitud eje menor: 2b; b= 35 8

Sol.- 2a=2

35 35 ; 2b=2 3 8

2 Sección XXXVI.- Dada la hipérbola de ecuación: x − y 2 = 1 Calcular:

25

288.-

Sus focos

289.-

Sus vértices

290.-

La longitud de su lado recto

291.-

Los extremos de sus lados rectos

292.-

Su excentricidad

Soluciones: 288.-

c 2 = a 2 + b 2 , a 2 = 25, b 2 = 1 ⇒ c 2 = 26 ⇒ c = ± 26

Sol.- ( 26, 0), (− 26, 0) 289.-

y=0 ⇒ x 2 = 25 ⇒ x = ±5 Sol.- (5,0), (-5,0)

290.-

2 Longitud lado recto: 2b = 2.1 = 2

a

291.-

5

b2 1 = a 5

Sol.292.-

5

1 1 1 1 ( 26, ), ( 26, − ), (− 26, ), (− 26, − ) 5 5 5 5

c = 26, a = 5 ⇒ e =

26 5

67

Sección XXXVII.- Una hipérbola centrada en el origen, tiene uno de sus focos en (0,4) y la longitud del eje conjugado es 6. Dar: 293.-

Su ecuación

294.-

Sus vértices

295.-

Los extremos del eje conjugado

296.-

Su excentricidad

297.-

La longitud del eje transverso

Soluciones: 293.-

Por el foco, la ecuación es de la forma: y 2 x2 − = 1; a 2 = c 2 − b 2 , c = 4, b = 3 ⇒ a 2 = 7 a 2 b2 2 2 Sol.- y − x = 1

7

294.-

9

x=0 ⇒ y 2 = 7 ⇒ y = ± 7 Sol.- (0, 7), (0, − 7)

295.-

Longitud eje conjugado: 6 Sol.- (3,0),(-3,0)

296.-

c=4, a = 7 ⇒ e = 4

7

Sol.297.-

4 7 7

Longitud eje transverso: 2a; a = 7 Sol.- 2 7

Sección XXXVIII.- La longitud del eje transverso de una hipérbola centrada en el origen es 10 y uno de sus focos es (-6,0). Dar: 298.-

La ecuación de esta hipérbola

299.-

Sus vértices

300.-

La longitud del eje conjugado

301.-

su excentricidad

302.-

La longitud de uno de sus lados rectos.

68

Soluciones: 298.-

Longitud eje transverso: 10 ⇒ 2a = 10 ⇒ a = 5 Foco: (-6,0) ⇒ c = 6; b 2 = c 2 − a 2 ⇒ b 2 = 11 Sol.-

x2 y 2 − =1 25 11

299.- y=0 ⇒ x 2 = 25 ⇒ x = ±5 Sol.- (5,0), (-5,0) 300.- Longitud de eje conjugado: 2b; b = 11 Sol.- 2 11 301.-

c=6, a=5 ⇒ e =

302.-

b 2 = 11, a = 3 ⇒

Sol.- 7

6 5

2b 2 2.11 22 = = a 3 3

1 2

Sección XXXIX.- Una hipérbola centrada en el origen tiene su foco en (-2,0) y la longitud de uno de sus lados rectos es 8. Dar: 303.-

Su ecuación

304.-

Sus vértices

305.-

Su excentricidad

306.-

La longitud del eje conjugado

307.-

La longitud del eje transverso

Soluciones: 303.-

Foco: (-2,0) ⇒ c=2; longitud lado recto: 8 ⇒ ⇒

2b 2 b2 =8⇒ = 4 ⇒ b 2 = 4a; b 2 = c 2 − a 2 ⇒ a a

c 2 − a 2 = 4a ⇒ a 2 + 4a − 4 = 0 ⇒ a =

−4 ± 16 + 16 ⇒ 2

a = −2 ± 2 2; a solo admite el valor: −2 ± 2 2; ; Luego a = ( −2 + 2 2) 2 = 4 + 8 − 8 2 ⇒

69

a 2 = 12 − 8 2 yb 2 = −8 + 8 2

Sol.304.-

x2 y2 − =1 12 − 8 2 −8 + 8 2

y=0 ⇒ x 2 = 12 − 8 2 ⇒ x = ± 12 − 8 2

⇒ x = ±2 3 − 2 2 Sol.- (2 3 − 2 2 , 0), (−2 3 − 2 2 , 0) 305.-

c=2, a= 2 Sol.-

306.-

e=

2 −2⇒e =

2 2 2 + 2 2(2 2 + 2) . = 8−4 2 2 −2 2 2 +2

2 2+2 2

Longitud eje conjugado: 2b; b= 8 2 − 8 Sol.- 2 8 2 − 8

307.-

Longitud eje transverso: 2a; a= 2 2 − 2 Sol.- 4 2 − 4

70

Sección XL.- Dar la ecuación de la hipérbola que: y longitud de su lado recto es: 7

308.-

Tiene excentricidad: 1

309.-

Tiene un vértice en (-2,0) y una de las asíntotas es la recta, de

2

5

ecuación: y=3x 310.-

Es rectangular, con eje transverso coincidente con eje x y uno de sus focos es: (-5,0)

Soluciones: 308.-

e=

1 2b 2 c 1 b2 7 5, =7⇒ = 5, = ⇒ 2 a a 2 a 2

⇒c=

a 7 5, b 2 = a. Como: b 2 = c 2 − a 2 ⇒ 2 2

⇒ c2 =

5 2 2 7 5 7 a , c − a2 = a ⇒ a2 − a2 = a ⇒ 4 2 4 2

⇒ 5a 2 − 4a 2 − 14a = 0 ⇒ a 2 − 14a = 0 ⇒ a (a − 14) = 0 ⇒ ⇒ a = 0, a = 14; donde

a = 0 no es solución

7 a = 14 ⇒ b 2 = 14 = 49 2

Sol.309.-

x2 y 2 − =1 196 49

Vértice: (-2,0) ⇒ a = 2 ; asíntota: y=3x. 2

2

Ec. de la forma: x 2 − y2 = 1; b = 3 ⇒ b = 3a ⇒ b = 6 a

Sol.310.-

b

a

x2 y 2 − =1 4 36

Foco: (-5,0) ⇒ c = 5 . Hipérbola rectangular: a 2 = b 2 ⇒ c 2 = 2a 2 ⇒ a 2 =

25 c2 ⇒ a2 = 2 2

Sol.- x 2 − y 2 = 25 2

AUTOEVALUACION # 2 GEOMETRIA ANALITICA BIDIMENSIONAL. 311.-

Los vértices de la hipérbola equilátera: xy=1, son: a) (-1,1), (1,1)

b) (1,1), (-1,-1)

71

c) (1,0), (0,1)

d) No tiene por ser equilátero

e) Ninguna de las anteriores 312.-

La recta L, mostrada en la gráfica

5 Y 4 3

L

2 1

adjunta

0 0

1

2

3

4

5

6

7

admite por ecuación la siguiente: a) Y=2x-7

b)

x y + =1 2 2

c) y=3x

d)

1 y − 1 = − ( x − 4) 2


La circunferencia 4

mostrada en la 3

figura adjunta,

2

admite por ecuación:

1

0 0

1

2

3

a) ( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 = 13

b) ( x + 3) 2 + ( y + 2) 2 = 13

c) ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 = 13

d) ( x + 2) 2 + ( y + 3) 2 = 13

4

5


La recta que pasa por (-3,-2) y es perpendicular

(0,b)

a la recta L, tal como lo muestra la figura adjunta, admite como ecuación: (a,0)

72

a) ( y − 2) = c) y =

a ( x − 3) b

a ( x + 3) + 2 b

b) y =

a ( x + 3) − 2 b

d) y =

b ( x + 3) + 2 a


La recta paralela al eje x, que pasa por la intersección de la recta L (ver figura adjunta) con el eje y; admite como ecuación: a) x + 3 = 0

b)

c) y − 3 = 0

d) x − 3 = 0

4

4

y+

3 =0 4

4


La ecuación de la parábola, cuya directriz es: x-3=0,está dada adecuadamente por: a)

y2 +12x = 0

c) x2 = 12 y

b) y 2 = 12 x d) x 2 + 12 y = 0


El área del rectángulo circunscrito a la elipse: 16 x 2 + y 2 = 16 , es: a) 1 6

2

c) 16

b) 16 2 d) 4


Las intersecciones de la elipse: x 2 + 25 y 2 = 25 con la recta: y=2x, son:

73

a) ( 5 , 10 ), (− 5 , − 10 ) b) 101

101

101

101

c) (25,50), (−25, −50)

(

1 2 1 2 , ), (− ,− ) 5 5 5 5

d) ( 5, −2 5), (− 5, 2 5)


Sean los puntos: A (-1,-3), B (2,3) y C (0,-1). Al unirse, ellos forman un triángulo a) equilátero

b) isósceles

c) rectángulo

d) cualquiera e) Ninguna de las anteriores

320.-

La ecuación de la circunferencia de centro (-1,2), que pasa por (0,0), está dada adecuadamente por: a)

x2 + y2 + 2x − 4 y = 0

c) ( x − 1)2 + ( y − 2)2 = 3

b)

( x − 1)2 + ( y + 2)2 = 5

d) x 2 + y 2 + 2 x − 4 y = 5


La ecuación de la circunferencia tangente al eje y, con centro en (-2,-2), está dada adecuadamente por: a)

( x + 2)2 + ( y + 2)2 = 2

b) ( x − 2)2 + ( y − 2)2 = 4

c)

x 2 + y 2 + 4( x + y + 3) = 0

d)

x2 + y 2 + 4 x + 4 y + 4 = 0


Las rectas: ax + by = k1 , bx − ay = k2 , con k1 yk2 ∈ R , son: a) Paralelas entre sí

b) perpendiculares entre sí

c) se intersecan en (k1 , k2 )

d) se intersecan en (k2 , k1 )


La ecuación de la recta que pasa por el origen y es perpendicular a la recta: x-3y=2, está dada adecuadamente por: a)

x+

1 y=2 3

c) 3 x − y = 2

b) − x + 1 y = 0 3

d) y + 3 x = 0

74


La parábola de ecuación: x 2 = 25 y , tiene por foco y directriz, respectivamente a) F (0,25), y=-25 c) F (

25 1 ,0), y= −6 4 4

b) F (0,

25 25 ), y= 4 4

1 1 d) F ( −6 , 0), x= −6 4 4


La parábola de directriz: x+2=0, tiene como lado recto, un segmento de longitud: a) 1

b) 2

c) 4

d) 8 e) Ninguna de las anteriores

326.-

La ecuación de la recta que pasa por el foco de la parábola:

x 2 = 5 y , y por su vértice, está dada adecuadamente por: a) x=5y c) y =

x 5

b) y= 5 x d) x = 5 y


La ecuación de la circunferencia, cuyo diámetro es el lado recto de la parábola: y 2 − x = 0 a)

1 1 x2 + ( y − )2 = 4 4

b) y 2 + x 2 = 1

c)

1 1 ( x − )2 + y 2 = 4 4

d)

x2 + y2 =

1 4


Una recta perpendicular a otra de ecuación x-2y=1, tiene pendiente: a) 2

b) -2

1 2

d) −

c)

1 2

75


La ecuación simétrica correspondiente a la recta: 2x+3y=6, es; a)

b)

2 y =− x+2 3

c) x + y = 1 3

y=

2 x−2 3

d) x + y = 1

2

2

3


La x-intersección e y-intersección de la recta:

2x − 3y = x − ( y + 1) 4

son respectivamente: 4 1 y− 7 4

a) 2 y -4

b)

c) − 4 y 4

d) -4 y 2

7

−


El lugar geométrico de los puntos que verifican: “la distancia de cada uno de ellos a A (2,-1), es el doble que su distancia a B (0,0)”, está descrito adecuadamente por: a)

2 y − 4x + 5 = 0

c) y = 4 x + 5 2

b)

x2 + y2 +

d)

5x2 + 5 y 2 − 4 x + 2 y + 5 = 0

4 2 5 x− y− =0 2 3 3


El área de un cuadrado inscrito en la circunferencia:

x 2 + y 2 = 1 , es: 2 4

a) 2

b)

c)1


333.-

El perímetro de un cuadrado circunscrito a la circunferencia:

x 2 + y 2 = a 2 , está dada adecuadamente por: a) 4a

b) 4 a

c) 4a 2

d) 8a

76


Sea AB un segmento tal que A es (-1,8) y M el punto medio del segmento, es M (0,-4). Las coordenadas de B son: a) (1,-16)

b) (1,0)

c)

d)

1 (− , 2) 2

1 ( , 6) 2


El triángulo descrito por los puntos: A (-2,1), B (2,2) y C= ( 7 , 0) , es: 2

a) equilátero

b) isósceles

c) rectángulo

d) no forman triángulo e) Ninguna de las anteriores

336.-

Para que el punto: (5, x), equidiste de A (2,1) y B (-4,-3), es necesario que x tenga como valor: 1 8

a)8

b) −

c) -1

d) -10 e) Ninguna de las anteriores

337.-

La ecuación de la elipse centrada en el origen, dado uno de sus focos: (0,-3) y la longitud del eje menor: 4; está dada adecuadamente por: a)

x2 y 2 + =1 9 4

b)

x2 y 2 + =1 13 4

c)

x2 y 2 + =1 4 13

d)

y 2 x2 + =1 9 4


Si la excentricidad de una elipse es: 1; se verifica que: a) sus focos están en el eje x c) está centrada en

b) sus focos están en el eje y c) esta se transforma en

77

el origen

circunferencia e) Ninguna de las anteriores.

339.-

La longitud del eje mayor y del eje menor correspondiente a la x2 y 2 + =1 a 2 b2

elipse:

son respectivamente:

a) 2a y 2b

b)

c)

d)

a b y 2 2

a yb ay b


La hipérbola centrada en el origen, con un vértice en:

(-2,0)

y una de sus asíntotas es la recta y-x=0, tiene por ecuación a)

2

b) x 2 − y = 1

x2 − y2 = 1 4

4

c) x 2 − y 2 = 36

d)

x2 − y 2 = 4


La hipérbola rectangular, centrada en el origen, de eje transverso paralelo al eje x, con uno de sus focos en (5,0), tiene por ecuación: a)

x 2 − y 2 = 25

b)

x2 − y2 =

5 2

c)

x2 − y2 =

25 2

d)

x2 − y 2 =

25 4


La hipérbola de ecuación: y 2 − 9 x 2 = 9 , tiene por vértices: a) (3,0), (-3,0)

b)

( 8, 0), ( − 8, 0)

c) (0,9), (0,-9)

d)

(0, 2 2), (0, −2 2)


El punto del eje x, que equidista de los puntos: (-3,1) y (3,5) es: a)

9 ( , 0) 2

c) (-6,0)

b) (6,4) d) (0,3)

78


La ecuación de la circunferencia que es tangente a los dos ejes

coordenados y tiene como centro: (π , π ), es:

a) ( x − π ) 2 + ( y − π ) 2 = π

b) ( x − π )2 + ( y − π )2 = π 2

c) ( x − π ) 2 + ( y − π ) 2 = π

d) No tiene solución


Dada las rectas: L 1 ,

y −1 x 2 y +1 = 3 x; L 2 , 1 − y = = 3; L 3 , = 6; 2 3 6

se verifica: a) L1 L2

b) L2 L3

c) L1 ⊥ L2

d) L1 ⊥ L3


Las intersecciones de la circunferencia con los ejes

(3, 2)

coordenados (ver figura adjunta), son: a) (4,0), (0,6) Y(0,0)

b) (4,0) y (0,6)

c) (0,4) y (6,0)

d) (0,4), (6,0) y (0,0)


La ecuación de la L

recta que pasa por (4,0) y es perpendicular (0, 2)

a L, según se observa en la figura adjunta, es:

(-3, 0)

a) 2y+3x=12

b) 2x-3y=8

c) 2y+3x+12=0

d)2x-3y+8=0

(4, 0)

e) Ninguna de las anteriores

79

348.-

La pendiente de toda recta perpendicular L

a la recta L dada en la figura adjunta, es: 1 2

a) 2

b)

c) 0

d) no está definida e) Ninguna de las anteriores

349.-

La distancia del origen a la recta: 2x-y=5 es: a)

b) 5

5

c) 5 + 5

d)

5 2


La recta que pasa por el origen y es paralela a L, dada por: 3y-x+1=0, está dada adecuadamente por: a) y = x − 1

b) y = x

c)

d) y = 3 x

3

y=

x +1 3

3


La recta que pasa por el origen y la intersección de las rectas: y=3, x=2; está dada adecuadamente por: a) 3y+2x=0 c)

y=

3 x 2

b) 3x-2x=0 d) 3y+1=2x


La hipérbola de ecuación: 100 x 2 − y 2 = 1 , tiene como vértices: a) (100,0), (-100,0)

b) (1,0) y (-1,0)

c) (1,10) y (-1,-10)

d) (0,100), (0,-100)


80

353.-

La pendiente de toda recta perpendicular a otra que pasa por el origen y el punto (-5,1), está dada por: a)

−

b) -5

1 5

c) 1

d) 5

5


La ecuación: y 2 = 9( x 2 + 1), representa gráficamente una: a) circunferencia c) elipse con eje mayor

b) hipérbola equilátera d) elipse con eje mayor

en eje x

en eje y


El perímetro del cuadrilátero definido por los puntos de intersección de la circunferencia x 2 + y 2 = 16, con los ejes coordenados, es: a) 16

b) 32 2

c) 16 2


356.-

Las intersecciones de la elipse: 4 x 2 + 9 y 2 = 36 con la recta: y = x, 2

a) c)

están dadas adecuadamente por:

9 9 9 9 ( , ), (− , − ) 10 5 10 5

(

9 1 9 9 1 9 , ),(− ,− ) 10 2 10 10 2 10

b)

9 9 9 9 , ),(− ,− ) 10 5 10 5

(

d) ( 3

10 3 10 3 10 3 10 , ), (− ,− ) 10 5 10 5


La hipérbola centrada en el origen, con un vértice en: (0,2) y una de sus asíntotas es la recta: y-2x=0; está dada por la ecuación: a)

4 y 2 − x 2 = 16

b) y 2 − 4 x 2 = 16

c)

x2 − y2 = 1 4

2 d) y − x 2 = 1

4

81


La longitud del lado recto de una parábola es: 11. Si esta centrada en el origen y se abre hacia la izquierda, dar su ecuación: y 2 − 11x = 0

b)

y 2 + 11x = 0

c) x 2 − 11x = 0

d)

x 2 − 11x = 0

a)


La longitud del lado recto de la parábola de directriz: y-5=0, es: a) 5

b) -20

c) 20

d) -5 e) Ninguna de las anteriores

360.-

La excentricidad de la elipse centrada en el origen, de foco: (0,3) y vértice: (0,5), es: a) c)

b)

9 25 −

d)

25 9

−

9 25

25 9


La ecuación de la circunferencia, para la cual uno de sus diámetros está limitado por los puntos: (-4,0), (2,4), está dada adecuadamente por: a)

( x + 1)2 + ( y − 2)2 = 13

b)

( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 13

c)

( x + 4) 2 + ( y − 2) 2 = 52

d)

( x + 4)2 + y 2 = 52


Una parábola, tiene por foco el punto: (0,-5). Dar su ecuación y la de su directriz. a)

x 2 − 20 y = 0; y = 5

b) x 2 + 20 y = 0; y = 5

c)

y 2 − 20 x = 0; x = 5

d) y 2 + 20 x = 0; x = 5


82

363.- La ecuación de la elipse, cuyo eje menor tiene longitud: 12 y uno de sus focos es: (0,4), está dada adecuadamente por: a)

x2 y2 + =1 52 36

b)

x2 y 2 + =1 36 16

c)

x2 y 2 + =1 16 36

d)

x2 y 2 + =1 36 52


Los puntos: (3,-3), (-3,3), (-1,1) determinan al unirse, un triangulo: a) rectángulo

b) equilátero

c) isósceles

d) cualquiera


El perímetro de un cuadrado circunscrito a la circunferencia: ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 = 25, es:

a) 5

b) 20

c) 25


366.-

El área del rectángulo, cuyo largo y ancho respectivamente son las longitudes del eje mayor y menor de la elipse:

x2 + y 2 = 1, está dada por: 4 a) 1

b) 2

c) 4


367.-

La diferencia de áreas (o el área de la parte punteada) de los dos círculos

(4, 3)

concéntricos que muestra a figura adjunta, es:

83

a) 49π

b) 25π

c) 16π

d) 2π e) Ninguna de las anteriores

368.-

La parábola de la

10

figura adjunta,

9

tiene su foco

7

8

6

en el punto:

5 4 3 2 1 0

a) (0,1)

b) (0,

1 ) 4

1 c) ( ,0) 4

d) (0,

1 ) 2


La

longitud

del

diámetro

de

la

circunferencia:

2 x 2 + 2 y 2 + 4 x − y − 6 = 0, es:

a) 1 17

b) 1 17

c) 1 65

d)

4

8

4

1 65 2


Sea el triángulo descrito por los puntos A (0,0); B (a, 0) y C (0, b). El segmento de recta que une los puntos medios de AC yBA ,

a)

es:

a 2 + b2 2

c) a + b 2

b) d)

a 2 + b2 4 a−b 2


La ecuación de la circunferencia centrada en el origen, que es tangente a la directriz de la parábola, es:

84

a) x 2 + y 2 = 6

b) x 2 + y 2 = 36

c) x 2 + y 2 = 24

d) x 2 + y 2 = 12


La hipérbola rectangular, centrada en el origen, de eje transverso paralelo al eje y, con uno de sus focos en (0,3), tiene por ecuación: 9 2

b)

y 2 − x2 =

c) x2 − y 2 = 9

d)

y 2 − x2 = 9

a)

x2 − y2 =

9 2


Dada

la

elipse

de

x2 y2 + = 1, a 2 b2

ecuación:

(ab, longitud semi-eje mayor: a longitud

semi-eje

menor: b (a) 340.

b V (−2, 0) ⇒ a = 2; = 1 ⇒ b = a = 2; a

Ec pedida:

x2 y 2 − = 1 ⇒ x 2 − y 2 = 4(d ) 4 4

341.

Foco:

(5,0) ⇒ c=5;

condición

hipérbola

rectangular: a 2 = b2 ⇒ c 2 = 2a 2 ⇒ a 2 = 25 ∴ Ec. pedida : x 2 − y 2 = 25 (c) 2

342.

2

y 2 − 9 x 2 = 9 ⇒ y 2 = 9, s ix=0 ⇒ y= ±3 Vértices: (0,3), (0,-3) (e)

343.

Sea (x, 0) punto buscado

∴

( x + 3) 2 + (0 − 1) 2 =

( x − 3) 2 + (0 − 5) 2 ⇒

⇒(x +3)2 +1= (x −3)2 + 25 ⇒ x2 + 6x +9+1= = x 2 − 6 x + 9 + 25 ⇒

⇒ 12 x = 24 ⇒ x = 2 ∴ Pto buscado: (2,0) (e) 344.

Si el radio es π , la solución es: ( x − π ) 2 + ( y − π ) 2 = π 2 (b )

345.

m1 de L1 : y-1=6x ⇒ m1 =6 m2 de L2 : y-1= − x + 3 ⇒ m2 = − 1 6

6

m3 de L3 : 0 ∴ m1.m2 = −1∴ L1 ⊥ L2 (c) 346.

De la figura son inmediatos: (0,4), (0,0) y (6,0), los que pueden calcularse. (d)

347.

m de L:

2 3 ⇒ m⊥ = − 3 2

ecuación pedida

89

y= − 3 ( x − 4) ⇒ 3 x + 2 y = 12(a ) 2

348.

Toda recta perpendicular a L, en este caso, loe s el eje x.

Su

pendiente no esta definida (d) 349.

2x-y=5 ⇒ m = 2 ∴ m⊥ = − 1 ⇒ Ec pedida y= − 1 x 2

∴ 2x − y = 5 x + 2y = 0

⇒

2

2x − y = 5 ⇒ 2x + 4 y = 0

y = −1, x = 2 ∴ p (2, −1)

⇒ d = (2 − 0) 2 + (1 − 0) 2 ⇒ d = 5( a )

350.-

3y=x-1 ⇒ y = x − 1 ⇒ m = 1 Ec pedida: y = x (b)

351.-

Origen: (0,0). Pto intersección: (2,3).

3

Ec pedida:

y=

3

3

3

3 x (c ) 2

352.-

y=0 ⇒ 100 x 2 = 1 ⇒ x = ± 1 ∴ ( 1 , 0), (− 1 , 0)(e)

353.-

m de la recta dada:

354.-

y 2 = 9 x2 + 9 ⇒ y 2 − 9 x2 = 9 ⇒

10

10

1 − ∴m 5

10

pedida: 5

y2 − x 2 = 1 Ec de hipérbola 9

centrada en el origen (e) 355.356.-

Usando figura (332); x=4 4 x 2 + 9 y 2 = 36 y = 2x

2 ⇒ p = 4 x ⇒ p = 16 2(c)

⇒ 4 x 2 + 9(2 x) 2 = 36 ⇒ x = ± 3 10 10

Usando la relación: y=2x, se tiene las soluciones (d) 357.-

V= (0,2) ⇒ a=2; y-2x=0 ⇒ y=2x ⇒ m=2 ⇒ b = 2 a

⇒ b=2a ⇒ b=4. Ec pedida:

358.-

4 p = 11;

Ec tipo: y 2

359.-

p=5 ⇒ 4 p = 20(c)

360.-

e=

y2 x2 − = 1(a ) 4 16

= − 4 px ⇒ y 2 = − 11 x ( b )

c 3 ⇒ e = (e) a 5

90

361.-

Centro: (-1,2) (pto medio segmento); r=

362.-

9 + 4 = 13;

Ec pedida: ( x + 1)2 + ( y − 2)2 = 13(a)

Foco: (0,-5) ⇒ p = −5 Ec pedida: x 2 = −20 y Ec directriz: y=5 (b)

363.- Longitud eje menor: 12 ⇒ b = 6; foco : (0, 4) ⇒ C=4;

a 2 = b 2 + c 2 ⇒ a 2 = 36 + 16 = 52 ∴ Ec

pedida:

y2 x2 + = 1(d ) 52 36

364.- Sean: A (3,-3), B (-3,3), C (-1,1). AC = 16 + 16 = 4 2 BC = 4 + 4 = 2 2 ⇒ AB = AC + BC ∴

AB = 36 + 36 = 6 2 A, B, y c son colineales (e)

365.-

Cada lado, de longitud 10∴ perímetro p=40 (c)

366.-

Semi-eje mayor: 2 ⇒ eje mayor: 4 Semi-eje menor: 1 ⇒ eje menor: 2 ∴ Área = 4.2 = 8(d )

367.-

r1 = 16 + 9 = 5; r2 = 3∴diferencia de áreas= π (25 − 9) = 16π (c )

368.-

Ec de esta parábola: y = x 2 . Existen varios elementos que permiten calcular tal ecuación: se abre hacia arriba, centrada en el origen y pasa por (1,1), o bien (-1,1), etc. 4p=1 ⇒ p = 1 ; foco(0, 1 )(b) 4

369.-

x2 + y2 + 2x −

4

y y − 3 = 0 ⇒ ( x 2 + 2 x) + ( y 2 − ) = 3 ⇒ 2 2

⇒ ( x 2 + 2 x + 1) + ( y 2 − ⇒ r2 =

y 1 2 1 + ( ) ) = 3 +1+ ⇒ 2 4 6

65 65 ⇒r= 16 4

⇒d =

65 (c ) 4 2

370.-

d=

a 2 b2 a2 + b 1 2 + = = a + b 2 (a ) 4 4 4 2

C(0,b)

(0,b/ 2)

(a/ 2, 0)

B(a,0)

91

371.-

4p=24 ⇒ p = 6 ⇒ r = 6 ∴ Ec pedida: x 2 + y 2 = 36(b)

372.-

F (0,3) ⇒ c=3; condición hipérbola rectangular: 9 c 2 = 2a 2 ⇒ a 2 = ∴ Ec pedida: y 2 − x 2 = 9 (b) 2 2

373.-

La circunferencia tiene radio de longitud igual al del semieje menor; esto es: r=a Ec pedida: x 2 + y 2 = a 2 (c)

374.-

x2 − y 2 = 1 x + y =1

⇒ Si: y=-x, x 2 − (− x)2 = 1 ⇒ x 2 − x 2 = 1*(0 ≠ 1)

No hay tal intersección (e)

92

Sección XLI.- Dar el valor del os siguientes límites: 375.

lim x

376. lim x 2

377.

lim( x + 5)

378.

lim(2 x − 7)

379.

380.

lim( x3 − 6)

x →1

x →1

381. 384.

x lim − 3 x →2 2

382.

x2 −1 x +1

385.

lim x →1

387.

lim x →1

390.

x +1 x +1

x3 + 27 x →−3 x + 3 lim

lim( x 2 − 5) x →2

x →1

lim

x2 − 3 2

383.

lim

x2 −1 x +1

386.

x →2

x →−1

388.

lim

x +1 x +1

lim

1 x −1

x →−1

391.

x →1

x→2

x→1

3 lim( x 2 − ) x →2 2

lim

x →− a

389.

lim x →3

x2 − a2 x+a

x2 + 27 x+3

392. lim 20 x →1

93

SOLUCIONES: 375.-1

376.-1

377.-7

378.--5

379.--1

380.--5

381.--1

382.-

1 2

383.-

5 2

384.-0

385.--2

386.--2a

387.-1

388.-No existe

389.-9

390.-27

391.- ∞

392.-20

Nota.- Indicaciones para algunos de los ejercicios anteriores, que en su mayoría son

inmediatos.

x + 1) ( x − 1) 385.- lim ( = −2

x + a) ( x − a) 386.- lim ( = −2a

388.- −1 ∈R

2 390.- lim ( x + 3) ( x − 3x + 9 ) = 27

( x + 1)

x →−1

x →− a

( x + a)

x →−3

391.- lim

x→1

(

x +1 x −1

)(

x +1

)

= lim

x→1

( x + 3)

x +1 = ∞ x −1

Sección XLII.- Dar el valor del os siguientes limites. 394.- lim cos( x + π )

393.- lim sen( x + π ) x→

π

2

2

x→

π

2

395.- lim ln x

396.- lim ln e x

397.- lim eln x

398.- lim eln e

x →e

x →1

x →1

x→

π

2

400.- lim (6 + 5 x)0

399.- lim sen 2π x →0

2

x →−2

6

Soluciones: 393.- lim sen( x + π ) = sen(π + π ) = senπ = 0 π x→

2

2

2

2

394.- lim cos( x + π ) = cos(π + π ) = cos π = −1 π x→

2

2

2

2

94

395.- lim ln x = ln e = 1 x →e

396.- lim ln e x = lim x = 1 x →1

x →1

397.- lim eln x = lim x = 1 x →1

x →1

398.- lim eln e = eln e = e π x→

2

399.- lim sen 2π = sen 2π 6

x →0

6

400.- lim (6 + 5 x)0 = lim 1 = 1 x →−2

x →−2

Sección XLIII.- Sea f, tal que:

⎧−3 x + 2; x < −3 ⎫ ⎪ 2 ⎪ ⎪⎪ x + 1; −3 ≤ x < 0 ⎪⎪ f ( x) = ⎨ x + 1 ⎬ ;0 ≤ x < 1 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎩⎪1;1 ≤ x ≤ 2 ⎭⎪

Calcular: 401.- lim f ( x )

402.- lim− f ( x)

403.- lim+ f ( x)

404.- lim f ( x )

405.- lim f ( x )

406.- lim− f ( x)

407.- lim+ f ( x )

408.- lim f ( x)

409.- lim f ( x)

410.- lim− f ( x)

411.- lim+ f ( x)

412.- lim f ( x )

413.- lim f ( x)

414.- lim f ( x)

415.- lim− f ( x)

x →−4

x →−3

x →−3

x →−2

x→0

x→0

x →1

x→

x →−0

x→

x →1

3 2

x →−3

x →− 2

1 2

x →1

x→2

Soluciones: 401.-

−4 ∈ ( −∞, −3) : lim f ( x) = lim (−3x + 2) = 14

402.-

−3− ∈ ( −∞, −3) : lim− f ( x) = lim− (−3 x + 2) = 11

403.-

−3+ ∈ [−∞, −3) : lim+ f ( x) = lim+ ( x 2 + 1) = 10

404.-

por (402) y (403): no existe lim f ( x )

405.-

−2 ∈ [−3, 0) : lim f ( x) = lim ( x 2 + 1) = 5

x →−4

x →−3

x →−4

x →−3

x →−3

x →−3

x →−3

x →−2

x →−2

95

406.-

0− ∈ [−3, 0) : lim− f ( x) = lim− ( x 2 + 1) = 1

407.-

0 + ∈ [0,1) : lim+ f ( x ) = lim+ (

408.-

por (406) y (407): no existe lim f ( x )

409.-

1 x +1 3 )= ∈ [0,1) : lim f ( x ) = lim( 1 1 2 2 4 x→ x→

x →0

x →0

x→0

x→0

x +1 1 )= 2 2 x →−3

2

2

x +1 ) =1 2

410.-

1− ∈ [0,1) : lim− f ( x) = lim( −

411.-

1+ ∈ [1, 2]: lim+ f ( x) = lim1 =1 +

412.-

por (410) y (411): lim f ( x) = 1

413.-

3 ∈ [1, 2] : lim f ( x) = lim1 = 1 3 3 2 x→ x→

x →1

x →1

x →1

x →1

x →1

2

414.-

2

− 2 ∈ [ −3, 0) : lim f ( x ) = lim ( x 2 + 1) = 3 x →− 2

415.-

x →− 2

2− ∈ [1, 2]: lim− f ( x) = lim− 1 = 1 x →2

x →2

Sección XLIV.- Sea f, tal que: f ( x) =

x+3 − x−3 x

Calcular:

416.- lim− f ( x )

417.- lim+ f ( x )

418.- lim f ( x )

419.- lim f ( x )

420.- lim f ( x )

421.- lim f ( x )

x→0

x→4

x→0

x →3

Sea g, tal que: g(x)=

x →0

x →−3

x − x + 1. Calcular:

422.- lim+ g ( x)

423.- lim g ( x)

424.- lim g ( x)

425.- lim g ( x)

426.- lim g ( x)

427.- lim g ( x )

x →0

x →1

x →0

x →−1

x→4

x →+∞

Soluciones: 416.- Si x → 0 − , entonces:

x − 3 no pertenece a R. Esto basta para

señalar la inexistencia de: lim− f ( x ) x→0

417.- Si x → 0 + , entonces:

x − 3 no pertenece a R Análogo a (416)

418.- Usando (416) ó (417) se concluye la inexistencia de lim+ f ( x ) x→0

96

419.- lim

x+3 − x−3 7 −1 = 4 x

420.- lim

x+3 − x−3 6 = x 3

x→4

x →3

421.- Si x → -3, entonces:

x − 3 ∈ R. No existe lim f ( x) x →−3

422.- lim ( x − x + 1) = 0 − 1 = −1 x → 0+

423.- lim( x − x + 1) = −1 x →0 424.- lim(

x − x + 1) = 4 − 5 = 2 − 5

425.- lim(

x − x + 1) = 1 − 2 = 1 − 2

x →4

x →1

426.- No existe, ya que

−1 ∈R

427.- lim x − x + 1. x + x + 1 = lim x − ( x + 1) x + x +1

x →∞

x →∞

x + x +1

−1 =0 x + x +1

= lim x →∞

Sección XLV.- Calcular: x3 − 8 x−2

429.-

430.- lim

x x

431.-

432.- lim

x x

433.- lim( x 2 − x)

428.-

lim x→2

x →0

−

x →0

lim( x 2 + x − 1) x →1

x x

li m

x→ 0+

x →0

Soluciones: 2 428.- lim ( x − 2) ( x + 2 x + 4) = lim( x 2 + 2 x + 4) = 4 + 4 + 4 = 12 x→2

( x − 2)

x→2

429.- lim( x 2 + x − 1) = 1 + 1 − 1 = 1

2

x →1

1

430.- (Ver figura adjunta)

0 -3

x lim− = lim− (−1) = −1 x →0 x x →0

-2

-1

0

1

2

3

-1

-2

431.- (Ver figura adjunta)

97

lim+

x →0

x = lim 1 = 1 x x →0 +

432.- por (430) y (431) se concluye que no existe lim x →0

x x

433.- lim( x 2 − x) = 0 − 0 = 0 x →0

Sección XLVI.- Sea f, tal que:

⎧ 3 x − 1, si ; x < ⎪ f ( x ) = ⎨ 2, si ; x = 0 ⎪ x 2 , si ; x > 0 ⎩

0⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

Calcular:

434.- lim− f ( x )

444.- lim+ f ( x )

445.- lim f ( x )

446.- lim f ( x)

447.- lim f ( x )

448.- lim f ( x )

449.- lim f ( x )

450.- lim f ( x)

