Appunti di Costruzione di Macchine 2 a cura di. Stefano Beretta. Politecnico di
Milano, Dipartimento di Meccanica. 10 giugno 2012 ...
Appunti di Costruzione di Macchine 2 a cura di Stefano Beretta Politecnico di Milano, Dipartimento di Meccanica 10 giugno 2012
Indice I
Analisi stato di sforzo e deformazione
4
1 Richiami di Analisi dello stato di sforzo 1.1 Azioni-reazioni e sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Tensore degli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sforzo agente su un piano generico . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Trasformazione riferimento per sforzo piano . . . 1.3 Sforzi principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Sforzi principali nello stato di sforzo piano . . . . 1.4 Riferimento principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Sforzi normali e tangenziali su un piano generico 1.4.2 Cerchi di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Stato di sforzo su piani ottaedrali . . . . . . . . . 1.4.4 Componente di sforzo idrostatica e deviatorica . 1.5 Equazioni indefinite di equilibrio . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Riferimento cilindrico . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Riferimento sferico . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Deformazioni e legame sforzi-deformazioni 2.1 Spostamenti e piccole deformazioni . . . . . . . . . . . . 2.2 Tensore delle deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Deformazione in una direzione nei problemi piani 2.2.2 Deformazione volumica . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Variazione delle deformazioni in un continuo - Equazioni gruenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Problemi bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Problemi tridimensionali . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Compatibilità per il FEM* . . . . . . . . . . . . 2.4 Legame elastico lineare per materiali isotropi . . . . . . 2.4.1 Direzione sforzi e deformazioni principali . . . . . 2.4.2 Sforzo idrostatico e deformazione volumica . . . 2.5 Legame sforzi-deformazioni in campo elastico . . . . . . 2.5.1 Convenzione degli indici ripetuti . . . . . . . . . 2.5.2 Legge di Hooke generalizzata . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . di con. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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5 5 6 7 8 9 11 13 14 15 16 17 18 18 19 20 22 22 24 25 27 28 28 29 29 31 32 33 34 34 35
2.6
II
2.5.3 Rappresentazione matriciale 2.5.4 Simmetria nei materiali . . 2.5.5 Materiale anisotropo . . . . 2.5.6 Materiale ortotropo . . . . 2.5.7 Materiale isotropo . . . . . Appendice . . . . . . . . . . . . . .
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Problemi elastici
36 38 41 41 42 45
46
3 Soluzione analitica di problemi elastici piani 47 3.1 Problemi piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.1 Stato di sforzo piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.2 Stato di deformazione piana . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.3 Soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Funzione di Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.1 Semplici esempi di funzione Φ . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.2 Soluzioni per serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3 Problemi in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.1 Membrana forata soggetta a carico biassiale . . . . . . . . 55 3.3.2 Foro in una membrana indefinita soggetto a carico radiale 56 3.3.3 Membrana forata soggetta a taglio . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.4 Membrana forata soggetta a carico assiale . . . . . . . . . 59 3.3.5 Carico concentrato su un semispazio elastico . . . . . . . 63 3.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4 Intagli e concentrazione di sforzo 4.1 Concentrazione di sforzo nella membrana forata . . . . . . 4.2 Membrana con foro ellittico . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Determinazione dello stato di sforzo in organi di macchina 4.3.1 Ellisse equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Intagli multipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Sovrapposizione degli effetti . . . . . . . . . . . . .
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67 67 69 70 70 72 73
5 Problemi assialsimmetrici 5.1 Problema termoelastico lineare . . . . . . . . . . . . 5.2 Dischi sottili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Disco con sole pressioni sui contorni . . . . . 5.2.2 Disco rotante a ω costante . . . . . . . . . . . 5.2.3 Metodo di Grammel . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Cilindri lunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Cilindro rotante a velocità angolare costante 5.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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76 76 78 80 84 89 90 92 95
2
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6 Lastre circolari piane 6.1 Flessione semplice di una lastra in due direzioni 6.1.1 Composizione dei momenti in un punto 6.1.2 Lastre con momento uniforme . . . . . . 6.2 Lastre circolari assialsimmetriche . . . . . . . . 6.2.1 Carico distribuito . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Carico concentrato . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Lastra anulare . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Esercizi e problemi sul quaderno . . . . . . . .
ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Lastre cilindriche 7.1 Risoluzione del problema elastico . . . . . . . . . . 7.1.1 Deformazioni ed azioni sul concio di lastra . 7.1.2 Equazione risolvente . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Un approccio basato sulla teoria delle travi 7.1.4 Integrali particolari . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Cilindri lunghi caricati su un bordo . . . . . . . . . 7.2.1 Coefficienti di bordo . . . . . . . . . . . . . 7.3 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Forza radiale su un parallelo . . . . . . . . 7.3.2 Vincolo radiale su un tubo . . . . . . . . . 7.3.3 Cerchiatura del tubo . . . . . . . . . . . . . 7.4 Recipienti cilindrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Fondi sferici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Recipiente con fondi semisferici . . . . . . . 7.4.3 Altri recipienti . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III
Applicazioni ed organi di macchina
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97 97 98 100 100 103 105 107 109
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110 110 112 114 114 116 116 121 121 121 122 124 126 127 128 129 130
131
8 Fatica degli elementi saldati 132 8.1 Introduzione alla resistenza a fatica dei giunti saldati . . . . . . . 132 8.2 Approccio agli sforzi nominali secondo le normative . . . . . . . . 139 8.2.1 Effetto dello sforzo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 8.2.2 Multiassialità degli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 8.2.3 Sforzi ad ampiezza variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 8.3 Metodo hot-spot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 8.4 Difetti di saldatura e calcolo della vita a fatica . . . . . . . . . . 158 8.5 Accorgimenti di fabbricazione per aumentare la resistenza a fatica 162
3
Parte I
Analisi stato di sforzo e deformazione
4
Capitolo 1
Richiami di Analisi dello stato di sforzo Si richiamano qui i concetti fondamentali dello stato di sforzo nei solidi, già visti nel Corso di Costruzione di Macchine 1. Questi concetti ci serviranno quindi, nei capitoli successivi, per analizzare il legame con le deformazioni e lo stato di sollecitazione in diversi tipi di problemi elastici relativi allo stato di sforzo in organi delle macchine 1 . I testi di riferimento per consultazione ed approfondimento sono: [1], [2], [3].
1.1
Azioni-reazioni e sforzi
Consideriamo un corpo soggetto a forze esterne, come mostrato in Fig. 1.1, che generano delle azioni interne all’interno del corpo. Per esaminarne l’effetto in un punto Q interno al corpo, tagliamo il corpo su un piano a-a (passante per Q), che divida il corpo in due parti. Le forze che agiscono sulla parte che consideriamo devono essere equilibrate da delle forze presenti sulla sezione a-a. Analizziamo ora un piccolo elemento di area ∆A intorno al punto Q e chiamiamo ∆F la forza agente su ∆A: chiamiamo ∆Fx -∆Fy -∆Fz le componenti di ∆F rispetto ad una terna locale x − y − z (l’asse x è diretto perpendicolarmente a ∆A) . Le componenti di ∆F danno origine ad uno stato di sforzo definito come: σx = lim ∆Fx ∆A→0 ∆A ∆Fy (1.1) τxy = lim , ∆A→0 ∆A ∆Fz τxz = lim ∆A→0 ∆A 1a
cura di S. Beretta
5
Figura 1.1: Azioni e reazioni interne: a) sezione del corpo; b) equilibrio tra azioni ed azioni interne; c) componenti di ∆F [2]. Queste definizioni forniscono le componenti dello stato di sforzo nel punto Q su un piano di normale x. La definizione ∆A → 0 ha un significato ingegneristico: consideriamo sforzi medi su aree piccole in confronto alla dimensione del corpo, ma maggiori delle dimensioni microstrutturali del materiale di cui è costituito il componente. La componente di ∆F normale alla superficie da origine ad uno sforzo normale, mentre le componenti parallele alla superficie danno origine a sforzi di taglio. Dimensionalmente, per la (1.1), gli sforzi sono espressi come [forza/superficie] e sono quindi espressi in [P a] oppure [M P a].
1.1.1
Tensore degli sforzi
Generalizzando quanto visto sopra, se consideriamo nel punto Q i piani perpendicolari agli assi y e z definiamo in modo completo lo stato di sforzo nel punto, connesso alle azioni interne, che è identificato da 9 componenti scalari che possiamo così rappresentare nell’intorno di un punto materiale (il cubettino di Fig.1.2 si immagina abbia dimensioni evanescenti). Le convenzioni che prendiamo in tale rappresentazione sono: • la notazione σij si riferisce rispettivamente a sforzo agente sulla faccia -i(i è la normale alla faccia) in direzione -j- ; • per le facce la cui normale uscente è diretta come uno degli assi coordinati, il segno delle componenti del tensore sono positive con la direzione degli assi mentre per le facce aventi normale uscente contraria agli assi sono invece positive le componenti sforzo aventi direzione contraria agli assi. Per l’equilibrio alla rotazione di una porzione di materiale infinitesima intorno al punto deve essere: σij = σji per i 6= j (1.2) quindi le componenti di sforzo indipendenti sono solo sei e le componenti del tensore degli sforzi, secondo il riferimento cartesiano x − y − z, possono essere
6
rappresentati da un tensore del secondo σxx [σij ] = σxy σxz
ordine2 : σxy σyy σyz
σxz σyz σzz
(1.3)
Le componenti dello stato di sforzo, come rappresentato da [σij ] cambiano al variare delle direzioni secondo cui si immagina di sezionare il corpo nel punto Q (cambia da punto a punto nel corpo per effetto della variazione della forza ∆F). Nel seguito vedremo come cambiano queste componenti al ruotare degli assi x, y, z.
1.2
Sforzo agente su un piano generico
Lo stato di sforzo agente su un piano generico si ricava mediante le relazioni del ’tetraedro di Cauchy’ già viste nel corso di Costruzione di Macchine 1 [4]. In particolare se consideriamo un piano la cui normale è identificata dai coseni direttori [i, l, m] ([i, l, m] sono le componenti, nel sistema di riferimento − x − y − z, del versore → n della normale al piano), il vettore della forza unitaria S (forza per unità di superficie) agente sul piano è: Sx i → − (1.4) S = Sy = [σij ] · l m Sz
Figura 1.2: Generico stato di sforzo.
2 vale
la notazione: σii = σi e σij = τij .
7
− lo sforzo normale σn agente sul piano di normale → n non è altro che la proiezione → − → − di S su n ovvero: i → − − σn = S × → n = i l m · [σij ] · l (1.5) m → − La procedura sopravista potrebbe essere utilizzata per proiettare S su direzioni − diverse da → n permettendo così di ottenere componenti di sforzo su tali direzioni. Generalizzando quindi la procedura della eq.(1.5) si può esprimere il tensore di sforzo [σij ] dal riferimento X − Y − Z al un altro riferimento X 0 − Y 0 − Z 0 . In particolare possiamo scrivere:
dove:
0 [σij ] = T · [σij ] · T T
(1.6)
i1 T = i2 i3
(1.7)
l1 l2 l3
m1 m2 m3
la matrice T contiene per righe i coseni direttori degli assi X 0 − Y 0 − Z 0 rispetto alla terna X − Y − Z. Quindi il tensore di sforzo può essere trattato come una matrice (1.3), collegata a una legge di trasformazione (1.6).
1.2.1
Trasformazione riferimento per sforzo piano
La matrice T nel caso di trasformazione di uno stato di sforzo piano da un riferimento X − Y ad un riferimento X 0 − Y 0 assume la seguente espressione: cos θ sin θ T = (1.8) − sin θ cos θ e la Eq.1.6 restituisce le espressioni: 2 2 0 σx = σx cos θ + σy sin θ + 2σxy cos θ sin θ σy0 = σx sin2 θ + σy cos2 θ − 2σxy cos θ sin θ σx0 y0 = −(σx − σy ) cos θ sin θ + σxy (cos2 θ − sin2 θ) E’ possibile riscrivere queste equazioni in funzione di 2θ come: 1 1 σx0 = (σx + σy ) + (σx − σy ) cos 2θ + τxy sin 2θ 2 2 1 1 σy0 = (σx + σy ) − (σx − σy ) cos 2θ − τxy sin 2θ 2 2 τx0 y0 = − 1 (σx − σy ) sin 2θ + τxy cos 2θ 2
8
(1.9)
(1.10)
Y'
Y
X' θ X
Figura 1.3: Cambio del sistema di riferimento in un piano.
1.3
Sforzi principali
Con direzioni principali si intendono le direzioni normali a quei piani in cui la componente di sforzo è rappresentata solo da uno sforzo normale σp (detto → − sforzo principale). Se esiste un tale piano allora le componenti del vettore S risultano: Sx σp · i → − S = Sy = σp · l σp · m Sz Dovendo valere la Eq.(1.4), risulta che gli sforzi principali sono quei valori di σp che soddisfano: (σxx − σp ) σxy σxz =0 σ (σ − σ ) σ (1.11) xy yy p yz σxz σyz (σzz − σp ) Risolvendo il determinante si ottiene un’equazione cubica le cui radici sono gli sforzi principali σp : σp3 − I1 σp2 + I2 σp − I3 = 0 (1.12) dove le quantità: I = σx + σy + σz 1 2 2 2 I2 = σx σy + σx σz + σy σz − σxy − σxz − σyz 2 2 2 I3 = σx σy σz + 2σxy σxz σyz − σx σyz − σy σxz − σz σxy
(1.13)
Tale equazione risolta ammette 3 radici σ1 , σ2 e σ3 che vengono detti gli sforzi principali. Gli sforzi principali sono gli autovalori della matrice [σij ]. Introducendo le soluzioni σ1 , σ2 e σ2 nel sistema (considerando inoltre la relazione i2 + l2 + m2 = 1) si ricavano tre terne di coseni direttori (i, l, m) che definiscono le direzioni principali (o con altra terminologia gli autovettori della matrice). Rifacendosi alle proprietà degli autovalori ed autovettori si possono enunciare le seguenti regole: 9
• se i 3 sforzi principali sono distinti, allora le 3 direzioni principali sono distinte ed ortogonali; • se 2 valori di σp coincidono allora una sola direzione principale è definita (corrisponde allo sforzo principale diverso dagli altri due) mentre le altre sono infinite perché corrispondono alle normali alla prima; • se i 3 valori di σp coincidono allora ogni direzione è principale (sforzo idrostatico: la pressione è identica su qualsiasi superficie). Le tre radici σ1 , σ2 , σ3 (ordinate in modo che σ1 > σ2 > σ3 ) hanno un importante significato: σ1 è il massimo valore dello sforzo normale in un punto (al variare della giacitura del piano), mentre σ3 è lo sforzo normale minimo. I termini I1 , I2 ed I3 dell’eq. 1.13 sono dette invarianti perchè non variano al variare dell’orientamento del sistema di riferimento. In particolare, se riferiti alle direzioni principali, assumono il valore: I1 = σ1 + σ2 + σ3 I2 = σ1 σ2 + σI σ3 + σ2 σ3
(1.14)
I3 = σ1 σ2 σ3
Esempio 1.1 Si consideri lo stato di sforzo rappresentato in Fig. 1.4: calcolare gli sforzi e le direzioni principali (i valori sono espressi in [MPa]).
