ABORDAGEM BAYESIANA PARA MODELOS DE CRESCIMENTO

XIII JORNADA DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO – JEPEX 2013 – UFRPE: Recife, 09 a 13 de dezembro.

ABORDAGEM BAYESIANA PARA MODELOS DE CRESCIMENTO André Luiz Pinto dos Santos1, Guilherme Rocha Moreira2, David Venâncio da Cruz3 e Manoel Rivelino Gomes de Oliveira4.

Introdução A análise de regressão tem o objetivo de verificar a existência de uma relação funcional significativa entre uma variável com uma ou mais variáveis, obtendo-se uma equação que explique a variação da variável dependente em relação aos níveis das variáveis independentes. Gujarati (2006) afirma que alguns modelos podem parecer não-lineares nos parâmetros, mas são inerente ou intrinsecamente lineares pois com as devidas transformações, podem-se tornar modelos de regressão lineares com novos parâmetros. Segundo Oliveira et al. (1995), modelos matemáticos não-lineares, desenvolvidos empiricamente, têm se mostrado adequados para descrever curvas de crescimento. Em bovinos, os cinco mais utilizados são: Brody, Von Bertalanffy, Richards, Logístico e Gompertz. Além dos parâmetros que são estimados diretamente do modelo e que apresentam interpretação biológica, podem ser obtidos também os parâmetros genéticos referentes aos indivíduos, como as herdabilidades e correlações, as quais podem ser utilizadas em programas de melhoramento animal. De acordo Filho et al. (2008), o estudo de curvas de crescimento tem sido conduzido geralmente por meio de uma abordagem freqüentista. A estimação é fundamentada em processos iterativos, como o de Gauss-Newton, DUD e Algorítmo de Marquardt, devido à não-linearidade das variáveis. Usando-se estes procedimentos faz-se a minimização da soma de quadrados dos resíduos. Porém, quando se trata de ajustes individuais, ou seja, para várias unidades experimentais, de modelos matematicamente complexos ou se dispõe de poucas observações longitudinais, os métodos iterativos, muitas vezes, produzem estimativas irreais para os parâmetros. Isso pode levar à confecção de curvas de crescimento atípicas. A metodologia Bayesiana tem sido utilizada com sucesso, pois reduziu o número de estimativas viesadas, mesmo utilizando poucas informações (BLASCO et al., 2003). O ajuste de curva de crescimento peso-idade para animais tem um papel importante no planejamento da produção animal. No entanto, as curvas de crescimento ajustadas devem ser coerentes com as interpretações biológicas do crescimento do animal. A análise de curvas de crescimento consiste na análise de dados longitudinais por meio de ajustamento de um modelo matemático que descreva todo o período de vida do animal relacionando o seu peso com sua idade. O objetivo deste trabalho foi utilizar a metodologia Bayesiana para estimar os parâmetros dos modelos nãolineares de curva de crescimento Logístico, von bertalanffy e o modelo de crescimento utilizado por Carlin e Geldand, compará- los entre si utilizando-se para isso dados simulados.

Material e métodos th

Com o intuito de aplicar a teoria, foi utilizado um conjunto de dados extraído do site do 13 workshop QTLMAS organizado pela universidade de Wageningen-UR na Holanda e 20 à 21 de Abril de 2009, a url está disponível em: http://www.qtlmas2009.wur.nl/UK/Dataset/, com acesso em: 20 de janeiro de 2013, tratando-se de um conjunto de dados simulados de suínos com uma parte dos dados em mensurações fenotípicas e mais 3 partes de mensurações de cunho genético para a verificação de metodologias na área de genômica. O banco de dados fenotípico consiste de 2.025 indivíduos de duas gerações, em que foram utilizadas as 50 primeiras observações. Todos os indivíduos têm informações de peso em cinco momentos distintos (0, 132, 265, 397, 560) dias correspondentes aos períodos de crescimento. Os primeiros 25 indivíduos são os pais, 20 do sexo feminino e 5 masculino. Os restantes 25 indivíduos são descendentes. Para a análise do crescimento dos animais as informações de parentesco não foram consideradas no modelo. Estes valores de rendimento podem ser vistos como representante de peso durante o crescimento de um animal.

1

Primeiro Autor é Aluno da Pós-Graduação em Biometria e Estatística Aplicada, Universidade Federal Rural de Pernambuco. Situado no 1º andar do Prédio de Apoio Administrativo, localizado na Rua Dom Manoel de Medeiros, s/n, Dois Irmãos, Recife Pernambuco, PE, CEP 52171-900. E-mail: [email protected] 2 Segundo Autor é Professor da Pós-Graduação em Biometria e Estatística Aplicada, Universidade Federal Rural de Pernambuco. Situado no 1º andar do Prédio de Apoio Administrativo, localizado na Rua Dom Manoel de Medeiros, s/n, Dois Irmãos, Recife Pernambuco, PE, CEP 52171-900. E-mail: [email protected] 3 Terceiro Autor é Aluno da Pós-Graduação em Biometria e Estatística Aplicada, Universidade Federal Rural de Pernambuco. Situado no 1º andar do Prédio de Apoio Administrativo, localizado na Rua Dom Manoel de Medeiros, s/n, Dois Irmãos, Recife Pernambuco, PE, CEP 52171-900. E-mail: [email protected] 4 Quarto Autor é Aluno da Pós-Graduação em Biometria e Estatística Aplicada, Universidade Federal Rural de Pernambuco. Situado no 1º andar do Prédio de Apoio Administrativo, localizado na Rua Dom Manoel de Medeiros, s/n, Dois Irmãos, Recife Pernambuco, PE, CEP 52171-900. E-mail: [email protected]


Os modelos utilizados para estimar o crescimento dos animais em função da idade são: (i) Logístico Y t



Bertalanffy Y t



1  e  t







m

1  e  t

; (ii) Modelo de Crescimento utilizado por Carlin e Gelfand, Y t





e

  e  t



; (iii) Von

3



.

