Hindawi Publishing Corporation Abstract and Applied Analysis Volume 2014, Article ID 974714, 9 pages http://dx.doi.org/10.1155/2014/974714
Research Article A Boundary Value Problem for Bihypermonogenic Functions in Clifford Analysis Xiaoli Bian1 and Yuying Qiao2 1 2
School of Science, Tianjin University of Technology and Education, Tianjin 300222, China College of Mathematics and Information, Hebei Normal University, Shijiazhuang 050016, China
Correspondence should be addressed to Xiaoli Bian;
[email protected] Received 8 May 2014; Revised 25 June 2014; Accepted 1 July 2014; Published 20 July 2014 Academic Editor: Guo-Cheng Wu Copyright Š 2014 X. Bian and Y. Qiao. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. This paper deals with a nonlinear boundary value problem for bihypermonogenic functions in Clifford analysis. The integrals of quasi-Cauchyâs type and Plemelj formula for bihypermonogenic functions are firstly reviewed briefly. The nonlinear Riemmann boundary value problem for bihypermonogenic functions is discussed and the existence of solutions is obtained, which also indicates that the linear boundary value problem has a unique solution.
1. Introduction Clifford algebra is an associative and noncommutative algebraic structure that was set up at the beginning of the twentieth century. Clifford analysis is an important branch of modern analysis, which studies the functions defined in Rđ+1 with the value in Clifford algebra space [1]. Clifford analysis possesses not only important theoretical value but also applicable value, which plays an important role in many fields, such as quantum mechanics, Maxwell equation, and YangMills field. Since 1987, Xu [2, 3], Wen [4], Huang [5, 6], Qiao [7â9], and so forth have done a lot of work on boundary value problems for monogenic functions and biregular functions in Clifford analysis. Eriksson and Leutwiler [10â12] introduced hypermonogenic functions in Clifford analysis, studied some of its properties, and discussed the integral representation for hypermonogenic functions. Qiao [9] investigated the boundary value problems of hypermonogenic functions. In recent years, Zhang and Du [13, 14] discussed Riemann boundary value problems and singular integral equations in Clifford analysis. Bian et al. [15] obtained the integral formulas and Plemelj formula for bihypermonogenic functions. Yang et al. [16] studied a kind of boundary value problem for hypermonogenic function vector. Zhang and G¨urlebeck [17] studied Riemann boundary value problems in Clifford analysis.
In this paper, based on the integral formulas and Plemelj formula for bihypermonogenic functions presented in [15], we study a nonlinear Riemann boundary value problem for bihypermongenic functions. We first review briefly the integrals of quasi-Cauchyâs type and Plemelj formula for bihypermonogenic functions and then prove the existence of solutions of a nonlinear Riemann boundary value problem and derive the unique solution of the corresponding linear Riemann boundary value problem.
2. Preliminaries Let đśâ0,đ be a real Clifford algebra over an đ + 1dimensional real vector space đ
đ+1 with orthogonal basis đ := {đ0 , đ1 , . . . , đđ }, satisfying the relation đđ đđ + đđ đđ = â2đżđđ (đ, đ = 1, . . . , đ), where đżđđ is the usual Kronecker delta. Then đśâ0,đ has its basis đ0 = 1, đ1 , . . . , đđ ; đ1 đ2 , . . . , đđâ1 đđ ; . . . ; đ1 â
â
â
đđ . Hence the real Clifford algebra is formed by the elements presented as đ = âđ´ đĽđ´ đđ´ , đĽđ´ â R, where đ´ = {đ1 , đ2 , . . . , đđ | 1 ⤠đ1 < đ2 < â
â
â
< đđ ⤠đ} or đ´ = 0 and đ0 = đ0 . For đ â đśđ0,đ , we give some calculations as follows: ó¸ , đó¸ = âđĽđ´ đđ´ đ´
(1)
2
Abstract and Applied Analysis
ó¸ where đđ´ = (â1)|đ´| đđ´ and |đ´| = đđ´ is the cardinality of đ´; that is, when đ´ = 0, |đ´| = 0 and when đ´ = {đź1 , đź2 , . . . , đźâ } ≠ 0, then |đ´| = â; đ0ó¸ = 1, đđó¸ = âđđ , đ = 1, . . . , đ. Recall that any element đĽ â đśâ0,đ may be uniquely decomposed as đĽ = đ + đđđ , for đ, đ â đśâ0,đâ1 (the Clifford algebra generated by đ0 , . . . , đđâ1 ). Using this decomposition, we define the mappings đ : đśâ0,đ â đśâ0,đâ1 and đ : đśâ0,đ â đśâ0,đâ1 by đđĽ = đ and đđĽ = đ. Note that if đĽ = âđ´ đĽđ´đđ´ â đśâ0,đ , then
đđĽ = â đĽđ´đđ´ , đâđ´
ó¸
đđĽ=
đâđ´
ó¸
đđĽ=
ó¸ . â đĽđ´ đđ´\{đ} đâđ´
(2)
đ
đ=0
đ
đđ , đđĽđ
đđ đđ , đđĽ đ đ=0
đˇđ đ = â
(3)
and the modified Dirac operator đđ đ (đĽ) = đˇđ đ (đĽ) + (đ â 1)
đó¸ đ , đĽđ
đđ . đ đ (đĽ) = đˇđ đ (đĽ) + (đ â 1) đĽđ
â
đ´â{1,...,đ}đľâ{đ+1,...,đ+đ}
đđ´,đľ (đĽ, đŚ) đđ´ đđľ ,
(5)
with values in đśâ0,đ+đ for which đđ´,đľ (đĽ, đŚ) â Cđ (Ί). đ+1 Definition 1. Let đ â F(1) \ {đĽđ = 0}, đŚ â Ί and đĽ â R đ+1 R \{đŚđ = 0}. A function đ(đĽ, đŚ) is called bihypermonogenic on Ί, if
đđĽđ đ (đĽ, đŚ) = 0,
đđŚđ đ (đĽ, đŚ) = 0,
(6)
for any (đĽ, đŚ) â Ί, where đđĽđ đ (đĽ, đŚ) =
đ đđ đđ (đĽ, đŚ) + âđđ (đĽ, đŚ) đđĽ0 đ=1 đđĽđ
đó¸ (đ (đĽ, đŚ)) + (đ â 1) đĽ đĽđ
đ đđ đđ (đĽ, đŚ) + â (đĽ, đŚ) đđ+đ đđŚ0 đ=1 đđŚđ
+ (đ â 1)
đđŚ (đ (đĽ, đŚ)) đŚđ
đ´ đ+đâđľ
In this section, we give some simple review on the Cauchy integral formula and Plemelj formula for bihypermonogenic functions obtained by us and presented in [15]. We first give some notations which will be used in the following analysis. A function đ(đĽ, đŚ) : đΊ1 Ă đΊ2 â đśđ0,đ is said to be H¨older continuous on đΊ1 Ă đΊ2 , if đ(đĽ, đŚ) satisfies
(đĽ1 , đŚ1 ) , (đĽ2 , đŚ2 ) â đΊ1 Ă đΊ2 ,
(0 < đ˝ < 1) .
