A NEW PROOF OF THE AHLFORS FIVE ISLANDS THEOREM ...

       
!"#$  &% '(*),+.-0/213-4/.56'-879):-4/ ;=A@CBEDGFH@JI 'KML,KNL,OQPRKSUTKM(*TVXWZY\[U]_^H`Kbac]dVfegHL]hSUTKAY\[dKNijWZ[UYike&PRY[U[UKN]dlQY\gHL,afgm [UKN]dOVnSbYoWqprKN`segVfanggQePRYgQPRKA[UgafgmtlQKN[uWZKvPwSUVnxzy[{eogHP{TKvLz`seVnOHKN]N| et[UKN]UPAeVnafgmtVfKAiie WZY\[rgYg}~gY\[dieVQWeianVfanKv]reogQLegMKA€,af]uSdKNgHPRKhSUTKAY\[dKNiWZY[r‚ƒOHe\]uacPRY\g,WZY[UieoVEieollHangmƒ]A„ '#KeoVc]dYmaf`K_el[UY…YoW†YoWJprKA`‡egVnafggHeHˆ ]*[dKv]uOHVXSryHe\]uKvLYg‰SdTHKq[dKv]dPNeoVfangHm=VfKAiieeogQL&e `\KA[{]uafYgMYoW8Š,P{T…‹3e[dŒ\ˆ ]4VnKNiieH„ EŽt8‘’r“ƒ”.‘–•6—™˜š*“G—G•6›.‘Gœ_ †ž Ÿ*¡r“G¢£¡r¡rŸ¤Ÿ¥¡r¦¨§6Ÿ*“:©3ªŸ*¡ «r¬­*®°¯H±²³ E´…µ…µ…µ\´o¶ ±·0¬_¸v¹~º»†¼½G¾{¿ƒÀEÁ Á†¬ƒ¿­s¬ƒÂÆÀEº–Ä?¹ÅÁ†¸ ÀEÁ&­sÆ ¬ÈÇb¹~¬\ºzÄQÁ†Á&¸v»†Æ ¬ƒÉv¬ÍÊË Ì ¹­sÆ »†¹~¬\¿ƒ¬ Ì ¹Å¸v¬ÄQÁJÄ?¼Å½G­v¹~¿q·4À?ΆÁ†ÂJÄ?ÉA½Ä?Á†Ât»JÄQ¹~É Ì ¹Å¸v¬†¹~¸£ÏNÀE¹~ÁC­¥¿ƒ¼ÅÀE¸vΆÉN¬ƒ¸ Ž «.¬\­h®ÑÐ Ë ·4¬ÈĆÀ?ºzÄ?¹ÅÁ Ä?Á†Â$†¬ƒÁ†ÀQ­s¬Ã·G½ÒMÓ6Ôd®Õq³ÖÒMÓ×w® ´ƒØ ®°¯…Ù¯vÚ Û4ÜwÝ ­sÆ ¬°ÞuÄQº–¹Å¼Å½–À?ÞhÄQ¼~¼ º¬ƒÉNÀEº–À?Év»†Æ†¹Å¿Þ9ΆÁ†¿­s¹ÅÀEÁ†¸ ßáà ®ãâ jÊË Ì ¹­sƖ­vƆ¬» ÉvÀE»0¬ƒÉA­w½­vÆJÄQ­=Á†Àt¸vΠ·4†À?ºzÄ?¹ÅÁ–ÀQÞr®ä¹~¸º–Ä?»†»0¬ƒÂz¿\ÀEÁ Þ9ÀEÉNºzÄQ¼~¼Å½#ÀEÁC­sÀ ÀEÁ†¬À?Þ8­vƆ¬†ÀEº–Ä?