1.1 Persamaan Linier. Persamaan linier adalah suatu persamaan yang peubah (
variabel) dari persamaan tersebut dengan pangkat tertingginya satu.
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic w
3. Persamaan dan Pertidaksamaan
Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari kegiatan belajar pada modul ini diharapkan siswa dapat : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Menjelaskan pengertian persamaan linear dan pertidaksamaan linear Menyelesaikan persamaan lineaer Menyelesaikan pertidaksamaan linear Menjelaskan pengertian persamaan Kuadrat dan pertidaksamaan kuadrat Menyelesaian persamaan kuadrat Menyusun persamaan kuadrat baru apabila diketahui akar-akarnya Menyelesaiakn pertidaksamaan kuadrat Menjelaskan pengertian Sistem Persamaan Linear Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan 2 variabel secara eliminasi dan substitusi Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan 3 variabel secara eliminasi dan substitusi
Kegiatan Belajar 1. Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linier Tujuan Kegiatan Belajar 1 1. Siswa dapat mememahami pengertian persamaan dan pertidaksamaan linier. 2. Siswa dapat membedakan persamaan dan pertidaksamaan linier. 3. Siswa dapat menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linier. 4. Siswa dapat menerapkan konsep persamaan dan pertidaksamaan linier pada mata diklat lain dan dalam kehidupan sehari-hari. Uraian Materi Kegiatan Belajar 1 1.1 Persamaan Linier Persamaan linier adalah suatu persamaan yang peubah (variabel) dari persamaan tersebut dengan pangkat tertingginya satu. Bentuk Umum : ax + b = 0 , dimana a,b ∈ R, a ≠ 0 Sifat-sifat : (i). Nilai persamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dan dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama. (ii). Jika salah satu elemen dipindah ruas, maka : a. penjumlahan berubah menjadi pengurangan dan sebaliknya. b. perkalian berubah menjadi pembagian dan sebaliknya. Contoh 1 : 5x + 3 =8 5x + 3 –3 = 8 –3 ( kedua ruas dikurangi 3 ) 5x =5 5x . 1/5 = 5 . 1/5 ( kedua ruas dikalikan 1/5 ) x =1 Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian persamaan : 6x + 8 = 12 –4x, x ∈ bilangan rasional ! Jawab : 6x + 8 = 13 –4x 6x + 4x = 13 –8 Halaman 31
.d o
o
.c
m
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
10x
=5 x =½
w
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah : { ½ }
Contoh 3 : Tentukan himpunan penyelesaian persamaan : Jawab :
3x + 6 = 3x − 7 , x ∈ R ! 4
3x + 6 = 3x − 7 untuk merasionalkan persamaan maka kedua ruas 4 dikalikan dengan 4. 3x + 6 x 4 = ( 3x − 7 ) x 4 4 3x + 6 = 12x –28 3x –12x = - 28 –6 - 9x = - 34 x = 349 = 3 79 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah : { 3 79 }
Contoh 3 : Harga 1 kg telur adalah lima kali harga 1 kg terigu. Sarinah membeli 3 kg telur dan 10 kg terigu dengan harga Rp 20.000. Tentukan harga per kg masing-masing barang ! Jawab : Pemisalan : harga 1 kg terigu : a Harga 1 kg telur : 5a Maka : 3 kg telur + 10 kg terigu = 20.000 3(5a) + 10a = 20.000 15a + 10 a = 20.000 25a = 20.000 a = 800 Jadi harga 1 kg terigu = Rp 800 Harga 1 kg telur = 5 x 800 = Rp 4.000 1.2 Pertidaksamaan Linier Pertidaksamaan linier adalah suatu kalimat terbuka yang menggunakan salah satu lambang ketidaksamaan dengan pangkat tertinggi untuk variabelnya adalah satu . Bentuk Umum : ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0 dimana a, b ∈ R, a ≠ 0. Sifat-sifat pertidaksamaan • Jika kedua ruas sistem pertidaksamaan masing-masing ditambah, dikurangi, dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka tanda sistem pertidaksamaan tidak berubah. • Jika kedua ruas sistem pertidaksamaan masing-masing, dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda sistem pertidaksamaan berubah. Contoh permasalahan : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : 3x + 8 6x –2 ! Jawab : 3x + 8 6x –2 3x + 8 –6x 6x –2 –6x kedua ruas dikurangi dengan : 6x Halaman 32
.d o
o
.c
m
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
- 3x + 8 - 2 - 3x + 8 –8 - 2 –8 - 3x - 10 −3x −10 −3 −3
w
kedua ruas dikurangi dengan : - 8 kedua ruas dibagi dengan : - 3 maka tanda pertidaksamaan berubah.
