Hindawi Publishing Corporation Abstract and Applied Analysis Volume 2013, Article ID 639492, 17 pages http://dx.doi.org/10.1155/2013/639492
Research Article Approximate Controllability for Impulsive Riemann-Liouville Fractional Differential Inclusions Zhenhai Liu and Maojun Bin Guangxi Key Laboratory of Hybrid Computation and IC Design Analysis, College of Sciences, Guangxi University for Nationalities, Nanning, Guangxi 530006, China Correspondence should be addressed to Zhenhai Liu;
[email protected] Received 21 July 2013; Revised 25 September 2013; Accepted 2 November 2013 Academic Editor: Naseer Shahzad Copyright Š 2013 Z. Liu and M. Bin. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. We study the control systems governed by impulsive Riemann-Liouville fractional differential inclusions and their approximate controllability in Banach space. Firstly, we introduce the đđś1âđź -mild solutions for the impulsive Riemann-Liouville fractional differential inclusions in Banach spaces. Secondly, by using the fractional power of operators and a fixed point theorem for multivalued maps, we establish sufficient conditions for the approximate controllability for a class of Riemann-Liouville fractional impulsive differential inclusions, which is a generalization and continuation of the recent results on this issue. At the end, we give an example to illustrate the application of the abstract results.
1. Introduction The concept of controllability plays an important part in the analysis and design of control systems. Since Kalman [1] first introduced its definition in 1963, controllability of the deterministic and stochastic dynamical control systems in finite-dimensional and infinite-dimensional spaces is well developed in different classes of approaches, and more details can be found in papers [2â4]. Some authors [5â7] have studied the exact controllability for nonlinear evolution systems by using the fixed point theorems. In [5â7], to prove the controllability results for fractional-order semilinear systems, the authors made an assumption that the semigroup associated with the linear part is compact. But if đś0 -semigroup đ(đĄ) is compact or the operator đľ is compact, then the controllability operator is also compact and hence the inverse of it does not exist if the state space đ is infinite dimensional [8]. Thus, it is shown that the concept of exact controllability is difficult to be satisfied in infinite-dimensional space. Therefore, it is important to study the weaker concept of controllability, namely, approximate controllability for differential equations. In these years, several researchers [9â17] have studied it for control systems.
In [13], Sakthivel et al. studied on the approximate controllability of semilinear fractional differential systems: đ
đˇđź đĽ (đĄ) = đ´đĽ (đĄ) + đľđ˘ (đĄ) + đ (đĄ, đĽ (đĄ)) ,
đĄ â đ˝ = [0, đ] ,
đĽ (0) = đĽ0 , (1) where đ đˇđĄđź is Caputoâs fractional derivative of 0 < đź < 1 and đ´ is the infinitesimal generator of a đś0 -semigroup đ(đĄ) of bounded operators on the Hilbert space đ; the control function đ˘(â
) is given in đż2 (đ˝, đ); đ is a Hilbert space; đľ is a bounded linear operator from đ to đ; đ : đ˝ Ă đ â đ is a given function satisfying some assumptions and đĽ0 is an element of the Hilbert space đ. In [16], Sukavanam and Kumar researched approximate controllability of fractional-order semilinear delay systems: đđź đĽ (đĄ) = đ´đĽ (đĄ) + đľđ˘ (đĄ) + đ (đĄ, đĽđĄ , đ˘ (đĄ)) , đĄđź đĽ0 (đ) = đ (đ) ,
đĄ â [0, đ] ,
(2)
đ â [ââ, 0] ,
where 1/2 < đź < 1; đ´ : đˇ(đ´) â đ â đ is a closed linear operator with dense domain đˇ(đ´) generating
2
Abstract and Applied Analysis
a đś0 -semigroup đ(đĄ); the state đĽ(â
) takes values in the Banach Ě đľ is a space đ; the control function đ˘(â
) takes values in đ; 2 2 Ě bounded linear operator from đż ([0, đ]; đ) to đż ([0, đ]; đ); Ě â đ is nonlinear. the operator đ : [0, đ] Ă đś([ââ, 0]; đ) Ă đ If đĽ : [ââ, đ] â đ is a continuous function, then đĽđĄ : [ââ, 0] â đ is defined as đĽđĄ (đ) = đĽ(đĄ + đ) for đ â [ââ, 0] and đ â đś([ââ, 0]; đ). In [18], Rykaczewski studied the approximate controllability of an inclusion of the form đĽĚ (đĄ) â đ´đĽ (đĄ) + đš (đĄ, đĽ (đĄ)) + đľđ˘ (đĄ) ,
đĄ â đ˝ = [0, đ] ,
đĽ (0) = đĽ0 ,
(3)
where đ´ is a linear operator which generates a compact semigroup, đš is u.h.c. multivalued perturbation with weakly compact values, and the state đĽ(â
) takes values in the Hilbert space đť. đ is a Hilbert space of all admissible controls. đľ : đ â đť is a continuous linear operator. Fractional differential equations have recently proved to be valuable tools in the modeling of many phenomena in various fields of engineering, physics, and economics. Indeed, we can find numerous applications in viscoelasticity, electrochemistry, control, porous media, electromagnetic, and so forth; see [19â27] for example. As a consequence there was an intensive development of the theory of differential equations of fractional order. One can see the monographs of Kilbas et al. [28] and Podlubny [29] and the references therein. The definitions of Riemann-Liouville fractional derivatives or integrals with initial conditions are strong tools to resolve some fractional differential problems in the real world. Heymans and Podlubny [30] have verified that it was possible to attribute physical meaning to initial conditions expressed in terms of Riemann-Liouville fractional derivatives or integrals, and such initial conditions are more appropriate than physically interpretable initial conditions. Furthermore, they have investigated that the impulse response with RiemannLiouville fractional derivatives was seldom used in the fields of physics, such as viscoelasticity. In recent years, many authors [18, 27, 31] were devoted to mild solutions to fractional evolution equations with Caputo fractional derivative, and there have been a lot of interesting works. As for the study of the fractional differential systems with Caputo fractional derivative, we can refer to [27, 31, 32] for the existence results. Its approximate controllability was considered in [9, 13â16]. The approximate controllability of Caputo fractional inclusion systems has been investigated by [10]. We know that differential inclusions are strong tools to solve some problems in various fields of engineering, physics, and optimal control; see [10, 32â35]. However, the approximate controllability for the impulsive fractional differential evolution inclusion with Riemann-Liouville fractional derivatives is still an untreated topic in the literature. Motivated by the above work, in this paper, we consider the following system: đˇđĄđź đĽ (đĄ) â đ´đĽ (đĄ) + đš (đĄ, đĽ (đĄ)) + đľđ˘ (đĄ) , đĄ â đ˝ó¸ = (0, đ] \ {đĄ1 , đĄ2 , . . . , đĄđ } ,
óľ¨óľ¨ â Îđź01âđź + đĽ (đĄ)óľ¨ óľ¨óľ¨đĄ=đĄ = đźđ (đĽ (đĄđ )) , đ
đ = 1, 2, . . . , đ,
óľ¨ đźđĄ1âđź đĽ (đĄ)óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đĄ=0 = đĽ0 â đ, (4) where 1/2 < đź ⤠1 and đˇđĄđź denotes the Riemann-Liouville fractional derivative of order đź with the lower limit zero. đš : đ˝ Ă đ â P(đ) := 2đ \ {0} is a nonempty, bounded, closed, and convex multivalued map. đ´ : đˇ(đ´) â đ â đ is the infinitesimal generator of a đś0 -semigroup đ(đĄ) (đĄ ⼠0) on a Banach space đ. 0 = đĄ0 < đĄ1 < â
â
â
< đĄđ < đĄđ+1 = đ, đźđ : 1âđź + 1âđź â 1âđź + đ ół¨â đ, Îđź01âđź + đĽ(đĄđ ) = đź0+ đĽ(đĄđ ) â đź0+ đĽ(đĄđ ), đź0+ đĽ(đĄđ ) and 1âđź â 1âđź đź0+ đĽ(đĄđ ) denote the right and the left limits of đź0+ đĽ(đĄ) at đĄ = đĄđ , đ = 1, 2, . . . , đ. The control function đ˘(đĄ) takes value in đ = đżđ ([0, đ]; đ), đ > 1/đź, and đ is a Banach space; đľ is a linear operator from đ to đżđ ([0, đ]; đ). The purpose of this paper is to provide some suitable sufficient conditions for the existence of mild solutions and approximate controllability results for the impulsive fractional abstract Cauchy problems with Riemann-Liouville fractional derivatives. The main tools used in our study are fixed point theorem, semigroup theory for multivalued maps, and the theory from fractional differential equations. The rest of this paper is organized as follows. In Section 2, we present some preliminaries to prove our main results. In Section 3, by applying some standard fixed point principles, we prove the existence of the mild solutions for semilinear fractional differential equations, and the approximate controllability of the system (4) is proved. In Section 4, we give an example to illustrate our main results.
2. Preliminaries In this section, we introduce some basic definitions and preliminaries which are used throughout this paper. The norm of a Banach space đ will be denoted by â â
âđ . đż đ (đ, đ) denotes the space of bounded linear operators from đ to đ. For the uniformly bounded đś0 -semigroup đ(đĄ) (đĄ ⼠0), we set đ := supđĄâ[0,â) âđ(đĄ)âđż đ (đ) < â. Let đś(đ˝, đ) denote the Banach space of all đ value continuous functions from đ˝ = [0, đ] to đ with the norm âđĽâđś = supđĄâđ˝ âđĽ(đĄ)âđ . Let đś1âđź (đ˝, đ) = {đĽ : đĄ1âđź đĽ(đĄ) â đś(đ˝, đ)} with the norm âđĽâđś1âđź = sup {đĄ1âđź âđĽ (đĄ)âđ : đĄ â đ˝} .
(5)
Obviously, the space đś1âđź (đ˝, đ) is a Banach space. To define the mild solutions of (4), we also consider the Banach space đđś1âđź (đ˝, đ) = {đĽ : (đĄ â đĄđ )1âđź đĽ(đĄ) â đś((đĄđ , đĄđ+1 ], đ), limđĄ â đĄđ+ (đĄ â đĄđ )1âđź đĽ(đĄ) exist, and đĽ(đĄđâ ) with đĽ(đĄđâ ) = đĽ(đĄđ ), đ = 0, 1, 2, . . . , đ} with the norm âđĽâđđś1âđź = max {sup (đĄ â đĄđ )
1âđź
âđĽ (đĄ)âđ : đĄ â (đĄđ , đĄđ+1 ] ,
đ = 0, 1, 2, . . . , đ} .
(6)
It is easily known that the space đđś1âđź (đ˝, đ) is a Banach space.
Abstract and Applied Analysis
3
Let (đ, đ) be a metric space. We use the notations
Proof. If đĄ â [0, đĄ1 ], then, by Lemma 3, we easily get đźâ1 óľ¨ đĄ . đź0đź+ đˇ0đź+ đĽ (đĄ) = đĽ (đĄ) â đĽ1âđź (đĄ)óľ¨óľ¨óľ¨đĄ=0 Î (đź)
đđđ (đ) = {đ â P (đ) : đ is closed} , đđ (đ) = {đ â P (đ) : đ is bounded} , đđV (đ) = {đ â P (đ) : đ is convex} ,
(7)
Firstly, let us recall the following basic definitions from fractional calculus. For more details, one can see [28, 29]. Definition 1. The integral đźđĄđź đ (đĄ) =
đĄ 1 ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đ (đ ) đđ , Î (đź) 0
If đĄ â (đĄ1 , đĄ2 ], since đźđĄđź đˇđĄđź đĽ (đĄ) =
đđđ (đ) = {đ â P (đ) : đ is compact} .
đĄ đ 1 = { ⍠(đĄ â đ )đź đż đˇđĄđź đĽ (đ ) đđ } , đđĄ Î (đź + 1) 0
then, by (13), we have
(8)
is called Riemann-Liouville fractional integral of order đź, where Î is the gamma function.
