Vagues solitaires ou solitons (TD5). Équation de ... Transparents disponibles sur
la page web du cours. Corrigés et exos supplémentaires dans le poly. 8 / 19 ...
Plan de la séance Systèmes Dynamiques Analyse et Stabilité
1
Introduction
AO 102
2
Différentielles
Frédéric Jean
3
Accroissements finis
4
Fonctions implicites et inversion locale
UMA – pièce 2.4.25
[email protected]
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Systèmes Dynamiques
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Fait essentiel : on ne sait presque jamais résoudre une ED
Modèles mathématique des phénomènes évoluant dans le temps : un espace des états, Ω (= Rn ou un ouvert de Rn par ex.)
=⇒ Deux approches possibles :
une loi d’évolution, ici une équation différentielle : x 0 (t) = f t, x (t) ,
analyse numérique :
x ∈Ω
étude qualitative :
court terme, solution par solution court et long terme, global
→ Newton, 1687 : “F = ma” étudier les forces plutôt que les mouvements
En particulier, étude du comportement asymptotique
Plusieurs formes → Régimes stationnaires (= solutions limites) ?
f (t, x ) = f (x )
−→
ED autonome
f (t, x ) = A(t)x [+b(t) ]
−→
ED linéaire [affine]
→ Équilibres ? Stabilité ?
x 0 (t) = f t, x (t), u(t)
−→
ED commandée (automatique)
→ Ensembles attracteurs ?
−→
ED stochastique (Bt =“bruit”)
→ Solutions bornées ou explosion ? en temps fini ou infini ?
x 0 (t) = f t, x (t), Bt
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Applications
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Dynamique des populations : biologie, épidémiologie, écologie, économie, . . .
Exemples
Mécanique : Système à n paramètres, loi : F = ma d dt
=⇒
x x0
!
=
x0 1 0 m F (x , x , t)
Modélisation de la grippe (TD3) !
,
Modèles prédateur/proie (TD3-6)
x ∈ Rn .
Résolution d’EDP : solutions particulières avec conditions aux limites
Équilibres stables ?
Exemples Chimie (cinétique) : Réaction avec n produits, de concentrations c1 , . . . , cn =⇒
c 0 = f (c),
Vagues solitaires ou solitons (TD6) Équation de Schrödinger d’un milieu conducteur solide
c = (c1 , . . . , cn ) ∈ Rn .
Automatique : commande, stabilisation, construction d’observateurs
Équilibres stables = produits obtenus 7 / 23
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Plan du cours
En pratique Groupes de TD par concours d’origine (comme en MA102)
1
Examen final = écrit (3h) sans documents
Introduction + Calcul différentiel
2
Exercices de Calcul différentiel (3h de TD)
3
Théorie générale des ED :
4
Cas linéaire autonome :
5
Linéarisation & ED linéaires non autonomes : δx 0 = Df (x (t)) · δx
6
x 0 (t) = f x (t)
sauf une feuille manuscrite Date de l’examen : jeudi 9 novembre
Devoir maison sur le calcul différentiel → 2 pts de bonus
x 0 (t) = Ax (t)
&
(donné au TD2, à rendre au TD3) Pour me contacter :
x 0 (t) = A(t)x (t)
dans mon bureau (N0 2.4.25, UMA) par email
[email protected]
Équilibres et stabilité, x 0 = f (x ) vs δx 0 = Df (x0 ) · δx
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Plan de la séance E , F esp. vect. de dimension finie — U ⊂ E ouvert f : U ⊂ E → F application 1
Introduction
Définition f est différentiable en a ∈ U si il existe La : E → F linéaire t.q.