(10)
Denote by đť(đΊ1 Ă đΊ2 , đ˝) the set of all H¨older continuous functions on đΊ1 Ă đΊ2 with the index đ˝. For any đ â đť(đΊ1 Ă đΊ2 , đ˝), define the norm in đť(đΊ1 Ă đΊ2 , đ˝) as âđâđ˝ = đś(đ, đΊ1 Ă đΊ2 ) + đť(đ, đΊ1 Ă đΊ2 , đ˝), where
đś (đ, đΊ1 Ă đΊ2 ) =
óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨đ (đ˘1 , V1 ) â đ (đ˘2 , V2 )óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨đ˝ , (đ˘đ ,đđ )âđΊ1 ĂđΊ2 óľ¨óľ¨(đ˘1 , V1 ) â (đ˘2 , V2 )óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨ sup
(đ˘1 ,V1 ) ≠ (đ˘2 ,đ2 )
đť (đ, đΊ1 Ă đΊ2 , đ˝) =
max
(đ˘,đ)âđΊ1 ĂđΊ2
óľ¨ óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨đ (đ˘, đ)óľ¨óľ¨óľ¨ ,
đ â đť (đΊ1 Ă đΊ2 , đ˝) . (11) (7) Furthermore, for any đ, đ â đť(đΊ1 Ă đΊ2 , đ˝), we have
is the left modified Dirac operator in đśâ0,đ calculated with respect to đĽ â Rđ+1 \ {đĽđ = 0} and đđŚđ đ (đĽ, đŚ) =
(9)
đđŚ đ (đĽ, đŚ) = â â đđ´,đľ (đĽ, đŚ) đđ´ đđľ\{đ+đ} .
óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨đ˝ óľ¨óľ¨đ (đĽ1 , đŚ1 ) â đ (đĽ2 , đŚ2 )óľ¨óľ¨óľ¨ ⤠đ1 óľ¨óľ¨óľ¨(đĽ1 , đŚ1 ) â (đĽ2 , đŚ2 )óľ¨óľ¨óľ¨ ,
Denote by Ί = Ί1 à Ί2 an open connected set in the Euclidean space Rđ+1 Ă Rđ+1 , 1 ⤠đ ⤠đ, 1 ⤠đ ⤠đ. Define a set F(đ) Ί to consist of all functions â
= â â(â1)|đ´\{đ}| đđ´,đľ (đĽ, đŚ) đđ´\{đ} đđľ ,
(4)
đ
đ (đĽ, đŚ) =
đâđ´ đľ
3. The Cauchy Integral Formula and Plemelj Formula
We also introduce the Dirac operator đˇđ đ = âđđ
ó¸ đđĽó¸ đ (đĽ, đŚ) = â âđđ´,đľ (đĽ, đŚ) đđ´\{đ} đđľ
đâđ´ đľ
đđĽ = â đĽđ´đđ´\{đ} ,
ó¸ , â đĽđ´ đđ´ đâđ´
is the right modified Dirac operator in the Clifford algebra generated by đ0 , đđ+1 , . . . , đđ+đ calculated with respect to đŚ â Rđ+1 \ {đŚđ = 0}, where
(8)
óľŠ óľŠ óľŠ óľŠ óľŠóľŠ óľŠóľŠ óľŠóľŠđđóľŠóľŠđ˝ ⤠đ˝0 óľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠđ˝ óľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠđ˝ .
(12)
Theorem 2 (see [15]). Let Ίó¸ and Ίó¸ ó¸ be open subsets of Rđ+1 + ó¸ and Rđ+1 + , respectively. Suppose that Ί1 and Ί2 satisfy Ί1 â Ί and Ί2 â Ίó¸ ó¸ , respectively. The boundaries đΊ1 , đΊ2 of Ί1 , Ί2 are differentiable, oriented, compact Liapunov surfaces. If
Abstract and Applied Analysis
3
đ(đĽ, đŚ) is a bihypermonogenic function in Ίó¸ ĂΊó¸ ó¸ , đĽ â Ί1 , đŚ â Ί2 , then
Definition 3 (see [15]). The integral đ (đĄ1 , đĄ2 )
đ (đĽ, đŚ) = đâŤ
đΊ1 ĂđΊ2
đ¸đ (đ˘, đĽ) đđđ (đ˘) đ (đ˘, V) đđđ (V) Eđ (V, đŚ)
= đâŤ
đΊ1 ĂđΊ2
đ¸đ (đ˘, đĄ1 ) đđđ (đ˘) đ (đ˘, V) đđđ (V) Eđ (V, đĄ2 )
â đâŤ
Ě Ě V)đđ đ¸đ (đ˘, đĽ) đđđ (đ˘) đ(đ˘, đ (V)Fđ (V, đŚ)
â đâŤ
Ě Ě V)dđ đ¸đ (đ˘, đĄ1 ) đđđ (đ˘) đ(đ˘, đ (V)Fđ (V, đĄ2 )
â đâŤ
Ě Ě đšđ (đ˘, đĽ) đđ đ (đ˘)đ(đ˘, V)đđđ (V) Eđ (V, đŚ)
â đâŤ
Ě Ě đšđ (đ˘, đĄ1 ) đđ đ (đ˘)đ(đ˘, V)đđđ (V) Eđ (V, đĄ2 )
+ đâŤ
Ě Ě ĚĚ đšđ (đ˘, đĽ) đđ đ (đ˘)đ(đ˘, V)đđđ (V)Fđ (V, đŚ) ,
+ đâŤ
Ě Ě ĚĚ đšđ (đ˘, đĄ1 ) đđ đ (đ˘)đ(đ˘, V)đđđ (V)Fđ (V, đĄ2 )
đΊ1 ĂđΊ2
đΊ1 ĂđΊ2
đΊ1 ĂđΊ2
đΊ1 ĂđΊ2
đΊ1 ĂđΊ2
(16)
(13)
where
is called a singular integral on đΊ1 Ă đΊ2 , where đ, đ¸đ (đ˘, đĄ1 ), Eđ (V, đĄ2 ), đšđ (đ˘, đĄ1 ), and Fđ (V, đĄ1 ) are given in Theorem 2.
đđđ = đđĽ1 ⧠đđĽ2 ⧠â
â
â
đđĽđ đ
+ â(â1)đ đđ đđĽ0 ⧠â
â
â
⧠đđĽđâ1 ⧠đđĽđ+1 ⧠â
â
â
đđĽđ , đ=1
đđđ = đđŚ1 ⧠đđŚ2 ⧠â
â
â
đđŚđ đ
đΊ1 ĂđΊ2
Definition 4 (see [15]). Let đż > 0 be a constant and đ đż = đľ1 (đĄ1 , đż) Ă đľ2 (đĄ2 , đż), where đľđ (đĄđ , đż) (đ = 1, 2) are balls with the center at đĄđ and the radius đż > 0. Denote đđż (đĄ1 , đĄ2 )
đ
+ â(â1) đđ+đ đđŚ0 ⧠đđŚ1 ⧠â
â
â
⧠đđŚđâ1 ⧠đđŚđ+1
= đâŤ
đ=1
đ¸đ (đ˘, đĄ1 ) đđđ (đ˘) đ (đ˘, V) đđđ (V) Eđ (V, đĄ2 )
đΊ1 ĂđΊ2 \đ đż
⧠â
â
â
đđŚđ ,
đŚ = đŚ0 + đŚ1 đđ+1 + â
â
â
+ đŚđ đđ+đ ,
đ¸đ (đ˘, đĽ) = đšđ (đ˘, đĽ) =
(đ˘ â đĽ)
Ě đâ1 |đ˘ â đĽ|đâ1 |đ˘ â đĽ|
If limđż â 0 đđż (đĄ1 , đĄ2 ) = đź, then đź is called the Cauchy principal value of a singular integral, denoted by đź = đ(đĄ1 , đĄ2 ).
