ALJABAR LINIER RUANG BARIS DAN KOLOM MATRIKS; RANK ...

ALJABAR LINIER RUANG BARIS DAN KOLOM MATRIKS; RANK; PENERAPAN TERHADAP PENCARIAN BASIS

Dosen Pembimbing: Darmadi, S.Si, M.Pd Disusun Oleh Kelompok 6: Kelas VB 1. 2. 3. 4. 5.

DIAN NOVITASARI DINA ENDAH ARUMSARI ERWINDAWATI ROSITA DEWI RATIH WAHYU ARISTYANINGRUM

(08411.108) (08411.112) (08411.125) (08411.247) (08411.283)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 2011 Ruang-Ruang Vektor

Page 1

RUANG BARIS DAN KOLOM MATRIKS, RANK, PENERAPAN TERHADAP PENCARIAN BARIS

I.

Ruang baris dan kolom matriks Diketahui matriks 𝑚 × 𝑛 𝑎11 𝐴= ⋮ 𝑎𝑚1 

𝑎12 … ⋮ ⋮ 𝑎𝑚2 …

𝑎1𝑛 ⋮ 𝑎𝑚𝑛

Ruang baris matriks terbentuk dari baris-baris A yang kita namakan vektorvektor baris A Yaitu vektor-vektor

𝑟1 = 𝑎11 , 𝑎12 , … , 𝑎1𝑛 𝑟𝑚 = 𝑎𝑚1 , 𝑎𝑚2 , … , 𝑎𝑚𝑛



Ruang kolom matriks terbentuk dari kolom-kolom A yang kita namakan vektor-vektor kolom A 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 Yaitu vektor-vektor 𝑝1 = ⋮ , 𝑝2 = ⋮ , 𝑝3 = ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛

Teorema 12 Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks Dari teorema 12 dapat ditarik kesimpulan bahwa sebuah matriks dan semua bentuk eselon barisnya mempunyai ruang baris yang sama tetapi vektor-vektor baris taknol dari matriks berbentuk eselon baris selalu bebas linier. Jika A dan B adalah matriks – matriks yang ekuivalen Teorema 13 Vektor-vektor baris taknol berbentuk eselon baris dari matriks A membentuk basis untuk ruang baris A.

Ruang-Ruang Vektor

Page 2

Contoh Carilah basis untuk ruang kolom 1 0 A= 3 2 0 4

1 1 5 1 4 −4

Jawab : Dengan mentransposkan matriks tersebut, kita peroleh 1 A= 0 1 1 t

3 2 5 1

0 4 4 −4

Dan dengan mereduksinya ke bentuk eselon baris akan menghasilkan 1 0 0 0

3 1 0 0

0 2 0 0

Jadi, vektor (1,3,0) dan vektor (0,1,2) membentuk basis bagi ruang baris At atau secara ekuivalen 1 W1 = 3 0

0 W2 = 1 2

Teorema 14 Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom A mempunyai dimensi yang sama. II.

Rank Rank didefinisikan sebagai dimensi ruang baris dan ruang kolom sebuah matriks. Misal:

1 A3 0

0 2 4

1 5 4

1 1 −4

mempunyai ruang kolom berdimensi dua. Jadi, teorema 14 menyatakan bahwa ruang baris tersebut juga berdimensi dua. Selanjutnya kita reduksi A terhadap bentuk eselon baris yang menghasilkan:

Ruang-Ruang Vektor

Page 3

1 0 1 1 0 1 1 ˗1 0 0 0 0 Karena matriks ini mempunyai dua baris tak nol, maka ruang baris A berdimensi dua. Sehingga, mempunyai rank dua.

Teorema 15 Jika A adalah matriks 𝑛 × 𝑛, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain a. 𝐴 dapat dibalik b. 𝐴𝑥 = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial c. 𝐴 ekuivalen baris dengan 𝐼𝑛 d. 𝐴𝑥 = 𝑏 konsisten untuk tiap-tiap matriks 𝑏 yang berukuran 𝑛 × 1 e. 𝑑𝑒𝑡⁡ (𝐴) ≠ 0 f. 𝐴 mempunyai rank 𝑛 g. Vektor-vektor baris A bebas linier h. Vektor-vektor kolom A bebas linier Teorema 16 Sebuah sistem persamaan linier 𝐴𝑥 = 𝑏 adalah konsisten jika dan hanya jika 𝑏 berada pada ruang kolom 𝐴 Teorema 17 Sebuah sistem persamaan linier 𝐴𝑥 = 𝑏 akan konsisten jika dan hanya jika rank dari matriks koefisien 𝐴 sama dengan rank dari matriks yang diperbesar 𝐴 𝑏 Teorema 18 Jika 𝐴𝑥 = 𝑏 adalah sistem linier konsisten dari m persamaan n bilangan tak diketahui, dan jika A mempunyai rank r, maka pemecahan sistem tersebut mengandung n – r parameter

Ruang-Ruang Vektor

Page 4

DAFTAR PUSTAKA Purwanto,Heri dkk,2005,Aljabar Linier.Jakarta Pusat:PT ERCONTARA RAJAWALI. Anton,Hpward.2000.Aljabar Linier Elementer.Jakarta:Erlangga.

Ruang-Ruang Vektor

Page 5