451.- lim f ( x)

x→0

x →0

x→0

x →−1

x →1

x →−2

x→2

x →−∞

x →+∞

Soluciones: 434.435.436.437.-

lim f ( x) = lim− (3 x − 1) = −1

x →0−

x →0

lim f ( x) = lim+ x 2 = 0

x →0+

x →0

por (434) y (435); no existe lim f ( x) x →0

lim f ( x ) = lim (3 x − 1) = −4

x →−1

x →−1

438.-

lim f ( x) = lim x 2 = 1

439.-

lim f ( x) = lim x 2 = 4

440.441.442.-

x →1

x →2

x →1

x →2

lim f ( x) = lim (3 x − 1) = −7

x →−2

x →−2

lim f ( x) = lim (7 x − 1) = −∞

x →−∞

x →−∞

lim f ( x) = lim x 2 = +∞

x →+∞

x →+∞

Sección XLVII.- Se define f ′ como: f ′( x) = lim h →0

449.- f(x)=2x

450.- f ( x) = 1 x

f ( x′ + h ) − f ( x ) h

Calcular: f ′ si:

451.-

f ( x) =

1 x +1

98

452.- f ( x) = 2 x

453.- f ( x) = 2 x

454.- f ( x) = x + 1

Soluciones: f ′( x) = lim

443.-

h→0

2( x + h) − 2 x 2 x + 2h − 2 x = lim h → 0 h h

2h = lim 2 = 2 h→ 0 h

= lim h →0

Sol: f ( x ) = 2 x ⇒ f ′( x ) = 2 f ′( x )

444.-

x − ( x + h) 1 1 − x ( x + h) = lim x + h x = lim = h →0 h →0 h h

x − x −h −h −1 x ( x + h) = lim = lim == lim h →0 h → 0 h → 0 h xh( x + h) x ( x + h) −1 = 2 x

Sol.- f ( x) = 1 ⇒ f ′( x) = − 12 x

445.-

x

( x + 1) − ( x + h + 1) 1 1 − ( x + 1)( x + h + 1) f ′( x) = lim x + h + 1 x + 1 = lim h →0 h →0 h h = lim

x +1− x − h −1 ( x + 1)( x + h + 1)

h→0

=−

h

= lim h→0

1

( x + 1)

2

Sol.- f(x)= 1 ⇒ f ′( x) = − x +1

446.-

−1

( x + 1)( x + h + 1)

f ′( x) = lim h →0

= lim h →0

2 x+h −2 x 2 x+h −2 x 2 x+h +2 x = lim . h →0 h h 2 x+h +2 x

2( x + h − x ) 2h = lim = h( x + h + x ) h → 0 h ( x + h + x )

= lim h →0

1 ( x + 1) 2

2 2 1 = = x+h + x 2 x x

99

Sol.- f(x)= 2 x ⇒ f ′( x) = 1

x

447.-

f ′( x) = lim h→0

= lim h →0

= lim h →0

2( x + h) − 2 x 2( x + h) + 2 x . h 2( x + h) + 2 x

2( x + h) − 2 x 2 x + 2 h − 2x = lim h( 2( x + h) + 2 x ) h →0 h ( 2( x + h) + 2 x )

= lim h →0

2( x + h) − 2 x = h

2 2 1 = = 2( x + h) + 2 x 2 2 x 2x

Sol.- f ( x) = 2 x ⇒ f ′( x) = 1

2x

448.-

f ′( x) = lim h →0

= lim h →0

= lim h →0

x + h +1 − x +1 = h

x + h +1 − x +1 x + h +1 + x +1 . h x + h +1 + x +1

x + h + 1 − ( x + 1) h = lim h → 0 h( x + h + 1 + x + 1) h ( x + h + 1 + x + 1)

= lim h →0

Sol.-

1 1 = x + h +1 + x +1 2 x +1 f ( x) = x + 1 ⇒ f ′( x) =

1 2 x +1

Sección XLVIII.- Verificar mediante la definición que: 455.-

456.- lim x = 1 x →1

lim(3 x − 1) = 5 x→2

457.- lim x 2 = 16

458.- lim3x 2 = 12 x →2

459.- lim( x 2 − 1) = 0

460.- lim( x 2 + x) = 6

x →4

x →2

x →1

Soluciones: 449.

f ( x) − L = (3x − 1) − 5 = 3x − 1 − 5 = 3x − 6 =

ξ

=3 x−2 0, se tiene: aδ + (1 + 2a)δ = ξ aδ + δ + 2 aδ = ξ

3aδ + δ = ξ δ=

ξ (3a + 1)

Basta tomar: δ = min ⎧⎨1,

ξ

⎫ ⎬ ⎩ (3a + 1) ⎭

457.-

f ( x ) − L = x 2 − 2 x + 1 − 1 = x 2 − x < ξ . De donde:

x 2 − 2 x = A( x − 2) 2 + B ( x − 2) + C

= A( x 2 − 4 x + 4) + Bx − 2 B + C = Ax 2 + (−4 + B) x + (4 A − 2 B + C ) ⇒ A =1 −4 A + B = −2 ⇒ A = 1, B = 2, C = 0 4 A − 2B + C = 0

x 2 − 2 x = ( x − 2) 2 + 2( x − 2) 2

x2 − 2 x ≤ x − 2 + 2 x − 2 0 < x − 2 < δ , con : 0 < δ < 1, se tiene: x 2 − 2 x < δ 2 + 2δ < δ + 2δ = ξ ⇒ 3δ = ξ ⇒ δ =

ξ 3

Basta tomar: δ = min ⎧⎨1, ξ ⎫⎬ ⎩ 3⎭

458.-

f ( x) − L = ax + b − b = ax < ξ ⇒ a x < ξ ⇒ x
0, tal que: x −3

2 x −3 1 2 2 x −3 1 >N⇒ < ⇒ < ⇒ ⇒ x − 3 < . Basta tomar: δ = N N x −3 2 N 2 N

para que se verifique: x − 3 < 2 ⇒ 2 > N N

x−3

460.- f ( x) = b , a = b. Sea N>0, tal que: x−b

x−b 1 b x−b 1 >N⇒ < ⇒ < ⇒ x−b b N b N

⇒ x−b
N N x−b

5 2x −1 1 5 >N⇒ < ⇒ 2x −1 < 2x −1 5 N N ⇒ x−

1 5 1 5 5 < ⇒ x− < . Basta tomar: δ = 2 N 2 2N 2N

Para que verifique la definición correspondiente. 462.- f ( x) =

cx + 1 , L = C ; f ( x) − L < ξ ⇒ x

105

Cx + 1 Cx + 1 − Cx 1 −C = M ⇒ f ( x) − L < ξ 463.- f ( x ) =

cx + a Cx + a , L = C; −C M ⇒ f ( x) − L < ξ 464.- f ( x) = x; f ( x) > N ⇒ x > N . Basta tomar M=N, para que se verifique:

x > M ⇒ f ( x) > N Sección LI.- Calcular: 2 465.- lim 33x + 22x − 1 x →∞

2 466.- lim 33x + 22x − 1 x →0

2 467.- lim 33x + 22x − 1 x →−1

2 468.- lim 33x + 22x − 1 x →1

x + 5x + x

x + 5x + x

x + 5x + x

x + 5x + x

Soluciones: º

465.- lim 3x + 2 x − 1 = lim 2 x →∞ 3 x →∞ 2

x + 5x + x

466.-

º

3 2 1 + 2 − 3 x x x º

5 1 1+ + 2 x x

º

º

=0

3x 2 + 2 x − 1 = −∞ x →0 x 3 + 5 x 2 + x

lim

2 467.- lim 33x + 22x − 1 = 0 x →−1

x + 5x + x

2 468.- lim 33x + 22x − 1 = 4 x →1

x + 5x + x

7

106

Sección LII.- Sea la función: f(x)=

x + 10 x + 10

. Obtener:

469.- lim f ( x)

470.- lim− f ( x )

471.- lim f ( x)

472.- lim− f ( x )

473.- lim+ f ( x )

474.- lim f ( x )

475.- lim− f ( x )

476.- lim+ f ( x )

477.- lim f ( x)

478.- lim f ( x)

x →−10−

x →10

x →−10

x→0

x →0

x→0

x →10

x →10

x →10

x →−∞

479.- lim f ( x) x →+∞

Soluciones: 469.- x → −10− ⇒ x + 10 → 0− y x + 10 → 0+ ⇒ x + 10 → −1∴ lim − f ( x) = −1 x →−10 x + 10

470.- x → −10+ ⇒ x + 10 → 0+ y x + 10 → 0+ ⇒ x + 10 → 1∴ lim + f ( x) = 1 x →−10 x + 10

471.- De (469) y (470) se concluyo que no existe lim f ( x) x →−10

472.- x → 0− ⇒ x + 10 ∈ R + ⇒ x + 10 → 1 x + 10

∴ lim− f ( x) = 1 x →0

473.- x → 0+ ⇒ x + 10 ∈ R + y x + 10 ∈ R + ⇒ x + 10 → 1 x + 10

∴ lim+ f ( x) = 1 x →0

474.- De (472) y (473) se concluye que: lim f ( x) = 1 x →0

475.- De lo anterior se tiene que, para todo x ∈ R : x > −10 ⇒

x + 10 = 1, de x + 10

donde: lim f ( x ) = 1 x →10 −

107

476.- Ídem: lim+ f ( x ) = 1 x →10

477.- De (475) y (476): Ídem: lim f ( x) = 1 x →10

478.- De (475), para todo x ∈ R : x < −10 ⇒ x + 10 = −1, de donde: lim f ( x) = −1 x →−∞ x + 10

479.- De (475): lim f ( x) = 1 x →+∞

AUTOEVALUACION # 3 LIMITES DE FUNCIONES 480.- Dado f, tal que: f ( x) = x3 . se admite que el valor del: lim f ( x) − f (3) , es x →3

x −3

un entero: a) negativo

b) par

c) impar

d) primo e) Ninguna del las anteriores

481.- Sea g, tal que: con las siguientes proposiciones I) lim+ g ( x) = 3 x →1

II) lim− g ( x) = 5 x →1

III) lim g ( x) no existe x →1

Se puede concluir que son falsas: a) sólo I

b) sólo II

c) sólo III

d) sólo I y II

e) Todas son verdaderas 482.- El valor de: lim 3 + 2 3 , es : x →−3

3

a) 0 c)

2 3

b) x r

d)

3

3

e) Ninguna del las anteriores 483.- Sea f, tal que: f ( x) = − 2 . Se tiene que: lim f ( x + h) − f ( x) , es : x

h→0

h

108

0 0

a) ∞

b)

c) 0

d) −

2 x2

e) Ninguna del las anteriores 484.- El valor de: lim h →0

2sen h

h 2 , es :

0 0

a) 2

b)

c) 0

d) ∞ e) Ninguna del las anteriores

2 485.- El valor de: lim x −x64 , es : −8 x →8

ln e

a) 0

b) ∞

c) 16

d) -16 e) Ninguna del las anteriores

486.- Dado un ξ > 0 arbitrario, ¿cuál es el δ que verifica: “ 0 < x − 1 < δ ⇒ f ( x) − 4 < ξ ” en la demostración de: lim( x 2 + 3x) = 4 ? x →1

a) δ = ξ

b)

δ=

ξ 6

d) δ = 1

c) δ = 6ξ e) Ninguna del las anteriores 487.- Para

la

definición

de: lim f ( x ) = L, x→a

se

tiene

las

siguientes

proposiciones: I) Para todo δ mayor que cero, existe al menos un ξ mayor que cero, tal que: 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ξ II) Para todo ξ mayor que cero, existe al menos un δ mayor que cero, tal que:”para algunos x”, se cumple: 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ξ

109

III) Para todo ξ mayor que cero, existe al menos un δ mayor que cero, tal que: “para todo x”, se cumple: 0 < x − a < δ ⇒ L − f ( x) < ξ Se admiten como proposiciones VERDADERAS: a) sólo I

b) sólo II

c) sólo III

d) sólo I y II e) Ninguna del las anteriores

488.- Dado un ξ >0 arbitrario ¿cuál ese l δ que verifica: “ 0 < x − 2 < δ ⇒ f ( x) +11 < ξ ” en la demostración de: lim(−7 x + 3) = −11 ? x→2

a) δ =

ξ

b) δ =

−7

d) δ =

c) δ = ξ

ξ 7

ξ 11

e) Ninguna del las anteriores 1

489.- Sea f, tal que: f ( x) = e x . cuando x → 0− , Se verifica que: lim− f ( x), es x →0

a) 0

b) −∞

c) +∞

d) e e) Ninguna del las anteriores

490.- Sea g, talque: g ( x) =

x −π . Cuando x −π

x → π −,

se verifica que:

lim g ( x), es :

x →π −

0 0

b) -1

c) 1

d) ∞

a)

e) Ninguna del las anteriores

491.- Examinando la gráfica que se b a

110

adjunta, está permite concluir que: a) lim− f ( x ) = b

b) lim− f ( x ) = −∞

c) lim+ f ( x) = +∞

d) lim+ f ( x ) = 0

x→0

x→a

x→a

x→0

e) Ninguna del las anteriores 492.- Dadas las siguientes proposiciones: I) f puede admitir dos límites diferentes par aun mismo punto. II) si f no está definida en un punto, no tiene límite en tal punto III) si f está definida en un punto, tiene límite en tal punto Se aceptan como VERDADERAS: a) sólo II

b) sólo III

c) sólo I y II

d) sólo II y III e) Ninguna es verdadera

493.- Sea g, tal que: g ( x) = x − 1 . si x → 1, se tiene que: lim g ( x), es : x →1 x −1

a)

0 0

b) No tiene límite

c) 1

d)

1 2

e) Ninguna de las anteriores 494.- Sea h, tal que:

h( x) =

2 − 3x + x 2 si . x 2 − 3x − 2

x → ∞ se tiene que:

a) -1

b) 1

c) ∞

d)

lim h( x ), es : x→0

∞ ∞

e) Ninguna de las anteriores 495.- Sea g, tal que: g ( x) = 1 − x − x . si x → 2, entonces: lim g ( x), es : x→2 a) -3

b) 0

c) -1

d) No tiene límite

111

e) Ninguna de las anteriores 496.- Sea h, tal que: h( x) = x .si; x → 0, entonces: lim h( x), es : x →0 x

0 0

b) 0

c) -1

d) 1

a)

e) Ninguna de las anteriores 3 497.- Sea f, tal que: f ( x) = x − 125 .si; x → 5, se tiene que: lim f ( x), es : x →−5

x+5

a) No tiene límite

b) ∞

c) 0


498.- Sea g, tal que: a)

g ( x) =

1 + cos x .si; x → π , se senx

0 0

tiene que: lim g ( x), es : x →π

b) ∞

c) 0

d)

1 2

e) Ninguna de las anteriores 499.- El valor de: lim 1 − s e n x , e s : 2 π x→

a)

2

cos x

b) 0

1 2

c)

d) ∞

0 0

e) Ninguna de las anteriores 500.- El valor de:

lim x→

π 2

1 − sen x , es cos 2 x

b) ∞

a) 0 c)

1 3

d)

1 2

e) Ninguna de las anteriores 501.- El valor de: lim x→ 2

x2 + 5 − 3 , es : x− 2

112

a) ∞

b) 0

2 3

c)

d)

3 2

e) Ninguna de las anteriores 2x

502.- El valor de: lim 4 x + 1 , e s : x→ 2

a) 1

b) 4

c) 0

d) ∞

3

4

e) Ninguna de las anteriores 503.- Sea lim 2 x = 4 ; dado ξ = x→ 2

1 , un valor adecuado para δ , 4

tal que este verifique la definición, es: a)

δ = 4

c)

δ =

b)

δ =

d) δ

1 8

=

1 4

1 2

e) Ninguna de las anteriores 504.- De la gráfica que

y=g(x)

g

se adjunta,

-1

1

-1 g

se puede inferir que:

a) lim− g ( x ) ≠ lim+ g ( x ) b) lim− g ( x ) = li m+ g ( x ) x→ 0

x→ 0

x→1

x→1

c) lim − g ( x ) = li m + g ( x ) d) lim g ( x ) = − 1 x→ −1

x→ −1

x→ 0

e) Ninguna de las anteriores 505.- El valor de: lim

x→ 2

x − 2 , es : x− 2

a) x+2

b) x-2

0 0

d) ∞

c)


113

3 506.- El valor de lim x − 8 , e s : x→1

x −1

a) 1

b) No existe

c) − ∞


507.- Aplicando la definición del imite, se completa la proposición siguiente:

"0 < x − x0 < δ ⇒ f ( x) − L < − − − − " con a) x 0

b) δ

c) x − x 0

d) ξ + δ

e) Ninguna de las anteriores 508.- Una forma equivalente a: x0 − δ ≤ x ≤ x0 + δ , es : a) x ∈ [ x 0 − δ , x 0 + δ c) x ∈ ] x 0 , x + x 0 [

]

b) x ∈ [ x 0 − δ , x 0 + δ [ d) x ∈ ] − δ , δ [

e) Ninguna de las anteriores SOLUCIONES A LA AUTOEVALUACION # 3: 480.- c

481.- e

482.- d

483.- e

484.- e

485.- c

486.- e

487.- c

488.- b

489.- a

490.- b

491.- a

492.- e

493.- d

494.- b

495.- c

496.- e

497.- b

498.- c

499.- a

500.- c

501.- c

502.- b

503.- c

504.- d

505.- e

506.- c

507.- e

508.- a

114

SOLUCIONARIO DESARROLLADO DE LA AUTOEVALUACION # 3 480.-

( x − 3) ( x2 + 3x + 9) x3 − 33 = lim = x →3 x − 3 x→3 ( x − 3)

lim

lim ( x 2 + 3 x + 9 ) = 27 (c) x →3

481.-

1+ > 1; lim+ g ( x) = lim(2 x − 1) = 3 (V ) + x →1

x →1

1− < 1; lim− g ( x) = lim(2 x 2 + 3) = 5 (V ) − x →1

x →1

∴ ∃ lim g ( x) (V ) (e) x →1

482.-

lim

x →−3

483.-

3 3 = lim 3 = 3 (d ) x →−3 3

−2 x + 2( x + h) −2 2 + − 2 x + 2x + 2 h x ( x + h) x + h x lim = lim = lim = h →0 h →0 h→0 h h x h ( x + h)

lim h →0

492.-

485.-

h h sen 2 2 = 1 (e ) = lim lim h →0 h→0 h h 2 2 2 2 sen

lim x →8

486.-

2 2 = 2 ( e) x ( x + h) x

( x + 8) ( x − 8) x 2 − 64 = lim( x + 8) = 16 (c ) = lim x → x →8 8 x −8 ( x − 8)

f ( x ) − L = x 2 − 3 x − 4 < ξ . ahora bien: x 2 + 3 x − 4 = A( x − 1) 2 + B ( x − 1) + C = A( x 2 − 2 x + 1) + Bx − B + C

= Ax 2 − 2 Ax + A + Bx − B + C = Ax 2 + (−2 A + B) x + ( A − B + C ), de donde: A =1 −2 A + B = 3 A − B + C = −4

⇒ A = 1, B = 5, C = 0, esto es:

x 2 + 3x − 4 = ( x − 1)2 + 5( x − 1) ⇒ x 2 + 3x − 4 ≤ x − 1 + 5 x − 1 . aceptando que: 2

115

0 < x − 1 < δ , con : 0 < δ < 1, se tiene: x 2 + 3x − 4 < δ 2 + 5δ < δ + 5δ = ξ ⇒ 6δ = ξ ⇒ δ =

Basta tomar:

ξ 6

⎧ ξ⎫ δ = min ⎨1, ⎬ (e) ⎩ 6⎭

487.-

I) Falsa: “para todo δ ... existe almenos un ξ ... ” y ver la formula. II) Falsa: “para algunos x”… III) Verdadera: a − x = x − a ; f ( x) − L = L − f ( x) (c)

488.-

ξ

δ=

m

⇒δ =

ξ

⇒δ =

7

ξ 7

(b) 1

490.- x → 0− ⇒ 1 → −∞ ⇒ − 1 → ∞ ⇒ e x → ∞ ⇒ −

x

1

1 e

x

→ 0 ⇒ e x → 0 (a)

1 − x

490.-

x → π − ⇒ x − π → 0− y x − π → 0+ ⇒

491.-

De la figuras e admite que:

x −π → −1 (b) x −π

lim f ( x) = b; lim− f ( x) = +∞; lim+ f ( x) = −∞

x → 0−

x →a

x →a

lim f ( x) = b(a )

x → 0+

492.-Falsa:”dos límites diferentes” II) Falsa:”no está definida” implica “no tiene límite” III) Falsa:”está definida” implica “tiene límite”… (e) 493.-

x −1 = lim x →1 x −1

lim x →1

0

494.-

495.496.-

0

1−

)(

x −1

)

x +1

= lim x →1

1 1 = x +1 2

(d )

0

2 3 +1 − x x2

lim x →∞

(

x −1

3 2 − 2 x x

0

= 1 (b)

lim ( 1 − x − x ) = lim 1 − x − lim x = 1 − 2 = −1 (c) x →2

x→2

x →2

lim h( x) = 1, lim− h( x) = −1 ⇒ ∃ lim h( x ) (e)

x → 0+

x→0

x →0

116

497.498.-

x → −5 ⇒ x3 − 125 → −250 ⇒ lim f ( x) = ∞ (b) x →−5 x → −5 ⇒ x + 5 → 0 g ( x) =

=

499.-

1 + cos x 1 − cos x 1 − cos 2 x sen2 x . = = = senx 1 − cos x senx(1 − cos x) senx (1 − cos x)

senx senx ∴ lim g ( x) = lim = 0 (c ) x → π x → π 1 − cos x 1 − cos x

1 − senx 1 − senx 1 + senx 1 − sen2 x . = = = cos 2 x cos 2 x 1 + senx cos 2 x(1 + senx) cos 2 x cos x (1 + senx) 2

=

1 1 − senx ∴ lim = 1 + senx x→π cos2 x 2

1 1 1 = = π 1 2 + senx x→ 1 + sen 2 2

lim

(a)

π

500.-

senx ≠ 0

1− lim

h →∞

501.-

3−

0

0

0

0

1 1 + 2 h h 5 2 + 2 h h

=

1 (c ) 3

x2 + 5 − 3 x2 + 5 + 3 x2 + 5 − 9 . = = x−2 x2 + 5 + 3 ( x − 2) x2 + 5 + 3

(

=

x2 − 4

( x − 2) (

x +5 +3 2

)

=

)

( x − 2) ( x + 2) = ( x − 2 ) ( x 2 + 5 + 3)

x≠2

x+2

=

x2 + 5 + 3

= lim x→2

2x

∴ lim x →2

x+2 x +5 +3 2

=

x2 + 5 − 3 = x−2 4 2 = 3+3 3

(c )

4

502.-

lim 4 x +1 = 4 3 = 3 44 = 4 3 4

503.-

2 x − 4 < ξ ⇒ 2( x − 2) < ξ ⇒ 2 x − 2 < ξ ⇒

h→2

x−2
−1 ⎩x

en x=-1

Soluciones: 523.-

I) f(0)=2 ii) lim f ( x) = lim senx = 1 x →0 x →0 x

iii) lim f ( x) ≠ f (0) x →0

discontinua en x=0 ( 3era condición ) 524.-

f (0)=1 2

2

ii) lim f ( x) = lim ⎛⎜ senx ⎞⎟ = ⎛⎜ lim senx ⎞⎟ = x →0 x →0 x →0 x / 2 x/2 ⎝

⎠

⎝

⎠

2

2

senx ⎞ ⎛ senx ⎞ ⎛ = ⎜ lim 2 ⎟ = ⎜ 2 lim ⎟ =4 x →0 x→0 x x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

iii) lim f ( x) ≠ f (0) x →0

discontinua en x=0( 3era condición 525.-

I) f (0)=1 ii)

lim f ( x) = lim x →0

x →0

1 senx senx = lim =1 2 x / 2 x →0 x

iii) lim f ( x) = f (0) x →0

continua en x=0 526.-

I)f (0)=3 ii) lim f ( x) = lim sen3 x = 3 x→0 x→0 x

iii) lim f ( x) = f (0) x →0


I)f (0)=2 2

2

ii) lim f ( x) = lim ⎛⎜ sen 2 x ⎞⎟ = ⎛⎜ lim sen 2 x ⎞⎟ = x →0 x →0 ⎜ x ⎟ ⎜ x →0 x ⎟ ⎝

=

( 2)

2

⎠

⎝

⎠

=2

121

iii) lim f ( x) = f (0) x →0


f (3)=3 ii)

lim f ( x) = lim− x = 3

x →3−

x →3

lim+ f ( x) = lim+ 3 = 3

x →3

⇒ lim f ( x ) = 3 x →3

x →3

iii) lim f ( x) = f (3) x →3 continua en x=3 529.-

f (0)=0 ii)

lim f ( x) = lim− 2 x + 1 = 1

x → 0−

x→0

x →0

x →0

lim+ f ( x) = lim+ ( − x ) = 0

⇒ ∃ lim f ( x) x →0

iii) lim f ( x) = f (0) x →0


f (-1) no está definida. discontinua en x=0 (1era condición)

Sección LV.- De la sección anterior, se tiene que algunas funciones eran discontinuas por incumplimiento de alguna de las condiciones. Determine para ellas el tipo de discontinuidad y si estas fueran removibles, redefina convenientemente. Veamos: 531.-

532.-

⎧ senx , si x ≠ 0 ; Discontinua en x=0 ⎪ f ( x) = ⎨ x ⎪⎩2 , si x = 0 ⎧⎛ senx ⎞2 , si x ≠ 0 ; ⎪⎜ f ( x) = ⎨⎝ x / 2 ⎟⎠ ⎪ , si x = 0 ⎩1

Discontinua en x=0

533.-

⎧2 x + 1 , si x < 0 ; Discontinua en x=0 f ( x) = ⎨ , si x ≥ 0 ⎩− x

534.-

⎧ x − 1 , si x < −1 ; f ( x) = ⎨ 2 , si x > −1 ⎩x

Discontinua en x=-1

122

Soluciones: 531.-

Discontinuidad removible, ya que existe el límite y este es finito. Redefinición: ⎧ senx , si x ≠ 0 ⎪ f ( x) = ⎨ x ⎪⎩1 , si x = 0

532.-

Discontinuidad removible, análogo al anterior. Redefinición: ⎧⎛ senx ⎞ 2 , si x ≠ 0 ⎪ f ( x ) = ⎨⎝⎜ x / 2 ⎠⎟ ⎪4 , si x = 0 ⎩

533.-

Discontinuidad inevitable dado que no existe el límite respectivo no admite redefinición para hacerla continua en tal punto

534.-

Para decidir el tipo de discontinuidad, hay que examinar la 2 dq condición

lim f ( x) = lim− ( x − 1) = −2

x →−1−

x →−1

lim+ f ( x ) = lim+ x 2 = 1

x →−1

⇒ ∃ lim f ( x) x →−1

x →−1

Se concluye: discontinuidad no admite en x=-1 Sección LVI.- Determinar los intervalo sen que las siguientes funciones son continuas 535.-

536.-

537.-

538.-

⎧ x 2 , si; x < 3 ⎪ f ( x) = ⎨1, si; x = 3 ⎪ x, si; x > 3 ⎩ ⎧ x − 3, si; x ∈ (−∞, 0) ⎪ f ( x) = ⎨ 2, si; x ∈ [2,3) ⎪ x 2 + 1, si; x ∈ (3, ∞) ⎩

⎧1 − cos 2 x , si; x ≠ 0 ⎪⎪ x h( x ) = ⎨ ⎪ 1 , si; x = 0 ⎪⎩ 2

⎧ sen3 x ⎪⎪ x , si; x ≠ 0 F ( x) = ⎨ ⎪ 1 , si; x = 0 ⎪⎩ 3

123

539.-

⎧ x +1 ⎪ x 2 − 1 , x ∈ R − {1, −1} ⎪ ⎪1 G ( x) = ⎨ , x = −1 ⎪2 ⎪2, x = 1 ⎪ ⎩

x−3 x−3

540.-

H ( x) =

541.-

J ( x) = a x (a > 0)

542.543.-

1

−

1 x

L( x) = a (a > 0) ⎧ x 3 − 2 x + 1, si;1 < x ≤ 2 ⎪ 2 ⎪2 x − 3, si; 2 < x ≤ 3 H ( x) = ⎨ ⎪3 x, si;3 < x ≤ 4 ⎪ x 3 − 1, si; 4 < x ≤ 5 ⎩

Soluciones: 535.-

I)f (3)=1 II)

lim f ( x) = lim− x 2 = 9

x →3−

x →3

lim+ f ( x ) = lim+ x = 3

x →3

⇒ ∃ lim f ( x) x →3

x →3

Discontinua en x=3. Continua en ( −∞,3) ∪ (3, ∞ ) 536.-

Examinando: x=2 i) g (2)=2 ii)

lim g ( x) = lim− ( x − 3) = −1

x → 2−

x →2

lim+ g ( x) = lim+ 2 = 2

x→2

⇒ ∃ lim g ( x) x →2

x→2

Discontinua en x=2 Examinando: x=3 i) g (3) no está definida Discontinua en x=3 Continua en: ( −∞, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, ∞ )

124

537.-

h (0)= ii)

1 2 1 − cos 2 x sen 2 x = lim = x →0 x →0 x x

lim h( x) = lim x →0

1

0 senx .lim senx = 0 x →0 x

= lim x →0

iii) = lim h( x) ≠ h(0) x →0

Discontinua en x=0 Continua en: R − {0} 538.-

F (0)=

1 3

ii) lim F ( x) = lim sen3x = 3 x →0 x →0 x

iii) = lim F ( x) ≠ F (0) x →0

Discontinua en x=0 Continua en: R − {0} 539.-

Examinando: x=-1 i) G (-1)= ii)

1 2

lim G ( x) = lim

x →−1

= lim

x →−1

x →−1

x +1 x +1 = lim = x 2 − 1 x→−1 ( x + 1) ( x − 1)

1 1 =− 2 x −1

iii) = lim G ( x) ≠ G (−1) x →0

Discontinua en x=-1 Examinando: x=1 i) G (1)=2 ii) lim G ( x ) = lim 1 = ∞ x →1

x →1

x −1

Discontinua en x=-1 Continua en: R − {1, −1}

125

540.-

Ejercicio análogo a anteriores. Su discontinuidad es en x=3 continua en: ( −∞, 3) ∪ (3, ∞ )

541.-

Discontinua en x=0 Continua en: ( −∞, 0) ∪ (0, ∞ )

542.-

Discontinua en x=0 Continua en: R − {0}

542.-

Examinando: x=2 i) K (2)= 23 − 2.2 + 1 = 6 ii)

lim K ( x) = lim− ( x3 − 2 x + 1) = 6

x → 2−

x→2

x→2

∴ ∃ lim K ( x) x→2

lim+ K ( x) = lim+ (2 x 2 − 3) = 5 x→2

iii) = lim G ( x) ≠ G (−1) x→0

Discontinua en x=2 Examinando: x=3 i) K (3)= 2.32 − 3 = 15 ii)

lim K ( x) = lim(2 x 2 − 3) = 15 −

x →3−

x →3

lim+ K ( x) = lim+ 3x = 9

x →3

⇒ ∃ lim K ( x).Disc. x →3

x →3

Examinando: x=4 i) K (4)=3.4=12 ii)

lim K ( x) = lim− 3 x = 12

x → 4−

x →4

lim+ K ( x) = lim+ ( x 3 − 1) = 63

x→4

⇒ ∃ lim K ( x) x →4

x →4

Discontinua en x=-4 Continua en: (1, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, 4) ∪ (4, 5) Sección LVII.- Identifique el mayor subintervalo de R, donde fe s continua, si f está dada por: 563.-

f ( x) = 2 x

567.-

f ( x) =

2 23 x 3

4 5

565.-

1 1 f ( x) = x 4 3

569.-

f ( x) =

5 − 52 x 4

126

571.-

f ( x) =

3 − 13 x 7

573.-

2 −3 f ( x) = − x 4 3

575.-

1 f ( x) = − x 0 4

577.-

f ( x) =

579.-

f ( x) =

553.-

f ( x) = 2 x

555.-

x2 + x f ( x) = 2

1 53 x +5 2

2 34 x +1 5 −

1

554.-

f ( x) = x

−

1 2

+x

1 2

3 5

1 1 + x2 2 −

1 2

Soluciones: 4 5

1 4 5

544.-

f ( x) = 2 x = 2( x ) ; Continua en todo R

545.-

1 14 f ( x) = x ; Continua en R0+ 3

546.-

f ( x) =

2 23 2 2 13 x = ( x ) ; Continua en todo R 3 3

547.-

f ( x) =

5 − 52 5 −2 15 x = ( x ) ; Continua en R − {0} 4 4

548.-

f ( x) =

3 − 13 x ; Continua en R − {0} 7

549.-

1 2 −3 2 f ( x) = − x 4 = − ( x −3 ) 4 ; Continua en R + 3 3

550.-

1 1 f ( x) = − x 0 = − ; Continua en todo R 4 4

551.-

f ( x) =

1 2 34 2 x + 1 = ( x3 ) 4 + 1. Continua en R0+ 5 5

552.-

f ( x) =

1 53 1 1 x + 5 = ( x3 ) + . Contínua en R 2 2 5

553.-

f ( x) = 2 x

−

3 5

1 1 12 1 12 −3 15 −3 5 + x = 2( x ) + x ;( x ) 2 2 1

Contínua en R-{0}; x 2 Contínua en R0+ ∴ f contínua en R +

127

554.-

f ( x) = x

−

1 2

1

+ x2 ; x

−

1 2

1

contínua en R + ; x 2 contínua en R0+ ∴

f contínua en R + 555.-

Contínua en R +

Sección LVIII.- Identifique los puntos de discontinuidad de f, si fe s: 556.-

557.-

558.-

559.-

560.-

561.-

562.-

⎧2 x − 1 ⎪x +1 ⎪ f ( x) = ⎨ 2 ⎪x ⎪⎩9 ⎧ x2 − 3 ⎪ ⎪⎪−2 f ( x) = ⎨ x − 5 ⎪ ⎪ x +1 ⎪⎩ 2

, x < −2 , −2 ≤ x < 0 ,0 ≤ x < 3 ,x ≥3 , x < −1 , −1 ≤ x < 0 ,0 ≤ x 0 x− b

Se hace contínua en x=b, si a) f (b)=0

b) f (b)=b d) f (b)= b 2

c) f (b)= b


La función h, tal que: h(x)=2x-1, es contínua sólo en: a) R-{-1}

1 b) R-{ } 2

1 c) R-{- } 2

d) R-{0}


La función f, tal que: f(x)= x − a con a>0, es contínua: a) sólo en R +

b) en todo R

c) sólo en R-{a}

d) sólo en R-{-a}


De la gráfica adjunta, es posible concluir que f:

d a

c

b

132

a) es contínua en todo R

b) es continua en [ a, b]

c) no es función

d) es continua en [ a, b] ∪ [ d , b ]

e) Ninguna de las anteriores 568.- Sea h, tal que: h(x)= a) es todo R

1 . se tiene que h es contínua: x

b) sólo en R-{0}

c) sólo en R +

d) sólo en R0 +


⎧ x 2 + 1 , si 0 < x < 2 , si x = 2 ⎪ x − 1 , si x > 2 ⎩

Sea g, tal que: g ( x) = ⎪2 ⎨

Se admite como MEJOR RESPUESTA: a) g es discontinua en R-{2} b) discontinuidad inevitable c) es contínua en tal punto

c) Nada, por ser funciones trigonometricas


Dadas las siguientes proposiciones: I) Una función no definida en un punto, puede hacerse contínua en tal punto II) Una función que no admite límite en un punto, PUEDE hacerse contínua en tal punto III) Una función contínua, SIEMPRE tiene límite en tal punto. Se puede concluir que son verdaderas: a) sólo I

b) sólo I y II

c) sólo III

d) sólo I y III


Dadas las siguientes proposiciones: 1

I) f ( x) = − x 3 , es contínua en todo R

133

3

II) f ( x) = 3 x 4 , es contínua en todo R −

3

III) f ( x) = 2 x 2 , es contínua sólo en R + Se puede concluir que son verdaderas: a) sólo I

b) sólo III

c) sólo I y III

d) todas son verdaderas

e) Ninguna es verdadera 572.-

La función g, tal que:

⎧ senx , si x < 0 ⎪ g ( x) = ⎨1 , si x = 0 ⎪cos x , si x > 0 ⎩

Se tiene que g presenta en x=0: a) discontinuidad removible

b) discontinuidad inevitable

c) es contínua en tal punto

d) Nada, por ser funciones trigonométricas

e) Ninguna de las anteriores. 573.-

Dada una función h, tal que en x=a: i) h (a)= c (c ∈ R − )

ii) lim h( x) = d (d ∈ R + ) x →a

Para que h sea continua en x=a, BASTA hacer:

574.-

a) h(a)= c

b) h(a)=-d

c) h(a)=d

d) lim h( x) = c

Sea f, tal que:

x→a

⎧ sen 2 x ⎪ f ( x) = ⎨ x ⎪0 ⎩

, si

x≠0

, si

x=0

f es continua en x=0, si: a) f (0)=sen x

b) f(0)=x

c) f (0)=1

d) ya es continua en x=0


La función h, tal que h(x)=fgx, es continua en: a) todo R

b) sólo R- R − { x / x = kπ , k ∈ Z }

134

c) sólo en R − {0}

d) sólo en R − { x / x = 2kπ , k ∈ Z }

e) Ninguna de las anteriores 576.- La función g, tal que:

⎧ x2 − a ⎪ g ( x) = ⎨ x − a ⎪ 2a ⎩

, si

x ≠ a ,a > 0

, si

x=a

Se verifica que g es continua: b) sólo en R +

a) en todo R c) sólo en

R0+

d) en R − {a}

e) Ninguna de las anteriores 577.- La función h, tal que:

