459-469.pdf - Google Drive

Οι κυβικές ρίζες της μονάδας Ευγενία Κοτζαπαναγιώτου [email protected]

Περίληψη Παρουσιάζεται η αναλυτική επίλυση της κυκλοτομικής εξίσωσης z3 – 1= 0 με χρήση του κανόνα του de Moivre. Στη συνέχεια, αναφέρονται οι κύριοι λόγοι ανάπτυξης της αριθμητικής ανάλυσης και η αναγκαιότητα της στην επίλυση εξισώσεων. Προσεγγίζονται οι λύσεις της εξίσωσης με τη μέθοδο Newton και τη μέθοδο της τέμνουσας και αναφέρονται βασικά χαρακτηριστικά τους. Ανάγεται το πρόβλημα επίλυσης ριζών σε ισοδύναμο πρόβλημα επίλυσης συστήματος εξισώσεων και προσεγγίζεται με τις μεθόδους Newton και Broyden, όπου παρατίθενται τα αποτελέσματά τους και υλοποιείται σύγκριση. Τέλος, παρουσιάζεται η οπτικοποίηση της θραυσματικής δομής του συνόλου Newton για την εξίσωση z3 – 1= 0. Abstract The analytic solution of the cyclotomic equation z3 - 1 = 0 is presented using de Moivre’s formula. Subsequently, we refer to the main reasons for developing numerical analysis and its necessity in solving equations. The solutions of an equation are approached with the methods of Newton and the secant while some key features are mentioned, as well. The problem of solving roots becomes equivalent to the problem of solving a system of equations and it is processed with Newton’s and Broyden’s methods. Their results are presented and compared. Finally, we present a visualization of the fractal set of Newton’s total for the equation z3 – 1 = 0. Μαθηματικό υπόβαθρο Η εξίσωση zn = 1, n=1,2,… ονομάζεται κυκλοτομική εξίσωση (cyclotomic equation) και οι λύσεις της ονομάζονται n-οστές ρίζες της μονάδας ή αριθμοί του de Moivre. Ονομάζεται κυκλοτομική διότι, αν στο

460

33ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας

μιγαδικό επίπεδο (επίπεδο Gauss) ενώσουμε με ευθύγραμμα τμήματα τις αντίστοιχες n-οστές ρίζες της μονάδας σχηματίζονται κανονικά πολύγωνα με n πλευρές, των οποίων οι κορυφές βρίσκονται στο μοναδιαίο κύκλο. Δηλαδή, οι n-οστές ρίζες της μονάδας αποτελούν κορυφές κανονικών πολυγώνων με n πλευρές, τα οποία είναι εγγεγραμμένα στο μοναδιαίο κύκλο και για τα οποία, για κάθε n η μία κορυφή βρίσκεται στο σημείο (1,0), ενώ για άρτιο n μία επιπλέον κορυφή τους βρίσκεται στο σημείο (1,0). Θα ασχοληθούμε με τις κυβικές ρίζες της μονάδας. Για την αναλυτική επίλυση της εξίσωσης z3 = 1 γράφουμε τον αριθμό z σε πολική μορφή, z = |z| (cosθ + i sinθ), θ arg(z), όπου cosθ, sinθ το συνημίτονο και το ημίτονο αντίστοιχα της γωνίας θ. Με arg(z) συμβολίζουμε το όρισμα του z, z = x + iy 0, το οποίο ορίζεται ως το σύνολο των κοινών λύσεων των εξισώσεων: Έτσι, η εξίσωσή μας γράφεται: [|z| (cosθ + i sinθ)]3 = 1 |z|3 (cosθ + i sinθ)3 = 1 Με τη βοήθεια του τύπου του de Moivre, ο οποίος ανάγει την ύψωση σε δύναμη στον καθορισμό πολλαπλάσιων τόξων, η προηγούμενη εξίσωση γράφεται ισοδύναμα στη μορφή: |z|3 (cos3θ + i sin3θ) = 1. Γνωρίζοντας ότι cos0 = 1 και sin0 = 0, εκφράζουμε και το δεύτερο μέλος σε πολική μορφή. Έτσι, έχουμε: |z|3 (cos3θ + i sin3θ) = cos0 + i sin0. Για να ισχύει αυτή η εξίσωση θα πρέπει: |z|3 = 1 και 3θ = 2κπ, κ. Άρα, θα πρέπει: |z| = 1 και θ = 2κπ/3, κ=0,1,2. Συνεπώς, οι κυβικές ρίζες της μονάδας είναι: z1 = cos0 + i sin0 = 1 + i0, κ=0 z2 = cos(2π/3) + i sin(2π/3) = -1/2 + i /2 = -0.5 + i 0.866, κ=1 z3 = cos(4π/3) + i sin(4π/3) = 1/2 - i /2 = -0.5 - i 0.866, κ=2 Τέλος, παρατηρούμε ότι αν αυξήσουμε το κ επανερχόμαστε κυκλικά στις ρίζες z1, z2, z3 που βρήκαμε παραπάνω και ότι οι κυβικές ρίζες της μονάδας αποτελούν κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. Αριθμητική ανάλυση και επίλυση εξισώσεων Η ανάπτυξη της αριθμητικής ανάλυσης είναι συνυφασμένη με τους υπολογιστές. Ένας από τους σκοπούς της αριθμητικής ανάλυσης είναι η μετατροπή μαθηματικών προβλημάτων σε ισοδύναμα προβλήματα, τα οποία είναι επεξεργάσιμα από έναν υπολογιστή ώστε να επιλυθούν αριθμητικά για την απόκτηση αριθμητικών τιμών. Τέτοια προβλήματα


