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PIN. APLICACIONES MATEMÁTICAS TEMA 1. PROBABILIDAD.

Experimentos aleatorios Frente a un tipo de experimentos, cuya repetición produce idénticos resultados (experimentos deterministas), podemos considerar aquellos otros caracterizados porque no se puede prever su desenlace, a pesar de que se ejecuten siempre en las mismas condiciones. Son los experimentos aleatorios, de cuya existencia bien pueden servir, como ejemplo, los juegos de azar: el lanzamiento de una moneda, de un dado o la extracción de una carta en una baraja, etc. En todos ellos el resultado es incierto, aun tomando las máximas precauciones para simular idénticamente las condiciones del juego.

Espacio muestral En toda experiencia aleatoria es conveniente conocer y enumerar el abanico de posibles manifestaciones de la misma. Cada una de ellas se llama suceso elemental y su conjunto constituye el espacio muestral del experimento, que suele representarse por la letra E. Ejemplos: El espacio muestral de los puntos obtenidos al tirar un dado es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Cada uno de esos números es un suceso elemental. El espacio muestral del experimento consistente en extraer una bola de una bolsa en la que hay 3 rojas, 2 blancas y 4 verdes es E = {R, B, V}. Se han llamado R, B y V a los sucesos elementales "salir bola roja", "salir bola blanca" y "salir bola verde", respectivamente. Si se lanzan dos monedas, y se anota el resultado obtenido, el espacio muestral será E = {CC, CX, XC, XX}. En este ejemplo se ha llamado C al suceso elemental "salir cara" y X al suceso elemental "salir cruz". Cuando dos o más experimentos simples se realizan a la vez, tenemos un experimento compuesto. Por ejemplo, tirar un dado y una moneda a la vez, o tirar dos monedas a la vez.

Los sucesos Todo subconjunto del espacio muestral constituye un suceso del experimento. Por tanto, un suceso esta formado por uno o varios sucesos elementales. Los sucesos suelen denotarse con letras mayúsculas A, B… Ejemplos: • Sucesos del experimento aleatorio lanzar dos monedas pueden ser: ✓ Sacar una cara y una cruz: A = {CX, XC}. Colegio Compañía de María Obispo Orberá, 35 04001 Almería Tf. 950 235422 FAX 950 233955 www.ciademaria.net

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✓ Sacar al menos una cruz: B = {CX, XC, XX}. Hay subconjuntos de todo espacio muestral E, o lo que es lo mismo, sucesos asociados a todo experimento aleatorio que merecen una especial atención. Éstos son: El subconjunto vacío, ∅, que al no poseer sucesos elementales se denomina suceso imposible. El conjunto E, que obviamente contiene todo suceso elemental y, por tanto, ocurrirá siempre, por lo que lo denominamos suceso seguro. Dado un subconjunto A de un espacio muestral, se puede pensar en otro subconjunto con todos los sucesos elementales que no son de A. A éste se le llama suceso contrario o complementario de A, que se denota A ó A C . Gráficamente, si el suceso seguro E se representa por un rectángulo, A será la región del rectángulo no contenida en A.

Operaciones con sucesos Unión de sucesos La unión de dos sucesos A y B, que se denota por A ∪ B y se lee A unión B, es el suceso que se cumple cuando lo hace A, B o ambos a la vez. Esto es, cuando se cumple al menos uno de los sucesos A ó B. En los ejercicios la reconoceremos por “O”.

Intersección de sucesos La intersección de dos sucesos A y B se denota por A∩ ∩B (que se lee A intersección B) y es el suceso que se cumple cuando lo hacen ambos sucesos a la vez. En los ejercicios la reconoceremos por “Y”. Se dice que dos sucesos son incompatibles cuando su intersección es el suceso imposible: A y B incompatibles ⇒ A ∩ B = ∅.

Diferencia de sucesos La diferencia de dos sucesos A y B, A − B, es el suceso que se presenta cuando lo hace A pero no B. Ejemplo: En el experimento lanzar un dado, consideremos los sucesos A, "salir par" y B, "salir múltiplo de 3". Es decir, A = {2, 4, 6}, B = {3, 6}. Entonces: El suceso unión consiste en salir par o múltiplo de 3: A ∪ B = {2, 3, 4, 6}. La intersección consiste en que un resultado sea simultáneamente par y múltiplo de 3, o sea: A ∩ B = {6}. La diferencia de A y B es salir par pero no salir múltiplo de 3: B = {2, 4}.

Leyes de Morgan Las leyes de Morgan dan la relación entre la unión e intersección de sucesos y sus complementarios. Son las siguientes: A∪ B = A∩ B A∩ B = A∪ B Colegio Compañía de María Obispo Orberá, 35 04001 Almería Tf. 950 235422 FAX 950 233955 www.ciademaria.net

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Probabilidad La probabilidad es la medida de la incertidumbre de un suceso aleatorio. La probabilidad es un número que indica las posibilidades que tiene de verificarse ese suceso al realizar el experimento aleatorio. Estas ideas se sintetizan en la conocida Regla de Laplace, que asigna la probabilidad a cualquier suceso A, de acuerdo con el siguiente criterio: casos favorables P ( A) = casos posibles Esta ley solo es aplicable cuando los sucesos elementales son (se suponen a priori), por razones de simetría u homogeneidad, equiprobables (de igual probabilidad). De una manera formal, la probabilidad puede definirse diciendo que: es una función P que asigna a cada suceso un número real, debiendo cumplirse las siguientes condiciones: Ese número está entre 0 y 1. Esto es, para cualquier suceso A: 0 ≤ P(A) ≤ 1 La probabilidad de E (el espacio muestral o suceso seguro) es 1: P(E) = 1 La probabilidad de la unión P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) Si A y B son sucesos incompatibles, es decir, si A ∩ B = ∅, entonces: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) Las dos consecuencias más importantes de esta definición son: Probabilidad del complementario de un suceso A: P A = 1 − P( A) Probabilidad de la diferencia de dos sucesos: P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B)

()

Ejemplo: Supongamos que son conocidas las probabilidades de los sucesos A, B y A ∪ B 1 1 1 P (B ) = P( A ∩ B ) = . Con asociados a un experimento aleatorio. P ( A) = 3 5 15 estos datos es posible calcular las probabilidades de los siguientes sucesos. Que se cumplan alguno de los dos sucesos A ó B. P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B )

(

)

Que no se cumpla ni A ni B. P A ∩ B = 1 − P ( A ∪ B )

(

)

Que no se cumpla A y sí B. P A ∩ B = P (B ) − P( A ∩ B ) Que se cumpla uno de los dos solamente. P(( A − B ) ∪ (B − A))

Colegio Compañía de María Obispo Orberá, 35 04001 Almería Tf. 950 235422 FAX 950 233955 www.ciademaria.net

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Probabilidad Condicionada. La probabilidad de un suceso A puede verse alterada si la información de que disponemos se incrementa, reduciendo, de este modo, la incertidumbre inherente al experimento aleatorio. Este incremento de información se traduce en una disminución de los casos posibles, aumentando, por tanto, la probabilidad de A. Es decir, se reduce el Espacio Muestral. Esto sugiere definir la probabilidad de un suceso A condicionada por otro B como:

P ( A B) =

P ( A ∩ B) P ( B)

Probabilidad de la Intersección. La formula de la probabilidad condicionada permite determinar una expresión sencilla para hallar la probabilidad de la intersección de dos sucesos A y B simplemente despejando

P ( A ∩ B) = P ( A B) ⋅ P ( B)

Independencia de Sucesos. La finalidad de la probabilidad condicionada es recoger la influencia que puede ejercer un suceso sobre otro. Si esta influencia no existiera, se habla de independencia de los sucesos. En consecuencia, se dice que un suceso A es independiente de otro B si P(A/B) = P(A), es decir, la presencia de B no influye en la probabilidad de que A ocurra o no. En este caso de acuerdo con la definición de probabilidad condicionada sustituyendo P ( A ∩ B) y despejando la intersección tendremos P(A/B) por P(A) tenemos que: P ( A ) = P (B) una condición de independencia.

