ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS - E-Learning | STMIK AMIKOM ...

1. Introduction Mata Kuliah:

Aljabar Linear dan Matriks

Semester Pendek TA 2009/2010 S1 Teknik Informatika Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom.

STMIK AMIKOM YOGYAKARTA Jl. Ringroad Utara Condong Catur Yogyakarta. Telp. 0274 884201 Fax 0274‐884208 Website: www.amikom.ac.id

Sistem Persamaan Linear z

Sistem Linear m kali n : suatu himpunan m persamaan linear dalam n peubah

z

Solusi bagi sistem linear : susunan rangkap n peubah‐peubah tersebut yang memenuhi setiap persamaan di dalam sistem ini


Gambaran Kasus Seorang produsen membuat 3 produk boneka, yaitu beruang, kelinci dan ayam. Setiap boneka harus melalui 3 tahap pembuatan, yaitu menjahit, mengisi dan menghias. Untuk beruang memerlukan waktu menjahit 24 menit, mengisi 18 menit dan menghias 9 menit. Kelinci memerlukan waktu menjahit 16 menit, mengisi 12 menit dan menghias 8 menit. Sedangkan ayam memerlukan waktu menjahit 18 menit, mengisi 9 menit dan menghias 4 menit. Bagian menjahit menyediakan 50 jam orang per hari. Bagian mengisi menyediakan 33 jam orang per hari. Bagian menghias menyediakan 18 jam orang per hari. Berapa banyak setiap boneka harus dihasilkan setiap hari untuk memaksimumkan ketersediaan tenaga kerja tersebut? STMIK AMIKOM YOGYAKARTA Jl. Ringroad Utara Condong Catur Yogyakarta. Telp. 0274 884201 Fax 0274‐884208 Website: www.amikom.ac.id

Untuk menganalisa keadaan ini, kita misalkan: x = banyaknya boneka beruang yang dihasilkan y = banyaknya boneka kelinci yang dihasilkan z = banyaknya boneka ayam yang dihasilkan Dengan demikian, z Pemanfaatan total bagian menjahit = 24x + 16y + 18z menit, tanaga tersedia 50 jam atau 3000 menit, sehingga: 24x + 16y + 18z = 3000 z Pemanfaatan total bagian mengisi = 18x + 12y + 9z menit, tanaga tersedia 33 jam atau 1980 menit, sehingga: 18x + 12y + 9z = 1980 z Pemanfaatan total bagian menghias = 9x + 8y + 4z menit, tanaga tersedia 18 jam atau 1080 menit, sehingga: 9x + 8y + 4z = 1080


Jadi, unsur-unsur x,y, dan z yang tidak diketahui harus memenuhi semua persamaan berikut: 24x + 16y + 18z = 3000 18x + 12y + 9z = 1980 9x + 8y + 4z = 1080


Sistem Persamaan Linear BENTUK UMUM z Sebuah persamaan dapat dikatakan berbentuk linear apabila jika memiliki bentuk: a1x1 + a2x2 + a3x3 + …….. + anxn = b (ak koefisien dari xk ) z

Persamaan ax + by = c merupakan sebuah garis lurus pada bidang –xy (solusi bagi persamaan ax + by = c adalah koordinat titik‐titik yang terletak pada garis tersebut)


Himpunan solusi dari persamaan 3x – 4y = 12 adalah: 3x – 4y = 12 setara dengan Untuk sembarang bilangan nyata bagi x, katakanlah x = c, maka: Himpunan solusi bagi persamaan tersebut adalah:

y = −3 +

3x 4

⎧⎛ ⎫ 3c ⎞ − + c , 3 | c _ bilangan _ nyata ⎟ ⎨⎜ ⎬ _ atau 4 ⎠ ⎩⎝ ⎭

⎧⎛ ⎫ 3x ⎞ ⎨⎜ x,−3 + ⎟ | c _ bilangan _ nyata ⎬ 4⎠ ⎩⎝ ⎭


Latihan 1 Tentukan persamaan linear yang melalui titik A(2,2) dan B(3,4) Untuk menentukan pers. Kurva linear yang melalui A(X1,Y1) dan B(X2,Y2), maka digunakan rumus:

y − y1 x − x1 = y1 − y 2 x1 − x 2


Latihan 2 Gambarkan grafik (garis) dari pers. linear berikut: 1. x + y = 4 2x – 2y = 8 2.

x + y = 4 x – y = 8 2x + 3y = 6


Latihan 3 Selesaikan persamaan: 2x + 3 y = 6 x + y = 2, dengan metode: 1. Metode Substitusi 2. Metode Eleminasi


Latihan 4 Tentukan himpunan solusi bagi persamaan: 1. 3x – 5y = 15 2. 4x1 + 3x2 = 9 3. 3x + 5y – 7z = 10


Latihan 5 Selesaikan persamaan: 24x + 16y + 18z = 3000 18x + 12y + 9z = 1980 9x + 8y + 4z = 1080


2. Matriks

& Vektor (1) Mata Kuliah:

Aljabar Linear dan Matriks

Semester Pendek TA. 2009/2010 S1 Teknik Informatika Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom.