Figura 1.4: Calcolo degli sforzi principali tramite Eq. (1.12). Scrivendo il tensore dello stato di sforzo: 0 [σij ] = 0 100
0 0 100
100 100 0
Calcolando gli invarianti si ricava: I1 = 0
I2 = −2 · 1002
I3 = 0
Introducendo nella (1.12) i valori ricavati si ottengono gli sforzi principali (i valori sono espressi in [MPa]): √ √ σI = 100 2 σII = 0 σIII = −100 2
10
Le direzioni principali risultano espresse dalle colonne della matrice V, che si calcola in modo semplice con tecniche di calcolo numerico: √ 2 0.5 0.5 2 √ [V ] = 0.5 − 22 0.5 √ √ 2 2 0 − 2 2
Esempio 1.2 Calcolare gli sforzi principali e le direzioni principali se allo stato di sforzo dell’esempio precedente viene sovrapposto idrostatico pari a 100 MPa. In tal caso il tensore degli sforzi assume la forma: 100 0 100 100 100 [σij ] = 0 100 100 100 Si verifica immediatamente come I1 = 300, ovvero l’invariante primo è la somma degli invarianti I1 dei due stati di sforzo sovrapposti. Risolvendo completamente si ottiene: √ √ σI = 100( 2 + 1) σII = 100 σIII = 100(1 − 2) Si può anche verificare come gli autovettori risultino ancora: √ 2 0.5 0.5 2 √ [V ] = 0.5 − 22 0.5 √ √ 2 2 0 − 2 2 ovvero la sovrapposizione di uno sforzo idrostatico su uno stato di sforzo generico [σij ] non altera le direzioni principali.
1.3.1
Sforzi principali nello stato di sforzo piano
Si consideri uno stato di sforzo piano in cui σz = 0 (rilasseremo questa ipotesi nell’esempio): calcoliamo dalla 1.9 i valori massimi e minimi di σx0 . Cercando quei valori di θ per cui: ∂σx0 = −(σx − σy ) sin 2θ + 2τxy cos 2θ = 0 ∂θ si ottiene: tan 2θp =
2τxy σx − σy
(1.15)
(1.16)
Essendo tan 2θ = tan(π + 2θ) la (1.16) identifica due angoli θp tra loro perpendicolari che sono le direzioni principali nel piano. Va annotato come la (1.15) corrisponda anche alla condizione τx0 y0 = 0, ovvero le direzioni principali corrispondono a piani su cui lo sforzo di scorrimento è nullo. 11
Introducendo gli angoli θp nella prima delle (1.10) si ottengono i valori massimo e minimo di σx0 : s 2 σx − σy σx + σy 2 ± + τxy (1.17) σ1,2 = 2 2 Alla equazione precedente si può anche arrivare (come in [4]) attraverso l’annullamento del determinante della (1.11). In particolare per uno stato di sforzo piano gli sforzi principali sono le soluzioni di: (σxx − σp ) σxy =0 (1.18) σxy (σyy − σp ) risolvendo tale equazione si ottiene ancora la (1.17) per esprimere gli sforzi principali. Esempio 1.3 Si consideri la porzione di un albero del diametro di 30 mm soggetto ad una coppia Mt = 250 [N m] ed alla pressione p = 10 [M P a], calcolare gli sforzi principali e le direzioni principali. X Z Y
P
-p
p -p Mt
(b)
(a)
(c)
Figura 1.5: Albero soggetto ad un momento torcente ed una pressione esterna: a-b) sollecitazioni; c) stato di sforzo dovuto alla pressione esterna. Gli sforzi agenti sulla sezione (espressi in [MPa]) sono uno sforzo di scorrimento: τ =
16Mt = 47.2 π · d3
ed uno stato di sforzo piano (Fig. 1.5 (c)) dovuto alla pressione esterna. Rappresentando il tensore degli sforzi: −10 −47.2 0 0 0 [σij ] = −47.2 0 0 −10 A rigore si tratta di uno stato di sforzo tridimensionale, ma poichè la direzione z è una direzione principale, possiamo eliminare dal tensore una riga ed una colonna
12
ottenendo3 :
[σij ] =
−10 −47.2
−47.2 0
Gli sforzi principali risultano (tendendo conto che conosciamo già σz = −10): σ1 = 42.46
σ2 = −10
σ3 = −52.46
Dalla (1.16) si ottiene (considerando solo la prima direzione): θp = 0.6806 La matrice di rotazione T della (1.8), riferita allo stato di sforzo tridimensionale, che esprime lo stato di sforzo nelle direzioni principali risulta: cos θp sin θp 0 (1.19) T = − sin θp cos θp 0 0 0 1
Tramite la (1.16), tenedendo conto di questo esempio, è anche facile verificare che, sovrapponendo uno stato di sforzo idrostatico ad uno stato di sforzo piano, le direzioni principali non cambiano.
1.4
Riferimento principale
Nel riferimento principale (ovvero nella terna identificata dalle direzioni principali) il tensore [σij ] assume la forma diagonale: σ1 0 0 (1.20) [σij ] = 0 σ2 0 0 0 σ3 ovvero non vi è nessuno sforzo di taglio (vedi Fig. 1.6). Considereremo tale riferimento per calcolare in modo semplice alcune importanti proprietà dello stato di sforzo in un punto.
Figura 1.6: Trasformazione del tensore di sforzo nel riferimento principale [3]. 3 possiamo anche immaginare di guardare il tensore dall’asse z riguardando lo stato di sforzo come piano.
13
1.4.1
Sforzi normali e tangenziali su un piano generico
→ − Riferendosi alla terna delle direzioni principali, le componenti del vettore S (su → − T un piano la cui normale è identificata da n = [i l m] ) si calcolano dalla (1.4) e risultano: Sx = σ1 i Sy = σ2 l Sz = σ3 m (1.21) Lo sforzo normale sul piano (dalla 1.5) risulta: → − − σn = S × → n = σ1 i2 + σ2 l2 + σ3 m2
(1.22)
Il valore dello sforzo di taglio sul piano si calcola come: τ 2 = S 2 − σn2 = σ12 i2 + σ22 l2 + σ32 m2 − (σ1 i2 + σ2 l2 + σ3 m2 )2 da cui [2] si ottiene: 1/2 τ = (σ1 − σ2 )2 i2 l2 + (σ2 − σ3 )2 l2 m2 + (σ1 − σ3 )2 i2 m2
(1.23)
(1.24)
Esaminando la (1.22) è facile verificare che (con la convenzione σ1 > σ2 > σ3 ), il valore massimo di σn è σ1 e si raggiunge per [i = 1, l = m = 0], mentre il minimo è σ3 e si raggiunge per [i = l = 0, m = 1]: ciò conferma che σ1 e σ3 rappresentano il massimo ed il minimo sforzo normale in un dato punto, al variare della giacitura del piano. Considerando invece τ√ , il massimo si raggiunge sui piani per cui i2 = m2 = 1/2 2 ed l = 0 (i = m = ± 2/2 ed l = 0): queste giaciture identificano due piani paralleli alla direzione 2 ed inclinati di 45 gradi rispetto alle direzioni 1 e 34 . Su questi piani il massimo sforzo tangenziale vale: τmax = ± mentre lo sforzo σn vale: σn =
(σ1 − σ3 ) 2
(1.25)
σ1 + σ3 2
(1.26)
3
3
1
1 2
Figura 1.7: Piani corrispondenti a τmax . 4 le
4 giaciture corrispondono alle due direzioni della normale per ognuno dei piani.
14
1.4.2
Cerchi di Mohr
Consideriamo un piano avente la giacitura parallela alla direzione 3 (ovvero la normale al piano è perpendicolare all’asse 3 ed m = 0). 2 3 τn
σ2
σn
σ1 σ1
1
n θ
τn σn 2 (a)
σ2 (b)
Figura 1.8: Costruzione del cerchio di Mohr per piani paralleli alla direzione 3: a) identificazione dello stato di sforzo agente; b) convenzioni di segno. Detto θ l’angolo che la normale forma con l’asse 1 e fissando come positiva la direzione oraria dello sforzo di scorrimento sulla faccia di normale n, possiamo scrivere dalle (1.10)5 : 1 1 σn = (σ1 + σ2 ) + (σ1 − σ2 ) cos 2θ 2 2 (1.27) τn = 1 (σ1 − σ2 ) sin 2θ 2 da cui è facile verificare che: 2 2 1 1 2 σn − (σ1 + σ2 ) + τn = (σ1 − σ2 ) (1.28) 2 2 Questa equazione rappresenta, in un piano σ − τ detto piano di Mohr, una circonferenza di centro C e raggio R con: (σ1 + σ2 ) (σ1 − σ2 ) C ,0 , R = 2 2 ovvero i punti P (σn , τn ), per i piani con m = 0, descrivono al variare di θ una circonferenza di centro C e raggio R, che passa per gli sforzi principali σ1 e σ2 . La costruzione grafica del cerchio di Mohr permette di visualizzare in modo semplice lo stato di sforzo e di calcolare graficamente gli sforzi principali (non si usa più ovviamente per questo motivo, ma aiuta a visualizzare la soluzione). Ripetendo la costruzione per i piani paralleli agli assi 1 e 3 si ottengono altre due circonferenze: in totale i 3 cerchi di Mohr permettono di visualizzare in modo semplice i valori massimi e minimi dello stato di sforzo nel punto. Si può dimostare che lo stato di sforzo su una giacitura generica (non parallela ad un asse principale) appartiene alla regione compresa tra il cerchio fondamentale (quello passante per σ1 e σ3 ) e gli altri due. 5 rispetto
alle (1.10) dobbiamo considerare σx0 e τx0 y0 cambiando di segno a quest’ultima
15
σ2
σ3
σ1
σ2
σ1
(b)
(a)
Figura 1.9: Cerchi di Mohr per lo stato di sforzo: a) il cerchio rappresentante in piani con m = 0; b) i tre cerchi che descrivono lo stato di sforzo nel punto al variare della giacitura del piano considerato.
1.4.3
Stato di sforzo su piani ottaedrali
Si dicono piani ottaedrali quei piani che hanno una inclinazione uguale rispetto a tutti gli assi principali, in particolare (il nome ottaedrali deriva dalla figura geometrica identificata da tali piani) questi piani hanno coseni direttori: i2 = l2 = m2 =
1 3
Introducendo tali valori nella (1.22) si ottiene: σott =
σ1 + σ2 + σ3 I1 = 3 3
(1.29)
che viene anche chiamato sforzo idrostatico ed indicato con il simbolo σh . Lo sforzo tangenziale sui piani ottaedrali vale: τott =
1/2 1 (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ1 − σ3 )2 ) 3
Figura 1.10: Piani ottaedrali
16
(1.30)
Lo sforzo τott può essere riscritto, svolgendo i quadrati, come: √ q 2 τott = σ12 + σ22 + σ32 − σ1 σ2 − σ1 σ3 − σ2 σ3 3
(1.31)
La τott , impiegata come vedremo nei capitoli successivi per le verifiche di resistenza, può anche essere scritta come: τott =
1/2 1 2 2I1 − 6 · I2 3
(1.32)
che può quindi utilmente permettere, sostituendo i valori degli invarianti, di scrivere τott in termini delle componenti del tensore in coordinate cartesiane: τott =
1.4.4
1 2 2 2 1/2 (σx − σy )2 + (σy − σz )2 + (σx − σz )2 + 6τxy + 6τyz + 6τxz (1.33) 3
Componente di sforzo idrostatica e deviatorica
É utile considerare un generico stato di sforzo σij come sovrapposizione di uno stato di sforzo idrostatico e di uno deviatorico. In particolare, detto σh : σh = σott =
σ1 + σ2 + σ3 σx + σy + σz = 3 3
il generico stato di sforzo [σij ] può essere scritto come: σij = hij + sij dove:
e:
σh hij = 0 0 σx − σh sij = σxy σxz
0 σh 0
(1.34)
0 0 σh
σxy σy − σh σyz
σxz σyz σz − σh
(1.35)
(1.36)
Gli sforzi principali del tensore sij risultano: sI = σI − σh
sII = σII − σh
sIII = σIII − σh
(1.37)
Gli invarianti del tensore [sij ] vengono indicati con J1 , J2 e J3 . Si può anche esprimere τott come: r 2 τott = J2 (1.38) 3
17
1.5
Equazioni indefinite di equilibrio
Consideriamo un piccolo volume di materiale avente dimensioni dx × dy × dz 6 ed immaginiamo siano presenti, oltre alle componenti del tensore di sforzo, le componenti di forza di volume Fx − Fy − Fz . Se esprimiamo l’equilibrio del volumetto in direzione x (Fig.1.12) otteniamo la relazione: ∂σx ∂σyx ∂σzx + + + Fx = 0 ∂x ∂y ∂z Generalizzando nelle tre direzioni si ottengono le equazioni di equilibrio: z
σzx +
∂σx σx + dx ∂x x
∂σzx dz ∂z σx
σyx dy
dz
σyx +
σzx dx
∂σyx dx ∂y
y
Figura 1.11: Equilibrio di un volumetto in direzione x ∂σx ∂σxy ∂σzx + + + Fx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂σ ∂σy ∂σyz xy + + + Fy = 0 ∂x ∂y ∂z ∂σxz + ∂σyz + ∂σz + F = 0 z ∂x ∂y ∂z
(1.39)
Queste equazioni esprimono come varia lo stato di sforzo all’interno del corpo per effetto delle forze di volume presenti. Il set di equazioni precedenti può essere scritto in forma sintetica come [3]: ∇σ + F = 0
1.5.1
(1.40)
Riferimento cilindrico
In coordinate cilindriche lo stato di sforzo risulta espresso da: σr τrθ τrz [σij ] = τrθ σθ τθz τrz τθz σz
6 volumetto
infinitesimo, ma non nullo.