¹ÅÁ†¸h®°¯q·G½ ß Ž Ô9å{Þ8­sƆ¬\Év¬¹Å¸h¸vΆ¿‡Æĉ¸NΆ·4 ÀEºzÄQ¹~Á ±H­sƆ¬\Á¹­h¹Å¸6¿…ÄQ¼~¼~¬\ÂÄÃæç£èé0ê~ë ç~æêì?í0î°À,ïE¬\Éð®Ã¯ Ž ÕñÆ ¬òMƆ¼ÅÞ9ÀEÉN¸ó†ïE¬Ã¹~¸N¼ôÄ?Á Â†¸­sƆ¬\ÀEÉv¬\ºõ¿…ÄQÁÁ†À Ì ·4¬°¸N­sÄQ­s¬\ÂÄQ¸bÞ9À?¼~¼~À Ì ¸ Ž #ör÷:ø8ù÷:ú üûdýJû ÒMÓ × ® ´ƒØ ®°¯…Ù¯vÚ Û4ÜwÝ ç~æ°í3þHÿoèì?ê ¼~ÀE¸N¬ƒ¼Å½zÉv¬\¼ôÄQ­v¬ƒÂ¹~¸­vƆ¬&Þ9ÀE¼~¼ÅÀ Ì ¹ÅÁ tÉN¬ƒ¸vΠ¼Å­ Ž #ör÷:ø8ù÷:ú üû û ÒMÓ × Ë ´ƒØ ®°¯GÙ ¯NÚ Û4Ü Ý þHí Uì?ç£í ætþHíJê Jë þHí æ Uì?í :í uçUþHí æ ñƆ¬ƒ¸N¬üÉv¬\¸vΆ¼­s¸z¿\ÀEº¬$Þ9ÉNÀEº ­sƆ¬$òƆ¼Þ9ÀEÉv¸ ­sÆ ¬ƒÀEÉA½ ÀQÞ°¿ƒÀ,ïE¬\Év¹~Á ¸vΆÉAÞuÄ?¿ƒ¬\¸ƒ±¸N¬ƒ¬ ¶ ± G± ÆJÄ?» ­v¬ƒÉ ¶ ± ± ÆJÄ?» ­v¬ƒÉ ‰åNåvå ÀEÉ  ± ƆÄ?» ­s¬\É ‰å dŽ åwÁÀEÉN†¬ƒÉb­sÀ¸N­sÄQ­s¬&­ Ì Àz¸N¹~º¹~¼ôÄQÉ=Év¬\¸vΆ¼­s¸MÄ?¸v¸NÀ ¿\¹ôÄQ­v¬ƒÂ Ì ¹Å­vÆ ð¬\ïQÄ?Á†¼Å¹~Á†ÁJÄ n¸­sÆ ¬ƒÀEÉA½ÀEÁ$­vƆ¬ †¹~¸A­sÉv¹Å·†Î ­v¹~ÀEÁÀ?Þ ïQÄ?¼ÅΆ¬ƒ¸\± ¼Å¬\­ H¯ ÊË ±Q²³ ?´…µ…µ…µ\´o¶ ±:·4¬ð†¹~¸A­s¹ÅÁ†¿\­=Ä?Á†Â  ¬ƒÁ†À?­v¬MÞ9ÀEÉ=ĆÀ?ºzÄ?¹ÅÁ ® Ð Ë ·G½ Ò MÔd® Õ³ Ò × ® ´ƒØ ¯…Ù¯vÚ Û4ÜAÝ ­sÆ ¬ÞuÄ?º¹~¼Å½ÀQÞÃÄ?¼~¼ðº–¬\ÉvÀEºÀEÉN»†Æ†¹~¿Þ9ΆÁ†¿­s¹ÅÀEÁ†¸ ßjà ® â  ÊË Ì ¹Å­sÆá­sÆ ¬–»†ÉNÀE»0¬ƒÉN­w½™­vÆJÄQ­°­sÆ ¬ƒÉv¬†À:¬ƒ¸ÃÁ†À?­Ã¬ ¹Å¸N­² ØGE´…µƒµ…µ\´‡¶ Ù ¸NΆ¿‡Æ ­vÆJÄQ­ ß ÆJÄ?¸&Ä ¸N¹~º»†¼~¬ ¯‡¾{»4ÀE¹ÅÁC­ Ž Ô9ñƆ¬#ïQÄ?¼~Π¬ ¯Ã¹Å¸­sƆ¬\Á™¿…Ä?¼Å¼~¬\ÂéJëÿ …ë dê ƒÿNì?í JëvîÀEÉ Rþ Uì?ê£ê ÿvì?èç ëvî Ž Õ #ör÷:ø8ù÷:ú