10 atau x 3 13 3 Jadi himpunan penyelesaian : { x x x
3 13 }
Lembar Kerja Siswa 1 1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan : 12x + 5 = 13 + 8x 2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan : 3 –8x = - 10x + 6 1 (2x + 2) − 1 (x − 2) = 2 3 4
3.
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan :
4.
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan : 2(x+1) + x = -4(x-1) + 3 21 (x+6)
5.
Harga sepasang sandal sepertiga harga sepasang sepatu. Jika 3 pasang sandal 2 pasang sepatu harganya Rp 315.000, maka harga sepasang sepatu adalah …
6.
Carilah harga x untuk :
7.
Carilah harga x untuk :
8.
Carilah harga x untuk :
9.
Carilah harga x untuk :
10.
Carilah harga x untuk :
3x − 5 2 x + 1 ≤ maka x … … … 6 5 4 − 2 x 1 − 3x ≤ maka x … … … 3 2 x + 3 2x − 4 ≥ maka x … … … 2 3 1 − 2 x 3x + 1 ≥ maka x … … … 4 2 2x − 1 2x − 1 > 3− + 2 maka x … … … .. 2 3
Kegiatan Belajar 2. Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat Tujuan Kegiatan Belajar 2 1. Siswa dapat memahami pengertian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat. 2. Siswa dapat membedakan persamaan dengan pertidaksamaan kuadrat. 3. Siswa dapat mencari akar-akar persamaan kuadrat. 4. Siswa dapat menyusun persamaan kuadrat. 5. Siswa dapat mencari penyelesaian soal-soal pertidaksamaan kuadrat. Uraian Materi Kegiatan Belajar 2 2.1 Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan (=) dan pangkat tertinggi dari variabel sebesar dua. 2 Bentuk Umum : ax + bx + c = 0 ; a,b,c ∈ R, a ≠ 0. Jenis-jenis persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai dari a, b, dan c. Maka dikelompokkan menjadi : a. Persamaan kuadrat lengkap
Bentuk Contoh
: :
ax
2
+ bx + c = 0 ; a,b,c ≠ 0.
2
2 x − 3x + 6 = 0 Halaman 33
.d o
o
.c
m
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
b.
Bentuk c.
:
2 ax + bx = 0 ; a,b ≠ 0.
Contoh : − 2 x 2 − 8x = 0 Persamaan kuadrat biasa (trivial) Bentuk
d.
:
2 ax = 0 ; a ≠ 0.
Contoh : 5x 2 = 0 Persamaan kuadrat asli (murni) Bentuk
:
2 ax + c = 0 ; a,c ≠ 0.