đ˘, đĽ â Rđ+1 ,
,
= {đĽ = Lemma 5 (see [11]). Let Ί be an open subset of Rđ+1 + (đĽ0 , đĽ1 , . . . , đĽđ ) | đĽđ > 0} and let đž be an đ + 1-chain satisfying đž â Ί; then 2đâ1 đŚđđâ1 Ě (⍠đ¸đ (đĽ, đŚ) đđ (đĽ) â ⍠đšđ (đĽ, đŚ) đđ(đĽ)) đđ+1 đđž đđž
â1
(ĚV â đŚ) , Fđ (V, đŚ) = óľ¨ óľ¨óľ¨V â đŚóľ¨óľ¨óľ¨đâ1 óľ¨óľ¨óľ¨V â đŚĚóľ¨óľ¨óľ¨đâ1 óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨
(14)
and the involutions Ě and Ě are defined by
đĚđ = đđ ,
đ â {0, 1, . . . , đ + đ} \ {đ} , Ě = đĚĚđ, đđ
đ â {0, 1, . . . , đ + đ â 1} ,
đĚ đ+đ = âđđ+đ ,
Ě = đĚĚđ. đđ
Ě Ě ĚĚ đšđ (đ˘, đĄ1 ) đđ đ (đ˘)đ(đ˘, V)dđđ (V)Fđ (V, đĄ2 ) . (17)
â1
đĚ đ = âđđ ,
+ đâŤ
đΊ1 ĂđΊ2 \đ đż
(V â đŚ) , Eđ (V, đŚ) = óľ¨ óľ¨óľ¨V â đŚóľ¨óľ¨óľ¨đâ1 óľ¨óľ¨óľ¨V â đŚĚóľ¨óľ¨óľ¨đâ1 óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨
đĚđ = đđ ,
Ě Ě đšđ (đ˘, đĄ1 ) đđ đ (đ)đ(đ˘, V)đđđ (V) Eđ (V, đĄ2 )
đ˘, đĽ â Rđ+1 ,
, Ě đâ1 |đ˘ â đĽ|đâ1 |đ˘ â đĽ| đ˘ â đĽ)â1 (Ě
â đâŤ
đΊ1 ĂđΊ2 \đ đż
đâ1 đâ1 đâ1 2 đŚđ 2đâ1 đĽđ , đđ+1 đđ+1 â1
Ě Ě V)dđ đ¸đ (đ˘, đĄ1 ) đđđ (đ˘) đ(đ˘, đ (V)Fđ (V, đĄ2 )
đΊ1 ĂđΊ2 \đ đż
V = V0 + V1 đđ+1 + â
â
â
+ Vđ đđ+đ ,
đ=
â đâŤ
1, ={ 0,
đŚ â đž, đŚ â Rđ+1 + â đž.
(18)
Lemma 6 (see [11]). Let Ί, đž and đđž be as in Lemma 5 and đŚ â đđž; then (15)
2đâ1 đŚđđâ1 Ě = 1. (⍠đ¸đ (đĽ, đŚ) đđ (đĽ) â ⍠đšđ (đĽ, đŚ) đđ(đĽ)) đđ+1 2 đđž đđž (19)
4
Abstract and Applied Analysis
Theorem 7 (see [15]). If đ(đ˘, V) â đť(đΊ1 ĂđΊ2 , đ˝), then there exists the Cauchy principal value of singular integrals and đ (đĄ1 , đĄ2 ) 1 = â đ (đĄ1 , đĄ2 ) + đ1 (đĄ1 , đĄ2 ) + đ2 (đĄ1 , đĄ2 ) + đ3 (đĄ1 , đĄ2 ) 4 1 1 + đ4 (đĄ1 , đĄ2 ) + (đ1 đ + đ2 đ) + (đ1 đ + đ2 đ) , 4 4
(20)
\ Ί1 , Ίâ2 = Rđ+1 Set Ί+đ = Ίđ , (đ = 1, 2), Ίâ1 = Rđ+1 + + \ Ί2 , Âą and denote đĽ(â Ί1 ) â đĄ1 â đΊ1 by đĽ â đĄ1Âą . Moreover denote đŚ (â Ί¹2 ) â đĄ2 â đΊ2 by đŚ â đĄ2Âą and denote by đ¹¹ (đĄ1 , đĄ2 ) the limits of đ(đĽ, đŚ) when (đĽ, đŚ) â (đĄ1Âą , đĄ2Âą ). Then we have the following important theorem. Theorem 8 (see [15]). If đ(đ˘, V) â đť(đΊ1 Ă đΊ2 , đ˝), then đ++ (đĄ1 , đĄ2 ) =
where đ1 (đĄ1 , đĄ2 )
1 [đ (đĄ1 , đĄ2 ) + đ1 (đ) + đ2 (đ) + đ1 (đ) + đ2 (đ) 4 +đ3 (đ)] ,
= đâŤ
đ+â (đĄ1 , đĄ2 )
đ¸đ (đ˘, đĄ1 ) đđđ (đ˘) đ1 (đ˘, V) đđđ (V)
đΊ1 ĂđΊ2
=
Ă Eđ (V, đĄ2 ) , đ2 (đĄ1 , đĄ2 )
1 [âđ (đĄ1 , đĄ2 ) â đ1 (đ) + đ2 (đ) â đ1 (đ) + đ2 (đ) 4 +đ3 (đ)] ,
đâ+ (đĄ1 , đĄ2 )
Ě đ¸đ (đ˘, đĄ1 ) đđđ (đ˘) đ2 (đ˘, V) đđ đ (V)
= âđ âŤ
đΊ1 ĂđΊ2
=
Ă Fđ (V, đĄ2 ) , đ3 (đĄ1 , đĄ2 )
1 [âđ (đĄ1 , đĄ2 ) + đ1 (đ) â đ2 (đ) + đ1 (đ) â đ2 (đ) 4 +đ3 (đ)] ,
đââ (đĄ1 , đĄ2 )
Ě đšđ (đ˘, đĄ1 ) đđ đ (đ˘)đ3 (đ˘, V) đđđ (V)
= âđ âŤ
đΊ1 ĂđΊ2
=
Ă Eđ (V, đĄ2 ) ,
1 [đ (đĄ1 , đĄ2 ) â đ1 (đ) â đ2 (đ) â đ1 (đ) â đ2 (đ) 4 +đ3 (đ)] ,
đ4 (đĄ1 , đĄ2 ) = đâŤ
đΊ1 ĂđΊ2
(22)
Ě Ě đšđ (đ˘, đĄ1 ) đđ đ (đ˘)đ4 (đ˘, V) đđđ (V) (21)
Ă Fđ (V, đĄ2 ) ,
where (đĄ1 , đĄ2 ) â đΊ1 Ă đΊ2 , đ3 (đ) = 4 đ (đĄ1 , đĄ2 ).
đ1 (đ˘, V) = đ (đ˘, V) â đ (đ˘, đĄ2 ) â đ (đĄ1 , V) + đ (đĄ1 , đĄ2 ) ,
4. The Boundary Value Problem for Bihypermonogenic Functions
(đĄ1 , V) + đ (đĄ1 , đĄ2 ) , đ2 (đ˘, V) = đĚ (đ˘, V) â đ (đ˘, đĄ2 ) â đĚ
In this section, we consider the boundary value problem.