Dos sucesos son independientes si P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B ) Experimentos Compuestos. Diagramas de Árbol y Tablas. La probabilidad de un suceso elemental de un espacio compuesto puede calcularse multiplicando las probabilidades de los sucesos elementales de las experiencias simples que conforman la experiencia compuesta. Esta definición nos dará lugar a espacios muéstrales y sucesos más complejos que requerirán del uso de tablas o árboles para organizar la información. Veamos algunos ejemplos.


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PIN. APLICACIONES MATEMÁTICAS ACTIVIDADES DE PROBABILIDAD. 1. Un alumno va a la Facultad en autobús el 80% de los días y el resto en su coche. Cuando va en autobús llega tarde el 20% de las veces y cuando va en coche llega a tiempo sólo el 10% de las veces. Elegido un día cualquiera al azar, determine: a) La probabilidad de que llegue a tiempo a clase y haya ido en autobús. b) La probabilidad de que llegue tarde a clase. c) Si ha llegado a tiempo a clase, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ido en autobús?. 2. De las 180 personas que asisten a un congreso médico, 100 son mujeres. Observando las especialidades de los congresistas, vemos que de las 60 personas que son pediatras 20 son mujeres. Se elige al azar una persona asistente al congreso. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y pediatra?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea hombre ni sea pediatra?. c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea pediatra?. 3. De dos sucesos aleatorios A y B del mismo espacio de sucesos se sabe que 2 3 5 P ( A) = , P (B ) = y P ( A ∩ B ) = . Calcule: 3 4 8 a) La probabilidad de que se verifique alguno de los dos sucesos. b) La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos. c) La probabilidad de que ocurra A si se ha verificado B. 4. El 60% de los camareros de una localidad tienen 35 años o más, y de ellos el 70% son dueños del local donde trabajan. Por otra parte, de los camareros con menos de 35 años sólo el 40% son dueños del local donde trabajan. a) Seleccionado un camarero al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no sea dueño del local?. b) Elegido al azar un camarero dueño de su local, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 35 años?. 5. Una empresa utiliza dos servidores para conectarse a Internet. El primero lo utiliza el 45% de las veces y el segundo, el resto. Cuando se conecta a Internet con el primero, los ordenadores se bloquean el 5% de las veces, y cuando lo hace con el segundo el 8%. Si un día , al azar, la empresa está conectada a Internet, a) ¿cuál es la probabilidad de que los ordenadores se queden bloqueados?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa esté utilizando el servidor 1, sabiendo que los ordenadores se han quedado bloqueados?. 6. En un centro de enseñanza secundaria se sabe que el 45% de los alumnos juegan al fútbol, que el 60% practican atletismo, y que de los que practican atletismo el 50% juegan al fútbol. a) ¿Qué porcentaje de alumnos practican ambos deportes? b) Si se elige al azar un alumno de ese centro, ¿cuál es la probabilidad de que no practique ninguno de estos deportes?. c) Si un alumno de ese centro no juega al fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que practique atletismo?.


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7. El 41% de quienes se presentan a un examen son varones. Aprueban dicho examen el 70% de los varones presentados y el 60% de las mujeres presentadas. a) Calcule la probabilidad de que si una persona escogida al azar ha aprobado, sea mujer. b) Calcule la probabilidad de que si una persona escogida al azar ha suspendido, sea mujer. c) Ana dice que si alguien ha aprobado, es más probable que sea mujer que varón; Benito dice que si alguien ha suspendido es más probable que sea mujer que varón. ¿Quién tiene razón?. 8. Una persona lanza dos veces consecutivas un dado equilibrado, con las caras numeradas de 1 al 6. a) Determine el número de resultados del espacio muestral de este experimento aleatorio. b) Sea A el suceso “la mayor de las puntuaciones obtenidas es menor que 4” y B el suceso “la primera puntuación es impar”. Halle la probabilidad de A y la de B. c) ¿Son independientes A y B? 9. En el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado equilibrado con las caras numeradas del 1 al 6 y observar el resultado se consideran los siguientes sucesos: A: “Obtener un número mayor que 4”. B: “Obtener un número par” a) Escriba los elementos de los siguientes sucesos: A; B; A ∪ B ; A ∩BC ; (A ∩ B)C b) Calcule las probabilidades P (AC ∩ BC) y P(AC ∪ BC ) . 10. Una fábrica posee un sistema de alarma contra robos. Por estudios previos a la instalación del sistema se sabe que la probabilidad de que un día se produzca un robo en la fábrica es 0.08. Las indicaciones técnicas del fabricante de la alarma dicen que la probabilidad de que suene si se ha producido un robo es 0.98, y de que suene si no ha habido robo es 0.03. a) En un día cualquiera calcule la probabilidad de que no suene la alarma. b) Si suena la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no sea debido a un robo?. 11. En una capital de editan dos periódicos, CIUDAD y LA MAÑANA. Se sabe que el 85% de la población lee alguno de ellos, que el 18% lee los dos y que el 70% lee CIUDAD. Si elegimos al azar un habitante de esa capital, halle la probabilidad de que: a) No lea ninguno de los dos. b) Lea sólo LA MAÑANA. c) Lea CIUDAD, sabiendo que no lee LA MAÑANA. 12. Un dado tiene seis caras, tres de ellas marcadas con un 1, dos marcadas con una X y la otra marcada con un 2. Se lanza tres veces ese dado. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres veces el 1? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos X y un 2 en cualquier orden? c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres resultados diferentes?


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PIN. APLICACIONES MATEMÁTICAS TEMA 2. INFERENCIA ESTADÍSTICA. Una variable aleatoria es un valor numérico que corresponde al resultado de un experimento aleatorio, como el número de caras que se obtienen al lanzar 4 veces una moneda, el número de lanzamientos de un dado hasta que aparece el seis, el número de llamadas que se reciben en un teléfono en una hora, el tiempo de espera a que llegue un autobús... Las variables aleatorias, como las estadísticas, pueden ser discretas o continuas. Aquí vamos a referirnos a éstas últimas. Las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de los polígonos de frecuencias. En el caso de una variable estadística continua consideramos el histograma de frecuencias relativas, y se comprueba que al aumentar el número de datos y el número de clases el histograma tiende a estabilizarse llegando a convertirse su perfil en la gráfica de una función.

Las distribuciones de probabilidad de variable continua se definen mediante una función y = f (x ) llamada función de probabilidad o función de densidad. Así como en el histograma la frecuencia viene dada por el área, en la función de densidad la probabilidad viene dada por el área bajo la curva, por lo que llamaremos función de densidad de una variable aleatoria continua X a una función f que cumple: •

es positiva • el área total bajo la curva, es decir entre f (x ) y el eje de abscisas, es 1 •

el área determinada por f (x ) ,el eje de abscisas y las rectas x = a , x = b , es la probabilidad de que la variable continua X esté en el intervalo [a, b], P(a ≤ X ≤ b ) .