⎧2 x − 1 ; x < −1 Verifica ⎪ h( x) = ⎨1 − 4 x 2 ; −1 ≤ x < 2 ⎪ x − 19 ; 2 ≤ x ≤ 3 ⎩

a) muestra dos puntos

que:

b) muestra discontinuidad

de discontinuidad

inevitable en x=-1

en ( −∞, 3] c) muestra discontinuidad

d) muestra discontinuidad

inevitable en x=2

removible en x=2

e) Ninguna de las anteriores. 578.- Dadas las siguientes proposiciones: I) Una función constante es siempre continua II) Una función idéntica es siempre continua III) Una función polinómica es siempre continua Se admiten como verdaderas: a) sólo I

b) sólo II

c) sólo III

d) sólo I y II

e) Ninguna de las anteriores 579.- Sea f una función en x. Par aun: x=a, se tienen las siguientes proposiciones: I) f(a) no existe ⇒ f discontinua en a II) lim f ( x )existe ⇒ f continua en a x→a

135

III) lim f ( x) = 0 ⇒ f discontinua en a x→a

Lo anterior permite admitir como verdaderas: a) sólo I

b) sólo II

c) sólo I y II

d) todas son verdaderas e) Ninguna de las anteriores

SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACION # 4 563.-

a

564.-

e

565.-

e

566.-

b

567.-

b

568.-

c

569.-

d

570.-

d

571.-

c

572.-

b

573.-

c

574.-

d

575.-

e

576.-

a

577.-

c

578.-

e

579.-

c

579.-


F ( x) =

( x + 2 ) ( x − 1) x −1 =∞ ; x ≠ 2, x ≠ −2;lim f ( x) = lim x→2 x→2 x + 1 ( x + 2) ( x − 2)

Discontinua en x=2 lim f ( x) = lim x − 1 = 3 x →−2

x →−2

x−2

4

Discontinua en x=-2 (a) 564.-

g ( x) =

(

x− b

(

)(

x+ b

x− b

)

)

= x + b ;lim g ( x) = x →b

lim( x + b ) = 2 b (e) x →b

565.-

h(x)=2x-1; e suna función polinómica, por tanto continua en todo R

566.-

f es una función valor absoluto de una expresión polinómica, continua en todo R. (b)

567.-

Es inmediato que e suna función continua en [ a, b] (b)

568.-

Para que h esté definida es indispensable que: 3x>0 ⇒ x>0. (c)

136

lim g ( x ) = lim− ( x 2 + 1) = 5

569.-

x → 2−

x→2

lim+ g ( x ) = lim+ ( x − 1) = 1

x→2

570.-

⇒ ∃ lim g ( x) x →2

(d)

x→2

I)Verdadera: basta que exista el límite y este sea finito. II) Falsa: Discontinuidad inevitable. III) Verdadera: la existencia del límite, una condición para la continuidad (d)

571.-

I) Exponente fraccionario de denominador impar (V) II) Exponente fraccionario de denominador par (F) III) Exponente fraccionario de denominador par (v) (c)

572.-

lim g ( x ) = lim− senx = 0; lim+ g ( x ) = lim+ cos x = 1∴

x → 0−

x→0

x→0

x→0

No existe lim g ( x) (b) x →0

573.-

Lo que se modifica es la primera condición, esto es: h(a)∴ h(a)=d (c) 1

574.-

0 senx.senx senx lim f ( x) = lim = lim senx .lim = 0 (d ) x →0 x →0 x → 0 x → 0 x x

575.-

tg ( x) = x=

576.-

π

π

,3 ,... en general para x = ( 2 x + 1)π , k ∈ Z (e) 2 2 2

lim g ( x) = lim x →a

senx ; tgx se indefine si cosx=0 y esto ocurre para cos x

x →a

( x − a) ( x + a) = lim( x + a ) = 2a x→a ( x − a)

(a )

577.- Examinaremos: x=-1; i) h (-1)=-3, ii) lim− h( x) = x →−1

= lim− (2 x − 1) = −3; lim+ h( x) = lim+ (1 − 4 x 2 ) = −3∴ x →−1

x →−1

x →−1

lim h( x) = −3. Examinando: x=2; i) h(2)=-17

x →−1

lim h( x) = lim− (1 − 4 x 2 ) = −15; lim+ h( x) =

x → 2−

x→2

x→2

lim ( x − 19) = −17 ∴ No existe lim h( x). contínua en x=-1, más no

x → 2+

x→2

contínua en x=2 (c) 578.- Obviamente las tres proposiciones son verdaderas (e)

137

I) Verdadera: incumplimiento de una de las condiciones implica discontinuidad. II) Falsa: cumplimiento de una de las condiciones No implica continuidad. III) Verdadera: " ∞ " no es un número real (no existe límite)(c)

138

SECCION LIX.- Calcular f´(x), mediante la expresión lim f ( x + h) − f ( x) , h →0 h

correspondiente a cada una de las siguientes funciones: 580.-

f ( x) =

582.-

1 2x

1 x+a

581.-

f ( x) =

f ( x) = x + a

583.-

f ( x) =

584.-

f ( x) = x + a

585.-

f ( x) =

586.-

f ( x ) = c (cte)

587.-

f ( x ) = senx

588.-

f ( x) = π 2

589.-

f ( x ) = cos θ

x 2 1 x

Soluciones: 580.-

1 1 x − ( x + h) − 2( x + h) 2 x 2 x ( x + h) f ′( x) = lim = lim = h →0 h →0 h h

x− x−h −h 2 x( x + h) = lim = lim h →0 h → 0 h 2x h ( x + h)

lim h→0

−1 −1 = 2 2 x ( x + h) 2 x

Sol.- f ( x) = 1 ⇒ f ′( x) = − 1 2 2x

581.-

x + a − ( x + h + a) 1 1 − ( x − a )( x + h + a ) = f ′( x) = lim x + h + a x + a = lim h→0 h→0 h h

= lim

x + a − x −h− a −h = lim h → 0 h( x + a )( x + h + a ) h( x + a)( x + h + a )

= lim

−1 −1 = ( x + a )( x + h + a) ( x + a) 2

h→0

h →0

Sol.- f ( x) = 1 ⇒ f ′( x) = x+a

582.-

2x

−1 ( x + a)2

( x + h + a) − ( x + a) x +h+ a − x − a = lim h →0 h →0 h h

f ′( x) = lim = lim h →0

h = lim1 = 1 h h →0

139

Sol.- f(x)=x+a ⇒ f ′( x ) = 1 583.-

f ′( x) = lim h →0

x+h x − 2 2 = lim h →0 h

x+h x+h x + − 2 2 2. h x+h + 2

x 2

=

x 2

x+h x h − 2 2 2 = lim = lim = h →0 h →0 x+h x x+h x + ) h( h( + ) 2 2 2 2

1

= lim h→0

2(

x+h x + ) 2 2

Sol.- f ( x) = 584.-

f ′( x) = lim h →0

= lim h→0

= lim h →0

1

= 4

x 2

=

1 x ⇒ f ′( x) = 2 8x

x+h+a − x+a x+h+a + x+a . = h x+h+a + x+a

x+h+a−x−a = h ( x + h + a + x + a) 1 1 = x + h + a + +a 2 x + a

Sol.- f ( x) = x + a ⇒ f ′( x) =

585.-

1 8x

f ′( x) = lim h →0

1 1 − x+h x = lim h →0 h

1 2 x+a

x − x+h x ( x + h) = h

= lim

x − x+h x − x+h x + x+h = lim = . h → 0 h( x ( x + h) h( x ( x + h) x + x + h

= lim

x −( x + h) −1 = lim h → 0 x( x + h)( x + x + h) h ( ( x + h)( x + x + h)

h →0

h →0

=

1 1 = x(2 x ) 2 x 3

140

Sol.- f ′( x) = 1 ⇒ f ′( x) = x

586.-

f ′( x ) = lim h→0

1 2 x3

c−c = lim 0 = 0 h→0 h

Sol.- f ( x ) = c ⇒ f ′( x) = 0 587..-

f ′( x ) = lim h→0

= lim h →0

sen( x + h) − senx = h

( senx.cosh + cos x) − senx h

= lim

( senx.cosh − senx) + cos x.senh h

= lim

senx(cosh − 1) cos x.senh + lim h → 0 h h

h →0

h→0

cosh − 1 senh = senx lim + cos x lim h →0 h → 0 h h = s e n x lim

h→ 0

1

c o sh − 1 c o s h + 1 . + cos x h cosh + 1

cos 2 h − 1 + cos x h →0 h(cosh + 1)

= senx lim

− sen 2 h + cos x h → 0 h(cosh + 1)

= senx lim senx lim( h →0

senh − senh )( ) + cos x h cosh + 1 0

− senh senx lim + cos x = cos x h →0 cosh + 1

Sol.- f ( x ) = senx ⇒ f ′( x ) = cos x 588.-

f ′( x) = lim

π 2 −π 2

h →0

h

= lim 0 = 0 h →0

Sol- f ( x) = π 2 ⇒ f ′( x) = 0 589.-

f ′( x ) = lim h →0

cos θ − cos θ = lim 0 = 0 h→0 h

Sol- f ( x ) = cos θ ⇒ f ′( x ) = 0

141

Sección LX.- Usando las reglas de derivación, calcular f¨(x) si f(x) es: 590.-

2

591.-

x3

592.-

3 x −4

593.-

1 x +1

594.-

3Z

595.-

0

596.-

x

597.-

senπ

598.-

senπ 2

599.-

sen

600.-

exp(ln x)

601.-

eln x

602.-

ln x 2

603.-

x −1 x +1

604.-

(2 x + 5) x

605.-

3 ln( sen 45º ) 2 5

π 2

2

Soluciones: 590.-

f ′( x ) = 0; f constante

591.-

f ′( x) = 3 x 2

592.-

f ′( x) = −4.3x −5 = −12 x −5

593.-

f ′( x) =

594.-

f ′( x ) = 0; f constante.

595.-


596.-

f ′( x) = −1, si; x < 0 f ′( x) = 1, si; x > 0

597.-


598.-


599.-


600.-

f ′( x ) = 1( f ( x ) = exp(ln x ) = x )

601.-

f ′( x ) = 2 x ( f ( x ) = e ln x = x 2

602.-

f ′( x ) =

−1 ( x + 1) 2

; f ′( x ) No existe si x=0

2

1 2 .2 x = 2 x x

142

603.-

604.-

606.-

f ′( x) =

( x + 1) − ( x − 1) x + 1 − x + 1 2 = = 2 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)2

1 − 1 f ′( x) = (2 x + 5). ( x + 2) 2 + ( x + 2)2 = 2 2x + 5 2 x + 5 + 4( x + 2) = +2 x+2 = 2 x+2 2 x+2 2 x + 5 + 4 x + 8 6 x + 13 = = 2 x+2 2 x+2


Sección LXI.- Usando las reglas de derivación. Calcular f ′( x ), si; f ( x )es :

606.-

3senx + 1

607.-

2 x2 − x + 2

608.-

x n +1 + c

609.-

e x +1 + x

610.-

5arctgx + 2 x

611.-

2 x +1

612.-

senx + cos x

613.-

5

614.-

(3cos cx)0

615.-

ln(

616.-

sen(tgx)

617.-

cos(sec 2 x )

618.-

ln 2 cos x

619.-

3sen 2 2 x

620.-

e sen 2 x

621.-

secθ − 1 sec θ + 1 ) + ln( ) tgθ tgθ

ln x x

2x + 3 3x

623.-

sen2 x ln x

π

624.-

e

2

625.-

ln[tg 2 (1 − θ )]

626.-

ln[tg 2 x]

627.-

sen(cos(tgx ))

628.-

e x+e

629.-

e x + ee

630.-

ln e3 x −1

631.-

exp(ln cos x )

632.-

eln( sen x −cos

622.-

cos

x

2

2

x

x)

Soluciones: 606.-

f ′( x ) = 3cos x

143

607.-

f ′( x ) = 4 x − 1

608.-

f ′( x) = (n + 1) x n

609.-

f ′( x) = e x +1 + 1

610.-

f ′( x) =

611.-

f ′( x) = 2 .

612.-

f ′( x ) = cos x − senx

613.-

f ′( x ) = 0

614.-

f ′( x ) = 0

615.-

5 +2 1 + x2

1 − 12 1 x = 2 x

0 (secθ − 1)(secθ + 1) sec2 θ − 1 = ln = ln1 2 2 tg θ tg θ ⇒ f ′( x) = 0

f ′( x) = ln

616.-

f ′( x) = [cos(tgx)]sec 2 x

617.-

f ′( x) = −[ sen(sec 2 x)].2sec x.sec x.tgx =

= −[ senx(sec 2 x)].2sec2 x.tgx

618.-

f ′( x) = 2(ln cos x).

1 (− senx) = cos x

= −2tgx[ln(cos x )]

619.-

f ′( x) = 6( sen2 x)(cos 2 x)2 = 12 sen 2 x cos 2 x

620.-

f ′( x) = esen 2 x .(cos 2 x).2 = 2cos 2 xesen 2 x

621.-

1 x. − ln x 1 − ln x = f ′( x) = x 2 x x2

622.-

1 − 1 3x. (2 x + 3) 2 .2 − 2 x + 3.3 2 = f ′( x) = 9x2

=

=

3x − 3 2x + 3 3x − 3(2 x + 3) 2x + 3 = = 2 9x 9 x2 2 x + 3

3x − 6 x − 9 −3 x − 9 − 3 ( x + 3) = = 2 = 2 9x 2x + 3 9x 2x + 3 3 9 x2 2x + 3

144

=

623.-

−( x + 3) 3x 2 2 x + 3 (ln x).2 senx cos x − sen 2 x −

f ′( x) =

=

ln 2 x

2 senx cos x ln x − ln 2 x

1 x =

sen 2 x x

624.-

f ′( x ) = 0

625.-

f ′( x ) = 0

626.-

f ′( x) =

627.-

f ′( x) = [cos x(cos x(tgx))][− sen(tgx)]sec2 x =

1 sec2 x 2 .2tgx.sec2 x = 2 = 2 tg x tgx cos xsenx

= −[cos(cos(tgx))][ sen(tgx)]sec2 x

628.-

f ′( x) = e x +e (1 + e x )

629.-

f ′( x) = e x + ee .e x = e x + ee

630.-

f ′( x ) = 3 x − 1 ⇒ f ′( x ) = 3

631.-

f ′( x ) = cos x ⇒ f ′( x ) = − senx

632.-

f ( x ) = sen 2 x − cos 2 x ⇒ f ′( x) = 2 senx cos x − 2 cos x(− senx)

x

x

x

+x

Sección LXII.- Usando las reglas de derivación, calcular f ′( x ) si f(x) es: 633.635.-

cos x − senx ln x π

(cos 2 ) ln 2 2

634.-

ln e eln e

636.-

x + 2z z + 2x

637.-

1 + e + ex

638.-

sen(ln senx)

639.-

e2 x + 1 e2 x

640.-

arctg ( senx )

641.-

arctg

642.-

senθ x

643.-

arctgsen 2 x

644.-

1 + x + x2

π 2

145

645.-

( sen 2 x + cos 2 x)5

646.-

(1 − sen 2 x)7

647.-

ln arctgx

648.-

(

649.-

(sec 2 x − 1)6

650.-

( x − 5)0

651.-

6( x 5 − 3 x 4 − 2) 2

652.-

e sen

653.-

cos( sen(cos y ))

5 − 2 x )3 x

2

(ln e )

Soluciones: 633.-

f ′( x) =

=

ln x(− senx − cos x) − (cos x − senx) ln 2 x

−( senx + cos x) ln x − ln 2 x

634.-

f ′( x ) = 0

635.-

f ′( x ) = 0

636.-

f ′( x) =

637.-

f ′( x) = e x

638.-

f ′( x) = [cos(ln senx )]

1 x=

cos x − senx x

( z + 2 x ) − ( x + 2 z )2 z + 2 x − 2 x − 4 z = ( z + 2 x) 2 ( z + 2 x) 2

1 .cos x senx

= ctgx[cos(ln x )]

639.-

f ′( x) =

e2 x e2 x .2 − (e2 x + 1)e2 x .2 2e4 x .2e4 x .2e2 x 2 = = 2x 4x 4x e e e

640.-

f ′( x) =

1 cos x .cos x = 2 1 + sen x 1 + sen 2 x

641.-

f ′( x ) = 0

642.-

f ′(x) =θ senθ −1x(cos x)(supuesto :θ ∈Q)

643.-

f ′( x) =

644.-

f ′( x) = 2(1 + x + x 2 )(1 + 2 x)

645.-

f ′( x) = 15 = 1 ⇒ f ′( x) = 0

1 2senx cos x .2senx cos x = 1 + sen 4 x 1 + sen 4 x

146

646.-

f ′( x) = (cos 2 x)7 = cos14 x ⇒ f ′( x) = 14 cos13 x(− senx) ⇒ f ′( x) = −14 cos cos13 x.senx

1 1 1 . = 2 arctgx 1 + x (arctgx)(1 + x 2 )

647.-

f ′( x) =

648.-

f ′( x ) = 3(

649.-

f ( x) = (tg 2 x) 6 = tg 12 x ⇒ f ′( x) = 12tg 11 x.sec 2 x

650.-

f ( x) = 1 ⇒ f ′( x ) = 0

651.-

f ′( x) = 12( x5 − 3 x 4 − 2)(5 x 4 − 12 x)

652.-

f ′( x ) = 0

653.-

f ′( x ) = 0

5 − 2 x)2 ( x

−5.

1 2 x − 2) = 3( 5 − 2 x ) 2 ( −5 − 2 x) x x 2x x

Sección LXIII.- Dada una función, calcular su derivada tal como lo indica cada ejercicio mostrado a continuación: 654.-

f ( x) = e 2 x + ln x 2 ⇒ f ′( x) = ?

655.-

g (t ) = e2 x + ln x 2 ⇒ g ′(t ) = ?

656.-

h( x) = ln x 3 − ln x 2 ln( x + 1) ⇒ h′( x) = ?

657.-

F ( x) = ln

x3 + 3x 2 + 1 ⇒ F ′( x) = ? x−5

658.-

G( z) =

xz + z ⇒ G′( z ) = ? 3

659.-

H ( z) =

3 2 2 z − z ( z + 1)5 + z ⇒ H ′( z ) = ? 2

Soluciones: 654.-

f ′( x) = e 2 x .2 +

655.-

g ′(t ) = 0

656.-

657.-

1 2 .2 x = 2e 2 x + 2 x x

1 1 1 3 2 1 .3 x 2 − 2 .2 x + = − + = x3 x x +1 x x x +1 1 1 x +1+ x 2x +1 = + = = x x + 1 x( x + 1) x( x + 1) h′( x) =

F ( x ) = ln x 3 + 3 x 2 + 1 − ln x − 5 ⇒

147

=

658.-

659.-

3 x( x + 2) 1 − 3 2 x + 3x + 1 x − 5

G′( z ) =

1 xz + z − 12 ( ) ( x + 1) = 2 3

x +1 x +1 3 = 2 xz + z xz + z 2 3

3 H ′( z ) = .2 z − z 2 .5( z + 1) 4 + ( z + 1)5 .2 z + 1 2

= 3 z − 5 z 2 ( z + 1) 4 + 2 z ( z + 1)5 + 1

Sección LXIV.- Dada una función, calcular su derivada elevada en un punto, tal como se indica a continuación: 660.-

f ( x) = e x +1senx ⇒ f ′(0) = ?

661.-

f ( x) = (ln 2 x) cos x ⇒ f ′(π ) = ?

662.-

f ( x) =

e x + e− x ⇒ f ′(0) = ? 2

663.-

f ( x) =

e x − e− x ⇒ f ′(1) = ? 2

664.-

f ( x) = senx cos x + e x cos x ⇒ f ′( ) = ? 2

665.-

f ( x) = (ln x 2 ) cos x ⇒ f ′(π ) = ?

666.-

f ( x) = (ln cos 2

667.-

f ( x) = ecos x ⇒ f ′( ) = ? 4

668.-

x f ( x) = cos( sen ) ⇒ f ′(π ) = ? 2

669.-

f ( x) = ln(tgx 2 ) ⇒ f ′(0) = ?

670.-

f ( x) = ln senx − ln cos x ⇒ f ′( ) = ? 4

671.-

f ( x) = e sen x .ecos x ⇒ f ′( ) = ? 8

672.-

f ( x) = ln(sec 2 x − 1) − ln tg 2 x ⇒ f ′( ) = ? 6

π

π 2

) ⇒ f ′(0) = ?

π

2

π

2

2

π

π

148

673.-

f ( x) = ln e

sen 2

x 2

⇒ f ′(0) = ?

Soluciones: 660.-

f ′( x) = e x +1.cos x + senxe x +1 ⇒ f ′(0) = e0+1.cos 0 + sen0.e0+1 = e 1

661.- f ′( x) = (ln 2 x)(− senx) + cos x. 2 x 2 = − senx ln 2 x + + x cos x ⇒ f ′(π ) = − senπ ln 2π + π cos π = −π

662.-

e x − e− x e0 − e0 ⇒ f ′(0) = =0 2 2

f ( x) =

e +e 2 x

−x

−1

e+e = 2

1 e2 + 1 2 e = e ⇒ f ′(1) = e + 1 2 2 2e

e+

663.-

f ′( x) =

664.-

f ′( x) = senx(− senx) + cos x(cos x) + e x (− senx) + cos xe x =

⇒ f ′(1) =

− sen 2 x + cos 2 x + e x (cos xsenx) ⇒ π

π

= −1 + 0 + e (0 − (−1) = −1 + e 2 2

665.-

f ′( x) = (ln x 2 )(− senx) + cos x.

1 x2

.2 x =

2 cos x x

= − senx.2 ln x +

⇒ f ′( x) = −2senπ .ln π +

2 cos π

π

=−

2

π

666.-

f ′( x ) = 0; (f función constante) ⇒ f ′(0) = 0

667.-

f ′( x) = ecos x .2 cos x(− senx) = −2ecos x cos xsenx

2

π

⇒ f ′( ) = −2e 4

2

(

2 2 ) 2

(

1 1 2 2 1 . ) = − 2 2 . = −e 2 2 2 2

668.-

π x x 1 f ′( x) = [ sen( sen )](cos ). ⇒ f ′(π ) = 0, ya que cos = 0 2 2 2 2

669.-

f ′( x) =

que 670.-

1 2 x sec2 x 2 2 2 = ⇒ f ′(0) .sec x 2 x tgx 2 tgx 2

no esta definida, ya

tgx 2 = 0

f ( x) = ln tgx ⇒ f ′( x) =

1 sec 2 x sec 2 x = ⇒ tgx tgx

149

sec2

π

π

4 = ⇒ f ′( ) = π 4 tg 4 2

(

2 2 ) 2 =2 1

π

2

671.-

f ′( x) = e sen x + cos x = e ⇒ f ′( x) = 0 ⇒ f ′( ) = 0 8

672.-

f ( x) = ln

673.-

f ( x ) = sen 2

sec 2 x − 1 π = ln1 = 0 ⇒ f ′( x) = 0 ⇒ f ′( ) = 0 6 tg 2 x x x x 1 ⇒ f ′( x) = 2( sen )(cos ). ⇒ 2 2 2 2

f ′(0) = 2 sen(0) cos(0).

1 =0 2

Sección LXV.- Dada una función, cuya representación geométrica es una curva de un plano, obtener la ecuación de la tangente y de la normal en un punto de ella, si: 674.-

f ( x) = 3 x 2 + 5 x − 2, en (0, −2)

675.-

g ( x) =

676.-

h( x) = e 2 x + 1, en (0, 2)

677.-

F ( x ) = 4, en ( −5, 4)

x +1 , en (1,1) 2x

π

2 ) 2

678.-

G ( x) = sen 4 , en (1,

679.-

H ( x) = e

674.-

f ′( x ) = 6 x + 5 ⇒ m = f ′(0) = 5 ∴ Ecuac. de tang:

sen

π 4

π

2

, en ( , e 2 ) 4

Soluciones: y + 2 = 5( x − 0) ⇒ y + 2 = 5 x ⇒ −5 x + y = 2

1 1 Ecuac. normal: m⊥ = − ∴ y + 2 = − x ⇒ 5 5 5 y + 10 = − x ⇒ x + 5 y + 10 = 0

675.-

g ′( x) =

2 x − ( x + 1)2 2 x − 2 x − 2 −2 = = 2 ⇒ m = g ′(1) = 4x2 4x2 4x

150

1 1 = − ∴ Ecuac. de tg: y − 1 = − ( x − 1) ⇒ 2 2 2 y − 2 = − x + 1 ⇒ x + 2 y = 3. Ecuac. normal:

m⊥ = 2 ∴ y − 1 = 2( x − 1) ⇒ y − 1 = 2 x − 2 ⇒ −2 x + y = −1 h′( x) = 2e2 x ⇒ m = h′(0) = 2 ∴ Ecuac. de Tang:

676.-

y − 2 = 2 x ⇒ −2 x + y = 2. Ecuac. de normal.

1 1 m⊥ = − ∴ y − 2 = − x ⇒ 2 y − 4 = − x ⇒ x + 2 y = 4 2 2 F ′( x ) = 0 ⇒ m = F ′( −5) = 0 ∴Ecuac. de tang:

677.-

y − 4 = 0 ⇒ y = 4; Ecuac. de norma. x = −5 G ′( x ) = 0 ⇒ m = G ′(1) = 0 ∴ Ecuac. de tang:

678.-

y−

2 2 ; Ecuac. de normal: x=1 =0⇒ y = 2 2

π

H ′( x) = 0 ⇒ m = H ′( ) = 0 ∴ Ecuac. de tang: 4

679.-

2

2

y − e 2 = 0 ⇒ y = e 2 ; Ecuac. de normal: x=

π 4

Sección LXVI.- Dada las proposiciones que se muestran a continuación, decida si son verdaderas (V) o falsas (F). En caso de ser verdaderas, demuéstrelo. En caso de ser falsas, de un contraejemplo. 680.- Toda función contínua, admite derivada. 681.- La derivada de toda función constante e cero. 682.- Toda función contínua (que no conlleven valor absoluto), admiten derivada. 683.- La derivada del a función idéntica es la unidad. Soluciones: 680.-

Falsa: Contraejemplo: f ( x) = x . Esta función es contínua en todo R, sin embargo no es derivable en x=0

151

681.-

Verdadera:

sea

x ∈ R ; f ′( x) = lim h→0

682.-

f(x)=c

para

todo

f ( x + h) − f ( x ) c−c = lim = lim 0 = 0 h → 0 h →0 h h

Falsa: Contraejemplo: f ( x ) = x ⇒ f ′( x) =

1 − 12 1 x = . 2 2 x

Esta

función es continua en x=0, sin embargo no es derivable en tal valor de x. 683.-

Verdadera: sea f(x)=x, para todo x ∈ R; f ′( x) = lim h→0

x+h−x f ( x + h) − f ( x ) = lim1 = 1 = lim h → 0 h→0 h h

Sección LXVII.- Calcular: 684.-

f ( x ) = senx ⇒ f ′′( x ) = ?

685.-

g ( x) = ln cos x ⇒ f ′′( x) = ?

686.-

h( x ) =

687.-

f ( x) = ln x − ln x 2 ⇒ f ′′( x) = ?

688.-

g ( x) = sen(ln ) ⇒ g ′′( x) = ? 2

689.-

h( x) = ln 2 x ⇒ h′′( x) = ?

690.-

f ( x ) = 2 ⇒ f ′′( x ) = ?

691.-

g ( x) =

692.-

h( x) = e x ⇒ h′′( x) = ?

693.-

f ( x) = ln e x ⇒ f ′′( x) = ?

694.-

g ( x) = eln x ⇒ g ′′( x) = ?

695.-

h ( x ) = ln e ⇒ h′′( x ) = ?

696.-

f ( x ) = 0 ⇒ f ′′( x ) = ?

1 ⇒ h′′( x) = ? x

π

π 2

⇒ g ′′( x) = ?

Soluciones:

152

684.-

f ′( x ) = cos x ⇒ f ′′( x ) = − senx

685.-

g ′( x) =

686.-

h′( x ) = −

687.-

f ( x ) = ln =−

1 (− senx) = −tgx ⇒ g ′′( x) = − sec 2 x cos x 1 − ( −2 x ) 2 ⇒ h′′( x) = = 3 2 x x4 x 0 x 1 = ln = ln1 − ln x = − ln x ⇒ f ′( x) = 2 x x

1 1 ⇒ f ′′( x) = 2 x x

688.-

g ′( x ) = 0 ⇒ g ′′( x ) = 0

689.-

h′( x) = 2(ln x )

=

1 2 1 1 ⇒ h′′( x ) = . + 2(ln x)(− 2 ) x x x x

2 2 2 − 2 ln x = 2 (1 − ln x ) 2 x x x

690.-

f ′( x ) = 0 ⇒ f ′′( x ) = 0

691.-

g ′( x ) = 0 ⇒ g ′′( x ) = 0

692.-

h′( x) = e x ⇒ h′′( x) = e x

693.-

f ( x ) = x ⇒ f ′( x ) = 1 ⇒ f ′′( x ) = 0 g ( x ) = x ⇒ g ′( x ) = 1 ⇒ g ′′( x ) = 0

694.-

g ( x ) = x ⇒ g ′( x ) = 1 ⇒ g ′′( x ) = 0

695.-

h′( x) = 0 ⇒ h′′( x ) = 0

696.-

f ′( x ) = 0 ⇒ f ′′( x ) = 0

Sección LXVIII.- Derivar implícitamente con respecto a x. Suponga que ye s función derivable con respecto a x. 697.-

6 x 2 + 12 y 2 − 1 = 0

698.-

x 4 + 2 x 2 y 3 + 3 xy 3 + 5 = 0

699.-

x2 + y2 = e

700.-

x5 + 3 x 2 y − xy 6 − 52

701.-

senx + cos y = 1

1

1

153

702.-

sen 2 2 x − sen 2 2 y = 0.2

703.-

e2 x+2 y + 1 = 2 x

704.-

ex + e y = cos( x + y ) 2

Soluciones: −12 x x ⇒ y′ = − 24 y 2y

697.-

12 x + 24 yy′ = 0 ⇒ y′ =

698.-

4 x 3 2 x 2 3 y 2 y ′ + 2 y 3 2 x + 3 x3 y 2 y ′ + 3 y 3 = 0 ⇒ ⇒ 4 x3 + 6 x3 y 2 y′ + 4 y 3 x + 9 xy 2 y′ + 3 y 3 = 0 ⇒

⇒ y′(6 x 2 y 2 + 9 xy 2 ) = −(4 x 3 + 4 y 3 x + 3 y 3 ) y′ = −

4 x3 + 4 y 3 x + 3 y 2 6 x 2 y 2 + 9 xy 2 1

699.-

700.-

1 − x2 1 − 12 1 − 12 x + y y′ = 0 ⇒ y′ = 2 1 ⇒ y′ = − 2 2 1 −2 y 2

y x

5 x 4 + 6 xy + 3 x 2 y′ − 6 xy 5 y′ − y 6 = 0 ⇒ ⇒ y′(3x 2 − 6 xy 5 ) = y 6 − 5 x 4 − 6 xy ⇒ ⇒ y′ =

y 6 − 5 x 4 − 6 xy 3x 2 − 6 xy 5 cos x seny

701.-

cos x − senyy′ = 0 ⇒ y′ =

702.-

2 sen 2 x.cos 2 x.2 − 2 sen 2 y.cos 2 y.2 y ′ = 0 ⇒

⇒ 4sen 2 x cos 2 x − 4sen 2 y.cos 2 y. y′ = 0 ⇒ ⇒ y′ =

703.-

4sen2 x cos 2 x sen 2 x cos 2 x ⇒ y′ = sen2 y cos 2 y 4 sen 2 y cos 2 y

e2 x + 2 y (2 + 2 y′) = 2 ⇒ 2e2 x + 2 y + 2 y′e2 x + 2 y = 2 ⇒ y′e 2 x + 2 y = 1 − e 2 x + 2 y ⇒ y ′ =

704.-

1 − e2 x+ 2 y e2 x+2 y

ex e y + y ′ = [ sen( x + y )](1 + y′) ⇒ 2 2

154

ex e y + y′ = sen( x + y ) + y′sen( x + y ) ⇒ 2 2 ey ex ⇒ y′( − sen( x + y )) = sen( x + y ) − ⇒ 2 2 sen( x + y ) − e x ⇒ y′ = y e − sen( x + y ) 2 ⇒

Sección LXIX.- Construir una gráfica que: 705.-

Corresponda a una función continua en el intervalo [0, 5] y tenga su valor máximo en tres puntos diferentes.

706.-

Corresponda a una función continua en el intervalo [ −2, 3] , que tenga su valor máximo en dos puntos diferentes su mínimo en cuatro puntos diferentes.

707.-

Corresponda a una función continua en el intervalo [0, 4] y tenga su valor máximo en cada punto del sub. intervalo 1 1 [ ,3 ] 2 2

708.-

Corresponda a una función discontinua en un punto del intervalo [1, 6], y que tome sus valores máximos y mínimos en este intervalo.

709.-

Corresponda a una función f continua en el intervalo ( −∞, ∞ ) tal que: −1 < f ( x ) < 2, para todo x ∈ R y que no tenga máximo ni mínimo en este intervalo.

Soluciones:

MAXIMOS

705.-

0

1

2

3

706.-

4

5

6

MAXIMOS

-3

-2

-1

0

1

MINIMOS

2

3

4

155

707.-

MAXIMOS

0

1

708.-

2

3

4

5

MAXIMOS MINIMOS

0

1

2 3 4 Pto.disconinuidad

5

6

7

3

709.-

2 1 0 -1 -2

Sección LXX.- Encontrar los valores máximos y/o mínimos para una función dada en un intervalo dado: 710.-

f ( x) = 5 x 2 + 10 x − 1, en : −2 ≤ x ≤ 2

711.-

f ( x) = 4 x 2 − 8 x + 2, en : −1 ≤ x ≤ 1

712.-

f ( x) = x3 − 1, en : 0 ≤ x ≤ 3

156

713.-

f ( x ) = x + 1, en : −3 ≤ x ≤ 0

714.-

f ( x ) = 2, en : 0 ≤ x ≤ 5

715.-

⎧⎪ x 2 + 2, x ∈ [0,1] , en :[0, 2] f ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩− x + 1, x ∈ (1, 2]

716.-

2 ⎧− ⎪ x + 3 x − 1, x ∈ [0, 2] , en :[0, 3] f ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩− x + 2 x, x ∈ (2,3]

1

717.-

1

x 3 + y 3 = 3 , en : −27 ≤ x ≤ 27

Soluciones: 710.-

f ′( x) = 10 x + 10; f ′( x) = 0 ⇒ 10 x + 10 = 0 ⇒ x = −1; 1 ∈ (−2, 2); f ′′( x ) = 10 > 0 ∴ en; x = −1, f presenta un mínimo;f

f(-2)=20-20-1=-1 f (-1)=5-10-1=-6 f (2)=20+20-1=39 711.-

f ′(x) = 8x − 8; f ′(x) = 0 ⇒ 8x − 8 = 0 ⇒ x = 1; 1∈( −1,1); f (-1)=4+8+2=14

f (1)04-8+2=-2 712.-

f ′( x) = 3 x 2 ; f ′( x) = 0 ⇒ 3 x 2 = 0 ⇒ x = 0; 0 ∈(0,3). f (0) = −1, f (3) = 27 − 1 = 26

Sol.- En x=0, f admite mínimo: f (0)=-1 En x=3, f admite máximo: f (3)=2 713.-

f ′( x ) = 1, f ′( x ) = 0 para todo x ∈ R

f(-3)=-3+1=-2; f(0)=0+1=1 Sol.- En x=-3, f admite mínimo: f (-3)=-2 En x=0, f admite máximo: f (0)=1 714.-

f es una función CONSTANTE. Si los máximos y mínimos se entienden en forma ESTRICTA, entonces no los hay. Si No es ESTRICTA,

entonces

cada

punto

cumple

con

tales

propiedades.