Contoh
:
4x 2 − 9 = 0
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat : 1. Faktorisasi Dasar: Tentukan 2 bilangan yang jumlahnya = b dan hasil kalinya = ac. Contoh : Carilah akar-akar persamaan kuadrat : x 2 − 3x − 4 = 0 Penyelesaian : Dua buah bilangan yang jumlahnya -3 dan hasil kalinya -4 adalah 1 dan -4. Sehingga :
x
2 2
− 3x − 4 = 0
⇔ ⇔
x
⇔
(x − 4)( x + 1) = 0
+ x − 4x − 4 = 0
x(x + 1) − 4( x + 1) = 0
⇔ x1 = 4 dan x2 = -1 ⇔ Jadi akar-akarnya adalah : -1 dan 4. 2. Melengkapi kuadrat sempurna Langkah Penyelesaian : 1. Pindahkan konstanta ke ruas kanan. 2. Bagi kedua ruas dengan koefisien x2 (atau dibagi dengan a) 3. Tambah kedua ruas dengan kuadrat dari ( ½ koefisien x ) atau kuadrat dari
1b 2
4. Ubahlah ruas kiri ke bentuk ( ax ± b ) 2. Contoh : Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat : 2 x 2 − 5x + 3 = 0 Penyelesaian : 2x x x x
2
2
− 5x + 3 = 0
−
2
−
2
−
(x −
5 2
x=−
→ 2x 2 − 5x = − 3
3 2
5
3 1 5 2 1 5 2 x + { ( − )} = − + { ( − )} 2 2 2 2 2 2
langkah 1. langkah 2. langkah 3
5
3 5 2 5 2 x + ( − ) = − + (− ) 4 4 2 2
5 2 − 24 + 25 ) = 4 16
langkah 4.
Halaman 34
.d o
m
w
Persamaan kuadrat tak lengkap
o
.c
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
5 2 1 (x − ) = 4 16 (x −
5 4
)=±
maka :
1 4
5
1
4
4
x1 = ( x − ) =
=
5
1
4
4
x2 = ( x − ) = −
1 5 6 3 + = = 2 4 4 4 1 5
= − +
4 4
=
4 4
=1
Jadi akar-akarnya adalah : 1 dan
3 2
3. Rumus ABC Bentuk Umum : x 1.2 =
ax
2
+ bx + c = 0 ; a,b,c ∈ R, a ≠ 0.
− b ± b 2 − 4ac −b± D dimana D = b 2 − 4ac atau x 1.2 = 2a 2a
Contoh : Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 2 x 2 − 2 x − 1 = 0 . Penyelesaian : − ( −2) ± (−2 ) 2 − 4.2.(−1)
2 ± 12 2±2 3 → x 1.2 = 2.2 4 4 1 1 1 1 3 dan x 2 = − 3 Jadi akar-akarnya : x 1 = + 2 2 2 2
x 1.2 =
→ x 1.2 =
Sifat-sifat akar persamaan kuadrat : 1. Apabila D > 0 maka persamaan kuadrat mempunyai 2 akar real dan berbeda. Contoh: Tentukan p agar persamaan kuadrat 2 x 2 − px + 4 = 0 mempunyai dua akar kembar ! Penyelesaian :
Syarat akar kembar D = 0 b 2 − 4ac = 0
(-p)2 –4.2.4 = 0 p2 = 32 p = ± 4√2 Jadi nilai p = - 4√2 atau p = 4√2 2. Apabila D = 0 maka persamaan kuadrat mempnyai 2 akar kembar. Contoh iv. b : Salah satu akar dari persamaan kuadrat x2 + px – 6 = 0 adalah 3, tentukanlah p dan salah satu akar yang lain ! Penyelesaian : x2 + px –6 = 0 c a
x1 + x2 = −
3. x2 = - 6 x2 = - 2
3 –2 = - p p=-1
x1 . x2 =
b a
3. Apabila D < 0 maka persamaan kuadrat mempunyai akar imajiner Contoh: Diketahui akar-akar persamaan kuadrat 3x2 –2x –3 = 0 adalah α dan β. Tentukanlah nilai dari
1 1 + =… α β Halaman 35
.d o
m o
.c
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
1 1 1 1 + = + α β x1 x2 x 1+ x 2 x 1 .x 2
4.
x1 + x2 = −
5.