18
(1.41)
Esprimendo la (1.40) nel sistema di coordinate cilindriche [3] si ottiene: 1 ∂τrθ ∂τrz 1 ∂σr + + + (σr − σθ ) + Fr = 0 ∂r r ∂θ ∂z r ∂τrθ 1 ∂σθ ∂τθz 2 + + + τrθ + Fθ = 0 ∂r r ∂θ ∂z r ∂τrz + 1 ∂τθz + ∂σz + 1 τ + F = 0 rz z ∂r r ∂θ ∂z r
(1.42)
z
y x
Figura 1.12: Sforzi in un riferimento cilindrico
1.5.2
Riferimento sferico
In coordinate cilindriche lo stato di sforzo risulta espresso da: σr τrφ τrθ [σij ] = τrφ σφ τφθ τrθ τφθ σθ
(1.43)
Esprimendo la (1.40) nel sistema di coordinate sferiche [3] si ottiene: ∂σr 1 ∂τrφ 1 ∂τrθ 1 + + + (2σr − σφ − σθ + τrφ cot φ) + Fr = 0 ∂r r ∂θ r sin φ ∂θ r ∂τ 1 ∂σ 1 ∂τ 1 rφ φ φθ + + + [(σφ − σθ ) cot φ + 3τrφ ] + Fφ = 0 ∂r r ∂φ r sin φ ∂θ r ∂τ 1 ∂τ 1 ∂σ 1 rθ φθ θ + + + (2τφθ cot φ + 3τrθ ) + Fθ = 0 ∂r r ∂φ r sin φ ∂θ r (1.44)
19
z
y x
Figura 1.13: Sforzi in un riferimento sferico
1.6
Esercizi
Esercizio 1.1 Si consideri un tubo (De =36 mm, Di =30 mm) soggetto ad un momento Mt=450 Nm ed una forza F=30 kN. Calcolare: • lo stato di sforzo su un punto della superficie esterna del tubo considerando il riferimento x − y − z di figura (x direzione radiale ed y circonferenziale); • lo stato di sforzo su un piano inclinato di 45 gradi rispetto agli assi y e z; • valutare l’effetto dell’introduzione di una pressione interna di 10 MPa sullo stato di sforzo calcolato ai punti precedenti. F Mt z z
y x
y
Figura 1.14: Schema di un tubo soggetto ad una forza assiale e del piano su cui calcolare lo stato di sforzo.
20
Esercizio 1.2 Calcolare gli sforzi principali nell’esercizio precedente e verificare, attraverso il calcolo degli sforzi principali di sij le (1.37). Le direzioni principali coincidono con quelle di σij ?
Esercizio 1.3 Considerando un albero del diametro d=18 mm soggetto ad una coppia torcente di 50Nm ed un momento flettente pari a 60 Nm: • ricavare lo stato di sforzo nel punto P; • calcolare gli sforzi principali e da questi ricavare τmax ; • calcolare τott . Z Y
P X
Mf Mt
Figura 1.15: Schema di un albero soggetto ad un momento flettente ed un momento torcente.
21
Capitolo 2
Deformazioni e legame sforzi-deformazioni Si richiamano qui i concetti fondamentali dello stato di deformazione nei solidi, evidenziando le diverse componenti del tensore di deformazione. Si espongono quindi i diversi tipi di legame sforzi-deformazioni che verranno utilizzati nel corso1 .
2.1
Spostamenti e piccole deformazioni
Consideriamo un solido, di cui la posizione dei diversi punti materiali (con cui possiamo pensare di schematizzare le particelle elementari) in un dato istante t identifica la configurazione dell’elemento considerato. Identifichiamo un punto materiale con le coordinate (x, y, z) della posizione all’istante di tempo t0 ed immaginiamo che ad un diverso istante t, il solido si trovi in una diversa configurazione con i diversi punti che hanno subito degli spostamenti u(x, y, z, t) in direzione x, v(x, y, z, t) in direzione y e w(x, y, z, t) in direzione z. Il solido si trova in una configurazione deformata. Dato il campo di spostamenti nel solido possiamo calcolare il corrispondente campo di deformazioni, nell’ipotesi di piccoli spostamenti. In particolare consideriamo all’istante t tre punti A-B-C che formino tra di loro un angolo di π/2 delimitato dai segmenti AB e AC di lunghezza iniziale rispettivamente dx e dy (Fig.2.1). Se consideriamo il segmento AB, possiamo calcolare la deformazione lungo l’asse x come: ∆l u(x + dx, y, z, t) − u(x, y, z, t) = (2.1) l dx Nella configurazione deformata la linea AC ruota attorno all’asse z di un angolo: x =
u(x, y + dy, z, t) − u(x, y, z, t) ∂u = dy dy 1a
cura di S. Beretta e S. Foletti
22
(2.2)
u(x,y+dy,z,t)
C dy
u(x,y,z,t) A
u(x+dx,y,z,t) B
dx
Figura 2.1: Spostamento u dei punti A,B e C all’istante t. Similmente, la rotazione del segmento AB attorno all’asse z risulta: v(x + dx, y, z, t) − v(x, y, z, t) ∂v = dx dx
(2.3)
Lo scorrimento γxy nel piano xy risulta pari a: γxy =
∂u ∂v + . ∂y ∂x
(2.4)
Per un solido 3D nello spazio lo stato di deformazione è descritto da un totale di sei componenti: ∂v ∂w ∂u , y = , z = ∂x ∂y ∂z ∂u ∂v ∂v ∂w = + , γyz = + , ∂y ∂x ∂z ∂y
x = γxy
γxz =
∂u ∂w + ∂z ∂x
(2.5)
Le Eq. (2.5), scrivendo γxy = 2xy , possono essere rimpiazzate dalla notazione sintetica2 : 1 ∂ui ∂uj ij = + (2.6) 2 ∂xi ∂xj ˆ Poichè γxy è l’angolo di cui si distorce l’angolo ABC, si deve dunque essere γxy = γyx e quindi ij = ji . Esempio 2.1 Si consideri in un sistema di riferimento polare una porzione di materiale ABCD sottesa dall’angolo dθ: i punti abbiano coordinate A(r, 0), B(r+dr, 0), C(r, dθ) e D(r + dr, dθ). Supponendo che il corpo si deformi con spostamenti solo radiali (tale tipo di problema si dice assialsimmetrico), calcolare le componenti di deformazione. 2 vale
la notazione: ii = i .
23
D'
D C'
C
dθ
A A'
B
B'
Figura 2.2: Deformazione nei problemi assialsimmetrici Le componenti di deformazione si calcolano facilmente con la Eq.(2.1). In particolare detto u lo spostamento radiale dei punti A e C e u + du lo spostamento dei punti B e D (lo spostamento dipende solo dalla coordinata r), possiamo calcolare le deformazioni come: [(r + dr + u + du) − (r + u)] − dr A0 B 0 − AB du = = dr dr AB [(r + u)dθ] − rdθ A0 C 0 − AC u = = θ = rdθ r AC r =
(2.7)
Tali relazioni, cui si può arrivare anche semplificando le (2.86) per tener conto dell’assialsimmetria, verranno impiegate nei capitoli successivi per la soluzione di alcuni problemi assialsimmetrici (dischi e cilindri, lastre cilindriche).
2.2
Tensore delle deformazioni
Stante la simmetria ij = ji , le deformazioni tensore del secondo ordine simmetrico: xx xy [ij ] = xy yy xz yz
possono essere rappresentate dal xz yz zz
(2.8)
Conoscendo il tensore delle deformazioni in un riferimento (secondo una terna di direzioni), le deformazioni 0ij in una nuova terna X 0 − Y 0 − Z 0 si ricavano ancora attraverso la matrice di trasformazione T con la relazione (simile alla 1.6): [0ij ] = T · [ij ] · T T (2.9) dove la matrice di trasformazione è già stata definita in (1.7).
24
Per il tensore [ij ] valgono le stesse proprietà del tensore degli sforzi, in particolare esiste una terna di direzioni che identificano le direzioni dei piani sui quali agiscono le deformazioni principali, ovvero i valori massimi e minimi che assumono le deformazioni ii . La ricerca delle deformazioni principali 1 − 2 − 3 può essere effettuata ricercando, con gli opportuni algoritmi, gli autovalori della matrice ij oppure ricercando i valori p che soddisfano la relazione: (xx − p ) xy xz =0 xy (yy − p ) yz (2.10) xz yz (zz − p ) Risolvendo il determinante si ottiene un’equazione cubica le cui radici sono le deformazioni principali p : 3p − E1 2p + E2 p − E3 = 0 dove le quantità: E = x + y + z 1 E2 = x y + x z + y z − 2xy − 2xz − 2yz E3 = x y z + 2xy xz yz − x 2yz − y 2xz − z 2xy
(2.11)
(2.12)
dove E1 − E2 − E3 sono chiamati invarianti delle deformazioni (come già visto per gli sforzi, gli invarianti assumono espressioni molto semplici se espressi in termini delle deformazioni principali). Nel riferimento principale il tensore [ij ] assume la forma diagonale: 1 0 0 [ij ] = 0 2 0 0 0 3 ovvero non vi è nessuna deformazione al taglio: un parallelepipedo orientato secondo tale riferimento si deformerebbe quindi mantenendo la propria forma ortogonale pur cambiando le lunghezze dei tre lati.
2.2.1
Deformazione in una direzione nei problemi piani
In un problema bi-dimensionale, noto lo stato di deformazione in un riferimento X − Y , lo stato di deformazione in un riferimento X 0 − Y 0 ruotato di un angolo θ si calcola attraverso la matrice T espressa dalla (1.8). In particolare la deformazione nella direzione X 0 , formante un anglo θ con l’asse X (l’angolo si misura positivo in senso antiorario), risulta: X 0 = x cos2 θ + y sin2 θ + γxy sin θ cos θ
(2.13)
Tale espressione viene utilizzata per analizzare le misure estensimetriche nei problemi piani. In particolare, nel caso in cui in cui non si conosca a priori la 25
direzione delle deformazioni principali, è necessario misurare le deformazioni in tre direzioni per ricavare tutte le componenti di [ij ]3 .
(a)
(b)
(c)
Figura 2.3: Rilievo delle deformazioni in problemi paini: a) rosetta a 120 gradi; b) rosetta -45/0/45 gradi; c) schema generale di una rosetta. Speciali combinazioni di estensimetri dette rosette estensimetriche sono disponibili per tale tipo di misure e consistono in tre griglie estensimetriche comunemente disposte con angoli di 120 gradi (disposizione a Y) o 0 − 45 − 90 gradi. Considerando una rosetta con griglie a − b − c caratterizzata dagli angoli θa − θb − θc rispetto all’asse X, le deformazioni per i tre sensori si scrivono come: 2 2 a = x cos θa + y sin θa + γxy sin θa cos θa (2.14) b = x cos2 θb + y sin2 θb + γxy sin θb cos θb 2 2 c = x cos θc + y sin θc + γxy sin θc cos θc Risolvendo il sistema si ricavano le componenti di [ij ] e da queste si ricavano le deformazioni principali e l’angolo di cui ruotare il riferimento per ottenere le deformazioni principali (vedasi esempio seguente). Esempio 2.2 Si consideri una rosetta estensimetrica con angoli θa = 0◦ , θb = 60◦ e θc = 120◦ , che ha fornito la seguente lettura: a = 190µ
b = 200µ
c = −300µ
Determinare lo stato di deformazione e le deformazioni principali. Dalle Eq. (2.14) si ottiene: 1 a 1 b = 4 1 c 4
0 3 4 3 4
x 3 y · 4 √ 3 γ xy − 0 √
4
Si ottiene: x = 190µ
y = −130µ
γxy = 577µ
3 infatti se non sono note le direzioni principali, il problema ha tre incongnite ( , , γ ) x y xy ed è quindi naturale che servano tre misure per determinarle.
26
Per le deformazioni principali si può applicare una formula uguale alla (1.17), in particolare: s 2 2 x + y x − y γxy 1,2 = ± + (2.15) 2 2 2 ottenendo: 1 = 360µ
2 = −300µ
L’angolo tra la direzione del riferimento principale e l’asse X si calcola ancora con una formula uguale alla (1.16): γxy 2θp = tan−1 (2.16) x − y da cui si ottiene: θp = 0.53232 (θp = 30.5◦ ).
2.2.2
Deformazione volumica
Considerando un parallelepipedo di materiale avente volume V = A × B × C, con i lati paralleli agli assi x − y − z (Fig.2.4) le deformazioni risultano: x =
dA dB dC , y = , z = dx dy dz
la variazione del volume V risulta: dV =
∂V ∂V ∂V dA + dB + dC, ∂A ∂B ∂C
(2.17)
dividendo per V otteniamo la deformazione volumica: dV dA dB dC = V = + + = x + y + z V A B C z
C+dC C y
A A+dA
B B+dB x
Figura 2.4: Calcolo deformazione volumica v
27
(2.18)
2.3
Variazione delle deformazioni in un continuo - Equazioni di congruenza
In Eq.2.5 si sono ricavate le relazioni tra deformazioni e spostamenti: date 3 funzioni continue per gli spostamenti u - v - w è possibile ricavare le 6 componenti delle deformazioni. E’ semplice immaginare che, se integrassimo le ij per ricavare gli spostamenti, le 6 componenti di deformazioni non possano essere indipendenti e deve esistere una certa relazione tra le componenti di deformazione. Ricaveremo queste relazioni dapprima per il caso 2D e poi per il caso 3D. Per capire meglio il concetto, prima di sviluppare le relazioni matematiche, consideriamo dapprima una semplice interpretazione geometrica [3] (vedasi Fig. 2.5). Consideriamo un solido discretizzato in elementi (a) nella configurazione indeformata in (b). Consideriamo ora di assegnare agli elementi una deformazione e tentiamo di ricostruire il solido: in (c) gli elementi sono stati deformati in modo da tener conto della continuità con gli elementi vicini fornendo un campo continuo di spostamenti, mentre in (d) gli elementi sono stati deformati individualmente senza alcun rispetto della continuità con gli elementi adiacenti.
Figura 2.5: Raffigurazione del concetto di congruenza delle deformazioni [3].
