a di Ingegneria. Programma del corso di Matematica III Laurea ...

Universit`a degli Studi di Bergamo. Facolt` a di Ingegneria. Programma del corso di Matematica III Laurea Specialistica in Ingegneria Edile a.a. 2006–2007 Giulia Furioli, Laura Fontanelli

1. Algebra lineare. Richiami sullo spazio vettoriale R3 : somma, prodotto per uno scalare, prodotto scalare, norma, distanza, prodotto vettoriale. Spazi vettoriali astratti reali e complessi: definizioni ed esempi. Sottospazi vettoriali, combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza lineare, in particolare in spazi di funzioni, esempi. Famiglie generatrici, basi, dimensione di uno spazio e coordinate di un vettore rispetto una base, esempi. Le coordinate rispetto ad una base sono univocamente determinate (∗). Sottospazi generati da insiemi di vettori, esempi. Prodotto scalare, ortogonalit`a, basi ortonormali, esempi; procedimento di ortonormalizzazione di Gram–Schmidt, esempi. Applicazioni lineari, definizioni ed esempi. Condizione necessaria perch´e un’applicazione sia lineare `e che L(0) = 0 (∗). Nucleo e immagine, definizioni ed esempi. Nucleo ed immagine sono sottospazi vettoriali (∗). Un’applicazione lineare L `e iniettiva se e solo se Ker L = {0} (∗). Teorema di struttura delle controimmagini di un elemento (∗) ed applicazione alle equazioni differenziali lineari. Applicazioni lineari tra spazi di dimensione finita. L’immagine `e lo spazio generato dalle immagini degli elementi di una base dello spazio di partenza (∗). Teorema di nullit`a pi` u rango (dim Ker L + dim Im L = dim V ) (dimostrazione facoltativa), esempi di applicazione. Richiami sul calcolo matriciale. Matrice di una applicazione lineare. Teorema di rappresentazione delle applicazioni lineari, esempi. Composizione di applicazioni lineari, ogni composta di applicazioni lineari `e lineare (∗), calcolo della matrice associata ad una composizione (∗); esempi. Applicazioni invertibili e matrici associate. Applicazioni lineari tra spazi della stessa dimensione, matrici di cambiamento di base, esempi. Matrici simili. Matrici diagonalizzabili su R e su C, matrici di passaggio. Polinomio caratteristico ed equazione caratteristica. Il polinomio caratteristico `e invariante per matrici simili (∗). Autovalori ed autovettori reali e complessi. Autospazi. Molteplicit`a algebrica e geometrica, autovalori regolari, esempi. Teorema sulla regolarit`a degli autovalori e diagonalizzabilit`a in R e in C. Teorema sulla diagonalizzabilit`a di una matrice reale simmetrica. Matrici ortogonali. 2. Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali. Equazione di ordine n, equazione di ordine n in forma normale e sistema del primo ordine in forma normale, definizioni ed esempi. Soluzione di una equazione e di un sistema. Integrale generale. Equazioni e sistemi autonomi, equazioni e sistemi

lineari, esempi. Equivalenza di un’equazione di ordine n e di un opportuno sistema del primo ordine, esempi. Regolarit`a di una soluzione di un’equazione di ordine n e di un sistema del primo ordine. Problema di Cauchy per un sistema del primo ordine e per una equazione di ordine n, definizioni ed esempi. Teorema di esistenza e unicit`a locale, teorema di esistenza ed unicit`a globale, teorema di dipendenza continua dai dati iniziali; esempi di applicazione. Problema ben posto nel senso di Hadamard. Sistemi lineari del primo ordine. Teorema di esistenza ed unicit`a globale e regolarit`a (∗). Operatore lineare differenziale associato alla matrice dei coefficienti. Teorema di struttura dell’integrale generale e teorema sulla dimensione del nucleo dell’operatore differenziale associato al sistema (∗). Sistema fondamentale di soluzioni, matrice fondamentale. Sistemi di equazioni lineari del primo ordine a coefficienti costanti, esempi. Costruzione della matrice esponenziale. Integrale generale di un sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti tramite la matrice esponenziale. Studio nel caso di matrice diagonalizzabile in campo reale. Esempi nel caso in cui la matrice sia diagonalizzabile in campo complesso. (Facoltativo: metodo di somiglianza per la ricerca di un integrale particolare di un sistema completo). 3. Serie di Fourier. Il problema della propagazione del calore in una sbarra monodimensionale: impostazione del problema con condizioni iniziali e al bordo, determinazione delle soluzioni con il metodo di separazione delle variabili, linearit`a dell’equazione e determinazione formale di soluzioni espresse in serie. Polinomi e serie trigonometriche. Determinazione di una base ortonormale dello spazio dei polinomi trigonometrici di grado minore o uguale ad n (∗). Determinazione dei coefficienti di Fourier attraverso la minimizzazione dello scarto quadratico medio nello spazio dei polinomi trigonometrici di grado minore o uguale a n; serie di Fourier. Esempi. Funzioni monotone a tratti. Teorema di convergenza puntuale della serie di Fourier per una funzione periodica, limitata e monotona a tratti. Applicazioni del teorema al calcolo di somme di serie trigonometriche. Funzioni sviluppabili in serie di soli seni o di soli coseni; applicazione al problema della propagazione del calore in una sbarra con dato opportuno. 4. Esercizi. Fanno parte del programma le sette esercitazioni disponibili sul sito.

N.B.: Degli argomenti contrassegnati con (∗), si richiede anche la dimostrazione. Testi consigliati: 1. Appunti del corso sono disponibili sul sito. 2. M. Bramanti, C. D. Pagani e S. Salsa, MATEMATICA, Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli, nuova edizione 2004;

3. C. D. Pagani e S. Salsa: Analisi Matematica 2 (Ed. Zanichelli); 4. A. Bacciotti e F. Ricci, Lezioni di Analisi Matematica 2 (Ed. Levrotto e Bella, Torino).