P(a ≤ X ≤ b ) =" área bajo la curva desde a hasta b" =

b

∫ f (x )dx a

Por analogía con las variables estadísticas podemos definir también aquí la media µ y la desviación típica σ de la variable aleatoria. La media µ, también llamada esperanza matemática, es un valor representativo de todos los valores que toma la variable aleatoria X, lo podemos imaginar como el punto sobre el eje de abscisas donde al poner una cuña la figura plana definida por


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la

función

de

densidad

quedará

en

equilibrio.

Para

calcularla

hemos

de

+∞

hacer: µ =

∫ xf (x )dx

−∞

La desviación típica σ es una medida de la dispersión de los valores que toma la variable aleatoria respecto de la media. Como ocurría con las variables estadísticas la desviación típica será más pequeña o más grande según la gráfica de la función de densidad sea más estrecha o más ancha en torno a la media. En este caso se +∞

∫

calcula: σ =

x 2 f (x )dx − µ 2

−∞

No hay que confundir esta media y desviación típica con las que habéis visto en estadística descriptiva. Estas habrá que calcularlas en algunos ejercicios en el que nos dan un conjunto de datos aplicando las siguientes formulas. i=n

Suma de todos los datos Media = X = = Número total de datos

∑x

i

⋅ fi

i =1

i=n

∑

fi

i =1

i=n

Varianza = S

2

=

∑x

2 i

⋅ fi

i =1

− X2

i=n

∑

Desviación Típica = S =

Varianza

fi

i =1

Todo nuestro estudio se basa en la normalidad de las distribuciones que empleamos, por lo que conviene que, antes de seguir adelante, conozcas la

Distribución Normal. Una variable aleatoria continua sigue una distribución normal si su función de ( x − µ )2 − densidad es:

f (x ) =

1

σ 2π

e

2σ 2

donde µ y σ coinciden respectivamente con la

media y la desviación típica de la variable aleatoria. Estos parámetros son los que determinan esta distribución que designaremos por N(µ µ,σ σ)

CÁLCULO DE PROBABILIDADES Para una variable aleatoria continua X, la probabilidad de que X tome un valor menor o igual que x está determinada por el área comprendida entre la curva y el eje de abscisas desde -∞ a x, que en este caso coincide con

P( X ≤ x ) =

+∞

∫σ

−∞

1 2π

−

e

( x − µ )2 2σ 2

dx


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Para facilitar el trabajo, existen tablas que dan directamente el valor de estas áreas para el caso µ=0, σ=1. En la tabla N(0,1) aparece directamente la p(z≤ ≤b) para valores de b entre 0 y 4. Observa que para valores mayores que 4 la probabilidad ya es prácticamente 1.

Uso de la tabla de la distribución normal típica Sea Z una variable aleatoria con distribución normal típica 1) Busca de la función de distribución de un número positivo. Supongamos que queremos calcular P{ Z ≤ 0,92}. Dicha probabilidad está representada por el área sombreada en la figura 1. Obtendremos la respuesta buscando en la tabla normal (para ello buscamos la fila correspondiente al número truncado en su primera cifra decimal (es decir 0,9) y la columna correspondiente a la segunda cifra decimal (es decir 0,02). La intersección de esa fila y esa columna nos indicará el número buscado).

Por lo tanto P{ Z ≤ 0,92}= 0,8212.


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2) Cálculo de la función de distribución de un número negativo. Supongamos que queremos calcular P{ Z ≤ -1,53}. Dicha probabilidad está representada por el área sombreada en la figura 3. El número -1,53 no figura en la tabla, pero eso no nos impide calcular la probabilidad en cuestión. Simplemente hay que tener en cuenta que, por la simetría de la campana de Gauss se tiene: P{ Z ≤ -1,53}= P{ Z >1,53} La probabilidad que figura en el segundo miembro de la ecuación está representada en el área sombreada en la figura:

Dicha probabilidad es la complementaria de la probabilidad P {Z ≤ 1,53}, representada en la figura 5.

Es decir: P {Z ≤ 1,53}+ P {Z > 1,53}= 1. Para hallar P {Z ≤ 1,53} simplemente vamos a la tabla y procedemos como en el caso 1:

De aquí obtenemos P {Z ≤ 1,53} = 0,9370 y, por lo tanto:

P{ Z ≤ -1,53}= P{ Z > 1,53} = 1 - P{ Z ≤ 1,53}= 1- 0,9370 = 0,0630


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3) Cálculo de la probabilidad de que la normal típica caiga entre dos valores dados. Supongamos que queremos calcular P{0,41 < Z ≤ 1,62}. Esta probabilidad está representada por el área sombreada en la figura Dicha probabilidad se puede calcular como

P{ 0,41 < Z ≤ 1,62}.= P{ Z ≤ 1,62}- P{Z ≤ 0,41}. El minuendo y el sustraendo están representados por las áreas sombreadas en las figuras, respectivamente.

La busca en la tabla nos da los valores:

P {Z ≤ 1,62} = 0,9474, y P {Z ≤ 0,41} = 0,6591 Por lo tanto:

P {0,41 < Z ≤ 1,62}.= 0,9474 - 0,6591= 0,2883.


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4) Cálculo de la probabilidad de que un normal con parámetros cualesquiera caiga entre dos valores dados. Supongamos que queremos calcular P {2,3 < X ≤ 3,7}. Donde X es una variable aleatoria normal con parámetros µ=1,5 y σ=2 Esta probabilidad está representada por el área sombreada en la figura 10. Para calcular esta probabilidad, llevamos la variable X a una normal típica, restando µ y dividiendo entre σ: P {2,3 < X ≤ 3,7} = =P {(2,3−µ) /σ < (X−µ) /σ ≤ (3,7−µ) /σ }= = P {(2,3−1,5) /2 < (X−1,5) /2 ≤ (3,7−1,5) /2}= =P {0,4< (X−µ) /σ ≤ 1,1} La variable Z= (X−µ) /σ tiene distribución normal típica. La probabilidad que se quiere calcular es igual al área sombreada en la figura 11: La resolución del problema se reduce entonces a lo explicado en la parte 3.

P{2,3 < X ≤ 3,7} = P{0,4< Z ≤ 1,1 }= P{ Z ≤ 1,1 }− P{ Z ≤ 0,4 } = 0,8643 − 0,6554 = 0,2089

Este proceso se conoce con el nombre de: TIPIFICACIÓN DE VARIABLES La tabla de la distribución normal N(0,1) también nos permite calcular probabilidades relativas a cualquier otra distribución N(µ µ,σ σ). Para ello basta tipificar la variable es decir calcular el valor z correspondiente a los valores x indicados mediante la operación: z

=

x − µ

σ

La variable tipificada, z, tiene una

distribución N(0,1). Observa que llamaremos x a la variable de una distribución N(µ,σ) cualquiera y z a la variable de la distribución N(0,1)


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La Inferencia estadística persigue la obtención de conclusiones sobre un gran número de datos, basándose en la observación de una muestra obtenida de ellos; también intenta medir su significación, es decir la confianza que nos merecen. •

• • • •

Calcular los parámetros de la distribución de medias o proporciones muéstrales de tamaño n, extraídas de una población de media y varianza conocidas. Estimar la media o la proporción de una población a partir de la media o proporción muestral. Utilizar distintos tamaños muéstrales para controlar la confianza y el error admitido. Contrastar los resultados obtenidos a partir de muestras. Visualizar gráficamente, mediante las respectivas curvas normales, las estimaciones realizadas.