157

715.-

⎧2 x, si; x ∈ [0,1] ⇒ f ′( x ) = 0 ⇒ f ′( x) = ⎨ ⎩−2 x, si; x ∈ (1, 2] ⎧ 2 x = 0; x ∈ [0,1] ⇒⎨ ⎩ −2 x = 0; x ∈ (1, 2] ⎧ x = 0; 0 ∈ [0,1] ⇒⎨ ⎩ x = 0; 0 ∈(1, 2)

f (0)=2 f (1)=3 f (2)=-3 Sol.- En x=1, f admite máximo: f (1)=3 En x=2, f admite mínimo: f (2)=-3 716.-

⎧−2 x + 3, si; x ∈ [0, 2] ⇒ f ′( x) = ⎨ ⎩−2 x + 2, si; x ∈ (2,3]

f ′( x ) = 0

⎧−2 x + 3 = 0; x ∈ [0, 2] ⇒⎨ ⎩−2 x + 2 = 0; x ∈ (2,3] 3 3 ⎧ ⎪ x = con ∈ (0, 2) ⇒⎨ 2 2 ⎪ x = 1; con1∈(2,3) ⎩

3 por examinar x = ; 2

3 3 f ′′( x ) = −2 < 0 ∴ f ′′( ) = −2, esto es, en x = , 2 2

existe máximo relativo. f (0)=3; f ( 3 ) = 0 , f (2)=-1, f (3)=-4 2

Sol.- En x=3, f admite mínimo; f (3)=-4 En x=0, f admite máximo; f (0)=3 717.-

1

1

1

1

y 3 = 3 − x 3 ⇒ y = (3 − x 3 )3 ⇒ f ( x) = (3 − x 3 )3 1 3 2

1

1 −2 − 3 (3 − x 3 ) 2 ⇒ f ′( x) = 3(3 − x ) (− x 3 ) = 2 3 3x3

158

1

⇒ f ′( x) =

−(3 − x 3 ) 2 x

2 3

1

; f ′( x) = 0 ⇒ −(3 − x 3 ) 2 = 0

1 3 2

1

1

⇒ (3 − x ) = 0 ⇒ 3 − x 3 = 0 ⇒ x 3 = 3 ⇒ x = 27; 27 ∈ (−27, 27) ∴ f ( −27) = (3 − 3 −27)3 = 216

f (27) = (3 − 3 27 )3 = 0

Sol.- En x=27, f admite mínimo: f (27)=0 En x=-27, f admite máximo: f(-27)=216 Sección LXXI.- Dada f tal como se indica a continuación, encontrar todos los valores de x0 , que satisfacen el teorema del valor medio, esto es, dado además los valores de a y b 718.-

f ( x ) = 3; a = −1, b = 2

719.-

f ( x ) = x; a = −3, b = 3

720.-

f ( x ) = 2 x + 1; a = −2, b = 5

721.-

f ( x ) = cos x; a = 0, b = π

722.-

f ( x ) = senx; a =

723.-

f ( x) =

724.-

f ( x) = x 2 − 5 x − 6; a = 1, b = 3

725.-

f ( x) = x3 − 2 x 2 + 10 x; a = −1, b = 2

726.-

f ( x ) = x + 5; a = −3, b = 0

727.-

f ( x ) = π ; a = −π , b = π

π 2

,b = π

x+3 ; a = 1, b = 2 x+2

Soluciones: 718.-

f (a) = f (−1) = 3 f (b) − f (a) 3 − 3 ⇒ = =0 f (b) = f (2) = 3 b−a 2 +1

f ′( x0 ) = 0 ⇒ 0 = 0. Todos los x0 ∈ [−1, 2] satisfacen el T.V.M

719.-

f ( a ) = f (−3) = −3 f (b) = f (3) = 3

⇒

f (b) − f (a ) 3 + 3 = =1 b−a 3+3

f ′( x0 ) = 1 ⇒ 1 = 1. Todos los x0 ∈ [−3,3] satisfacen

159

el T.V.M 720.-

f (a ) = f (−2) = −3 f (b) = f (5) = 11

⇒

f (b) − f ( a ) 11 + 3 = =2 b−a 5+ 2

f ′( x0 ) = 2 ⇒ 2 = 2. Todos los x0 ∈ [−2,5] satisfacen el

T.V.M f (a ) = f (0) = cos 0 = 1

721.-

f (b) = f (π ) = cos π = −1 f ′( x0 ) = − senx ⇒ − senx0 =

x0 = arcsen

2

π

,

⇒

−2

π

f (b) − f ( a ) −1 − 1 −2 = = b−a π −0 π

⇒ x0 = arcsen

2

π

Satisface el T.V.M

π

π

f (a) = f ( ) = sen = 1 f (b ) − f ( a ) 0 − 1 − 1 − 2 ⇒ = = = 2 2 π π b−a π − π f (b) = f (π ) = senπ = 0 2 2

722.-

f ′( x0 ) = cos x ⇒ cos x0 =

−2

π

⇒ x0 = arccos(

−2

π

) ⇒ x0 = arccos(− 2 ) π

2 x0 = arccos(− ) Satisfacen el T.V.M

π

723.-

5 4 1+ 3 4 − = f b f a ( ) ( ) − −1 1+ 2 3 ⇒ =4 3= b−a 1 12 2+3 5 f (b) = f (2) = = 2+2 4

f (a) = f (1) =

f ′( x0 ) = −

( x0 + 2) − ( x0 + 3) x0 + 2 − x0 − 3 −1 = = ⇒ 2 2 ( x0 + 2) ( x0 + 2) ( x0 + 2) 2

1 1 = − ⇒ ( x0 + 2) 2 = 12 ⇒ x0 2 + 4 x0 + 4 = 12 ⇒ 2 ( x0 + 2) 12

x0 2 + 4 x0 − 8 = 0 ⇒ x0 =

⇒ x0 =

−4 ± 16 + 32 ⇒ 2

−4 ± 48 −4 ± 4 3 ⇒ x0 = ⇒ x0 = −2 ± 2 3 2 2

x0 = −2 + 2 3, Satisface el T.V.M. x0 = −2 − 2 3 ∈[1, 2] 724.-

f ( a ) = f (1) = 1 − 5 − 6 = −10 f (b) − f ( a ) −12 + 10 ⇒ = = f (b) = f (2) = 9 − 15 − 6 = 12 b−a 3 −1

160

−2 = −1 f ′( x0 ) = 2 x0 − 5 ⇒ 2 x0 − 5 = −1 ⇒ 2 x0 = 4 ⇒ x0 = 2 2

=

x0 = 2, Satisface el T.V.M f (a ) = f (−1) = −1 − 2 − 10 = −13 f (b) − f (a ) 20 + 13 ⇒ = = f (b) = f (2) = 8 − 8 + 20 = 20 b−a 2 +1

725.-

=

33 = 11; f ′( x0 ) = 3x0 2 − 4 x0 + 10 ⇒ 3

⇒ 3 x0 2 − 4 x0 + 10 = 11 ⇒ 3 x0 2 − 4 x0 − 1 = 0 ⇒ ⇒ x0 =

4 ± 16 + 1 4 ± 28 4 ± 2 7 ⇒ x0 = = ⇒ 6 6 6

⇒ x0 = x0 =

2− 7 , Satisface el T.V.M 3

2+ 7 Idem 3

f ( a ) = f ( −3) = −3 + 5 = 2 f (b) − f (a ) 5 − 2 ⇒ = =1 f (b) = f (0) = 0 + 5 = 5 0+2 b−a

726.-

f ( x ) = 1 ⇒ 1 = 1; Todos los x0 ∈ [−3, 0] Satisface el T.V.M f ( a ) = f (−π ) = π

727.-

f (b) = f (π ) = π

⇒

f (b) − f ( a ) π − π = = 0; b−a π +π

f ( x0 ) = 0 ⇒ 0 = 0; Todos los x0 ∈ [−π , π ] Satisface el T.V.M

Sección LXXII.- Determinar los intervalos para los cuales, la función es creciente o decreciente, además de los puntos singulares si lo hubiere. 728.-

f ( x) = x + 3

729.-

f ( x) = −3x +

730.-

f ( x) = x 2 − 1

731.-

f ( x) = x 2 + x

732.-

f ( x) = 3x 2 + 6

733.-

f ( x) = x 2 + 4 x + 1

734.-

f ( x) = x 2 − 3x − 8

735.-

f ( x) = − x 2 + 3 x + 4

736.-

f ( x) = x 4 + 2 x3

737.-

f ( x) = −

738.-

f ( x) =

739.-

f ( x) =

x x +1 2

1 3

x3 − x 2 + 3x − 6 3

3x − 2 2x + 3

Soluciones:

161

728.

f ′( x ) = 1 ⇒ f ′( x ) > 0, para toda x ∈ R.

Sol.- Creciente en todo R, sin puntos singulares. 729.

f ′( x ) = −3 ⇒ f ′( x ) < 0, para toda x ∈ R.

Sol.- Decreciente en todo R, sin puntos singulares 730.

f ′( x) = 2 x; f ′( x) > 0 ⇒ 2 x > 0 ⇒ x > 0; f ′( x) < 0 ⇒ 2x < 0 ⇒ x < 0 Sol.- Creciente en R + ; decreciente en R − ; punto singular en: x=0

731.

1 f ′( x) = 2 x + 1; f ′( x) > 0 ⇒ 2 x + 1 > 0 ⇒ x > − ; 2 1 f ′( x) < 0 ⇒ 2 x + 1 < 0 ⇒ x < − 2

1 1 Sol.- Creciente en (− , ∞) ; decreciente en (−∞, − ) ; punto 2 2

singular en: x= − 732.

1 2

f ′( x) = 12 x; f ′( x) > 0 ⇒ 12 x > 0 ⇒ x > 0; f ′( x) < 0 ⇒ 12 x < 0 ⇒ x < 0

Sol.- Creciente en R + ; decreciente en R − ; punto singular en: x=0 733.

f ′( x) = 2 x + 4; f ′( x) > 0 ⇒ 2 x + 4 > 0 ⇒ x > −2; f ′( x) < 0 ⇒ 2 x + 4 < 0 ⇒ x < −2

Sol.- Creciente en ( −2, ∞ ) ; decreciente en ( −∞, −2) ; punto singular en: x=-2 734.

3 f ′( x) = 2 x − 3; f ′( x) > 0 ⇒ 2 x − 3 > 0 ⇒ x > ; 2 3 f ′( x) < 0 ⇒ 2 x − 3 < 0 ⇒ x < 2

3 3 Sol.- Creciente en ( , ∞) ; decreciente en (−∞, ) ; punto singular 2 2

en: x= 735.

3 2

3 f ′( x) = −2 x + 3; f ′( x) > 0 ⇒ −2 x + 3 > 0 ⇒ x > ; 2 3 f ′( x) < 0 ⇒ −2 x + 3 < 0 ⇒ x > 2

162

3 3 Sol.- Creciente en (−∞, ) ; decreciente en ( , ∞) ; punto singular 2 2

en: x= 736.

3 2

f ′( x) = 4 x3 + 6 x 2 ; f ′( x) = 0 ⇒ 4 x3 + 6 x 2 = 0 -2

-3/2

-1

0

1

------

----

+++

------

+++

+++

+

-

+

⇒ 2 x 2 (2 x + 3) = 0 3 f ′( x) > 0, si; x ∈ (−∞, − ) ∪ (0, ∞) 2 3 f ′( x) < 0, si; x ∈ (− , 0) 2

3 3 Sol.- f Creciente en (−∞, − ) ∪ (0, ∞ ) ; f decreciente en (− , ∞ ) ; 2 2

puntos singulares en: x= − 737.

3 , x=0 2

f ′( x) = − x 2 − 2 x + 3 = −( x 2 + 2 x − 3) = ( x + 3)( x − 1); f ( x ) > 0 ⇒ −( x + 3)( x − 1) > 0 ⇒ ( x + 3)( x − 1) < 0 ⇒ x+3> 0 x −1 < 0

x + 3 > −3

⇒

ó x+3< 0

x 1

x −1 > 0

⇒

−3 < x < 1

φ

f ′( x) < 0 ⇒ −( x + 3)( x − 1) < 0 ⇒ ( x + 3)( x − 1) > 0 ⇒ x < −3óx > 1

Sol.- f Creciente en ( −3,1); ; f decreciente en ( −∞, −3) ∪ (1, ∞ ); puntos singulares en: x=-3, x=1 738.

f ′( x) =

( x 2 + 1) − x(2 x) x 2 + 1 − 2 x 2 1 − x2 = = 2 ; 2 2 2 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)2

163

f ′( x) > 0 ⇒

1 − x2 > 0 ⇒ 1 − x2 > 0 ⇒ 1 > x2 ⇒ ( x 2 + 1) 2

⇒ −1 < x < 1; f ′( x ) = 0 ⇒

1 − x2 < 0 ⇒ 1 − x2 < 0 ⇒ ( x 2 + 1) 2

⇒ 1 < x 2 ⇒ x < −1óx > 1

Sol.- f Creciente en ( −1,1) ; f decreciente en ( −∞, −1) ∪ (1, ∞ ) ; puntos singulares en: x=-1 , x=1 739.

f ′( x) =

(2 x + 3)3 − (3x − 2)2 6 x + 9 − 6 x + 4 13 ; = = (2 x + 3) 2 (2 x + 3) 2 (2 x + 3) 2

f ′( x ) > 0 ⇒

13 > 0, para todo x ∈ R (2 x + 3) 2

Sol.- Creciente en todo R; sin puntos singulares. Sección LXXIII.- Aplicando el criterio del a segunda derivada, encontrar los máximos y mínimos (si los hubiere) de: 740.

f ′( x ) = 3; f ′( x ) ≠ 0 para todo x ∈ R .

Sol.- No tiene máximo ni minimo. 741.

f ′( x) = 2 x − 2; f ′( x) = 0 ⇒ 2 x − 2 = 0 ⇒ x = 1; f ′′( x) = 2 ⇒ f ′′( x) > 0,

para todo x ∈ R .

Sol.- En x=1, f admite un minimo. 742. f ′( x) = 4 x3 + 6 x 2 ; f ′( x) = 0 ⇒ 4 x3 + 6 x 2 = 0 ⇒ . 3 ⇒ x 2 (4 x + 6) = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = − ; f ′′( x) = 12 x 2 + 12 x; 2 f ′′(0) = 0,

Lo cual no da información

3 9 3 f ′′(− ) = 12. + 12(− ) = 9; 2 4 2 3 f ′′(− ) > 0 2

3 Sol.- En x= − , f admite un minimo. 2

743.

f ′( x) = 2 x +

−2.2 x 4 2 x4 − 4 = 2x − 3 = = 4 x x x3

164

f ′( x) = 0 ⇒ 2 x 4 − 4 = 0 ⇒ x 4 = 2 ⇒ x = 4 2óx = − 4 2 x 3 (8 x 3 ) − (2 x 4 − 4)3x 2 x(8 x 2 ) − 3(2 x 4 − 4) = = x6 x4 8 x 4 − 6 x 4 + 12 2 x 4 + 12 2.2 + 12 = = = 8 > 0; ; f ′′( 4 2) = 4 4 x x 2 f ′′(− 4 2) = 8 > 0. f ′′( x) =

Sol.- En x= 4 2 y x=- 4 2 , f admite mínimos.

744.

f ′( x) = 3 x 2 − 2 x + 1; f ′( x ) = 0 ⇒ 3 x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇒ x =

2 ± 4 − 12 2

Sol.-f

no

admite

con −8 ∈R

máximo ni mínimo. 745.

f ′( x) = x3 − 5 x 2 + 6 x; f ′( x) = 0 ⇒ x3 − 5 x 2 + 6 x = 0

⇒ x( x 2 − 5 x + 6) = 0 ⇒ x( x − 3)( x − 2) = 0 ⇒ ⇒ x = 0, x = 3, x = 2; f ′′( x) = 3 x 2 − 10 x + 6; f ′′(0) = 6 > 0; f ′′(3) = 27 − 30 + 6 = 3 > 0; f ′′(2) = 12 − 20 + 6 = −2 < 0

Sol.- En x=0, x=3 f admite mínimo En x=2, f admite máximo 1

746. f ′( x) = x. 1 ( x + 1) 2 + x + 1 = −

2

=

x + x +1 = 2 x +1

x + 2( x + 1) 3x + 2 ; f ′( x) = 0 ⇒ 3x + 2 = 0 ⇒ = 2 x +1 2 x +1 1

− 1 2 x + 1.3 − (3 x + 2)2. ( x + 1) 2 2 2 ⇒ x = − ; f ′′( x) = 3 4( x + 1)

3x + 2 6( x + 1) − (3 x + 2) 6 x + 6 − 3x − 2 x +1 = x +1 = = = 4( x + 1) 4( x + 1) 4( x + 1) x + 1 2 3(− ) + 4 3x + 4 2 2 3 ; f ′′(− ) = = = >0 3 4( x + 1) x + 1 2 2 4 5 4(− + 1) +1 3 3 3 3 6 x +1 −

Sol.- En x= −

2 f presenta mínimo 3

165

747.

f ′( x) = 1 + =

−1 ( x + 1)2 − 1 x 2 + 2 x + 1 − 1 = = = 2 ( x + 1) ( x + 1)2 ( x + 1) 2

x2 + 2x ; f ′( x) = 0 ⇒ x 2 + 2 x = 0 ⇒ x( x + 2) = 0 ( x + 1) 2

⇒ x = 0, x = −2; f ′′( x) =

( x + 1) 2 (2 x + 2) − ( x 2 + 2 x)2( x + 1) ( x + 1) 4

( x + 1)(2 x + 2) − 2( x 2 + 2 x) 2 x 2 + 2 x + 2 x + 2 − 2 x 2 − 4 x = = ( x + 1)3 ( x + 1)3 2 = ; f ′′(0) = 2 > 0; f ′′(−2) = −2 < 0 ( x + 1)3 =

Sol.- En x=0, x=3 f presenta mínimo En x=-2, f presenta máximo 748.

f ′( x) = ( x + 1)2( x − 1) + ( x − 1) 2 = = 2( x 2 − 1) + ( x − 1) 2 = 2 x 2 − 2 + x 2 − 2 x + 1 = = 3x 2 − 2 x − 1; f ′( x) = 0 ⇒ 3 x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇒ x=

2 ± 4 + 12 2 ± 4 1 = ⇒ x = 1, x = − ; 6 6 3

1 1 f ′′( x) = 6 x − 2 ⇒ f ′′(1) = 6 − 2 = 4 > 0; f ′′(− ) = 6(− ) − 2 = 3 3 = −4 < 0

Sol.-f En: x=1, f admite mínimo 1 En x=- − , f admite máximo 3 2

749.

2 −1 5 2 2 5x 3 2 − x f ′( x) = x 3 − x 3 = 1 − ; = 1 3 3 3 3x 2 3x 3 f ′( x) = 0 ⇒ 2 − x = 0 ⇒ x = 2; 1

f ′′( x) =

−3 x 3 − (2 − x) x

−

2 3

2

9x 3

1

=

−3 x 3 − 2 x

−

2 3

1

+ x3

2

;

9x 3

1 −2 3 2 − 2. 3 4 0 ⇒ 9 x 2 + 2 > 0 para todo x ∈ R

Sol.-f creciente en todo R 760.-

5 g ′( x) = 2 x − 5; g ′( x) > 0 ⇒ 2 x − 5 > 0 ⇒ x > ; 2

g ′( x) < 0 ⇒ 2 x − 5 < 0 ⇒ x
0 ⇒ cos x > 0 ⇒ π

π

⇒ x ∈ [0, ) ∪ (3 , 2π ); F ′( x) < 0 ⇒ cos x < 0 ⇒ 2 2

π

π

x ∈ ( ,3 ) 2 2

Sol.- F es creciente en: [0, π ) ∪ (3 π , 2π ) 2

2

F es decreciente en (0, π ) Punto singular: x= π 763.-

G ′( x ) = − senx; G ′( x ) > 0 ⇒ − senx > 0 ⇒

169

⇒ senx < 0 ⇒ x ∈ (π , 2π ); G ′( x ) < 0 ⇒ ⇒ − senx < 0 ⇒ senx > 0 ⇒ x ∈ [0, π )

Sol.- G es creciente en (π , 2π ) G es decreciente en (0, π ) Punto singular: x= π 764.-

H ′( x) = sec2 x; H ′( x) > 0 ⇒ sec 2 x > 0 para todo x ∈ R

Sol.- H es creciente en todo R (donde H esté definida) Sección LXXVI.- Dada las funciones siguientes, determinar los intervalos en que esta muestra concavidad hacia arriba o concavidad hacia abajo. 765.-

h( x) = 3

766.-

f ( x) = 2 x

767.-

g ( x) = x3

768.-

h( x ) = x 3 − 1

769.-

f ( x) = x 2 − 9

770.-

g ( x) = x3 + x 2

771.-

h( x ) = x 4 − 3 x

772.-

5 5 f ( x) = x3 + x 2 + x + 1 3 2

773.-

g ( x) =

x2 −1 2

774.-

h( x ) = − x 2 + 2 x − 1

775.-

F ( x ) = senx

776.-

G ( x ) = cos x

Soluciones: 765.-

h′( x) = 0 ⇒ h′′( x ) = 0

Sol.- No representa ningún tipo de concavidad (es una recta) 766.-

f ′( x ) = 2 ⇒ f ′′( x ) = 0

Sol.- No representa ningún tipo de concavidad (es una recta) 767.-

g ′( x ) = 3 x 2 ⇒ g ′′( x ) = 6 x : g ′′( x ) > 0 ⇒ 6 x > 0

⇒ x > 0; g ′′( x ) < 0 ⇒ 6 x < 0 ⇒ x < 0

Sol.- concav hacia arriba: R + concav hacia abajo: R − 768.-

h′( x) = 3 x 2 ⇒ h′′( x) = 6 x

Sol.- Análoga a la anterior 769.-

f ′( x ) = 2 x ⇒ f ′′( x ) = 2; f ′′( x ) > 0 para todo x ∈ R

170

Sol.- concav. hacia arriba: R 770.-

g ′( x) = 3x 2 + 2 x ⇒ g ′′( x) = 6 x + 2; g ′′( x) > 0 ⇒ 1 6 x + 2 > 0 ⇒ x > − ; g ′′( x) < 0 ⇒ 6 x + 2 < 0 ⇒ 3 1 ⇒x 0 ⇒ −12 x 2 > 0 ⇒ 12 x 2 < 0*

No existe x ∈ R tal que 12x 0 ⇒ 1 ⇒ 10 x + 5 > 0 ⇒ x > − ; f ′′( x) < 0 ⇒ 10 x + 5 < 0 ⇒ 2 1 x 0 para todo x ∈ R

Sol.- concav hacia arriba: R 774.-

h′( x ) = −2 x + 2 ⇒ h′′( x ) = −2 ⇒ h′′( x ) < 0 para todo x ∈ R

775.-

F ′( x ) = cos x ⇒ F ′′( x ) = − senx; F ′′( x ) > 0 ⇒ − senx > 0 ⇒ senx < 0 ⇒ x ∈ (π , 2π ); F ′′( x) < 0 ⇒ − senx < 0 ⇒ senx > 0 ⇒ x ∈ (0, π )

Sol.- concav hacia arriba: (π , 2π ) concav hacia abajo: (0, π ) 776.-

G ′( x ) = − senx ⇒ G ′′( x ) = − cos x; G ′′( x ) > 0 ⇒

171

π

π

− cos x > 0 ⇒ cos x < 0 ⇒ x ∈ ( ,3 ); G′′( x) < 0 2 2

π

π

⇒ − cos x < 0 ⇒ cos x > 0 ⇒ x ∈ (0, ) ∪ (3 , 2π ) 2 2

π

π

Sol.- concav hacia arriba: ( ,3 ) 2 2

π π concav hacia abajo: (0, ) ∪ (3 , 2π ) 2 2 Sección LXXVII.- Determinar los posibles máximos y mínimos de: 2 3 1 2 x + x − 3x + 1 3 2

777.-

f ( x) = 3x 2 + 2 x − 1

778.-

g ( x) =

779.-

h( x ) = 3 x 2 + 2 x − 1

780.-

F ( x) = x − 1

781.-

G ( x ) = senx

777.-

H ( x ) = cos x

Soluciones: 777.-

f ′( x) = 9 x 2 + 2 ⇒ f ′( x) ≠ 0 para todo x ∈ R

Sol.- f no admite máximo ni mínimo en R 778.-

g ′( x) = 2 x 2 + x − 3; g ′( x) = 0 ⇒ 2 x 2 + x − 3 = 0 ⇒ −1 ± 1 + 24 −1 ± 5 3 ⇒x= ⇒ x = 1, x = − ; 4 4 2 3 3 g ′′( x) = 4 x + 1 ⇒ g ′′(1) = 5 > 0; g ′′(− ) = − .4 + 1 = 2 2 = −5 < 0 x=

Sol.- g admite mínimo en x=1; g admite máximo en x= − 779.-

3 2

h′( x ) = 2 x + 6; h′( x ) = 0 ⇒ 2 x + 6 = 0 ⇒ x = −3;

h′′( x ) = 2 > 0

Sol.- h admite mínimo en x=-3 780.-

F ′( x ) = 1 ⇒ F ′( x ) ≠ 0 para todo x ∈ R

Sol.- F no admite máximo ni mínimo en R. 781.-

G ′( x) = cos x,...x = (

π

π

2k + 1 ), k ∈ Z ; G′′( x) = − senx 2

π

π

∴ G ′′( ) = − sen = −1 < 0; G ′′(3 ) = − sen3 = 2 2 2 2

172

=1> 0 Sol.- para: x = π + 2π ; G muestra máximos 2

π para: x = 3 + 2π ; G muestra mínimos 2

782.-

H ′( x ) = − senx; H ′( x ) = 0 ⇒ − senx = 0 ⇒ ⇒ senx = 0 ⇒ x = kπ , k ∈ Z ; H ′′( x) = − cos x ⇒ H ′′(0) = − cos 0 = −1 < 0; H ′′(π ) = − cos π = 1 > 0

Sol.- En x= 2kπ , H muestra máximos En: x= (2kπ + 1)π , H muestra mínimos. Sección LXXVIII.- Mediante el uso uso del a reglad e L`Hopital, calcular los siguientes límites. 783.-

lim

x2 − 9 x−3

785.-

lim+

lim

ln sen2 x ctgx

786.-

ex + x x →+∞ e x + ln x

x2 − a2 ,a > 0 x−a

788.-

x →3

x →0

787.-

lim x→a

789.-

lim

lim

x →+∞

x3 + 3 2 x3 + x

lim x ln x

790.-

senx − e x + 1 x→0 x2

792.-

1 lim(1 + ) x x →1 x

794.-

lim

x → 0+

1 lim(ctgx − ) x →0 x

lim

793.-

lim xe − x

795.-

lim

senx x +1 −1

796.-

lim

797.-

lim

etgθ − 1 θ +4 −2

798.-

lim

801.-

θ

θ →0

791.-

799.-

senθ

784.-

x →∞

x →0

θ →0

lim

1 − e x −1 x →1 1 − x

x →0

x − ln 1 + x

x →0

1 − cos x

lim ( senx) x

x → 0+

800.802.-

cos x − 1 x2 + 1 − 1

x →0

senx − tgx x3

ln lim x →0

1+ x −x 1− x senx − x

lim x senx

x → 0+

173

Soluciones: 783.-

Indeterminación: lim x →3

784.-

x →0

785.-

x2 − 9 2x = lim = lim 2 x = 6 x → 3 1 x →3 x−3

Indeterminación: lim

0 ∴ 0

0 ∴ 0

senx cos x = lim = lim cos x = 1 x →0 x→0 x 1

Indeterminación:

∞ ∞

1 .2 senx cos x 2 ln sen 2 x lim+ = lim sen x = x →0 x→0 ctgx − cos ec 2 x = lim x →0

786.-

2senx cos x

= lim(−2senx cos x) = 0

sec2 x(− cos ec 2 x)

Indeterminación:

x →0

∞ ∞

ex + x ex + 1 x(e x + 1) = lim = lim =6 x →+∞ e x + ln x x →+∞ x 1 x →+∞ xe x + 1 e + x lim

Indeterminación:

∞ ∴ ∞

x(e x + 1) xe x + e x + 1 xe x + e x + e x = lim = lim = x →+∞ xe x + e x x →+∞ x →+∞ xe x + e x + e x xe x + e x = lim 1 = 1 lim

x →+∞

787.-

Indeterminación: lim x →a

788.-

0 ∴ 0

x2 − a 2x = lim = 2a x → a 1 x−a

Indeterminación:

∞ ∴ ∞

174

x3 + 3 3x 2 ∞ = lim ;( ) ⇒ x →+∞ 2 x 3 + x x →+∞ 6 x 2 + 1 ∞ 3x 2 6x 1 1 lim 2 = lim = lim = x →+∞ 6 x + 1 x →+∞ 12 x x →+∞ 2 2 lim

789.-

Indeterminación: (0, ∞ ). se reduce a forma

∞ ∴ ∞

1 ln x lim x ln x = lim+ = lim+ = x = lim+ (− x) = 0 1 1 x →0 x → 0+ x →0 x →0 − 2 x x

790.-

Indeterminación: (∞ − ∞ ) Se reduce a la forma:

0 ∴ 0

1 xctgx − 1 = lim(ctgx − ) = lim x →0 x→0 x x = lim x →0

x − tgx 0 x − tgx : ( ) ∴ lim = x → 0 xtgx xtgx 0

1 1− 1 − sec 2 x cos 2 x = = lim = lim 2 x → 0 tgx + x sec x x → 0 senx x + cos x cos 2 x cos 2 x − 1 − sen 2 x 0 = lim :( ) x →0 senx cos x + x x →0 1 sen2 x + x 0 2 − sen 2 x (−2 senx cos x) = lim = lim =0 x →0 1 x →0 cos 2 x + 1 sen2 x + x 2 = lim

791.-

Indeterminación:

0 ∴ 0

x x senx − e x + 1 cos x − e x 0 = lim : ( ) lim cos x − e = lim − senx − e = − 1 2 x →0 x →0 x →0 2x 0 x →0 2 x x 2 2

lim

792.-

Indeterminación: (1∞ ) 1 1 seaφ ( x) = (1 + ) x ⇒ ln φ ( x) = ln(1 + ) x ⇒ x x 1 ⇒ ln φ ( x) = x ln(1 + ) x ∴ x 1 lim ln φ ( x) = lim x ln(1 + ) : (∞.0) x →+∞ x

x →+∞

175

1 ln(1 + ) x : (0)∴ 1 0 x 1 1 . (− 2 ) 1 1 x ln(1 + ) 1+ 1 x = lim x lim = lim =1 x →+∞ 1 + x 2 x →+∞ x →+∞ 1 1 − 2 x x 1 lim x ln(1 + ) = lim x →+∞ x x →+∞

Dada la continuidad de la función exponencial y logarítmica: lim (1 +

x → +∞

lim φ ( x ) 1 x ) = e x → +∞ = x

lim ln φ ( x )

= e x → +∞

793.-

= e1 = e

Indeterminación: (∞ 0 ) ∴ −x

seaφ ( x) = x e ⇒ ln φ ( x) = e − x ln x ∴ lim ln φ ( x) = lim e − x ln( x) : (0.∞) ∴

x →+∞

x →+∞

−x

lim e ln x = lim

x →+∞

x →+∞

ln x ∞ : ( )∴ ex ∞

1 ln x lim = lim xx = 0. x →+∞ e x x →+∞ e

De donde: −x

−x

ln lim xe

limxe =e

x→+∞

794.-

x→+∞

−x

=e

limlnxe

x→+∞

=e0 =1

0 Indeterminación: ( ) ∴ 0 1 − e x −1 −e x −1 = lim = lim e x −1 = 1 x →1 1 − x x →1 −1 x →1

lim

795.-

0 Indeterminación: ( ) ∴ 0 lim x →0

796.-

senx cos x = lim = lim 2 cos x x + 1 1 0 x → x→0 − 1 x +1 −1 2 ( x + 1) 2

0 Indeterminación: ( ) ∴ 0

176

lim

cos x − 1 x2 + 1 −1

x →0

= lim x →0

− senx = 1 − 1 2 2 ( x + 1) . 2 x 2 −1

− senx x 2 + 1 senx .lim(− x 2 + 1) = −1 = lim x →0 x →0 x→0 x x

= lim

797.-

0 Indeterminación: ( ) ∴ 0 etgθ − 1 etgθ sec 2 θ = lim = 1 θ →0 θ + 4 − 2 θ →0 1 − (θ + 4) 2 2 tgθ 2e θ +4 = lim =4 θ →0 cos 2 θ

lim

798.-

0 Indeterminación: ( ) ∴ 0 senx − tgx cos x − sec 2 x 0 = lim :( ) 3 0 x → x 3x 2 0 − senx − 2sec2 xtgx cos x − sec2 x ∴ lim = lim : x →0 x →0 3x2 6x − senx − 2sec 2 xtgx 0 = ( ) ∴ lim x →0 0 6x 2 2 − cos x − 4sec xtg x − 2sec4 x −3 1 = lim = =− x →0 6 6 2 lim x →0

799.-

0 Indeterminación: ( ) ∴ 0 1 0 = lim 1 + x : ( ) lim x →0 1 − cos x x →0 senx 0 1 1 1− (1 + x) 2 =1 lim 1 + x = lim x →0 x → 0 cos x senx x − ln 1 + x

800.-

1−

0 Indeterminación: ( ) ∴ 0 1 − x 1 (1 − x) + (1 + x) 1+ x −1 . . −x 1+ x 2 (1 − x)2 − x 1 = lim lim x →0 x →0 senx − x cos x − 1 1− x 2 1 . −1 −1 2 0 1 1 + x (1 − x) 2 = lim 1 − x :( ) = lim( ) x →0 2 x → 0 cos x − 1 cos x − 1 0 ln

177

2x 1 −1 2 2x (1 − x 2 )2 lim 1 − x = lim = lim x → 0 cos x − 1 x → 0 − senx x → 0 −(1 − x 2 ) senx 1 1 x . = 2 lim = −2 lim = −2 x → 0 senx (1 − x 2 ) 2 x → 0 (1 − x 2 )

801.-

Indeterminación: (00 )∴ sea : φ ( x) = ( senx) x ⇒ ln φ ( x) = x ln senx ∴ lim+ ln φ ( x) = lim+ x ln senx = x →0

x →0

x = lim+ (ln senx) senx = lim+ senx ln senx x → 0 senx x →0 = 0.

De donde: lim+ ( senx ) = e x

ln lim ( senx ) x x→ 0+

x→ 0

lim ln( senx ) x

= e x→0

802.-

=

= e0 = 1

Indeterminación: (00 )∴ sea : φ ( x) = x senx ⇒ ln φ ( x) = senx ln x ∴ lim+ ln φ ( x) = lim+ x ln senx = x →0

x →0

= lim+ ( x ln x)

senx = lim+ x ln x = 0 ∴ x →0 x

x →0

lim+ x senx = e

ln lim x senx x→0+

x →0

lim ln x senx

= e x→0+

=

= e0 = 1

Sección LXXIX.- Derivar implícitamente con respecto a “x” (y es derivable con respecto a “x”): 803.-

xy = 1

804.-

x =2 y

805.-

x+ y =1 y

806.-

e x+ y = 1

807.-

ex

808.-

sen( x + 2 y ) = 1

809.-

x 2 cos y + cos( x + y ) = 0

810.-

ln

811.-

xy +

2

+ y2

=1

x y + =a y x

812.-

y + ln y.x = 1 x

x + y + x2 + y 2 =a x+ y

178

Soluciones: y x

803.-

xy′ + y = 0 ⇒ xy′ = − y ⇒ y′ = −

804.-

y − xy′ y = 0 ⇒ y − xy′ = 0 ⇒ xy′ = y ⇒ y′ = y2 x

805.-

y(1 + y′) − ( x + y) y′ = 0 ⇒ y + yy′ − xy′ − yy′ = 0 y2

⇒ y − xy ′ = 0 ⇒ xy′ = y ⇒ y ′ =

806.807.808.-

y x

e x + y (1 + y′) = 0 ⇒ 1 + y′ = 0 ⇒ y′ = −1 2

+ y2

(2 x + 2 yy′) = 0 ⇒ 2 x + 2 yy′ = 0 ⇒ −2 x −x ⇒ y′ = ⇒ y′ = 2y y ex

[cos( x + 2 y )](1 + 2 y ′) = 0 ⇒ ⇒ cos( x + 2 y ) + 2 y ′ cos( x + 2 y ) = 0 − cos( x + 2 y ) 1 ⇒ y′ = ⇒ y′ = − 2 cos( x + 2 y ) 2

809.-

2 x cos y + x 2 (− seny ) y′ − [ sen( x + y )](1 + y′) = 0 2 x cos y − x 2 ( seny ) y′ − sen( x + y ) − y′sen( x + y ) = 0 ⇒ y′(− x 2 seny − sen( x + y )) = −2 x cos y + sen( x + y ) ⇒ y′ =

810.-

2 x cos y − sen( x + y ) x 2 seny + sen( x + y )

1 xy′ − y 1 . + ( y + xy′) = 0 ⇒ y x2 yx x xy′ − y 1 y′ y′ 1 1 y′ + + =0⇒ − + + =0 yx x y y x x y y′ ⇒ 2 = 0 ⇒ y′ = 0 y ⇒

811.-

xy′ + y +

y − xy′ xy′ − y + =0⇒ y2 x2

179

1 xy′ y′ y − + − =0⇒ y y2 x x2 x 1 y 1 y′( x − 2 + ) = 2 − − y ⇒ y x x y y 1 − −y y3 − x2 y − x2 y3 x2 y ′ y = = 3 2 x 1 x y − x3 + xy 2 x− 2 + y x

xy′ + y +

812.-

( x + y )(1 + y′ + 2 x + 2 yy′) =0⇒ ( x + y)2 ( x + y )(1 + y′ + 2 x + 2 yy′) = 0 ⇒ x + xy′ + 2 x 2 + 2 xyy′ + y + yy′ + 2 xy + 2 y 2 y′ = 0 ⇒ y′( x + 2 xy + y + 2 y 2 ) = −( x + 2 x 2 + y + 2 xy ) ⇒ ⇒ y′ = −

x + 2 x 2 + y + 2 xy x + 2 xy + y + 2 y 2

Sección LXXX.- Resolver los siguientes problemas: 813.-

La diferencia de dos números enteros es 10. ¿Cuáles son esos números tal que hacen el producto, el menor posible?