2.3.1
Problemi bidimensionali
Dalle Eq.2.5, per un solido 2D possiamo semplicemente scrivere: x =
∂u , ∂x
y =
∂v , ∂y 28
γxy =
∂u ∂v + ∂y ∂x
(2.19)
con derivazioni successive è possibile scrivere le relazioni: ∂ 2 x ∂3u = 2 ∂y ∂y 2 ∂x
∂3v ∂ 2 y = 2 ∂x ∂x2 ∂y
∂ 2 γxy ∂3u ∂3v = + 2 ∂x∂y ∂y ∂x ∂x2 ∂y
da cui otteniamo l’equazione di congruenza (nei testi inglesi viene detta compatibilità): ∂ 2 y ∂ 2 γxy ∂ 2 x + = (2.20) 2 2 ∂y ∂x ∂x∂y Tale equazione differenziale deve essere soddisfatta dalle componenti di deformazione per assicurare che esistano funzioni u e v continue che possano esprimere le deformazioni attraverso la Eq. 3.3.
2.3.2
Problemi tridimensionali
Nei problemi tridimensionali si possono scrivere altre due equazioni simili alla Eq. 2.20 permutando gli indici x − y − z e si ottiene: 2 ∂ x ∂ 2 y ∂ 2 γxy + = ∂y 2 ∂x2 ∂x∂y 2 2 ∂ z ∂ 2 γyz ∂ y (2.21) + = ∂y 2 ∂y∂z ∂z 2 ∂ 2 x ∂ 2 z ∂ 2 γxz + = ∂z 2 ∂x2 ∂x∂z Altre tre equazioni possono essere ottenute con uguale procedimento: 2 ∂ x ∂ ∂xz ∂xy ∂yz = + + − ∂y∂z ∂x ∂x ∂y ∂z ∂2 ∂ ∂xz ∂xy ∂yz y = − + + ∂x∂z ∂y ∂y ∂z ∂x 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z xy yz xz = + + − ∂x∂y ∂z ∂z ∂x ∂y
(2.22)
Si può dimostrare che le 6 equazioni differenziali del secondo ordine 2.21 e 2.22 sono equivalenti a tre equazioni differenziali del quarto ordine [3].
2.3.3
Compatibilità per il FEM*
Avendo introdotto la compatibilità attraverso la semplice spiegazione di Fig. 2.5, vale la pena approfondire come la compatibilità sia verificata in una analisi ad Elementi Finiti. Quando un solido viene discretizzato in elementi finiti, ad essi viene associato un campo di spostamenti (u(x, y) e v(x, y) per problemi 2D, u(x, y, z), v(x, y, z) e w(x, y, z) per problemi 3D) che permetta di interpolare gli spostamenti nodali,
29
garantendo la compatibilità. Solitamente si assume una funzione polinomiale, per esempio per u(x, y) si adotta una funzione del tipo u(x, y) = β1 + β2 x + β3 y + β4 xy + β5 x2 + ...
(2.23)
Il numero di coefficienti deve essere uguale al numero di nodi per permettere l’interpolazione (per esempio, un elemento a quatto nodi potrà avere soltanto quattro termini). La scelta di questi termini è dettata dal rispetto della condizione di compatibilità, cioè in modo tale da evitare compenetrazioni o lacerazioni nel modello quando i nodi dell’elemento subiscono spostamenti 4 . All’interno dell’elemento la condizione di compatibilità è automaticamente soddisfatta in quanto la funzione polinomiale è continua. Resta allora da garantire la compatibilità tra un elemento e l’altro, cioè le espressioni dei campi di spostamento per elementi diversi aventi un lato in comune devono essere uguali quando valutate lungo questo lato comune. Nel caso di elementi a quattro nodi, la scelta che rispetta questa condizione corrisponde a un’espressione del tipo: u(x, y) = β1 + β2 x + β3 y + β4 xy
(2.24)
Si può facilmente verificare che quando valutata lungo un lato, per esempio il lato 1-2 dell’elemento di Fig. ??, l’espressione (2.24) diventa lineare. Infatti ponendo x = x2 = x3 , si avrà un espressione del tipo: u(x, y) = β1 + β2 x2 + β3 y + β4 x2 y = α1 + α2 y
(2.25)
dove i valori dei coefficienti α1 e α2 dipenderanno solo dai valori assunti dagli spostamenti nodali u1 e u2 dei nodi 1 e 2 posti agli estremi del lato in questione. Questa considerazione vale in generale, qualsiasi sia l’elemento avente i nodi 1 e 2 ai vertici di un lato, pertanto l’espressione sarà la stessa per l’elemento studiato e per quello adiacente avente il lato 1-2 in comune. La condizione di compatibilità risulta allora soddisfatta. 3
2
u2
y v x u
4 1 u 1
Figura 2.6: Compatibilità degli spostamenti in elementi a 4 nodi.
4 Il
termine costante β1 deve essere presente per poter rappresentare moti rigidi.
30
2.4
Legame elastico lineare per materiali isotropi
Nei materiali solidi isotropi le deformazioni, finchè non si raggiunge un livello di sforzo vicino alla condizione di snervamento del materiale, sono funzioni lineari degli sforzi attraverso le relazioni: x = 1/E σx − ν(σy + σz ) y = 1/E σy − ν(σx + σz ) z = 1/E σz − ν(σx + σy ) 2(1 + ν) (2.26) τxy γxy = E 2(1 + ν) τyz γyz = E 2(1 + ν) γxz = τxz E E dove E è il modulo di Young, ν è il modulo di Poisson e G = 2(1+ν) è il modulo di elasticità tangenziale. Nella sezione 2.5 (che verrà aggiunta per gli studenti 2010/11) si esaminerà il legame di Hooke generalizzato. Nel seguito di questa sezione si esaminano alcune applicazioni e conseguenze delle (2.26).
Esempio 2.3 Dato un recipiente sottile in acciaio chiuso ai fondi (ai fini di questo problema non è rilevante la forma dei fondi) di diametro D=400 mm e spessore s=5 mm soggetto alla pressione interna p=10 [MPa], ricavare lo spostamento radiale del fasciame cilindrico del recipiente. Lo stato di sforzo nel recipiente è dato da: σθ =
p·D = 400 MPa 2s
σz =
p·D = 200 MPa 4s
La deformazione circonferenziale risulta: θ = σθ
1 − ν/2 = 0.0017 E
Lo spostamento radiale risulta quindi (dalla (2.7)): u = 0.34 mm. Esempio 2.4 Si consideri un materiale sollecitato lungo l’asse z, che è confinato in modo che la deformazione lungo l’asse y sia impedita ma che possa invece deformarsi lungo l’asse x (come se il materiale fosse all’interno di uno stampo rigido). Ricavare lo sforzo σy e la rigidezza E 0 = σz /z . Imponendo y = 0 nella seconda delle (2.26) si ricava: σy = νσz La deformazione lungo z risulta: z =
1 1 − ν2 (σz − ν 2 σz ) = σz E E
31
z
σz
materiale
y
stampo
x
Figura 2.7: Schema di un materiale la cui deformazione lungo y è impedita. La rigidezza del materiale lungo la direzione z è quindi: E0 =
σz E = z 1 − ν2
Qundi l’impedire una deformazione risulta in una maggiore rigidezza del materiale se sollecitato nelle altre direzioni.
2.4.1
Direzione sforzi e deformazioni principali
Pensando all’analisi sperimentale dello stato di deformazione tramite rilievo con estensimetri, sorge spontanea la domanda se la direzione delle deformazioni principali è la stessa degli sforzi principali. Analizzando uno stato piano di deformazione, possiamo riscrivere la eq. (2.13) come (consideriamo la deformazione θ = X 0 ): θ =
x + y x − y γxy + · cos 2θ + sin 2θ 2 2 2
(2.27)
Sostituendo i valori delle deformazioni espressi in termini degli sforzi tramite la legge di Hooke per un materiale isotropo, è quindi possibile calcolare quei valori di θp per i quali dθ /dθ = 0 (stiamo dunque cercando la direzione delle deformazioni principali). Risolvendo si ottiene: dθ =0 dθ
→
tan 2θp =
2 1+ν E τxy 1+ν (σ x − σy ) E
=
2τxy (σx − σy )
ovvero in campo elastico lineare la direzione degli sforzi principali coincide con la direzione delle deformazioni principali. Questo risultato è generalizzabile a qualsiasi problema elastico lineare con materiale isotropo.
32
Esempio 2.5 Si consideri lo stato di deformazione dell’esempio 2.2: calcolare gli sforzi principali. In un problema piano la direzione perpendicolare alla superficie libera è scarica e quindi σz = 0. Con questa condizione è possibile calcolare gli sforzi principali tramite inversione delle (2.26) ottenendo: E 1 + ν2 2 1−ν σ2 = E 2 + ν1 1 − ν2 σ1 =
(2.28)
da cui: σ1 = 59.34 MPa e σ2 = −42.2 MPa (nella realtà gli sforzi principali, in accordo alla regola σ1 > σ2 > σ3 , sono: σ1 = 59.34, σ2 = 0 e σ3 = −42.2) .
2.4.2
Sforzo idrostatico e deformazione volumica
Introducendo le Eq.(2.26) nella definizione di deformazione volumica V ne risulta: 1 − 2ν V = (σx + σy + σz ) (2.29) E da cui si può vedere come la deformazione volumica sia controllata da I1 (oppure dallo sforzo idrostatico σh = I1 /3). Va anche annotato, per il comportamento plastico, come per ν = 0.5 → V = 0.
33
2.5
Legame sforzi-deformazioni in campo elastico
2.5.1
Convenzione degli indici ripetuti
Prima di introdurre il legame sforzi-deformazioni in campo elastico è opportuno ricordare la convenzione degli indici ripetuti. In un’espressione la presenza di un indice ripetuto sottointende il simbolo di sommatoria:
ai xi =
n X
ai xi = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + . . . ai xi + . . . an xn
(2.30)
i=1
Utilizzando la convenzione degli indici ripetuti diventa immediato scrivere alcune operazioni matriciali come, per esempio, il prodotto tra due matrici: a11 a12 a13 [A] = a21 a22 a23 (2.31) a31 a32 a33 e b11 b12 b13 (2.32) [B] = b21 b22 b23 b31 b32 b33 come [C] = cij = [A] [B] = a11 a12 a13 b11 a21 a22 a23 b21 a31 a32 a33 b31
b12 b22 b32
b13 b23 = aik bkj con i, k, j = 1, 2, 3 b33
(2.33)
dove l’indice ripetuto k deve essere inteso, vedi Eq.(2.30), come sommatoria: aik bkj = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j
(2.34)
Scrivendo per esteso il prodotto aik bkj si ottiene: a1k bk1 a1k bk2 a1k bk3 a2k bk1 a2k bk2 a2k bk3 = a3k bk1 a3k bk2 a3k bk3 a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 a11 b12 + a12 b22 + a13 b32 a21 b11 + a22 b21 + a23 b31 a21 b12 + a22 b22 + a23 b32 a31 b11 + a32 b21 + a33 b31 a31 b12 + a32 b22 + a33 b32
a11 b13 + a12 b23 + a13 b33 a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 a31 b13 + a32 b23 + a33 b33 (2.35)
che, come è facile dimostare, è uguale al prodotto tra due matrici [A] e [B]. 34
2.5.2
Legge di Hooke generalizzata
Utilizzando la convenzione degli indici ripetuti è possibile esprimere la legge di Hooke generalizzata che stabilisce il legame elastico tra le componenti di sforzo e quelle di deformazione: σij = Cijkl kl con i, j, k, l = 1, 2, 3
(2.36)
dove σij e kl rappresentano rispettivamente il tensore del secondo ordine degli sforzi e quello delle deformazioni. Il legame lineare elastico e rappresentato dal tensore Cijkl del quarto ordine. In riferimento all’Eq.(2.36) la prima componente del tensore degli sforzi può essere scritta come: σ11 = C11kl kl =C1111 1111 + C1112 1112 + C1113 1113 + C1121 1121 + C1122 1122 + C1123 1123
(2.37)
+ C1131 1131 + C1132 1132 + C1113 1133 e in maniera analoga è possibile scrivere tutte le altre componenti del tensore degli sforzi. Il tensore Cijkl , considerando che ciascun indice può variare da 1 a 3, presenta quindi 3×3×3×3 = 81 costanti. Introducendo la simmetria del tensore degli sforzi e di quello delle deformazioni il numero di costanti indipendenti si riduce. La simmetria del tensore dgli sforzi impone che: σij = σji
(2.38)
σij = Cijkl kl = σji = Cjikl kl
(2.39)
e quindi:
che impone la seguente condizione: Cijkl = Cjikl
(2.40)
che riduce il numero di costanti indipendenti. Si consideri per esempio il caso i = 1, j = 2: σ12 = C12kl kl = σ21 = C21kl kl che introduce le seguenti 9 relazioni tra le 81 costanti: C1211 = C2111 C 1212 = C2112 C = C2113 1213 C1221 = C2121 C1222 = C2122 C12kl = C21kl = C 1223 = C2123 C = C2131 1231 C = C2132 1232 C1233 = C2133 35
(2.41)
(2.42)
riducendo il numero di costanti indipendenti a 81 − 9 = 72. Le stesse relazioni possono anche essere scritte per: C13kl kl = C31kl kl C23kl kl = C32kl kl
(2.43)
ciascuna delle quali introduce altre 9 relazioni, portando il numero complessivo a 72 − 2 × 9 = 54 costanti indipendenti. Estendendo il ragionamento alla simmetria del tensore delle deformazioni, kl = lk , si possono scrivere altre relazioni che diminuiscono il numero delle costanti indipendenti. Si può dimostare che le nuove relazioni sono pari a 6 × 3, riducendo finalmente il numero di costanti indipendenti a 54−6×3 = 36 costanti. Queste 36 costanti indipendenti prendono il nome di moduli di rigidezza. Il legame tra le deformazioni e gli sforzi, vedi Eq.(2.36), può essere invertito, esprimendo le deformazioni in funzione degli sforzi, nel seguente modo: ij = Sijkl σkl
(2.44)
In maniera analoga a quanto visto in precedenza è possibile dimostare che il numero di costanti indipendenti del tensore del quarto ordine Sijkl è pari a 36. Queste 36 costanti indipendenti prendono il nome di moduli di cedevolezza.