đ3 (đ˘, V) = đĚ (đ˘, đĄ2 ) â đ (đĄ1 , V) + đ (đĄ1 , đĄ2 ) , (đ˘, V) â đĚ Ě (đ˘, đĄ2 ) â đĚ (đĄ1 , V) + đ (đĄ1 , đĄ2 ) , đ4 (đ˘, V) = đĚ (đ˘, V) â đĚ đ1 đ = 2đ 1 âŤ
đΊ1
đ2 đ = 2đ 2 âŤ
đ¸đ (đ˘, đĄ1 ) đđđ (đ˘) đ (đ˘, đĄ2 ) ,
đΊ2
đ (đĄ1 , V) đđđ (V) Eđ (V, đĄ2 ) ,
đ1 đ = â2đ 1 âŤ
Ě Ě đšđ (đ˘, đĄ1 ) đđ đ (đ˘)đ (đ˘, đĄ2 ),
đ2 đ = â2đ 2 âŤ
Ě đĚ (đĄ1 , đ) đđ đ (V)Fđ (V, đĄ2 ) ,
đΊ1
đΊ2
đ = đ1đ2,
đ1 =
đâ1 2đâ1 đĽđ , đđ+1
đ2 =
2đâ1 đŚđđâ1 . đđ+1
Definition 9. Let Ί1 à Ί2 and đť(đΊ1 Ă đΊ2 , đ˝) be as before. We want to find a bihypermonogenic function đ(đĽ, đŚ) defined in Rđ+1 Ă Rđ+1 + + /đΊ1 Ă đΊ2 , which is continuous to đΊ1 Ă đΊ2 +â and đ (đĽ, â) = đâ+ (â, đŚ) = đââ (â, â) = 0 and satisfies the nonlinear boundary condition đ´ (đĄ1 , đĄ2 ) đ++ (đĄ1 , đĄ2 ) + đľ (đĄ1 , đĄ2 ) đ+â (đĄ1 , đĄ2 ) + đś (đĄ1 , đĄ2 ) đâ+ (đĄ1 , đĄ2 ) + đˇ (đĄ1 , đĄ2 ) đââ (đĄ1 , đĄ2 ) = đ (đĄ1 , đĄ2 ) đ (đĄ1 , đĄ2 , đ++ (đĄ1 , đĄ2 ) , đ+â (đĄ1 , đĄ2 ) , đâ+ (đĄ1 , đĄ2 ) , đââ (đĄ1 , đĄ2 )) , (23) in which đ´(đĄ1 , đĄ2 ), đľ(đĄ1 , đĄ2 ), đś(đĄ1 , đĄ2 ), đˇ(đĄ1 , đĄ2 ), đ(đĄ1 , đĄ2 ) â đť(đΊ1 Ă đΊ2 , đ˝) and đ are known functions. The above boundary value problem is called Problem R.
Abstract and Applied Analysis
5
From Theorem 8, we can transform the boundary condition of Problem R into an integral equation đšđ = đ,
đ2 đ + đ2 đ = 2đ 2 âŤ
đΊ2
(24)
đ (đĄ1 , đ) đđđ (đ) đ¸đ (đ, đĄ2 )
â 2đ 2 âŤ
đΊ2
where
Ě Ě đ(đĄ 1 , đ)đđđ (đ)đšđ (đ, đĄ2 ) (30)
đšđ
and Theorem 10, we can obtain the result. = (đ´ + đľ) (đ + đ1 đ + đ2 đ + đ1 đ + đ2 đ + đ3 đ) + (đś + đˇ) (âđ + đ1 đ â đ2 đ + đ1 đ â đ2 đ + đ3 đ) + (đľ + đˇ) (2đ â 2đ1 đ â 2đ1 đ) + (1 â 4đľ) đ â 4đđ. (25)
Theorem 10 (see [9]). Let Ί, đΊ â đ
+đ+1 , and let đť(đΊ, đ˝) be the set of H¨older continuous functions on đΊ with the index đ˝. For đ â đť(đΊ, đ˝) and đđ = đđ â đđ =
đ , 2
Theorem 13. Suppose the boundaries đΊ1 , đΊ2 of Ί1 , Ί2 be differentiable, oriented, compact Liapunov surfaces. If đ(đĄ1 , đĄ2 ) â đť(đΊ1 Ă đΊ2 , đ˝), then óľŠóľŠóľŠ(đ2 đ + đ2 đ) Âą đ3 đóľŠóľŠóľŠ ⤠đ˝3 óľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠ , (31) óľŠ óľŠđ˝ óľŠ óľŠđ˝ where đ˝3 is a positive constant which is independent of đ. Proof. From (20), it follows that 4
đ2 đ + đ2 đ â đ3 đ = đ â 4âđđ (đĄ1 , đĄ2 ) â (đ1 đ + đ1 đ) . (32) đ=1
2đâ1 đĽđđâ1 [⍠đ¸đ (đĄ, đĽ) đđ0 (đĄ) đ (đĄ) đđ+1 đΊ
(26)
Ě Ě â đšđ (đĄ, đĽ) đđ 0 (đĄ)đ (đĄ)] , where đ¸đ (đĄ, đĽ), đšđ (đĄ, đĽ) are as before, then đđ is a hypermonogenic function with óľŠ óľŠ óľŠóľŠ óľŠóľŠ óľŠóľŠđđóľŠóľŠđ˝ ⤠đ˝1 óľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠđ˝ , (27) where đ˝1 is a constant independent of đ. Lemma 11 (see [6]). Let đ¸đ (đ˘, đĽ), đ¸đ (đ˘, đĄ1 ) be the same as in Theorem 2. If đ˘ â Ί1 , đĽ â Ί2 , đĄ1 â Ί2 , then there exists a constant đ such that óľ¨ óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨đ¸đ (đ˘, đĽ) â đ¸đ (đ˘, đĄ1 )óľ¨óľ¨óľ¨
Moreover, based on Lemma 12 we only need to prove â â4đ=1 đđ (đĄ1 , đĄ2 )âđ˝ ⤠đ˝4 âđâđ˝ . It is easy to
prove | â4đ=1 đđ (đĄ1 , đĄ2 )| ⤠đľ1 âđâđ˝ . We rewrite đđ (đ˘, V) = 1, 2, 3, 4). Now we consider as đđ0 (đĄ1 , đĄ2 ), (đ 4 đť(âđ=1 đđ (đĄ1 , đĄ2 ), đΊ1 Ă đΊ2 , đ˝) and write đż = |(đĄ1 , đĄ2 ) â (đĄ1ó¸ , đĄ2ó¸ )| = âđż12 + đż22 for any (đĄ1 , đĄ2 ), (đĄ1ó¸ , đĄ2ó¸ ) â đΊ1 Ă đΊ2
ó¸ ó¸ and denote by đ01 , đ02 , đ01 , đ02 the projections of |đ â đĄ1 |, |đ â đĄ2 |, |đ â đĄ1ó¸ |, |đ â đĄ2ó¸ | on the tangent plane of đĄ1 , đĄ2 , đĄó¸ 1 , đĄ2ó¸ , respectively. Moreover we construct spheres đđ (đĄđ , 3đżđ ) with the center at đĄđ and radius 3đżđ , where 6đżđ < đđ , đżđ < 1, đ = 1, 2, where đđ is a constant as in [5]. Denote by đΊđ1 , đΊđ2 the part of đΊđ lying inside the sphere đđ and its surplus part, respectively, and set 4
4
đ=1
đ=1
đ
(đΊ1 Ă đΊ2 ) = âđđ (đĄ1 , đĄ2 ) â âđđ (đĄ1ó¸ , đĄ2ó¸ )
(28) óľ¨ đ˘ â đĄ1 óľ¨óľ¨óľ¨đ óľ¨óľ¨óľ¨ đĽ â đĄ1 óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨ + óľ¨óľ¨đĽ â đĄ1 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨] óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˘ â đĄ1 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨âđ . ⤠đ [ â óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨ đ˘ â đĽ óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨ đ˘ â đĽ óľ¨óľ¨ đâ1óľ¨
4
4
đ=1
đ=1
= âđđ (đΊ1 Ă đΊ2 ) â âđđ (đΊ1 Ă đΊ2 ) .