x1 . x2 =
=
→
1 1 + x1 x2
=
x2 x + 1 x 1 .x 2 x 1 .x 2
−b
a = −b = −( −2) = − 2 c c −3 3 a
b a
c a
Menyusun persamaan kuadrat baru. Perhatikan bentuk umum persamaan kuadrat : 2
+ bx + c = 0 (apabila kedua ruas dibagi dengan koefisien x2 = a) b c b b x 2 + x + = 0 terdapat rumus : x 1 + x 2 = − maka = −(x 1 + x 2 ) a a a a c : x1 . x2 = a b c sehingga : x2 + x + = 0 a a b c sehingga : x2 + x + = 0 a a
ax
⇔
x 2 − ( x 1 + x 2 ) x + x 1 .x 2 = 0
⇔
x 2 − x 1 .x − x 2 .x + x 1 .x 2 = 0
⇔
x (x − x 1 ) − x 2 ( x − x 1 ) = 0
⇔
(x − x 1 ) (x - x 2 ) = 0
… Rumus I )
… Rumus II)
Jadi apabila persamaan kuadrat mempunyai akar-akar x1 dan x2 maka persamaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan : x 2 − ( x 1 + x 2 ) x + x 1 .x 2 = 0
atau
(x − x 1 ) (x - x 2 ) = 0
Contoh : 1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -1 dan 2 ! Penyelesaian : x1 = - 1 dan x2 = 2 maka :
x 2 − ( x 1 + x 2 ) x + x 1 .x 2 = 0 x 2 − ( −1 + 2 ) x + ( −1).2 = 0
x2 − x − 2 = 0
2. Susunlah persamaan kuadrat yang jumlah akar-akarnya –3 dan hasil kalinya 4! Penyelesaian : x 1 + x 2 = −3 dan x 1 . x 2 = 4 x 2 − ( x 1 + x 2 ) x + x 1 .x 2 = 0 x 2 − ( −3) x + 4 = 0 x 2 − ( x 1 + x 2 ) x + x 1 .x 2 = 0
2.2 Pertidaksamaan Kuadrat Halaman 36
.d o
m
w
Penyelesaian :3x2 –2x –3 = 0
o
.c
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic w
Bentuk Umum : ax 2 + bx + c ≤ 0 ax 2 + bx + c ≥ 0 ax 2 + bx + c < 0
a,b,c∈R;a≠0
ax 2 + bx + c > 0
Cara Penyelesaian : Pertidaksamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan cara mencari harga-harga nol ( yaitu mencari nilai x yang membuat persamaan kuadratnya = 0 ). Kemudian pasangan harga-harga nol tersebut pada garis bilangan untuk menentukan daerah penyelesainnya. Contoh: 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari : x2 + x –5 ≥ 0 ! Penyelesaian : x2 + x –5 ≥ 0 (x –1) (x + 5) = 0 x –1 = 0 atau x + 5 = 0 x = 1 atau x = - 5 +++++++ +
-5
--------
1
+++++++ +
Jadi Himpunan penyelesaiannya : { x x ≤ - 5 atau x ≥ 1 } 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari : 3x2 –2x –5 < 0 ! Penyelesaian : Harga-harga nol dari 3x2 –2x –5 < 0 yaitu : 3x2 –2x –5 = 0 3x2 + 3x –5x –5 = 0 3x.(x + 1) –5 ( x + 1) = 0 +++++ -----+++++ (3x –5) . (x + 1) = 0 3x –5 = 0 atau x + 1 = 0 5/3 -1 x=
5 atau x = 1 3
Jadi himpunan penyelesaiannya :
{ x - 1 < x < 5/3 } 5Ω
+ + Lembar Kerja Siswa 2 20 V V = 2i2 1. Pada rangkaian di samping berlaku persamaan kuadrat 2i2 + 5i –20 = 0. Hitunglah kuat arusnya (i) ! 2. Pada suatu rangkaian listrik diketahui besarnya hambatan (R) = 25 Ω dan dayanya (P) = 100 watt. Tentukan kuat arusnya agar berlaku hubungan I.R2 - P = 0 3 4
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari − x 2 + 2 x + 1 ≥ 0 ! 4. Tentukan akar-akar dari
2 2 x −x−2 =0 ! 3
Halaman 37
.d o
o
.c
m
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