El estudio de determinadas características de una población se efectúa a través de diversas muestras que pueden extraerse de ella. El muestreo puede hacerse con o sin reposición, y la población de partida puede ser infinita o finita. Una población finita en la que se efectúa muestreo con reposición puede considerarse infinita teóricamente. También, a efectos prácticos, una población muy grande puede considerarse como infinita. En todo nuestro estudio vamos a limitarnos a una población de partida infinita o a muestreo con reposición. Consideremos todas las posibles muestras de tamaño n en una población. Para cada muestra podemos calcular un estadístico (media, desviación típica, proporción,...) que variará de una a otra. Así obtenemos una distribución del estadístico que se llama distribución muestral. Las dos medidas fundamentales de esta distribución son la media y la desviación típica, también denominada error típico. Hay que hacer notar que si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande las distribuciones muéstrales son normales y en esto se basarán todos los resultados que alcancemos.


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DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS Cada muestra de tamaño n que podemos extraer de una población proporciona una media. Si consideramos cada una de estas medias como valores de una variable aleatoria podemos estudiar su distribución que llamaremos distribución muestral de medias. Si tenemos una población normal N(µ µ,σ σ) y extraemos de ella muestras de tamaño n, la distribución muestral de medias sigue también una distribución normal

 σ   X → N  µ, n  DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES En numerosas ocasiones se plantea estimar una proporción o porcentaje. En estos casos la variable aleatoria toma solamente dos valores diferentes (éxito o fracaso), llamamos p a la probabilidad de que se cumpla la condición (éxito) y q a la probabilidad de que no se cumpla la condición. Entonces q=1-p y para muestras de tamaño n>30, la distribución muestral de proporciones sigue una distribución normal

)  P → N  p, 

pq   n 

En una población cuya distribución es conocida pero desconocemos algún parámetro, podemos estimar dicho parámetro a partir de una muestra representativa. Es la estimación por intervalos en la que calculamos dos valores entre los que se encontrará el parámetro, con un nivel de confianza fijado de antemano. Llamamos Intervalo de confianza al intervalo que con un cierto nivel de confianza, contiene al parámetro que se está estimando. Nivel de confianza es la "probabilidad" de que el intervalo calculado contenga al verdadero valor del parámetro. Se indica por 1-α α y habitualmente se da en porcentaje (1-α)100%. Hablamos de nivel de confianza y no de probabilidad ya que una vez extraída la muestra, el intervalo de confianza contendrá al verdadero valor del parámetro o no, lo que sabemos es que si repitiésemos el proceso con muchas muestras podríamos afirmar que el (1-α)% de los intervalos así construidos contendría al verdadero valor del parámetro.


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INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA De una población desconocemos la media µ y deseamos estimarla a partir de la media x obtenida en una muestra de tamaño n y de la desviación típica. Sabemos que si la población es normal N(µ µ,σ σ) y extraemos de ella muestras de

 σ   , por tanto si N  µ, n 

tamaño n entonces la distribución muestral de medias es fijamos una probabilidad 1-α, sabemos que la

 σ σ  P  µ − Zα ⋅ < X < µ + Zα ⋅  = 1 − α es decir, el (1-α)% de las medias está a n n 2 2  una distancia de µ inferior a

E = Zα ⋅ 2

σ n

Entonces para un nivel de confianza 1-α α,



µ ∈  X − Zα ⋅ 

σ

2

n

, X + Zα ⋅ 2

σ 

 n

donde

  Z α es el llamado valor crítico, valor tal que P − Z α < Z < Z α  = 1 − α y 2 2 2   X la media de la muestra. Para calcular el valor crítico Z α utilizamos la tabla de la distribución normal, 2

1 − α = 0,95 y      0,95 + 1 < Z < Z α  = 0,95 ⇒ P Z < Z α  = ⇒ P Z < Z α  = 0,975 2 2  2  2   

veamos un ejemplo. Si el nivel de confianza es del 95%, entonces

 P − Z α 2 

y buscamos este valor en el interior de la tabla (los valores están ordenados de menor a mayor), 0,975 corresponde a 1,96, entonces Z α = 1,96 2

La amplitud del intervalo de confianza depende del valor de

E = Zα ⋅ 2

σ n

Con un nivel de confianza del (1-α)100% admitimos que la diferencia entre la estimación para la media a partir de la muestra y su valor real es menor que E, que llamaremos error máximo admisible y la amplitud del intervalo es 2 E . El tamaño de la muestra depende del nivel de confianza que se desee para los resultados y de la amplitud del intervalo de confianza, es decir del error máximo que se esté dispuesto a admitir. Fijados estos, 1-α α y E, podemos calcular el tamaño

 σ  mínimo de la muestra que emplearemos. n =  Z α ⋅  E   2

2


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INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN Si deseamos estimar la proporción p con que una determinada característica se da en una población, a partir de la proporción p' observada en una muestra de tamaño n, sabemos que la distribución muestral de proporciones sigue una distribución normal

 N  p, 

pq   n 

con q=1-p Como la proporción p de la población es

desconocida, se aproxima por la de la muestra siempre que n>100. Entonces para un nivel de confianza 1-α α, p pertenece al intervalo:

  p − Z α 2 

pq , p + Zα n 2

pq  , n 

En el caso de estimar proporciones el error máximo es

E = Zα 2

 Zα  2 tamaño deseado de la muestra es n =  E  

pq con lo que el n

2

  pq   


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PIN. APLICACIONES MATEMÁTICAS ACTIVIDADES DE INFERENCIA ESTADÍSTICA. 1. Una población de tamaño 1000 se ha dividido en 4 estratos de tamaño 150, 400, 250 y 200. Utilizando muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado 10 individuos del tercer estrato, ¿cuál es el tamaño de la muestra? 2. El peso de los individuos de una población se distribuye según una ley Normal de desviación típica 6 kg. Calcule el tamaño mínimo de la muestra para estimar, con un nivel de confianza del 95%, el peso medio en la población con un error no superior a 1 kg. 3. El peso neto de las tabletas de chocolate de una determinada marca es una variable aleatoria Normal con media μ y desviación típica 7 gramos. Se sabe que 36 tabletas, elegidas al azar, han dado un peso total de 5274 gramos. a) Calcule un intervalo con un nivel de confianza del 94% para la media μ . b) Con el mismo nivel de confianza, ¿cuántas tabletas, como mínimo, habrá que tomar como muestra para que la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, de 3 gramos? 4. Se sabe que la estatura de las personas de una población es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal cuya desviación típica es 0.04 m. Para estimar la media de esta variable se ha tomado una muestra aleatoria de 60 personas de esa población y se ha encontrado una estatura media de 1.73 m. a) Obtenga un intervalo de confianza, con un nivel del 97%, para la media de la distribución de estaturas. b) Halle el tamaño mínimo que debe tener una muestra de esta población, para que la amplitud de un intervalo de la media con este nivel de confianza sea inferior a 0.08 m. 5. En un distrito universitario, la calificación de los alumnos sigue una distribución Normal de media 6.2 puntos y desviación típica de 1 punto. Se seleccionó, aleatoriamente, una muestra de tamaño 25. a) Indique la distribución de la media de las muestras de tamaño 25. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de las calificaciones de los alumnos de una de esas muestras esté comprendida entre 6 y 6.6 puntos?. 6. El peso de los adultos de una determinada población sigue una distribución Normal de media 70 Kg y desviación típica 16 Kg. Si elegimos, al azar, muestras de tamaño 4, a) ¿Cuál es la distribución de la media muestral?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de una de esas muestras esté comprendido entre 65 y 72 Kg?. c) ¿Cuál es la probabilidad de que ese peso medio sea menor que 70 Kg?.