ûuýJû Ò Í×R® ´ƒØ ¯,Ù ¯NÚ Û4ÜAÝ ç~æÃí3þHÿoèì?ê #ör÷:ø8ù÷:ú
û û Ò × Ë ´ƒØ ¯CÙ ¯vÚ Û4Ü Ý þHí Uì?ç£í ætþHíJê Jë þHí æ Uì?í í uçUþHí æ M¬\ïQÄ?Á ¼~¹~Á ÁJÄÆ ¹~º¸v¬ƒ¼ÞbÔ G±4» Ž¥ ±  ± Ž Õ Ì Ä?¸M¿ƒÀEÁ†¿\¬ƒÉNÁ†¬ƒÂ™ºÀEÉv¬ Ì ¹Å­vÆñƆ¬\ÀEÉv¬\º Ž ± Ì Æ†¹~¼Å¬zñƆ¬\ÀEÉv¬\º Ž Ä?»†»0¬…Ä?ÉN¸t¹~Á ­vƆ¬ Ì ÀEÉ À?Þ =¼~À:¿‡Æ ¶ ±_ñƆ¬\ÀEÉv¬\º &«.å Ä?Á†Â Ä?¼~¹ÅÉvÀEÁ ¶ ±ñƆ¬ƒÀ?Év¬ƒº ‰å Ô Ì ¹Å­sƁ»†ÉNÀ ÀQÞ9¸·0¬ƒ¹ÅÁ á·JÄ?¸N¬ƒÂ¤À?Á ð¬\ïQÄ?Á†¼Å¹~Á†ÁJÄ n¸­sÆ ¬ƒÀEÉA½†Õ Ž òºÀEÁ zÞ9ΆÉA­sƆ¬\É&Ä?¿\¿ƒÀEΆÁC­v¸&À?Þ M¬ï?ÄQÁ†¼~¹ÅÁ†ÁJĖ­vƆ¬ƒÀEÉA½ Ì ¬º¬ƒÁC­s¹ÅÀEÁ ± ÆJÄ?» ­v¬ƒÉv¸  ¾ Ä?Á†Â  ± ÆJÄQ» ­s¬\É Þ9ÀEÉĖ»†ÉvÀ:À?ÞhÀQÞqñƆ¬ƒÀEÉN¬ƒº¸ ŽÅ Ä?Á†Â Ž –Π¸v¹~Á z†¹ 3¬\Év¬ƒÁC­º–¬­sƆÀ:†¸ Ì ¬ Év¬\Þ9¬\É­sÀÇðÀ?·†¹~Á†¸NÀEÁ UŽ ñƆ¬ƒÀEÉN¬ƒº ŽÅ Þ9ÀE¼Å¼~À Ì ¸hÞ9ÉvÀEº"ñƆ¬ƒÀ?Év¬ƒº ò ŽÅ Ä?Á†ÂñƆ¬\ÀEÉv¬\º Ž ‰Þ9À?¼~¼~À Ì ¸hÞ9ÉNÀEºñƆ¬\ÀEÉv¬\º ò Ž b·0¬ƒ¿ƒÄ?Ά¸v¬¹ÅÞ ¯ ™®°¯¥Þ9ÀEÉ8² ØGE´…µ…µ…µ\´o¶ ÙG±,­sÆ ¬ƒÁ°Ò × ® ´ƒØ ¯,Ù ¯NÚ Û4ÜAÝ Ð ÒMÓ × ® ´\Ø ®Ã¯…Ù ¯NÚ Û4ÜAÝ ± Ä?Á†Â E¹ïE¬\Á¤ó†ïE¬†¹~¸A­s¹~Á ¿\­zïQÄ?¼ÅΆ¬ƒ¸ ¯$À?Á†¬¿ƒÄ?Á Ä?¼ Ì Ä…½:¸zóJÁ†Â ó†ïE¬ü ÀEºzÄQ¹~Á†¸–®°¯ Ì ¹­sƤ­vƆ¬ Év¬ GΆ¹ÅÉv¬\¤»†ÉNÀE»4¬\ÉN­v¹~¬ƒ¸ ¸NΆ¿‡Æ¤­sƆÄQ­ H¯ ®°¯zÞ9ÀEÉò ØG?´…µ…µ…µ\´o¶ Ù Þ9ÀEÉ ¬  Ä?º»†¼Å¬?±ÀEÁ†¬$¿…Ä?Á ¿‡Æ†À À?¸v¬®Ã¯ð­sÀ ·4¬ÃĸvÎ –¿\¹~¬\ÁG­v¼Å½¸NºzÄQ¼~¼ †¹Å¸ zÄ?ÉvÀEΠÁ†Â ¯ Ž