2
Différentielles
3
Accroissements finis
∀h ∈ E ,
f (a + h) = f (a) + La (h) + khkε(h)
−→ Df (a) = La : différentielle de f en a
Exemples 4
Fonctions implicites et inversion locale
Si f : R → R, Si f : E → F linéaire,
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Df (t0 ) : h 7→ hf 0 (t0 ) Df (a) = f pour tout a ∈ E
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Propriétés
Dérivées partielles
Si f différentiable en a, alors f continue en a,
Soit f : U ⊂ Rn → R, x = (x1 , . . . , xn ) 7→ f (x )
pour tout v ∈ E ,
=⇒ Df (x ) ∈ L(Rn , R) = M1n (R) (matrice ligne) 1 f (a + tv ) − f (a) t→0 t
Alors
Df (a) · v = lim
Df (x ) =
Opérations Somme :
∂f (x ) · · · ∂x1
∂f (x ) . ∂xn
D(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a) Soit f : U ⊂ Rn → Rp , f (x ) = (f1 (x ), . . . , fp (x )),
Leibniz : Si f , g : E → R différentiable en a,
=⇒ Df (x ) ∈ L(Rn , Rp ) = Mpn (R)
(matrice p × n),
D(fg)(a) = g(a)Df (a) + f (a)Dg(a) (
Composition :
Si
∂fi (x ) ∂xj
Df (x ) =
f : E → F différentiable en a g : F → G différentiable en f (a),
! 1≤i≤p 1≤j≤n
D(g ◦ f )(a) = Dg f (a) ◦ Df (a)
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Méthode Classe
C1 f : U ⊂ E → F , différentiable sur U, définit Pour montrer que f est différentiable en a et calculer Df (a) :
Df : U −→ L(E , F ) x 7−→ Df (x ) Si Df est continue en a, on dit que f est de classe C 1 en a
∂fi (+ continuité) ∂xj
1
Si c’est possible, calculer les
2
Utiliser des opérations (f = g ◦ h en général)
3
Revenir à la définition :
Proposition Soit f : U ⊂ Rn → Rp . Alors : f est C 1 en a ⇐⇒ les
∂fi existent et sont continues en a. ∂xj
écrire
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f (a + h) = · · ·
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Et en dimension infinie ? Classes C k Soit f : E → F où E , F esp. vect. de dimension infinie Si Df : U −→ L(E , F ) est différentiable en a, on dit que f est 2 fois différentiable en a ; D(Df )(a) = D 2 f (a)
Hyp : E , F espaces de Banach (= esp. vect. normés complets, voir MA102)
Si Df de classe C 1 en a, on dit que f est de classe C 2 en a
Définition f est différentiable en a ∈ E
.. .
si il existe La : E → F linéaire et continue t.q.
Si f de classe C k en a pour tout k ∈ N, on dit que f est de classe C ∞ en a
∀h ∈ E ,
f (a + h) = f (a) + La (h) + khkε(h)
−→ Df (a) = La : différentielle de f en a
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Plan de la séance Théorème des accroissements finis (Hyp) 1
• f : U ⊂ E → F différentiable sur U • a, b points de U, avec [a, b] ⊂ U
Introduction =⇒
kf (b) − f (a)k ≤
sup kDf (x )k kb − ak x ∈[a,b]
2
Différentielles
3
Accroissements finis
4
Fonctions implicites et inversion locale
Conséquences Si kDf (x )k ≤ K pour tout x ∈ U convexe, alors kf (b) − f (a)k ≤ K kb − ak f C 1 sur un compact convexe Ω ⊂ U =⇒ f lipschitzienne sur Ω.
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Plan de la séance Théorème des fonctions implicites • f : U ⊂ Rn × Rp → Rp , (x , y ) 7→ f (x , y ), de classe C k , 1
Introduction
2
Différentielles
Si
• (a, b) ∈ U tel que f (a, b) = 0, • Dy f (a, b) inversible, (
Alors il existe 3
V vois. de a, W vois. de b, ϕ : V → W de classe C k ,
Accroissements finis (x ∈ V , y ∈ W et f (x , y ) = 0)
4
tels que
Fonctions implicites et inversion locale
De plus,
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Théorème d’inversion locale (Hyp)
• f : U ⊂ Rn → Rn de classe C k • Df (a) inversible, pour un point a ∈ U
⇒ il existe V voisinage de a, W voisinage de f (a), t.q. f bijection de V dans W = f (V ) et f −1 de classe C k . En d’autres termes, (x ∈ V et y = f (x )) ⇐⇒ (y ∈ W et x = f −1 (y )) De plus, pour tout y ∈ W , −1
Df −1 (y ) = Df f −1 (y )
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⇐⇒ −1
Dϕ(x ) = −Dy f x , ϕ(x )
(x ∈ V et y = ϕ(x ))
◦ Dx f x , ϕ(x )
sur V
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