814.-

La suma de un número entero, más el doble de otro, es 44. ¿Cuáles son los números, si se desea que el producto de ellos, sea máxima?

815.-

La suma de dos números enteros es 8. ¿Cuáles son los números, si se solicita que la sumad e sus cuadrados, sea mínima?

816.-

Encontrar el rectángulo de perímetro mínimo, si el área correspondiente es 1 m 2

817.-

Cerrar un jardín rectangular con 100m de alambre, de modo que el área cercad asea máxima, suponiendo que uno del os lados es un muro ya construido.

818.-

Un alambre de longitud p debe cortarse en cuatro partes para formar con ellas, un rectángulo. Verificar que el rectángulo de área máxima que puede obtenerse, es un cuadrado de lado

p 4

180

819.-

Un paralelepípedo de base cuadrada, debe construirse de modo que su volumen sea máximo. Si la sumad e sus tres aristas es 120cm, dar el valor de c/u de sus lados ye l volumen máximo.

820.-

Dos torres tienen 150 y 100m de altura c/u; la distancia que las separa iguala 200 metros. Las dos torres deben conectarse a un mismo punto ubicado entre los pie de ambas torres. ¿Cuál es la distancia de este punto a A, para que la cantidad de alambre sea mínima? (ver figura respectiva en soluciones)

821.-

Calcular el radio y la altura de un pote cilíndrico sin tapa, de tal manera que para una capacidad dada C, la cantidad de material necesario paras u construcción, sea mínima.

822.-

Determinar la cantidad mínima de materia la ocupar, para construir un cilindro recto (hueco) que incluya las tapas.

823.-

Se aun triángulo ABC, tal que: a+b=50cm, y el ángulo formado por a y b: 30º Determinar los valores de a y b de modo que el área encerrada por el triángulo sea máxima.

824.-

Dada una lámina rectangular de dimensiones a y b, construir una cajas in tapa, de forma paralelepípedo de modo que su volumen sea máximo.

825.-

Con un alamina circular de radio r, construir un filtro de capacidad máxima, después de quitar un sector circular AOB. Hallar lar elación que debe existir entre el radio x y la altura y de la superficie cónica resultante.

826.-

Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado por un semicírculo. Siendo el perímetro p fijo, determinar r de modo que pase la máxima cantidad de luz a través de ella.

181

827.-

Calcular las dimensiones y volumen de un cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio a.

828.-

Dada la curva: xy 2 = 1, calcular la menor distanciad el origen a dicha curva.

829.-

Calcular la menor distancia existente entre el punto (-5,-1) y la curva y = x 2 .

830.-

Calcular la longitud de c/u de los lados de un triangulo isósceles, de manera que, si su perímetro es 50 cm este encierre un área máxima.

831.-

Dado un cono circular recto de volumen fijo, encontrar la relación entre r y l, de tal manera que el material empleado sea mínimo en el gasto de construcción.

832.-

Calcular la altura máxima a la cual llega un sólido lanzado hacia arriba con una velocidad inicial

v0

(suponga la

experiencia en el vacio) 833.-

Una compañía de teléfonos obtiene una utilidad neta de Bs 25 por cada instalación, si los suscriptores no exceden la cantidad de

1000.

En

caso

de

excederse,

las

utilidades

por

instrumento decrecen en Bs 0,01 por suscripto sobre el número 1000. ¿Cuántos suscriptores dran la utilidad máxima? Soluciones: 813.-

Sean: x, y los números, tal que: x-y=10, esto es: x=10+y. El producto p es: p=y (10+y)= y 2 + 10 y , de donde: dp dp = 2 y + 10; = 0 ⇒ 2 y + 10 = 0 ⇒ y = −5 dy dy

d2 p = 2 > 0 lo cual garantiza el mínimo cuando y=-5 (x=5) dy 2

182

814.-

Sean: x, y los números, tal que: x+2y=44 esto es: x=44-2y. El producto p es: p = (44 − 2 y ) y = 44 y − 2 y 2 (función a maximizar; dp dp = 44 − 4 y; =0 dy dy d2p ⇒ 44 − 4 y = 0 ⇒ y = 11; 2 = −4 < 0; dy

lo cual garantiza el máximo

cuando y=11 (x=22) 815.-

Sean: x, y los números, tal que: x+y=8, o sea: y=8-x. La suma S, es: s ( x) = x 2 + (8 − x) 2 (Función a minimizar); s′( x) = 2 x + 2(8 − x)(−1) = 2 x − 2(8 − x) = 4 x − 16; s′( x) = 0 ⇒ 4 x − 16 = 0 ⇒ x = 4; s′′( x) = 4 > 0,

lo cual garantiza que la suma es mínima si x=4=y 816.-

A=b.h ⇒ b = 1 .

Área:

Además

perímetro

pe

s:

h

2 p=2b+2h= + 2h; h dp 2 dp −2 + 2h 2 = − 2 + 2; =0⇒ = 0 ⇒ h2 = 1 ⇒ dh h dh h2 h = 1.

Dada la configuración

geométrica puede inducirse de inmediato que tal rectángulo es un cuadrado de lado 1m. 817.-

De la figura: 100=2x+y ⇒ y=100-2x;

x

Área A, A(x)=x(100-2x)=

y

100 x − 2 x 2 ; A′( x) = −4 < 0 lo que garantiza lo maximal del área cuando x=25 (y=50)

818.-

Se tiene: y

x

p = 2 x + 2 y,

de donde:

183

y=

p-2x .El área A esta dada por: 2

px p-2x = − x2 + ; 2 2 p A′( x) = −2 x + ; A′( x) = 0 ⇒ 2 p ⇒ x = . Además A′′( x) = −2 < 0, lo cual 4 p garntiza que en x= existe un máximo. 4 A(x)=x

819.-

De acuerdo con y

x

el dibujo:

x

x+x+y=120.

El volumen V está dado por: V = x 2 y, esto es : V = x 2 (120 − 2 x) función a maximizar:V = 120 x 2 − 2 x3 ; dv dv = 240 x − 6 x 2 ; = 0 ⇒ 240 x − 6 x 2 = 0 ⇒ dx dx ⇒ x(240 − 4 x) ⇒ x = 0, x = 40. Dada la configuración geométrica se tiene: x=40cm, y=40cm, V=64000cm3 .

820.-

Sea x la distancia tal como lo muestra la 150m 100m x

200-X

200m

figura adjunta, donde l es la longitud del alambre. Esto es:

l = x 2 + 1502 + (200 − x) 2 + 1002 ⇒ 1 1 − − 1 2 1 ( x + 1502 ) 2 2 x + [(200 − x) 2 + 1002 ] 2 . 2 (200 − x) 2 2 200 − x x ; l ′( x) = 0 ⇒ l ′( x) = − (200 − x) 2 + 1002 x 2 + 1502

l ′( x) =

184

x x + 150 2

2

=

200 − x (200 − x) 2 + 1002

⇒

⇒ x (200 − x) 2 + 1002 = (200 − x) x 2 + 1502 ⇒ ⇒ x 2 [(200 − x) 2 + 1002 ] = (200 − x 2 )( x 2 + 1502 ) ⇒ ⇒ 1002 x 2 = (200 − x) 21502 ⇒ 100 x = (200 − x)150 ⇒ 100 x = 30000 − 150 x ⇒ 250 x = 30000 ⇒ x = 120

Siendo este el único valor y dada la configuración geométrica, se tiene el mínimo para x=120. 821.-

La capacidad C de este cilindro h

r

es: C = π r 2 h,

donde el área considerada es:

A=π r 2 + 2π rh. Expresando A en función de r: 2c 2c ⇒ A′( r ) = 2π r − 2 ; A( r ) = π r 2 + r r 2c 2c A′( r ) = 0 ⇒ 2π r − 2 = 0 ⇒ 2π r = 2 ⇒ r r c c ⇒ r3 = ⇒ r = . Dado que:

π

π

4c c , esto es:A′′( 3 ) > 0 r3 π queda garantizado el mínimo en: A′′(r ) = 2π +

r= 3

822.-

c

π

.

Aprovechando la figura anterior, se tiene: volumen del cilindro: V = π r 2 h; superficie, consideradas las tapas respectivas: S=2π r 2 + 2π h, de donde: 2V 2V S=2π 2 + 2π r 2 = 2π r 2 + ⇒ r πr ds 2V ds 2V = 4π r − 2 ; = 0 ⇒ 4π r − 2 = 0 ⇒ dr r dr r

185

4V V 13 d 2s d 2s ] ⇒ 2 = 4π + 3 ⇒ [ 2 ] > 0 2r dr r dr V 1 queda garantizado el mínimo en r=( ) 3 2π r =[

823.-

C

θ

b

Área A está dada :

a

A=

B

A

a+b=50

=

absen30º 2

sen30º a (50 − a ) 2

de donde: sen30º A′=( )(50-2a); 2 sen30º A′=0 ⇒ ( )(50-2a)=0 ⇒ 50-2a=0 2 ⇒ a=25.

Dada la configuración geométrica se puede concluir, que para a=25,la

función

tiene

un

máximo,

lo

que

se

confirma

con: A′′(a ) = − sen30º < 0

x

x b

b-2x

824.-

b-2x a-2x x

x

a

x

a-2x

sea a ≤ b . Para construir la caja, se procede tal como lo muestran las figuras anteriores.El volumen V queda expresado por: V ( x) = (a − 2 x)(b − 2 x) x = 4 x 3 − (2a + 2b) x 2 + abx

186

⇒ V ′( x) = 12 x 2 − 2(2a + 2b) x + ab; v′( x) = 0 ⇒ 12 x 2 − 2(2a + 2b) x + ab = 0 ⇒ ⇒ 3 x 2 − ( a + b) x +

ab a + b ± a 2 + b 2 − ab =0⇒ x = 4 6

a + b + a 2 + b 2 − ab 6 a no es menor que , no se acepta . 2 Dada la configuración geométrica, Dado el valor: x =

se tiene que la solución es: a + b − a 2 + b 2 − ab , lo que se puede 6 confirmar mediante la segunda derivada aun más, como caso particular:a = b x=

de donde:x =

a + a − a2 + a2 − a2 a = 6 6

825.-

La capacidad C del filtro es

o

dada por:

r A

B

c=

x

π x2 y 3

con

x 2 + y 2 = r 2 , de donde:

y

c( y ) =

r

π r 2 y π y3

− ∴ 3 3 π r2 − π y 2 ; c′( y ) = 0 ⇒ c′( y ) = 3 π r2 r − π y2 = 0 ⇒ y = Este 3 3 valor de y maximaliza la función c ya que : c′′( x) = −2π x ⇒ c′′(

r r ) = −2π < 0. 3 3

187

826.-

La máxima cantidad de luz, pasa cuando el

r

área de la ventana es máxima.

h

ea p el perímetro fijo:

p = 2h + 2r + π r.de donde: p-(2+π )r h= ∴ Área A está dada por 2 π r2 π r2 A = 2rh + ⇒ A(r ) = [ p − (2 + π )r ]r + h 2 2 r π ⇒ A(r ) = pr − (2 + π )r 2 + ⇒ 2

A(r ) = p − 2(2 + π )r + π r = p − (4 + π )r; p A′( r ) = 0 ⇒ r = .(No usando segunda 4 +π p derivada). A′ > 0 si r < ; A′ < 0 si 4 +π p r> ∴ A(r )es un máximo si : 4 +π p r= 4 +π r

827.-

El volumen V

a h

del cilindro circular recto es:

V = π r 2 h, de donde r y h satisfacen la relación : h a 2 = r 2 + ( ) 2 .El 2

828.-

Sea D la distancia del origen a la curva. d está dada por:

188

1 D 2 = x 2 + y 2 .como y 2 = ,se tiene : x 2 1 dD 1 dD 2 = 2x − 2 ; =0⇒ D 2 = x 2 + ( x > 0); x dx x dx 1 2 x3 − 1 1 1 = 0 ⇒ x3 = ⇒ x = 3 2x − 2 = 0 ⇒ 2 x x 2 2 Dada la configuración geométrica, se tiene que el 1 6 , 2) es el punto de la curva más 2 cercano al origen. punto ( 3

829.-

Sea D la distancia del punto (-5,1) a la curva y = x 2 , de donde: D 2 = ( x + 5) 2 + ( y + 1) 2 . Como y=x 2 , se tiene: D 2 = ( x + 5) 2 + ( x 2 + 1) 2 = x 2 + 10 x + 25 + x 4 + 2 x 2 + 1 = x 4 + 3x 2 + 10 x + 26 ⇒

dD 2 = 4 x 3 + 6 x + 10 ⇒ dx

dD 2 dD 2 = 2( x + 1)(2 x 2 − 2 x + 5); =0⇒ dx dx ⇒ 2( x + 1)(2 x 2 − 2 x + 5) = 0 ⇒ x = −1 ó ⇒

−2 ± 4 − 40 con 4 − 40 ∈ R.Dada la 4 configuración geométrica, se tiene que el x=

punto de la curva más cercana al punto en cuestión, es el:(-1,1) y la distancia es D=2 5 (ya que D 2 =20)

830.-

De acuerdo con la figura adjunta: 2x+y=50, donde x

h

x

2 h: h 2 = x 2 − y ⇒

4

y

⇒ h = x2 −

y2 .esto es, la superficie s dada 4

1 y2 1 4 x2 − y2 1 y x2 − = y = y 4x2 − y2 2 4 2 4 4 1 o, mejor aún: s(y ) = y (50 − y ) 2 − y 2 ⇒ 4 1 s ( y ) = y 502 − 100 y (0 ≤ y ≤ 25), siendo 4 está la función a máximizar. por : s =

189

⇒ h = x2 −

y2 .esto es, la superficie s dada 4

y2 1 1 4x2 − y2 1 y x2 − = y = y 4 x2 − y 2 2 4 2 4 4 1 2 2 o, mejor aún: s(y ) = y (50 − y ) − y ⇒ 4 1 2 s ( y ) = y 50 − 100 y (0 ≤ y ≤ 25), siendo 4 está la función a máximizar. por : s =

1 − 1 ds 1 1 502 − 100 y = y (502 − 100 y ) 2 (−100) + 4 dy 4 2 1 50 y ds ); = 0 ⇒ = ( 502 − 100 y − 4 502 − 100 y dy

1 502 − 100 y − 50 y 502 50 =0⇒ y = ⇒ 2 4 150 3 50 − 100 y De la figura adjunta se tiene: 50 50 − 50 − y 3 = 100 .Esto es, la = x= 2 2 6 50 1 50 superficie s, es: s = ( ) 502 − 100 3 4 3 de donde: s =

2500 3 36

831.-

El volumen del cono es:

e

r

1 V = π r2 l2 − r2 . 3

La superficie, sin considerar la base : s = πl 2

2π r = π lr 2π l

190

de la fórmula de V,se tiene : r 2 l 2 − r 2 = r 4 (l 2 − r 2 ) =

2πr

9V

3V

π

, osea

2

π2

.

derivando implicitamente con respecto a r:

e

e

dl − 6r 5 = 0, de donde: dr dl 6r 5 − 4r 3l 2 6r 2 − 4l 2 3r 2 − 2l 2 = = = (*) dr rl 2r 4l 2rl ds dl ds además : = π (l + r ); = 0 ⇒ dr dr dr dl dl l l+r =0⇒ = − (*) dr dr r 3r 2 − 2l 2 l considerando (*) : =− ⇒ rl r 4r 3l 2 + 2r 4l

⇒ 3r 2 − 2l 2 = −l 2 ⇒ 3r 2 = l 2 ⇒

l2 = 3⇒ r2

l = 3, lo que constituye la condición r buscada.

⇒

832.-

El espacio s se expresa por: 1 s (t ) = V0t − gt 2 ⇒ s′(t ) = V0 − gt ; s′(t ) = 0 ⇒ 2 V V0 − gt = 0 ⇒ t = 0 .además : s′′(t ) = − g < 0 g V t = 0 es el tiempo correspondiente a la g altura máxima (t max ), y el espacio maximo(s max ) el espacio recorrido en tal tiempo, se obtiene sustituyendo adecuadamente, esto es : smax =

833.-

V0 2 1 V0 2 V0 2 − = g 2 g 2g

Sea x el número de suscriptores que exceden los primeros 1000. entonces:

191

x x2 )(1000 + x) = 25000 + 25 x − 10 x − ; 100 100 2 x dV 2x dV ; = 15 − = 0 ⇒ 15 − = 0 ⇒ x = 750, 100 dx 100 dx que da un máximo para V, ya que dV dV si x < 750 ⇒ > 0, six > 750 ⇒ < 0. dx dx La utilidad máxima se consigue con 1750 suscriptores. V = (25 −

AUTOEVALUACION 834.-

1 1 Dado h, tal que: h(x)= x 3 x − x 2 3 x , se tiene que h`(x) es: 4 7 2 − 19 3 2 1 1 1 −2 x b) (1 + x 3 ) − (2 x + x 3 ) 42 4 7 3 7 3 43 c) ( x − x 3 ) d)0 28 e) Ninguna de las anteriores

a)

835.-

La ecuación de la tangente a la curva: y = x2 +

1 , en el punto cuya abscisa es: x=2 está dada por: x2

17 15 5 15 =- (x-2) b)y+ = − (x+2) 4 4 2 4 c)15 x + 2 y = −35 d)15 x + 4 y + 13 = 0 e) Ninguna de las anteriores a) y +

836.-

2 2 Dado f, tal que: f (t ) = cos t − sen t ,se tiene que f ′′(t), es:

a)4( sent -cos 2 t)

b)-4sentcost

c)0

d)4 e) Ninguna de las anteriores

837.-

Dado a ) sen

g,

tal

que: g ( x) = sen(ln x 2 ), se tiene que g′( x) es :

1 x2

c)2 xsen

b) 1 x2

2 x

d )2 x cos(ln x 2 ) e)Ninguna de las anteriores

192

838.-

2 que: g (t ) = 1 + tg2 2t , se tiene que g′(t ) es :

sec 2t

a)

1 + 2(tg 2t ) sec2 t sec 4 2t

b)

c)0

1 + 2tg 2t sec 2 t 2sec 2 t.tgt

d)

sec 2 t 2tg 2t

e)Ninguna de las anteriores

839.-

Dado h, tal que: h( x) = sen 2 (cos 2 π ),se tiene que h′(x) es: 4

a ) sen 2 (cos 2 c)(cos(cos 2

840.-

π 4

−

1

) 2 ( sen(cos3

π

π

π 4

))

b)1

π π

)(2 cos )( sen ) 4 4 4 4 e)Ninguna de las anteriores

d )0

1 − eφ φ ] ,se tiene que f ′(φ ) es: 1 + eφ

Dado f, tal que: f (φ ) = [ 1 − eφ 1 + eφ 1 + eφ c) 1 − eφ a)

b)

1 + e −φ 1 − e −φ

d )1 e)Ninguna de las anteriores.

841.-

Dado: y = x x ,se tiene que y′ es: a ) x x (1 + ln x )

b) x x

c) x x ln x

1 d ) x x (ln x + ) x e)Ninguna de las anteriores.

842.-

Dado f, tal que: f ( y ) = 2 y + 2 ,se tiene que f ′(y) es: y

a)

1 1 2 + 2 2y 2 y

c)0

2y − b) d)

2 y

2y 1 1 − 2y y 2y


193

843.-

Dado G, tal que: G (φ ) = φ − 2 ,se tiene que G′(φ ) es: 3

a) c)

3

φ +2

φ +2 φ −2

φ −2 − 3 φ +2

b)

φ + 10 6 φ − 2 (φ + 2) 3

d)

2

3

(φ + 2) 2

φ +5 3 φ − 2 3 (φ + 2) 4


844.-

Dado H, tal que: H ( z ) = ln z ,se tiene que H′(z) es:

a)0

b)z 1 d) z

c)z2cos z+2senz e)Ninguna de las anteriores 845.-

Derivando implícitamente con respecto a x (y es derivable con respecto a x), se tiene que y′ en :x 2 + 5 xy + 2 y 3 = 1, está dad por: a) y′ = c) y′ =

846.-

−3x 2 − 5 y 5x+6y 2

b) y ′ =

−3 x 2 + 5 y 5x + 6 y2

6 y 2 + 3x 2 −6 y 2 − 3x 2 d ) y′ = 5x 5x e)Ninguna de las anteriores

2 Dado F, tal que: F (φ ) = 1 + 24φ ,se tiene que F′(φ ) es:

φ

(1 + 4φ 2 ) a) 4φ c)

−

1 2

b)

1 (1 + 2φ 2 ) 2 1 + 4φ 2

d)

−2(1 + 2φ 2 )

φ 3 1 + 4φ 2

−2φ (1 + 2φ ) 2

φ 4 1 + 4φ 2

e)Ninguna de las anteriores 2

847.-

e2 z Dado g, tal que: g ( z ) = ln 1+ z ,se tiene que g′(z) es: ze a) − z

b)3z + 1

4z − z −1 z 2

c)

d )4 z −

z −1 z


194

848.-

Dada las siguientes proposiciones: I) Una función que es derivable en (a, b), tiene un máximo en (a, b) II) Una función que tiene máximo en [ a, b] , y es continua en el mismo, es derivable en todo (a, b) III) Una función sin ser derivable en (a, b), puede tener máximo y/o mínimo en [ a, b] Se admite como verdaderas: a ) sólo I

b) sólo I y III

c) sóloI y II

d ) sólo III e)Ninguna de las anteriores

849.-

Para la función g, tal que: g ( z ) = 2 z 3 − z 2 ,se tiene que el z0 que verifica el teorema del valor medio en [-1,2], es:

1+ 31 1- 31 1+ 31 ,z 0 = ,solamente b ) z0 = 6 6 6 1- 31 c ) z0 = ,solamente d )0 6 e)Ninguna de las anteriores a ) z0 =

850.-

Dado f, tal que: f (θ ) = (e senθ ) 2 ;se tiene que f ′(-θ ) es: b) − 2 d )4

a)0 c)1 e)Ninguna de las anteriores

851.-

Dado: y = e x ;determinar el intervalo en que tal función es decreciente : a ) sólo : (0, ∞) c) sólo : ( −∞, 0) e)Ninguna de las anteriores

852.-

b) sólo : (e, ∞) d ) sólo : (0, e)

w w Dado g, tal que: g ( w) = ew − e− w ;se tiene que g′(w) es:

e +e

195

4 (e + e − w ) 2 1 c) w − w e +e a)

b)

w

ew + e− w e w − e− w

d )0 e)Ninguna de las anteriores

853.-

Dado h (u ) = sen (cos( senu )), se tiene que h ′(u) es: a) − cos( sen(cos u )) b) − [cos(cos( senu ))]( sen( senu ))(cos u )) c) − [cos3 (senu)](sen 2 u)

d ) − [cos 2 ( senu )]( sen 2u )(cos u )


854.-

2 Dado f tal que: f (t ) = ln x + 3x + 2 ,se tiene que f ′(t) es: 2

x + 4x + 4

a)

1 ( x + 2) 2

c)0

855.-

( x 2 + 4 x + 4) (2x+3) . (x 3 + 3x + 2) (2x+4) 1 d) ( x + 1)( x + 2) e)Ninguna de las anteriores b)

e at − e − at El valor de: lim , es : t →0 sent a ) − 2a

b)2a

c )0

d )a e)Ninguna de las anteriores

856.-

El valor de: lim t →0

1+ t − 1− t , es : 1 + 2t

0 0 c)0

b) − 1

a)


857.-

El valor de: lim θ →0

cos θ − 1

θ 2 +1 −1

, es :

0 0 c)1 a)

b)0 d ) −1 e)Ninguna de las anteriores

858.-

sen(θ − 1) , es : θ →1 θ 2 −1

El valor de: lim

196

0 0 1 c) 2

b) −

a)

1 2


859.-

Dado h, tal que: h(t ) = eln t ,se tiene que h′′(t) es: a) −

1

b) −

43 t2

d) −

c)0

13 2 t 2 1 4 3 t3


860.-

La ecuación de la tangente a la curva: y = senx, en el punto de absisa x = a) y =

π 2

π

, es : b) y = 1

2

1 π c) y − 1 = (x- ) 2 2

d)y = x +

π 2


861.-

x Dado u, tal que u ( x) = arctg ( sen ), se tiene que: u`(x) es: 2 cos a)

x 2

x 1 + sen 2 x cos 2 c)

b)

2

x 2(1 + sen ) 2 2

cos x 2 + sen 2 x

1

d)

2 cos

x 2


862.-

Sea f, tal que: f ( x) = x 4 + 10 x3 + 36 x 2 ; f presenta concavidad hacia arriba sólo, en los intervalos: a )(−3, 2)

b) (-∞,15) ∪ (12,∞)

c)(−15,12)

d )(−∞, −3) ∪ (−2, ∞) e)Ninguna de las anteriores

863.-

Sea g, tal que: g (t ) = ln t 2 ; g es creciente, sólo en el intervalo:

197

a )(−∞, 2)

b) (0,∞ )

c)(−∞, 0)

d )[0, ∞ ) e)Ninguna de las anteriores

864.-

Sea h, tal que: h ( z ) = senz; h presenta puntos singulares, sólo en: (2k + 1)π kπ , k∈z b) z = ,k ∈ z 2 2 c) z = 0 d ) z = (2k + 1)π , k ∈ z e)Ninguna de las anteriores a) z =

865.-

Derivando implícitamente con respecto a x (y es derivable con respecto a x), se tiene que y´en: x cos y + y cos x = 1, es : − x cos y b) y′ = − cos y − cos x senx ysenx + cos y ysenx − cos y c) y′ = d ) y′ = cos x + xseny cos x − x cos y e)Ninguna de las anteriores a) y′ =

866.-

Derivando implícitamente con respecto a x (y es derivable con respecto a y), se tiene que y´en: e x + y =

x , es : y

1 − ex+ y e x+ y + x 1 x+ y −e 1 − ye x + y y c) y′ = 2 x + y d ) y′ = x y e +x ex+ y − 2 y e)Ninguna de las anteriores a ) y′ = e x + y -

867.-

y x2

b) y ′ =

La ecuación de la tangente a la curva, de función: y ( x) = senx cos x, en x = a) x + y =

π

π 2

, está dada por: b) x − y =

π −2

2 4 1 1 π c) y − = (x- ) d )No existe tal tangente 2 2 4 e)Ninguna de las anteriores

868.-

Dada las siguientes proposiciones:

198

I) Toda función derivable en (a, b), es continua en (a, b) II) Toda función continua en (a, b), es derivable en (a, b) III) Toda función continua en [ a, b] , es derivable en (a, b) Se admiten como FALSAS: a ) sóloI y II

b) sóloII y III

c) sóloI y III

d )todas son falsas e)Ninguna de las anteriores

869.-

La suma del doble de un número más el quíntuplo de otro, es 70. Los números que verificando lo anterior, además hacen que su producto sea máximo, son: a )22,5 y 5

b)20 y 6

c)17, 5 y 7

d )15 y 8 e)Ninguna de las anteriores

870.-

Las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en una circunferencia de radio 1, son: a) 2; 2 c)

b)1;1

2 3 4 3 ; 3 3

d)

2 5 4 5 ; 5 5


871.-

La función: y = x + 1 + 4 , admite máximo (s) sólo en el (los) x +1

punto(s): a )(1, 4) y (−3, −4) c)(−3, 4)

872.-

b)(1, 4)

d )(−1, −4) y (3, 4) e)Ninguna de las anteriores

Dadas las proposiciones siguientes: I) una función continua en un intervalo cerrado, tiene un máximo y un mínimo en dicho intervalo. II) una función continua en un intervalo abierto, no admite ni máximo ni mínimo en dicho intervalo. III) una función continua en un intervalo cerrado puede no tener máximo ó mínimo en dicho intervalo.

199

Se admiten como FALSAS a ) sóloI

b) sóloIyII

c) sóloII

d ) sóloIIyIII e)Ninguna de las anteriores

873.-

La función g, tal que: g (t ) = t 3 − 4t 2 + 4t − 1, presenta en [−2, 0], un máximo y un mínimo RESPECTIVAMENTE, para los siguientes valores del intervalo: a) − 2 y 0

b)2 y 0

c)0 y − 2

d )2 y − 2 e)Ninguna de las anteriores

874.-

Dada la función f, tal que f (θ ) = −c, la pendiente de la curva en el punto, para el cual: θ = a)

π 4

, es :

π

b) − c

2

d) −

c )c

π 2


875.-

La normal a la curva dada por la función g, tal que: π 1 g ( x) = sen , en x = , 6 6

a) x =

tiene por ecuación:

1 6

c ) y = sen

b) y = 0

π

d ) x = −6

6 e)Ninguna de las anteriores

876.-

Dado: y = (cos x) senx , se tiene que y está dada por: a ) − (cos x) senx sen 2 x-cosxln cosx b) − (cos x) senx

sen 2 x-cosxln cosx

cosx c) − (cos x) senx (sen 2 x-ln cosx ) d) − ( sen 2 x cos 2 xln cosx )senx e)Ninguna de las anteriores

877.-

Dado f, tal que:

f ( x) = exp(ln

x 2 se ). 2

tiene que f´´(x) es:

200

2 (exp 2) x2 2 d ) x exp( 2 ) x

a )0

b)

c)1 e)Ninguna de las anteriores

SOLUCIONES A LA AUTOEVALUACIÓN # 5 834.- e

835.- d

836.- a

837.- b

838.- c

839.- d

840.- e

841.- a

842.- b

843.- c

844.- d

845.- a

846.- b

847.- c

848.- d

849.- a

850.- b

851.- e

852.- a

853.- b

854.- c

855.- b

856.- d

857.- d

858.- c

859.- d

860.- b

861.- c

862.- d

863.- b

864.- a

865.- d

866.- e

867.- a

868.- b

869.- c

870.- a

871.- b

872.- d

873.- c

874.- e

875.- a

876.- b

877.- c


835.-

1 1 1 1 1 4 1 7 h( x ) = .x.x 3 − x 2 .x 3 = x 3 − x 3 ⇒ 4 7 4 7

h′( x) =

1 4 13 1 7 43 1 13 1 43 . x − . x = x − x ⇒ 3 3 4 3 7 3

h′( x) =

1 13 x (1 − x)(e) 3

y (−2) = (−2)2 +

1 1 17 = 4 + ∴ Pto. tangencia : (−2, ); (−2)2 4 4

2x 2 2 ⇒ y′( x) = 2 x − 3 ∴ y′(−2) = 2(−2) − = x4 x (−2)3 1 15 15 = −4 + = − ∴ m = − .Ecuación pedida : 4 4 4 17 15 y − = − ( x + 2) de donde :15 x + 4 y = −13 (d ) 4 4 y′( x) = 2 x −

836.-

f ′(t ) = 2 cos t ( − sent ) − 2 sent (cos t )

201

= −2 sent cos t − 2 sent cos t = −4 sent cos t f ′′(t ) = −4( sent (− sent ) + cos t (cos t )) = −4(− sen 2t + cos 2 t ) = 4( sen 2t − cos 2 t ) (a)

837.-

g ′( x) = [cos(ln x 2 )] = [cos(ln x 2 )] g ′( x) =

d (ln x 2 ) dx

1 .2 x x2

2 cos(ln x 2 ) x

838.-

1 + tg 2 2t = sec 2 2t ; luego : g (t ) = 1 ⇒ g ′(t ) = 0(c)

839.-

sen 2 (cos 2

840.-

Toda potencia de exponente CERO, es igual a la unidad. Luego:

841.-

π 4

)es constante ∴ h′( x) = 0 (d )

f (φ ) = 1 ⇒ f ′(φ ) = 0 (e)

ln y = ln x x ⇒ ln y = x ln x ⇒

1 1 . y′ = x. + ln x ⇒ y x

y′ = y (1 + ln x) ⇒ y′ = x x (1 + ln x)(a)

842.-

f ′( y ) =

1 − 1 1 2 −1 2 (2 y ) 2 . 2 + ( ) 2 .(− 2 ) y 2 2 y

2 1 2y y 1 1 1 y2 ⇒ = − = − = − 2 2 y 2 2y 2 2y 2 2 y y y y y 2 2y y − f ′( y ) = (b) 2y 2y 3

843.-

G′(φ ) =

1 2

φ + 2 (φ − 2)

−

1 2

( 3 φ + 2)2

φ +2 φ −2 − 3 2(φ − 2) 3 (φ + 2) 2 3

= =

( 3 φ + 2) 2

=

1 3

φ + 2. (φ + 2)

−

2 3

3(φ + 2) − 2(φ − 2) 6 φ − 2( 3 φ + 2) 2 ( 3 φ + 2) 2

=

3φ + 6 − 2φ + 4 φ + 10 (c ) = 6 φ − 2( 3 φ + 2) 4 6 φ − 2( 3 φ + 2) 4

202

844.-

Para todo z = cos 2 z + sen 2 z = 1∴ H ( z ) = ln z ⇒ H ′( z ) =

845.-

3x 2 + 5 xy′ + 5 y + 6 y 2 y′ = 0 ⇒ y′(5 x + 6 y 2 ) = −3x 2 − 5 y

⇒ y′ =

846.-

1 (d ) z

F (θ ) =

−3 x 2 − 5 y (a) 5x + 6 y 2 1 2

−

1

θ 2 . (1 + 4θ 2 ) 2 .8θ − 1 + 4θ 2 .2θ

4θ 3 = 1 + 4θ

θ4

− 2θ 1 + 4θ 2

4θ 2

=

− 2 1 + 4θ 2

= 1 + 4θ 3 = θ4 θ 4θ 2 − 2(1 + 4θ 2 ) −2 − 4θ 2 4θ 2 − 2 − 8θ 2 1 + 4θ 2 = = ⇒ θ3 θ 3 1 + 4θ 2 θ 3 1 + 4θ 2 −2(1 + 2θ 2 ) ⇒ F ′(θ ) = (b) θ 3 1 + 4θ 2

847.-

2

2

2

2

g ( z ) = ln e2 z − ln ze1+ z = ln e2 z − ln z − ln e1+ z = 1 = 2 z 2 − ln z − (1 + z ) ⇒ g ′( z ) = 4 z − − 1 ⇒ z 2 4z −1− z g ′( z ) = (c ) z

848.-

I)Falso.- Como contraejemplo: y = x 2 con x ∈ (0,1) II) Falso.- como contraejemplo: y = − x con x ∈ [ −2, 2] III) Verdadera (d)

849.-

g (−1) = 2(−1) − 1 = −3 g (2) − g (1) 12 + 3 ⇒ = =5 g (2) = 2.8 − 4 = 12 2 +1 3

además: g ′( z ) = 6 z 2 − 2 z, de donde : 6z2 − 2z = 5 ⇒ 6z2 − 2z − 5 = 0 ⇒ z =

z=

850.-

2 ± 4 + 120 ⇒ 12

2 ± 124 2 ± 2 31 1 ± 21 ⇒z= ⇒z= 12 12 6

(a)

f ′(θ ) = 2(e senθ )(e senθ ) cos θ ⇒

203

f ′(−π ) = 2(e sen ( −π ) )(e sen ( −π ) ) cos(π ) = 2.1.1.( −1) = −2 (b)

851.-

y′( x) = e x ; y′ > 0

para todo x ∈ R, ya que

e x > 0 ∴ Es creciente en todo R (e)

852.-

g ′( w) =

=

(e

(e w + e− w )(e w + e − w ) − ( e w − e− w )( e w − e − w ) (e w + e − w ) 2

4e w e − w w

+e

⇒ g ′( w) =

)

−w 2

(e

4

w

+ e− w )

2

(a)

853.-

h′(u ) = [cos(cos( senu ))][ − sen( senu )]cos u (b)

854.-

Si se deriva con respecto a “f” (f`(t)); la expresión ln

x 2 + 3x + 2 , actúa como x2 + 4 x + 4

CONSTANTE ∴ f ′(t ) = 0 (c)

855.-

856.-

lim t →0

e at a − eat (−a) ae0 + ae0 a + a = = = 2a (b) cos t cos 0 1

1 1 1 1 − − 1 1 + (1 + t ) 2 − (1 − t ) 2 (−1) 2 = lim 2 1 + t 2 1 − t lim 2 1 t →0 t →0 1 − 1 (1 + 2t ) 2 . 2 1+ t 2

1 1 + = 2 2 =1 1

857.-

lim θ →0

(d )

− senθ − senθ − senθ = lim = lim θ 2 +1 = θ →0 θ →0 θ 1 2 θ (θ + 1).2θ 2 θ 2 +1

= − lim θ →0

senθ

θ

.lim θ 2 + 1 = −1.1 = −1 θ →0

cos(θ − 1) 1 = 2θ 2

858.-

lim

859.-

se sabe que : e ln u = u ∴ h (t ) = t ⇒

θ →1

(d )

204

1 −1 1 1 −3 ⇒ h′(t ) = t 2 ⇒ h′′(t ) = (− )t 2 ⇒ 2 2 2 1 − 32 ⇒ h′′(t ) = − t (d ) 4

860.-

De la gráfica adjunta.