=
đĄ đ 1 ⍠(đĄ â đ )đź {đź01âđź + đĽ (đ )} đđ Î (đź + 1) 0 đđ
=
1 Î (đź + 1) Î (1 â đź)
Definition 2. For a function đ(đĄ) given in the interval [0, â), the expression đ đ đĄ 1 ( ) ⍠(đĄ â đ )đâđźâ1 đ (đ ) đđĄ, đˇđĄđź đ (đĄ) = Î (đ â đź) đđĄ 0
đĄ
à ⍠(đĄ â đ )đź 0
(9)
=
à ⍠(đĄ â đ )đź 0
+
Lemma 3 (see [28]). Let đź > 0, đ = [đź] + 1, and let đĽđâđź (đĄ) = đźđĄđâđź đĽ(đĄ) be the fractional integral of order đ â đź. If đĽ(đĄ) â đż1 (đ˝, đ) and đĽđâđź (đĄ) â đ´đśđ (đ˝, đ), then one has the following equality: đĽ(đâđ) (0) đźâđ đźđĄđź đˇđĄđź đĽ (đĄ) = đĽ (đĄ) â â đâđź đĄ . Î (đź â đ + 1) đ=1
đĄ
đĄ1
+ (10)
Lemma 4. Let 0 < đź ⤠1, and let đĽ1âđź (đĄ) = đźđĄ1âđź đĽ(đĄ) be the fractional integral of order 1 â đź. If đĽ(đĄ) â đđś1âđź (đ˝, đ) and đĽ1âđź (đĄ) â đđś(đ˝, đ), then one has the following equality: đźđĄđź đˇđĄđź đĽ (đĄ)
(11)
where ÎđĽ1âđź (đĄđ ) = đĽ1âđź (đĄđ+ ) â đĽ1âđź (đĄđâ ), đ = 1, 2, . . . , đ.
đĄ
đĄ1
đ đ ⍠(đ â đ)1âđźâ1 đĽ (đ) đđ đđ đđ đĄ1
1 Î (đź) Î (1 â đź) đĄ1
đ
0
0
à ⍠(đĄ â đ )đźâ1 ⍠(đ â đ)1âđźâ1 đĽ (đ) đđ đđ +
1 Î (đź + 1) Î (1 â đź)
óľ¨óľ¨đ =đĄ1 đ óľ¨ Ă [(đĄ â đ )đź ⍠(đ â đ)1âđźâ1 đĽ (đ) đđ]óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨đ =0 0
đĄ â [0, đĄ1 ] ,
đĄ â (đĄđ , đĄđ+1 ] ,
đ đĄ1 ⍠(đ â đ)1âđźâ1 đĽ (đ) đđ đđ đđ 0
1 Î (đź + 1) Î (1 â đź)
à ⍠(đĄ â đ )đź =
đ đ ⍠(đ â đ)1âđźâ1 đĽ (đ) đđ đđ đđ 0
1 Î (đź + 1) Î (1 â đź)
à ⍠(đĄ â đ )đź
đ
In order to study the đđś-mild solutions of (4) in Banach space đđś1âđź (đ˝, đ), we give the following results which will be used throughout this paper.
đ đ ⍠(đ â đ)1âđźâ1 đĽ (đ) đđ đđ đđ 0
1 Î (đź + 1) Î (1 â đź) đĄ1
where đ = [đź] + 1 and [đź] denotes the integer part of number đź, is called the Riemann-Liouville fractional derivative of order đź.
đźâ1 óľ¨óľ¨ đĄ { đĽ â đĽ (đĄ) (đĄ) óľ¨ { 1âđź óľ¨đĄ=0 Î (đź) , { { { { { { { { đ ÎđĽ1âđź (đĄđ ) ={ đźâ1 đĽ â (đĄ â đĄđ ) â (đĄ) { { { Î (đź) { đ=1 { { đźâ1 { { óľ¨ đĄ { â đĽ1âđź (đĄ)óľ¨óľ¨óľ¨đĄ=0 , Î (đź) {
đĄ 1 ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đż đˇđĄđź đĽ (đ ) đđ Î (đź) 0
đĄ 1 ⍠(đĄ â đ )đź đż đˇđĄđź đĽ (đ ) đđ Î (đź + 1) 0
đź > 0,
(12)
+
1 Î (đź) Î (1 â đź) đĄ
đĄ1
đĄ1
0
à ⍠(đĄ â đ )đźâ1 ⍠(đ â đ)1âđźâ1 đĽ (đ) đđ đđ +
1 Î (đź + 1) Î (1 â đź)
(13)
4
Abstract and Applied Analysis óľ¨óľ¨đ =đĄ đĄ1 óľ¨ Ă [(đĄ â đ )đź ⍠(đ â đ)1âđźâ1 đĽ (đ) đđ]óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨đ =đĄ1 0
Ě is the Laplace of đĽ defined by where đĽ(đ) â
đĽĚ (đ) = ⍠đâđđĄ đĽ (đĄ) đđĄ,
1 + Î (đź) Î (1 â đź)
0
đĄ
đ
đĄ1
đĄ1
đ
1âđźâ1
Ă [(đĄ â đ ) ⍠(đ â đ) đĄ1
=
óľ¨óľ¨đ =đĄ óľ¨ đĽ (đ) đđ]óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨ óľ¨óľ¨đ =đĄ1
đĄ â (0, đ] ,
0
đ
đźâ1
1âđźâ1
đĄ1
đĄ
(đ â đ)
đđ
0
đĄ1
đĽ (đĄ) đĄ
{ đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0 + ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) â (đ ) đđ , { { { 0 { { { đĄ â [0, đĄ1 ] , { { { đ { { đźâ1 1âđź đźâ1 = {đĄ đđź (đĄ) đĽ0 + â đđź (đĄ â đĄđ ) (đĄ â đĄđ ) Îđź0+ đĽ (đĄđ ) { { đ=1 { { đĄ { { + ⍠â đ )đźâ1 đ â đ ) â đđ , { (đĄ (đ ) { đź (đĄ { { 0 { đĄ â (đĄđ , đĄđ+1 ] , {
1 Î (đź) Î (1 â đź) đĄ
đĄ
đĄ1
đ
à ⍠đĽ (đ) đđ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 (đ â đ)1âđźâ1 đđ đĽ1âđź (0) đź ÎđĽ1âđź (đĄ1 ) đź đĄ â (đĄ â đĄ1 ) Î (đź + 1) Î (đź + 1) đĄ
0
â
Thus, by (13) and (14), we get đĽ1âđź (0) đźâ1 ÎđĽ1âđź (đĄ1 ) đźâ1 đĄ â (đĄ â đĄ1 ) . Î (đź) Î (đź) (15)
đđź (đĄ) = đź ⍠đđđź (đ) đ (đĄđź đ) đđ, 0
1 đđź (đ) = đâ1â(1/đź) đđź (đâ1/đź ) , đź Î (đđź + 1) 1â đđź (đ) = â (â1)đâ1 đâđđźâ1 sin (đđđź) , đ đ=1 đ!
(21)
đ â (0, â) ,
Similarly, if đĄ â (đĄđ , đĄđ+1 ], đ = 2, . . . , đ, we can get đźđĄđź đˇđĄđź đĽ (đĄ) đ
đźâ1 (16) ÎđĽ1âđź (đĄđ ) đźâ1 óľ¨ đĄ (đĄ â đĄđ ) â đĽ1âđź (đĄ)óľ¨óľ¨óľ¨đĄ=0 . Î (đź) Î (đź) đ=1
= đĽ (đĄ) â â
The proof is completed. The Laplace transform formula for the Riemann-Liouville fractional integral is defined by 1 đż {đźđĄđź đĽ (đĄ) ; đ} = đź đĽĚ (đ) , đ
(20)
where đ = 1, 2, . . . , đ,
đĽ1âđź (0) đź ÎđĽ1âđź (đĄ1 ) đź đĄ â (đĄ â đĄ1 ) . Î (đź + 1) Î (đź + 1) (14)
đźđĄđź đˇđĄđź đĽ (đĄ) = đĽ (đĄ) â
(19)
then, đĽ satisfies the following equation:
à ⍠đĽ (đ) đđ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 (đ â đ)1âđźâ1 đđ
= ⍠đĽ (đ) đđ â
đ = 1, 2, . . . , đ,
óľ¨ đźđĄ1âđź đĽ (đĄ)óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đĄ=0 = đĽ0 â đ,
1 + Î (đź) Î (1 â đź)
â
đ = 1, 2, . . . , đ,
đ
à ⍠đĽ (đ) đđ ⍠(đĄ â đ )
+
đĄ ≠ đĄđ ,
óľ¨ ÎđźđĄ1âđź đĽ (đĄ)óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đĄ=đĄ = đźđ (đĽ (đĄđâ )) , đĄ1
đ is a constant.
đˇđĄđź đĽ (đĄ) = đ´đĽ (đĄ) + â (đĄ) ,
1 Î (đź) Î (1 â đź) đĄ1
(18)
Lemma 5. Let đź â (0, 1] and â â đżđ (đ˝, đ), đ > 1/đź; if đĽ(đĄ) â đđś1âđź (đ˝, đ), đĽ1âđź (đĄ) â đđś(đ˝, đ), and đĽ is a solution of the following problem:
1 Î (đź + 1) Î (1 â đź) đź
|đĽ (đĄ)| ⤠đđ ,
đ
đđ > đ,
à ⍠(đĄ â đ )đźâ1 ⍠(đ â đ)1âđźâ1 đĽ (đ) đđ đđ +
đđĄ
(17)
where đđź is a probability density function defined on (0, â); that is, đđź (đ) ⼠0,
đ â (0, â) ,
â
⍠đđź (đ) đđ = 1. 0
(22)
Proof. We observe that đĽ(â
) can be decomposed to đ(â
) + đ(â
), where đ is the continuous mild solution for đˇđĄđź đ (đĄ) = đ´đ (đĄ) + â (đĄ) ,
đĄ â (0, đ] ,
óľ¨ đźđĄ1âđź đ (đĄ)óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đĄ=0 = đĽ0 â đ,
(23)
Abstract and Applied Analysis
5
and đ is the đđś1âđź -mild solution for
Hence, it follows from (28) and (30) that
đˇđĄđź đ (đĄ) = đ´đ (đĄ) , đĄ â (0, đ] ,
đĄ ≠ đĄđ ,
â
đ = 1, 2, . . . , đ,
óľ¨ ÎđźđĄ1âđź đ (đĄ)óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đĄ=đĄ = đŚđ ,
đ = 1, 2, . . . , đ,
đ
óľ¨ đźđĄ1âđź đ (đĄ)óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đĄ=0
(24)
đź
⍠đâđ đĄ đ (đĄ) đĽ0 đđĄ 0
â
đź
= ⍠đâ(đđ ) đ (đ đź ) đĽ0 đđ đź
= 0 â đ.
