4.PENGGUNAAN TURUNAN. 4.1. Maksimum dan Minimum. Teorema A. (
Teorema keberadaan Maks-Min).Jika f kontinu pada selang tutup [a, b],.
4.PENGGUNAAN TURUNAN
4.1. Maksimum dan Minimum Teorema A (Teorema keberadaan Maks-Min).Jika f kontinu pada selang tutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum disana.
Teorema B (Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefenisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika c adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa titik kritis; yakni c berupa salah satu: (i) titik ujung dari ; (ii) titik satasioner dari f (f’(c)=0); atau (iii) titik singuler dari f (f’(c) tidak ada). Contoh 5 Peternak Kasim mempunyai 100 meter kawat duri yang akan dipergunakan membuat dua kandang identik yang berdampingan seperti diperlihatkan gambar dibawah. Berapa ukuran panjang dan lebar agar luas maksimum ?
1
Penyelesaian Andaikan x adalah lebar dan y adalah panjang untuk semua keliling, keduanya dalam meter. Karena tersedia 100 meter kawat, maka 3x + 2y = 100 2y = 100 − 3x 100 − 3x y= 2 3 y = 50 − x 2 Misalkan luas L L = xy 3 = x(50 − x) 2 3 2 = 50x − x 2 dan turunan L0 = 0 L0 = 50 − 3x 50 − 3x = 0 50 = 3x 3x = 50 50 x= 3 dan y 3 y = 50 − x 2 3 50 y = 50 − ( ) 2 3 = 50 − 25 = 25 Sehingga luas maksimum adalah : L = xy 50 .25 = 3 1250 = 3 ≈ 416, 67 dengan grafik diperlihatkan
2
Latihan 4.1 No. 19, 23, 30 4.2 Kemonotonan dan Kecekungan Turunan pertama f 0 (x) adalah kemiringan dari garis singgung pada grafik f dititik x. Jika f 0 (x) > 0, maka garis singgung naik kekanan. Begitu pula f 0 (x) < 0, maka garis singung menurun kekanan.
Teorema A (Teorema Kemenotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan terdeferensial pada setiap titik dalam I. (i) Jika f 0 (x) > 0 untuk semua x titik dalam I, maka f naik pada I. (ii) Jika f 0 (x) < 0 untuk semua x titik dalam I, maka f turun pada I. Contoh 1 Jika f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 7, cari dimana f naik dan dimana f turun. Penyelesaian Turunan dari f 3
f 0 (x) = 6x2 − 6x − 12 = 6(x2 − x − 2) = 6(x + 1)(x − 2) Fungsi naik f 0 (x) > 0 (x + 1)(x − 2) > 0 pembatas (x + 1) = 0,(x − 2) = 0 x = −1,x = 2 (−∞, −1)atau(2, ∞) Fungsi turun f 0 (x) < 0 (x + 1)(x − 2) < 0 pembatas (x + 1) = 0,(x − 2) = 0 x = −1,x = 2 (−1, 2) grafik f (x)
Dari contoh 1 grafik f 0 (x)
4
Kita gabung f (x) dan f 0 (x), dan garis singgung f 0 (x)
Dari grafik terlihat jika f ”(x) < 0 cekung kebawah, dan jika f ”(x) > 0 cekung keatas.
5
Teorema B (Teorema Kecekungan)Andaikan f terdeferensial dua kali pada selang buka I. (i) Jika f ”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung keatas pada I. (ii) Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung kebawah pada I. Dari teorema ini dan contoh 1 dapat kita simpulkan bahwa andaikan f kontinu pada titik c , maka f ”(c) = 0 adalah titik balik kecekungan. Latihan 4.2 No. 5, 15, 38 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7.
Maksimum dan Minimum Lokal Lebih banyak Masalah Maksimum dan Minimum Terapan Ekonomi Limit Ketakhinggaan, Limit tak hingga Penggambaran grafik canggih
4.8 Teorema Nilai Rata-rata Perhatikan kembali grafik fungsi f (x) = 100x − 2x2
Jika dalam selang I misalnya [10, 40] f (10) = 100.10 − 2.102 = 1000 − 2.100 = 1000 − 200 = 800, dan f (40) = 100.40 − 2.402 = 4000 − 2.1600 = 4000 − 3200 = 800. karena f (10) = f (40) = 800 sehingga terdapat c pada [10, 40] yaitu f 0 (25) = 0. Teorema a Suatu fungsi f terdeferensial pada I, misalkan [a, b] dan f (a) = f (b), maka terdapat c pada I yaitu f 0 (c) = 0 Teorema A (Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan) Jika f kontinu pada selang tutup [a, b] dan terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a, b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a, b) dengan f 0 (c) =
f (b)−f (a) . b−a
6
Bukti :
Misalkan s(x) = f (x) − g(x) Persamaan Garis g(x) melalui titik (a, g(a)), dan (b, g(b)) yaitu: g(b) − g(a) (x − a) b−a f (b) − f (a) g(x) − f (a) = (x − a) b−a f (b) − f (a) g(x) − f (a) − f (x) = (x − a) − f (x) b−a f (b) − f (a) −g(x) + f (a) + f (x) = − (x − a) + f (x) b−a f (b) − f (a) f (x) − g(x) + f (a) = − (x − a) + f (x) b−a f (b) − f (a) f (x) − g(x) = − (x − a) + f (x) − f (a) b−a f (b) − f (a) s(x) = f (x) − f (a) − (x − a) b−a g(x) − g(a) =
Dari s(x) = f (x) − g(x) s(a) = f (a) − g(a) = f (a) − f (a) = 0 s(b) = f (b) − g(b) = f (b) − f (b) = 0, terlihat s(a) = s(b) = 0 menurut Teorema a s0 (x) = f 0 (x) − terdapat c sehingga
7
f (b) − f (a) b−a
f (b) − f (a) b−a f (b) − f (a) 0 0 = f (c) − b−a f (b) − f (a) = f 0 (c) b−a f (b) − f (a) f 0 (c) = b−a s0 (c) = f 0 (c) −
Contoh 1 √ Cari bilangan c yang dijamin oleh Teorema Nilai Rata-rata untuk f (x) = 2 x pada [1, 4] Penyelesaian 1 1 f 0 (x) = 2. x− 2 1 1 =√ x dan f (4) − f (1) 4−1 = 4−1 3 2 = 3 Jadi kita harus menyelesaikan 1 2 √ = 3 c yaitu 4 1 = c 9 4c = 9 9 c= 2 Latihan 4.8 No.3, 24, 31
8