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7. Con el fin de estudiar el peso medio de los perros recién nacidos de una determinada raza, se tomó una muestra en una clínica veterinaria y se obtuvieron los siguientes pesos, medidos en Kg: 1.2 0.9 1 1.2 1.1 1 0.8 1.1 Se sabe que el peso de los cachorros de esta raza se distribuye según una ley Normal con desviación típica 0.25 Kg. a) Obtenga un intervalo de confianza para estimar la media poblacional, al 95%. b) Halle el error máximo que se cometería usando el intervalo anterior. c) Razone cómo variaría la amplitud del intervalo de confianza si, manteniendo el mismo nivel de confianza, aumentásemos el tamaño de la muestra. 8. Sea X una variable aleatoria Normal de media 50 y desviación típica 4. Se toman muestras de tamaño 16. a) ¿Cuál es la distribución de la media muestral. b) Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 47.5 y 52.5?. 9. Una empresa consultora quiere estudiar algunos aspectos de la vida laboral de los trabajadores de una ciudad. Para ello selecciona una muestra aleatoria de 500 trabajadores, de los que 118 afirman residir en otra ciudad. Con un nivel de confianza del 93%, a) Calcule un intervalo de confianza para la proporción de trabajadores que residen fuera. b) Calcule el error cometido en el intervalo anterior. 10. En una población de 2000 hombres y 2500 mujeres se quiere seleccionar una muestra de 135 personas mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional, ¿cuál sería la composición de la muestra?. 11. Dada la población { 6, 8, 11, a }, ¿cuánto debe valer a sabiendo que la media de las medias muestrales de tamaño 3, obtenidas mediante muestreo aleatorio simple, es 10.3? 12. De una muestra aleatoria de 350 individuos de una población, 50 son adultos. a) Calcule un intervalo de confianza, al 98%, para la proporción de adultos de esa población. b) ¿Puede admitirse, a ese nivel de confianza, que la proporción de adultos de esa población es 2/15


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13. Se desea estimar la proporción de votantes a un determinado partido político mediante una muestra aleatoria. a) Si de una muestra de 500 personas 200 dicen que lo votan, calcule con un nivel de confianza del 97% un intervalo para la proporción de votantes a ese partido en la población. b) Si la proporción de votantes en otra muestra ha sido 0.2 y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0.05, con un nivel de confianza del 99%, calcule el tamaño mínimo de dicha muestra. 14. Se sabe que el tiempo de reacción a un determinado estímulo se distribuye según una ley Normal de media desconocida y desviación típica 0.2 segundos. a) Observada una muestra aleatoria de tamaño 25 se ha obtenido una media muestral de 0.3 segundos. Obtenga un intervalo de confianza para la media de la población con un nivel de confianza del 94%. b) A un nivel de confianza del 90%, ¿cuál será el tamaño muestral mínimo si el error cometido es inferior a 0.05?. 15. En los individuos de una población, la concentración de una proteína en sangre se distribuye según una ley Normal de media desconocida y desviación típica 0.42 g/dl. Se toma una muestra aleatoria de 49 individuos y se obtiene una media muestral de 6.85 g/dl. a) Obtenga un intervalo de confianza, al 96%, para estimar la concentración media de la proteína en sangre de los individuos de esa población. b) ¿Es suficiente el tamaño de esa muestra para obtener un intervalo de confianza, al 98%, con un error menor que 0.125 g/dl?. 16. La altura de los alumnos de una Universidad sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica 11 cm. Calcule el tamaño mínimo que ha de tener una muestra aleatoria de esos alumnos para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1cm, con un nivel de confianza del 98%. 17. b) Dada la población {10, 12, 17}, escriba todas las muestras de tamaño 2 mediante muestreo aleatorio simple y calcule la media y la desviación típica de las medias muestrales.


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PIN. APLICACIONES MATEMÁTICAS TEMA 3. TEST O CONTRASTES DE HIPÓTESIS. Una hipótesis estadística es una afirmación respecto a alguna característica de una población. Contrastar una hipótesis es comparar las predicciones con la realidad que observamos. Si dentro del margen de error que nos permitimos admitir, hay coincidencia, aceptaremos la hipótesis y en caso contrario la rechazaremos. •

La hipótesis emitida se suele designar por Ho y se llama Hipótesis nula porque parte del supuesto que la diferencias entre el valor verdadero del parámetro y su valor hipotético es debida al azar, es decir no hay diferencia.

•

La hipótesis diferente de la nula y contraria se designa por H1 y se llama Hipótesis alternativa

Los contrastes pueden ser unilaterales o bilaterales (también llamados de una o dos colas) según establezcamos las hipótesis, si las definimos en términos de igual y distinto estamos ante una hipótesis bilateral, si suponemos una dirección (en términos de mayor o menor) estamos ante uno unilateral. Se trata pues, de extraer conclusiones a partir de una muestra aleatoria y significativa, que permitan aceptar o rechazar una hipótesis previamente emitida, sobre el valor de un parámetro desconocido de la población. El método que seguiremos es el siguiente: 1. Enunciar la hipótesis 2. Elegir un nivel de significación α y construir la zona de aceptación, intervalo fuera del cual sólo se encuentran el α100% de los casos más raros. A la zona de rechazo la llamaremos región crítica, y su área es el nivel de significación. 3. Verificar la hipótesis extrayendo una muestra cuyo tamaño se ha decidido en el paso anterior y obteniendo de ella el correspondiente estadístico (media o proporción en nuestro caso). 4. Decidir. Si el valor calculado en la muestra cae dentro de la zona de aceptación se acepta la hipótesis y si no se rechaza. Aquí nos vamos a limitar a estudiar hipótesis sobre la media y sobre la proporción en una población. En cada caso se trabaja con un contraste bilateral y otro unilateral. Los contrastes unilaterales son de distinta dirección en cada ejemplo, pero el método a seguir es análogo para ambos.


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POSIBLES ERRORES EN EL CONTRASTE DE HIPÓTESIS El contraste de hipótesis no establece la verdad de la hipótesis, sino un criterio que nos permite decidir si una hipótesis se acepta o se rechaza, o el determinar si las muestras observadas difieren significativamente de los resultados esperados. En este proceso podemos incurrir en dos tipos de errores según sea la situación real y la decisión que tomemos. Si rechazamos una hipótesis cuando debiera ser aceptada, cometemos un error de tipo I, mientras que si la aceptamos debiendo ser rechazada diremos que hemos cometido un error de tipo II. Minimizar los errores no es una cuestión sencilla, un tipo suele ser más grave que otro y los intentos de disminuir uno suelen producir el aumento del otro. La única forma de disminuir ambos a la vez es aumentar el tamaño de la muestra.

Ho verdadera

Ho falsa Decisión incorrecta

DECISIÓN:

Mantener Ho

Decisión correcta

Error de tipo II Decisión incorrecta DECISIÓN:

Rechazar Ho

Decisión correcta

Error de tipo I

La probabilidad de cometer un error de tipo I es el nivel de significación α, la probabilidad de cometer un error de tipo II depende del verdadero valor de µ y del tamaño de la muestra.


