Capitolo8. EFFETTI TERMICI. 65. 8. EFFETTI TERMICI. Le variazioni di
temperatura causate da scambi di calore con l'ambiente producono deformazioni
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Capitolo8
EFFETTI TERMICI
8. EFFETTI TERMICI Le variazioni di temperatura causate da scambi di calore con l’ambiente producono deformazioni nelle travi e travature . Se tali deformazioni sono impedite, nascono sollecitazioni che possono anche essere rilevanti. Supponiamo che l’evento termico non sia tale da far perdere al materiale il comportamento elastico. Possiamo allora parlare di termoelasticità
Poniamo:
T 0 = temperatura iniziale (o di riferimento) in un punto T= " attuale nel punto
t = T − T 0 = variazione di temperatura nel punto ( > 0 se la temperatura è aumentata)
Data una sezione (per ora ipotizzata simmetrica) di altezza H :
(t e -t i) - t = 2 2
te t0
t0
t
t0
H
ti
y (t e+t i) 2
t 1=
t (t i -t e) 2 (t -t ) = y= i e y= y 2 H H H
(t i -t e) t = 2 2
t i = variazione termica all' intradosso te =
"
"
all' estradosso
Supponiamo che t abbia andamento lineare fra t i e t e . t 0 = (t i + t e ) 2 = variazione termica media (coincidente con quella baricentrica) ∆t = t i − t e (>0 se t i > t e ) ; (se ∆t = 0 la variazione termica è uniforme)
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EFFETTI TERMICI
Poniamo, per un punto generico di coordinata y: t = t o + t1
t1 =
;
∆t y H
,
= 0 se la variazione termica è uniforme.
Alla variazione termica corrisponde una deformazione ε t , secondo la legge lineare (sperimentale):
ε =α t
( α = coefficiente di dilatazione termica lineare del materiale )
Quindi : ε t = α t = α (t 0 + t 1 ) = α t 0 + α
∆t y = ε 0 + ε1 H
Caratteristiche di deformazione termica
(ε t , κ t , γ t )
∆t 0 1 y ε = α t 0 ; ε = α H
;
( 1 dz ) dz = y r
εt = ε0 = α t0 κt =
ε1 y
( vedi figura) = α
∆t y ∆t =α H y H
r =
γ t = 0 ( si potrebbe dimostrare)
1 = 1 r y
y In sintesi :
εt = α t0
dz ;
( t 0 = (t i + t e ) 2
κt =α ;
∆t H
γt =0
;
∆t = t i − t e
dw = 1 dz
;
H = altezza della sezione
;
α = coefficiente )
Queste relazioni si applicano anche a sezioni non simmetriche
La determinazione di spostamenti/rotazioni è già stata affrontata col teorema delle forze virtuali, ottenendo la formula :
δR i ⋅ η i =
∫ (δ N ⋅ ε + δ M ⋅ κ + δ T ⋅ γ ) ds s
i
i
i
dove:
η i = spostamento/rotazione effettivo cercato, secondo una certa direzione.
ε , κ , γ = caratteristiche di deformazione effettive. δR i = forza/coppia virtuale applicata nel punto e nella direzione di η i 66
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EFFETTI TERMICI
δ i N, δ i M, δ i T = caratteristiche di sollecitazione create da δR i Ponendo δ i N = N i ⋅ δR i ; δ i M = M i ⋅ δR i ; δ i T = Ti ⋅ δR i si elimina δR i e quindi:
ηi =
∫ (N ⋅ ε + M ⋅ κ + T ⋅ γ )ds i
s
i
(1)
i
essendo N i ; M i ; Ti provocati da una forza/coppia unitaria applicata nel punto e nella direzione di η i . Nel caso di carichi, ponendo ε =
N M T si ha la formula già applicata: ;κ = ;γ = GK EA EJ N i N M i M Ti T + + ds EJ GK s EA
∫
ηi =
( N, M, T = caratteristiche effettive)
ε t = αt 0 , κ t = α
Nel caso termico, tenendo presente che:
∆t H
(2)
, γ t = 0 la (1) dà luogo a :
∆t ds (3) H
s
∫
η it = N 1α t 0 + M 1α
Mentre nelle strutture staticamente determinate le variazioni termiche producono solamente spostamenti/rotazioni , in quelle staticamente indeterminate producono anche iperstatiche e quindi sollecitazioni. Riprendendo le equazioni di Muller – Breslau :
ηi = ηi0 +
∑η k
ik
⋅ Xk
Per quanto concerne η i e η ik non vi sono variazioni. Per η i 0 il teorema delle forze virtuali forniva in generale :
ηi0 =
∫ (N ⋅ ε s
i
0
+ M i ⋅ κ 0 + Ti ⋅ γ 0 )ds (1)
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dove ε 0 , κ 0 , γ 0 sono le caratteristiche di deformazione nel sistema principale senza iperstatiche e N i ; M i ; Ti sono le caratteristiche di sollecitazione nel sistema principale caricato con la sola X i = 1 .
Nel caso di carichi esterni ε 0 =
T M N0 ;κ 0 = 0 ; γ 0 = 0 e : GK EJ EA
N i N 0 M i M 0 Ti T0 + + ds EA EJ GK s
∫
ηi0 =
(2)
essendo M 0 , N 0 , T0 le caratteristiche di sollecitazione nel sistema principale caricato con i soli carichi.
εt = α t0 , κ t = α
Nel caso termico, tenendo presente che:
s
∫
η it = N iα t 0 + M iα
∆t H
, γ t = 0 la (1) da luogo a :
∆t ds (3) H
Nel caso di carichi più variazioni termiche le equazioni di Muller–Breslau possono scriversi:
η i = η i 0 + η it +
∑η
essendo ηi 0 ,ηit date dalla (2) e dalla (3).
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k
ik
⋅ Xk
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EFFETTI TERMICI
SPOSTAMENTI DI ORIGINE TERMICA
∫
η1t = N1α t 0 + M 1α s
∆t ds H
1) Spostamento verticale del punto B
t>0
A
B L
L
η Bt =
0
1
-L
∫
∆t ∆t M 1α dz = α H H
L
∫ 0
∆t L2 ∆t L2 2 (z − L )dz = α − L = −α H 2 H 2
.
1
-L _
-L + z M1
Bt
A
B
L
2) Rotazione della sezione A
t>0
A
B
L
L
η At
1
1 L
L
z L ∆t ∆t ∆t ∆t L = M 1α dz = α 1 − dz = α L − = α H H L H 2 H 2 0 0
∫
∫
1 L
A
+ 1-z/L
L
M1 At
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B
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3) Spostamento verticale del nodo B L
A
∫
η Bt = 2 N 1α t 0 dz = 2α t 0
C L
L
t0 > 0
L
0
∫ 0
1 2
dz =
2 2
αt 0 L = 2α t 0 L
t0 > 0
1 2
1 2 A 1
+ 1 2
C B
+
N1
Bt
1 2
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EFFETTI TERMICI
SOLLECITAZIONI TERMICHE IN STRUTTURE IPERSTATICHE η i = η it +
∑η K
S
∫
η it = N iα t 0 + M iα
XK ;
iK
2 L1 + L
1) η1 = η1t + η11X1 ;
η1 = 0 ;
η1t =
∫
α t 0 N 1dz ; η11 =
2 L1 + L
0
L1
t 0