461

είναι, για παράδειγμα, η επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων, η προσέγγιση συναρτήσεων, η παραγώγιση, η ολοκλήρωση, η επίλυση διαφορικών εξισώσεων, η βελτιστοποίηση συναρτήσεων κ.ά. Έτσι, η αριθμητική ανάλυση είναι χρήσιμη και πολλές φορές απαραίτητη σε κλάδους των εφαρμοσμένων μαθηματικών και σε κλάδους των εφαρμοσμένων επιστημών. Για τη μετατροπή των διαφόρων μαθηματικών προβλημάτων σε επεξεργάσιμα από υπολογιστή προβλήματα, η αριθμητική ανάλυση αναπτύσσει κατάλληλες μεθόδους. Το πρόβλημα της επίλυσης μιας αλγεβρικής ή υπερβατικής εξίσωσης είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα προβλήματα των υπολογιστικών μαθηματικών. Το πρόβλημα όμως αυτό εμφανίζεται συχνά σε πολλούς τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας, όπως μαθηματικά, ιατρική, φυσικές επιστήμες, στατιστική, επιχειρησιακή έρευνα, διοίκηση επιχειρήσεων, οικονομικά, ανάλυση συστημάτων, επιστήμη των υπολογιστών κ.ά. Έχοντας κανείς στη διάθεσή του μεθόδους επίλυσης εξισώσεων, μπορεί να αντιμετωπίσει πολλά προβλήματα, μερικά από τα οποία ενδεικτικά είναι: η εύρεση των σταθερών σημείων μιας συνάρτησης, καθώς και προβλήματα ελαχιστοποίησης μιας συνάρτησης. Οι περισσότερες εξισώσεις στη φύση, όμως, δεν έχουν λύση με αναλυτική έκφραση, δεν υπάρχει δηλαδή κάποιος κλειστός τύπος που αν τον εφαρμόσουμε θα μας δώσει τη λύση. Για παράδειγμα, για τις πολυωνυμικές εξισώσεις ανώτερου του τέταρτου βαθμού έχει αποδειχθεί ότι εκτός από ορισμένες εξαιρέσεις δεν μπορούν να επιλυθούν αναλυτικά. Μόνο ένας πολύ μικρός αριθμός εξισώσεων ειδικής μορφής επιδέχεται αναλυτική λύση. Όμως, ακόμα και σε εξισώσεις που υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις για την εύρεση της ζητούμενης αριθμητικής τιμής οι τιμές που μπορεί να πάρουμε υπάρχουν περιπτώσεις που είναι λανθασμένες λόγω της καταστροφικής ακύρωσης σημαντικών ψηφίων. Η καταστροφική ακύρωση σημαντικών ψηφίων είναι ένα σημαντικό επακόλουθο της αριθμητικής πεπερασμένης ακρίβειας, το οποίο σχετίζεται με την απώλεια σωστών σημαντικών ψηφίων μικρών αριθμών, οι οποίοι απορρέουν από πράξεις μεταξύ μεγάλων αριθμών. Το πρόβλημα των λανθασμένων λύσεων που ενδεχομένως μπορούμε να πάρουμε χρησιμοποιώντας αναλυτικές εκφράσεις μπορεί να αποφευχθεί αν υπολογίσουμε τη λύση χρησιμοποιώντας μία εναλλακτική αναλυτική έκφραση, ή αν εφαρμόσουμε αριθμητικές μεθόδους.