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1. CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA Queremos contrastar una hipótesis acerca del valor de la media poblacional a partir de los resultados de una muestra. El proceso que seguimos es: Contraste bilateral Ho: µ = µo

H1: µ ≠ µo

buscamos zα/2 tal que P(-zα/2 ≤ z ≤zα/2)=1-α

 σ σ  , µ¨0 + Z α  µ¨0 − Z α  n n  2 2

1) Establecer la hipótesis Las medias muestrales se distribuyen

Contraste unilateral Ho: µ ≤ µo

buscamos zα tal que P(z ≤ zα)=1-α

2) Elegir el nivel de significación α y determinar la zona de aceptación a partir del

σ    −∞, µ¨0 + Zα  n 

Intervalo de confianza

 σ σ  x ∈  µ¨0 − Z α , µ¨0 + Z α  aceptamos Ho n n  2 2  σ σ  x ∉  µ¨0 − Z α , µ¨0 + Z α  rechazamos Ho n n 2 2 

3) Verificación 4) Decisión

H1: µ > µo

σ   x ∈  −∞, µ¨0 + Zα  aceptamos Ho n  σ   x ∈  −∞, µ¨0 + Zα  rechazamos Ho n 


2. CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN Queremos contrastar una hipótesis acerca de la proporción en una población a partir de los datos extraídos de una muestra. Contraste bilateral Ho: p = po

H1: p ≠ po

buscamos zα/2 tal que P(-zα/2≤z≤zα/2 )=1-α

  p − Z α 2   p′ ∈  p − Z α 2   p′ ∉  p − Z α 2 

pq , p + Zα n 2

pq , p + Zα n 2 pq , p + Zα n 2

pq   n 

pq   aceptamos Ho n  pq   rechazamos Ho n 

1) Establecer la hipótesis Las proporciones muestrales se distribuyen

Contraste unilateral Ho: p ≥ po

H1: p < po

buscamos zα tal que P(z ≤ zα )=1-α

2) Elegir el nivel de significación α y determinar la zona de aceptación a partir del

  p − Zα 

 pq , +∞  n 

Intervalo de confianza

3) Verificación 4) Decisión

 p′ ∈  p − Zα 

 pq , +∞  aceptamos Ho n 

 p′ ∉  p − Zα 

 pq , +∞  rechazamos Ho n 


PIN. APLICACIONES MATEMÁTICAS ACTIVIDADES TEST DE HIPOTESIS. 1. Una máquina está preparada para fabricar piezas de, a lo sumo, 10 cm de longitud. Se toma una muestra de 1000 piezas, comprobándose que la media de sus longitudes es de 10.0037 cm. La longitud de las piezas fabricadas por esa máquina sigue una ley Normal con desviación típica 0.2 cm. Plantee un contraste de hipótesis unilateral para comprobar si con los datos de esa muestra es posible afirmar que la media de la longitud de las piezas fabricadas por la máquina es de más de 10cm. a) Determine la región de aceptación de la hipótesis nula de ese contraste para un nivel de significación α = 0.025 . b) Con los datos de la muestra y usando el contraste de hipótesis del primer apartado, ¿qué conclusión se obtendría sobre la longitud media de las piezas fabricadas? 2. El director de una televisión afirma que un nuevo programa que va a emitirse será visto, al menos, por un 30% de personas. Una vez emitido se realizó una encuesta a 500 personas, elegidas al azar, y ésta reveló que 130 de ellas habían visto ese programa. a) Formule la hipótesis nula y la alternativa del contraste de hipótesis que permite determinar si los datos de la encuesta realizada son compatibles con la afirmación del director. b) Halle la región crítica de ese contraste para un nivel de significación del 5.5%. c) Según el dato obtenido en el apartado anterior ¿qué conclusión se obtiene sobre la afirmación realizada por el director de esa televisión? 3. El director de un banco afirma que la cantidad media de dinero extraído, por cliente, de un cajero automático de su sucursal no supera los 120 euros. Para contrastar esta hipótesis elige al azar 100 extracciones de este cajero y obtiene una media muestral de 130 euros. Se sabe que la cantidad de dinero extraído por un cliente en un cajero automático se distribuye según una ley Normal de media desconocida y desviación típica 67 euros. a) Plantee el contraste de hipótesis asociado al enunciado. b) Determine la región de aceptación, para un nivel de significación α = 0.05 . c) Con los datos muestrales tomados, ¿existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis de este director, con el mismo nivel de significación anterior? 4. Un estudio sociológico afirma que el 70% de las familias cena viendo la televisión. Se desea contrastar la veracidad de esta afirmación y, para ello, se toma una muestra de 500 familias, en las que se observa que 340 ven la televisión mientras cenan. Decida, mediante un contraste de hipótesis, si la afirmación es cierta con un nivel de significación de 0.01 5. Suponiendo que la variable “años de vida de los individuos de un país” sigue una distribución Normal con desviación típica 8.9 años, se desea contrastar la hipótesis de que la vida media de los mismos no supera los 70 años.A partir de una muestra aleatoria de 100 individuos se ha obtenido que su vida media ha sido 71.8 años. a) Formule el contraste de hipótesis que indica el enunciado. b) Determine la región crítica a un nivel de significación del 5 %. Colegio Compañía de María Obispo Orberá, 35 04001 Almería Tf. 950 235422 FAX 950 233955 www.ciademaria.net

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c) Con los datos muestrales, ¿existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis a ese nivel de significación 6. Un agricultor piensa que la producción media por naranjo, en su finca, es de 88 kg o más. Para confirmar su creencia selecciona, al azar, 10 de sus naranjos, pesa su producción y obtiene como resultado, en kg, para cada uno de ellos: 80 , 83 , 87 , 95 , 86 , 92 , 85 , 83 , 84 , 95 Se acepta que la producción de un naranjo sigue una distribución Normal con desviación típica 5 kg. a) Plantee el contraste de hipótesis unilateral que responda a las condiciones del problema y determine la región crítica para un nivel de significación α = 0.05 . b) Con los datos de esta muestra, ¿qué conclusión debe obtener el agricultor sobre la producción media por naranjo de su finca, utilizando ese mismo nivel de significación? 7. Una máquina de envasado está diseñada para llenar bolsas con 300 g de almendras. Para comprobar si funciona correctamente, se toma una muestra de 100 bolsas y se observa que su peso medio es de 297 g. Suponiendo que la variable “peso” tiene una distribución Normal con varianza 16, y utilizando un contraste bilateral ¿es aceptable, a un nivel de significación de 0.05, que el funcionamiento de la máquina es correcto?. 8. Se sabe que los años de vida de los individuos de una población es una variable aleatoria Normal con desviación típica 8.9 años. Una muestra aleatoria de 100 individuos de esa población mostró una vida media de 71.8 años. Mediante un contraste unilateral, ¿puede afirmarse con los datos anteriores que la vida media es mayor de 70 años, a un nivel de significación α = 0.05 ?. 9. El peso de los sacos de patatas de una cooperativa es una variable aleatoria Normal con desviación típica 0.25 kg. El agente de ventas de esa cooperativa afirma que el peso medio de los sacos no baja de 5 kg. Se desea contrastar estadísticamente esta hipótesis. Para ello se toma una muestra aleatoria de 20 sacos y se obtiene que su peso medio es de 4.8 kg. a) Determine las hipótesis del contraste que se plantea en este enunciado. b) Halle la región crítica de este contraste paraα = 0.01?. c) Con los datos de la muestra tomada, ¿puede decirse que existe evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis del agente de ventas de la cooperativa, al nivel de significación α = 0.01?. 10. En una determinada especie animal el porcentaje de mortalidad debida a una enfermedad vírica es de al menos un 40%. Se está realizando un estudio para probar la eficacia de un fármaco que permite tratar esa enfermedad y, consecuentemente, reducir el porcentaje de mortalidad en esa especie. Para ello, se suministró el fármaco a 50 sujetos enfermos, elegidos al azar, de los que murieron 14. A la vista de estos datos, y tomando como nivel de significación 0.015, ¿ se puede afirmar que existe evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis H0: p ≥ 0.4 , donde p es la proporción, y por lo tanto aceptar la eficacia del fármaco?


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PIN. APLICACIONES MATEMÁTICAS TEMA 4. PROGRAMACIÓN LÍNEAL.

Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver la situación siguiente: Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función de varias variables, sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones. En un problema de programación lineal intervienen: • •

•

La función f(x,y) llamada función objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresión x e y son las variables de decisión. Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su número depende del problema en cuestión. Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos. La solución óptima del problema será un par de valores (x0, y0) del conjunto factible que haga que f(x,y) tome el valor máximo o mínimo. Esta solución optima, de existir esta en los vértices de la región que determinan las restricciones.

El procedimiento para determinar la solución optima: 1) Se resuelve cada inecuación por separado, es decir, se encuentra el semiplano de soluciones de cada una de las inecuaciones. • •

Se dibuja la recta asociada a la inecuación. Esta recta divide al plano en dos regiones o semiplanos Para averiguar cuál es la región válida, el procedimiento práctico consiste en elegir un punto, por ejemplo, el (0,0) si la recta no pasa por el origen, y comprobar si las coordenadas satisfacen o no la inecuación. Si lo hacen, la región en la que está ese punto es aquella cuyos puntos verifican la inecuación; en caso contrario, la región válida es la otra.

2) La región factible está formada por la intersección o región común de las soluciones de todas las inecuaciones. Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas de inecuaciones lineales pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución, en el caso de que exista el conjunto solución puede ser acotado o no.


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En un programa lineal con dos variables, si existe una solución única que optimice la función objetivo, ésta se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible acotada, nunca en el interior de dicha región. Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico valor en los puntos del segmento que determinan. Tendría infinitas soluciones, todos los puntos del segmento. En el caso de que la región factible no es acotada, la función lineal objetivo no alcanza necesariamente un valor óptimo concreto, pero, si lo hace, éste se encuentra en uno de los vértices de la región Veamos algunos ejemplos. 1. Represente gráficamente el recinto determinado por las siguientes inecuaciones: 6x − y + 9 ≥ 0 ; 2x + 5 y − 13 ≤ 0 ; 2x − 2 y − 5 ≤ 0 a. Determine los vértices del recinto anterior. b. Halle los valores máximo y mínimo de la función F(x, y) = 3x − 2 y + 3 en el recinto del primer apartado, y especifique en qué puntos los alcanza. 2. Una empresa elabora dos productos, A y B. Cada unidad de A requiere 2 horas en una máquina y 5 horas en una segunda máquina. Cada unidad B necesita 4 horas en la primera máquina y 3 horas en la segunda máquina. Semanalmente se dispone de 100 horas en la primera máquina y de 110 horas en la segunda. Si la empresa obtiene un beneficio de 70 euros por cada unidad A, y de 50 euros por cada unidad de B, ¿qué cantidad semanal de cada producto debe producir con objeto de maximizar el beneficio total?. ¿Cuál es ese beneficio?


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PIN. APLICACIONES MATEMÁTICAS ACTIVIDADES PROGRAMACIÓN LINEAL. 1. Sea el recinto determinado por las siguientes inecuaciones: x + y ≤ 20 ; 3x + 5 y ≤ 70 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 a) Razone si el punto de coordenadas (4.1, 11.7) pertenece al recinto. b) Represente dicho recinto y calcule sus vértices. c) ¿Dónde alcanzará la función F(x, y) = 0.6x + y sus valores extremos y cuáles serán éstos?. 2. a) Dibuje el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones determine sus vértices. y ≥ 200 − 2x ; x − 100 ≤ 3 y ; x + 2 y ≤ 600 ; x ≥ 0 b) Sabiendo que A(0,2),B(1,4),C(3,4),D(4,2) y E(2,1) son los vértices de una región factible, determine en ella el mínimo y el máximo de la función F(x, y) = 10x + 5 y + 21 , e indique los puntos donde se alcanza. 3. Se considera el recinto R del plano determinado por las siguientes inecuaciones: 13x + 8 y ≤ 600 ; 3(x − 2) ≥ 2( y − 3) ; x − 4 y ≤ 0 a) Represente gráficamente el recinto R y calcule sus vértices. b) Calcule el valor máximo en dicho recinto de la función F(x, y) = 65x + 40y , indicando donde se alcanza. 4. Se considera el recinto R del plano, determinado por las siguientes inecuaciones: x + y ≥ 2 ; x + 3 y ≤ 15 ; 3x − y ≤ 15 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 a) Represente gráficamente el recinto R y calcule sus vértices. b) Halle los valores máximo y mínimo que alcanza la función F(x, y) = 3x + y en dicho recinto. c) Razone si existen puntos (x, y) del recinto, para los que F(x, y) = 30 . 5. Sea el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones: x+y≤3; −x+y≤3;x≤2;y≥0 a) Represéntelo gráficamente. b) Calcule los vértices de dicho recinto. c) ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la función objetivo F(x, y) = − 2x − y ?.¿En qué puntos se alcanzan dichos valores?. 6. En un examen de Matemáticas se propone el siguiente problema: “Indique dónde se alcanza el mínimo de la función F(x, y) = 6x + 3 y − 2 en la región determinada por las restricciones 2x + y ≥ 6 ; 2x + 5 y ≤ 30 ; 2x − y ≤ 6 .” a) Resuelva el problema b) Ana responde que se alcanza en (1,4) y Benito que lo hace en (3,0). ¿Es cierto que el mínimo se alcanza en (1,4)?. ¿Es cierto que se alcanza en (3,0)?. 7. Un comerciante quiere dar salida a 400 kg de avellanas, 300 kg de nueces y 400 kg de almendras. Para ello hace dos tipos de lotes: los de tipo A contienen 2 kg de avellanas, 2 kg de nueces y 1 kg de almendras; y los de tipo B contienen 3 kg de avellanas, 1 kg de nueces y 4 kg de almendras. El precio de venta de cada lote es de 20 € para los del tipo A y de 40€ para los del tipo B. ¿Cuántos lotes de cada tipo debe vender para obtener el máximo ingreso y a cuánto asciende éste?


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8. Un supermercado se abastece de gambas y langostinos a través de dos mayoristas, A y B, que le envían contenedores con cajas completas de ambos productos. El mayorista A envía en cada contenedor 2 cajas de gambas y 3 de langostinos, al precio de 350 € el contenedor, mientras que el mayorista B envía en cada uno 1 caja de gambas y 5 de langostinos, al precio de 550 € el contenedor. El supermercado necesita, como mínimo, 50 cajas de gambas y 180 de langostinos, pudiendo almacenar, como máximo, 50 contenedores. ¿Cuántos contenedores debería pedir el supermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades con el menor coste posible? Indique cuál sería ese coste mínimo. 9. Un agricultor posee 10 hectáreas (ha.) y decide dedicarlas al cultivo de cereales y hortalizas. Por las limitaciones de agua no puede destinar más de 5 ha. A hortalizas. El cultivo de cereales tiene un coste de 1000 euros/ha. Y el de hortalizas de 3000 euros/ha., no pudiendo superar el coste la cantidad de 16000 euros. El beneficio neto por ha. De cereales asciende a 2000 euros y el de hortalizas a 8000 euros. Halle la distribución de cultivos que maximiza el beneficio y calcule dicho máximo. 10. Una empresa fabrica camisas de dos tipos A y B. El beneficio que obtiene es de 8 euros por cada camisa que fabrica del tipo A y de 6 euros por cada una del tipo B. La empresa puede fabricar, como máximo, 100.000 camisas, y las del tipo B han de suponer, al menos, el 60% del total. ¿Cuántas camisas debe fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio? 11. Un pastelero dispone de 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 26 kg de mantequilla para hacer dos tipos de tartas, A y B. Para hacer una hornada de tartas del tipo A se necesitan 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla, mientras que para hacer una hornada de tartas del tipo B se necesitan 6 kg de harina, 0.5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. Sabiendo que el beneficio que se obtiene al vender una hornada del tipo A es de 20 € y de 30 € al vender una hornada del tipo B, determine cuántas hornadas de cada tipo debe hacer y vender para maximizar sus beneficios. 12. Un joyero fabrica dos modelos de anillos. El modelo A se hace con 1 gramo de oro y 1.5 gramos de plata. El modelo B lleva 1.5 gramos de oro y 1 gramo de plata. El joyero sólo dispone de 750 gramos de cada metal y piensa fabricar, al menos, 150 anillos del tipo B que ya tiene encargados. Sabiendo que el beneficio de un anillo del tipo A es de 50 € y del tipo B es de 70 €, ¿cuántos anillos ha de fabricar de cada tipo para obtener el beneficio máximo y cuál será éste?