Kegiatan Belajar 3. System Persamaan Linear dengan Dua atau Tiga Variabel Tujuan Kegiatan Belajar 3 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar siswa diharapkan : 1. Dapat memahami konsep persamaan 2 variabel dan 3 variabel. 2. Dapat menyelesaikan permasalahan persamaan 2 variabel dan 3 variabel. 3. Dapat menyelesaikan dan menerapkan konsep system persamaan 2 variabel dan 3 variabel. Uraian Materi Kegiatan Belajar 3 3.1 Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel Bentuk umum sistem persamaan linear adalah : a 1 x + b1 y = c 1 a2 x + b2 y = c2 ,
dengan a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c 1 dan c 2 merupakan konstanta. Jika c 1 = 0 , c 2 = 0 maka system persamaan disebut persamaan homogen, tetapi apabila
c 1 ≠ 0 , c 2 ≠ 0 maka sistem persamaan disebut persamaan non-homogen. Contoh : Homogen : 2x + 6y = 0 5y –2x = 0 Non-homogen : 3x –4y = 8 4x + 3y = 21 a. Metode Substitusi Penyelesaian system persamaan dengan metode substitusi adalah dengan mengganti variabel persamaan yang satu dengan variabel dari persamaan yang lainnya. Contoh : Tentukan himpunan Penyelesaian dari : 2x + 3y = 2 pers. 1 x –y =1 pers. 2 Jawab : Pers. 1 : 2 x + 3y = 2 2x = 2 –3y x =
2 − 3y 2
Disubstitusikan ke pers. 2 x –y = 1 2 − 3y 2
=1
2 –3y = 2 –3y = 0 y =0 dari y = 0 , maka nilai x :
x=
2 − 3.0 →x=1 2
maka himpunan penyelesaiannya : {1,0} b. Metode Eliminasi Eliminasi artinya menghilangkan salah satu variabel dari system persamaan linear, dengan cara menyamakan konstanta variabel yang dihilangkan serta menggunakan operasi penjumlahan atau pengurangan. Contoh : Tentukan himpunan Penyelesaian dari 2x + 3y = 2 Halaman 38
.d o
m
w
4 3 5. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya − dan ! 5 4
o
.c
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
Jawab :
2x + 3y x –y
= 2 x 1 ⇔ = 1 x 2 ⇔
2x + 3y x –y
= 2 x 1 ⇔ = 1 x 3 ⇔
Jadi himpunan penyelesaian : { 1 , 0 } c. Metode Gabungan Eliminasi-Substitusi Contoh : Tentukan himpunan Penyelesaian dari 2x + 3y = 2 x –y =1 Jawab :
2x + 3y x –y
= 2 x 1 ⇔ = 1 x 2 ⇔
2x + 3y = 2 2x –2y = 2 5y = 0 y =0 Setelah mendapatkan nilai y = 0, maka untuk mendapatkan nilai y menggunakan metode substitusi : x –y =1 x –0 =1 x=1 Jadi himpunan penyelesaian : { 1 , 0 } Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Bentuk Umum : ax + by + cz = d, dimana a,b,c,d ∈ R, a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 px + qy + rz = s, dimana p,q,r,s ∈ R, p ≠ 0, q ≠ 0, r ≠ 0 kx + ly + mz =n, dimana k,l,m,n ∈ R, k ≠ 0, l ≠ 0, m ≠ 0 Untuk dapat menyelesaikan sistem persamaan linear 3 variabel menggunakan metode : Metode Elimiasi-Substitusi Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari 4x + 8y + z = 2 pers. 1 x + 7y –3z = - 14 pers. 2 2x –3y + 2z = 3 pers. 3 Jawab : Dari pers. 1 dan pers. 2 dieliminasi untuk variabel z 4x + 8y + z = 2 x 3 12x + 24y + 3y =6 x + 7y –3z = - 14 x 1 x + 7y –3z = - 14 + 13x + 31y =-8 … … pers. 4 Dari pers. 1 dan pers. 3 dieliminasi untuk variabel z 4x + 8y + z = 2 x 28x + 16y + 2z = 4 2x –3y + 2z = 3 x 12x – 3y + 2z = 3 Halaman 39