đ=0
(33) From
Lemma 12. If đ(đĄ1 , đĄ2 ) â đť(đΊ1 Ă đΊ2 , đ˝), then óľŠ óľŠ óľŠóľŠ óľŠ óľŠóľŠđ Âą (đđ đ + đđ đ)óľŠóľŠóľŠđ˝ ⤠đ˝2 óľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠđ˝ , óľŠ óľŠ óľŠ óľŠóľŠ óľŠóľŠđđ đ + đđ đóľŠóľŠóľŠđ˝ ⤠đ˝2 óľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠđ˝ ,
(29) đ = 1, 2,
where đ˝2 is a positive constant. Proof. Using the following equations: đ1 đ + đ1 đ = 2đ 1 âŤ
đΊ1
â 2đ 1 âŤ
đ¸đ (đ˘, đĄ1 ) đđđ (đ˘) đ (đ, đĄ2 )
đΊ1
Ě Ě đšđ (đ˘, đĄ1 ) đđ đ (đ˘)đ(đ˘, đĄ2 ),
óľ¨óľ¨ 0 óľ¨ óľ¨óľ¨đđ (đĄ1 , đĄ2 )óľ¨óľ¨óľ¨ ⤠đóľŠóľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠóľŠđ˝ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˘ â đĄ1 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝ , óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨ 0 óľ¨ óľ¨óľ¨đđ (đĄ1 , đĄ2 )óľ¨óľ¨óľ¨ ⤠đóľŠóľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠóľŠđ˝ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ â đĄ2 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝ , óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨ 0 ó¸ ó¸ óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨đ˝ óľ¨óľ¨đđ (đĄ1 , đĄ2 )óľ¨óľ¨ ⤠đóľŠóľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠóľŠđ˝ óľ¨óľ¨óľ¨đ˘ â đĄ1ó¸ óľ¨óľ¨óľ¨ , óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨ 0 ó¸ ó¸ óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨đ˝ óľ¨óľ¨đđ (đĄ1 , đĄ2 )óľ¨óľ¨ ⤠đóľŠóľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠóľŠđ˝ óľ¨óľ¨óľ¨đ â đĄ2ó¸ óľ¨óľ¨óľ¨ , óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ = 1, 2, 3, óľ¨óľ¨ 0 óľ¨ óľ¨óľ¨đ4 (đĄ1 , đĄ2 )óľ¨óľ¨óľ¨ ⤠đóľŠóľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠóľŠđ˝ , óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨óľ¨đ0 (đĄó¸ , đĄó¸ )óľ¨óľ¨óľ¨ ⤠đóľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠ , óľ¨óľ¨ 4 1 2 óľ¨óľ¨ óľŠ óľŠđ˝
(34)
6
Abstract and Applied Analysis
we obtain that óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨đ¸đ (đ˘, đĄ1 ) đđđ (đ˘) đ10 (đĄ1 , đĄ2 ) đđđ (đ) đ¸đ (đ, đĄ2 )óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨ (đ˝/2)â1 óľŠ óľŠ (đ˝/2)â1 ⤠đóľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠđ˝ đ01 đđ01 đ02 đđ02 , óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨ Ě óľ¨óľ¨đ¸đ (đ˘, đĄ1 ) đđđ (đ˘) đ20 (đĄ1 , đĄ2 ) đđ đ (đ)đšđ (đ, đĄ2 )óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨ óľŠ óľŠ đ˝â1 ⤠đóľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠđ˝ đ01 đđ01 đđ02 , óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨ 0 Ě óľ¨óľ¨đšđ (đ˘, đĄ1 ) đđ đ (đ˘)đ3 (đĄ1 , đĄ2 ) đđđ (đ) đ¸đ (đ, đĄ2 )óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨ đ˝â1 óľŠ óľŠ â¤ đóľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠđ˝ đđ01 đ02 đđ02 , óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨ 0 Ě Ě óľ¨óľ¨đšđ (đ˘, đĄ1 ) đđ đ (đ˘)đ4 (đĄ1 , đĄ2 ) đđđ (đ)đšđ (đ, đĄ2 )óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨ óľŠ óľŠ â¤ đóľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠđ˝ đđ01 đđ02 .
Similarly, we can deal with (35)
đ3 (đΊ12 Ă đΊ22 ) â đ3 (đΊ12 Ă đΊ22 ) = đş1 + đş2 + đş3 , (36)
(37)
(38)
Thus we have óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨đ
(đΊ11 Ă đΊ21 )óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨ 4 óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨ ⤠â óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đđ (đΊ11 Ă đΊ21 )óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + â óľ¨óľ¨óľ¨đđ (đΊ11 Ă đΊ21 )óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨ đ=1
đ4 (đΊ12 Ă đΊ22 ) â đ4 (đΊ12 Ă đΊ22 ) = đť1 + đť2 + đť3 . (43) From Lemma 11 and (35) and by |đ â đĄ2 | ⼠3đż2 > đ˝ 0, |đ â đĄ2ó¸ | ⼠2đż2 , we obtain |đ¸2 | ⤠đś1 âđâđ˝ |(đĄ1 , đĄ2 ) â (đĄ1ó¸ , đĄ2ó¸ )| . Similarly, we can get the inequality estimation for đ¸1 and đş2 . By (36) and (37), |đ â đĄ2 | ⼠3đż2 > 0, |đ â đĄ2ó¸ | ⼠2đż2 , we have đ˝
|đš2 | ⤠đś2 âđâđ˝ |(đĄ1 , đĄ2 ) â (đĄ1ó¸ , đĄ2ó¸ )| . Similarly, we can obtain the inequality estimation for đš1 , đş1 , đť1 , and đť2 . Since đ¸3 + đš3 + đş3 + đť3
4
đ=1
đ2 (đΊ12 Ă đΊ22 ) â đ2 (đΊ12 Ă đΊ22 ) = đš1 + đš2 + đš3 ,
(39)
óľ¨đ˝ óľŠ óľŠ óľ¨ â¤ đľ2 óľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠđ˝ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨(đĄ1 , đĄ2 ) â (đĄ1ó¸ , đĄ2ó¸ )óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ .
1 = đ 1 ⍠đ¸đ (đ˘, đĄ1ó¸ ) đđđ (đ˘) [đ (đ˘, đĄ2ó¸ ) â đ (đ˘, đĄ2 )] 2 đΊ12 1 Ě Ěó¸ Ě â đ 1 ⍠đšđ (đ˘, đĄ1ó¸ ) đđ đ (đ˘) [đ (đ˘, đĄ2 ) â đ (đ˘, đĄ2 )] 2 đΊ12
Noting that |đ â đĄ2ó¸ | ⼠2đż2 , |đ â đĄ2 | ⼠3đż2 > 0 on đΊ22 , we have óľ¨óľ¨óľ¨đ
(đΊ11 Ă đΊ22 )óľ¨óľ¨óľ¨ ⤠đľ3 óľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨(đĄ1 , đĄ2 ) â (đĄó¸ , đĄó¸ )óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ˝ . (40) 1 2 óľ¨ óľ¨ óľŠ óľŠđ˝ óľ¨ óľ¨ Similarly, we can obtain |đ
(đΊ12 Ă đΊ21 )| đ˝ đľ4 âđâđ˝ |(đĄ1 , đĄ2 ) â (đĄ1ó¸ , đĄ2ó¸ )| . Next we want to prove óľŠ óľŠ óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨ ó¸ ó¸ óľ¨đ˝ óľ¨óľ¨đ
(đΊ12 Ă đΊ22 )óľ¨óľ¨óľ¨ ⤠đś4 óľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠđ˝ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨(đĄ1 , đĄ2 ) â (đĄ1 , đĄ2 )óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ .
1 + đ 2 ⍠[đ (đĄ1ó¸ , đ) â đ (đĄ1 , đ)] đđđ (đ) đ¸đ (đ, đĄ2ó¸ ) 2 đΊ22
â¤
1 ó¸ ó¸ Ě Ě Ě â đ 2 ⍠[đ(đĄ 1 , đ) â đ(đĄ1 , đ)] đđđ (đ)đšđ (đ, đĄ2 ) 2 đΊ22 1 1 + đ (đĄ1 , đĄ2 ) â đ (đĄ1ó¸ , đĄ2ó¸ ) , 4 4
(41)
According to (33), we have đ1 (đΊ12 Ă đΊ22 ) â đ1 (đΊ12 Ă đΊ22 ) = đâŤ
đΊ12 ĂđΊ22
[đ¸đ (đ˘, đĄ1 ) â đ¸đ (đ, đĄ1ó¸ )] đđđ (đ˘) đ10 (đĄ1 , đĄ2 )
Ă đđđ (đ) đ¸đ (đ, đĄ2 ) + đâŤ
đΊ12 ĂđΊ22
óľŠ óľŠ óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨ ó¸ ó¸ óľ¨đ˝ óľ¨óľ¨đ
(đΊ12 Ă đΊ22 )óľ¨óľ¨óľ¨ ⤠đś4 óľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠđ˝ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨(đĄ1 , đĄ2 ) â (đĄ1 , đĄ2 )óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ .
đ¸đ (đ˘, đĄ1ó¸ ) đđđ (đ˘) đ10 (đĄ1 , đĄ2 ) đđđ (đ)
+ đâŤ
đΊ12 ĂđΊ22
Ă Ă
đđđ (đ) đ¸đ (đ, đĄ2ó¸ )
(đĄ1 , đĄ2 ) â
óľ¨óľ¨ óľŠ óľŠ óľ¨ óľ¨ ó¸ ó¸ óľ¨đ˝ óľ¨óľ¨đ
(đΊ1 Ă đΊ2 )óľ¨óľ¨óľ¨ ⤠đś5 óľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠđ˝ óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨(đĄ1 , đĄ2 ) â (đĄ1 , đĄ2 )óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ .
(đ˘)
[đ10
đ10
â¤
(45)
Thus we infer
Ă [đ¸đ (đ, đĄ2 ) â đ¸đ (đ, đĄ2ó¸ )] đ¸đ (đ˘, đĄ1ó¸ ) đđđ
by (35)â(38), we have |đ¸3 + đš3 + đş3 + đť3 | đ˝ đś3 âđâđ˝ |(đĄ1 , đĄ2 ) â (đĄ1ó¸ , đĄ2ó¸ )| . Summarizing the above discussion shows that
(44)
(46)
Hence
(đĄ1ó¸ , đĄ2ó¸ )]
óľŠóľŠ óľŠóľŠ 4 óľŠ óľŠóľŠ óľŠóľŠâđđ (đĄ1 , đĄ2 )óľŠóľŠóľŠ ⤠đ˝4 óľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠ . óľŠóľŠ óľŠóľŠ óľŠ óľŠđ˝ óľŠóľŠđ˝ óľŠóľŠđ=1
= đ¸1 + đ¸2 + đ¸3 . (42)
This completes the proof.
(47)
Abstract and Applied Analysis
7 where
Corollary 14. If đ(đĄ1 , đĄ2 ) â đť(đΊ1 Ă đΊ2 , đ˝), then óľŠóľŠ ++ óľŠ óľŠ óľŠ óľŠóľŠđ (đĄ1 , đĄ2 )óľŠóľŠóľŠđ˝ ⤠đ˝5 óľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠđ˝ , óľŠ óľŠ óľŠ óľŠóľŠ â+ óľŠóľŠđ (đĄ1 , đĄ2 )óľŠóľŠóľŠđ˝ ⤠đ˝5 óľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠđ˝ ,
đ´ 1 (đΊ1 Ă đΊ2 )
óľŠ óľŠ óľŠóľŠ +â óľŠ óľŠóľŠđ (đĄ1 , đĄ2 )óľŠóľŠóľŠđ˝ ⤠đ˝5 óľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠđ˝ , óľŠ óľŠ óľŠóľŠ ââ óľŠ óľŠóľŠđ (đĄ1 , đĄ2 )óľŠóľŠóľŠđ˝ ⤠đ˝5 óľŠóľŠóľŠđóľŠóľŠóľŠđ˝ .