â
Indeed, by adding together (23) and (24), it follows by (19). Since đ is continuous, then đ(đĄđ+ ) = đ(đĄđâ ), đ = 1, 2, . . . , đ. On the other hand, any solution of (19) can be decomposed to (23) and (24). So we show the results by the following. At first, we calculate the mild solution of (23). Apply Riemann-Liouville fractional integral operator on both sides of (23); then, by Lemma 3, we get đ (đĄ) = =
óľ¨ đźđĄ1âđź đ (đĄ)óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đĄ=0 Î (đź)
(đĄ = đ đź )
0
đź
= đź ⍠đâ(đđ ) đ (đ đź ) đ đźâ1 đĽ0 đđ 0
â
= đźâŹ đđź (đ) đâđđ đ đ (đ đź ) đ đźâ1 đĽ0 đđ đđ 0
â
= đźâŹ đđź (đ) đâđđ˘ đ ( 0
đĄđźâ1 + đźđĄđź đ´đ (đĄ) + đźđĄđź â (đĄ)
â
0
0
= ⍠đâđđ˘ [đź ⍠đđź (đ) đ ( (25)
đźâ1
â
đ˘đź đ đźâ1 ) đĽ đđ˘ đđ đđź đđź 0
đĄ đĽ + đźđź đ´đ (đĄ) + đźđĄđź â (đĄ) . Î (đź) 0 đĄ
â
(đ˘ = đđ )
đ˘đź đ đźâ1 ) đĽ đđ] đđ˘, đđź đđź 0
đź
⍠đâđ đĄ đ (đĄ) Ěâ (đ) đđĄ 0
â
That is,
â
đź
= ⍠đâđ đĄ đ (đĄ) [⍠đâđđ â (đ ) đđ ] đđĄ
đĄ đĄđźâ1 1 đĽ0 + đ (đĄ) = ⍠(đĄ â đ )đźâ1 [đ´đ (đ ) + â (đ )] đđ . Î (đź) Î (đź) 0 (26)
đĚ (đ) = ⍠đâđđĄ đ (đĄ) đđĄ, 0
0
0
0
â
đź
0
= â đźđđź (đ) đâđ(]+đ ) đ (
0
0
Consider the one-sided stable probability density
đđź (đ) đđ = đ
,
đź â (0, 1) .
â
0
đ
Ă
(29)
(đ â đ )đź ) đđź
(đ â đ )đźâ1 â (đ ) đđ đđ đđ đđź
â
đ
â
0
0
0
= ⍠đâđđ [đź ⍠⍠đđź (đ) đ (
whose Laplace transformation is given by âđđź
â
(30)
(] = đđ)
]đź ]đźâ1 ) â (đ ) đ] đđ đđ đđź đđź
= ⏠⍠đźđđź (đ) đâđđ đ (
đ â (0, â) ,
âđđ
]đź ) đđź
]đźâ1 âđđ đ â (đ ) đ] đđ đđ đđź
â
đź
Î (đđź + 1) 1â đđź (đ) = â (â1)đâ1 đâđđźâ1 sin (đđđź) , đ đ=1 đ!
Ă
(28)
= ⍠đâđ đĄ đ (đĄ) đĽ0 đđĄ + ⍠đâđ đĄ đ (đĄ) Ěâ (đ) đđĄ.
0
â
â
â1 Ě
(đĄ = đđź )
= â đźđđź (đ) đâđđđ đ (đđź ) đđźâ1 đâđđ â (đ ) đđ đđ đđ = â đźđđź (đ) đâđ] đ (
= (đđź đź â đ´) đĽ0 + (đđź đź â đ´) â (đ)
⍠đ
(31) đź
0
Ěâ (đ) = ⍠đâđđĄ â (đĄ) đđĄ (27)
â1
â
đź
0
â
1 1 1 đĽ + đ´đĚ (đ) + đź Ěâ (đ) đđź 0 đđź đ â
â
= ⏠đâđ đĄ đ (đĄ) đâđđ â (đ ) đđ đđĄ = ⏠đâ(đđ) đ (đđź ) đđđźâ1 đâđđ â (đ ) đđ đđ
to (26), we obtain đĚ (đ) =
0
â
Let đ > 0; taking the Laplace transformations â
0
Ă
(đ = ] + đ )
(đ â đ )đź ) đđź
(đ â đ )đźâ1 â (đ ) đđ đđ ] đđ. đđź
6
Abstract and Applied Analysis According to the above work, we get â
â
0
0
đĚ (đ) = ⍠đâđđĄ [đź ⍠đđź (đ) đ ( đĄ
â
0
0
where
đĄđź đĄđźâ1 ) đĽ đđ đđź đđź 0
+ đź ⍠⍠đđź (đ) đ ( Ă
đđ (đĄ) = {
(đĄ â đ )đź ) đđź
(đĄ â đ )đźâ1 â (đ ) đđ đđ ] đđĄ. đđź (32)
đĄđź đĄđźâ1 đ (đĄ) = đź ⍠đđź (đ) đ ( đź ) đź đĽ0 đđ đ đ 0
đźđ (đĽ (đĄđâ )) đâđđĄđ 1 + đź đ´Ě đ (đ) . đź đ đ đ=1 đ
đĚ (đ) = â
đ
0
â1
đĚ (đ) = â (đđź đź â đ´) đźđ (đĽ (đĄđâ )) đâđđĄđ .
â
1 â1â(1/đź) đđź (đâ1/đź ) đđ (đĄđź đ) đĄđźâ1 đĽ0 đđ đ đź
Notice that the Laplace transform of đĄđźâ1 đđź (đĄ)đŚđ is (đđź đź â đ´)â1 đŚđ . Thus one can calculate the mild solution of (24) as đ
đźâ1
đ (đĄ) = â đđ (đĄ) (đĄ â đĄđ ) đ=1
đĄ â 1 + đź ⍠⍠(đĄ â đ )đźâ1 đâ1â(1/đź) đđź (đâ1/đź ) đđ đź 0 0
(33)
đ
đźâ1
+ â đđ (đĄ) (đĄ â đĄđ )
â
(41)
đĽ (đĄ) = đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0
Let 1 đđź (đ) = đâ1â(1/đź) đđź (đâ1/đź ) , đź
đđź (đĄ â đĄđ ) đźđ (đĽ (đĄđâ )) .
By the above work, the đđś1âđź -mild solution of (19) is given by
Ă ((đĄ â đ )đź đ) â (đ ) đđ đđĄ.
đ=1
đđź (đĄ â đĄđ ) đźđ (đĽ (đĄđâ ))
(42)
đĄ
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) â (đ ) đđ .
(34)
đđź (đĄ) = đź ⍠đđđź (đ) đ (đĄđź đ) đđ. 0
0
That is,
Then, we get
đĽ (đĄ)
đĄ
đ (đĄ) = đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0 + ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) â (đ ) đđ . (35) 0
Now we calculate the đđś1âđź -mild solution of (24). Applying Riemann-Liouville fractional integral operator on both sides of (24), then by Lemma 4, we get đ (đĄ) đĄ 1 { ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đ´đ (đ ) đđ , { { Î (đź) { 0 { { { { đ đź (đĽ (đĄâ )) đźâ1 đ = {â đ (đĄ â đĄđ ) { Î (đź) { { đ=1 { đĄ { { { + 1 ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đ´đ (đ ) đđ , { Î (đź) 0
(40)
đ=1
(đĄ â đ )đź (đĄ â đ )đźâ1 + đź ⍠⍠đđź (đ) đ ( ) â (đ ) đđ đđĄ đđź đđź 0 0 = đźâŤ
(39)
That is,
â
â
(38)
Let đ > 0; taking the Laplace transformation to (37), we obtain
Now, we can invert the Laplace transform to (20) and obtain
đĄ
0, đĄ ⤠đĄđ , 1, đĄ > đĄđ .
đĄ â [0, đĄ1 ] ,
đĄ
{ đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0 + ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) â (đ ) đđ , { { { 0 { { { đĄ â [0, đĄ1 ] , { { { đ { { đźâ1 â đźâ1 = {đĄ đđź (đĄ) đĽ0 + â đđź (đĄ â đĄđ ) (đĄ â đĄđ ) đźđ (đĽ (đĄđ )) { { đ=1 { { đĄ { { + ⍠â đ )đźâ1 đ â đ ) â đđ , { (đĄ (đ ) { đź (đĄ { { 0 { đĄ â (đĄđ , đĄđ+1 ] , {
(36)
(43)
where đ = 1, 2, . . . , đ, â
đĄ â (đĄđ , đĄđ+1 ] .
đđź (đĄ) = đź ⍠đđđź (đ) đ (đĄđź đ) đđ, 0
The above equation (36) can be rewritten as đźđ (đĽ (đĄđâ )) đźâ1 (đĄ â đĄđ ) đđ (đĄ) Î (đź) đ=1
đđź (đ) =
đ
đ (đĄ) = â
đĄ 1 + ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đ´đ (đ ) đđ , Î (đź) 0
(37)
1 â1â(1/đź) đđź (đâ1/đź ) , đ đź
Î (đđź + 1) 1â đđź (đ) = â (â1)đâ1 đâđđźâ1 sin (đđđź) , đ đ=1 đ! đ â (0, â) ,
(44)
Abstract and Applied Analysis
7
where đđź is a probability density function defined on (0, â); that is, đđź (đ) ⼠0,
đ â (0, â) ,
â
⍠đđź (đ) đđ = 1. 0
(45)
This completes the proof of the lemma. According to Lemma 5, we give the following definition. Definition 6. A function đĽ â đđś1âđź (đ˝, đ) is called a mild solution of (4) if đźđĄ1âđź đĽ(đĄ)|đĄ=0 = đĽ0 and there exits đ â đż1 (đ˝ < đ) such that đ(đĄ) â đš(đĄ, đĽ(đĄ)) a.e. on đĄ â đ˝ and đĽ (đĄ) đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0 { { đĄ { { { + ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) [đľđ˘ (đ ) + đ (đ , đĽ (đ ))] đđ , { { { 0 { { { { đĄ â [0, đĄ1 ] , { { đ = { đźâ1 đźâ1 â {đĄ đđź (đĄ) đĽ0 + â đđź (đĄ â đĄđ ) (đĄ â đĄđ ) đźđ (đĽ (đĄđ )) { { { đ=1 { { đĄ { { đźâ1 { { { + ⍠(đĄ â đ ) đđź (đĄ â đ ) [đľđ˘ (đ ) + đ (đ , đĽ (đ ))] đđ , { 0 { đĄ â (đĄđ , đĄđ+1 ] , { (46) where đ = 1, 2, . . . , đ, â
đđź (đĄ) = đź ⍠đđđź (đ) đ (đĄđź đ) đđ, 0
1 đđź (đ) = đâ1â(1/đź) đđź (đâ1/đź ) , đź 1â Î (đđź + 1) đđź (đ) = â (â1)đâ1 đâđđźâ1 sin (đđđź) , đ đ=1 đ!
(47)
A multivalued map đş : đ â P(đ) is convex (closed) valued if đş(đĽ) is convex (closed) for all đĽ â đ. đş is bounded on bounded sets if đş(đľ) = âđĽâđľ . đş(đĽ) is bounded on đ for any bounded set đľ of đ; that is, supđĽâđľ {sup{âđŚâ : đŚ â đş(đĽ)}} < â. đş is called upper semicontinuous (u.s.c.) on đ if, for each đĽ0 â đ, the set đş(đĽ0 ) is a nonempty closed subset of đ, and if, for each open set đ of đ containing đş(đĽ0 ), there exists an open neighborhood đ of đĽ0 such that đş(đ) â đ. đş is said to be completely continuous if đş(đľ) is relatively compact for every đľ â đđ (đ). If the multivalued map đş is completely continuous with nonempty compact values, then đş is u.s.c. if and only if đş has a closed graph (i.e., đĽđ â đĽâ , đŚđ â đŚâ , đŚđ â đş(đĽđ ) imply đŚâ â đş(đĽâ )). We say that đş has a fixed point if there is a đĽ â đ such that đĽ â đş(đĽ). A multivalued map đş : đ˝ â đđđ (đ) is said to be measurable if for each đĽ â đ the function đ : đ˝ â đ
+ defined by đ(đĄ) = đ(đĽ, đş(đĄ)) = inf{âđĽ â đ§â : đ§ â đş(đĄ)} is measurable. Definition 8. The system (4) is said to be exactly controllable on đ˝, if, for all đĽ0 , đĽ1 â đ, there exists a control đ˘ â đżđ (đ˝, đ) (đ > 1/đź) such that the mild solution of (4) satisfies đĽ(0; đ˘) = đĽ0 and đĽ(đ; đ˘) = đĽ1 . Definition 9. The system (4) is said to be approximately controllable on the interval đ˝, if, for all đĽ0 â đ, one has R(đ, đĽ0 ) = đ, where R(đ, đĽ0 ) = {đĽ(đ; đ˘) : đ˘ â đżđ (đ˝, đ) (đ > 1/đź), đĽ(0; đ˘) = đĽ0 } is the reachable set of system (4) with the initial values đĽ0 , đĽ1 at the terminal time đ. It is convenient at this point to introduce two relevant operators: đ
Î0đ = ⍠(đ â đ )2đźâ2 đđź (đ â đ ) đľđľâ đđźâ (đ â đ ) đđ , 0
đ â (0, â) ,
1 < đź ⤠1, 2
where đđź is a probability density function defined on (0, â); that is, đđź (đ) ⼠0, đ â (0, â) ,
â
⍠đđź (đ) đđ = 1. 0
(48)
Due to the work of the paper [31], we have the following result. Lemma 7. The operator đđź (đĄ) has the following properties. (i) For any fixed đĄ ⼠0, đđź (đĄ) is linear and bounded operator; that is, for any đĽ â đ, đ óľŠ óľŠóľŠ âđĽâ . óľŠóľŠđđź (đĄ) đĽóľŠóľŠóľŠ ⤠Π(đź)
â1
đ
(đ, Î0đ ) = (đđź + Î0đ ) ,
(50)
đ > 0,
where đľâ denotes the adjoint of đľ and đđźâ (đĄ) is the adjoint of đđź (đĄ). It is straightforward that the operator Î0đ is a linear bounded operator. We consider the following linear fractional differential system: đ
đˇđź đĽ (đĄ) = đ´đĽ (đĄ) + đľđ˘ (đĄ) ,
1 < đź ⤠1, đĄ â đ˝ = (0, đ] , 2
óľ¨ đźđĄ1âđź đĽ (đĄ)óľ¨óľ¨óľ¨óľ¨đĄ=0 = đĽ0 â đ.