Matrix • Matrix : kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.

⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 A=⎜ M ⎜ ⎜a ⎝ m1

a12 a22 M am 2

L a1n ⎞ ⎟ L a2 n ⎟ M M ⎟ ⎟ ⎟ L amn ⎠

Atau

⎡ a11 ⎢a A = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣am1

a12 a22 M am 2

L a1n ⎤ L a2 n ⎥⎥ M M ⎥ ⎥ L amn ⎦

Baris

⎡ a11 ⎢a 21 ⎢ A= ⎢ M ⎢ ⎣am1

a12 a22 M am 2

Kolom Matrix berukuran m x n atau berorde m x n

L a1n ⎤ ⎥ L a2 n ⎥ M M ⎥ ⎥ L amn ⎦ Unsur Matrix Jika ( m = n ) dinamakan matrix bujursangkar (square matrix)

Vektor y Vektor : bentuk matrix khusus yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom. Æ vektor baris (berbaris tunggal) dan vektor kolom (berkolom tunggal) y Contoh : vektor baris a = [2 4 -5]

b = [6 3 7]

⎡ 3⎤ ⎢ ⎥ Vektor kolom c = ⎢6⎥ ⎢⎣2⎥⎦

⎡5⎤ ⎢ ⎥ d = ⎢− 7 ⎥ ⎢⎣ 9 ⎥⎦

Kesamaan matrix dan vektor •

Dua matrix dikatakan sama apabila keduanya berorde sama dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama (aij = bij, untuk setiap i dan j) contoh :

⎡2 − 3 5⎤ ⎡2 − 3 5⎤ ⎡2 3 5⎤ A=⎢ B=⎢ C=⎢ ⎥ ⎥ ⎥ 8 2 4 8 2 4 8 2 4 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ maka A = B, A ≠ C, B ≠ C •

Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya sejenis, sedimensi dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama.

Contoh :

a = [2 − 3 5] b = [2 − 3 5]

⎡ 2⎤ ⎡ 2 ⎤ Maka a = b, u = ⎢⎢4⎥⎥ v = ⎢⎢− 3⎥⎥ u ≠ v, a ≠ u ≠ v ⎢⎣8 ⎥⎦ ⎢⎣ 5 ⎥⎦ dan b ≠ u ≠ v

• Matrix dapat dikatakan sebagai kumpulan vektor Æ Amxn adalah matrix A yang merupakan kumpulan dari m buah vektor baris dan n buah vektor kolom.

⎡2 − 3 5⎤ A=⎢ adalah matrix yang merupakan ⎥ ⎣8 2 4 ⎦ kumpulan dari vektor - vektor

[2

- 3 5]

[8

2 4]

⎡2⎤ ⎡− 3⎤ ⎡5⎤ dan ⎢ ⎥, ⎢ ⎥, ⎢ ⎥ ⎣8 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 4 ⎦

Pengoperasian Matrix dan Vektor • Penjumlahan dan Pengurangan Dua buah matrix hanya dapat dijumlahkan dan dikurangkan apabila keduanya berorde sama. A + B = C dimana cij = aij + bij • Berlaku kaidah Komutatif : A + B = B + A • Kaidah Asosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C

Perkalian Matrix dengan Skalar • λA = B dimana bij = λaij ⎡2 • Contoh : A=⎢

4⎤ ⎥ 5 6 ⎣ ⎦ λ =3 ⎡3.2 3.4⎤ ⎡ 6 12⎤ maka λA = 3 A = B = ⎢ =⎢ ⎥ ⎥ 3 . 5 3 . 6 15 18 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Kaidah Komutatif : λA = A λ Kaidah Distributif : λ(A+B) = λA + λB

Perkalian Antar Matrix • Dua buah matrix hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom dari matrix yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matix pengalinya. • Amxn x Bnxp = Cmxp ⎡1 2⎤ ⎡5 7 ⎤ ⎡1.5 + 2.6 1.7 + 2.8 ⎤ ⎡17 23⎤ ⎢3 4⎥ ⎢6 8 ⎥ = ⎢3.5 + 4.6 3.7 + 4.8⎥ = ⎢39 53⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ Kaidah Asosiatif

: A(BC) = (AB) C = ABC

Kaidah Distributif

: A(B+C) = AB + AC (A + B) C = AC + BC

Perkalian Matrix dengan Vektor • Sebuah matrix yang bukan berbentuk vektor hanya dapat dikalikan dengan sebuah vektor kolom, dengan catatan jumlah kolom matrix sama dengan dimensi vektor kolom yang bersangkutan, hasilnya adalah berupa sebuah vektor kolom baru.