2

es obvio que la

y=1

1

respuesta correcta es

3π/2 0

π/2

(b)

-1

-2

861.-

u ′( x) =

=

862.-

1

d x 1 x d x . ( sen ) = .cos . ( ) = x x 2 1 + sen 2 2 dx 2 1 + sen 2 dx 2 2

x cos 1 2 . = x x 1 + sen 2 2 2(1 + sen 2 ) 2 2 cos

x 2

f ′( x) = 4 x3 + 30 x 2 + 72 x ⇒ f ′′( x) = 12 x 2 + 60 x + 72;

concavidad hacia arriba : f ′′( x) > 0 ⇒ ⇒ 12 x 2 + 60 x + 72 > 0 ⇒ x 2 + 5 x + 60 > 0 ⇒ ( x + 3)( x + 2) > 0 x+3> 0

x > −3

x+2>0 ⇒ ⇒ x+3< 0

x > −2 ⇒ x < −3

x+2 −2 ⇒ x > −2 ó x < −3 ( d )

⇒

x < −3

1 2 2 .2t = ; g ′(t ) > 0 ⇒ > 0 ⇒ t > 0 (b) 2 t t t

863.-

g ′(t ) =

864.-

h′( z ) = cos z; h′( z ) = 0 ⇒ cos z = 0 ⇒ z = ...

865.-

π 3π

, ,... 2 2

(2k + 1)π (2k + 1)π ,...∴ cos( z ) = 0 ⇒ z = , k ∈ z (a) 2 2

x ( − seny ) y ′ + cos y + y ′ cos x + y (− senx ) = 0 ⇒ y′(− xseny + cos x) + cos y − ysenx = 0 ⇒ y′(− xseny + cos x ) = ysenx − cos y ⇒ y′ =

ysenx − cos y cos x − xseny

(d )

205

866.-

e x + y (1 + y ′) = x( −1) y −2 y′ + y −1 ⇒ e x + y + y ′e x + y = −

x 1 ) = − e x+ y 2 y y

⇒ y′(e x + y +

867.-

⇒ y′ =

y − y 2e x+ y y 2e x+ y + x

π

π

1

x 1 y′ + y2 y

1 x+ y −e y ⇒ y′ = ⇒ x e x+ y + 2 y

( e)

π

0

π

y ( ) = sen . cos = 0 ∴ Pto( , 0).Luego : 2 2 2 2 y′( x) = sen(− senx) + cos x(cos x) = − sen 2 x + cos 2 x

π

1

π

π

0

y′( ) = − ( sen ) 2 + (cos ) 2 = −1∴ m = −1.Ecuac. 2 2 2

π

π

π

pedida : y = −( x − ) ⇒ y = − x + ⇒ y + x = (a) 2 2 2

868.-

I)Verdadera II) Falsa.- Contraejemplo: y = x en x=0 III) Falsa.- Sirve el contraejemplo anterior (b)

869.-

Sea x un número e y el otro ⇒ 2 x + 5 y = 70 70 − 2 x 70 − 2 x .El producto p es : p = x. 5 5 dp 2 70 − 2 x función a máximizar. = x(− ) + ⇒ dx 5 5 dp −4 x + 70 dp ; = = 0 ⇒ −4 x + 70 = 0 ⇒ x = 17,5. dx 5 dx d2 p 4 además : 2 = − < 0 quedando asi garantizado dx 5 el Maximo en x=17,5. (c)

⇒y=

870.-

x 2 + y 2 = 4 ⇒ y = 4 − x 2 ; Área A :

y x

206

A = xy ⇒ A = x 4 − x 2 función a maximizar; 1 − dA 1 = x (4 − x 2 ) 2 (−2 x) + 4 − x 2 dx 2 − x2 dA dA ⇒ = + 4 − x2 ; =0⇒ 2 dx dx 4− x

− x2 + 4 − x2 4 − x2

=0⇒

−2 x 2 + 4 4 − x2

=0⇒

⇒ −2 x 2 + 4 = 0 ⇒ x 2 = 2 ⇒ x = 2, de donde y = 2 (con la segunda derivada este aserto queda garantizado, más no es indispensable)

871.-

y′ = 1 +

-4 ( x + 1) 2 − 4 x2 + 2 x + 1 − 4 x2 + 2 x − 3 ′ = ⇒ = = ; y ( x + 1) 2 ( x + 1) 2 ( x + 1) 2 ( x + 1) 2

y′ = 0 ⇒ x 2 + 2 x − 3 = 0 ⇒ ( x + 3)( x − 1) = 0 ⇒ x = −3, x = 1; y′′ =

( x + 1) 2 (2 x + 2) − ( x 2 + 2 x − 3)(2)( x + 1) ( x + 1) 4

( x + 1)(2( x + 1)2 − 2( x + 3)( x − 1)) 2( x + 1) 2 − ( x + 3)( x − 1) = ( x + 1)4 ( x + 1)3 8 8 y′′(−3) = = −1 < 0 Máximo; y (1) = = 1 > 0Máximo −8 8 solución en el punto (1,4) (b) =

872.-

I)Verdadera II) Falsa. Contraejemplo y = x 2 en (-1,1) III) Contradice el teorema de los valores extremos y se subentiende que no se refiere a R como intervalo cerrado. Falso. (d)

873.-

g(-2)=(-2)3 − 4(−2)2 + 4(−2) − 1 = −33; g (0) = −1. Además g ′(t ) = 3t 2 − 8t + 4; g ′ ( t ) = 0 ⇒ 3t 2 − 8t + 4 = 0 ⇒ 8 ± 64 − 48 2 2 ⇒ t = 2, t = ; t = 2 yt = 6 3 3 no pertenecen a [-2,0] máximo en t = 0 y mínimo en t = -2 (c) ⇒t =

874.-

La pendiente en toda recta paralela al eje x, vale cero. o bien: f ′(θ ) = 0 para todo θ (e)

Dada la función constante :g ( x) = sen

π 6

toda normal a la curva

207

es perpendicular al eje x pasando por x =

876.-

1 (a) 6

ln y = senx ln(cos x ) 1 1 y′ = senx (− senx) + [ln(cos x)]cos x y cos x − sen 2 x + cos x ln(cos x) cos x − sen 2 x + cos 2 x ln(cos x) = cos x − sen 2 x + cos 2 x ln(cos x) y′ = (cos x) senx cos x =

877.-

Se sabe que exp(ln u ) = u ∴ f ( x) =

⇒ f ′( x) =

(b)

x2 ⇒ 2

2x ⇒ f ′( x) = 1 (c) 2

208

Sección LXXXI.- Dar el valor de las siguientes integrales indefinidas. 878.-

∫ x dx

879.-

880.-

∫ 1+θ

4dθ

881.-

∫ edt

882.-

∫ (ln z )dx

883.-

∫x

884.-

∫ ( x + 2 x )dx

885.-

∫e

x2 − 5x + 6 dx x −3

887.-

∫ 5dz

π

3

2

2

∫ (u − 2)du

5 −3

dx

dt −t

886.-

∫

888.-

∫ cos 2 dθ

889.-

∫ sec θ dx

890.-

∫e

tg 2 x

891.-

∫ sec

892.-

∫e

xx

dz

893.-

∫e

894.-

2dt ∫ 1+ t2

895.-

t 2 dt ∫ 1+ t2

896.-

5v 2 dv ∫ 1 + v2

897.-

∫ cos π dx

898.-

∫ (− senx)dx

899.-

∫ 5 cos xdx

900.-

∫ (x

901.-

∫ ( x + a)

902.-

∫ (sec

903.-

∫ cos ecwctgwdw

904.-

∫ cos

905.-

∫ ada

906.-

∫ kxdx

907.-

∫φ

6

ydy

+ 1)dx 2

θ − 1)dθ

senθ 2

θ

dθ

2

ex

2

θ dx

dz

−1

2

dφ

Soluciones: 878.-

x4 +c 4

879.-

∫ udu − 2∫ du =

u2 − 2u + c 2

209

dθ = 4arctgθ + c 1+θ 2

880.-

4∫

881.-

e ∫ dt = et + c

882.-

(ln z ) ∫ dx = (ln z ) x + c

883.-

5∫

884.-

2 2 ∫ xdx + ∫ 2 x dx = ∫ xdx + 2∫ x dx =

dx x4 = 5∫ x3dx = 5 + c −3 x 4

885.-

∫ e dt = e

886.-

∫

t

t

x 2 2 x3 + +c 2 3

+c

( x − 3)( x − 2) dx = ∫ ( x − 2)dx = ∫ xdx − ∫ 2dx = ( x − 3)

= x ∫ dx − 2∫ dx =

x2 − 2x + c 2

887.-

5∫ dz = 5 z + c

888.-

cos

889.-

sec 2 θ ∫ dx = (sec 2 θ )x + c

890.-

etg

891.-

∫ dx = x + c

892.-

ex

893.-

ee ∫ dz = ee .z + c = zee + c

894.-

2∫

π

2∫

π

dθ = (cos )θ + c 2

2

895.-

896.-

x

x

2

x

tg 2 ∫ ydy = e

∫ dz = e

xx

x

y2 y 2 etg x +c = +c 2 2

.z + c = ze x + c x

x

1 d = 2arctgt + c 1+ t2

1 + t 2 −1 1 ∫ 1 + t 2 dt = ∫ (1 − 1 + t 2 )dt = dt = ∫ dt − ∫ = t − arctgt + c 1+ t2 v 2 dv 1 + v2 −1 1 = 5∫ dv = 5∫ (1 − )dv = 2 1+ v 1 + v2 1 + v2 dv = 5( ∫ dv − ∫ ) = 5(v − arctgv) + c 1 + v2

5∫

210

897.-

cos π ∫ dx = (cos π ) x + c = x cos π + c = − x + c

898.-

∫ (− senx)dx = − ∫ senxdx = −(− cos x) + c = = cos x + c

899.-

5∫ cos xdx = 5senx + c

900.-

6 ∫ x dx + ∫ dx =

901.-

∫ (x =

2

+ 2 xa + a 2 ) =

x7 + x+c 7

x3 x2 + 2a + + a 2 x + c = 3 2

x3 + ax 2 + a 2 x + c 3

902.-

∫ sec θ dθ − ∫ dθ = tgθ − θ + c

903.-

− cos ecw + c ∫ senθ . 1 dθ = ∫ tgθ secθ dθ cosθ cosθ

905.-

∫ ada =

906.-

kx 2 +c 2

907.-

∫θ

2

dθ

= secθ + c

a2 +c 2

= ln θ + c

211

Sección LXXXII.- Dada u=f(x), Calcular el diferencial de u (du) en función de x,si: 908.-

du = dx

909.-

du = dx

910.-

du = 4dx

911.-

du = 3dx

912.-

du = −2dx

913.-

du = 2dx

914.-

du = 6 xdx

915.-

du = (3x 2 − 3)dx = 3( x 2 − 1)dx

916.-

du = (3x 2 − 2)dx

917.-

du = (8 x3 − 6)dx = 2 x(4 x 2 − 3)dx

918.-

du = cos x

919.-

du = − senxdx

920.-

du = ( sen 2 2 x)2dx

922.-

du =

1 dx x

1

921.-

du = 2sec x.sec x.tgxdx = 2sec2 x.tgxdx

923.-

1 du = 2(ln x ) dx = x 2 ln xdx = x

925.-

du =

927.-

du = e x dx

929.-

du = −

dx 2 x +1

924.-

du =

926.-

du =

928.-

du = e x +1dx

930.-

du =

2 dx x3

931.-

du =

932.-

du =

1 (cos 2 x )2dx = cos 2 xdx 2

933.-

du = e 2 x .4 xdx =

934.-

du = (cos nx)ndx = = n cos nxdxx

936.-

2 x

dx

1 dx 1 + x2

du = 2.

1 4 dx = dx x x 2

1 dxx x2

−dx ( x + 1) 2 2

2

= 4 xe 2 x dx

935.937.-

du = 2(cos nx)(−sennx)ndx =−2ncos nx.sennxdx x 1 du = 2(ln ). dx = 2 x 2

4 ln x

x 2 dx

223

Soluciones: 908.-

u=x

909.-

u = x+7

910.-

u = 4x

911.-

u = 3x − 5

912.-

u = −2 x + 7

913.-

u = x2

914.-

u = 3x 2 + 5

915.-

u = x3 − 3x

916.-

u = x3 − 2 x

917.-

u = 2 x 4 − 3x 2

918.-

u = senx

919.-

u = cos x

920.-

u = tg 2 x

921.-

u = sec 2 x

922.-

u = ln x

923.-

u = ln 2 x

924.-

u= x

925.-

u = x +1

926.-

u = arctgx

927.-

u = ex

928.-

u = e x +1

929.-

u=

1 x

930.-

u=−

931.-

u=

1 x +1

932.-

u=

933.-

u = e2 x

934.-

u = sennx

935.-

u = cos 2 nx

936.-

⎛ x⎞ u = ln ⎜ ⎟ ⎝2⎠

937.-

x u = ln 2 ( ) 2

1 x2

1 sen 2 x 2

2

2

Sección LXXXIII.- Calcular las siguientes integrales indefinidas: 938.- ∫

dx x +1

939.- ∫

2dz z −3

940.- ∫

adu u+b

941.- ∫

xdx x +1

942.- ∫

3udu u −5

943.- ∫ e at + b dt

224

944.- ∫

cos θ sen7θ

946.- ∫ (a + ln t )

945.- ∫ dt t

dx 1 + e− x 3

1 dx 947.- ∫ (1 − ) 2 x x

948.- ∫

arctgθ dθ 1+θ 2

949.- ∫

du u (1 − ln u )

950.- ∫

sec2 θ dθ etgθ

951.- ∫

sen e − t dt et

1 ( sen )dx x 952.- ∫ x2

953.- ∫ [ sen(3 x − 1)][cos(3 x − 1)]dx

954.- ∫ (ln 2 cos x)tgxdx

955.- ∫

ln(ln u )du u ln u

956.- ∫ e x + e dx

957.- ∫

e x − e− x dx e x + e− x

958.- ∫ etgθ sec 2 θ dθ

959.- ∫

− senθ dθ cos θ

960.- ∫ sec 2 (u 2 + 1)2udu

961.- ∫ 5sen5 xdx

x

3 2

962.- ∫ 2u (u + 1) du 2

963.- ∫ cos5 θ ( − senθ ) dθ

964.- ∫ 2ueu du

965.- ∫ 5tg 5 xdx

966.- ∫ cos xe senx dx

967.- ∫ ue− u du

2

968.- ∫

e x dx e 2 x + 2e x + 1

970.- ∫ θ 1 − θ 2 dθ 972.- ∫

cos3 θ dθ 1 − senθ

2

969.- ∫

xdx 1 − x2

971.- ∫

sen x + 3 dx x+3

973.- ∫

1 − cos 2θ dθ 1 + cos 2θ

225

974.- ∫

(2 x + 1) dx x2 + x + 1

975.- ∫

976.- ∫

dx a + bx

977.- ∫ (a + bx) n dx; n ≠ −1

978.- ∫

x n −1 dx a + bx n

979.- ∫ sen(ax + b) dx

980.- ∫ xsen( x 2 + 1) dx

982.- ∫

981.- ∫

xdx ( x + 1)5 2

dx n ≠ −1 x(ln x) n

f ′( x) dx f ( x)

Soluciones: 938.-

u = x + 1, du = dx ⇒ ∫

dx du =∫ = ln u + c x +1 u

= ln( x + 1) + c

939.-

u = z − 3, du = dz ⇒ ∫

= 2∫

940.-

a∫

941.-

∫

2 dz dz = 2 ∫ = z −3 z −3

du = 2 ln u + c = 2 ln z − 3 + c u

du = a ln u + b + c u

x +1−1 1 dx dx = ∫ (1 − ) dx = ∫ dx − ∫ = x +1 x x +1

x − ln x + 1 + c 943.-

3∫

udu u −5+5 = 3∫ du = u −5 u −5

5 du )du = 3( ∫ du + 5∫ )= u −5 u −5 = 3(u + 5ln u − 5 ) + c = 3∫ (1 +

226

943.-

u = at + b, du = adt ; ∫ e at +b dt = =

944.-

1 u 1 e + c = e at +b + c a a

u = senθ , du = cos θ dθ ; ∫

= ∫ u −7 du =

945.-

1 u e du a∫

cos θ du =∫ 7 = 7 sen θ u

u −6 1 1 +c = − 6 +c = − +c −6 u 6 sen 6θ

dx e x dx x x = ∫ 1 + e− x ∫ e x + 1; u = e + 1, du = e dx; e x dx du x ∫ e x + 1 = ∫ u = ln u + c = ln e + 1 + c

946.-

dt dt ; ∫ ( a + ln t ) = ∫ udu t t 2 2 u (a + ln t ) = +c = +c 2 2

947.-

1 1 1 dx u = (1 − ); du = 2 dx; ∫ (1 − )3 2 = ∫ u 3du = x x x x 1 (1 − ) 4 u4 x +c = +c = 4 4

u = a + ln t ; du =

1 arctgθ dθ = dθ ; ∫ 2 1+θ 1+θ 2 u2 (arctgθ ) 2 = ∫ udu = + c = +c 2 2

u = arctgθ , du =

948.-

949.-

1 du dt t = 1 − ln u; dt = − du; ∫ = −∫ = u u (1 − ln u ) t = − ln t + c = − ln 1 − ln u + c

950.-

u = −tgθ , du = − sec 2 θ dθ ; ∫ e − tgθ sec 2 θ dθ = = − ∫ eu du = −eu + c = −e − tgθ + c =

−1 +c etgθ

227

951.-

952.-

953.-

sen e − t dt = − ∫ sen u du et = cos u + c = cos(e − t ) + c

u = e − t , du = −e − t dt ; ∫

1 1 u = , du = − 2 dx; ∫ x x 1 = cos u + c = cos + c x

1 ( sen )dx x = − ∫ senudu x2

u = sen(3 x − 1), du = 3cos(3 x − 1) dx;

∫ [sen(3x − 1)][cos(3x − 1)]dx =

1 1 u2 udu = +c 3∫ 3 2

1 1 = u 2 + c = sen 2 (3x − 1) + c 6 6 Sugerencias.- Use u = cos(3x -1) y compare los resultados.

954.-

u = ln cos x , du =

1 (− senx) dx = −tgxdx; cos x

2 2 ∫ ln cos x .tgxdx = −∫ u du = −

=−

u3 +c = 3

ln 3 cos x +c 3

955.-

1 1 du . du = ; ln u u u ln u ln(ln u )du ln 2 (ln u ) t2 = = + = +c tdt c ∫ u ln u ∫ 2 2

956.-

∫e e ∫e

957.-

e x − e− x e x dx e− x dx dx = − ∫ e x + e− x ∫ e x + e− x ∫ e x + e− x =

t = ln(ln u ), dt =

x ex

dx; u = ee , du = ee e x dx;

x+ex

= ∫ d = u + c = ee + c

x

x

x

228

e 2 x dx e −2 x dx − ; u = e 2 x +1 , e 2 x + 1 ∫ 1 + e −2 x du = 2e 2 x dx; v = 1 + e −2 x , dv = −2e −2 x dx

=∫

e 2 x dx e −2 x dx 1 du 1 dv − ∫ e2 x + 1 ∫ 1 + e−2 x = 2 ∫ u + 2 ∫ v = 1 1 1 1 ln u + ln v + c = ln e 2 x + 1 + ln e −2 x + 1 2 2 2 2 1 +c = ln(e 2 x + 1)(e −2 x + 1) + c = 2 1 1 = ln(1 + e −2 x + e 2 x + 1) + c = ln(e 2 x + e −2 x + 2) + c 2 2

958.-

959.-

u = tgθ , du = sec 2 θ dθ ; ∫ etgθ sec 2 θ dθ = = ∫ eu du = eu + c = etgθ + c u = cos θ , du = − senθ dθ ; ∫

− senθ du dθ = ∫ = u cos θ

= ln u + c = ln cos θ + c

960.-

t = u 2 + 1, dt = 2udu; ∫ sec 2 (u 2 + 1)2udu =

961.-

u = 5 x, du = 5dx; ∫ 5sen5 xdx =

962.-

∫ sec

2

tdt = tgt + c = tg (u 2 + 1) + c

= ∫ senudu = − cos u + c = − cos 5 x + c 3

t = u 2 + 1, dt = 2udu; ∫ 2u (u 2 + 1) 2 du = 3 2

5

5 2 5 2 t2 = ∫ t dt = + c = t 2 + c = (u 2 + 1) 2 + c 5 5 5 2 2 = (u 2 + 1)5 + c 5

963.-

u = cos θ , du = − senθ dθ ; ∫ cos5 θ (− senθ )dθ = = ∫ u 5 du =

u6 cos 6 θ +c = +c 6 6

t = u 2 , dt = 2udu; ∫ 2ueu du = ∫ et dt = 2

964.-

2

= et + c = eu + c

229

965.-

∫

5sen5 xdx ; u = cos 5 x, du = −( sen5 x )5dx cos 5 x

du 5sen5 xdx = −∫ = − ln u + c = u cos 5 x = − ln cos 5 x + c

∫

966.-

u = senx, du = cos xdx; ∫ cos xe senx dx =

∫ e du = e u

u

+ c = e senx + c

t = −u 2 , dt = −2udu; ∫ ue − u du = − 2

967.-

1 t e dt = 2∫

1 1 2 = − et + c = − e − u + c 2 2

e x dx e x dx x x = ∫ e2 x + 2e x + 1 ∫ (e x + 1)2 ; u = e + 1, du = e dx;

968.-

e x dx du u −1 −2 = = = +c = u du ∫ (e x + 1)2 ∫ u 2 ∫ −1 1 1 = − +c = − x +c u e +1 u = 1 − x 2 , du = −2 xdx; ∫

xdx 1− x

2

=−

1 du = 2 ∫ 12 u

1

969.-

1 −1 1 u2 = − ∫ u 2 du = − +c = − u +c = 2 2 1 2 = − 1 − x2 + c

u = 1 − θ 2 , du = −2θ dθ ; ∫ θ 1 − θ 2 dθ = 3

970.-

1 1 1 u2 1 3 = − ∫ u 2 du = − +c = − u +c = 2 2 3 3 2 1 2 3 =− (1 − θ ) + c 3

230

1 − 1 dx u = x + 3, du = ( x + 3) 2 dx = , 2 2 x+3

971.-

∫

sen x + 3 dx = 2∫ senudu = 2(− cos u ) + c = x+3

= −2 cos u + c = −2 cos x + 3 + c

972.-

cos3 θ dθ cos3 θ 1 + senθ = ∫ 1 − senθ ∫ 1 − senθ .1 + senθ dθ = =∫

cos3 θ (1 + senθ ) cos3 θ (1 + senθ ) dθ = ∫ dθ = 2 1 − sen θ cos 2 θ

= ∫ cos(1 + senθ )dθ = ∫ (cos θ + cosθ senθ )dθ = = ∫ cos θ dθ + ∫ cosθ senθ dθ = senθ + c1 + + ∫ cos θ senθ dθ ; u = cosθ ; du = − senθ dθ ; senθ + c1 − ∫ cos θ senθ dθ = senθ + c1 − ∫ udu = senθ + c1 − = senθ −

973.-

u2 cos 2 θ + c2 = senθ + c1 − + c2 = 2 2

cos 2 θ +c 2

1 − cos 2θ 1 − cos 2θ sen 2θ 2 θ = θ = d d ∫ 1 + cos 2θ ∫ 1 + cos 2θ ∫ cos2 θ dθ = 2

1 − cos 2 θ = ∫( )dθ = ∫ (sec2 θ − 1)dθ = ∫ sec 2 θ dθ − ∫ dθ = 2 cos θ = tgθ − θ + c

974.-

u = x 2 + x + 1, du = (2 x + 1)dx; ∫ =∫

975.-

976.-

du = ln u + c = ln x 2 + x + 1 + c u

u = x 2 + 1, du = 2 xdx; ∫ =

(2 x + 1)dx = x2 + x + 1

xdx 1 du = ∫ 5 = 5 ( x + 1) 2 u 2

1 −5 1 u −4 1 1 u du = +c = − 4 +c = − +c 2 ∫ 2 2 −4 8u 8( x + 1) 4

u = a + bx, du = bdx; ∫

dx 1 du = ∫ = a + bx b u

1 1 = ln u + c = ln a + bx + c b b

231

977.-

978.-

1 n 1 u n +1 u du = +c b∫ b n +1 u n +1 (a + bx) n +1 = +c = +c b(n + 1) b(n + 1)

u = a + bx, du = bdx;

u = a + bx n , du = bnx n −1dx; ∫ =

x n −1dx = a + bx n

1 du 1 1 = ln u + c = n ln a + bx n + c bn ∫ u bn b

u = ax + b, du = adx; ∫ sen(ax + b)dx =

979.-

980.-

981.-

1 1 1 senudu = (− cos u ) + c = − cos u + c ∫ a a a 1 = − cos(ax + b) + c a =

u = x 2 + 1, du = 2 xdx; ∫ xsen( x 2 + 1)dx = =

1 1 1 sen u du = − cos u + c = − cos( x 2 + 1) + c ∫ 2 2 2

u = ln x ; du = = ∫ u − n du = =

982.-

(ln x )1− n 1− n

1 dx du dx; ∫ =∫ n = n x x(ln x) u

u − n +1 u1− n +c = +c = −n + 1 1− n +c

u = f ( x), du = f ′( x)dx; ∫

f ′( x) du = = f ( x) ∫ u

= ln u + c = ln f ( x) + c

Sección LXXXIV.- Dar el valor de las siguientes integrales definidas:

983.-

1

x

∫ (5 + 3 )dx

984.-

0

985.-

986.-

0

987.-

2

8udu ∫1 5u 2 − 3

∫

a + 4 xdx

0

1

−1 ∫ (12 − 3x) dx

2a

1

zdz 2 +5

∫ 3z 0

988.-

4

∫z 2

2

z −2 dz − 4z + 5

232

π

989.-

π

2

∫ cot gθ dθ

990.-

π

π

991.-

dθ

∫ π senθ cos θ 6

4

4

4

π

dθ

∫ cosθ

2

dθ

0

∫ π senθ

1

π

992.-

4

993.-

2udu

∫ 5 + 4u

994.2

0

0

g ′( x) dx ∫a g ( x)

π

b

995.-

∫ cos(a + bx)dx 2

996.-

∫ sen xdx 3

a

997.-

2

udu

∫ a −u

2

;a > 0

1

π 4

998.-

∫ tg θ dθ 2

0

eθ dθ ∫0 eθ + e−θ 1

999.-

1000.-

b

∫ [ sen(a + bx)]cos(a + bx)dx a

Sección LXXXV.- Identificar el área de la superficie s, si s es:

1001.-

Un cuadrado de lado a

1002.-

Un rectángulo de lados a y b

1003.-

Un triángulo rectángulo de catetos a y b

1004.-

Un triángulo de base b y altura h

1005.-

Un trapecio de bases a y b, con altura h

1006.-

Un triángulo rectángulo e isósceles de hipotenusa a

1007.-

Un triángulo equilátero de lado a

1007.-

Un circulo de radio a

Soluciones:

233

1001.-

1002.A(s)=a²

A(s)=ab

a

b

a

a

1004.-

1003.-

A(s)=a.h/2

b

h A(s)=ab/2

s

a

a

a

1005.-

h

A(s)=h(a+b)/2 b

1006.-

a

x

Por Pitágoras:

x

1007.-

a

a

x

Por Pitágoras:

S a/2

a/2

1008.-

S

x2 = a2 −

2x2 = a2 a 2 x= 2 a a2 2) 2 / 2 = A( s ) = ( 2 4 a2 ⇒ 4

3 2 a 3 a ⇒x= 4 2 a 3 a / 2. a2 3 2 A( s) = = 2 8

x2 =

a

Sección: LXXXVI.- Graficando previamente cada situación, calcular el área de la

superficie s (mediante el uso de la integral), si s está delimitada por: 1009.-

La recta: -3x+2y-4=0, el eje x y las rectas: x=1, x=3

1010.-

La recta: -y=2x+4, el eje x , el eje y y la recta: x=2

1011.-

La recta: -y=2x+4,, el eje x y el eje y

234

1012.-

La recta: -y=2x+4, el eje x y la recta: x=2

1013.-

La curva: y = 2 , el eje x y las rectas x = 1, x = 3

1014.-

La curva: y = x 2 − 3 x + 2, el eje x y las rectas x = 1, x = 4

1015.-

La curva: y = x3 , el eje x y las rectas x = −2, x = 2

1016.-

Las curvas: y = x 2 , y = x

1017.-

Las curvas: y = x 2 , y = x, x = 2

1018.-

Las curvas: y = 3x + 2, y = x, el eje y

1+ x

Soluciones: 3

1009.-

A( s ) = ∫ (

7

6

1

3x − 2)dx 2

5

3x − 2x 2 2 2 3x = − 2x 4 27 3 = ( − 6) − ( − 2) 4 4 3 3 = 6 −6− +2 4 4 A( s ) = 2 =

4

S

3

2

1

0 -2

-1

0

1

2

3

4

2 x2 + 4x 2 A( s ) = ∫ (2 x + 4) dx = x2 + 4x 0 = 4+8

9

1010.-

2

=

2

8 7 6 5

A( s ) = 12

4

S

3 2 1 0 -3

-2

-1

0

1

2

3

0

1011.-

A( s ) = ∫ (2 x + 4)dx −2

6

= x + 4x = −(4 − 8) A( s) = 4 (Dado que s es una 2

5 4 3

S

2 1 0

-3

-2

-1

0

1

superficie triangular, 2.4 se tiene A( s ) = = 4) 2

235

2

1012.-

A( s ) = ∫ (2 x + 4) dx −2

9

= x + 4x = (4 + 8) − (4 − 8) 2

(2,8)

8 7 6

= 12 + 4

5

A( s) = 16.(Dado que s es una superficie triangular, se

4

S

3 2 1

tiene : A( s ) =

0 -3

-2

-1

0

1

2

3

4.8 = 16) 2

3

3

2 dx dx = 2∫ 1+ x 1+ x 1 1

1013.-

A( s) = ∫

3

= 2 ln 1 + x = 2(ln 4 − ln 2)

2

= 2 ln 2 = ln 4 1

S 0 0

1014.-

1

2

3

4

A ( s ) = A ( s1 ) + A ( s 2 )

7 6 5

3

S1

1 0 -1

4

1

2

x3 3x 2 x3 3x 2 = −( − + 2 x) + ( − + 2 x) 3 2 3 2 8 1 3 = −[( − 6 + 4) − ( − + 2)] + 3 3 2 64 8 + ( − 24 + 8) − ( − 6 + 4) 3 3 17 A( s ) = 6

S2

2

-1

2

= ∫ −( x 2 − 3 x + 2)dx + ∫ ( x 2 − 3 x + 2)dx

4

0

1

2

3

4

5

-2

1015.-

A( s ) = A( s1 ) + A( s2 ) 8

pero : A( s1 ) = A( s2 ) ∴ A( s ) = 2 A( s1 ) 2

S2 -3

-2

S1

-1

0

1

2

= 2∫ x3 dx = 2

3

0

x4 4

x4 =8 2 A( s ) = 8

= -8

1016.-

y = x2 ⇒ Ptos de intersección : y=x

2

A

1

S 0 -2

-1

0

1

2

-1

236

⇒ x( x − 1) = 0 ⇒ ⇒ x = 0, x = 1.Ptos : (0, 0), (1,1)

1

x 2 x3 1 1 3 − 2 1 − = − = = 2 3 2 3 6 6

A( s) = ∫ ( x − x 2 )dx = 0

6 5

1017.-

A( s ) = A( s1 ) + A( s2 )

4 3

S2

2 1 0 -1

0 -1

S1

1

1

=

∫

2

3

2

( x − x 2 )dx +

0

∫ (x

2

− x)dx

1

x2 x3 x3 x2 )+ ( ) − − 2 3 3 2 1 1 8 1 1 = ( − ) + ( − 2) − ( − ) 2 3 3 3 2 1 2 1 = + + 6 3 6 A(s) = 1 = (

Pto. intersección : y = 3x + 2

1018.-

⇒

4

y=x

3

2

⇒ x = 3 x + 2 ⇒ −2 = 2 x ⇒ x = −1

1

A( s ) = ∫ [(3 x + 2) − x ]dx =

0

S

−1

0

-2

-1

0

1

-1

-2

2

0

∫ (2 x + 2) dx

−1

2x2 = + 2x = x2 + 2x = 2 = − (1 − 2) = 1(aprovechando que la superficie es triángular, se podria admitir que : A( s ) =

2.1 = 1) 2

Sección LXXXVII.- Calcular las ANIDERIVADAS de las funciones siguientes:

1019.-

∫ (2 x =

1020.-

3

− 3x 2 + 5)dx =

2 x 4 3x3 − + 5x + c = 4 3

x2 − x3 + 5 x + c 2

zdz

∫ z +1 = ∫

( z + 1) − 1 1 ) dz = dz = ∫ (1 − z +1 z +1

237

dz = z + c1 − ln z + 1 + c2 = z +1 = z − ln z + 1 + c = ∫ dz − ∫

1021.-

u = cos 3θ , du = −( sen3θ )3dθ ⇒ 1 u2 +c = 2

1

∫ cos 3θ sen3θ dθ = − 3 ∫ udu = − 3 u cos 2 3θ = − +c = − +c 6 6

1022.-

∫ cos φ dφ = ∫ cos 3

2

φ cos φ dφ = ∫ (1 − sen 2φ ) cos φ dφ =

= ∫ (cos φ − sen 2φ cos φ )dφ = ∫ cos φ dφ − − ∫ sen 2φ cos φ dφ = senφ + c1 − ∫ sen 2φ cos φ dφ ; u = senφ , du = cos φ dφ ⇒ senφ + c1 − ∫ u 2 du = = senφ + c1 − = senφ −

1023.-

1024.-

u3 sen3φ + c2 = senφ + c1 − + c2 = 3 3

sen3φ +c 3

udu 1 at ; t = u 2 − 4, dt = 2udu ⇒ ∫ = 2 −4 2 t 1 1 = ln t + c = ln u 2 − 4 + c 2 2

∫u

∫

tg φ

φ

dφ ; u = φ , du =

dφ

φ

⇒ 2∫ tgudu =

semudu ; t = cos u , dt = − senudu ⇒ cos u dt ⇒ −2 ∫ = −2 ln t + c = −2 ln cos φ + c t = 2∫

1025.-

∫(

3 x − 2) 2 dx = ∫ (3 x − 4 3 x + 4)dx = ∫ 3 xdx + ∫ 4 dx −

238

− ∫ 4 3 xdx =

3x 2 + c1 + 4 x + c2 − 4 ∫ 3 xdx = 2

3 2 x + 4 x + c3 − 4 ∫ 3 xdx; u = 3x, du = 3dx ⇒ 2 3 4 3 4 u 3/ 2 ⇒ x 2 + 4 x + c3 − ∫ u1/ 2 du = x 2 + 4 x − c3 − + c4 2 3 2 3 3/ 2 3 8 3 3 8 3 u + c4 = x 2 + 4 x − u +c= = x 2 + 4 x + c3 − 2 9 2 9 3 8 3 8 (3x)3 + c = x 2 + 4 x − .3x 3 x + c = x2 + 4x − 2 9 2 9 3 2 8 = x + 4 x − x 3x + c 2 3

∫x 1026.-

1027.-

1 1/ 2 1 u 3/ 2 2 = − + c = − u 3/ 2 + c = u du ∫ 3 3 3/ 2 9 2 3 2 3 =− u +c = − (1 − x ) + c 9 9 −

∫ tsent ⇒

1028.-

2

cos t 2 dt ; u = sent 2 , du = cos t 2 .2tdt

1 1 u2 u2 sen 2t udu = + c = + c = +c 2∫ 2 2 2 4 cos 3θ

∫ 1 + sen3θ dθ ; u = 1 + sen3θ , du = (cos 3θ )3dθ ⇒

∫

1029.-

1 − x3 dx, u = 1 − x3 , du = −3 x 2 dx

2

1 du 1 1 = ln u + c = ln 1 + sen3θ + c ∫ 3 u 3 3

udu

; t = 9 − u 2 , dt = −2udu ⇒ 9 − u2 1 dt 1 1 t 1/ 2 + c = −t 1/ 2 + c = − ∫ 1/ 2 = − ∫ t −1/ 2 dt = − 2 t 2 2 1/ 2 = − t + c = − 9 − u2 + c

1030.-

∫ (x

3

− x −3 )dx = ∫ x3dx − ∫ x −3 dx =

x 4 x −2 − +c = 4 −2

x4 1 + +c 4 2 x2

∫ cos 1031.-

2

θ dθ = ∫

1 + cos 2θ 1 1 dθ = ∫ dθ + cos 2θ dθ 2 2 2

1 1 = θ + c1 + ∫ cos 2θ dθ ;u = 2θ , du = 2dθ ⇒ 2 2 1 1 du 1 1 = θ + c1 + ∫ cos udu = θ + c1 + ∫ cos u 2 2 2 2 4 1 1 1 1 = θ + c1 + senu + c2 = θ + sen 2θ + c 2 4 2 4

239

ln t dt dt ; u = ln t , du = ⇒ ∫ udu = t t 2 2 u ln t +c = +c 2 2

∫

1032.-

Sección LXXXVIII.- Calcular las siguientes Integrales Indefinidas:

1033.-

∫ (2 x

1035.-

∫u

1037.-

∫ sen tdt

1039.-

3

− 5 x 2 + 1)dx

x− x dx x2

1034.-

∫

1036.-

∫ x + 2 dx

1038.-

u 3 du ∫ u2 + 4

∫ cos θ dθ

1040.-

t 3dt ∫ 4t 4 + 1

1041.-

x 2 dx ∫ x2 + 1

1042.-

∫

1043.-

∫ sen 2φ cos 2φ dφ

1044.-

u 2 du ∫ u2 + 9

1045.-

∫ sec θ tgθ dθ

1046.-

∫ cos ec2w cot g 2wdw

2

(1 + u 3 )1/ 2 du 2

senθ 9

3

3

2x

zdz

9 − z2

Soluciones: 1033.-

∫ (2 x =

1034.-

1035.-

3

− 5 x 2 + 1)dx =

2 x 4 5 x3 − + x+c = 4 3

x4 5 3 + x + x+c 2 3

x− x x x1/ 2 1 −3/ 2 dx = ( ∫ x2 ∫ x 2 − x2 )dx = ∫ ( x − x )dx = dx x −1/ 2 = ∫ − ∫ x −3/ 2 dx = ln x + c1 − + c2 = x −1/ 2 = ln x + 2 x −1/ 2 + c 1 1/ 2 t dt = 3∫ 1 t 3/ 2 2 2 = + c = t 3/ 2 + c = (1 + u 3 ) + c 3 3/ 2 9 9

t = 1 + u 3 , dt = 3u 2 du ⇒

240

( x + 2) − 2 2 x )dx = dx = 2 ∫ dx = 2∫ (1 − x+2 x+2 x+2 2 dx = 2∫ dx − 2∫ = dx = 2∫ dx − 4∫ x+2 x+2 = 2 x + c1 − 4 ln x + 2 + c2 = 2 x − 4 ln x + 2 + c

2∫

1036.-

1 − cos 2t 1 1 dt = ∫ dt − ∫ cos 2tdt = 2 2 2 1 1 = t + c1 − ∫ cos 2tdt ; u = 2t , du = 2dt ⇒ 2 2 1 1 1 1 = t + c1 − ∫ cos udu = t + c1 − senu + c2 2 4 2 4 1 1 1 1 = t + c1 − sen2t + c2 = t − sen2t + c 2 4 2 4

∫

1037.-

1038.-

1039.-

u 2udu 1 (t − 4)dt = ; u2 + 4 2 ∫ t 1 4 1 1 4 = ∫ (1 − )dt = ∫ dt − ∫ dt = 2 2 2 t t 1 1 = t + c1 − 2 ln t + c2 = t − 2 ln t + c 2 2

t = u 2 + 4, dt = 2udu ⇒ ∫

u = cos θ , du = − senθ dθ ⇒ − ∫ =−

1040.-

u −8 1 1 +c = 8 +c = +c −8 8u 8cos8 θ

u = 4t 4 + 1, du = 16t 3 dt ⇒ =

du = − ∫ u −9 du = u9

1 du = 16 ∫ u

1 1 ln u + c = ln 4t 4 + 1 + t 16 16

x 2 dx ( x 2 + 1 − 1)dx 1 =∫ = ∫ (1 − )dx = 2 +1 x2 + 1 1 + x2 dx = ∫ dx − ∫ = x + c1 − arctgx + c2 = 1 + x2 = x − arctgx + c

∫x

1041.-

u = 9 − z 2 , du = −2 zdz ⇒ −

1042.-

=−

1 du = 2 ∫ −u1/ 2

1 −1/ 2 1 u1/ 2 u du = − +c = − u +c = ∫ 2 2 1/ 2

= − 9 − z2 + c

1043.-

u = sen 2φ , du = 2 cos 2φ dφ ⇒

1 3 u du = 2∫

1 u4 u4 sen 4 2φ +c = +c = +c 2 4 8 8

241

1044.-

u 2 du u2 + 9 − 9 9 = ∫ u 2 + 9 ∫ u 2 + 9 du = ∫ (1 − u 2 + 9 )du = du x 1 ∫ du − 9∫ u 2 + 9 = u + c1 − 9. 3 arctg 3 + c2 x = u − 3arctg + c 3

1045.-

∫ sec θ tgθ dθ = ∫ sec θ secθ tgθ dθ ; u = secθ , du = secθ tgθ dθ ⇒ ∫ u du = 3

2

2

u3 sec3 θ +c = +c 3 3

1 cos ecuctgudu 2∫ 1 1 = − cos ecu + c = − cos ec 2 w + c 2 2

u = 2 w, du = 2dw ⇒

1046.-

Sección LXXXIX.- calcular las siguientes Integrales Definidas: 2

3

1047.-

3 ∫ 3x dx

1048.-

0

5x − x 2 ∫1 x dx 4

1051.-

0

1053.-

1050.-

4 − sen 2 xdx

1054.-

0

1055.-

1

∫ x( x

2

− 1)5 dx

1056.-

0

1057.-

5

2 ∫ u u − 1du

1058.-

4

1060.-

∫ 1

1061.-

1

∫ 0

1+ x dx x x ln x 2 + 1 x +1 2

a 2 − x 2 dx

dx x 2

∫ 8

sen u + 1 du u +1 3

∫

2

∫x

−2

1

1 sen dx x

1

∫z

3

1 + zdz

0

2

1059.-

∫x 0

1052.-

π /4

∫ cos 2 x

a

3

du 1 + 2u

∫

2

1

4

1049.-

∫ ( x − x )dx

π /2

cos x dx 2 sen x /4

∫ π e

dx

1062.-

∫e

ln x

dx

1

242

1063.1065.-

7

1 + tg 2u du sec 2 u 1

1064.-

∫

π /2

∫ 0

1066.-

1

∫ exp(ln x )dx 2

1

∫e

senθ dθ (3 + cosθ ) 2

−2 x

dx

0

−1

Soluciones: 1047.-

3

3

2 ∫ 3x dx =3 0

1048.-

81 243 x4 ⎤ ⎥ = 3. = 4 ⎦0 4 4 2

x 2 x3 ⎤ 8 1 1 − = (2 − ) − ( − ) = 2 3 ⎥⎦1 3 2 3 1 2 1 5 =− − =− 3 6 6 2

∫ ( x − x )dx = 2

4

4

4

x2 5x − x2 5x dx = ∫ ( 1/ 2 − 1/ 2 )dx = ∫ (5 x1/ 2 − x3/ 2 )dx = x x x 1 1 1

∫ 1049.-

4

=5

x3/ 2 x5 / 2 ⎤ 10 3 2 5 4 ⎤ − x − x 1⎥= ⎥ = 3 / 2 5 / 2 ⎦1 3 5 ⎦

10 6 2 10 10 2 10 2 10 2 =( 2 − 2 ) − ( − ) = ( .23 − .25 ) − ( − ) 3 5 3 5 3 5 3 5 80 64 10 2 14 = ( − ) − ( − ) = 10 3 5 3 5 15 a

1050.-

∫x

a 2 − x 2 dx; u = a 2 − x 2 ; x = 0 ⇒ u = a 2

⇒

0

du = −2 xdx; x = a ⇒ u = a 0

−

0

0 1 1/ 2 1 u 3/ 2 ⎤ 1 ⎤ u du = − = − u 3/ 2 ⎥ = ∫ 2 a2 2 3 / 2 ⎥⎦ a2 3 ⎦ a2 0

=− 4

∫ 1051.-

0

1 1 −a3 ⎤ ( a 2 − x 2 )3 ⎥ = − ( a 3 ) = 3 3 3 ⎦ a2

du ; t = 1 + 2u; u = 0 ⇒ t = 1 1 + 2u dt = 2du; u =4 ⇒ t=9

⇒

9

9 9 9 1 dt 1 −1/ 2 1 t1/ 2 ⎤ = t dt = ⎥ = t ⎤⎦1 = 3 − 1 = 2 1/ 2 ∫ ∫ 21t 21 2 1/ 2 ⎦1

1052.-

e

∫ 1

1 0 dx = ln x ]1e = ln e − ln1 = 1 x

243

π /4

∫ cos 2 x

4 − sen 2 xdx; u = 4 − sen 2 x

0

du = -(cos 2 x)2dx;

1053.-

x =0⇒u =4 3

⇒-

3 1 1/ 2 1 u 3/ 2 ⎤ u du = − = ∫ 24 2 3 / 2 ⎥⎦ 4

x =π /4⇒u = 3 1 3 ⎤3 1 1 3 4 u 27 + 64 = − 3 + 4= =− ⎦4 3 3 3 3 3 4 4 =− 3+ 3 =−

8

∫ 3

sen u + 1 du; t = u + 1 u +1

u =8⇒t =3

1054.-

⇒

; du dt = 2 u +1

u =3⇒t = 2

8

2∫ sentdt = 2(− cos t )]32 = − 2cos t ]2 = 3

3

= −2 cos 3 + 2 cos 2 1

1055.-

∫ x( x

2

− 1)5 dx; u = x 2 − 1

x = 0 ⇒ u = −1

0

; du = 2 xdx ⇒

0

x =1⇒ u = 0 0

1 5 1u ⎤ u ⎤ 1 1 u du = ⎥ = ⎥ = 0− = − 2 −∫1 2 6 ⎦ −1 12 ⎦ −1 12 12 0

2

6

6

2

1 1 1 1 −2 ∫1 x sen xdx = ∫1 x 2 sen x dx; u = x du = −

1056.-

1 ; x2

x =1⇒ u =1 1/ 2

⇒ - ∫ senudu = cos u ]1 = 1/ 2

1

1 x =2⇒u = 2 1 = cos − cos1 2

1057.-

5

∫u

2

u − 1du; t = u − 1

u = 2 ⇒ t =1

2

244

⇒

; dt = du

u =5⇒t = 4

5

∫u

u − 1du; t = u − 1; u = 2 ⇒ t = 1

2

2

⇒ dt = du; u = 5 ⇒ t = 4 4

4

1/ 2 2 1/ 2 2 ∫ t (t + 1) dt = ∫ t (t + 2t + 1)dt = 1

1

4

t7/2 t 5 / 2 t 3/ 2 ⎤ +2 + ⎥ = 7/2 5 / 2 3 / 2 ⎦1

4

= ∫ (t 5 / 2 + 2t 3/ 2 + t 1/ 2 )dt = 1

4

2 7 4 5 2 3⎤ t + t + t ⎥ = 7 5 3 ⎦1 2 7 4 5 2 3 2 4 2 16 = .2 + .2 + .2 − − − = 66 7 5 3 7 5 3 105 =

1058.-

π /2

cos x dx; u = senx 3 sen x /4

∫ π

x =π /4⇒u = 2 /2 ⇒

; x =π /2 ⇒ u = 1

du = cos xdx 1

du = u3 2/2

∫

1

∫

u −3du =

2/2

u −2 ⎤ −2 ⎥⎦

1

1

= 2 /2

−1 ⎤ 2u 2 ⎥⎦

= 2 /2

1 1 = − +1 = 2 2

1059.-

4

∫ 1

1+ x dx; u = 1 + x x

x =1⇒ u = 2 ⇒

; dx du = 2 x 3

⇒ 2∫ u1/2 du = 2 2

3

x=4 ⇒ u=3 3

u 3/ 2 ⎤ 4 3⎤ u ⎥ = ⎥ = 3/ 2 ⎦ 2 3 ⎦2

4 4 8 2 = ( 33 − 23 ) = (3 3 − 2 2) = 4 3 − 3 3 3

1060.-

1

∫z

3

1 + zdz; u = 1 + z

z = 0 ⇒ u =1

0

245

⇒

; du = dz 2

2

1

1

z =1⇒ u = 2 2

⇒ ∫ u1/ 3 (u − 1)du = ∫ (u 4 / 3 − u1/ 3 )du =

u7/3 u4/3 ⎤ − = 7 / 3 4 / 3 ⎥⎦1

3 3 3 3 3 3 = 3 u 7 − 3 u 4 = 3 27 − 3 24 − + = 7 4 7 4 7 4 3 3 3 3 3 12 6 12 − 21 = .4 2 − 2 3 2 − + = 3 2 − 3 2 − 7 4 7 4 7 4 28 63 2 − 9 = 28 1

∫ 1061.-

0

x ln( x 2 + 1) dx; u = ln( x 2 + 1) x2 + 1

x =0⇒u =0 ;

2 xdx du = 2 x +1 ⇒

1 2

ln 2

ln 2

∫

udu =

0

x = 1 ⇒ u = ln 2

ln 2

u2 ⎤ 1 u2 ⎤ ln 2 2 ln 2 0 = ⎥ = − ⎥ 2 2 ⎦0 4 ⎦0 4 4

Como “ln 0” no está definida, aceptando que esta integral no admite solución. 1062.1063.1064.-

e

x2 ⎤ e2 − 1 = = = e dx xdx ∫1 ∫1 2 ⎥⎦1 2 e

e

ln x

7

7

1 + tg 2u 7 ∫1 sec2 u du = ∫1 du = u ]1 = 7 − 1 = 6 π /2

∫ 0

senθ dθ ; u = 3 + cos θ (3 + cosθ ) 2

θ =0 ⇒ u = 4 ⇒

; du = − senθ dθ 3

θ =π /2 ⇒ u=3 3

3 du −u −1 ⎤ 1⎤ 1 1 = − ∫ u −2 du = ⎥ = u⎥ = 3− 4 = 2 u − 1 ⎦4 ⎦4 4 4 4−3 1 = = 12 12 3

-∫

1065.-

1

1

−1

−1

2 2 ∫ exp(ln x )dx = ∫ x dx =

=

1

x3 ⎤ 1 1 = + = ⎥ 3 ⎦ −1 3 3

2 3

246

1

∫e

−2 x

dx; u = −2 x

x =0⇒u =0

0

1066.-

⇒

; du = −2dx

x = 1 ⇒ u = −2 −2

−2

⇒− =

1 u 1 ⎤ 1 1 e du = − eu ⎥ = − e−2 + e0 = 2 ∫0 2 ⎦0 2 2

1 1 − 2 2e 2

Sección XC.- Calcular el área de la región R:(A(R)), si R esta limitada por: x + 1, ejex, x = −4, x = 1 2

1067.-

y=

1068.-

y 2 = x, y = x 2

1069.-

xy = 1, y = 3x, y =

1070.-

x y = 3− , y = x 2

1071-

x + y = 1, y = x, y = 2

1072-

y = x2 , y = 3 −

1073-

y = x 2 + 1, y = −2, x = −1, x = 2

1074-

xy = 1, x = 1, x = 3

1075-

Los lados del triángulo de vértices : (−1, 2), (3, −4), (3,5)

1076-

y = x , eje x, x = −2, x = 1

1077-

y = x ;y =3

1078-

y = e x , x = −2, x = 3, ejex

1079-

y = e x , eje x, ej y, x = 1

1080.-

eje x, eje y , x = −2, y = −5

1081.-

y = x − 3 , y = x, eje x

1082.-

los lados del triángulo de vértices : ( −3, −1), (0,5), (3, 0)

1083.-

los lados del triángulo de vértices : ( −2, 4), (2, 0), (0, −3)

x 3

1 x 2

247

1084.-

y = − x + 2, y =

x−2 ,y = x+2 2

Soluciones: A( R) = A( R1 ) + A( R2 )

1067.-

−2

3

1

2

x x = ∫ −( + 1)dx + ∫ ( + 1)dx 2 2 −4 −2 −2

1

R2 0

1

x x = − ∫ ( + 1)dx + ∫ ( ) + 1dx 2 2 −4 −2 = −(

−2

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-1

R1 -2

1

⎤ ⎤ x x + x) ⎥ + ( + x) ⎥ 4 4 ⎦ −4 ⎦ −2 2

2

1 1 = [(1 − 2) − (4 − 4)] + ( + 1) − (1 − 2) = 3 4 4

1068.-

pto intersección

1 ,5

⇒ x2 = x ⇒ x4 = x ⇒

y= x R

⇒ x 4 − x = 0 ⇒ x( x3 − 1) = 0 ⇒ x = 0, x = 1

y = x2

0 -0,5

0,5

1

1,5

1

A( R) = ∫ ( x − x 2 )dx = ∫ ( x1/ 2 − x 2 )dx = 0

0

1

x3/ 2 x3 ⎤ =( − ) 3 / 2 3 ⎥⎦ 0 1

=

1069.-

2 3 x3 ⎤ 2 1 1 x − ⎥ = − = 3 3 ⎦0 3 3 3

ptos intersecciónes:

3

y = 3x

y=3x

2

xy = 1

⇒

y = 3x y=

1

R √⅓

2

=

1 3

1 3

⇒x=

y=x/3

0 0

1 x

1

⇒ ⇒ 3x = x ⇒ x

1

√3

2

3

x 3 xy = 1 y=

⇒

x 3 1 y= x y=

x

1

2 ⇒ ⇒ 3 = x ⇒ x =3

⇒x= 3

248

A( R ) =

1 3

x (3 x − )dx + 3

∫ 0

1

x2 ⎤ 1 x 3x2 x2 ⎤ 3 ∫ ( x − 3 )dx = ( 2 − 6 ) ⎦⎥ + (ln x − 6 ) ⎦⎥ 1 0 3

3 1

=

x2 ⎤ 9x2 − x2 ⎤ 3 + (ln x − ) ⎥ ⎥ 6 6 ⎦ ⎦0

3

= 1 3

x2 ⎤ 8x2 ⎤ + (ln x − ) ⎥ ⎥ 6 ⎦ 6 ⎦

3

1 3

3

1 3

1 3 1 1/ 3 )= = 3 + (ln 3 − ) − (ln − 6 6 3 6 8.

=

4 1 1 1 8 − 9 +1 3 + ln 3 − − ln + = + ln = ln 3 9 2 3 18 18 1/ 3

1070.-

ptos intersecciónes: 7

A

x x = 3− ⇒ x 2 y = 3− 2 ⇒ 2x = 6 − x y=x ⇒ 3x = 6

6 5 4

R1

3

R2

2

B

⇒ x = 2;

1 0 -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

⇒ ⇒ 3 − x = −x

7

y = 3−

x 2

2 ⇒ 6 − x = −2 x

y = −x

⇒ x = −6; A( R) = A( R1 ) + A( R2 ) ⇒ 0

0 2 x 3 x2 ⎤ A( R) = ∫ [(3 − ) dx] + ∫ (3 − x)dx = (3x + ) ⎥ 2 2 4 ⎦ −6 0 −6 2

3 ⎤ +(3x − x 2 ) ⎥ 4 ⎦0 = −(−18 + 9) + (6 − 3) = 9 + 3 = 12

1071.-

pto intersección:

3

⇒ x = 1 − x ⇒ 2x = 1 ⇒

2

y=x 1 1 y = 1− x ⇒ x = , y =

R2 1

2

½ 0 -3

-2

-1

0

½

1

2

3

4

-1

2

R2 es el área de una superficie triangular de base 3 y altura A(3) =

3 2

:

3.3 / 2 9 = 2 4

5

1072.R

4

ptos intersección:

3

y=x

2

y = 3−

1 0 -3

-2

-1

2

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 x ⇒ x = 3− x ⇒ 2 2

1 x −3 = 0 ⇒ 2 1 1 1 7 − ± + 12 − ± 4 x= 2 = 2 2⇒ 2 2 3 ⇒ x = , x = −2 ∴ 2 ⇒ x2 +

249

3/ 2

A( R) =

3/ 2

1

1

∫ [(3 − 2 x) − x ]dx = ∫ (3 − 2 x − x )dx = 2

−2

2

−2

3/ 2

1 3 1 9 81 1 8 x3 ⎤ = 3x − x 2 − ⎥ = 3. − . − − (−6 − .4 − ) = 4 3 ⎦ −2 2 4 4 8.3 4 5 =

9 9 27 8 2 − 9 − 54 2 11 − − + 6 +1+ = + 7 + 2 = 10 2 16 8 3 16 3 40

1073.6

2

4

−1

3 2

=

1 0 -3

-2

-1

-1

2

A( R) = ∫ [( x 2 + 1) − (−2)]dx = ∫ ( x 2 + 3)dx =

5

0

1

2

R

3

4

−1

2

⎤ x 8 1 + 3 x ⎥ = + 6 − (− − 3) 3 3 3 ⎦ −1 3

8 1 = + 6 + + 3 = 12 3 3

-2 -3 3

1074.-

2

3

3 ⎛1⎞ A( R ) = ∫ ⎜ ⎟dx = ln x ⎤⎦1 = x ⎠ 1⎝

1

0

= ln 3 − ln1 = ln 3

R 0 0

1

1075.-

2

3

4

R es una superficie

6 5 4

triangular de base 9 y

3 2

R

altura 4

1 0 -2

-1

-1

0

1

2

3

4

-2

∴ A( R ) =

-3 -4 -5

1076.-

9.4 = 18 2

A( R) = A( R1 ) + A( R2 ), donde R1 yR2 son

3

superficie triangular tal que: A( R) =

2

1

2.2 1.1 1 1 + = 2+ = 2 2 2 2 2

1077.-

R1 R2 0 -3

-2

-1

0

1

2

R es una superficie triangular de

4 3

R

base 6 y altura 3

2 1 0

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

∴ A( R) =

6.3 =9 2

250

3

1078.-

A( R) = ∫ e x dx = e x ⎤⎦ = e3 − e 2 =

4

−2

3 2

e −1 e2 5

R

1 0 -3

-2

-1

-1

0

1

2

3

4

-2

1

1079.-

1

A( R) = ∫ e x dx = e x ⎤⎦ = e − 1

2

0

0

1

R 0 -1

0

1

1080.-

2

R es una superficie rectangular

2 1

de base 2 y altura 5

0 -3

-2

-1

0

1

2

-1

R

A( R ) = 2.5 = 10

-2 -3 -4 -5 -6

1081.-

y = ( x − 3)

⇒ y = −x + 3 ⇒

4 3

y=x

y=x

2 1

⇒ -x+3=x ⇒ 2x=3 ⇒ x = 3/ 2 ;y=3/2

R

0 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-1

p(3/2,3/2) Pto intersección. Dado que R es triangular: A(R)= 3.3 / 2 9 = 2 4

1082.5 +1 x ⇒ y − 5 = 2x ⇒ 0+3 ⇒ y = 2x + 5

L1 = y − 5 =

(0, 5)

L1

R2 R1

-(3, -1)

L2

L2 = y − 5 = (3, 0)

5.0 5 x ⇒ y −5 = − x ⇒ 0−3 3

5 ⇒ y = − x+5 3 0 +1 1 L3 = y + 1 = ( x + 3) ⇒ y + 1 = ( x + 3) 3+3 6 x 3 x 3 ⇒ y = + +1 ⇒ y = + 6 6 6 2

251

0

0

x 3 x 3 A( R1 ) = ∫ [(2 x + 5) − ( + )]dx = ∫ (2 x + 5 − − )dx 6 2 6 2 −3 −3 0

=∫ ( -3

0

0

11 7 11 x 2 7 ⎤ 11 7 ⎤ x + )dx = . + x ⎥ = x 2 + x ⎥ = 6 2 6 2 2 ⎦ −3 12 2 ⎦ −3

99 63 1 − ) = 23 12 2 4 3 3 x 3 x 3 5 5 A( R2 ) = ∫ [(− x + 5) − ( + )]dx = ∫ (− x + 5 − − )dx 3 6 2 3 6 2 0 0 =−(

3

= ∫ (− 0

=−

3

3

11 7 11 x 2 7 ⎤ 11 7 ⎤ x + )dx = − . + x ⎥ = − x 2 + x ⎥ 6 2 6 2 2 ⎦0 12 2 ⎦0

99 21 9 + = 12 2 4

1 1 1 A( R) = A( R1 ) + A( R2 ) = 23 + 2 = 25 4 4 2

1083.L1 = y + 3 =

7 ⇒ y = − x−3 2 0+3 3 L2 = y + 3 = x ⇒ y+3= x⇒ 2−0 2 3 ⇒ y = x−3 2 4−0 L3 = y = ( x − 2) ⇒ y = −( x − 2) ⇒ −2 − 2 ⇒ y = −x + 2

( - 2, 4)

R 1

4+3 7 x ⇒ y+3= − x ⇒ 2 −2 + 0

( 2, 0)

R2 ( 0, - 3)

0

0

7 7 A( R1 ) = ∫ [(− x + 2) − (− x − 3)]dx = ∫ (− x + 2 + x + 3)dx 2 2 −2 −2 0

0

0 ⎤ 5 5 x2 5 ⎤ = ∫ ( x+5)dx = . + 5 x ⎥ = x 2 + 5 x ⎥ = 2 6 2 ⎦ −2 ⎦ −2 4 -2

= − (5 − 10) = 5 2

2

3 3 A( R2 ) = ∫ [(− x + 2) − ( x − 3)]dx = ∫ (− x + 2 − x + 3)dx = 2 2 0 0 2

2

2 ⎤ 5 5 x2 5 ⎤ = ∫ (− x + 5)dx = (− . + 5 x) ⎥ = (− x 2 + 5 x ⎥ = 2 2 2 4 ⎦0 ⎦0 0

= −(5 + 10) = 5 A( R) = A( R1 ) + A( R2 ) = 5 + 5 = 10

252

1084.y=x-2

4

0

y=x-2

3

A( R1 ) = ∫ [( x + 2) − (

2

−6

1 0

-7

-6

-5

-4

-3

0

x = ∫ ( x + 2 − + 1)dx = 2 −6

R2

-2 R1 -1 -1 0

1

2

3

4

-2

0

x = ∫ ( +3)dx = 2 -6

-3

y=(x-2)/2

-4

0

-5

= 2

A( R2 ) = ∫ [(− x + 2) − ( 0

x−2 )]dx 2

⎤ x2 + 3x ⎥ = −(9 − 18) = 0 4 ⎦ −6

2

x−2 x )]dx = ∫ (− x + 2 − + 1)dx = 2 2 0 2

2

3 3 3 ⎤ = ∫ (− x + 3)dx = ( − x 2 + 3 x) ⎥ = (− .4 + 6) = 3 2 4 4 ⎦0 0 A( R ) = A( R1 ) + A( R2 ) = 9 + 3 = 12

Sección XCI.- calcular las siguientes integrales indefinidas:

1085.-

∫ (x

1087.-

∫ (u − 2u

1 2 − )du 2 3 x x2

∫ (x +

1088.-

∫ (w + w

1090.-

∫ (e

1092.-

∫ (sec

1094.-

∫ 1+φ

1096.-

∫ tg λ d λ

(mt + n)5 dt

1098.-

∫

senϕ

1100.-

−2 x + −1/ 3

+ u1/ 4 )du

1089.-

∫ ( sen θ + cos

1091.-

1 + tg 2 3w ∫ sec2 3w dw

1093.-

∫ dθ

2

2

5dt t

1095.-

∫

1097.-

∫

1099.-

∫ cos

1101.-

1 )dx x

1086.-

3

3

n

ϕ

dϕ

du ∫ 1 + (3u + 1)2

θ )dθ

1102.-

1

φ

2

) dw

+ 1)dφ 2

φ − cos 2 φ )0 dϕ

5dθ

∫

2

2 ln x dx 3x dt

π

cos (2t − ) 2 2

∫ (1 + ax) dx 5

253

1103.-

udu ∫ (1 + 2u 2 )3

1104.-

∫e

1105.-

∫

tdt

1106.-

∫

1107.-

enθ dθ ∫ (1 + enθ )2

1108.-

∫ te

1109.-

∫

1110.-

∫ cot gnθ dθ

1111.-

x ∫ exp(ln y )dx

1112.-

∫ ln e

1 + 3t 2

ln y y

2

dx

senφ

cos φ dφ

1 + 5t 2 dt t2

dt

2 x2 y

dy

Soluciones: 1085.-

∫ (x =

1086.-

1087.-

3

− 2 x1/ 2 + x −2 − 2 x −2 / 3 )dx =

x4 x 3/ 2 x −1 2 x1/ 3 −2 + − +c 4 3 / 2 −1 1/ 3

1 4 4 3/ 2 1 x − x − − 6 x1/ 3 + c 4 3 x

∫ (x + x

−1/ 2

)dx =

x 2 x1/ 2 1 + + c = x 2 + 2 x1/ 2 + c 2 1/ 2 2

−1/ 3 1/ 4 ∫ (u − 2u + u )du =

=

u2 u 2 / 3 u 5/ 4 −2 + +c 2 2/3 5/ 4

4 u2 − 3u 3/ 2 + u 5 / 4 + c 2 5 w2 w−1 w2 1 + +c = − +c −1 2 2 w

1088.-

−2 ∫ (w + w )dw =

1089.-

∫ dθ = θ + c

1090.-

∫ e d φ + ∫ dφ = e

1091.-

∫ dw = w + c

1092.-

∫ dφ = φ + c

1093.-

∫ dθ = θ + c

1094.-

5∫

φ

φ

+φ + c

dθ = 5arctgθ + c 1+θ 2

254

1095.-

5∫

dt = 5ln t + c t

senλ

1096.-

∫ cos λ d λ ; u = cos λ ⇒ −∫

u = − ln u + c ⇒ u

du = -senλ d λ = ln cos λ + c = ln cos λ

∫ (mt + n)

5/3

−1

+ c = ln sec λ + c

dt ; u = mt + n ⇒

1097.-

1 5/ 2 u du = m∫

du = mdt 8/3

1 u 3u 8 / 3 3 3 8 +c = +c = u +c = . m 8/3 8m 8m 3 3 = (mt + n)8 + c 8m =

1098.-

2 ln α dα ; u = ln α 2 2 u2 3∫ α ⇒ ∫ udu = . + c 3 3 2 dα du =

α

=

1099.-

1 ln 3

α

+ c

2 senϕ dϕ ; u = cos ϕ du ⇒ − ∫ n = − ∫ u − n du 3 ∫ cos n ϕ u du = − senϕ dϕ

=−

1100.-

2

u − n +1 u1− n cos1− n ϕ cos1− n ϕ +c = − +c = − +c = −n + 1 1− n 1− n n −1 π

π

∫ sec (2t − 2 )dt; u = 2t − 2 ⇒ 1 ∫ sec 2

2

du = 2dt

2

udu =

1 1 π = tgu + c = tg (2t − ) + c 2 2 2

1101.-

du

∫ 1 + (3u + 1)

2

; t = 3u + 1 ⇒ 1 dt = 3du

dt

3 ∫ 1+ t

2

1 = arctgt 3

1 = arctg (3u + 1) + c 3

1102.-

∫ (1 + ax) dx; u = 1 + ax ⇒ 1 ∫ u du = 1 . u 5

5

du = adx

a

6

a 6

255

=

u6 (1 + ax)6 +c = +c 6a 6a udu

1103.-

∫ (1 + 2u

2 3

)

; t = 1 + 2u 2

⇒

dt = 4udu

1 dt 1 −3 t dt = 4 ∫ t3 4 ∫

1 t −2 1 1 = . +c = − 2 +c = − +c 4 −2 8t 8(1 + 2u 2 ) 2

1104.-

∫e

senφ

cos φ dφ ; u = senφ du = cos φ dφ

⇒ ∫ eu du =

= eu + c = e senφ + c 1105.-

∫

tdt 1 + 3t 2

; u = 1 + 3t ⇒ 1 du = 6tdt

=

1106.-

∫

1107.-

1 + 5t 2 tdt ; u = 1 + 5t 2

⇒

2 senϕ dϕ ; u = cos ϕ 3 ∫ cos n ϕ du = − senϕ dϕ

1 −1/ 2 u du = 2∫

1 u1/ 2 du = 10 ∫

⇒ −∫

du = − ∫ u − n du un

u − n +1 u1− n cos1− n ϕ cos1− n ϕ +c = − +c = − +c = 1− n 1− n n −1 −n + 1

2 senϕ dϕ ; u = cos ϕ du ⇒ − ∫ n = − ∫ u − n du 3 ∫ cos n ϕ u du = − senϕ dϕ =−

1109.-

=

1 u 3/ 2 1 +c = (1 + 5t 2 )3 + c 10 3 / 2 15

=−

1108.-

1/ 2

1 u1/ 2 + c = u + c = 1 + 3t 2 + c 2 1/ 2

du = 10tdt =

du

6∫u

u − n +1 u1− n cos1− n ϕ cos1− n ϕ +c = − +c = − +c = 1− n 1− n n −1 −n + 1

ln y ln y dx = 2 x + c 2 ∫ y y du = − senϕ dϕ

256

1110.-

∫

cos(nθ )dθ 1 du ; u = sen(nθ ) ⇒ = sen(nθ ) n u du = cos(nθ )ndθ

∫

1 1 ln u + c = ln sen( nθ ) + c n n

=

1 x2

1

x

x2

1111.-

∫ y dx = y ∫ xdx = y . 2 + c = 2 y + c

1112.-

∫ 2x

2

ydy = 2 x 2 ∫ ydy = 2 x 2 .

y2 +c = 2

= x2 y 2 + c

Sección XCII.- Calcular las siguientes integrales definidas: 1

1

1113.-

2 ∫ (t − t )dt

1114.-

a

∫ (ax − x

1117.-

∫

)dx

1116.-

ln t t

dt

1118.-

senθ ∫0 cos5 θ dθ

1/ 3

1120.-

2 ∫ cos tdt

π /3

∫

sen3λ d λ

3

∫

∫ sec

2

wdw

0

z

1126.-

∫a

2z

dz

0

1 + φ dφ

25

1128.-

∫ 4

5

x

∫ a dx x

0

2

π /4

1124.-

0

1129.-

∫ sen φ dφ 0

0

1127.-

2

π

1122.-

b

1 xdx b − a ∫a

dt

∫ 1 + (3t − 1) 0

0

1125.-

∫ cot gφ dφ

π /4

π

1123.-

3

π /2

π

1121.-

∫ 5t dt x

x

1119.-

− z 2 )dz

y

2

0

y

4

−1

0

1115.-

∫ (z

1130.-

dx x 3

∫ (2 + 2 y)dy 1

257

4

1131.-

y2

5dx ∫2 3 + x

∫ pdv

1132.-

y1

6

1133.-

r

∫

x (6 − x) xdx

∫ (r

1134.-

− x 2 ) dx

0

0

π

2π b 2 2 2 ∫0 a 2 (a − x )dx a

1135.-

2

∫ sen xdx 2

1136.-

0

Soluciones: 1113.-

1

1

2 ∫ (t − t )dt = 0

1 1 1 t2 t3 ⎤ − = − = 2 3 ⎥⎦ 0 2 3 6 1

1

1114.-

4 2 ∫ ( z − z )dz =

−1

=

1115.-

z5 z3 ⎤ 1 1 1 1 − ⎥ = ( − ) − (− + ) = 5 3 ⎦ −1 5 3 5 3

2 2 6 − 10 4 − = =− 5 3 15 15 a

a

2 ∫ (ax − x )dx = ( 0

1116.-

y

y

3 ∫ 5t dt = x

1117.-

y

∫

ax 2 x 3 ⎤ a3 a3 a3 − )⎥ = − = 2 3 ⎦0 2 3 6

ln t 2t

x

5t 4 ⎤ 5 y4 5 4 5 4 − x = ( y − x4 ) ⎥ = 4 ⎦x 4 4 4 1 ln t dt ; 2 ∫x t y

dt =

t = x ⇒ u = ln x

ln y

ln y

u2 ⎤ 1 ⇒ ∫ udu = ⎥ = (ln 2 y − ln 2 x) 2 ⎦ ln x 2 t = y ⇒ u = ln y ln x π /2

1118.-

∫

cot gφ dφ =

π /4

φ= φ= π

1119.-

∫ 0

π 4

π

2

⇒u = ⇒ u =1

u = senφ dφ cos φ dφ ⇒ ; ∫ du = cos φ dφ ; π / 4 senφ π /2

2 1 1 du 2 ⇒ ∫ u = ln u ⎤⎦ 2 / 2 = 2 /2 = − ln

0

ln1 − ln

2 = 2

0 1 = − ln1 + ln 2 = ln 2 2

θ = 0 ⇒ u =1 senθ dθ u = cos θ ; ⇒ ; 5 cos θ du = − senθ dθ θ = π ⇒ u = −1

258

−1

−1

−1

−1 du u −4 ⎤ 1 ⎤ 1 1 − ∫ 5 = − ∫ u −5 du = = 4⎥ = − =0 ⎥ u 4u ⎦1 4 4 −4 ⎦ 1 1 1

t = 0 ⇒ u = −1 u = 3t − 1 dt ∫0 1 + (3t − 1)2 ; du = 3dt ; t = 1 ⇒ u = 0 ⇒ 3

1/ 3

1120.-

1 3

0

1/ 3

1 1 du ⎤ ∫0 1 + u 2 = 3 arctgu ⎥⎦ −1 = 3 (arctg 0 − arctg (−1))

π 1 3π = (0 − ) = − 3 4 4 π

π

π

1 + cos 2t 1 ∫0 cos tdt = ∫0 2 dt = 2 ∫0 (1 + cos 2t )dt = 2

π

1121.-

=

π

π

π

1 1 1 ⎤ 1 dt + ∫ cos 2tdt = t ⎥ + ∫ cos 2tdt = ∫ 20 20 2 ⎦0 2 0 π

1 1 = π − ∫ cos 2tdt ;u = 2t ; t = 0 ⇒ u = 0 2 20 du = 2dt ; t = π ⇒ u = 2π 1 1 = π− 2 4

2π

2π

1 1 ⎤ ∫0 cos udu = 2 π − 4 (− senu ) ⎥⎦ 0 = 2π

1 1 1 ⎤ = π + senu ⎥ = π 2 4 2 ⎦0 π

π

π

1 − cos 2φ 1 ∫0 sen φ dφ = ∫0 2 dφ = 2 ∫0 (1 − cos 2φ )dφ = 2

1122.-

π

π

π

π

1 1 1 ⎤ 1 = ∫ dφ − ∫ cos 2φ dφ = φ ⎥ − ∫ cos 2φ dφ 20 20 2 ⎦0 2 0 ; u = 2φ ;

φ =0⇒u =0 du = 2dφ ; φ = π ⇒ u = 2π π

1 ⎤ 1 ⇒ φ⎥ − 2 ⎦0 4 π

2π

∫ cos udu = 0

2π

1 ⎤ 1 1 ⎤ = φ ⎥ − senu ⎥ = π 2 ⎦0 4 2 ⎦0

259

b

1123.-

b 1 1 x2 ⎤ 1 ⎛ b2 − a 2 ⎞ xdx = . = ⎜ ⎟= b − a ∫a b − a 2 ⎥⎦ a b − a ⎝ 2 ⎠

π /4

1124.-

∫ sec

2

wdw = tgw]0

π /4

= tg

0

π /3

1125.-

∫ 0

π /3

z

a2z ⎤ a2z −1 a dz = = ⎥ ∫0 2 ln a ⎦ 0 2 ln a 2z

3

3

1127.-

2 2 14 ⎤ 1 + φ dφ = (1 + φ )3 ⎥ = ( 4 − 1) = 3 3 ⎦0 3

∫ 0

25

1128.-

∫ 4

25

dx ⎤ = 2 x ⎥ = (10 − 4) = 6 x ⎦4 x

ax ⎤ ax −1 a dx = = ⎥ ∫0 ln a ⎦ 0 ln a x

1129.-

x

5

1130.-

− tg 0 = 1 − 0 = 1

4

1 1 ⎤ sen3λ d λ = − cos 3λ ⎥ = − (cos π − cos 0) 3 3 ⎦0

z

1126.-

π

∫ 2dy + 1

5

5

3 3 ⎤ 3 ydy = 2 y + y 2 ⎥ = (10 + 18 ) ∫ 21 4 ⎦1 4

3 −(2 + ) = 25 4 4

1131.-

4 dx = 5ln 3 + x ⎤⎦ 2 = 5(ln 7 − ln 5) = 3+ x 2

5∫

= 5ln

1132.-

7 5

v2

∫ pdv = pv]

v2 v1

= pv2 − pv1 = p(v2 − v1 )

v1

6

1133.-

∫ 0

6

6

0

0

x (6 − x) xdx = 6∫ x xdx − ∫ x 2 xdx =

= 6.