2.5.3
Rappresentazione matriciale
In alcune situazione, come per esempio l’implementazione della legge di Hooke in codici numerici, è conveniente introdurre la rappresentazione matriciale delle grandezze tensoriali prima definite. A questo scopo il tensore degli sforzi, costituito da 9 componenti delle quali solo 6 indipendenti, può essere scritto come un vettore: σ1 σ11 σ2 σ22 σ3 σ33 [σ] = (2.45) σ4 = σ23 σ5 σ13 σ12 σ6 dove valgono le seguenti sostituzioni tra gli indici della notazione tensoriale e quella matriciale: 11 → 1 23 → 4
22 → 2 13 → 5
33 → 3 12 → 6
(2.46)
Allo stesso modo il tensore delle deformazioni può essere scritto come:
36
11 11 1 2 22 22 3 33 33 [σ] = 4 = 223 = γ23 5 213 γ13 γ12 212 6
(2.47)
dove è stata introdotta anche la notazione ingegneristica dello scorrimento angolare γij . Con questa notazione il tensore del quarto ordine Cijkl , formato dai 36 moduli di resistenza, diventa una matrice 6 × 6: σij = Cijkl kl =⇒ [σ] = [C] [] = σi σ1 C11 C12 C13 C14 C15 σ2 C21 C22 C23 C24 C25 σ3 C31 C32 C33 C34 C35 = σ4 C41 C42 C43 C44 C45 σ5 C51 C52 C53 C54 C55 σ6 C61 C62 C63 C64 C65
= Cij j =⇒ C16 1 2 C26 C36 3 C46 4 C56 5 C66 6
(2.48)
dove la matrice [C] prende il nome di matrice di rigidezza e presenta 36 costanti. Si può dimostare che la matrice di rigidezza è simmetrica. Considerando infatti il lavoro elastico per un’unità di volume: W =
1 σ k k 2
(2.49)
e derivando, si ottiene: ∂W ∂W = σi e = σj (2.50) ∂i ∂j Derivando ulteriormente, introducendo il legame elastico lineare, e imponendo la condizione di uguaglianza tra le derivate miste si ottiene la simmetria della matrice di rigidezza: ∂2W ∂2W = Cji = = Cij =⇒ Cij = Cji (2.51) ∂i ∂j ∂j ∂i che porta a concludere che la matrice di rigidezza è simmetrica, riducendo ulteriormente il numero di costanti indipendenti a 21: C11 C12 C13 C14 C15 C16 C12 C22 C23 C24 C25 C26 C13 C23 C33 C34 C35 C36 Cij = (2.52) C14 C24 C34 C44 C45 C46 C15 C25 C35 C45 C55 C56 C16 C26 C36 C46 C56 C66 37
In maniera analoga si può definire la matrice di cedevolezza [S]: ij = Sijkl σkl =⇒ [] = [S] [σ] = i S11 S12 S13 S14 S15 1 2 S12 S22 S23 S24 S25 3 S13 S23 S33 S34 S35 = 4 S14 S24 S34 S44 S45 5 S15 S25 S35 S45 S55 S16 S26 S36 S46 S56 6
2.5.4
= Sij σj =⇒ σ1 S16 σ2 S26 S36 σ3 S46 σ4 σ5 S56 σ6 S66
(2.53)
Simmetria nei materiali
I materiali possono presentare delle simmetrie che riducono ulteriormente il numero delle costanti indipendenti della matrice di rigidezza. Un materiale presenta una simmetria rispetto a due sistemi di riferimento, xi e x0i , se la matrice di rigidezza che lega sforzi e deformazioni rimane la stessa: σij = Cijkl kl ⇐⇒ σi = Cij j
(2.54)
0 0 0 0 σij = Cijkl 0kl ⇐⇒ σi0 = Cij j 0 Quindi se Cijlk = Cijlk .
Piano di simmetria Si ipotizzi che il materiale abbia un comportamento simmetrico rispetto al piano x1 − x2 , vedi Figura 2.8. Piano di simmetria materiale (1)
26
x3
σ’33
σ33 σ32 σ31
σ22
σ13 σ11 x1
σ’32
σ23
σ’23
σ’31 x2
σ’22
σ’13
σ21 σ12
σ’11
Piano di simmetria x1-x2
x′2
σ’21
σ’12
Piano di simmetria x1-x2
x′1
x′3 ⎡1 0
0⎤
⎥ simmetria materiale. Figura 2.8: R = ⎢Piano 0 1 0di ⎥ ⎢ ⎢⎣0 0 − 1⎥⎦
Si può definire la matrice di rotazione per passare dal sistema di riferimento xi al sistema x0i : 1 0 0 T = 0 1 0 (2.55) 0 0 −1 38
ottenendo: [σ 0 ] = [T ] [σ] T T =⇒ 0 σ11 0 σ12 0 σ13
0 σ12 0 σ22 0 σ23
0 1 σ13 0 σ23 = 0 0 σ33 0
0 σ11 0 σ12 0 σ13
0 σ12 0 σ22 0 σ23
0 σ11 σ13 0 σ23 = σ12 0 σ33 −σ13
0 1 0
0 σ11 0 σ12 −1 σ13 σ12 σ22 −σ23
σ12 σ22 σ23
σ13 1 σ23 0 σ33 0
0 1 0
0 0 =⇒ −1
−σ13 −σ23 σ33 (2.56)
e pasando alla notazione vettoriale, Eq.(2.45) e Eq.(2.46): 0 0 σ1 σ11 σ11 σ1 0 σ20 σ22 0 0 σ22 σ2 σ3 σ33 σ33 σ3 0 = 0 = σ4 σ23 −σ23 = −σ4 0 0 σ5 σ13 −σ13 −σ5 0 σ60 σ12 σ6 σ12
(2.57)
Lo stesso procedimento può essere esteso alle deformazioni, ottenendo: 0 1 1 02 2 0 3 3 0= 4 −4 0 5 −5 06 6
(2.58)
Introducendo la matrice di rigidezza si può scrivere: σi = Cij j =⇒ σi = Ci1 1 + Ci2 2 + Ci3 3 + Ci4 4 + Ci5 5 + Ci6 6
(2.59)
nel sistema di riferimento xi , e in maniera analoga: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 σi0 = Cij j =⇒ σi0 = Ci1 1 + Ci2 2 + Ci3 3 + Ci4 4 + Ci5 5 + Ci6 6
(2.60)
nel sistema di riferimento x0i . Considerando per esempio i = 1 si ottiene: σ1 = C11 1 + C12 2 + C13 3 + C14 4 + C15 5 + C16 6 e, considerando l’Eq.(2.58) e la simmetria che impone Cij = σ10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = C11 1 + C12 2 + C13 3 + C14 4 + C15 5 + C16 6 0 0 0 0 0 0 = C11 1 + C12 2 + C13 3 − C14 4 − C15 5 + C16 6 = C11 1 + C12 2 + C13 3 − C14 4 − C15 5 + C16 6
39
(2.61)
0 Cij :
(2.62)
Ricordando infine che σ1 = σ10 , vedi Eq.(2.57), si ottiene: C14 = −C14 C15 = −C15
(2.63)
che presenta come unica soluzione C14 = C15 = 0. Allo stesso modo si può dimostrare che: C24 = C25 = C34 = C35 = C46 = C56 = 0
(2.64)
Tre piani di simmetria Estendendo il discorso precedente al caso di 3 piani di simmetria si ottiene, vedi Fig.(2.8): Piano di simmetria x1 − x2 : C14 = C15 = C24 = C25 = C34 = = C35 = C46 = C56 = 0 Piano di simmetria x2 − x2 : C16 = C26 = C36 = C45 = 0 Piano di simmetria x1 − x3 : nessuna condizione aggiuntiva su Cij La matrice di rigidezza diventa C11 C12 C13 Cij = 0 0 0 Asse di simmetria Materiale
(2.65)
così formata da 9 costanti indipendenti: C12 C13 0 0 0 C22 C23 0 0 0 C23 C33 0 0 0 (2.66) 0 0 C44 0 0 0 0 0 C55 0 0 0 0 0 C66
trasversalmente isotropo
x’3
x3
x’2
θ
32
Materiale trasversalmente isot
asse di simmetria rotazionale x
θ
x2 x1 x’1
0 0 0⎤ 0 0 0 ⎥⎥ 0 0 0⎥ ⎥ C22 − C23 0 0⎥ 2 ⎥ 0 C66 0 ⎥ 0 0 C66 ⎥⎦
Figura diC simmetria. ⎡C112.9:CAsse 12 12
⎢C C C 23 ⎢ 21 22 ⎢C12 C23 40 C22 ⎢ 0 0 ⎢0 ⎢ 0 0 ⎢0 ⎢0 0 0 ⎣
5 moduli di rigid
Con procedimento analogo al precedente si può dimostare che nel caso di materiale che presenta una simmetria rispetto ad una asse di rotazione x1 , vedi Fig.(2.9), il numero di costanti indipendenti della matrice di rigidezza si riduce a 5: C11 C12 C12 0 0 0 C12 C22 C12 0 0 0 C12 C12 C33 0 0 0 (2.67) Cij = C22 −C33 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 C66 0 0 0 0 0 0 C66 Tre assi di simmetria Nel caso di 3 assi di simmetria C11 C12 C12 C11 C12 C12 Cij = 0 0 0 0 0 0
2.5.5
il numero di costanti indipendenti si riduce a 2: C12 0 0 0 C12 0 0 0 C11 0 0 0 (2.68) C11 −C12 0 0 0 2 C11 −C12 0 0 0 2 C11 −C12 0 0 0 2
Materiale anisotropo
Un materiale anisotropo non presenta nessun simmetria. La matrice di rigidezza, o cedevolezza, è formata da 21 costanti indipendenti, vedi Eq.(2.52) e Eq.(2.53).
2.5.6
Materiale ortotropo
Un materiale ortotropo presenta 3 piani di simmetria riducendo il numero di costanti indipendenti a 9, vedi Eq.(2.66). Le 9 costanti indipendenti vengono generalmente espresse rispetto ai moduli di elasticità Ei e ai coefficienti di Poisson νij valutati sperimentalmente nelle diverse direzioni del materiale ortotropo. La matrice di cedevolezza può così essere scritta come: i = Sij σj =⇒ [] = [C] [σ] 1 − νE212 − νE313 1 E1 1 2 − νE121 − νE323 E2 ν13 ν23 1 3 E3 − E1 − E2 =⇒ 4 = 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0
0 0 0 1 G23
0 0
dove per simmetria valgono le seguenti relazioni: 41
0 0 0 0 1 G13
0
0 0 0 0 0 1 G12
σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6
(2.69)
ν ν12 21 = E E1 2 ν ν13 31 = E3 E1 ν23 ν32 = E2 E3
(2.70)
Allo stesso modo la matrice di rigidezza può così essere scritta come: σi = Cij j =⇒ [σ] = [C] [] =⇒ 1−ν23 ν32 ν21 +ν23 ν31 ν31 +ν21 ν32 σ1 E2 E3 ∆ E2 E3 ∆ E2 E3 ∆ ν +ν ν 1−ν ν ν32 +ν12 ν31 13 31 σ2 21 23 31 E1 E3 ∆ E1 E3 ∆ E2 E3 ∆ 1−ν12 ν21 σ3 ν31 +ν21 ν32 ν32 +ν12 ν31 = E2 E3 ∆ E1 E3 ∆ E1 E2 ∆ σ4 0 0 0 σ5 0 0 0 σ6 0 0 0
0 0 0 G23 0 0
0 0 0 0 G13 0
0 1 0 2 (2.71) 0 3 0 4 5 0 6 G12
dove: ∆=
2.5.7
(1 − ν12 ν21 − ν23 ν32 − ν13 ν31 − 2ν21 ν32 ν13 ) E1 E2 E3
(2.72)
Materiale isotropo
Un materiale isotropo presenta 3 assi di simmetria riducendo il numero di costanti indipendenti a 2, vedi Eq.(2.68). Le 2 costanti indipendenti vengono generalmente espresse rispetto al modulo di elasticità E e al coefficienti di Poisson ν. La matrice di cedevolezza può così essere scritta come: i = Sij σj =⇒ [] = [S] [σ] 1 − Eν − Eν 0 1 E 1 ν 2 − − Eν 0 E Eν ν 1 3 − 0 E = E −E =⇒ 1 4 0 0 0 G 5 0 0 0 0 6 0 0 0 0
0 0 0 0 1 G
0
0 σ1 σ2 0 0 σ3 0 σ4 0 σ5 1 σ6 G
(2.73)
dove si può dimostare che: G=
E 2 (1 + ν)
(2.74)
Tale legame può anche essere espresso in maniera semplice utilizzando la notazione indiciale:
42
ij =
1+ν ν σij − σkk δij E E
(2.75)
dove: σkk = σ11 + σ22 + σ33 e δij rappresenta il delta di Kronecker: 1 se δij = 0 se
(2.76)
i=j i 6= j
(2.77)
E’ possibile anche introdurre la notazione tensoriale: ij = Sijkl σkl
(2.78)
dove: ν 1+ν δij δkl + (δik δjl + δjk δil ) (2.79) E 2E Allo stesso modo la matrice di rigidezza può così essere scritta come: Sijkl = −
σi = Cij j =⇒ [σ] = [C] [] =⇒ (1−ν)E νE σ1 (1+ν)(1−2ν) (1+ν)(1−2ν) (1−ν)E νE σ2 (1+ν)(1−2ν) (1+ν)(1−2ν) σ3 νE νE = (1+ν)(1−2ν) (1+ν)(1−2ν) σ4 0 0 σ5 0 0 σ6 0 0
νE (1+ν)(1−2ν) νE (1+ν)(1−2ν) (1−ν)E (1+ν)(1−2ν)
0 0 0
0 1 2 0 0 0 3 0 0 0 4 G 0 0 5 0 G 0 0 0 G 6 0
0
(2.80)
dove: G=
E 2 (1 + ν)
(2.81)
Anche in questo caso è possibile introdurre la notazione indiciale: σij =
E νE ij − kk δij 1+ν (1 + ν)(1 − 2ν)
(2.82)
dove: kk = 11 + 22 + 33
(2.83)
E’ possibile infine anche introdurre la notazione tensoriale: σij = Cijkl kl dove: 43
(2.84)
Cijkl = −
νE E δij δkl + (δik δjl + δjk δil ) (1 + ν)(1 − 2ν) 2(1 + ν)
44
(2.85)
2.6
Appendice
E’ utile scrivere le relazioni tra spostamenti e deformazioni nei riferimenti, diversi da quello cartesiano finora adottato, cilindrico e sferico. Tali relazioni verranno utilizzate nei capitoli successivi per la soluzione di alcuni problemi relativi allo stato di sforzo. Riferimento cilindrico (r, θ, z) Detti (u, v, w) gli spostamenti nelle direzioni (r, θ, z), le deformazioni si esprimono come: ∂u 1 ∂v ∂w = , = + u , z = r θ ∂r r ∂θ ∂z 1 ∂u ∂v v γrθ = r ∂θ + ∂r − r (2.86) ∂w ∂u γ = + rz ∂r ∂r ∂v 1 ∂w + γθz = ∂z r ∂θ
Riferimento sferico (r, θ, φ) Detti (u, v, w) gli spostamenti nelle direzioni (r, θ, φ) (dove φ misura l’angolo tra il raggio considerato e la direzione positiva dell’asse z) , le deformazioni si esprimono come: ∂u 1 ∂v 1 ∂w = , = + u , = + u sin θ + v cos θ r θ z ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ 1 ∂u ∂v v γrθ = r ∂θ + ∂r − r ∂w w 1 ∂u γ = − + rφ ∂r r r sin θ ∂φ 1 ∂w ∂v γ = sin θ − w cos θ + θφ r sin θ ∂θ ∂φ (2.87)
45
Parte II
Problemi elastici
46
Capitolo 3
Soluzione analitica di problemi elastici piani Si illustra la soluzione di una serie di problemi elastici importanti sulla base del potenziale di Airy. Questo tipo di analisi sono sono dello stesso tipo di quelle adottate per le lastre piane e lo stato di sforzo all’apice di fratture 1 .