462


Συνεπώς, για όλους τους παραπάνω λόγους εφαρμόζονται μέθοδοι της αριθμητικής ανάλυσης για την επίλυση αλγεβρικών και υπερβατικών εξισώσεων. Βέβαια, δεν υπάρχει μία μέθοδος, η οποία να αντιμετωπίζει με επιτυχία οποιοδήποτε πρόβλημα. Γι’ αυτό στην επιλογή μεθόδου λαμβάνονται υπ' όψη παράμετροι όπως η εγγύτητα της αρχικής εκτίμησης προς την επιθυμητή λύση, η ύπαρξη των παραγώγων, το κόστος απόκτησης μιας συναρτησιακής τιμής, το κόστος των συναρτησιακών υπολογισμών και τέλος η ύπαρξη αρκετών λύσεων σε μία περιοχή. Μέθοδος Newton-Raphson: Το επαναληπτικό σχήμα της μεθόδου Newton-Raphson δίνεται από την αναδρομική σχέση:

Θα προσεγγίσουμε τις κυβικές ρίζες της μονάδας εφαρμόζοντας τη μέθοδο Newton-Raphson για συναρτήσεις μιας μεταβλητής με μιγαδική μεταβλητή z, καλώντας με χρήση του προγράμματος Matlab τη συνάρτηση myNewtonRaphson.m, η οποία έχει ως ορίσματα τη συνάρτηση και την παράγωγό της, την αρχική προσέγγιση, το επιθυμητό πλήθος ακρίβειας δεκαδικών ψηφίων και το μέγιστο πλήθος επαναλήψεων. Αν εφαρμόσουμε τη μέθοδο με αρχικές προσεγγίσεις 0.3+i0.2, 0.3+i0.7 και 0.3+i0.5 παρατηρούμε ότι συγκλίνει στη z1, z2, z3 αντίστοιχα. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι ενώ οι αρχικές προσεγγίσεις που χρησιμοποιήσαμε βρίσκονται κοντά η μία στην άλλη συγκλίνουν σε διαφορετικές ρίζες. Μέθοδος της τέμνουσας: Το επαναληπτικό σχήμα της μεθόδου της τέμνουσας (secant method) δίνεται από την αναδρομική σχέση:

Η μέθοδος της τέμνουσας βασίζεται στο επαναληπτικό σχήμα της μεθόδου Newton-Raphson αντικαθιστώντας όμως την παράγωγο της συνάρτησης με την προσέγγιση που δίνεται από το θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού. Έτσι, απαιτεί λιγότερους υπολογισμούς σε κάθε επανάληψη και αντιμετωπίζει προβλήματα ύπαρξης και υπολογισμού της παραγώγου, τα οποία εμφανίζονται στη μέθοδο Newton-Raphson. Όμως, υπάρχει περίπτωση να μηδενίζονται οι διαφορές που υπάρχουν στον


