Se define el máximo común divisor de a y b, y se denota mcd(a, b), como el
mayor de los números positivos que dividen simultáneamente a a y a b. Es decir,
.
TEORíA DE NÚMEROS. HOJA 2. MÁXIMO COMÚN DIVISOR. EL ALGORITMO EUCLÍDEO.
1. Definición. Sean a, b ∈ Z, al menos uno de ellos no nulo. Se define el máximo común divisor de a y b, y se denota mcd(a, b), como el mayor de los números positivos que dividen simultáneamente a a y a b. Es decir, mcd(a, b) = d, donde d satisface 1. d | a, d | b, 2. c | a, c | b =⇒ c ≤ d. 2. Calcular el máximo común divisor de −12 y 30. 3. Teorema. Dados a, b ∈ Z al menos uno de los cuales es no nulo, existen x, y ∈ Z tales que mcd(a, b) = ax + by. Indicación: considerar S = {au + bv : u, v ∈ Z, au + bv > 0}. Probar que S 6= ∅ y definir d como el primer elemento de S. Dividir a por d y ver que el resto tiene que ser cero. Lo mismo para b. Por tanto d es divisor común de a y b. Finalmente, usar la Proposición 1.28.7 para ver que d es el máximo con esta propiedad.
4. Corolario. Si a, b ∈ Z no son ambos nulos, entonces el conjunto T := {ax + by : x, y ∈ Z} es precisamente el conjunto de todos los múltiplos de d = mcd(a, b). 5. Definición. Se dice que dos enteros a y b, no ambos nulos, son primos entre sí si mcd(a, b) = 1. 6. Teorema. Dos enteros a y b, no ambos nulos, son primos entre sí si y sólo si existen x, y ∈ Z tales que 1 = ax + by. Indicación: usar el Teorema anterior y la Proposición 1.28.
7. Corolario. Si mcd(a, b) = d, entonces mcd(a/d, b/d) = 1. 8. Probar que no es cierto que a | c, b | c =⇒ ab | c. Sin embargo, 9. Corolario. Si a | c, b | c, y mcd(a, b) = 1, entonces ab | c. Indicación: c = acx + bcy.
10. Lema de Euclides. Si a | bc y mcd(a, b) = 1 entonces a | c.
11. Teorema. Sean a, b enteros, no ambos nulos. Se tiene que d = mcd(a, b) si y sólo si 1. d | a, d | b 2. c | a, c | b =⇒ c | d. 12. Para todo a ∈ Z, comprobar que 3 | a(a + 1)(a + 2). 13. Probar que la suma de los cuadrados de dos impares nunca es un cuadrado perfecto. 14. Probar que para todo a ∈ Z y n ∈ N, mcd(a, a + n) divide a n. 15. Probar que a y a + 1 siempre son primos entre sí. 16. Dados a, b ∈ Z, probar que si mcd(a, b) = ax + by con x, y ∈ Z, entonces mcd(x, y) = 1. 17. Probar que el producto de cuatro enteros consecutivos es divisible por 24, y el producto de cinco por 120. En general, probar que el producto de n enteros consecutivos es divisible por n!. 18. Probar que si mcd(a, b) = 1 y mcd(a, c) = 1entonces mcd(a, bc) = 1. 19. Probar que si d | n entonces 2d − 1 | 2n − 1. 20. Comprobar que 235 − 1 es divisible por 31 y por 127.
21. Probar que si a = qb + r entonces mcd(a, b) = mcd(b, r). El algoritmo euclídeo para hallar el máximo común divisor de dos enteros a ≥ b > 0 consiste en lo siguiente: a = q1 b + r 1 ,
0 < r1 < b
b = q2 r1 + r 2 ,
0 < r2 < r1
r 1 = q3 r2 + r 3 , .. .
0 < r3 < r2
rn−2 = qn rn−1 + rn , 0 < rn < rn−1 rn−1 = qn+1 rn + 0, donde en cada fila se divide el dividendo de la anterior por el resto de la anterior. El último resto no nulo obtenido, es decir rn , es el máximo común divisor de a y b ya que, por el ejercicio anterior tenemos mcd(a, b) = mcd(b, r1 ) = ... = mcd(rn−1 , rn ) = mcd(rn , 0) = rn . Este algoritmo también nos proporciona un método para expresar mcd(a, b) como combinación lineal entera de a, b (es decir en la forma ax + by con x, y ∈ Z): consiste en despejar de la penúltima ecuación rn = rn−2 − qn rn−1 , después despejar de la anterior rn−1 y sustituir en ésta para expresar rn como combinación lineal entera de rn−2 y rn−3 , y continuar así el proceso ascendiendo filas, despejando restos y sustituyéndolos para eliminar los de mayor orden, hasta llegar a tener rn escrito como combinación lineal entera de a y b.
22. Calcular el máximo común divisor de 119 y 272, y expresarlo como combinación lineal entera de estos dos números. 23. Si k ≥ 1, probar que mcd(ka, kb) = kmcd(a, b). 24. Sea d un divisor común de a y b. Probar que d = mcd(a, b) si y sólo si mcd(a/d, b/d) = 1 25. Si a y b son primos entre sí, probar que mcd(a + b, a − b) ∈ {1, 2}. Indicación: Sea d = mcd(a + b, a − b); probar que d | 2a, d | 2b y por tanto d ≤ mcd(2a, 2b).
26. Si a, b, n ∈ N, y a, b son primos entre sí, probar que an y bn también lo son. 27. Si a, b, n ∈ N, y an | bn , probar que a | b 28. Si a, b son primos entre sí, probar que también lo son a + b y ab. 29. Definir el mínimo común múltiplo (mcm) de a y b, y probar que mcd(a, b) mcm(a, b) = ab.