• Amxn x Bnx1 = Cmx1 n > 1 ⎡1 2⎤ ⎡7 ⎤ ⎡1.7 + 2.8 ⎤ ⎡23⎤ ⎢3 4⎥ ⎢8 ⎥ = ⎢3.7 + 4.8⎥ = ⎢53⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Bentuk‐bentuk Khas Matrix • Matrix Satuan / Identitas : Matrix bujursangkar yang semua unsur pada diagonal utamanya adalah angka 1 sedangkan unsur lainnya nol. • Contoh

⎡1 0 ⎤ I2 = ⎢ ⎥ ⎣0 1 ⎦

⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ I 3 = ⎢0 1 0 ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦

Matrix Diagonal • Matrix diagonal adalah matrix bujursangkar yang semua unsurnya nol kecuali pada diagonal utama. Matrix Identitas • Contoh :

⎡3 0⎤ ⎢0 5 ⎥ ⎣ ⎦

⎡3 0 0 ⎤ ⎢ 0 3 0 ⎥ ⎡1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎣0 0 4⎥⎦

Matrix Nol • Matrix nol : Matrix yang semua unsurnya NOL. Æ 0 • Contoh :

02 x 2

⎡0 0 0 ⎤ ⎡0 0 ⎤ =⎢ 0 2x3 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣0 0 0 ⎦ ⎣0 0 ⎦

Matrix Ubahan (transpose) • Matrix ubahan ialah matrix yang merupakan hasil pengubahan matrix lain yang sudah ada sebelumnya, dimana unsur‐unsur barisnya menjadi unsur‐unsur kolom dan sebaliknya. • Amxn=[aij] matrix ubahannya ÆA′nxm =[aji] ⎡ 2 3⎤ A=⎢ ⎥ ⎣1 4 ⎦

⎡2 1 ⎤ A' = ⎢ ⎥ ⎣3 4⎦

(A′) ′ = A

Matrix Simetrik • Matrix simetrix adalah matrix bujursangkar yang sama dengan ubahannya. • A = A′ ⎡1 3⎤ ⎡1 3⎤ A=⎢ A' = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣3 7 ⎦ ⎣3 7 ⎦ AA′ = AA = A2

Matrix simetrik miring (skew symmetric) • Matrik ini merupakan matrix bujursangkar yang sama dengan negatif ubahannya. • A = ‐A′ atau A′ = ‐A ⎡ 0 5 − 4⎤ ⎡ 0 − 5 4⎤ ⎡ 0 5 − 4⎤ A = ⎢⎢− 5 0 − 2⎥⎥ A' = ⎢⎢ 5 0 2⎥⎥ -A' = ⎢⎢− 5 0 − 2⎥⎥ ⎢⎣ 4 2 0 ⎥⎦ ⎢⎣− 4 − 2 0⎥⎦ ⎢⎣ 4 2 0 ⎥⎦

Matrix Balikan (inverse matrix) Matrix balikan : matrix yang apabila dikalikan dengan suatu matrix bujursangkar menghasilkan sebuah matrik identitas. A Æ balikannya adalah A‐1 AA‐1 = I A‐1 = adj.A ÷ |A|

Bentuk khas yang lain • Matrix skalar : matrix diagonal yang unsurnya sama atau seragam (λ). Jika λ = 1 Æ matrix identitas • Matrix ortogonal : matrix yang apabila dikalikan dengan matrix ubahannya menghasilkan matrix identitas (AA′=I) • Matrix singular : matrix bujursangkar yang determinannya sama dengan nol. Matrik semacam ini tidak memiliki inverse • Matrix non‐singular : matrix bujusangkar yang determinannya tidak nol, memiliki balikan (inverse)

3. Matriks

dan Vektor (2) Mata Kuliah:

Aljabar Linear dan Matriks Semester Pendek TA 2009/2010 S1 Teknik Informatika Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom.


Matriks Bersekat





Determinan


a11

a12

A = a21 a22 a31 a32

a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a32 a21 a33 − a31 a 22 a13 − a 21 a12 a33 − a11 a 23 a32

A = (a11a22 a33 − a11a23a32 ) + (a12 a23a31 − a21a12 a33 ) + (a13a32 a21 − a31a22 a13 )

= a11(a22a33 − a23a32 )+ a12 (a23a31 − a21a33 )+ a13 (a21a32 − a31a22 ) = a11(a22a33 − a32 a23 )− a12 (a21a33 − a31a23 )+ a13 (a21a32 − a31a22 ) = a11

a22 a32 M11

a21 a22 a21 a23 a23 a a − 12 + 13 a31 a32 a31 a33 a33 M13

M12 n

= a11M 11 − a12 M 12 + a13 M 13 = ∑ aij M ij i. j =1


Minor dan kofaktor



Adjoint Matriks




Pembalikan Matriks (Inverse)