 

















 !

#"



$&%!'



)(

  



*

,+

.- 0/

01

01

-

2

$-

3/

4-



 65

 

7 

8

01

9

-

01




-

*

:

*

=>





@?   AB!

; “>”>• | r…ryg— } r…ry™˜ |\eogQL§|š–›4›œ‚#žœ„©ŠLƒ¡œ#‹w| tJYV~„7w|lHlG„ r#g } rF—r „ ª OKNVf‚ƒOKv]‰l[UYl[Ua KRv S KNv ]L,KN]&]dO[dWePRKv]&L,K /.afKAieogHgüPAY[U[dKv]ul?YgQLeogƒS&eoO,€WZY\gHPwSUanY\gH]&« i KNv [dY} i=Y\[dlHTKN]N|­¬ ®¦›4›¯~¨†šy‚F~±°+ƒ"4²„…~w†‡‚#ˆ‰~ ŠLƒ–‹ŒˆŽ r#Âr‘ry · —…• | rǔ¦rF“ } rF”¦rǗ „ q¯ry"s )8„ á eo[UVnKv]uY\gqeogHLq+h„s'™„‡5heoiKAVfafgG||š–¼8¡µ›¯œÏ}ؾЖ´µƒ"¼Zˆ‰‚ w |\Š…l[UafgmKN[N|‡prKN‹â8Ó Y[E¢ |s13KN[dVfang:|"rÒ KAacL,KNVny?KA[UmH| ry…>“ „ q ” · s †z „I¥Î Yiãä v gmOKNŒ| á YgHgKNPRSdKNLgKN]U]bl[UYl?KA[dSdafKN]ðYoW€\Õ OVnace ]dKRS{]bYoW_SU[UegH]UPRKAgQL,KAgƒSUeVrKAgƒSUan[UK&WZOgHPRSdafYgH]N| |wš"¼ ¡‡›¯œÏ/݃–‹Œˆ‰ƒ>Þ ›¯œ ȇ²œš–‹ŒÐI¡…¡‡›¯~ “>”{‘’rF…g˜…• | rF… } ”¦rǗ „ q ”¦r#s (q„-8[UKAiKNg¢ YQ|…13VfY,P{TM[{eL,afOH]N|…gY[UieoV?WeoiafVnafKN].egHLM‚ƒOHe\]uaf[UKAmOHVfe[4ieolHlangHm\]N|ŠH‹@šy‚F~¤}¼©œ ‹#~¤°+ƒ–Æ²~ †‡šF‚yf~ |,SUYbeoll?KNe[N„ q ”…”–s '™„¡µˆ4´gÍ"€ˆ4´+Æ²œ±Š:›¯ƒ"´µAœ |?Š…lH[dafgmKN[N|13KN[dVfang:|rÒ KAan} L,KAVfyQKN[dmQ|prKN‹68Ó Y\[@E¢ | ry™˜–“ „ q ”…—–s (q„HÕ „C):YT…‹3eoSdKN[¥eogQL á TG„†z YiiKA[UKAg\¢ K|P¥å gÃgY\[dieV iKA[UYiY\[dlTHafPhWZOHgHPwSUanY\gH]A|f}´Â´µ~u8‚ƒ…„>~B†‡‚#ˆ‰~ ³¤œ#´• | r…ry¥ } rF“>” „ q “ · s HÕ „HŠ,P{THad†ì |Âí¾š"‹Œ¼ƒ"›‡³fƒ–¼ˆ4›Àˆ‰œ { |EŠ…l[UangHmKA[v|prKN‹`8Ó Y\[@E¢ |13KA[UVnafgG|*Ò KAacL,KAVfyQKN[dmQ| ry>…“ „ q “r#s '™„EŠ,P{T…‹.acPE¢ |?/.KNlQKNVnVfafgmðl?KA[UanY,L,acPql?YafgƒSU]¥angÃSdTKÕ OHVnaceb]dKRSN|¤¬ ®¦›4›¯~ Ê š"´µ„…š"´â°+ƒ–Æ²~†‡šF‚y~ ”…Ÿ‘’rF…™˜"• | “r# } “”–s 5=„š–´ » ‘ … ” : • >  (   ‘ y r …  …  g  • … ”  ¥ r °Ÿƒ"4²— „ q “…“"s pq„QŠƒSUKAafgiKRSUŒ|Â}ƒ–»ˆ‰š–´µƒ"›µÙ Áœ#‹@ƒ–»ˆ‰š–Q´ |'teoVnSdKA[rLK56[dOxƒSUKA[v|14KN[dVfafgG| ry>…“ „ q “"…s  Ñ „H+.]dO–9Ü aÅ|‡ŠLš–žœ ´Â×ˆ‰ƒ"›:ȇ²œš–‹ŒÐ{ˆ4´ã°+šy„>œ ‹Œ´Ÿ³P®¦´µ‚#×ˆ‰š"´/ȇ²œš–‹Œ‡Ð |µ° Ñ eo[UOŒAKNgG|+ Y……¢ xYQ| rF>—… „ q “>—–s 5=„}8t eVnaf[dY\gG|³fƒ–¼ˆ4›4›¯œ §´µš"‹Œ¼ƒ"›¯œŒ«œ#ãî ®vFµñPHò >«õµòR@cô D¤öµùE;ZúƒŒùµûöPôüfòBG>yôc@:DGý @ÿþ
©ô4òúµ÷fò *ô ‡ù ð ò

föµù¤õQ@CBJI¤÷¾ù ©ô4òúµ÷òBórD¤ö ÖHߞ¼ƒ"ˆ4›uƒ…„>„–‹@œ …Û ! "!#$&%'&(*)+!,!-/.10!2$&3
45$67%8.197

ï