= 4đ âŤ
Ă đ¸đ (đ, đĄ2 ) ,
Theorem 15. Let đ´(đĽ, đŚ), đľ(đĽ, đŚ), đś(đĽ, đŚ), đˇ(đĽ, đŚ), đ(đĽ, đŚ) â đť(đΊ1 Ă đΊ2 , đ˝); then the function đ(đĄ1 , đĄ2 , đ1 , đ2 , đ3 , đ4 ) is a H¨older continuous function for (đĄ1 , đĄ2 ) â đΊ1 Ă đΊ2 and satisfies the Lipschitz-condition for đ1 , đ2 , đ3 , đ4 and any (đĄ1 , đĄ2 ), namely,
đ´ 2 (đΊ1 Ă đΊ2 ) = â4đ âŤ
đΊ1 ĂđΊ2
đ¸đ (đ˘, đĄ1 ) đđđ (đ˘) đ1 (đ˘, đ) đđđ (đ)
Ă đ¸đ (đ, đĄ2 ) , đľ1 (đΊ1 Ă đΊ2 )
óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨óľ¨đ (đĄ11 , đĄ21 , đ11 , đ12 , đ13 , đ14 ) â đ (đĄ12 , đĄ22 , đ21 , đ22 , đ23 , đ24 )óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨đ˝ ⤠đ˝6 óľ¨óľ¨óľ¨(đĄ11 , đĄ21 ) â (đĄ12 , đĄ22 )óľ¨óľ¨óľ¨ + đ˝7 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ11 â đ21 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨
đ¸đ (đ˘, đĄ1 ) đđđ (đ˘) đ1đ (đ˘, đ) đđđ (đ)
đΊ1 ĂđΊ2
(48)
(49)
= â4đ âŤ
đΊ1 ĂđΊ2
Ě đ¸đ (đ˘, đĄ1 ) đđđ (đ˘) đ2đ (đ˘, đ) đđ đ (đ)
Ă đšđ (đ, đĄ2 ) ,
óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ óľ¨ + đ˝8 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ12 â đ22 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + đ˝9 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ13 â đ23 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ + đ˝10 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đ14 â đ24 óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ ,
đľ2 (đΊ1 Ă đΊ2 )
where đ˝đ (đ = 6, . . . , 10) is a positive constant and has nothing to do with đĄ1đ , đĄ2đ , đđ1 , . . . , đđ4 , đ = 1, 2. If đ(0, 0, 0, 0, 0, 0) = 0, âđ´ + đľâđ˝ < đ, âđś + đˇâđ˝ < đ, âđˇ + đľâđ˝ < đ, â1 â 4đľâđ˝ < đ, 0 < đ < 1, 0 < đ = đđ˝0 (2đ˝5 + đ˝2 + 1) < 1, âđâđ˝ < đż, 0 < đż < đ(1 â đ)/4 â
đ˝0 (đ˝13 + đ˝14 đ), then the problem R has at least one solution, where đ(âđâđ˝ < đ), đ˝13 , đ˝14 are both positive constants satisfying âđâđ˝ ⤠đ˝13 + đ˝14 âđâđ˝ . Proof. Suppose that đ = {đ | đ â đť(đΊ1 Ă đΊ2 , đ˝), âđâđ˝ < đ} be denoted a subset of đś(đΊ1 Ă đΊ2 ). From Theorem 13, Corollary 14, and (38), we obtain đś(đ, đΊ1 Ă đΊ2 ) ⤠đ˝11 + đ˝12 âđâđ˝ . Similarly, we can get âđâđ˝ ⤠đ˝13 + đ˝14 âđâđ˝ . Hence, by (12) and đšđ = đ, âđšđâđ˝ ⤠đ is derived. This shows that the operator đš is the mapping of đ â đ. Next we prove the đš is a continuous mapping. Suppose that the sequence of functions {đđ } â đ uniformly converges to a function đ(đĄ1 , đĄ2 ), (đĄ1 , đĄ2 ) â đΊ1 Ă đΊ2 ; thus for arbitrary đ > 0 and if đ is large enough, then |(đđ + đđ )đđ â (đđ + đđ )đ| < đ, (đ = 1, 2). Now we consider đ3 đđ â đ3 đ by
Ě đ¸đ (đ˘, đĄ1 ) đđđ (đ˘) đ2 (đ˘, đ) đđ đ (đ)
= 4đ âŤ
đΊ1 ĂđΊ2
Ă đšđ (đ, đĄ2 ) đś1 (đΊ1 Ă đΊ2 ) = â4đ âŤ
đΊ1 ĂđΊ2
Ě đšđ (đ˘, đĄ1 ) đđ đ (đ˘)đ3đ (đ˘, đ) đđđ (đ)
Ă đ¸đ (đ, đĄ2 ) , đś2 (đΊ1 Ă đΊ2 ) = 4đ âŤ
đΊ1 ĂđΊ2
Ě đšđ (đ˘, đĄ1 ) đđ đ (đ˘)đ3 (đ˘, đ) đđđ (đ) Ă đ¸đ (đ, đĄ2 ) ,
đˇ1 (đΊ1 Ă đΊ2 ) = 4đ âŤ
đΊ1 ĂđΊ2
Ě Ě đšđ (đ˘, đĄ1 ) đđ đ (đ˘)đ4đ đđđ (đ)đšđ (đ, đĄ2 ) ,
đˇ2 (đΊ1 Ă đΊ2 ) đ3 đđ â đ3 đ
= â4đ âŤ
đΊ1 ĂđΊ2
2
2
đ=1
đ=1
= âđ´ đ (đΊ1 Ă đΊ2 ) + âđľđ (đΊ1 Ă đΊ2 )
Ě Ě đšđ (đ˘, đĄ1 ) đđ đ (đ˘)đ4 đđđ (đ)đšđ (đ, đĄ2 ) ,
đ¸1 = đ (đĄ1 , đĄ2 ) â đđ (đĄ1 , đĄ2 ) ,
2
2
3
đ¸2 = (đ1 + đ1 ) đđ â (đ1 + đ1 ) đ,
đ=1
đ=1
đ=1
đ¸3 = (đ2 + đ2 ) đđ â (đ2 + đ2 ) đ.
+ âđśđ (đΊ1 Ă đΊ2 ) + âđˇđ (đΊ1 Ă đΊ2 ) + âđ¸đ , (50)
(51)
8
Abstract and Applied Analysis
Suppose 6đż < đđ , đ = 1, 2, đż > 0, đ((đĄ1 , đĄ2 ), 3đż) is the 3đż-neighborhood of (đĄ1 , đĄ2 ) with the center at point (đĄ1 , đĄ2 ) â đΊ1 Ă đΊ2 and the radius 3đż, đΊđ1 Ă đΊđ2 is as above; then rđ (đΊ1 Ă đΊ2 ) = rđ (đΊ11 Ă đΊ21 ) + rđ (đΊ11 Ă đΊ22 ) + rđ (đΊ12 Ă đΊ21 ) + rđ (đΊ12 Ă đΊ22 ) ,
(52)
óľ¨óľ¨ óľ¨ đ˝ đ˝/2 óľ¨óľ¨đ´ 1 (đΊ11 Ă đΊ21 )óľ¨óľ¨óľ¨ ⤠đ˝15 đż ⤠đ˝16 đż , (53)
Similarly, we can get the inequality estimations for đ´ 2 (đΊ11 Ă đΊ21 ), đ´ 2 (đΊ12 Ă đΊ21 ), and đ´ 2 (đΊ11 Ă đΊ22 ). By (35), (36), and (37), we can obtain the similar inequality estimations for đľđ (đΊ11 Ă đΊ21 ), đľđ (đΊ12 Ă đΊ21 ), đľđ (đΊ11 Ă đΊ22 ), đśđ (đΊ11 Ă đΊ21 ), đśđ (đΊ12 Ă đΊ21 ), đśđ (đΊ11 Ă đΊ22 ), đˇđ (đΊ11 Ă đΊ21 ), đˇđ (đΊ12 Ă đΊ21 ), and đˇđ (đΊ11 Ă đΊ22 ), đ = 1, 2, respectively. From đ´ 1 (đΊ12 Ă đΊ22 ) + đ´ 2 (đΊ12 Ă đΊ22 ) đΊ12 ĂđΊ22
Ě Ě Ě Ě Ě = {[đĚ đ (đ˘, đ) â đ (đ˘, đ)] â [đđ (đĄ1 , đ) â đ (đĄ1 , đ)]} + {[đđ (đĄ1 , đĄ2 ) â đ (đĄ1 , đĄ2 )] â [đđĚ (đ˘, đĄ2 ) â đĚ (đ˘, đĄ2 )]} , (58) óľŠ óľ¨ óľŠ óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨đˇ1 (đΊ12 Ă đΊ22 ) + đˇ2 (đΊ12 Ă đΊ22 )óľ¨óľ¨óľ¨ ⤠đ˝21 óľŠóľŠóľŠđđ â đóľŠóľŠóľŠđ˝ . (59)
By (35), we can obtain that
= 4đ âŤ
đ4 (đ˘, đ)
since |đ4 (đ˘, đ)| ⤠4âđđ â đâđ˝ and from (38), we obtain that
(r = đ´, đľ, đś, đˇ, đ = 1, 2) .