(51)
(49)
Lemma 10. The linear fractional differential system (51) is approximately controllable on đ˝ if and only if đđ
(đ, Î0đ ) â 0 as đ â 0+ in the strong operator topology.
Now, we also introduce some basic definitions on multivalued maps. For more details, see [36â38].
The proof of this lemma is a straightforward adaptation of the proof of [3].
(ii) đđź (đĄ) (đĄ ⼠0) is strongly continuous.
8
Abstract and Applied Analysis
Lemma 11. Let đ¸ be a Banach space and let W â đż1 (đ˝, đ¸) be integrably bounded. If, for all đĄ â đ˝, there is a relatively weakly compact set đś(đĄ) â đ¸ such that đ¤(đĄ) â đś(đĄ) for every đ¤ â W, then W is relatively weakly compact in đż1 (đ˝, đ¸). Lemma 12 (Lasota and Opial [39]). Let đ˝ be a compact real interval and let đ be a Banach space. The multivalued map đš : đ˝ Ă đ â Pđ,đđ,đV (đ) is measurable to đĄ for each fixed đĽ â đ, u.s.c. to đĽ for each đĄ â đ˝, and for each đĽ â đś(đ˝, đ) the set đđš,đĽ = {đ â đż1 (đ˝, đ) : đ(đĄ) â đš(đĄ, đĽ(đĄ)), đĄ â đ˝} is nonempty. Let Î be a linear continuous mapping from đż1 (đ˝, đ) to đś(đ˝, đ); then, the operator Î â đđš : đś (đ˝, đ) ół¨â Pđ,đđ,đV (đś (đ˝, đ)) , đĽ ół¨ół¨â (Î â đđš ) (đĽ) = Î (đđš,đĽ )
(52)
is a closed graph operator in đś(đ˝, đ) Ă đś(đ˝, đ).
3. Main Results In this section, we present our main result on approximate controllability of system (4). To do this, we first prove the existence of solutions for fractional control system. Secondly, we show that, under certain assumptions, the approximate controllability of (4) is implied by the approximate controllability of the corresponding linear system. For convenience, let us introduce some notations: đ˝=(
1 â đž (đźâđž)/(1âđž) 1âđž ) , đ đźâđž
đ3 đđľ2 đ2đźâ1 đ˝ đđ˝ . Î= + Î (đź) đ (2đź â 1) (Î (đź))3
(56)
đť(4): There exist constants đđ > 0, đ = 1, 2, . . . , đ, with (đ/Î(đź)) âđ đ=1 đđ < 1 such that 1âđź óľŠ óľŠ óľŠóľŠ óľŠ óľŠóľŠđźđ (đĽ) â đźđ (đŚ)óľŠóľŠóľŠ ⤠đđ (đĄ â đĄđ ) óľŠóľŠóľŠđĽ â đŚóľŠóľŠóľŠđ ,
âđĽ, đŚ â đ. (57)
Theorem 14. If the conditions đť(1)âđť(4) are held, then the system (4) has a mild solution.
đľđ = {đĽ â đđś1âđź (đ˝, đ) : âđĽâ ⤠đ, đ > 0}
đť(2): đš is a multivalued map satisfying đš : đ˝ Ă đ â Pđđ,đV (đ) which is measurable to đĄ for each fixed đĽ â đˇ, u.s.c. to đĽ for each đĄ â đ˝, and for each đĽ â đđś1âđź (đ˝, đ) the set (54)
is nonempty. đť(3): There exist a function đ(đĄ) â đż1/đž (đ˝, đ
+ ), đž â (0, đź), and a nondecreasing continuous function đ : â đ
+ , such that óľŠ óľŠ âđš (đĄ, đĽ (đĄ))âđ = sup {óľŠóľŠóľŠđ (đĄ)óľŠóľŠóľŠđ : đ (đĄ) â đš (đĄ, đĽ (đĄ))} (55) ⤠đ (đĄ) đ (âđĽâđˇ) ,
(58)
on the space đđś1âđź (đ˝, đ). We easily know that đľđ is a bounded, closed, and convex set in đđś1âđź (đ˝, đ). For đ > 0, for all đĽ(â
) â đđś1âđź (đ˝, đ), đĽ1 â đ, we take the control function as đ˘ (đĄ) = (đ â đĄ)đźâ1 đľâ đđźâ (đ â đĄ) đ
(đ, Î0đ ) đ (đĽ (â
)) ,
(59)
where đ (đĽ (â
)) = đĽ1 â đĄđźâ1 đđź (đ) đĽ0 đ
đźâ1
â â đđź (đĄ â đĄđ ) (đĄ â đĄđ )
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
đ
(53)
đť(1): đđź (đĄ) is compact, âđđ
(đ, Î0đ )â ⤠1.
đđš,đĽ = {đ â đż (đ˝, đ) : đ (đĄ) â đš (đĄ, đĽ (đĄ))}
đ (đ) âđâđż2 = đ < 1. đ
đ=1
Before stating and proving our main results, we introduce the following assumptions.
1
lim inf
đââ
Proof. We consider a set
Lemma 13 (see [37]). Let đˇ be a bounded, convex, and closed subset in the Banach space đ¸ and let đş : đˇ â 2đ \ {0} be a u.s.c. condensing multivalued map. If, for every đĽ â đˇ, đş(đĽ) is a closed and convex set in đˇ, then đş has a fixed point.
đđ = âđľâ ,
for a.e. đĄ â đ˝, for all đĽ â đˇ, and for each đ > 0, there exists 0 < đ < 1, such that
â ⍠(đ â đ )đźâ1 đđź (đ â đ ) đ (đ ) đđ , 0
đ â đđš,đĽ . (60)
By this control, we define the operator ÎŚđ : đđś1âđź (đ˝, đ) â P(đđś1âđź (đ˝, đ)) as follows: ÎŚđ (đĽ) = {đ â đđś1âđź (đ˝, đ) : đ (đĄ) = đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0 đĄ
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đ (đ ) đđ 0
đĄ
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đľđ˘ (đ ) đđ , 0
đ â đđš,đĽ , đĄ â (0, đĄ1 ] , đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0 đ
đźâ1
+ â đđź (đĄ â đĄđ ) (đĄ â đĄđ ) đ=1
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
Abstract and Applied Analysis
9
đĄ
đĄ
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đ (đ ) đđ
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đľđľâ đđźâ (đ â đĄ) đ
(đ, Î0đ )
0
0
đĄ
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1
Ă [đĽ1 â đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0
0
Ă đđź (đĄ â đ ) đľđ˘ (đ ) đđ ,
đ
â â đđź (đĄ â đĄđ ) (đĄ â đĄđ ) đ=1
đ â đđš,đĽ , đĄ â (đĄđ , đĄđ+1 ] , đ = 1, 2, . . . , đ.} .
đ
â ⍠(đ â đ)
(61)
0
đđ (đĄ) = đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0 đ
+ â đđź (đĄ â đĄđ ) (đĄ â đĄđ )
đźâ1
đ=1
đđź (đ â đ)
(63) Since đđš,đĽ is convex (because đš has convex values), đđ1 + (1 â đ)đ2 â đđš,đĽ ; thus, đđ1 (đĄ) + (1 â đ)đ2 â ÎŚđ (đĽ). Step 2. For each đ > 0, there is a positive constant đ0 = đ(đ), such that ÎŚđ (đľđ0 ) â đľđ0 . If this is not true, then there exists đ > 0 such that, for every đ > 0, there exists a đĽ â đľđ such that ÎŚđ (đĽ) â̸ đľđ ; that is,
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
óľŠ óľŠóľŠ óľŠóľŠÎŚđ (đĽ)óľŠóľŠóľŠ ⥠sup {âđâđđś1âđź (đ˝,đ) : đ â ÎŚđ (đĽ)} > đ,
đĄ
đ (đĄ) = đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đđ (đ ) đđ 0
đĄ
đźâ1
đ
+ ⍠(đĄ â đ )
đźâ1
0
đđź (đĄ â
đ ) đľđľâ đđźâ
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
Ă [đđ1 (đ) + (1 â đ) đ2 (đ)] đđ] đđ .