.d o
m
w
x –y =1 2x + 3y = 2 2x –2y = 2 5y = 0 y =0 2x + 3y = 2 3x –3y = 3 + 5x =5 x =1
o
.c
3.2
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
6x + 19y =1 Dari pers. 4 dan pers. 5 dieliminasi x 13x + 31y = - 8 x 6 78x + 186y = - 48 6x + 19y = 1 x 13 78x + 247y = 13 - 61y = - 61 y=1 y = 1 disubstitusikan ke pers. 4 13x + 31y = - 8 13x + 31 . 1 = - 8 13x = - 39 ⇔ x =-3 y = 1 dan x = -3 disubstitusikan ke pers. 1 4x + 8y + z =2 4 . (-3) + 8 . 1 + z = 2 - 12 + 8 + z = 2 z = 2 –8 + 12 z =6 Maka himpunan penyelesaian : { -3 , 1 , 6 }
3.3 Sistem Persamaan dengan Dua Variabel, Satu Linear dan Satu Kuadrat. Sistem persamaan dua variabel dengan satu persamaan linear dan satu persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan metode substitusi. Adapun bentuk umum :
2
2
ax + by + cxy + dx + ey + f = 0
… bentuk kuadrat
px + qy + r = 0
… bentuk linear
dimana : a , b , c , d , e , f , p , q , r ∈ bilangan real. Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : x –y + 6 = 0 x 2 –y = 0 Dasar : untuk menyelesaikan permasalahan soal di atas adalah mengsubstitusikan salah satu variabel sistem persamaan linear ke sistem persamaan kuadrat. Penyelesaian : dari persamaan linear : x –y + 6 = 0 dapat diubah ke bentuk : x = y –6 (i) atau y = x + 6 (ii) Setelah mendapatkan bentuk di atas maka siswa dapat terserah mengsubstitusikan salah satunya kedalam persamaan kuadrat. Substitusi pers (i) : x = y –6 x 2 –y = 0 (y –6)2 –y = 0 y2 –12y + 36 –y = 0 y2 –13y + 36 = 0 (y –9) (y –4) = 0 y1 = 9 atau y2 = 4 Setelah didapat nilai y maka mencari nilai x : x = y –6 x = y –6 x1 = y 1 – 6 x2 = y2 –6
Substitusi pers. (ii) : y = x + 6 x 2 –y = 0 x 2 –(x + 6) = 0 x 2 –x –6 = 0 (x –3) (x + 2) = 0 x1 = 3 atau x2 = - 2 Setelah didapat nilai x maka mencari nilai y : y=x +6 y=x +6 y=3 +6 y=-2 +6 Halaman 40
.d o
m
w
… … pers. 5
o
.c
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
x1 = 9 – 6 x2 = 4 –6 x1 = 3 x1 = - 2 Jadi himpunan penyelesaiannya : {(3,9), (-2,4)}
y1 = 9
Jadi himpunan penyelesaiannya : {(3,9), (-2,4)}
Lembar Kerja Siswa 3 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di bawah ini ! a. 4,7 = 0,3x + 0,5y b. 3x = -2y + 8 2,2 = 0,9x –0,2y 2x –5y + 1 = 0 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di bawah ini ! a. 4x + 3y –10 = 0 b. x- 2y –10 =0 -y = x –4 3x –16 = y 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di bawah ini ! a. 2x –y –7 = 0 b. x + 2y = z 3x –2y –2 = 0 3x –y + z = 1 -2x + z = 1 2x + 3y = 2 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di bawah ini ! a. x –2y + 3z + 1 = 0 b. x –2y + 3z –10 = 0 2x –y + z + 3 = 0 2x + 3y –z + 1 = 0 3x –3y + 8z = 8 x + 2y –z –11 = 0 5. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di bawah ini ! a. x –y = 1 b. 4x + 6y –28 = 0 2 2 x + y –1 3 = 0 x2 + y 2 = 0
Halaman 41
.d o
m
w
y1 = 4
o
.c
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
1.