3.1
Problemi piani
3.1.1
Stato di sforzo piano
Consideriamo ora il problema della determinazione dello stato di sforzo in un solido bidimensionale sottile in cui le facce laterali siano scariche (Fig. 3.1(a)). In tal caso σz , σxz , σyz = 0 e lo stato di sforzo si riduce alle sole componenti: σx σxy σy che devono anche soddisfare le condizioni al contorno: ( σx nx + σxy ny = tx σxy nx + σy ny = ty
(3.1)
dove tx , ty sono le componenti delle forze di superficie applicate bordo del solido e nx , ny sono le componenti del versore che definisce la direzione della normale al bordo. Risolvere lo stato di sforzo nel solido significa ricavare le tre componenti incognite con le condizioni già viste:
1a
cura di S. Beretta e M. Sangirardi
47
(a)
(b)
Figura 3.1: Problemi piani: a) stato di sforzo piano; b) stato di deformazione piana. equazioni di equilibrio: ∂σx ∂σxy + =0 ∂x ∂y ∂σ ∂σy xy + =0 ∂x ∂y
(3.2)
legame sforzi-deformazioni x =
1 E (σx
− νσy ), y = E1 (σy − νσx ), γxy = z = Eν (σx + σy ) γxz = γyz = 0
2(1+ν) σxy E
(3.3)
Sembra ragionevole pensare che nella membrana bidimensionale che stiamo considerando gli spostamenti u, v siano funzione solo delle variabili x ed y e che non vi sia alcuno spostamento w fuori dal piano: nella realtà z 6= 0 e quindi la membrana varia di spessore da punto a punto.
3.1.2
Stato di deformazione piana
Se consideriamo u = u(x, y) e v = v(x, y) insieme con la condizione γxz = γyz = 0, dalle Eq.2.5 si ricava che: ∂w ∂w = =0 ∂x ∂y ovvero w è indipendente da x ed y e, se consideriamo dei problemi come quello in Fig.3.1(b) in cui il corpo è esteso indefinitamente nella direzione z, ci immaginiamo facilmente che z non dipenda da z. Poichè z = ∂w/∂z ne segue che z = c = cost. 48
Questo tipo di stato di deformazione corrisponde a quello di un solido in cui le dimensioni del corpo lungo z fanno sì che le sezioni (perpendicolari all’asse z) si mantengano piane. Se come in Fig.3.1(b) il corpo è vincolato lungo z, la deformazione è impedita e z = 0 2 . Dalle Eq.2.5 si ricava che in tale condizione: σz = ν(σx + σy ) Il legame sforzi-deformazioni risulta quindi: 1 − ν2 ν x = σx − σy E 1−ν 1 − ν2 ν y = σy − σx E 1−ν 2(1 + ν) γxy = σxy , γxz = γyz = 0 E
(3.4)
(3.5)
Lo stato di deformazione piana è quindi corrispondente allo sforzo piano con le posizioni (come già visto anche nell’esempio 2.4): ¯= E
3.1.3
E , 1 − ν2
ν¯ =
ν 1−ν
(3.6)
Soluzione
Se ricordiamo la Eq. (2.20) di congruenza: ∂ 2 x ∂ 2 y ∂ 2 γxy + = 2 2 ∂y ∂x ∂x∂y esprimendo le deformazioni in termini degli sforzi si ottiene: ∂2 ∂2 ∂ 2 σxy (σ − νσ ) + (σ − νσ ) = 2(1 + ν) x y y x ∂y 2 ∂x2 ∂x∂y Derivando rispetto a x e y le equazioni di equilibrio e facendo la somma di tali derivate si ottiene: ∂ 2 σx ∂ 2 σy ∂ 2 σxy + = −2 (3.7) ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y Introducendo tale equazione in quella precedente finalmente è possibile riscrivere la Eq.(2.20) come: 2 ∂ ∂2 + 2 (σx + σy ) = 0 (3.8) ∂x2 ∂y Questa equazione, insieme con le equazioni al contorno, permette di risolvere in forma chiusa dei problemi elastici 2D. L’ulteriore importante osservazione è che σx + σy deve essere una funzione armonica indipendente dalle caratteristiche del materiale. 2 Se non vi fossero vincoli la condizione = c si può ottenere facilmente sovrapponendo z allo stato di sforzo corrispondente a z = 0 uno sforzo uniforme che annulli la risultante degli sforzi in z.
49
3.2
Funzione di Airy
Un modo particolarmente efficace di trovare soluzioni per problemi elastici 2D fu proposto da Airy [1] che formulò che la soluzione potesse essere trovata tramite una funzione Φ = Φ(x, y) detta funzione di sforzo tale che: ∂2Φ σ = x ∂y 2 ∂2Φ (3.9) σ = y ∂x2 ∂2Φ σxy = − ∂x∂y Introducendo tali posizioni, che soddisfano le condizioni di equilibrio, nella Eq.(3.8) si ottiene: ∂4Φ ∂4Φ ∂4Φ + 2 + =0 (3.10) ∂x4 ∂x2 y 2 ∂y 4 ovvero la funzione Φ deve essere biarmonica. Questo semplifica la ricerca della soluzione dei problemi elastici in quanto esistono dei metodi per ’costruire’ funzioni biarmoniche [5]. Nel seguito esaminiamo alcuni semplici esempi.
3.2.1
Semplici esempi di funzione Φ
Consideriamo dapprima Φ in termini di un semplice polinomio del secondo ordine: c2 2 a2 2 Φ= · x + b2 · xy + ·y (3.11) 2 2 Per le (3.9) risulta: σx = c2 σy = a2 (3.12) σxy = −b2 ovvero la (3.11) rappresenta la funzione di sforzo che descrive una membrana soggetta ad uno stato di sforzo uniforme. Una funzione polinomiale del terzo ordine del tipo: a3 3 b3 2 c3 d3 3 ·x + ·x y+ · xy 2 + ·y (3.13) 6 2 2 6 fornisce delle componenti di sforzo che variano linearmente con le coordinate x, y: σx = c3 x + d3 y σy = a3 x + b3 y (3.14) σxy = −b3 x − c3 y Φ=
se solo d3 6= 0 allora le componenti di σx σy σxy
sforzo diventano: = d3 y = 0 = 0 50
(3.15)
ovvero la Φ descrive una membrana soggetta a flessione semplice.
3.2.2
Soluzioni per serie
Semipiano elastico con pressione cosinusoidale
y
x L
L
Figura 3.2: Semipiano indefinito caricato da una pressione tipo cos kx. Consideriamo un semipiano elastico caricato da uno sforzo σy = σ0 cos kx con k = 2π/L. Poichè lo stato di sforzo superficiale ha una risultante nulla (su una lunghezza d’onda L) ci si aspetta che ad una distanza sufficiente all’interno del semispazio elastico lo stato di sforzo si annulli. Se consideriamo una funzione di sforzo del tipo: Φ(x, y) = f (y) · cos kx (3.16) introducendo tale funzione nella Eq.(3.10) ne risulta una equazione differenziale: 2 d4 f 2d f − 2k + k4 f = 0 dy 4 dy 2
(3.17)
f (y) = A · eky + B · e−ky + C · y · eky + D · y · e−ky
(3.18)
la cui soluzione è del tipo:
Le costanti A, B, C, D si ricavano con le condizioni al contorno. In particolare la condizione che per y → ∞ lo stato di sforzo si annulli impone che A = C = 0. Ricavando le componenti di sforzo ed imponendo le condizioni al contorno si ricavano le costanti B e D, in particolare: ( ( σy (x, 0) = σ0 cos kx B = −σ0 /k 2 → σxy (x, 0) = 0 D = −σ0 /k Lo stato di sforzo nel semipiano elastico risulta quindi: −ky · cos kx σy = (1 + ky)σ0 · e −ky σx = (1 − ky)σ0 · e · cos kx −ky σxy = −kσ0 · y · e · sin kx 51
(3.19)
Si può facilmente verificare come lo stato di sforzo diminuisca rapidamente all’interno del semipiano elastico (ad esempio risulta σy (x, L) = 0.014σ0 cos kx), confermando il principio di Saint-Venant. Barretta caricata assialmente da una pressione locale Consideriamo il problema di una barretta caricata su due lati da una pressione costante q su un segmento di lunghezza 2a. La pressione q può essere rappresentata dalla seguente serie: q = A0 +
∞ X
Am cos
m=1
dove: A0 =
qa L
Am =
1 L
Z
a
q cos −a
mπx L
(3.20)
2q sin(mπa/L) mπx dx = L mπ
La Φ che risolve il problema conterrà un termine in x2 e dei termini come quelli della Eq.(3.16) per ognuna delle m armoniche. Lo stato di sforzo [1] σy risulta: ∞ qa X sin αa (αc cosh αc + sinh αc) cosh αy − αy sinh αy sinh αc cos αx L m=1 m sinh 2αc + 2αc (3.21) in cui α = mπ/L. Se immaginiamo il caso di una barretta caricata da una forza P concentrata si può utilizzare la stessa soluzione immaginando che a → 0 e qa = P/2. In particolare la distribuzione di sforzo σy nella barretta appare quasi uniforme già ad una distanza pari alla larghezza della barretta, similmente ai risultati già ottenuti con lo smorzamento delle tensioni nel semipiano elastico, in accordo al principio di Saint-Venant.
σy = −
52
a
a
q
y
c
x
c
q L
L
Figura 3.3: Barretta caricata da una pressione localizzata.
P
c
y
x
c
L
L
P (a)
(b)
Figura 3.4: Barretta caricata da un carico concentrato: a) schema; b) soluzione [1].
53
3.3
Problemi in coordinate polari
E’ interessante applicare la metodologia di soluzione di Airy a problemi elastici in coordinate polari: vediamo dapprima come si esprimono le equazioni fondamentali in coordinate polari e poi vedremo alcune soluzioni in termini di funzione di sforzo. Il legame tra spostamenti e deformazioni in coordinate polari è: ur ∂uθ ∂ur ∂uθ uθ ∂ur , θ = + , γrθ = + − (3.22) r = ∂r r r∂θ r∂θ ∂r r Il legame tra sforzi e deformazioni è simile a quello delle coordinate rettangolari: r =
1 (σr − νσθ ), E
θ =
1 (σθ − νσr ), E
γxy =
2(1 + ν) σrθ E
Le condizioni di equilibrio in coordinate polari risultano: 1 ∂τrθ σr − σθ ∂σr + + + br = 0 ∂r r ∂θ r 1 ∂σθ ∂τrθ τrθ + +2 + bθ = 0 r ∂θ ∂r r
(3.23)
(3.24)
Se cerchiamo di esprimere la Eq.(3.8) in coordinate polari conviene prima di tutto scrivere le componenti di sforzo nel nuovo sistema di riferimento. Dalle Eq.(1.9) si ottiene (scrivendo in funzione dell’angolo 2θ 3 ): σx + σy σx − σy σr = + cos 2θ + σxy sin 2θ 2 2 σx − σy σx + σy (3.25) − cos 2θ − σxy sin 2θ σθ = 2 2 σrθ = − σx − σy sin 2θ + σxy cos 2θ 2 Da tali equazioni si può facilmente verificare che: σx + σy = σr + σθ Poichè il laplaciano di una funzione f si può esprimere come: 2 2 ∂2 ∂ ∂2 ∂ ∂ + f + 2 f= + ∂x2 ∂y ∂r2 r∂r r2 ∂θ2 si può esprimere la Eq.(3.8) come: 2 ∂ ∂2 ∂ + (σr + σθ ) = 0 + ∂r2 r∂r r2 ∂θ2
3 ricordando
(3.26)
(3.27)
che cos2 θ = (1 − cos 2θ)/2, sin2 θ = (1 + cos 2θ)/2 e 2 sin θ cos θ = sin 2θ
54
La funzione di Airy in coordinate polari è una funzione Φ tale che: 2 σr = 1 ∂Φ + ∂ Φ 2 r ∂r r ∂θ2 2 ∂ Φ σθ = ∂r2 2 σrθ = 1 ∂Φ − 1 ∂ Φ r2 ∂θ r ∂r∂θ
(3.28)
Con tali posizioni, che soddisfano le condizioni di equilibrio, la (3.27) diventa: 2 2 ∂ ∂ Φ ∂Φ ∂ ∂2 ∂2Φ + + =0 (3.29) + + ∂r2 r∂r r2 ∂θ2 ∂r2 r∂r r2 ∂θ2 Problemi assialsimmetrici Consideriamo ora un sottoinsieme di problemi elastici piani: i problemi elastici nei quali lo stato di sforzo e deformazione non dipende da θ (lo sforzo e deformazione è uguale per ogni θ e possiamo quindi dire che ogni piano radiale è di simmetria). In tali condizioni l’unico campo di spostamento è ur e le Eq.(3.22) si semplificano in: ∂ur ur r = θ = γrθ = 0 (3.30) ∂r r Immaginiamo per i problemi assialsimmetrici una funzione di sforzo Φ = Φ(r), in tal caso l’equazione biarmonica diventa una equazione differenziale: 2 2 d 1 d d Φ 1 dΦ + + (3.31) dr2 r dr dr2 r dr che ammette una soluzione del tipo: Φ(r) = A log r + Br2 log r + Cr2 + D
3.3.1
(3.32)
Membrana forata soggetta a carico biassiale
Consideriamo il problema di una membrana contenente un foro di raggio a e soggetta ad un carico remoto S biassiale (Fig.3.6), il problema può essere risolto sulla base della Φ(r) prima vista. In particolare le componenti di sforzo risultano: A σr = 2 + B(1 + 2 log r) + 2C r A (3.33) σθ = − 2 + B(3 + 2 log r) + 2C r σrθ = 0
55
S
S
2a
S
S
Figura 3.5: Membrana forata soggetta ad uno sforzo remoto S biassiale (S, S, 0) Poichè per r → ∞ lo sforzo deve essere finito deve essere B = 0 4 , imponendo le ulteriori condizioni al contorno si ottengono le costanti A e C. In particolare: σr = S per r → ∞ 2C = S → σr (a) = 0 A = −Sa2 Lo stato di sforzo nella membrana forata risulta quindi: 2 2 σθ = S 1 + ar2 σr = S 1 − ar2
(3.34)
Si può vedere come per r = a risulta σθ = 2S, ovvero nella membrana soggetta ad un carico biassiale un foro piccolo (piccolo rispetto alle dimensioni della membrana) crea una concentrazione di sforzo con Kt = 2.