We will show that, for all đ > 0, the operator ÎŚđ : đđś1âđź (đ˝, đ) â P(đđś1âđź (đ˝, đ)) has a fixed point. For the sake of convenience, we subdivide the proof into several steps. Step 1. For each đ > 0, the operator ÎŚđ (đĽ) is convex for each đĽ â đđś1âđź (đ˝, đ). In fact, if đ1 , đ2 â ÎŚđ (đĽ), then, for each đĄ â (đĄđ , đĄđ+1 ], đ = 1, 2, . . . , đ, there exist đ1 , đ2 â đđš,đĽ such that
đźâ1
(đ â
đźâ1
+ â đđź (đĄ â đĄđ ) (đĄ â đĄđ )
đĄ) đ
(đ, Î0đ )
đ=1
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
đĄ
đźâ1
Ă [đĽ1 â đĄ
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đ (đ ) đđ
đđź (đĄ) đĽ0
0
đĄ
đ
đźâ1
â â đđź (đĄ â đĄđ ) (đĄ â đĄđ ) đ=1 đ
â ⍠(đ â đ) 0
đźâ1
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đľđľâ đđźâ (đ â đĄ) đ
(đ, Î0đ )
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
0
Ă [đĽ1 â đđźâ1 đđź (đ) đĽ0
đđź (đ â đ) đđ (đ) đđ] đđ ,
đ
đ = 1, 2. (62)
đ=1 đ
â ⍠(đ â đ) 0
Let 0 ⤠đ ⤠1; then, for each đĄ â (đĄđ , đĄđ+1 ], đ = 1, 2, . . . , đ, we have
đźâ1
= đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0 + â đđź (đĄ â đĄđ ) (đĄ â đĄđ ) đ=1
đĄ
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) [đđ1 (đ ) + (1 â đ) đ2 (đ )] đđ 0
đźâ1
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
đđź (đ â đ) đ (đ) đđ] đđ , (64)
for some đđš,đĽ . By using Holderâs inequality and đť(3), we have
đđ1 (đĄ) + (1 â đ) đ2 (đĄ) đ
đźâ1
â â đđź (đ â đĄđ ) (đ â đĄđ )
đĄ
⍠(đĄ â đ )đźâ1 âđ˘ (đ )â đđ 0
â¤
đđđľ đ2đźâ1 đÎ (đź) (2đź â 1)
10
Abstract and Applied Analysis óľŠ óľŠ óľŠ óľŠ đ óľŠóľŠđĽ óľŠóľŠ Ă [óľŠóľŠóľŠđĽ1 óľŠóľŠóľŠ + óľŠ 0 óľŠ Î (đź)
Thus, 1âđź
đâ¤
đ
đ đźâ1 óľŠ óľŠ +â (đđ âđĽâ + đ(đ â đĄđ ) óľŠóľŠóľŠđźđ (0)óľŠóľŠóľŠ) Î (đź) đ=1
đđđźâ1 (đ â đĄđ ) Î (đź) đ
đ (đ âđĽâ Î (đź) đ đ=1
Ăâ
đđ (đ) đ˝ + âđâđż1/đž ] . Î (đź)
đźâ1
+ đ(đ â đĄđ )
(65)
1âđź
+
âđ (đĄ)â
đ2đźâ1 đ2 đđľ2 (đ â đĄđ )
(67)
đ (2đź â 1) (Î (đź))2
óľŠ óľŠ óľŠ óľŠ đ óľŠóľŠđĽ óľŠóľŠ Ă [ óľŠóľŠóľŠđĽ1 óľŠóľŠóľŠ + óľŠ 0 óľŠ Î (đź)
óľŠóľŠ đźâ1 óľŠ óľŠóľŠđĄ đđź (đĄ) đĽ0 óľŠóľŠóľŠ + (đĄ â đĄđ )1âđź óľŠ óľŠ
1âđź
⤠(đĄ â đĄđ ) đ
đ
đ đźâ1 óľŠ óľŠ (đđ âđĽâ + đ(đ â đĄđ ) óľŠóľŠóľŠđźđ (0)óľŠóľŠóľŠ)] Î (đź) đ=1
đźâ1 óľŠ óľŠ óľŠ óľŠ Ă â óľŠóľŠóľŠđđź (đĄ â đĄđ )óľŠóľŠóľŠ (đĄ â đĄđ ) óľŠóľŠóľŠđźđ (đĽ (đĄđâ ))óľŠóľŠóľŠ
+ â
đ=1
1âđź
+ đ (đ) Îâđâđż1/đž .
+ (đĄ â đĄđ ) đĄ
Dividing both sides by đ and taking the low limit as đ â â, we get
óľŠ óľŠóľŠ óľŠ Ă âŤ (đĄ â đ )đźâ1 óľŠóľŠóľŠđđź (đĄ â đ )óľŠóľŠóľŠ óľŠóľŠóľŠđ (đ )óľŠóľŠóľŠ đđ 0
1âđź
+ (đĄ â đĄđ )
1 ⤠lim inf đââ
đĄ
óľŠ óľŠ Ă âŤ (đĄ â đ )đźâ1 óľŠóľŠóľŠđđź (đĄ â đ )óľŠóľŠóľŠ âđľâ âđ˘ (đ )â đđ 1âđź
đđđźâ1 (đ â đĄđ ) Î (đź)
1âđź óľŠóľŠ óľŠóľŠ óľŠóľŠđĽ0 óľŠóľŠ + (đ â đĄđ )
đ
đ đźâ1 óľŠ óľŠ (đđ âđĽâ + đ(đ â đĄđ ) óľŠóľŠóľŠđźđ (0)óľŠóľŠóľŠ) Î (đź) đ=1 1âđź
đĄ
⍠(đĄ â đ ) 0
1âđź
đđđľ (đ â đĄđ ) + Î (đź) đđđźâ1 (đ â đĄđ ) Î (đź)
(66)
0
đđ (đĄ) = đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0
đ (đ ) đ (đ) đđ
⍠(đĄ â đ )
1âđź
â¤
đĄ
đźâ1
đźâ1
đ
đ=1
đ˘ (đ ) đđ
đĄ
+ ⍠(đĄ â đ )
1âđź óľŠóľŠ óľŠóľŠ óľŠóľŠđĽ0 óľŠóľŠ + (đ â đĄđ )
0
+
đ
đ
đđľ2 (đ
1âđź
â đĄđ )
đ (2đź â 1) (Î (đź))
2
óľŠ óľŠ óľŠ óľŠ đ óľŠóľŠđĽ óľŠóľŠ Ă [ óľŠóľŠóľŠđĽ1 óľŠóľŠóľŠ + óľŠ 0 óľŠ Î (đź) đ
đ đźâ1 óľŠ óľŠ (đđ âđĽâ + đ(đ â đĄđ ) óľŠóľŠóľŠđźđ (0)óľŠóľŠóľŠ)] Î (đź) đ=1
+ â
+ đ (đ) Îâđâđż1/đž .
(69) đđź (đĄ â đ ) đđ (đ ) đđ
đĄ
đ
2
đźâ1
đźđ (đĽ (đĄđ ))
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đľđ˘đ (đ ) đđ , 0
Ăâ
2đźâ1
đźâ1
+ â đđź (đĄ â đĄđ ) (đĄ â đĄđ )
đ đźâ1 óľŠ óľŠ (đđ âđĽâ + đ(đ â đĄđ ) óľŠóľŠóľŠđźđ (0)óľŠóľŠóľŠ) Î (đź) đ=1
(68)
Step 3. ÎŚđź (đĽ) is closed for each đĽ â đđś1âđź (đ˝, đ). Indeed, for each given đĽ â đđś1âđź (đ˝, đ), let {đđ }đâĽ0 â ÎŚđ (đĽ) such that đđ â đ in đđś1âđź (đ˝, đ). Then, there exists đđ â đđš,đĽ such that, for each đĄ â đ˝,
Ăâ
đ(đ â đĄđ ) + Î (đź)
đ (đ) âđâđż1/đž , đ
which is a contradiction to đť(3). Thus, for each đ > 0, there exists đ0 such that ÎŚđ (đĽ) maps đľđ0 into itself.
0
â¤
óľŠ óľŠóľŠ óľŠóľŠđźđ (0)óľŠóľŠóľŠ)
1âđź
Then, we obtain (đĄ â đĄđ )
1âđź óľŠóľŠ óľŠóľŠ óľŠóľŠđĽ0 óľŠóľŠ + (đ â đĄđ )
where đ˘đ (đĄ) = đľâ đđźâ (đ â đĄ) đ
(đ, Î0đ ) Ă [đĽ1 â đđźâ1 đđź (đ) đĽ0 đ
đźâ1
â â đđź (đ â đĄđ ) (đ â đĄđ ) đ=1
đ
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
â ⍠(đ â đ )đźâ1 đđź (đ â đ ) đđ (đ ) đđ ] . 0
(70)
Abstract and Applied Analysis
11 đĄ
Because of [40, Proposition 3.1], đđš,đĽ is weakly compact in đż1 (đ˝, đ) which implies that đđ converges weakly to some đ â đđš,đĽ in đż1 (đ˝, đ). Thus, đ˘đ â đ˘, and
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) 0
Ă đľđľâ đđźâ (đ â đĄ) đ
(đ, Î0đ )
đ˘ (đĄ) = đľâ đđźâ (đ â đĄ) đ
(đ, Î0đ )
Ă [đĽ1 â đđźâ1 đđź (đ) đĽ0
Ă [đĽ1 â đđźâ1 đđź (đ) đĽ0
đ
đ
đźâ1
â â đđź (đ â đĄđ ) (đ â đĄđ ) đ=1
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
đźâ1
â â đđź (đ â đĄđ ) (đ â đĄđ )
(71)
đ=1
đ
â ⍠(đ â đ)
đźâ1
0
đ
â ⍠(đ â đ )đźâ1 đđź (đ â đ ) đ (đ ) đđ ] . 0
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
đđź (đ â đ) đ (đ) đđ] đđ ,
đ â đđš,đĽ , đĄ â đ˝} .
Then, for each đĄ â đ˝,
(73)
đđ (đĄ) ół¨â đ (đĄ) đźâ1
=đĄ
According to [41, Corollary 2.2.1], we will prove that ÎŚ1đ is a contraction operator, while ÎŚ2đ is a completely continuous operator. Let us begin proving that ÎŚ1đ is a contraction operator. For any đĽ, đŚ â đ, we obtain
đđź (đĄ) đĽ0
đ
+ â đđź (đĄ â đĄđ ) (đĄ â đĄđ )
đźâ1
đ=1
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
đĄ
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đ (đ ) đđ 0
đĄ
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đľđľâ đđźâ (đ â đĄ) đ
(đ, Î0đ )
(72)
0
óľŠ óľŠóľŠ 1 óľŠóľŠ(ÎŚđ đĽ) (đĄ) â (ÎŚ1đ đŚ) (đĄ)óľŠóľŠóľŠ óľŠ óľŠ óľŠóľŠ đ óľŠóľŠ đźâ1 ⤠óľŠóľŠóľŠ â đđź (đĄ â đĄđ ) (đĄ â đĄđ ) đźđ (đĽ (đĄđâ )) óľŠóľŠđ=1 óľŠ đ
Ă [đĽ1 â đđźâ1 đđź (đ) đĽ0
â â đđź (đĄ â đĄđ ) (đĄ â đĄđ ) đ=1
đ
đźâ1
â â đđź (đ â đĄđ ) (đ â đĄđ ) đ=1
đ
â ⍠(đ â đ)
đźâ1
0
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
đđź (đ â đ) đ (đ) đđ] đđ .
Thus, we show that đ â ÎŚđ (đĽ). Step 4. ÎŚđ is u.s.c and condensing. We decompose ÎŚđ as ÎŚđ = ÎŚ1đ + ÎŚ2đ , where the operators 1 ÎŚđ and ÎŚ2đ are defined by đ
đźâ1
(ÎŚ1đ đĽ) (đĄ) = â đđź (đĄ â đĄđ ) (đĄ â đĄđ ) đ=1
đźâ1
đźđ (đĽ (đĄđâ )) ,
đĄ â đ˝, đ = 1, 2, . . . , đ, ÎŚ2đ (đĽ) = {đ â đđś1âđź (đ˝, đ) : đ (đĄ)
â¤
óľŠóľŠ
óľŠóľŠ đźđ (đŚ (đĄđâ ))óľŠóľŠóľŠ óľŠ
(74)
óľŠóľŠ
đ đ óľŠóľŠ óľŠ â đ óľŠđĽ â đŚóľŠóľŠóľŠ . Î (đź) đ=1 đ óľŠ
Then, ÎŚ1đ is a contraction operator, since (đ/Î(đź)) âđ đ=1 đđ < 1. Next, we prove that ÎŚ2đ is u.s.c and completely continuous. We subdivide the proof into several claims. Claim 1. There exists a positive constant đ such that ÎŚ2đ (đľđ ) â đľđ . By employing the technique used in Step 2, one can easily show that there exists đ > 0 such that ÎŚ2đ (đľđ ) â đľđ . Claim 2. ÎŚ2đ (đľđ ) is a family of equicontinuous functions. Let 0 ⤠đ ⤠đĄ1 ⤠đĄ2 ⤠đ. For each đĽ â đľđ , đ â ÎŚ2đ (đĽ), there exists đ â đđš,đĽ such that đ (đĄ) = đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0 đĄ
đźâ1
=đĄ
đđź (đĄ) đĽ0 đĄ
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đ (đ ) đđ 0
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đ (đ ) đđ
(75)
0
đĄ
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đľđ˘ (đ ) đđ , 0
đĄ â đ˝.