2.
3. 4.
5.
EVALUASI KOMPETENSI Jika x dan y merupakan penyelesaian dari system persamaan 2x + 3y = 0 3x –2y = -13, maka nilai x + y adalah … … a. -6 b. -5 c. -4 d. -2 e. -1 Himpunan penyelesaian dari system persamaan y - x = -1 y –x2 + 6x = 5 , adalah … … a. {(6 ; 5)(1 ; 0)} c. {(5 ; 6)(0 ; 2)} e. {(8 ; 5)(2 ; 0)} b. {(5 ; 6)(2 ; 0)} d. {(6 ; 5)(2 ; 0)} Himpunan penyelesaian dari persamaan 2x2 –5x –3 = 0 adalah … … a. { ½ , -3 } b. { ½ , 3 } c. { - ½ , 3 } d. { - ½ , -3 } e. { - ½ , 2 } Lebar sebuah persegi panjang 4 cm kurangnya dari panjangnya, jika luas persegi panjang tersebut 32 cm2 maka panjangnya adalah … … a. 4 cm b. 5 cm c. 6 cm d. 7 cm e. 8 cm Sisi miring suatu segitiga siku-siku panjangnya 17 cm. Jika sisi siku-siku yang satu 7 cm lebih panjang dari yang lain maka panjang sisi-sisi tersebut berturut-turut adalah … … a. 8 cm dan 15 cm c. 6 cm dan 13 cm e. 4 cm dan 11 cm b. 7 cm dan 14 cm d. 5 cm dan 12 cm
w
6. Akar-akar dari 2 x 2 − 3x − 9 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai dari x12 + x 22 = … … a. 11 ¼ b. 6 ¾ c. 2 ¼ d. -6 ¾ e. -11 ¼ 7. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1/5 dan 5 adalah … … a. 5x2 + 26 x + 5 = 0 c. 5x2 + 26 x - 5 = 0 e. 5x2 - 26 x - 5 = 0 b. 5x2 - 26 x + 5 = 0 d. 5x2 - 26 x + 1 = 0 8.
Himpunan penyelesaian dari a. { x| x -3 } b. { x| x 3 }
9.
Nilai x yang memenuhi
x 5x + 9 −2 ≤ adalah … … 3 2
c. { x| x 3 } d. { x| 3 < x < -3 }
e. { x| -3 < x < 3 }
4x − 3 2 − x ≥ adalah … … 2 3
a. x 13/14 c. x 6/7 b. x 13/14 d. x 6/7 10. Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan 5x –6 a. { x | x 2 } c. { x | x 2/3 } b. { x | x 2 } d. { x | x < 2/3 } 11. Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan
e. x
-13/14
7x –10 adalah … … { x | x 2/3 }
1 − 2x < 3 , x ∈ R adalah … 3
a. { x | x > -4 } c. { x | x > 4 } e. { x | x > -8 } b. { x | x < 4 } d. { x | x < -4 } 12. Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan 8 + 2x 12 + 6x adalah … … a. { x | x -1 } c. { x | x -3 } e. { x | x -5 } b. { x | x -1 } d. { x | x -5 } 13. Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + x –2 > 0 adalah … … a. { x | x 1 } c. { x | -2 < x < 1 } e. { x | x < -1 atau x > 2 } b. { x | x 4 } d. { x | -1 < x < 2 } 14. Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan x2 + 4x –12 0 adalah … … Halaman 42
.d o
o
.c
m
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
a. {x| -2 b. {x| -6
x x
6} 2}
c. {x| -6 x -2} d. {x| x 2 atau x
e. {x| x
6 atau x
-6
15 .Harga 3 kg mangga dan 1 kg jeruk adalah Rp 25.500,00 sedang harga 4 kg mangga dan 2 kg jeruk Rp 42.000,00. Harga 1 kg mangga adalah … . a. Rp 4.000,00 b. Rp 4.500,00 c. Rp 8.500,00 d. Rp 9.000,00 e. Rp 10.500,00 16.