3.3.2
Foro in una membrana indefinita soggetto a carico radiale
Consideriamo una membrana indefinita con una foro di raggio a soggetta ad un carico radiale S. La soluzione è ancora del tipo precedente con: A σr = 2 + 2C r A (3.35) σθ = − 2 + 2C r σrθ = 0 4 il termine B corrisponde a spostamenti non assialsimmetrici [1] e può venire annullato anche imponendo che il campo di spostamenti del problema in esame (come in questo caso) sia assialsimmetrico.
56
S
2a
Figura 3.6: Membrana forata soggetta ad un carico radiale S Imponendo le condizioni al contorno si ottiene la distribuzione di sforzo: a2 ( σr = S 2 σr = 0 per r → ∞ r → (3.36) 2 σr (a) = S σθ = −S a r2 Possiamo quindi dire che un carico distribuito sul contorno del foro da una concentrazione di sforzo locale con un Kt = −1. Esempio 3.1 Si può arrivare allo stesso risultato immaginando che lo stato di sforzo di Fig. 3.6 sia la sovrapposizione di due stati di sforzo qui di seguito rappresentati, di cui il primo è uno stato di sforzo biassiale uniforme. S
S
S
S
S
S
S
2a
2a
S
S
(a)
(b)
Figura 3.7: Membrana forata soggetta a carico assiale come sovrapposizione di: a) sforzo uniforme; b) sforzo (−S, −S, 0).
57
3.3.3
Membrana forata soggetta a taglio
Consideriamo la membrana forata indefinita già esaminata soggetta ad uno sforzo remoto (0, 0, S): σx = 0 σy = 0 σxy = S lo sforzo remoto in coordinate polari risulta: σr = S sin 2θ
σθ = −S sin 2θ
σrθ = S cos 2θ
Per θ = π/4 si ha σr = S, σθ = −S, σrθ = 0 che corrisponde allo stato di sforzo nelle direzioni principali (Fig.3.8(b)). Ricordando le Eq.(3.28) ricerchiamo, come già visto in Sez.3.2.2, una funzione di sforzo del tipo: Φ(r, θ) = f (r) sin 2θ Con tale posizione l’equazione biarmonica diventa: 2 2 1 d 4 d f 1 df 4f d + − + − 2 dr2 r dr r2 dr2 r dr r
(3.37)
Inserendo una soluzione del tipo f (r) = rm si ottengono le 4 radici 2, −2, 0, 4 e corrispondentemente la funzione di sforzo sarà: C Φ(r, θ) = Ar2 + Br4 + 2 + D sin 2θ (3.38) r S
S
B
A
S
2a
2a S (a)
(b)
Figura 3.8: Membrana forata soggetta a taglio: a) sforzo (0, 0, S); b) sforzo in coordinate polari (è evidenziato lo stato di sforzo per θ = π/4).
58
Le componenti di sforzo risultano: 4D 6C + sin 2θ σ = − 2A + r r4 r2 6C σθ = 2A + 12Br2 + 4 sin 2θ r 6C 2D σrθ = − 2A − 6Br2 + 4 + 2 cos 2θ r r Imponendo le condizioni al contorno: ( σr = S sin 2θ per r → ∞ σrθ = S cos 2θ
per r → ∞
(
(
e:
σr (a) = 0 σrθ (a) = 0
→
( →
A = −S/2 B=0
D = Sa2 C = −Sa4 /2
Lo stato di sforzo nella membrana risulta quindi: a4 a2 σ = S 1 + 3 − 4 sin 2θ r r4 r2 a4 ) sin 2θ σ = −S 1 + 3 θ r4 4 2 σrθ = S 1 − 3 a + 2 a cos 2θ r4 r2
(3.39)
Se analizziamo lo stato di sforzo nei punti A (θ = π/4) e B (θ = 3π/4) sul bordo del foro otteniamo: π σθ (a, ) = −4S 4 σθ (a, 3 π) = 4S 4 Considerando lo stato di sforzo remoto (di trazione per θ = π/4 e di compressione per θ = 3π/4), ne possiamo concludere che uno sforzo remoto tangenziale provoca sul bordo del foro un fattore di concentrazione degli sforzi Kt = 4 in corrispondenza delle direzioni degli sforzi principali.
3.3.4
Membrana forata soggetta a carico assiale
Soluzione analitica Lo stato di sforzo nella membrana (vedasi il riferimento di Fig.3.9) risulta: S σr = (1 + cos 2θ) 2 S (3.40) σθ = (1 − cos 2θ) 2 S σrθ = − sin 2θ 2 59
I y r
A
θ
S B
II
S
x
2a
Figura 3.9: Membrana forata soggetta ad un carico assiale. Dovendo imporre le condizioni al contorno remoto e sul foro circolare scarico, si può utilizzare una funzione di Airy del tipo: Φ(r, θ) = Ar2 + B log r + Cr2 cos 2θ +
D cos 2θ + F cos 2θ r2
(3.41)
Tramite le Eq.(3.28) si ottengono le componenti di sforzo. Imponendo che per r → ∞ lo stato di sforzo equivalga alle (3.40) si ottiene: A = S/4 C = −S/4 Imponendo che per r = a:
σr (a, θ) = 0 σrθ (a, θ) = 0
→
B = −Sa2 /2 F = Sa2 /2 D = −Sa4 /4
La distribuzione finale di sforzo risulta: 2 4 2 σr (r, θ) = S − Sa + S cos 2θ + 3 Sa cos 2θ − 2 Sa cos 2θ 2 4 2 2 2r 2 2r r S Sa2 S Sa4 σθ (r, θ) = + 2 − cos 2θ − 3 4 cos 2θ 2 2r 2 2r 4 S Sa Sa2 σrθ (r, θ) = − sin 2θ + 3 sin 2θ − sin 2θ 2 2r4 r2
(3.42)
Sul bordo del foro lo sforzo risulta: σr = 0 σθ = S · (1 − 2 cos 2θ) τrθ = 0 I massimi e minimi di σtheta sono: σθ,A = 3S
per θ = π/2, 3π/2
σθ,B = −S 60
per θ = 0, π
(3.43)
Se consideriamo la sezione I − I, che passa per il centro del foro e corrisponde a θ = π/2, gli sforzi dalla (3.42) risultano (Fig. 3.10): 2 a4 3 a σr = S 2 − 4 2 r r 2 1 a4 a (3.44) σθ = S 2 + 2 + 3 4 2 r r τrθ = 0 E’ facile vedere il carattere locale della concentrazione di sforzo in quanto σθ decresce molto rapidamente e tende allo sforzo S. Già per r/a = 5 si ottiene σθ = 1.02S e quindi a partire da una tale distanza l’effetto del foro è trascurabile. Lungo la linea II − II (θ = 0) gli sforzi sono (Fig. 3.11): a2 1 a4 σr = S 2 − 5 2 + 3 4 2 r r 2 4 1 a a σθ = S 2 − 3 4 2 r r
(3.45)
τrθ = 0 Anche in questo caso va annotato il carattere locale dello sforzo circonferenziale in B, l’andamento di σθ cambia di segno in quanto la risultante di tali sforzi lungo la linea II − II deve essere nulla. Soluzione come sovrapposizione degli effetti Se consideriamo una membrana caricata da uno sforzo (0, S, 0) si può notare come lo stato di sforzo possa ottenersi come sovrapposizione dei due stati di 3 !" / S !r / S 2.5
!"/ S, !r/ S
2
1.5
1
0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
r/a
Figura 3.10: Sforzi adimensionalizzati lungo la linea I − I. 61
1 !" / S
0.8
!r / S
0.6
!"/ S, !r / S
0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
r/a
Figura 3.11: Sforzi adimensionalizzati lungo la linea II − II. sforzo mostrati in Fig.3.12 dei quali già conosciamo le soluzioni. In particolare nel punto A (sulla base dei Kt delle sezioni precedenti) lo stato di sforzo circonferenziale risulta: σθ = 2 · (0.5S) + 4 · (0.5S) = 3S
0.5 S 0.5 S
0.5 S
0.5 S
0.5 S
0.5 S
0.5 S
0.5 S
(a)
(b)
Figura 3.12: Membrana forata soggetta a carico assiale come sovrapposizione di: a) sforzo (0.5S, 0.5S, 0); b) sforzo (−0.5S, 0.5S, 0). e nel punto B: σθ = 2 · (0.5S) − 4 · (0.5S) = −S Lo stato di sforzo lungo le linee I e II può altresì essere ottenuto sovrapponendo σr e σθ dei due casi. 62
3.3.5
Carico concentrato su un semispazio elastico
Data una membrana caricata da una forza concentrata P (P è una forza per unità di lunghezza poichè ripartita sull’intero spessore della membrana di spessore unitario, Fig. 3.13), è possibile calcolare in modo semplice la distribuzione di sforzo esatta nella membrana. Poichè per r → ∞ lo sforzo deve annullarsi è facile immaginare (anche dal punto di vista dimensionale) che le componenti di sforzo debbano essere espressi da relazioni del tipo: σij (r, θ) =
P gij (θ) r
(3.46)
Se ipotizziamo una funzione di sforzo del tipo: Φ = rP f (θ)
(3.47)
introducendo nella Eq.(3.29) diventa una equazione differenziale ordinaria: f +2
d2 f d4 f + =0 dθ2 dθ4
(3.48)
la cui soluzione è: f (θ) = A sin θ + B cos θ + Cθ sin θ + Dθ cos θ
(3.49)
Ne risulta una funzione di sforzo: Φ = rP A sin θ + B cos θ + Cθ sin θ + Dθ cos θ
(3.50)
Poichè i termini in sin θ e cos θ non danno contributi agli sforzi (essendo x = r cos θ ed y = r sin θ) e cerchiamo una soluzione tale che σr sia simmetrica rispetto a θ = 0, se ne ricava che la funzione di sforzo sarà: Φ(r, θ) = rP Cθ sin θ
Figura 3.13: Carico P concentrato sul bordo di una membrana. 63
(3.51)
La costante C si ricava imponendo che lungo una semicirconferenza di raggio r vi sia equilibrio alla traslazione in x: Z
π/2
σr cos θrdθ = −P
(3.52)
−π/2
da cui si ottiene C = −1/π. Le equazioni dello stato di sforzo risultano: σ = − 2P cos θ r π r (3.53) σθ = σrθ = 0 ovvero la forza P da origine solo a degli sforzi radiali mentre le altre componenti di sforzo sono nulle. E’ importante annotare come lo stato di sforzo sia singolare, ovvero per r → 0 σr → ∞: tuttavia in un componente vero a mitigare questa singolarità interviene la non-linearità del contatto (se immaginiamo ad esempio il contatto di una superficie cilindrica di raggio qualunque sul semipiano elastico, il contatto idealmente è puntiforme come in Fig.3.13 ma gli sforzi fanno deformare le superfici a contatto facendo aumentare l’area di contatto) ed eventualmente la plasticizzazione localizzata nella zone di applicazione del carico. Se calcoliamo le componenti di sforzo nel riferimento X − Y di Fig. 3.13 ad una distanza h dal bordo della membrana otteniamo: 2P cos3 θ 2P 2 σ = σ cos θ = − =− cos4 θ x r π r πh 2P 2 (3.54) sin θ cos2 θ σy = σθ sin2 θ = − πh σ = σ sin θ cos θ = − 2P sin θ cos3 θ xy rθ πh L’andamento di tali sforzi è riportato in Fig.3.15: si nota come gli sforzi (il cui valore massimo è inversamente proporzionale ad h) decrescano rapidamente con la distanza dalla retta di applicazione del carico. Una soluzione approssimata σx∗ per la componente di sforzo nella direzione del carico può essere trovata immaginando che gli sforzi σx∗ dovuti a P si sviluppino su un settore angolare del semipano di semiampiezza π/4 [6]. Il valore di tale sforzo vale σx∗ = −P/2h e sottostima del 27% il valore massimo effettivo σx,max = −2P/πh.
64
0.4
"x "y
0.2
#xy
2P/(! h)
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1 −5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
y/h
Figura 3.14: Sforzi per un carico localizzato ad una distanza h dal bordo del semipiano.
P y h
45° 45°
h
h
x
σ*x
Figura 3.15: Calcolo approssimato degli sforzi di contatto σx∗ ad una distanza h dal bordo del semipiano [6].
65
3.4
Esercizi
Esercizio 3.1 Consideriamo a contatto due corpi rugosi (rugosità con una lunghezza d’onda L = 20 [µm]): immaginiamo che la pressione di contatto p che si scambiano i due corpi sia descrivibile come sovrapposizione di una componente costante più una componente sinusoidale. A quale profondità dalla superficie non si risente più della distribuzione non uniforme della pressione ? Esercizio 3.2 Data una membrana forata soggetta allo stato di sforzo (espresso in MPa) (100, 60, 50). Calcolare: i) l’andamento dello sforzo σθ sul bordo del foro; ii) i valori massimi e minimi dello sforzo σθ ; iii) le direzioni per le quali σθ è massimo cosa rappresentano per il tensore [σij ] dello stato di sforzo remoto ? Esercizio 3.3 Data una membrana forata soggetta allo stato di sforzo generico (Sx , Sy , 0) ricavare un’espressione analitica della concentrazione di sforzo nei punti A e B (vedasi Fig.3.9) al variare della biassialità λ = Sx /Sy . Esercizio 3.4 Risolvere lo stesso caso di Es.3.2 tramite la soluzione dell’esercizio precedente.