6

6

x ⎤ x ⎤ 12 5 2 7 − = 6 − 6 5 / 2 ⎥⎦ 0 7 / 2 ⎥⎦ 0 5 7 5/ 2

7/2

260

r

r

1134.-

π ∫ (r 2 − x 2 )dx = π (r 2 x − 0

x3 ⎤ r3 ) ⎥ = π (r 3 − ) = 3 ⎦0 3

2 = π r3 3 a

1135.-

a 2π b 2π b 2 x3 ⎤ 4 2 2 ( a x ) dx ( a x ) ⎥ = π ab 2 − = − 2 ∫ 2 a 0 a 3 ⎦0 3

1136.-

π ∫ sen 2 xdx = π (π − senx cos x) ⎥ = π 2

π

0

π

⎤ ⎦0

1 2

1 2

Sección XCIII.- Calcular las áreas correspondientes a las superficies l, acotadas por:

1137.-

y = x 3 , x = −1, x = 2 y eje x

1138.-

y = x 2 − x + 2, eje x con x = 1, x = 3

1139.-

y = x 2 , y = x3 , eje x con x = 1, x = 3

1140.-

y = x2 , x + y = 2

1141.-

y = sen x en [0, 2π ], eje x

1142.-

y = cos x en[0, 2π ], eje

1143.-

y = sen x en[0, π / 2], eje y , y = 1

1144.-

y 2 + 4 x = 0, x = −1, x = 0

1145.-

y = 2 x, y = x 3

1146.-

y = x , eje x, x = 4

1147.-

y = x , eje y , y = 2

1148.-

y = x 2 , y = − x 2 , x = −1, x = 1

1149.-

y = x2 , y = 3

1150.-

y = x 2 , y = 1, y = 3

1151.-

y = x 2 , y = − x , x = −1, x = 1

x

Soluciones:

10 9 8 7 6 5 4 3 2

R1 -2

R2

1 0

-1 -1 0 -2 -3

1

2

3

261

A( R) = A( R1 ) + A( R2 ) =

1137.-

0

2

0

2

−1

0

= ∫ (− x 3 ) dx + ∫ x 3 dx = − ∫ x 3 dx + ∫ x 3 dx −1

=−

0

0

2

1 16 1 x ⎤ x ⎤ + = −( − ) + = 4 4 ⎥⎦ −1 4 ⎥⎦ 0 4 4 4 4

4

A( R) = A( R1 ) + A( R2 )

1138.-

2

3

= − ∫ ( x 2 − x − 2)dx + ∫ ( x 2 − x − 2)dx 1

5

= −(

4 3

R2

0 -2

-1

-1

1R1 2

0

3

4

-2 -3 -4

A( R ) = A( R1 ) + A( R2 ) 1

7

= ∫ ( x − x )dx + ∫ ( x − x )dx 3

3

0

1139.-

2

1

0

4

6

R2

5

2

x x ⎤ x x ⎤ − ) + ( − )⎥ 3 4 ⎥⎦1 4 3 ⎦1 1 1 8 1 1 = ( − ) + (4 − ) − ( − ) 3 4 3 4 3 4−3 2 1 1 = + (4 − 2 ) + = 1 12 3 12 2 =(

3

3

⎤ ⎤ x x x3 x 2 − − 2 x) ⎥ + ( − − 2 x) ⎥ 3 2 3 2 ⎦1 ⎦2

8

2

2

2

2

8 1 1 9 = −( − 2 − 4) + ( − − 2) + (9 − − 6) 3 3 2 2 8 −( − 2 − 4) = 3 8 1 1 1 8 = − + 6+ − 2 +3− 4 − + 6 3 3 2 2 3 =3

2 1

2

3

4

3

Y=x³

4

Y=x² 3 2

R1

1 0 0

1

2

3

5

1140.-

Pto intersección:

4

y = x2 y = −x + 2

3

R

2

⇒ x2 = − x + 2

⇒ x 2 + x − 2 = 0 ⇒ ( x + 2)( x − 1) = 0 ⇒ ⇒ x = −2, x = 1

1 0 -3

-2

-1

0

1

2

3

262

1

1

∫ [(− x + 2) − x ]dx = ∫ (− x + 2 − x )dx = 2

2

−2

−2

1

x x ⎤ + 2x − ⎥ = 2 3 ⎦ −2 1 1 8 = ( − + 2 − ) − ( −2 − 4 + ) = 2 3 3 1 1 8 1 = − +2− +6− = 4 2 3 3 2 2

=−

3

A( R) = A( R1 ) + A( R2 )

1141.-

R1

3 π /2 π

π /2

π

como : A( R1 ) = A( R2 ) ∴

2π

A( R) = 2 A( R1 )

R2

= 2 ∫ senxdx = 2( − cos x ) ]0 = − 2 cos x ]0 = −2(−1 − 1) = 4 π

π

0

2

A( R) = A( R1 ) + A( R2 ) + A( R3 ) + A( R4 ) :

1142.-

A( R1 ) = A( R2 ) = A( R3 ) = A( R4 ) ∴

1

π /2

R1

A( R) = 4 A( R1 ) = 4 ∫ cos xdx =

0

0

= 4 s enx ]0

π /2

= 4.1 = 4

R4

π π /2

3 π /2

R2 R3

2π

-1

1143.π /2

1

A( R) =

R

∫ (1 − senx)dx = 0

π /2

= 0

π/2

∫

π /2

dx −

0

∫ senxdx = 0

= x ]0 + cos x ]0 π /2

=

π 2

π /2

+ (0 + 1) = 1 +

=

π 2

A( R ) = A( R1 ) + A( R2 ); A( R1 ) = A( R2 ) ∴ 0

A( R ) = 2 A( R1 ) = 2 ∫ −4 xdx

3

−1

1144.-

0

= 2 ∫ 2 − xdx = 4 ∫ (− x)1/ 2 dx −1

2

0

−1

u = −x

x = −1 ⇒ u = 1

du = −dx

x =0⇒u =0

R1

1

0 -2

-1

R2

0 -1

-2

-3

0

u 3/ 2 ⎤ 2 8 −4∫ u1/ 2 du = −4 = −(−4. ) = ⎥ 3 / 2 ⎦1 3 3

263

4 3 2

1145.-

R1

1

-√2 -2

0 -1

0

R2

1

pto intersección: y = 2 x ⇒ x3 = 2 x ⇒ √2

y = x3

2

-1 -2 -3 -4

⇒ x 3 − 2 x = 0 ⇒ x ( x 2 − 2) = 0 ⇒ x = 0, x = ± 2 A( R ) = A( R1 ) + A( R2 ); A( R1 ) = A( R2 ) ∴ 2

A( R ) = 2 A( R2 ) = 2 ∫ (2 x − x 3 ) dx = 0

= 2(

2

4

2x x − 2 4

2

2

⎤ x4 ⎤ ) ⎥ = (2 x 2 − ) ⎥ = 4 ⎦0 ⎦0

22 = 4 −1 = 3 4 A( R ) = 3

= 2.2 −

1146.4

4

0

0

A( R ) = ∫ xdx = ∫ x1/ 2 dx

3

2

R

1

1

2

3

4

4

x ⎤ 2 ⎤ = x3/ 2 ⎥ = 3 / 2 ⎥⎦ 0 3 ⎦0

=

2 3⎤ 2 16 x ⎥ = .23 = 3 3 ⎦0 3

0 0

4

=

3/ 2

4

5

1147.-

pto intersección: 3

y = x ⇒ x =2⇒ x =4 y=2

2

R 1

0

0

1

4

2

3

4

5

4

A( R) = ∫ (2 − x )dx = ∫ (2 − x1/ 2 ) 0

= 2x − =

0

4

4

x ⎤ 2 2⎤ 2 16 24 − 16 x ⎥ = 8 − .23 = 8 − = ⎥ = 2x− 3 / 2 ⎦0 3 3 3 3 ⎦0 3/ 2

8 3

264

2

1148.-

A( R ) = A( R1 ) + A( R2 ) + A( R3 ) + A( R4 ) 1

-2

-1

con : A( R1 ) = A( R2 ) = A( R3 ) = A( R4 )

R3

R1 0

R2

1

R4 1

0

∴ A( R ) = 4 A( R3 ) = 4 ∫ x 2 dx =

2

0

-1

1

x ⎤ 1 4 = 4 ⎥ = 4. = 3 ⎦0 3 3 3

-2

pto intersección: y = x ⇒ 2

1149.-

y=3

4

x2 = 3 ⇒ x = ± 3

3

R1

A( R) = A( R1 ) + A( R2 ) con A( R1 )

R2

2

3

A( R) = 2 A( R2 ) = 2 ∫ (3 − x 2 )dx =

1

0

0 -4

-2

0

2

4

3

= 2(3 −

x3 ⎤ 32 ) ⎥ = 2(3 3 − )= 3 ⎦0 3

= 2(3 3 − 3) = 4 3 A( R ) = A( R1 ) + A( R2 ) + A( R3 ) + A( R4 ) : 4

1150.-

A( R1 ) = A( R4 ), A( R2 ) = A( R3 ) ∴

3

R1

R2

R3

2

A( R ) = 2 A( R3 ) = 2 A( R4 )

R4

A( R3 )es el área de una

1

superficie rectangular:

0

-3

-2

-1

0

1

2

3

A( R3 ) = 2.1 = 2; A( R) = 4 + 2 A( R4 ) 3

A( R) = 4 + 2 ∫ (3 − x 2 )dx = 4 + 2(3 x − 1

3

x3 ⎤ = ) 3 ⎥⎦1

3 3 1 ) − (3 − )] = 3 3 2 1 = 4 + 2(2 3 − 2 ) = 4 3 − 1 3 3 = 4 + 2[(3 3 −

265

1151.2

A( R) = A( R1 ) + A( R2 )conA( R1 ) = A( R2 ) 1

1

R1 -2

R2

0

-1

∴ A( R) = 2 A( R2 ) = 2∫ ( x 2 + x)dx

0

0

1

2

= 2(

-1

-2

1

x x ⎤ 1 1 + ) = 2( − ) 3 2 ⎥⎦ 0 3 2 3

2

5 5 =2 = 6 3

AUTOEVALUACION # 6 INTEGRALES: si : ∫ f ( x)dx = F ( x) + c, entoncesF ′( x)esiguala :

1152.-

a )c

b)0

c) ∫ f ( x)dx

d ) f ( x)

e)ninguna de las anteriores

la integral:∫ e ax +b dx, tiene como solución:

1153.-

1 b) e ax +b + c a e x +b +c d) ax + b

a )ae ax +b + c c)e ax +b + c e)ninguna de las anteriores la integral:∫

1154.-

a )e

2x

e 2 x dx , tiene como solución: x

+c

b) − e

1/ 2

c )e 2 x + c

2x

d )e(2 x )

+c

−1/ 2

+c

e)ninguna de las anteriores

la integral:∫ e

1155.-

ln x

dx, tiene como solución:

1 ln x a) e + c x c)eln x + c e)ninguna de las anteriores

b) xe d )e

ln

ln x

+c

x 2

+c

266

Dada las proposiciones siguientes: I ) ∫ ( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x)dx

1156.-

II ) ∫ ( f ( x).g ( x))dx = ∫ f ( x).dx.∫ g ( x) dx III ) ∫ cf ( x) dx = c ∫ f ( x)dx se admiten como verdaderas: a)sólo I y II c)sólo III e)Ninguna de las anteriores

1157.-

b) sólo I y III d) I, II y III

senx+c (c es constante) es la antiderivada o primitiva de: a ) senx

b) − cos x d ) − senx

c ) cos x e)Ninguna de las anteriores

1158.-

d ( f ( x)dx) es igual a: dx ∫ a)c es constante

b) f ′( x) d ) f ( x) + c


dt , tiene como solución: 1 + 2t 2 2 a) ln 1 + 2t 2 + c b) arctg 2t 2 + c 2 2 1 c) arctg 2t +c d) arctg 2t + c 2 2 e)Ninguna de las anteriores la integral:∫

1159.-

e 2 x dx , tiene como solución: 2e 2 x + 3 1 a )4 ln 2e 2 x + 3 + c b) 2e 2 x + 3 + c 2 2x c)2 ln 2e + 3 + c c) ln 2e 2 x + 3 + c

la integral:∫

1160.-

e)ninguna de las anteriores ( x + 1)dx , tiene como solución: x2 + 2 x + 3 1 x2 + 2 x + 3 a ) ln x 2 + 2 x + 3 + c b) ln +c 2 2

la integral:∫

1161.-

( x + 1) 2 ( x 2 + 2 x + 3) −1 − +c 2 1 e)Ninguna de las anteriores

c)2 ln x 2 + 2 x + 3 +c

d)

267

la integral:∫ e x

1162.-

2

+ 4 x +3

1 2 a) e x + 4 x +3 + c 2 c )e

x2 + 4 x +3

( x + 2)dx, tiene como solución: b)2e x

2

+ 4 x +3

+c

x2 + 4 x +3 2

+c d )e +c e)Ninguna de las anteriores x

la integral:∫ e a dx, tiene como solución: 1 x b) e a + c a

x

1163.-

a)ae a + c x 2a

c)ae +c

x

d )ae + c e)Ninguna de las anteriores a2

la integral:∫ 2 x( x 2 + 1)5 , tiene como solución:

1164.-

( x 2 + 1)6 ( x 2 + 1) 4 +c +c b) 6 4 2( x 2 + 1) 2 ( x 2 + 1)6 c) d) +c +c 6 6 e)Ninguna de las anteriores a) x 2

cosxdx , tiene como solución: 1 + senx − senx cos 2 x +c +c a) b) 2 1 + sen x 1 + cos x − senx c) d ) cos x + cot gx + c +c cos x e)Ninguna de las anteriores la integral:∫

1165.-

la integral:∫ cos(a + bθ )dθ , tiene como solución:

1166.-

1 a ) sen( a + bθ ) + c b

b)bsen( a + bθ ) + c

1 d ) − sen(a + bθ ) + c b e)Ninguna de las anteriores

c) − bsen(a + bθ )+c

la integral:∫ tg 2 ρ sec2 2 ρ d ρ , tiene como solución:

1167.-

1 1 a) tg 2 2 ρ + c b) tg 2 2 ρ + c 2 4 c)2tg 2 2ρ +c d )tg 2 ρ sec 2 ρ + c e)Ninguna de las anteriores

268

senφ dφ , tiene como solución: cos3 φ

la integral:∫

1168.-

a)

sen 2φ +c cos 4 φ

b)tgφ sec 2 φ + c

1 d ) sec2 φ + c 2 e)Ninguna de las anteriores

c)2sec2 φ +c

la integral:∫

1169.-

cos θ dθ , tiene como solución: 2 senθ + 5

cos 2 θ +c b)2tg 2θ + c 2 sen 2θ 1 2senθ + 5 c) ln 2senθ +5 +c d ) ln +c 2 2 e)Ninguna de las anteriores a)

la integral:∫

1170.-

ln t + 1 dt t +1

(ln t + 1) 2 a) +c 2

, tiene como solución: 2

ln t + 1 b) +c 2

2

⎛ ln t + 1 ⎞ c) ⎜ d )t + c ⎟ +c ⎝ 2 ⎠ e)Ninguna de las anteriores ⎛ 2 x x⎞ la integral:∫ ⎜⎜ − ⎟ dx, tiene como solución: 2 ⎟⎠ ⎝ x

1171.-

1 5 2 x x +c b) − +c 2 x 2 2 5 1 c)4 x x +c d )4 x − 5 x 2 + c 5 5 e)Ninguna de las anteriores a )2 x −

la integral:∫

1172.-

( x + 1) n dx ,n ≠ -1 tiene como solución: x

( x + 1) n +1 2( b) n +1 ( x + 1) n +1 2( c) +c d) 2(n + 1) e)Ninguna de las anteriores a)

x + 1) n +1 +c n +1 x + 1) n −1 +c n −1

269

la integral:∫

1173.-

dz , tiene como solución: z ( z − 1)

a ) z ( z − 1) + c c) ln

b)

z − 1 +c

z ( z − 1) +c 2 z −1 + c

d )2 ln


la integral:∫

1174.-

dt , tiene como solución: t( t + a)

a) t ( t + a ) + c

b)

c) ln t + a +c

t ( t + a )2 +c 2

d )2 ln t + a + c


la integral:∫ cos(ln z )

1175.-

a) − sen(ln z ) + c c)

cos 2 (ln z ) 2

dz , tiene como solución: z b) sen(ln z ) + c

+c

d)

− cos 2 (ln z ) 2

+c


la integral:∫ (t − 1) t 2 − 2tdt , tiene como solución:

1176.-

1 1 (t 2 − 2t ) + c b) 3 (t 2 − 2t ) + c 3 3 1 t −1 +c c) d ) ln t 2 − 2t + c 3 t 2 − 2t e)Ninguna de las anteriores a)

la integral:∫ t 2 (t 3 + 1)n dt ,n ≠ -1 tiene como solución:

1177.-

a)

(t 3 + 1)n +1 +c 3(n + 1)

c) ln t 3 + 1 +c

b)

3(t 3 + 1)n +1 +c (n + 1)

t 3 (t 3 + 1) n+1 +c 3(n + 1) e)Ninguna de las anteriores d)

270

la integral:∫ 1 +

1178.-

a) − c) −

2 1 (1 + ) 2 + c 3 w

a) c)

b)

2 1 (1 + )3 + c 3 w

2 1 2 1 d ) 3 (1 + ) 2 + c (1 + )3 +c w w 3 3 e)Ninguna de las anteriores

la integral:∫

1179.-

1 dw , tiene como solución: w w2

1 (u + 1) 2

u , tiene como solución: u +1

2 u 3 ( ) +c 3 u +1

b)

23 u 2 ( ) +c 3 u +1

3 u 3 3 u 2 ( ) +c d) 3 ( ) +c 2 u +1 2 u +1 e)Ninguna de las anteriores 2

El valor de :∫ (x 2 - 2 x + 3)dx, tiene como solución:

1180.-

1

a )15 / 6 c)37 / 6

b)13 / 6 d )11/ 6 e)Ninguna de las anteriores 4

El valor :∫ (t -1)(t - 2)dt , tiene como solución: -2

1181.-

b) − 6

a )18 c) − 11

1 3

d) − 2 e)Ninguna de las anteriores

6

El valor:∫ φ − 2dφ , es:

1182.-

2

a )4 c)

b) ln 3

2 3 2 3 1 d )16 6 2 3 3 3 e)Ninguna de las anteriores

271

b

El valor:∫ e

ln x

dx, es:

a

1183.-

b (a − b)(a + b) b) a 2 (b − a )(b + a ) ln b c) d )e − eln a 2 e)Ninguna de las anteriores a) ln

sec 2t

b

El valor de:∫ e

1184.-

1+ tg 2t

dt, es:

a

a )0 c )e

b)1

b−a

d ) e(b − a) e)Ninguna de las anteriores 2

El valor:∫ (

1185.-

sen 2θ

θ

1

+

cos 2 θ

θ

)dθ , es:

a )1 c )e

b)0 d ) ln 2 e)Ninguna de las anteriores e

El valor:∫

1186.-

sen(ln x ) x

1

dx, es:

a ) cos e − cos1

b )e − 1

c) cos1 − 1

d ) cos1 e)Ninguna de las anteriores e2

El valor de :∫

1187.-

e

dt dx, es: tln t

a)(ln 2) − 1 c)(ln 2)

b) ln 2 d )e2 − e

2


π /4

El valor de: ∫ sen 3θ cos θ dθ , es: 0

1188.-

a)16 c) 2/8

1 4 d )1/16 e)Ninguna de las anteriores b)

272

4

El valor de :∫ φ 3 φ − 3dφ , es: 2

1189.-

a )75 /14 c)2

b)51/14 d) − 2 e)Ninguna de las anteriores π /4

El valor de : ∫ sec2 φ tgφ dφ , es: 0

1190.-

a )π / 4

b)1/ 2

c)2

d )(π / 4) 2 e)Ninguna de las anteriores 2

El valor de :∫ 1

1191.-

x3 − 3x dx, es: x2 3 2 3 d ) − 3ln 2 2

a) − 3 / 2

b)

3 c) -ln2 2 e)Ninguna de las anteriores 1

e2 x dx , es: 1 + e2 x 0

El valor de :∫

1192.-

1 + e2 2 1 1+e2 c) ln 2 2 a)ln

b)2ln

1 + e2 2


El área de la región R, si R está límitada por: xy = 1, x = 2, y = 2, ejex, ejey, es

1193.-

b)(ln 4) − 1 d )1 − ln 4

a ) ln 4 c )1 + ln 4 e)Ninguna de las anteriores

El área de la región R, si R está límitada por: xy = 1, x = 2, y = 2, ejex, ejey, es

1194.-

a ) ln 4

b)(ln 4) − 1

c)1 + ln 4

d )1 − ln 4 e)Ninguna de las anteriores

273

El área de la región R, si R está límitada por:

1195.-

y = e x , x = −2, x = 1, ejex, es : 1 e2 1 c )e 2 e

1 −e e2 1 d )e + e

a )e −

b)


El área de la región R, si R está límitada por: y=

1196.-

x , y = 1, es 2 1 2 d )4

a) − 2

b)


1197.-

El área de la región R, si R está límitada por: y = x, y = 2, ejey, es a)2 b)4 c)8

d)

1 2


1198.-

El área de la región R, si R está límitada por: x = −3, x = 5, y = −1, y = 4, es a )6 b)20 c)40 d )15 e)Ninguna de las anteriores El área de la región R, si R está límitada por: −3x + 2 y − 4 = 0, ejex, x = 1, x = 5, es

1199.-

1 2 c) − 26 2 a)9

b)26 d )20 e)Ninguna de las anteriores

El área de la región R, si R está límitada por: y = x 2 − 5 x + 8, ejex, x = 1, x = 3, es

1200.-

1 3 2 d )4 3

a )3

b)17


274

SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACION # 6 1152.-d

1153.-b

1154.-c

1155.-e

1156.-b

1157.-c

1158.-e

1159.-c

1160.-e

1161.-a

1162.-a

1163.-a

1164.-d

1165.-e

1166.-a

1167.-b

1168.-d

1169.-c

1170.-a

1171.-e

1172.-b

1173.-d

1174.-d

1175.-b

1176.-a

1177.-a

1178.-c

1179.-a

1180.-e

1181.-a

1182.-d

1183.-c

1184.-d

1185.-d

1186.-e

1187.-b

1188.-d

1189.-a

1190.-b

1191.-d

1192.-c

1193.-c

1194.-c

1195.-a

1196.-e

1197.-a

1198.-c

1199.-b

1200.-d SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACION # 6 1152.-

1153.-

1154.-

d d ( F ( x) + c) = F ′( x); además ( F ( x) + c) = f ( x) dx dx ⇒ F ′( x) = f ( x) (d )

u = ax + b du = adx

⇒

u ∫e

=

du 1 u eu = ∫ e du = + c = a a a

1 ax + c e + c (b) a

u=2 x u u 2 dx ⇒ ∫ e du =e + c = e du = x

x

+ c (c )

2

e

1156.-

ln x

x ln x2 + c = e 2 + c ( e) = x ⇒ ∫ xdx = 2

.- I) Verdadera; II) Veradadera; III) Falsa Contraejemplo:

1157.-

∫ xdx ≠ ∫ xdx.∫ xdx

(b )

d ( senx + c) = cos x; esto es : ∫ cos xdx = senx + c (c) dx

1158.-

1159.-

d ( f ( x)dx) = f ( x) (e) dx ∫

∫ =

1160.-

dt dt t 1 dt 1 1 = ∫ = ∫ = arctg +c = 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1/ 2 2( + t ) +t ( ) +t 2 2 2 2 arctg 2t + c (c) 2

u = 2e2 x + 3 du = 4e2 x dx

du / 4 1 du 1 = ∫ = ln u + c ⇒ u 4 u 4 1 = ln(2e 2 x + 3) + c (e) 4

⇒∫

du / 2

1161.-

=

1162.-

1163.-

1 du

1

= ∫ = ln u + c = u = x2 + 2 x + 3 2 u 2 ⇒∫ u du = (2 x + 2)dx = 2( x + 1)dx 1 2

u = x + 4x + 3 2

du = (2 x + 4)dx = 2( x + 2)dx

⇒

∫e =

u

2

ln x + 2 x + 3 + c (a )

du 1 u 1 = ∫ e du = eu + c = 2 2 2

1 x2 + 4 x +3 + c (a) e 2

x x u u u a ⇒ a ∫ e du = a ∫ e du = ae + c = ae + c (a) du = 2 xdx

u=

1164.-

u6 ( x 2 + 1) u = x2 + 1 ⇒ ∫ u 5 du = + c = + c (d ) 6 6 du = 2 xdx

1165.-

u = ax + b ⇒ ∫ du = ln u + c = ln 1 + senx + c ( ) u du = adx

1166.-

∫ cos u b = b ∫ cos udu = b senu + c u = a + bθ ⇒ du = bdθ 1 = sen(a + bθ ) + c (a )

1

du

1

b

1167.-

u = tg 2 ρ du = sec2 2 ρ .2d ρ

∫ cos u ⇒ =

1 sen(a + bθ ) + c (a) b

du

1168.-

du 1 1 cos udu = senu + c = b b∫ b

u2

1

− 3 = − ∫ u −3 du = − +c = 2 +c = u = cos φ ∫ u 2u −2 ⇒ du = − senφ dφ 1 1 = + c = sec 2 φ + c ( d ) 2 2 cos φ 2

276

1169.-

u = 2 senθ + 5 du = 2 cosθ dθ

⇒

1 du 1 1 = ln u + c = ln 2senθ + 5 + c (c) ∫ 2 u 2 2

u = ln t + 1

1170.-

du =

dt t +1

⇒ ∫ udu =

ln 2 t + 1 u2 +c = + c (a) 2 2

1171.-

x3/ 2 x3/ 2 )dx = ∫ 2 x −1/ 2 dx − ∫ dx = 2 2 1 2 x1/ 2 x 5 / 2 = 2∫ x −1/ 2 dx − ∫ x3/ 2 dx = − +c = 2 1/ 2 5 / 2 1 1 5 = 4 x1/ 2 − x5 / 2 + c = 4 x − x + c ( e) 5 5

1172.-

u u = x +1 +c = u n 2du = 2∫ u n du = 2 ∫ + 1 n ⇒ dx du = 2( x + 1)n +1 = + c (b) 2 x

−1/ 2 ∫ (2 x −

n +1

n +1

1173.-

u = z −1 du dz ⇒ 2∫ = 2 ln u + c = 2 ln z − 1 + c (d ) u du = 2 z

1174.-

2du du u= t+ a = 2∫ = 2 ln u + c = ∫ u ⇒ b dt du = = 2 ln t + a + c (d ) 2 t

u = ln z

1175.-

1 ⇒ ∫ cos udu = senu + c = sen(ln z ) + c (b) du = dz z

1176.-

u = t 2 − 2t ⇒∫ du = (2t − 2)dt = 2(t − 1)du

1177.-

du 1 n 1 u n +1 = ∫ u du = +c = u = t +1 3 3 3 n +1 ⇒ (t 3 + 1) n +1 du = 3t 2 dt = + c (a) 3(n + 1)

1 u 3/ 2 du 1 / 2 = ∫ u du = +c = 2 2 2 3/ 2 1 3 1 = u +c = (t 2 − 2t + c ( a ) 3 3

3

u

n ∫u

1 u 3/ 2 1/ 2 ( ) u du u du − = − = − +c = ∫ ∫ w 3/ 2 ⇒ 1 2 2 3 2 1 du = − 2 dw (1 + )3 + c (c) u +c = − = − u 3/ 2 + c = − w 3 3 3 w

u = 1+

1178.-

277

1179.-

u t 3/ 2 2 3 1/ 2 = = +c = tdt t dt t +c = ∫ ∫ u +1 3 / 2 3 ⇒ du 2 u 3 du = ( ) + c (a ) = (u + 1) 2 3 u +1

1180.-

=(

1181.-

⎤ t 3 3t 2 64 48 − + = − + 2t ) ⎥ = ( − + 8) − ( t 3 t 2) dt ( ∫−2 3 2 3 2 ⎦ −2

u=

2

⎤ x3 2 x 2 8 1 7 − + 3 x) ⎥ = ( − 4 + 6) − ( − 1 + 3) = 3 2 3 3 3 ⎦1

( e)

4

4

2

8 12 1 2 −(− − − 4) = 21 − 24 + 8 + 2 + 6 + 4 = 18 (a) 3 2 3 3

1182.-

u 3/ 2 2 2 3 u +c = + c = u 3/ 2 + c = u =φ −2 3/ 2 3 3 ⇒6 6 du = dφ 2 2 3 16 3⎤ ( 2) d ( 2) 4 −0 = () − = − = φ φ φ ∫2 ⎦2 3 3 3 1/ 2 ∫ u du =

b

x2 ⎤ b2 a 2 b2 − a 2 = = − = = xdx ⎥ ∫ 2 ⎦a 2 2 2 =x;a b

1183.-

eln x

=

(b + a)(b − a ) 2

(c ) b

1184.-

1185.-

b b ⎤ sec 2 t = 1 ⇒ edt = e dt = et ⎥ = e(b − a) (d ) 2 ∫ ∫ 1 + tg t a a ⎦a 2

∫

sen 2θ + cos 2 θ

1

θ

2

dθ = ∫ 1

2

⎤ 0 = ln θ ⎥ = ln 2 − ln1 = ln 2 (d ) θ ⎦1

dθ

e

u = ln x

1186.-

1

sen(ln x ) x 1

0

1 ⇒ = − cos(ln x ) ⎤⎦1 = −(cos (ln e) − cos( ln1) ) = du = dx x = −(cos1 − cos 0) = −(cos1 − 1) = 1 − cos1 (e) e

u = ln t

1187.-

∫ senudu = − cos u + c ⇒ ∫

1 du = dt t

∫ ⇒=

du = ln u + c = ln(ln t ) + c ⇒ u e2

1 e2 dt 2 ln(l n ) = t ⎤ ⎦ e = ln(ln e ) − ln( ln e ) ∫e t ln t 0

= ln 2 − ln1 = ln 2 (b)

278

1188.-

3 3 ∫ sen θ cosθ dθ = ∫ u du =

u = senθ

⇒ = sen θ + c ⇒ du = cosθ dθ 4 4

π /4

∫

u4 +c = 4 π /4

sen 4θ ⎤ sen θ osθ dθ = 4 ⎥⎦ 0 3

0

2 π sen 4 ( ) − sen0 ( ) 4 1 4 2 = = = 4 4 16

∫φ

3

1189.-

du = dφ

(d )

φ − 3dφ = ∫ 3 u (u + 3)du = u7/3 u4/3 +3 +c = 7/3 4/3

1/ 3 4/3 1/ 3 ∫ u (u + 3)du = ∫ (u + 3u )du =

u =φ −3

=

3 9 3 9 = u7 /3 + u4/3 + c = 3 u7 + 3 u4 + c = 4 7 4 ⇒ 7 33 93 7 4 (φ − 3) + (φ − 3) + c ⇒ = 7 4 4 3 9 ⇒ 3 (φ − 3)7 + 3 (φ − 3) 4 ⎤ ⎦2 7 4 33 7 93 4 33 9 6 18 1 ) − ( (−1)7 + 3 (−1) 4 ) = + = =( 1 + 7 4 7 4 7 4 75 (a ) = 4 π /4

1190.-

u = tgφ

u2 tg 2φ ⎤ +c⇒ 2 2 ⎥⎦ 0

=

π

(tg ) 2 2 4 − (tg 0) = 1 − 0 = 1 = 2 2 2 2

(b)

2

2 3 dx x 2 ⎤ ( x − ) dx = xdx − 3 ∫1 x ∫1 ∫1 x = 2 ⎥⎦ − 3l n x ⎤⎦1 = 1 2

1191.-

⇒

du = sec2 φ dφ

∫ udu =

2

2

0 1 3 = (3 − ) − 3(ln 2 − ln1 ) = − 3ln 2 (a) 2 2

∫ 1192.-

u = 1 + e2 x du = 2e

2x

du / 2 1 du 1 = ∫ = ln u + c = u 2 u 2 1

⇒ = 1 ln(1 + e2 x ) + c ⇒ 1 ln(1 + e2 x ) ⎤ = ⎥ 2

2

1 1 1 1+ e = ln(1 + e 2 ) − ln 2 = ln 2 2 2 2

⎦0

2

(c )

279

1193.-

x-intersección: 1 y= 1 1 xy = 1 ⇒ x ⇒ =2⇒ x= x 2 y=2 y=2

3

2

1

A( R) = A( R1 ) + A( R2 ), con :

R

A( R1 ) = 1; R1rec tan gulo

R2

0 -1

0

1

2

2

3

A( R) = 1 +

-1

1 dx = x 1/ 2

∫

1 2 = 1 + ln x ⎤⎦1/ 2 = 1 + (ln 2 − ln1/ 2) = 1 + ln = 1 + ln 4 (c) 1/ 2

1194.-

2 1

-2

- 1R

0

1

-1

2

R

2

x3 ⎤ A( R) = ∫ −(− x )dx = ∫ x dx = ⎥ = 3 ⎦ −1 −1 −1 2

0

2

2

3

-2

2

8 1 = + ( − ) = 3 (c ) 3 3

-3 -4 -5

4

1

1195.-

x 1

A( R ) = ∫ e x dx = e ⎤⎦ = e1 − e −2 = −2

3 2

−2

1 = e− 2 e

1

R

(a)

-3

-2

0

-1

0

1

2

-1 -2

R, superficie triangular:

1196.R -3

4.1 = 2(se puede 2 0 x calcular como : 2 ∫ (1 + )dx = 2) (e) 2 −2 A( R) =

-2

-1

0

1

2

3

280

1197.3

2.2 = 2; R superficie 2 triangular A( R ) =

2

R 1

(se puede calcular 2

0 -1

0

1

2

como : ∫ (2 − x)dx = 2) (a )

3

0

-1

1198.A( R) = 8.5 = 40; R superficie rectangular (se puede calcular

5 4 3

R

2

5

1

A(R) como ∫ (4 + 1)dx = 40) (c)

0 -4

-3

-2

-1 -1 0

1

2

3

4

5

6

−3

-2

1199.5

A( R) = ∫ (2 +

5

-3x+2y-4=0

4

1

3

5

3 ⎤ = 2x + x2 ⎥ = 4 ⎦1

R

2 1

5 3 = (10 + ) − (2 + ) = 26 (b) 4 4

0 -2

-1

3 x)dx = 2

0

1

2

3

4

5

6

7

-1

1200.5

3

A( R) = ∫ ( x 2 − 5 x + 8)dx

4

1

3 2

R

1 0 0

1

2

3

⎤ x 5x2 = − + 8x⎥ = 3 2 ⎦1 3

3

-1

4

= 9−

45 1 5 2 (d ) + 24 − + − 8 = 4 2 3 2 3

TODA OBSERVACION REFERENTE AL PRESENTE MATERIAL, FAVOR HACERLA AL AUTOR, AL TUTOR O AL CENTRO DE DESARROLLO EDUCATIVO.

281