Harga tiket bus Jakarta – Surabaya untuk kelas ekonomi Rp 25.000,00 dan kelas eksekutif Rp 65.000,00. Jika dari 200 tiket yang terjual diperoleh uang Rp 9.600.000,00, maka banyaknya penumpang kelas ekonomi dan kelas eksekutif masing-masing adalah … . a. 75 orang dan 125 orang c. 85 orang dan 115 orang e. 115 orang dan 85 orang b. 80 orang dan 120 orang d. 110 orang dan 90 orang
17.
Sebuah hotel mempunyai dua tipe kamar yang masing-masing berdaya tampung 3 orang dan 2 orang. Jika jumlah kamar seluruhnya 32 kamar dengan daya tampung seluruhnya 84 orang, berapa banyak kamar yang berdaya tampung 2 orang ? ( no. 5, Uan 98-99 ) a. 6 b. 12 c. 14 d. 16 e. 20
18.
Harga 2 buah buku dan 3 buah penggaris adalah Rp 5.400 sedangkan harga 3 buah buku dan penggaris Rp 7.700. Harga sebuah penggaris adalah … ( no. 7, Uan 99-00 ) a. Rp 1.500 b. Rp 1.200 c. Rp 1.000 d. Rp 900 e. Rp 800
19.
20.
21.
4 buah
Himpuanan penyelesaian 4x – 6 > 6x + 4, x∈ Himpunan bilangan Real adalah … (no.8, Uan 99-00) a. {x x > -5} b. {x x > 5} c. {x x - 5} d. {x x < 5} e. {x x ≤ - 5} Harga 2 buah buku dan 2 buah pensil Rp 8.800. Jika harga sebuah buku Rp 600 lebih murah daripada harga sebuah pensil, maka harga sebuah buku adalah … ( no. 4, Uan 00-01 ) a. Rp 1.400 b. Rp 1.600 c. Rp 1.900 d. Rp 2.000 e. Rp 2.500 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan a. {x x > -4}
b. {x x < 4}
1 − 2x < 3 , x ∈ R adalah … (no. 5, Uan 00-01 ) 3
c. {x x > 4}
22. Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan 5x – 6 a. { x | x 2 } c. { x | x 2/3 } b. { x | x 2 } d. { x | x < 2/3 } 23. Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan
d. {x x < -4}
e. {x x > -8}
7x – 10 adalah … … { x | x 2/3 }
1 − 2x < 3 , x ∈ R adalah … 3 e. { x | x > -8 }
a. { x | x > -4 } c. { x | x > 4 } b. { x | x < 4 } d. { x | x < -4 } 24. Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan 8 + 2x 12 + 6x adalah … … a. { x | x -1 } c. { x | x -3 } e. { x | x -5 } b. { x | x -1 } d. { x | x -5 } 25. Nilai obyektif z = 2x – 3y yang memenuhi sistem persamaan x + 2y = 3 dan 2x – 5y = 15 adalah … a. 10 b. 11 c. 13 d. 15 e. 17
Halaman 43
.d o
m
w
-2}
o
.c
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