12
Abstract and Applied Analysis
Then, we have óľŠóľŠ óľŠ óľŠóľŠđ (đĄ2 ) â đ (đĄ1 )óľŠóľŠóľŠ óľŠóľŠ đĄ1 óľŠóľŠ đźâ1 đźâ1 óľŠ óľŠ â¤ óľŠóľŠóľŠâŤ [(đĄ2 â đ ) â (đĄ1 â đ ) ] đđź (đĄ2 â đ ) đ (đ ) đđ óľŠóľŠóľŠ óľŠóľŠ 0 óľŠóľŠ óľŠóľŠ đĄ1 óľŠóľŠ đźâ1 óľŠ óľŠ Ă óľŠóľŠóľŠâŤ (đĄ1 â đ ) [đđź (đĄ2 â đ ) â đđź (đĄ1 â đ )] đ (đ ) đđ óľŠóľŠóľŠ óľŠóľŠ 0 óľŠóľŠ óľŠóľŠ đĄ2 óľŠóľŠ óľŠ óľŠ đźâ1 + óľŠóľŠóľŠóľŠâŤ (đĄ2 â đ ) đđź (đĄ2 â đ ) đ (đ ) đđ óľŠóľŠóľŠóľŠ óľŠóľŠ đĄ1 óľŠóľŠ óľŠóľŠóľŠ đĄ1 óľŠóľŠóľŠ đźâ1 đźâ1 Ă óľŠóľŠóľŠâŤ [(đĄ2 â đ ) â (đĄ1 â đ ) ] đđź (đĄ2 â đ ) đ˘ (đ ) đđ óľŠóľŠóľŠ óľŠóľŠ 0 óľŠóľŠ óľŠóľŠóľŠ đĄ1 óľŠóľŠóľŠ đźâ1 Ă óľŠóľŠóľŠâŤ (đĄ1 â đ ) [đđź (đĄ2 â đ ) â đđź (đĄ1 â đ )] đ˘ (đ ) đđ óľŠóľŠóľŠ óľŠóľŠ 0 óľŠóľŠ óľŠóľŠ đĄ2 óľŠóľŠ óľŠ óľŠ đźâ1 + óľŠóľŠóľŠóľŠâŤ (đĄ2 â đ ) đđź (đĄ2 â đ ) đ˘ (đ ) đđ óľŠóľŠóľŠóľŠ óľŠóľŠ đĄ1 óľŠóľŠ
in the uniform operator topology for đĄ > 0; we can directly obtain đź1 and đź3 tending to zero independently of đĽ â đľđ as đĄ2 â đĄ1 . Applying the absolute continuity of the Lebesgue integral, we have đź4 , đź5 , and đź6 tending to zero independently of đĽ â đľđ as đĄ2 â đĄ1 . Therefore, ÎŚ2đ (đľđ ) â đđś1âđź (đ˝, đ) is equicontinuous. Claim 3. The set Î (đĄ) = {đ(đĄ) : đ â ÎŚ2đ (đľđ )} â đ is relatively compact for each đĄ â đ˝. Let 0 < đĄ ⤠đ be fixed. For đĽ â đľđ and đ â ÎŚ2đ (đĽ), there exists đ â đđš,đĽ such that, for each đĄ â đ˝, đĄ
đ (đĄ) = đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0 + ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đ (đ ) đđ 0
đĄ
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đľđľâ đđźâ (đ â đĄ) đ
(đ, Î0đ ) 0
Ă [đĽ1 â đđźâ1 đđź (đ) đĽ0
⤠đź1 + đź2 + đź3 + đź4 + đź5 + đź6 .
đ
â â đđź (đ â đĄđ ) (đ â đĄđ )
(76)
đ=1
By using H¨olderâs inequality and assumption đť(3), we get
đ
0
đđ,đż (đĄ) = đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0
1 â đž (đźâđž)/(1âđž) 1âđž ) ], đĄ đźâđž 2
+ đźâŤ
đĄâđ
0
đź2 = đ (đ) âđâđż1/đž (
+ đźâŤ (77)
â
⍠đ(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đ) đ ((đĄ â đ )đź đ) đ (đ ) đđ đđ đż
đĄâđ
0
â
⍠đ(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đ) đ ((đĄ â đ )đź đ) đż
Ă đľđľâ đđźâ (đ â đ ) đ
(đ, Î0đ )
1âđž đđ (đ) âđâđż1/đž 1 â đž (đźâđž)/(1âđž) [ ] , (đĄ2 â đĄ1 ) Î (đź) đźâđž
Ă [đĽ1 â đđźâ1 đđź (đ) đĽ0
đđđľ đĄ2 đźâ1 đźâ1 ⍠[(đĄ2 â đ ) â (đĄ1 â đ ) ] âđ˘ (đ )â đđ , Î (đź) đĄ1 óľŠ óľŠ đź5 = đđľ sup óľŠóľŠóľŠđđź (đĄ2 â đ ) â đđź (đĄ1 â đ )óľŠóľŠóľŠ đ â[0,đĄ1 ]
đź4 =
đĄ1
đźâ1
à ⍠(đĄ1 â đ ) 0
đź6 =
đđź (đ â đ) đ (đ) đđ] đđ ,
For all đ â (0, đĄ) and for all đż > 0, define
1âđž 1âđž (đźâđž)/(1âđž) +( ) (đĄ2 â đĄ1 ) đźâđž
1 â đž (đźâđž)/(1âđž) 1âđž ) đĄ đźâđž 1 óľŠ óľŠ Ă sup óľŠóľŠóľŠđđź (đĄ2 â đ ) â đđź (đĄ1 â đ )óľŠóľŠóľŠ , đ â[0,đĄ1 ]
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
đĄ â đ˝. (78)
1 â đž (đźâđž)/(1âđž) 1âđž ) Ă [( đĄ đźâđž 1
đź3 =
đźâ1
â ⍠(đ â đ)
đđ (đ) âđâđż1/đž đź1 = Î (đź)
â(
đźâ1
âđ˘ (đ )â đđ ,
đđđľ đĄ2 đźâ1 ⍠(đĄ â đ ) âđ˘ (đ )â đđ . Î (đź) đĄ1 2
It is easy to see that đź2 tends to zero independently of đĽ â đľđ as đĄ2 â đĄ1 . Note that, from Lemma 10, đđź (đĄ) is continuous
đ
đźâ1
â â đđź (đ â đĄđ ) (đ â đĄđ ) đ=1
đ
đźâ1
â ⍠(đ â đ) 0
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
đđź (đ â đ) đ (đ) đđ] đđ đđ
= đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0 + đ (đđź đż) Ă {đź âŤ
đĄâđ
0
â
⍠đ(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đ) đ đż
Ă ((đĄ â đ )đź đ â đđź đż) đ (đ ) đđ đđ
Abstract and Applied Analysis đĄâđ
+ đźâŤ
0
13
â
Claim 4. ÎŚ2đź has a closed graph. Let đĽđ â đĽâ (đ â â), đđ â ÎŚ2đ (đĽđ ), đđ â đâ (đ â â). We will prove that đâ â ÎŚ2đ (đĽâ ). Since đđ â ÎŚ2đ (đĽđ ), there exists đđ â đđš,đĽđ , such that, for each đĄ â đ˝,
⍠đ(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đ) đ ((đĄ â đ )đź đ â đđź đż) đż
Ă đľđľâ đđźâ (đ â đ ) đ
(đ, Î0đ ) Ă [đĽ1 â đđźâ1 đđź (đ) đĽ0
đđ (đĄ) = đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0 đĄ
đ
â â đđź (đ â đĄđ ) (đ â đĄđ ) đ=1
đźâ1
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đđ (đ ) đđ
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
0
đĄ
đ
đźâ1
â ⍠(đ â đ) 0
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đľđľâ đđźâ (đ â đĄ) đ
(đ, Î0đ ) 0
đđź (đ â đ) đ (đ) đđ]đđ đđ } .
Ă [đĽ1 â đđźâ1 đđź (đ) đĽ0
(79) By the compactness of đ(đđź đż) (đđź đż > 0), we obtain the set Î đ,đż (đĄ) = {đđ,đż (đĄ) : đ â ÎŚ2đ (đľđ )}
đ
đ=1
(80)
đ
â ⍠(đ â đ)
which is relatively compact in đ for all đ â (0, đĄ) and đż > 0. Moreover, we have óľŠ óľŠóľŠ óľŠóľŠđ (đĄ) â đđ,đż (đĄ)óľŠóľŠóľŠ óľŠ óľŠ â¤{
đâ (đĄ) = đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0 đĄ
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đâ (đ ) đđ 0
đ đźâ1 óľŠ óľŠ +â (đđ âđĽâ + đ(đ â đĄđ ) óľŠóľŠóľŠđźđ (0)óľŠóľŠóľŠ) Î (đź) đ=1
+
đĄ
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đľđľâ đđźâ (đ â đĄ) đ
(đ, Î0đ ) 0
đż đđ (đ) đ˝ âđâđż1/đž ] } ⍠đđđź (đ) đđ Î (đź) 0
đđ (đ) 1 â đž (đźâđž)/(1âđž) 1âđž ) đ âđâđż1/đž ( Î (đź) đźâđž đ2 đđľ2 đ2đźâ1
đ (2đź â 1) (Î (đź)) óľŠ óľŠ óľŠ óľŠ đ óľŠóľŠđĽ óľŠóľŠ Ă [óľŠóľŠóľŠđĽ1 óľŠóľŠóľŠ + óľŠ 0 óľŠ Î (đź)
Ă [đĽ1 â đđźâ1 đđź (đ) đĽ0 (81)
đ
â â đđź (đ â đĄđ ) (đ â đĄđ ) đ=1
đ
đ
đ đźâ1 óľŠ óľŠ (đđ âđĽâ + đ(đ â đĄđ ) óľŠóľŠóľŠđźđ (0)óľŠóľŠóľŠ) Î (đź) đ=1 đđ (đ) đ˝ âđâđż1/đž ] . Î (đź)
The right-hand side of the above inequality tends to zero as đ â 0. Therefore, there are relatively compact sets arbitrarily close to the set Î (đĄ), đĄ > 0. Hence the set Î (đĄ), đĄ > 0 is also relatively compact in đ. As a consequence of Claims 1â 3 together with the Arzola-Ascoli theorem, we can conclude that ÎŚ2đ is completely continuous.
đźâ1
â ⍠(đ â đ)
2
+â +
đđź (đ â đ) đđ (đ) đđ] đđ . (82)
đ
+
đźâ1
0
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
We must prove that there exists đâ â đđš,đĽâ , such that, for each đĄ â đ˝,
đźđ2 đđľ2 đ2đźâ1 đźđđ (đ) đ˝ âđâđż1/đž + Î (đź) đ (2đź â 1) Î (đź) óľŠóľŠ óľŠóľŠ óľŠ óľŠ đ óľŠđĽ óľŠ Ă [óľŠóľŠóľŠđĽ1 óľŠóľŠóľŠ + óľŠ 0 óľŠ Î (đź)
+
đźâ1
â â đđź (đ â đĄđ ) (đ â đĄđ )
0
đźâ1
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
đđź (đ â đ) đâ (đ) đđ] đđ . (83)
Since đđ â đâ (đ â â), we can obtain óľŠóľŠ óľŠóľŠ óľŠóľŠ (đđ (đĄ) â đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0 óľŠóľŠóľŠ óľŠ đĄ
â ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đľđľâ đđźâ (đ â đĄ) đ
(đ, Î0đ ) 0
Ă [đĽ1 â đđźâ1 đđź (đ) đĽ0 đ
đźâ1
â â đđź (đ â đĄđ ) (đ â đĄđ ) đ=1
đźđ (đĽ (đĄđâ ))] đđ )
14
Abstract and Applied Analysis Therefore, ÎŚ2đ has a closed graph. Since ÎŚ2đ is a completely continuous multivalued map with compact value, we have that ÎŚ2đ is u.s.c. Thus ÎŚđ = ÎŚ1đ + ÎŚ2đ is u.s.c and condensing. Therefore, applying Lemma 13, we conclude that ÎŚđ has a fixed point đĽ(â
) on đľđ0 . Thus, the fractional control system (4) has a mild solution on đ˝. The proof is complete.