óľ¨ óľ¨óľ¨ đ˝/2 óľ¨óľ¨đ´ 1 (đΊ12 Ă đΊ21 )óľ¨óľ¨óľ¨ ⤠đ˝17 đż , óľ¨ óľ¨óľ¨ đ˝/2 óľ¨óľ¨đ´ 1 (đΊ11 Ă đΊ22 )óľ¨óľ¨óľ¨ ⤠đ˝18 đż .
where
đ¸đ (đ˘, đĄ1 ) đđđ (đ˘) đ1 (đ˘, đ) đđđ (đ) (54)
Ă đ¸đ (đ, đĄ2 ) ,
Summarizing the above discussion, we conclude |đ3 đđ â đ3 đ| ⤠đ˝22 (đ + đżđ˝/2 + âđđ â đâđ˝ ). Then for arbitrary đ > 0, we first choose a sufficiently small number đż and next select a sufficiently large positive integer đ; we have óľ¨óľ¨óľ¨đ3 đđ â đ3 đóľ¨óľ¨óľ¨ < đşđ, (60) óľ¨ óľ¨ where đş is a positive constant. Finally, we can choose đ large enough such that |đšđđ â đšđ| < đđ (đ is a positive constant). Hence we can obtain đš : đ â đ is a continuous mapping. According to Ascoli-Arzela Theorem, đ is a compact set in the space đś(đΊ1 ĂđΊ2 ). Based on the Schauder fixed point principle, there exists a function đ â đť(đΊ1 Ă đΊ2 , đ˝) satisfying the equation đšđ = đ. Corollary 16. If đ ⥠1 in Theorem 15, then the Problem R has the unique solution. Proof. This corollary is not difficult to verify by the contraction mapping principle when đ ⥠1 in Theorem 15.
Conflict of Interests
where
The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this paper.
đ1 (đ˘, đ) = {[đđ (đ˘, đ) â đ (đ˘, đ)] â [đđ (đĄ1 , đ) â đ (đĄ1 , đ)]} + {[đđ (đĄ1 , đĄ2 ) â đ (đĄ1 , đĄ2 )] â [ đđ (đ˘, đĄ2 ) â đ (đ˘, đĄ2 )} , (55) since |đ1 (đ˘, đ)| ⤠2âđđ â đâđ˝ |đ˘ â đĄ1 |đ˝/2 |đ â đĄ2 |đ˝/2 and from (35), we have óľ¨óľ¨ óľŠ óľŠ óľ¨ óľ¨óľ¨đ´ 1 (đΊ12 Ă đΊ22 ) + đ´ 2 (đΊ12 Ă đΊ22 )óľ¨óľ¨óľ¨ ⤠đ˝19 óľŠóľŠóľŠđđ â đóľŠóľŠóľŠđ˝ . (56) Similarly, we can get the inequality estimations for đľ1 (đΊ12 Ă đΊ22 ) + đľ2 (đΊ12 Ă đΊ22 ),đś1 (đΊ12 Ă đΊ22 ) + đś2 (đΊ12 Ă đΊ22 ). From đˇ1 (đΊ12 Ă đΊ22 ) + đˇ2 (đΊ12 Ă đΊ22 ) = 4đ âŤ
đΊ12 ĂđΊ22
Ě Ě đšđ (đ˘, đĄ2 ) đđ đ (đ˘)đ4 (đ˘, đ) đđđ (đ)đšđ (đ, đĄ2 ) , (57)
Acknowledgment This work was completed with the support of the National Natural Science Foundation of China (NNSFC) through Grants no. 10671207 and no. 11301136.
References [1] F. Brackx, R. Delanghe, and F. Sommen, âClifford analysis,â in Research Note in Mathematics, vol. 76, Pitman Book, London, UK, 1982. [2] Z. Z. Xu, âRiemann boundary value problem for regular function in Clifford algebra,â Chinese Science Bulletin, vol. 32, pp. 476â477, 1987. [3] Z. Z. Xu, âOn linear and nonlinear Riemann-Hilbert problems for regular function with values in a Clifford algebra,â Chinese Annals of Mathematics B, vol. 11, no. 3, pp. 349â358, 1990. [4] G. C. Wen, Clifford Annalysis and Elliptic System, Hyperbolic Systems of First Order Equations, World Scientific Publishing, Singapore, 1991.
Abstract and Applied Analysis [5] S. Huang, âNonlinear boundary value problem for biregular functions in Clifford analysis,â Science in China A, vol. 39, no. 11, pp. 1152â1163, 1996. [6] S. Huang, Y. Y. Qiao, and G. C. Wen, Real and Complex Clifford Analysis, Springer, New York, NY, USA, 2005. [7] Y. Y. Qiao, âA nonlinear boundary value problem with a Haseman shift for biregular function,â Journal of Systems Science and Mathematical Sciences, vol. 19, no. 4, pp. 484â489, 1999. [8] Y. Y. Qiao, âA nonlinear boundary value problem with a shift for generalized biregular functions,â Journal of Systems Science and Mathematical Sciences, vol. 22, no. 1, pp. 43â49, 2002. [9] Y. Y. Qiao, âA boundary value problem for hypermonogenic functions in Clifford analysis,â Science in China A: Mathematics, vol. 48, pp. 324â332, 2005. [10] S.-L. Eriksson and H. Leutwiler, âHypermonogenic functions,â in Clifford Algebras and Their Applications in Mathematical Physics, vol. 2, pp. 287â302, Birkh¨aauser, Boston, Mas, USA, 2000. [11] S.-L. Eriksson, âIntegral formulas for hypermonogenic functions,â Bulletin of the Belgian Mathematical Society, vol. 11, no. 5, pp. 705â718, 2004. [12] S. L. Eriksson and H. Leutwiler, âAn improved Cauchy formula for hypermonogenic functions,â Advances in Applied Clifford Algebras, vol. 19, no. 2, pp. 269â282, 2009. [13] Z. Z. Zhang and J. Y. Du, âOn certain Riemann boundary value problems and singular integral equations in Clifford analysis,â Chinese Journal of Contemporary Mathematics, vol. 22, pp. 237â 244, 2001. [14] Z. Z. Zhang and J. Y. Du, âLaurent expansion and residue theorems in universal Clifford analysis,â Acta Mathematica Scientia A, vol. 23, no. 6, pp. 692â703, 2003. [15] X. L. Bian, S.-L. Eriksson, J. Li, and Y. Y. Qiao, âCauchy integral formula and Plemelj formula of bihypermonogenic functions in real Clifford analysis,â Complex Variables and Elliptic Equations, vol. 54, no. 10, pp. 957â976, 2009. [16] H. J. Yang, Y. H. Xie, and Y. Y. Qiao, âA kind of boundary value problem for hypermonogenic function vectors,â Journal of Mathematical Research and Exposition, vol. 31, no. 3, pp. 490â 496, 2011. [17] Z. Z. Zhang and K. G¨urlebeck, âSome Riemann boundary value problems in Clifford analysis (I),â Complex Variables and Elliptic Equations, vol. 58, no. 7, pp. 991â1003, 2013.
9
Advances in
Operations Research Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Advances in
Decision Sciences Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Journal of
Applied Mathematics
Algebra
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Journal of
Probability and Statistics Volume 2014
The Scientific World Journal Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
International Journal of
Differential Equations Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Volume 2014
Submit your manuscripts at http://www.hindawi.com International Journal of
Advances in
Combinatorics Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Mathematical Physics Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Journal of
Complex Analysis Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences
Mathematical Problems in Engineering
Journal of
Mathematics Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Volume 2014
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Discrete Mathematics
Journal of
Volume 2014
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Discrete Dynamics in Nature and Society
Journal of
Function Spaces Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Abstract and Applied Analysis
Volume 2014
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
International Journal of
Journal of
Stochastic Analysis
Optimization
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Volume 2014