Carlin e Gelfand (1991) modelaram os dados referente à idade e comprimento de 27 animais marinhos capturados, e modelaram os dados, utilizando uma curva de crescimento não-linear sem ponto de inflexão e uma assíntota, em que X i que tende ao infinito. Nos modelos (i) e (iii) o parâmetro  é definido como peso assintótico ou peso adulto, e representa a estimativa de peso a maturidade, independente de flutuações de pesos devido a efeitos genéticos e ambientais. Um outro parâmetro,  , corresponde ao índice de maturidade ou a estimativa de precocidade de maturidade e determina a eficiência do crescimento do animal. Quanto maior for o valor desse parâmetro, mais precoce é o animal. O parametro m é denominado parâmetro de inflexão. Este refere-se ao ponto em que o animal passa de uma fase de crescimento acelerado para uma fase de crescimento inibitório e indica o ponto a partir do qual o animal passa a crescer com menor eficiência. O  é denominado de parâmetro de integração ou interceptação com o eixo-y, não possui interpretação biológica e é utilizado apenas para adequar o valor inicial do peso vivo fazendo com que a curva passe pela origem quando Y  0 e/ou t  0 , sendo t a expressão da idade e  é o erro identicamente distribuído, normal com média zero e variância  e . A diferença entre os modelos citados consiste na variação do parâmetro de inflexão (m). Os modelos von Bertalanffy (iii) e Logístico (i) apresentam parâmetros de inflexão (m) igual 2/3 e 1 respectivamente. 2

Resultados e Discussão Na figura 1 e 2 temos os gráficos a posteriori para autocorrelação e das cadeias dos modelos ajustados, evidenciando que não houve suspeita de não convergência para os modelos. Na tabela 1 estão apresentadas as estimativas dos parâmetros do modelo de crescimento Logístico, modelo de crescimento utilizado por Carlin e Gelfand e de Von bertalanffy ajustado aos dados simulados de crescimento de suínos. A figura 3 mostra as distribuições marginais dos parâmetros dos modelos ajustados. De modo geral, essas figuras retratam de forma prática a utilização da metodologia Bayesiana, a qual está fundamentada em distribuições de probabilidade para estimar os parâmetros de interesse. Pela tabela 1 tem-se que o parâmetro  do modelo (i) foi positivo mas com uma taxa de crescimento menor que o modelo (ii) com um intervalo de credibilidade estreito porém maior em amplitude que o modelo (ii). Isto indica que o modelo (ii) pode estar superestimando a taxa de crescimento dos suínos, pois este modelo apresenta assíntota tendendo ao infinito, apesar do intervalo de credibilidade de menor amplitude. Observe que pelas figuras de 1 a 3 e pela tabela 1, é dificil escolher o melhor modelo, já que todos os modelos não apresentaram indicios de não convergência e os erros padrões dos parâmetros do modelo não foram altos. Ao se 2 comparar os modelos utilizando-se para isso o componente  e , tem-se que o modelo Logístico foi que apresentou melhor ajuste (Tabela 1), e pela tabela 2 o modelo logístico tem o menor DIC, sendo assim o modelo escolhido. Por meio deste trabalho, verificou-se a importância dos ajustes de modelos não-linaeres a curvas de crescimento, utilizando-se metodologia bayesiana. O modelo que obteve melhor ajuste aos dados foi o modelo logístico.

Referências BLASCO, A. et al. Bayesian analysis of the effect of selection for growth rate on growth curves in rabbits. Genetics Selection Evolution, Les Ulis, v.35, n.1, p.21-41, 2003. FILHO, S.M.; SILVA, F. F.; CARNEIRO, A. P. S.; MUNIZ, J. A. Abordagem Bayesiana das curvas de crescimento de duas cultivares de feijoeiro. Ciência Rural, Santa Maria, v.38, n.6, p.1516-1521, set. 2008. GUJARATI, D. Econometria básica. 4. ed. São Paulo: Campus, 2006. 806p. OLIVEIRA, H.N. de; ALENCAR, M.M.; LIMA, R. Eficiência produtiva de vacas da raça Nelore. Revista Brasileira de Zootecnia, Viçosa, v.24, n.3, p.445-453, 1995.


Tabela 1: Estimativas dos parâmetros dos modelos de crescimento ajustados aos dados simulados de crescimento de suínos

Tabela 2: Critério de Informação Deviance para os modelos ajustados

Figura 1: Cadeia a posteriori dos Modelos Logistíco, Carlin – Gelfand e Von Bertalanffy, respectivamente

Figura 2: Autocorrelação a posteriori dos Modelos: Logístico, Carlin – Gelfand e Von Bertalanffy

Figura 3: Amostras da distribuição marginal dos parâmetros dos Modelos: Logístico, Carlin – Gelfand e Von Bertalanffy