â (đâ (đĄ) â đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0 đĄ
â ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đľđľâ đđźâ (đ â đĄ) đ
(đ, Î0đ ) 0
Ă [đĽ1 â đđźâ1 đđź (đ) đĽ0 đ
đźâ1
â â đđź (đ â đĄđ ) (đ â đĄđ )
The following result concerns the approximate controllability of that problem (4). We assume that the following assumption be held.
đ=1
óľŠóľŠ óľŠóľŠ Ă đźđ (đĽ (đĄđâ )) ] đđ ) óľŠóľŠóľŠ ół¨â 0, óľŠóľŠ óľŠ
as đ ół¨â â.
đťó¸ (3): There exists a positive constant đż such that âđš(đĄ, đĽ(đĄ))â ⤠đż for all (đĄ, đĽ) â đ˝ Ă đ.
(84)
Theorem 15. Assume that assumptions đť(1), đť(2), đťó¸ (3), and đť(4) are satisfied and the linear system (24) is approximately controllable on đ˝. Then system (4) is approximately controllable on đ˝.
Consider the linear continuous operator Î : đż1/đž (đ˝, đ) ół¨â đś1âđź (đ˝, đ) , đĄ
(Îđ) (đĄ) = ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) 0
Ă [đ (đ ) â đľ(đ â đ )đźâ1 đľâ đđźâ (đ â đ ) đ
(đ, Î0đ ) đ
à ⍠đđź (đ â đ) đ (đ) đđ] đđ . 0
(85) Clearly it follows from Lemma 13 that Î â đđš is a closed graph operator. Moreover, we have
= đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0 đ
đźâ1
đ=1
đĄ
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đđ (đ ) đđ
0
0
đĄ
+ ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đľđľâ đđźâ (đ â đ ) đ
(đ, Î0đ )
Ă [đĽ1 â đđźâ1 đđź (đ) đĽ0
0
đźâ1
đ=1
Ă [đĽ1 â đđźâ1 đđź (đ) đĽ0
đźđ (đĽ (đĄđâ ))] đđ â Î (đđš,đĽđ ) .
đ
(86)
â â đđź (đ â đĄđ ) (đ â đĄđ )
Since đĽđ â đĽâ , it follows from Lemma 13 that
đ
đźâ1
â ⍠(đ â đ) 0
đĄ
â ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đľđľâ đđźâ (đ â đ ) đ
(đ, Î0đ ) 0
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
đđź (đ â đ) đđ (đ) đđ] đđ .
Define
Ă [đĽ1 â đđźâ1 đđź (đ) đĽ0
đ (đđ ) đźâ1
â â đđź (đ â đĄđ ) (đ â đĄđ ) đ=1
đźâ1
đ=1
đâ (đĄ) â đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0
đ
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
đĄ
â ⍠(đĄ â đ )đźâ1 đđź (đĄ â đ ) đľđľâ đđźâ (đ â đ ) đ
(đ, Î0đ )
đ
đĽđ (đĄ)
+ â đđź (đĄ â đĄđ ) (đĄ â đĄđ )
đđ (đĄ) â đĄđźâ1 đđź (đĄ) đĽ0
â â đđź (đ â đĄđ ) (đ â đĄđ )
Proof. By employing the technique used in Theorem 14, we can easily show that, for all 0 < đ < 1, the operator ÎŚđ has a fixed point in đľđ0 , where đ0 = đ(đ). Let đĽđ (â
) be a fixed point of ÎŚđ in đľđ0 . Any fixed point of ÎŚđ is a mild solution of (4); this means that there exists đđ â đđš,đĽđ such that, for each đĄ â đ˝ó¸ ,
đźđ (đĽ (đĄđâ ))] đđ â Î (đđš,đĽâ ) . (87)
= đĽ1 â đđźâ1 đđź (đ) đĽ0 đ
â â đđź (đ â đĄđ ) (đ â đĄđ ) đ=1
đźâ1
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
(88)
Abstract and Applied Analysis
15
đ
where đˇđĄđź denotes the Riemann-Liouville fractional deriva-
0
tive, the operator đť is defined by (đťđĽ)(đĄ) = âŤ0 â(đĄ, đ , đĽ(đ ))đđ . By a similar way, we can get the approximate controllability of the system (95).
â ⍠(đ â đ )đźâ1 đđź (đ â đ ) đđ (đ ) đđ ,
đ
for some đđ â đđš,đĽđ . (89) Noting that đź â Î0đ đ
(đ, Î0đ ) = đđ
(đ, Î0đ ), we get đĽđ (đ) = đĽ1 â đđ
(đ, Î0đ ) đ (đđ ) .
(90)
By assumption đťó¸ (3), đ
óľŠ2 óľŠ âŤ óľŠóľŠóľŠđđ (đ )óľŠóľŠóľŠ đđ ⤠đż2 đ. 0
(91)
Consequently the sequence {đđ } is uniformly bounded in đż1/đž (đ˝, đ). Thus, there is a subsequence, still denoted by {đđ }, that converges weakly to, say, đ in đż1/đž (đ˝, đ). Denoting â = đĽ1 â đđźâ1 đđź (đ) đĽ0 đ
đˇđĄđź đĽ (đĄ) â đ´đĽ (đĄ) + đľđ˘ (đĄ) + đš (đĄ, đĽđ(đĄ,đĽđĄ ) ) , đĄ â (0, đ] ,
1 < đź ⤠1, 2
óľ¨óľ¨ â Îđź01âđź + đĽ (đĄ)óľ¨ óľ¨óľ¨đĄ=đĄ = đźđ (đĽ (đĄđ )) , đ
(96)
đ = 1, 2, . . . , đ,
óľ¨óľ¨ đź01âđź + đĽ (đĄ)óľ¨ óľ¨óľ¨đĄ=0 = đ â đ, đźâ1
â â đđź (đ â đĄđ ) (đ â đĄđ ) đ=1
đźđ (đĽ (đĄđâ ))
(92)
đ
â ⍠(đ â đ )đźâ1 đđź (đ â đ ) đ (đ ) đđ , 0
we see that óľŠóľŠ óľŠ đź óľŠóľŠđ (đ ) â âóľŠóľŠóľŠ
óľŠóľŠ đ óľŠóľŠóľŠ óľŠ = óľŠóľŠóľŠóľŠâŤ (đ â đ )đźâ1 đđź (đ â đ ) [đđ (đ ) â đ (đ )] đđ óľŠóľŠóľŠóľŠ (93) óľŠóľŠ 0 óľŠóľŠ óľŠóľŠ đ óľŠóľŠ óľŠ óľŠ â¤ sup óľŠóľŠóľŠóľŠâŤ (đ â đ )đźâ1 đđź (đ â đ ) [đđź (đ ) â đ (đ )] đđ óľŠóľŠóľŠóľŠ . óľŠóľŠ 0 0â¤đĄâ¤đ óľŠ óľŠ By the Ascoli-Arzela theorem, we can show that the linear â
operator đ â âŤ0 (â
â đ )đźâ1 đđź (â
â đ )đ(đ )đđ : đż1/đž (đ˝, đ) â đđś1âđź (đ˝, đ) is compact; consequently the right-hand side of (93) tends to zero as đ â 0+ . This implies that óľŠóľŠ đ óľŠóľŠ óľŠóľŠđĽ (đ) â đĽ1 óľŠóľŠ óľŠ óľŠ = óľŠóľŠóľŠóľŠđđ
(đ, Î0đ ) đ (đđ )óľŠóľŠóľŠóľŠ óľŠ óľŠ óľŠ óľŠ â¤ óľŠóľŠóľŠóľŠđđ
(đ, Î0đ ) (â)óľŠóľŠóľŠóľŠ + óľŠóľŠóľŠóľŠđđ
(đź, Î0đ ) (đ (đđ ) â â)óľŠóľŠóľŠóľŠ óľŠ óľŠ óľŠ óľŠ â¤ óľŠóľŠóľŠóľŠđđ
(đ, Î0đ ) (â)óľŠóľŠóľŠóľŠ + óľŠóľŠóľŠđ (đđ ) â âóľŠóľŠóľŠ ół¨â 0, as đ ół¨â 0+ . (94)
Remark 16. In [9], Ganesh et al. have studied the approximate controllability of fractional integrodifferential evolution equations. If our problem (4) can be changed as đˇđĄđź đĽ (đĄ) â đ´đĽ (đĄ) + đľđ˘ (đĄ) + đš (đĄ, đĽ (đĄ) , (đťđĽ) (đĄ)) , 1 < đź ⤠1, 2
óľ¨óľ¨ đź01âđź + đĽ (đĄ)óľ¨ óľ¨óľ¨đĄ=0 = đĽ0 + đ (đĽ) â đ,
where đˇđĄđź is the Riemann-Liouville fractional derivative, đ´ is the infinitesimal generator of a đś0 -semigroup {đ(đĄ), đĄ ⼠0} on a Banach space đ, the state đĽ(â
) takes values in đ, the control function đ˘(â
) is given in đżđ (đ˝, đ) (đ > 1/đź), đ is a Banach space of admissible control, and đľ : đ â đ is a bounded linear operator. đš : đ˝ Ă đˇ â P(đ) := 2đ \ {0} with đˇ := đś((ââ, 0], đ) is a multivalued map. For a continuous function đĽ : đ˝â := (ââ, đ] â đ, đĽđĄ is the element of đˇ defined by đĽđĄ (đ ) = đĽ(đĄ + đ ), ââ ⤠đ ⤠0, and đ â đˇ. Further, đ : [0, đ] Ă P(đ) â (ââ, đ] are appropriate nonlinear functions.
4. An Example In this final section, we give an example to illustrate our abstract results. Example 1. Consider the following fractional partial differential inclusion with control đˇđĄđź đĽ (đĄ, đŚ) â
đ2 đĽ (đĄ, đŚ) + đš (đĄ, đĽ (đĄ, đŚ)) + đľđ˘ (đĄ, đŚ) , đđŚ2
1 đĄ â đ˝ó¸ = [0, 1] \ { } , đŚ â [0, đ] , 2 óľ¨ óľ¨óľ¨ óľ¨đĽ (đŚ)óľ¨óľ¨óľ¨ 1 óľ¨ Îđź01âđź đĽ ( , đŚ) = + óľ¨ , đŚ â [0, đ] , óľ¨ 2 2đ + óľ¨óľ¨óľ¨đĽ (đŚ)óľ¨óľ¨óľ¨ đĽ (đĄ, 0) = đĽ (đĄ, đ) = 0,
This proves the approximate controllability of system (4).
đĄ â (0, đ] ,
Remark 17. In [15], Rathinasamy and Yong have researched the approximate controllability of fractional differential equations with state-dependent delay. Our problem (4) can be adopted to the impulsive fractional differential inclusion system with state-dependent delay:
(95)
óľ¨óľ¨ đź01âđź + đĽ (đĄ, đŚ)óľ¨ óľ¨óľ¨đĄ=0 = đĽ0 (đŚ) ,
(97)
đĄ â đ˝ = [0, 1] , đĄ â [0, 1] , đŚ â [0, đ] ,
where đˇđź is the Riemann-Liouville fractional partial derivative of order 3/5, đ˝ = [0, 1]. Let đ = đ = đż2 [0, đ], define; the operator đ´ by đ´đĽ = đĽđŚđŚ with the domain đˇ (đ´) = {đĽ â đ : đĽ, đĽó¸ are absolutely continuous, đĽđŚđŚ â đ, đĽ (đĄ, 0) = đĽ (đĄ, đ) = 0} .
