Aplikasi Matematika Teknik (Persamaan Liniear Orde 1)

Aplikasi Matematika Teknik (Persamaan Liniear Orde 1) Soal : Air masuk ke dalam tangki pada laju 10m3 dan keluar tangki dengan laju yang sama. Volume tangki adalah 1000 m3. Awalnya tangki mempunyai polutan 100g dan polutan bertambah dengan aliran yang masuk ke dalam tangki denga laju 2 g/m3. Polutan yang masuk ini bercampur rata di dalam tangki. Bagaimana bentuk persamaan differential yang menjelaskan banyaknya polutan di dalam kolam seiring bertambahnya waktu. (Jason, Math Tutor DVD)

Jawab. Gambar solusi anda, sehingga semua variabel yang terlibat dapat dirumuskan dengan jelas.

Laju air masuk = 10 m3/menit Polusi (x) yang masuk bersama air = 2 g/m3 (total =20 g/menit)

Vol. tank = 1000 M3 Polusi awal = 100 g

Laju air keluar = 10 m3/menit Jumlah Polutan yang keluar tdk dikatahui (bercampur rata dengan air).

Jumlah polutan didalam tangki berubah-ubah setiap menitnya, karena ada air yang masuk bersama polutan dan air yang keluar bersama polutan yang sudah bercampur. Maka perubahan polutan dalam tangki seiring dengan waktu dapat ditulis: Perubahan polutan terhadap waktu = polutan yang masuk –polutan yang keluar Polutan disimbolkan dengan (x). Waktu disimbolkan dengan (t).

Polutan yang masuk = jumlah laju air masuk x jumlah polutan yg masuk dengan air g g m3 = 10 x 2 3 = 20 menit menit m Polutan yang keluar = jumlah laju air keluar x jumlah polutan per volume yg keluar m3 g x g = x ( x) 3 menit 100 menit 1000m dx x = 20 − dt 100

10

Maka Persamaan Differensial yang harus diselesaikan adalah

dx x = 20 − dt 100 dx 2000 x = − dt 100 100 dx 2000 − x = dt 100 100 dx = dt (2000 − x) 100 dx = dt (2000 − x)

100 dx ∫ (2000 − x) = ∫ dt dx = dt 100∫ (2000 − x) ∫ mis u = 2000 − x du = − dx − du = ∫ dt u − 100 ln(u ) = t + c

100∫

− 100 ln(u ) = t + c bagi − 100

x = −ke

−t 100

+ 2000

100 = −ke 0 + 2000

t c ln(u ) = − +( ) k = 1900 100 − 100 c jadi persamaan diferensia dim ana ( )=C −t − 100 x(t ) = −1900e 100 + 2000 t ln(2000 − x) = − +C 100 Jadi persamaan diferensial yang ditanyakan exp onentkan _ agar _ ln _ hilang adalah 2000 − x = e 2000 − x = e

−t +C 100 −t 100

2000 − x = ke x = − ke

−t 100

eC , eC = k

+ 2000

dimana (t) dalam menit.

−t 100

+ 2000

Untuk mencari nilai k, kita memerlukan kondisi awal. Kondisi awal disoal disebutkan’awalnya konsentrasi polutan dalam tangki adalah 100 g’. Maka x(0)=100

x(t ) = −1900e

−t 100

Coba sebutkan nilai polutan pada saat 2,3,4,10,20,100 menit. Gambarkan grafiknya.