463

επαναληπτικό της τύπο όταν πλησιάζουμε τη ρίζα με συνέπεια τη διακοπή της βελτίωσης των προσεγγίσεων εάν μηδενίζεται ο αριθμητής και απειρισμό εάν μηδενίζεται ο παρονομαστής. Είναι μέθοδος δύο βημάτων, δηλαδή απαιτεί δύο αρχικές προσεγγίσεις, αλλά εφαρμόζεται όπως και η μέθοδος Newton-Raphson και για τον υπολογισμό μιγαδικών λύσεων. Η σύγκλισή της όπως και η σύγκλιση της μεθόδου Newton-Raphson είναι τοπική, γι’ αυτό είναι επιθυμητό οι αρχικές προσεγγίσεις να είναι κοντά στην πραγματική τιμή της ρίζας. Όμως, η ταχύτητα σύγκλισης της μεθόδου της τέμνουσας είναι

ταχύτερη, δηλαδή από τη γραμμική

σύγκλιση της μεθόδου της διχοτόμησης και μικρότερη από την τετραγωνική σύγκλιση της μεθόδου Newton-Raphson. Θα υπολογίσουμε τις κυβικές ρίζες της μονάδας εφαρμόζοντας τη μέθοδο της τέμνουσας. Θα καλέσουμε, λοιπόν για τον υπολογισμό των ριζών της εξίσωσης z3-1=0 τη συνάρτηση mySecant.m με διαφορετικές αρχικές προσεγγίσεις, η οποία έχει ως ορίσματα τη συνάρτηση, τις δύο απαιτούμενες αρχικές προσεγγίσεις, το επιθυμητό πλήθος ακρίβειας δεκαδικών ψηφίων και το μέγιστο αριθμό επαναλήψεων. Εύρεση των κυβικών ριζών της μονάδας με μεθόδους επίλυσης συστημάτων Θεωρούμε τη συνάρτηση f(z) = z3 – 1 και θέτουμε z = x + i y, όπου x,y πραγματικοί αριθμοί. Έτσι, έχουμε:

Από την παραπάνω μορφή της συνάρτησης εύκολα διαχωρίζουμε το πραγματικό και το φανταστικό της μέρος. Έχουμε: Θα προσεγγίσουμε, λοιπόν, τις κυβικές ρίζες της μονάδας με μεθόδους επίλυσης συστημάτων για την επίλυση του συστήματος:

Μέθοδος Newton Η ανάπτυξη της μεθόδου Newton γίνεται με τη βοήθεια του τύπου του Taylor και το επαναληπτικό σχήμα που προκύπτει δίνεται από την αναδρομική σχέση:

464


όπου εκφράζει το αντίστροφο μητρώο του ιακωβιανού μητρώου στο xk. Για ένα μητρώο Α με ίσο αριθμό γραμμών και στηλών (τετραγωνικό μητρώο), αν υπάρχει μητρώο Β έτσι ώστε να ισχύει ΒΑ = Ι = ΑΒ, τότε το μητρώο Β είναι μοναδικό, λέγεται αντίστροφος του Α και συμβολίζεται ως Α-1. Το ιακωβιανό μητρώο J των μερικών παραγώγων δίνεται ως ακολούθως:

Μέθοδος Broyden Η μέθοδος Broyden αποτελεί γενίκευση της μεθόδου της τέμνουσας και επιλύει όπως και η μέθοδος Newton ένα σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων επιλύοντας επαναληπτικά κατάλληλα γραμμικά συστήματα. Σε αντίθεση με τη μέθοδο Newton δεν απαιτεί τον υπολογισμό των μερικών παραγώγων καθώς χρησιμοποιεί ένα μητρώο Α, το οποίο αναπροσαρμόζεται σε κάθε επανάληψη. Το επαναληπτικό σχήμα της μεθόδου Broyden δίνεται από την αναδρομική σχέση: όπου το μητρώο Α αναπροσαρμόζεται σύμφωνα με τη σχέση:

όπου sk = xk+1 – xk. Βέβαια, ως αρχική προσέγγιση του μητρώου Α μπορεί να χρησιμοποιηθεί το Ιακωβιανό μητρώο, το οποίο αποτελεί καλή αρχική προσέγγιση σύμφωνα με το θεώρημα σύγκλισης της μεθόδου. Σύγκριση της μεθόδου Newton με τη μέθοδο Broyden Η μέθοδος Broyden, υπολείπεται της μεθόδου Newton στην ταχύτητα σύγκλισης, αλλά απαιτεί λιγότερους υπολογισμούς. Για την επίλυση του συστήματος Fn(x) = 0n, όπου F = (f1, f2) συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα ανοικτό και κυρτό σύνολο, η μέθοδος Broyden απαιτεί n συναρτησιακούς υπολογισμούς σε κάθε επανάληψη n*iterB και στην περίπτωση που χρησιμοποιηθεί ως αρχική προσέγγιση το Ιακωβιανό