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PIN. APLICACIONES MATEMÁTICAS MATRICES COMO EXPRESIONES DE TABLAS Y GRAFOS ALGUNOS CONCEPTOS PREVIOS. Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una línea de unión entre pares de vértices, llamadas aristas. Típicamente, un grafo se representa mediante una serie de puntos (los vértices) conectados por líneas (las aristas). Matriz de adyacencia - El grafo está representado por una matriz cuadrada M de tamaño n2, donde n es el número de vértices. Si hay una arista entre un vértice a y un vértice b, entonces el elemento mab es 1, de lo contrario, es 0.

En los grafos interesa recorrer las aristas para llegar de un vértice a otro. Se llama camino o ruta entre dos vértices, a y b, a toda sucesión de aristas que conectan a con b, siendo la longitud del camino el número de aristas que lo componen. Las potencias de la matriz de adyacencia de un grafo permiten conocer el número de caminos existentes entre cualquier par de vértices de una determinada longitud. La matriz de adyacencia M de un grafo indica si existe o no una arista entre cada par de vértices. La matriz M2 indica el número de caminos de longitud 2 entre dos vértices cualesquiera. De la misma forma, la matriz M3 indica el número de caminos de longitud 3 y así sucesivamente. También se puede establecer si existe o no un camino, no importa la longitud, entre dos vértices cualesquiera con la matriz B = M + M2 + M3 + … + Mn-1 . ( n el número de vértices).

En un grafo podemos encontrarnos lazos, aristas cuyos extremos coinciden (en rojo en la figura), aristas múltiples (en dorado) y vértices aislados, que no están conectados a ningún otro vértice. ( en verde)


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PONENCIA -MATEMÁTICAS APLICADAS 2º SOCIALES Algunos ejemplos de ejercicios de matrices como expresiones de tablas y grafos: Ejemplo 1. Sean los grafos siguientes:

a) Escriba la matriz de adyacencia asociada a los grafos A y B de la figura anterior. b) Si las matrices C y D unen los nodos numerados con las etiquetas 1, 2, 3, represente los grafos asociados a dichas matrices de adyacencia.

 0 1 0 0 1 1     C = 1 0 1 D = 1 0 1  0 1 0 1 1 0     c) Realice la siguiente operación matricial: D ⋅ C − C ⋅ D Ejemplo 2. En un instituto I hay alumnos de tres pueblos, A, B y C. La distancia entre A y B es 6 km, la de B a C es 7 km, la de A a C es 10 km y la de A a I es 8 km. Una empresa de transporte escolar hace dos rutas: la ruta 1 parte de B y recorre sucesivamente C, A e I; la ruta 2 parte de C y recorre sucesivamente B, A e I.

1. Determine la matriz M, 2x3, que expresa los kilómetros que recorren los alumnos de cada pueblo por cada ruta. 2. El número de alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo es: Pueblo A: 10 alumnos la ruta 1 y 9 alumnos la ruta 2. Pueblo B: 15 alumnos la ruta 1 y 8 alumnos la ruta 2. Pueblo C: 5 alumnos la ruta 1 y 9 alumnos la ruta 2. Determine la matriz N, 3x2, que indique los alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo. 3. Si la empresa cobra 12 céntimos por Km a cada persona, determine la matriz P = 0.12 M∙ N, e interprete cada uno de sus elementos.


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Ejemplo 3. En una empresa de fabricación de móviles hay 3 categorías de empleados: A, B y C y se fabrican dos tipos de móviles: M y P. Diariamente cada empleado de la categoría A fabrica 4 móviles del tipo M y 3 del tipo P, mientras que cada uno de la categoría B fabrica 5 móviles del tipo M y 4 del tipo P, y cada uno de la categoría C fabrica 6 móviles del tipo M y 5 móviles del tipo P. Para fabricar cada móvil del tipo M se necesitan dos chips y 4 conexiones y para fabricar cada móvil del tipo P 4 chips y 6 conexiones. a) Escriba una matriz X, 3x2, que describa el número de móviles de cada tipo y otra matriz Y, de orden 2, que exprese el número de chips y conexiones de cada tipo de móvil. b) Realice el producto de matrices X∙Y e indique qué expresa dicho producto. Ejemplo 4. Un proveedor que suministra materia prima a 3 fábricas, F, G y H, transporta una parte de sus envíos a cada fábrica por carretera y la otra parte por tren, según se indica en la matriz T, cuyos elementos son las toneladas de materia prima que recibe cada fábrica por cada vía de transporte.

F

G

H

 300 200 150  carretera  T =   400 250 200  tren Los precios del transporte de cada tonelada de materia prima son 200 euros por carretera y 180 euros por tren, como indica la matriz C = (200, 180). Explique qué operación debe efectuarse con estas matrices para determinar una nueva matriz cuyos elementos sean los costes de llevar este material a la fábrica. Ejemplo 5. Una persona tiene que comprar 2 kg de manzanas, 1 kg de ciruelas y 1.5 kg de plátanos y otra necesita 0.5 kg de manzanas, 2.5 de ciruelas y 3 de plátanos. En la frutería A, los precios de las manzanas son 1.8 euros/kg, los de las ciruelas 2.1 y los de los plátanos 1.9 y en la frutería B son 1.7, 2.3 y 1.75 respectivamente. Se escriben las matrices

1.8 1.7    1 1 .5   2  y N =  2.1 2.3  M =   0 .5 2 .5 3  1.9 1.75    a) Determine M∙N e indique qué representa cada uno de los elementos de la matriz producto. b) ¿En qué frutería le conviene a cada persona hacer la compra?


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Ejemplo 6. Un fabricante de productos lácteos, que vende 3 tipos de productos, leche, queso y nata, a dos supermercados, S y H, ha anotado en la matriz A los pesos en kg de cada producto que vende a cada supermercado y , en la matriz B, las ganancias que obtiene en cada supermercado por cada kg de esos productos

leche queso nata Matriz A:

 500 300 250  S    460 300 200  H

leche queso nata Matriz B :  0.20

4 1  S    0.25 3.60 1.20  H

Efectúe el producto A ⋅ B t y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante. Ejemplo 7. Hallar cuántos caminos de longitud 2 y 3 conectan cada par de vértices del grafo siguiente:

Ejemplo 8. Cierta fabrica de colonias posee tres marcas X, Y, Z, distribuyendo su producción en cuatro almacenes. Los litros almacenados en el primer almacén vienen dados por la siguiente matriz.

En el segundo almacén tienen en doble que en el primero, en el tercero la mitad y en el cuarto el triple que en el primero.

¿Qué volumen de producción se tiene almacenado en total? Especifica los resultados por marca y tipo de colonia.


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