(98)
16
Abstract and Applied Analysis
Then, â
đ´đĽ = â â đ2 â¨đĽ, đđ ⊠đđ ,
đĽ â đˇ (đ´) ,
(99)
đ=1
where đđ (đŚ) = â2/đ sin đđŚ, 0 ⤠đŚ ⤠đ, đ = 1, 2, . . ., is the orthogonal set of eigenvectors of đ´. It is easily shown that operator đ´ generates a strongly continuous semigroup {đ(đĄ) : đĄ ⼠0} on đ, which are compact, analytic, and selfadjoint in đ. It can be easily seen that the linear system corresponding to (97) is approximately controllable on [0, 1] [42]. Define đĽ(đĄ)(đŚ) = đĽ(đĄ, đŚ); let đľ : đ â đ be defined by đľđ˘(đĄ)(đŚ) = đľđ˘(đĄ, đŚ). Then system (97) can be written in the abstract form given by (4). We assume that đš : đ˝Ăđˇ â P(đ) satisfy the following conditions. (đš1 ): đš : đ˝ Ă đˇ â Pđđ,đV (đ) is measurable to đĄ for each fixed đĽ â đˇ, u.s.c. to đĽ for a.e. đĄ â đ˝, and for each đĽ â đđś1âđź (đ˝, đ) the set đđš,đĽ = {đ â đż1 (đ˝, đ) : đ (đĄ) â đš (đĄ, đĽ)}
(100)
is nonempty. (đš2 ): There exists a positive constant đż such that âđš(đĄ, đĽ)â ⤠đż for all (đĄ, đĽ) â đ˝ Ă đˇ, since, for any đĽ, đŚ â đ´đś(đ˝, đ), we have óľŠ óľŠ óľŠ óľŠóľŠđĽ â đŚóľŠóľŠóľŠ óľŠóľŠ 1âđź óľŠóľŠÎđźđĄ đĽ (đĄđ , đ§) â ÎđźđĄ1âđź đŚ (đĄđ , đ§)óľŠóľŠóľŠ â¤ óľŠ . óľŠ óľŠ 2
(101)
Obviously, the hypotheses of Theorem 15 are fulfilled. Thus, the system (97) is approximately controllable on [0, 1].
5. Conclusions In this paper, we study the approximate controllability for impulsive fractional differential inclusions with RiemannLiouville fractional derivatives in Banach spaces. We mainly use fixed point theorem and semigroup theory; we obtain some new mild solutions for this kind of problems (4). An illustrative example is also discussed to show the effectiveness of the results in this paper. In the near future, we will consider Riemann-Liouville fractional partial differential problems, which will be more complicated.
Acknowledgments The project was supported by NNSF of China Grant nos. 11271087 and 61263006, the Scientific Research Foundation of Guangxi University for Nationalities no. 2012QD014, and the Innovation Project of Guangxi University for Nationalities no. gxun-chx2013083.
References [1] R. E. Kalman, âControllability of linear dynamical systems,â Contributions to Differential Equations, vol. 1, pp. 190â213, 1963.
[2] N. Abada, M. Benchohra, and H. Hammouche, âExistence and controllability results for nondensely defined impulsive semilinear functional differential inclusions,â Journal of Differential Equations, vol. 246, no. 10, pp. 3834â3863, 2009. [3] A. E. Bashirov and N. I. Mahmudov, âOn concepts of controllability for deterministic and stochastic systems,â SIAM Journal on Control and Optimization, vol. 37, no. 6, pp. 1808â1821, 1999. [4] X. Fu, âControllability of non-densely defined functional differential systems in abstract space,â Applied Mathematics Letters, vol. 19, no. 4, pp. 369â377, 2006. [5] M. Benchohra and A. Ouahab, âControllability results for functional semilinear differential inclusions in Fr´echet spaces,â Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, vol. 61, no. 3, pp. 405â423, 2005. [6] Y.-K. Chang and D. N. Chalishajar, âControllability of mixed Volterra-Fredholm-type integro-differential inclusions in Banach spaces,â Journal of the Franklin Institute, vol. 345, no. 5, pp. 499â507, 2008. [7] L. G´orniewicz, S. K. Ntouyas, and D. OâRegan, âControllability of semilinear differential equations and inclusions via semigroup theory in Banach spaces,â Reports on Mathematical Physics, vol. 56, no. 3, pp. 437â470, 2005. [8] R. Triggiani, âA note on the lack of exact controllability for mild solutions in Banach spaces,â SIAM Journal on Control and Optimization, vol. 15, no. 3, pp. 407â411, 1977. [9] R. Ganesh, R. Sakthivel, N. I. Mahmudov, and S. M. Anthoni, âApproximate controllability of fractional integrodifferential evolution equations,â Journal of Applied Mathematics, vol. 2013, Article ID 291816, 7 pages, 2013. [10] Z. Liu, J. Y. Lv, and R. Sakthivel, âApproximate controllability of fractional functional evolution inclusions with delay in Hilbert spaces,â IMA Journal of Mathematical Control and Information, 2013. [11] Z. Liu, âBrowder-Tikhonov regularization of non-coercive evolution hemivariational inequalities,â Inverse Problems, vol. 21, no. 1, pp. 13â20, 2005. [12] Z. Liu, âExistence results for quasilinear parabolic hemivariational inequalities,â Journal of Differential Equations, vol. 244, no. 6, pp. 1395â1409, 2008. [13] R. Sakthivel, Y. Ren, and N. I. Mahmudov, âOn the approximate controllability of semilinear fractional differential systems,â Computers & Mathematics with Applications, vol. 62, no. 3, pp. 1451â1459, 2011. [14] R. Sakthivel, R. Ganesh, Y. Ren, and S. M. Anthoni, âApproximate controllability of nonlinear fractional dynamical systems,â Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, vol. 18, no. 12, pp. 3498â3508, 2013. [15] S. Rathinasamy and R. Yong, âApproximate controllability of fractional differential equations with state-dependent delay,â Results in Mathematics, vol. 63, no. 3-4, pp. 949â963, 2013. [16] N. Sukavanam and S. Kumar, âApproximate controllability of fractional order semilinear delay systems,â Journal of Optimization Theory and Applications, vol. 151, no. 2, pp. 373â384, 2011. [17] H. X. Zhou, âApproximate controllability for a class of semilinear abstract equations,â Society for Industrial and Applied Mathematics, vol. 21, no. 4, pp. 551â565, 1983. [18] K. Rykaczewski, âApproximate controllability of differential inclusions in Hilbert spaces,â Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, vol. 75, no. 5, pp. 2701â2712, 2012. [19] D. Baleanu, A. Ranjbar N., S. J. Sadati R., H. Delavari, T. Abdeljawad, and V. Gejji, âLyapunov-Krasovskii stability theorem for
Abstract and Applied Analysis
[20]
[21]
[22] [23]
[24]
[25]
[26]
[27]
[28]
[29]
[30]
[31]
[32]
[33]
[34]
[35]
fractional systems with delay,â Romanian Journal of Physics, vol. 56, no. 5-6, pp. 636â643, 2011. K. Diethelm and A. D. Freed, âOn the solution of nonlinear fractional order differential equations used in the modeling of viscoplasticity,â in Scientifice Computing in Chemical Engineering II-Computational Fluid Dynamics, Reaction Engineering and Molecular Properties, F. Keil, W. Mackens, H. Voss, and J. Werther, Eds., pp. 217â224, Springer, Heidelberg, Germany, 1999. A. D. Fitt, A. R. H. Goodwin, K. A. Ronaldson, and W. A. Wakeham, âA fractional differential equation for a MEMS viscometer used in the oil industry,â Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 229, no. 2, pp. 373â381, 2009. R. Hilfer, Applications of Fractional Calculus in Physics, World Scientific, River Edge, NJ, USA, 2000. K. B. Oldham and J. Spanier, The Fractional Calculus: Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order, Academic Press, New York, NY, USA, 1974. V. Lakshmikantham, S. Leela, and J. Vasundhara Devi, Theory of Fractional Dynamic Systems, Cambridge Academic, Cambridge, UK, 2009. J. Liang, Y. Liu, and Z. Liu, âA class of BVPS for first order impulsive integro-differential equations,â Applied Mathematics and Computation, vol. 218, no. 7, pp. 3667â3672, 2011. Z. Liu, J. Han, and L. Fang, âIntegral boundary value problems for first order integro-differential equations with impulsive integral conditions,â Computers & Mathematics with Applications, vol. 61, no. 10, pp. 3035â3043, 2011. J. Wang, M. FeËckan, and Y. Zhou, âOn the new concept of solutions and existence results for impulsive fractional evolution equations,â Dynamics of Partial Differential Equations, vol. 8, no. 4, pp. 345â361, 2011. A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, and J. J. Trujillo, âTheory and applications of fractional differential equations,â in NorthHolland Mathematics Studies, vol. 204, Elservier Science B.V., Amsterdam, The Netherlands, 2006. I. Podlubny, Fractional Differential Equations, vol. 198 of Mathematics in Science and Engineering, Academic Press, San Diego, Calif, USA, 1999. N. Heymans and I. Podlubny, âPhysical interpretation of initial conditions for fractional differential equations with RiemannLiouville fractional derivatives,â Rheologica Acta, vol. 45, no. 5, pp. 765â771, 2006. Y. Zhou and F. Jiao, âExistence of mild solutions for fractional neutral evolution equations,â Computers & Mathematics with Applications, vol. 59, no. 3, pp. 1063â1077, 2010. J. Cao and H. Chen, âSome results on impulsive boundary value problem for fractional differential inclusions,â Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, vol. 11, pp. 1â24, 2011. M. Benchohra, J. Henderson, and S. K. Ntouyas, âOn nonresonance second order impulsive functional differential inclusions with nonlinear boundary conditions,â Canadian Applied Mathematics Quarterly, vol. 14, no. 1, pp. 21â32, 2006. B. Ahmad and S. K. Ntouyas, âBoundary value problems for đ-th order differential inclusions with four-point integral boundary conditions,â Opuscula Mathematica, vol. 32, no. 2, pp. 205â226, 2012. M. Kisielewicz, Differential Inclusions and Optimal Control, vol. 44 of Mathematics and its Applications (East European Series), Kluwer Academic, Dordrecht, The Netherlands, 1991.
17 [36] J.-P. Aubin and A. Cellina, Differential Inclusions: Set-Valued Maps and Viability Theory, vol. 264, Springer, New York, NY, USA, 1984. [37] K. Deimling, Multivalued Differential Equations, vol. 1 of de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, Walter de Gruyter & Co., Berlin, Germany, 1992. [38] S. Hu and N. S. Papageorgiou, Handbook of Multivalued Analysis. Vol. I (Theory), vol. 419 of Mathematics and its Applications, Kluwer Academic, Dordrecht, The Netherlands, 1997. [39] A. Lasota and Z. Opial, âAn application of the KakutaniâKy Fan theorem in the theory of ordinary differential equations,â Bulletin de lâAcad´emie Polonaise des Sciences, vol. 13, pp. 781â786, 1965. [40] N. S. Papageorgiou, âOn the theory of Banach space valued multifunctions. I. Integration and conditional expectation,â Journal of Multivariate Analysis, vol. 17, no. 2, pp. 185â206, 1985. [41] M. Kamenskii, V. Obukhovskii, and P. Zecca, Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, vol. 7 of De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, Walter de Gruyter, Berlin, Germany, 2001. [42] N. I. Mahmudov, âControllability of semilinear stochastic systems in Hilbert spaces,â Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 288, no. 1, pp. 197â211, 2003.
Advances in
Operations Research Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Advances in
Decision Sciences Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Journal of
Applied Mathematics
Algebra
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Journal of
Probability and Statistics Volume 2014
The Scientific World Journal Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
International Journal of
Differential Equations Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Volume 2014
Submit your manuscripts at http://www.hindawi.com International Journal of
Advances in
Combinatorics Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Mathematical Physics Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Journal of
Complex Analysis Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences
Mathematical Problems in Engineering
Journal of
Mathematics Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Volume 2014
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Discrete Mathematics
Journal of
Volume 2014
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Discrete Dynamics in Nature and Society
Journal of
Function Spaces Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Abstract and Applied Analysis
Volume 2014
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
International Journal of
Journal of
Stochastic Analysis
Optimization
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Hindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com
Volume 2014
Volume 2014