465

μητρώο απαιτεί ακόμη n2 συναρτησιακούς υπολογισμούς για τον υπολογισμό των μερικών παραγώγων (n*iterB + n2). Ενώ, η μέθοδος Newton απαιτεί σε κάθε επανάληψη τον υπολογισμό των μερικών παραγώγων και των συναρτησιακών τιμών ( (n2+n)*iterN ). Με iterB και iterN συμβολίζουμε το πλήθος των απαιτούμενων επαναλήψεων για την εύρεση της λύσης του συστήματος με την επιθυμητή ακρίβεια με τη μέθοδο Broyden και Newton αντίστοιχα. Παρακάτω παραθέτουμε τα αποτελέσματα εφαρμογής της μεθόδου Broyden με τρία διαφορετικά μητρώα Α, με το μοναδιαίο μητρώο, με ένα μητρώο με τυχαίες τιμές και με το ιακωβιανό μητρώο, με χρήση δύο διαφορετικών αρχικών τιμών x και τα αποτελέσματα της μεθόδου Newton για τις ίδιες τιμές x, ακρίβεια και μέγιστο πλήθος επαναλήψεων. ================================= Για x0 = [2, 2] Newton Broyden ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ A1 A2 J =-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= Επαναλήψεις : 8 36 79 19 Υπολογισμοί : 48 72 158 38 z : z1 z3 z1 z3 ================================= Για x0 = [2, 2] Newton Broyden ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ A1 A2 J =-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= Επαναλήψεις : 6 38 47 13 Υπολογισμοί : 36 76 94 26 z : z1 z2 z3 z1 ================================= Παρατηρούμε ότι η μέθοδος Broyden με αρχική προσέγγιση το Ιακωβιανό μητρώο απαιτεί λιγότερους συναρτησιακούς υπολογισμούς, ενώ σε κάθε περίπτωση υπολείπεται της μεθόδου Newton στην ταχύτητα σύγκλισης καθώς απαιτεί περισσότερες επαναλήψεις. Τέλος, παρατηρούμε ότι δε συγκλίνουν οι μέθοδοι στην ίδια ρίζα παρότι χρησιμοποιούμε ίδιες αρχικές προσεγγίσεις για το x.

466


Εύρεση των κυβικών ριζών της μονάδας με μεθόδους βελτιστοποίησης Παραπάνω είδαμε ότι μπορούμε να προσεγγίσουμε τις κυβικές ρίζες της μονάδας με μεθόδους επίλυσης συστημάτων. Η επίλυση συστημάτων, όμως, μπορεί να υλοποιηθεί με μεθόδους βελτιστοποίησης. Πράγματι, η επίλυση συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων της μορφής:

όπου Fn = (f1, f2,…, fn) : Dn Rn Rn, μπορεί να υλοποιηθεί με μεθόδους βελτιστοποίησης και ειδικότερα ελαχιστοποίησης, όπως η μέθοδος του Cauchy και η μέθοδος του Armijo, της συνάρτησης:

Αυτό ισχύει διότι, οι τιμές της συνάρτησης f ως άθροισμα τετραγώνων είναι μη αρνητικές, . Άρα, η ελάχιστη τιμή της είναι η μηδενική και για να ισούται με το μηδέν κάθε συνιστώσα της fi, i=1, 2,…, n, θα πρέπει να μηδενίζεται. Συνεπώς, ο ελαχιστοποιητής x* της συνάρτησης f είναι και η λύση του συστήματος Fn(x) = 0n καθώς f1(x*) = f2(x*) = … = fn(x*) = 0. Μπορούμε, λοιπόν, εφαρμόζοντας τη μέθοδο του Cauchy ή τη μέθοδο του Armijo στη συνάρτηση: να βρούμε τις λύσεις του συστήματος:

Μέθοδος Cauchy Η μέθοδος του Cauchy (1847) αναφέρεται και ως μέθοδος της απότομης καθόδου ή μέθοδος της απότομης κατάβασης (steepest


467

descend) αλλά και ως μέθοδος της κλίσης καθόδου (gradient descend) ή ακόμη και μέθοδος του χιονοδρόμου. Το επαναληπτικό σχήμα της μεθόδου Cauchy δίνεται από την αναδρομική σχέση: όπου εκφράζει την κλίση (gradient) της αντικειμενικής συνάρτησης f(x) και το λ είναι το μέγεθος βήματος προς την κατεύθυνση αναζήτησης ή κατεύθυνση μείωσης. Η κλίση μιας συνάρτησης f(x,y) με παραγώγους πρώτης τάξης είναι ένα διάνυσμα-συνάρτηση που έχει ως συντεταγμένες τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης, gradf(x,y) =

f(x,y) =

.

Μέθοδος Armijo Η μέθοδος του Armijo (1966), αναφέρεται και ως τροποποιημένη μέθοδος μέγιστης κλίσης, αποτελεί τροποποίηση της μεθόδου του Cauchy, αναπροσαρμόζει το μέγεθος του βήματος σε κάθε επανάληψη και όταν πληρούνται ορισμένες συνθήκες αναφορικά με τη συνάρτηση f και το πεδίο ορισμού της, η μέθοδος συγκλίνει πάντα σε έναν τοπικό ελαχιστοποιητή. Το επαναληπτικό σχήμα της μεθόδου Armijo δίνεται από την αναδρομική σχέση: εκφράζει την κλίση (gradient) της αντικειμενικής συνάρτησης όπου f(x) και το είναι όρος της ακολουθίας ηm = η0/2m-1, m = 1, 2,…, όπου η0 είναι ένας αυθαίρετα επιλεγμένος αριθμός και mk είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος για τον οποίο ισχύει η ακόλουθη ανισότητα (συνθήκη του Armijo): Θραυσματικό σύνολο του Newton Το 1879 ρώτησαν τον Arthur Cayley: «Δοθείσης μιας αρχικής προσέγγισης της λύσης z0 σε ποια λύση συγκλίνει η μέθοδος NewtonRaphson;» Έτσι, ο Arthur Cayley ήταν ο πρώτος που παρατήρησε τις δυσκολίες της γενίκευσης της μεθόδου Newton-Raphson για την εύρεση μιγαδικών ριζών πολυωνυμικού βαθμού μεγαλύτερου του δευτέρου καθώς πολύ

468


μικρές μετατοπίσεις στις αρχικές τιμές μπορούν να επιφέρουν διαφορετικά αποτελέσματα σύγκλισης. Η απάντηση έγινε κατά κάποιο βαθμό κατανοητή μετά από περίπου έναν αιώνα, με τη μελέτη της θραυσματικής δομής της περιοχής σύγκλισης της μεθόδου Newton-Raphson, η οποία δημιουργεί ένα εξαιρετικά περίπλοκο σύνολο που ονομάζεται θραυσματικό σύνολο του Newton. Το θραυσματικό σύνολο του Newton είναι ένα σύνολο στο μιγαδικό επίπεδο, το οποίο εκφράζεται από το σύνορο της περιοχής σύγκλισης της μεθόδου Newton–Raphson όταν εφαρμόζεται σε ένα πολυώνυμο . Όταν, δηλαδή, μία απλή μέθοδος όπως η Newton – Raphson, εφαρμόζεται σε μία απλή εξίσωση, όπως η κυκλοτομική εξίσωση z3 – 1 = 0, δημιουργούνται περίπλοκες περιοχές σύγκλισης. Οι περιοχές αυτές ονομάζονται σύνολα θραυσματικής (μορφοκλασματικής) δομής (fractal sets). Θραυσματική δομή λέγεται μία δομή που παρουσιάζει αυτοομοιότητα που επαναλαμβάνεται σε όλες τις κλίμακες μεγέθυνσης. Λόγω της δομής του ένα θραυσματικό σύνολο είναι εξαιρετικά περίπλοκο να περιγραφεί. Έτσι, συχνά αναφέρεται ως «απείρως περίπλοκο» και, γενικά, θεωρούμε ότι απαιτείται άπειρη πληροφορία, όλη η πληροφορία του σύμπαντος, για την περιγραφή του. Η οπτικοποίηση του, όμως, μας οδηγεί πολλές φορές στην κατανόηση και στην πληρέστερη επεξεργασία της πληροφορίας του καθώς και στην ανακάλυψη διαφόρων συσχετίσεων μεταξύ των δεδομένων που απαρτίζουν την πληροφορία. Η διπλανή εικόνα αποτελεί την οπτικοποίηση σε ένα δεδομένο χωρίο των περιοχών και των ταχυτήτων σύγκλισης της μεθόδου Newton-Raphson όταν εφαρμόζεται για την επίλυση της κυκλοτομικής εξίσωσης z3 - 1 = 0. Για την κάθε περιοχή έχουν χρησιμοποιηθεί τρεις αποχρώσεις του αντίστοιχου χρώματος. Όσο πιο σκούρα είναι η απόχρωση, τόσο ταχύτερη είναι η σύγκλιση. Το σύνορο κάθε περιοχής παρουσιάζει θραυσματική δομή. Οι παρακάτω εικόνες αποτελούν την οπτικοποίηση σε ένα δεδομένο χωρίο των περιοχών και των ταχυτήτων σύγκλισης της μεθόδου Cauchy με σταθερό βήμα λ=0,1 και της μεθόδου μέγιστης κλίσης του Armijo.


Μέθοδος Caychy

469

Μέθοδος Armijo

Παρατηρούμε ότι η μέθοδος του Cauchy και η μέθοδος του Armijo επιδεικνύουν παρόμοια συμπεριφορά. Αυτό οφείλεται στο ότι ανήκουν στην ίδια οικογένεια. Από την οικογένεια των μεθόδων μέγιστης κλίσης υπερέχει η μέθοδος του Armijo, διότι συγκλίνει για όλες τις αρχικές τιμές, ενώ ταυτόχρονα παρουσιάζει μία σημαντική δομή, η οποία καθιστά τις περιοχές σύγκλισης σχεδόν διαχωρίσιμες. Με βάση αυτό το χαρακτηριστικό, το ερώτημα που ετέθη στον Arthur Cayley θα μπορούσε πιο εύκολα να απαντηθεί, αναφορικά όμως με τη σύγκλιση της μεθόδου Armijo. Συμπέρασμα Η μελέτη της κυκλοτομικής εξίσωσης συνδυάζει την ευκλείδεια και τη μορφοκλασματική γεωμετρία, αλλά και τη μιγαδική με την αριθμητική ανάλυση. Έτσι, μπορεί να αποτελέσει μία εισαγωγή στη γνωριμία των μαθητών τόσο με τους μιγαδικούς αριθμούς όσο και με την έννοια και τη φιλοσοφία των αλγορίθμων μέσω των αλγορίθμων της αριθμητικής ανάλυσης που χρησιμοποιήθηκαν. Τέλος, μπορεί τα περίεργα αυτά σχήματα που δημιουργούνται να αποτελέσουν κίνητρο ώστε να ασχοληθούν με υπολογιστικά πακέτα ώστε να δημιουργήσουν τις δικές τους «παράξενες» εικόνες. Πηγές Μιχαήλ Ν. Βραχάτης (2012), Αριθμητική Επίλυση: Υπερβατικές Εξισώσεις, Πάτρα, εκδ: Κλειδάριθμος. Μιχαήλ Ν. Βραχάτης (2011), Αριθμητική Επίλυση: Εισαγωγή, Πάτρα, εκδ: Κλειδάριθμος. Θεοδούλα Ν. Γράψα (2013), Εισαγωγή στην ανάλυση διαστημάτων, εκδ: Τζιόλα Τάσος Μπούντης (2004), Ο θαυμαστός κόσμος των fractal, εκδ: Leader Books