66
Capitolo 4
Intagli e concentrazione di sforzo Si riprendono alla luce del Cap. 2 i concetti di coefficiente d’intaglio, già esposti nel Corso di Costruzione di Macchine 1, illustrando il concetto di ellisse equivalente e come si possano applicare a problemi reali i dati/grafici dei coefficienti d’intaglio disponibili in letteratura per geometrie semplificate 1 .
4.1
Concentrazione di sforzo nella membrana forata
Nel Cap. 2 abbiamo visto come la concentrazione di sforzo al bordo di un foro in una membrana indefinita sia caratterizzato da una una concentrazione di sforzo con σθ,max = 3 · S per θ = ±π/2 (dove S è lo sforzo remoto applicato). Richiamando il concetto di coefficiente d’intaglio: Kt =
σmax σnom
(4.1)
si ricava che il coefficiente d’intaglio per un foro in una lastra indefinita (ovvero una lastra molto più grande delle dimensioni del foro) è Kt = 3. Se consideriamo una applicazione reale in cui una lastra di dimensioni finite è soggetta ad uno sforzo assiale σ, si può vedere come il coefficiente d’intaglio diminuisca al variare del rapporto d/H (Fig. 4.1) partendo da un valore 3 per d/H = 0 (quando d → 0 il foro è infinitesimo rispetto alle dimensioni della lastra torniamo al caso visto nel capitolo precedente). La ragione di tale variazione è che, pensando all’analogia idrodinamica già vista nel corso di Costruzione di Macchine 1 [4], il flusso degli sforzi intorno al foro diminuisce all’aumentare delle dimensioni dello stesso. In particolare riferendosi alla sezione nominale minima 1a
cura di S. Beretta
67
Figura 4.1: Coefficiente d’intaglio in una membrana forata di dimensioni finite [7]. della lastra:
σ (4.2) H −d ed il coefficiente d’intaglio Kt può essere approssimato con la formula [7] (ottenuta come interpolazione di risultati sperimentali): 3 d Kt = 2 + 1 − (4.3) H σnom =
Se il coefficiente d’intaglio viene invece riferito alla sezione lorda - Kt,g - la concentrazione di sforzo tende invece a salire, perché all’aumentare delle dimensioni del foro si riduce sempre di più la sezione minima e lo sforzo nominale tende ad innalzarsi rispetto allo sforzo remoto σ. In particolare: Kt,g =
Kt (1 − d/H)
(4.4)
L’effetto della superficie libera su Kt,g è simile a quello che si ritroverà sul fattore di forma per esprimere il SIF all’apice delle fratture. 68
4.2
Membrana con foro ellittico
Nel caso di una membrana di dimensioni indefinite contenente un foro ellittico di semiassi a, b e soggetta ad uno sforzo remoto σ (in direzione y), lo stato di sforzo può essere espresso in diverse formulazioni abbastanza complicate. Quello che qui ci interessa annotare è che lo sforzo tangente al foro in A risulta: 2a σA = 1 + ·σ (4.5) b mentre quello in B risulta σB = −σ (come nel foro circolare) indipendentemente dal rapporto a/b. Il coefficiente d’intaglio per un foro ellittico è quindi: Kt = 1 +
2a b
(4.6)
che può altresì essere riscritta come: r Kt = 1 + 2
t ρ
(4.7)
dove t = a è la semilarghezza della cavità e ρ è il raggio di curvatura in A (per un ellisse ρ = b2 /a).
Figura 4.2: Membrana con foro ellittico [7].
Esempio 4.1 Si consideri una membrana indefinita soggetta ad uno sforzo di 100 [MPa] contenente un foro ellittico delle dimensioni 20, 10 [mm]: valutare la concentrazione di sforzo al variare della giacitura della cavità (asse maggiore orizzontale o
69
verticale). Consideriamo dapprima l’asse del foro orizzontale: in tal caso 2a = 20 [mm] e 2b = 10 [mm]: per la Eq.(4.6) risulta Kt = 5. Al semiasse maggiore è presente uno sforzo σA = 500 [MPa] ed al semiasse minore uno sforzo σB = −100 [MPa]. Nell’altra giacitura dell’ellisse Kt = 2: lo sforzo massimo sulla periferia del foro è pari a 200 [MPa].
La Eq. (4.7) mostra come per ρ → 0 (come nel caso di una cavità ellittica che si assottiglia fino a diventare una frattura) lo stato di sforzo diventi singolare con σA → ∞. Nel caso di fratture abbandoneremo il Kt ed analizzeremo lo stato di sforzo (per eseguire le verifiche di resistenza) sulla base del SIF (Stress Intensity Factor ), un parametro che descrive l’intensità del campo di sforzo singolare all’apice della frattura.
4.3 4.3.1
Determinazione dello stato di sforzo in organi di macchina Ellisse equivalente
La determinazione esatta dello stato di sforzo indotto da intagli di varia forma presenti negli organi di macchina va fatta sulla base di geometrie (più o meno semplificate) presenti nei manuali oppure attraverso analisi numeriche. Tuttavia è possibile in molti casi ricavare indicazioni di prima approssimazione, peraltro in molti casi vicine al vero, senza bisogno di analisi complicate adottando il concetto di ellisse equivalente.
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70
Consideriamo ad esempio il caso della cavità romboidale di Fig. 4.3 in una membrana soggetta allo sforzo remoto σ. Per stimare il coefficiente d’intaglio nel punto A immaginiamo un’ellisse che abbia la stessa larghezza della cavità ed lo stesso raggio di raccordo ρA . Il coefficiente d’intaglio può essere stimato come: r a Kt,A = 1 + 2 ρA
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!! #$%&'&'(!!)**+$,-"$./!.0!"12!,./,2*"!.0!234$5-+2/"!2++$*62! Figura 4.4: Intaglio sul bordo di una membrana [8].
Consideriamo ora un intaglio a V sul bordo di una membrana: anche in questo caso si può adottare il concetto di ellisse equivalente, immaginando un’ellisse che approssima la forma sulla base della profondità e del raggio di raccordo al fondo dell’intaglio. In particolare risulta dalla Eq.(4.7): r t Kt = 1 + 2 ρ Esempio 4.2 Si consideri un intaglio semicircolare sul bordo di una membra: stimare il coefficiente d’intaglio. Adottando in questo caso la Eq.(4.7) risulta: Kt,A ∼ = 3. Il valore vero del coefficiente d’intaglio è Kt = 3.06 [7]. La ragione per cui questa concentrazione di sforzo è molto σ
A
Figura 4.5: Intaglio semicircolare.
71
σ
simile a quella di un foro è che nell’intaglio semicircolare sul bordo manca, rispetto alla membrana forata, la presenza degli sforzi σθ : il loro effetto è modesto in A giacché hanno una risultante nulla (lo stesso vale per una cavità semi-ellittica). Esempio 4.3 Si consideri un foro tangente al bordo di una membrana semi-infinita soggetta ad un sforzo remoto σ (questo semplice caso schematizza una inclusione o difetto appena sotto la superficie di un pezzo): stimare il coefficiente d’intaglio nel punto A.
2r
σ
σ
A
Figura 4.6: Foro al bordo di una membrana semi-infinita. In questo caso applicando ancora la Eq.(4.7) risulta: Kt,A ∼ = 3.828, molto vicino al valore esatto Kt = 4 [7].
4.3.2
Intagli multipli
Nel caso di due o più intagli presenti in una stessa posizione ci troviamo in presenza di una concentrazione multiple di sforzo. Un esempio è quello della Fig. 4.7 in cui sul bordo di un foro è ricavato un piccolo intaglio semicircolare.
Figura 4.7: Intagli multipli [7]: a) piccolo intaglio semicircolare al bordo di un foro; b) schematizzazione dell’intaglio.
72
In casi come questo in cui le dimensioni geometriche di un intaglio sono molto minori di quelle dell’altro si può ragionare in questo modo: • lo stato di sforzo indotto dal foro è Kt1 = 3; • lo stato di sforzo indotto dal piccolo intaglio semicircolare non è in grado di perturbare la distribuzione di sforzo intorno al foro grande e di conseguenza l’intaglio è investito da uno sforzo pari a Kt1 · σ; • l’intaglio è approssimabile all’intaglio semicircolare al bordo di una membrana semi-infinita e caratterizzato da Kt2 = 3.06. In conseguenza dei punti precedenti la concentrazione di sforzo al bordo dell’intaglio risulta: Kt1,2 = Kt1 · Kt2 = 9.18 Un altro caso simile è quello di un foro al fondo di uno spallamento o la gola di un albero: considerando un albero con un foro piccolo al fondo di una gola (come si verifica per i fori di lubrificazione in alberi motore) soggetto a torsione, detto Kt,tors il coefficiente d’intaglio a torsione dell’albero, al bordo del foro si ha Kt = 4·Kt,tors . Nel caso invece di intagli di dimensioni simili le considerazioni semplici
Figura 4.8: Intagli multipli [7]: albero con un foro piccolo al fondo di una gola in cui il Kt è ricavabile tramite moltiplicazione dei coefficienti d’intaglio. sopraesposte non possono essere applicate (Fig. 4.9(a)): la concentrazione di sforzo può essere stimata sulla base del concetto di ellisse equivalente. Un simile concetto si può applicare anche al caso di gole negli alberi (Fig. 4.9(b)), scegliendo geometrie sostitutive (intagli a U o iperbolici) con la stessa profondità e raggio al fondo.
4.3.3
Sovrapposizione degli effetti
Nel caso un pezzo sia soggetto a diversi carichi, lo stato di sforzo al fondo degli intagli si ottiene come semplice sovrapposizione degli effetti. In particolare,
73
(a)
(b)
Figura 4.9: Intagli multipli costituiti da geometrie di dimensione simile non risolvibili con la moltiplicazione dei coefficienti d’intaglio: a) foro con intagli ellittici; b) albero con gola doppia.
Figura 4.10: Sovrapposizione di carichi su un elemento intagliato.
74
considerando una membrana sottile cui siano applicati un carico assiale ed una coppia flettente, detti: σmax,1 = Kt,1 · σnom,1
σmax,2 = Kt,2 · σnom,2
gli sforzi massimi dovuti rispettivamente a P ed M , lo sforzo al fondo dell’intaglio risulta: σmax = σmax,1 + σmax,2 = Kt,1 · σnom,1 + Kt,2 · σnom,2
(4.8)
Nel caso di componenti soggetti a carichi che provocano componenti sforzo diverse al fondo di un intaglio, come nel caso di un albero soggetto a carichi che inducono sforzi normali (azione assiale P e coppia flettente M ) e sforzi di taglio (una coppia torcente T ), si sovrappongono gli effetti e si ricorre quindi ad un opportuno criterio di cedimento (statico o fatica) per lo stato di sforzo composto come mostrato nel successivo esempio. Esempio 4.4 Si consideri una gola semicircolare di raggio r = 2 [mm] in un albero del diametro D = 50 [mm] soggetto ai seguenti carichi: P = 40 [kN], M = 1000 [Nm], T = 500 [Nm]. Calcolare lo sforzo equivalente (criterio della τ ottaedrale) al fondo dell’intaglio.
Figura 4.11: Sovrapposizione di carichi su un albero con una gola semicircolare. Per effetto dell’azione assiale (Kt = 2.70) lo sforzo massimo è σmax,P = 38.18 [MPa] e per effetto del momento flettente (Kt = 2.45) lo sforzo massimo σmax,M = 225.65 [MPa]: lo sforzo normale massimo al fondo della gola è quindi σmax = 263.83 [MPa]. Lo sforzo tangenziale massimo (Kt = 1.75) è τmax = 40.28 [MPa]. Essendo in prima approssimazione uno stato di sforzo piano (trascurando le componenti circonferenziali dello sforzo normale) la sollecitazione di confronto si calcola come: p 2 2 σ∗ = σmax + 3 · τmax = 272.89 [MPa]
75
Capitolo 5
Problemi assialsimmetrici Si considera una classe particolare di problemi assialsimmetrici, molto comuni nelle applicazioni meccaniche. A questa classe di problemi appartengono dischi e cilindri soggetti a pressioni radiali e a effetti di forze centrifughe dovute a rotazione con velocità angolare ω costante 1 .
5.1
Problema termoelastico lineare
Si considerano una classe particolare di problemi assialsimmetrici in cui le condizioni di carico, gli sforzi e le deformazioni dipendono solo dalla coordinata radiale r. Sia per gli effetti elastici sia per gli effetti termici si fa l’ipotesi che il mezzo sia isotropo. Le componenti del generico stato di sforzo sono σr , σθ , σz , funzioni solo della coordinata radiale r, come indicato nella Fig. 5.1(a) e τr,θ = τr,z = τθ,z = 0. Quindi σr , σθ , σz sono sforzi principali. Su un elementino Y r
σθ
dθ
dr
σr Fr
σ r+ dσr X
(a)
σθ (b)
Figura 5.1: Problemi assialsimmetrici: a) stato di sforzo; b) equilibrio radiale elemento. 1a
cura di A. Loconte e S. Beretta
76
isolato in coordinate cilindriche agisce, oltre agli sforzi di superficie, anche la forza di massa per unità di volume Fr . Scrivendo la condizione di equilibrio in direzione radiale (l’unica non identicamente soddisfatta) si ha: dr dθ ·dθdrdz = 0 −σr ·rdθdz+(σr +dr)·(r+dr)·dθdz−2σθ drsin ·dz+FR r + 2 2 (5.1) Sviluppando e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al terzo e dividendo per dz dθ si ricava: σr dr + dσr r − σθ dr + FR rdr = 0 dσr r − σθ + FR r = 0 σr + dr Infine l’equazione di equilibrio in direzione radiale si scrive: d (σr r) − σθ + FR r = 0 dr
(5.2)
Una porzione di materiale (come nella Fig. 5.1(a)(a)) sottesa dall’angolo dθ può solo muoversi in direzione radiale con uno spostamento u. Considerando le componenti di deformazioni di tale caso, nell’esempio 2.1 avevamo ottenuto le Eq. (2.1): du u r = θ = dr r che possiamo combinare in: du d(θ r) = = r dr dr per ottenere l’equazione di congruenza: d(θ r) − r = 0 (5.3) dr Alla equazione di congruenza si devono aggiungere le condizioni al contorno e la legge costitutiva del materiale così espressa dalle relazioni termoelastiche: 1 [σr − ν (σθ + σz )] + α T (r) E 1 θ = [σθ − ν (σr + σz )] + α T (r) E 1 z = [σz − ν (σr + σθ )] + α T (r) E r =
(5.4)
Si introduce a questo punto la funzione di sforzo Φ0 (r) che diventa l’incognita del problema, essa rende identicamente soddisfatta l’equazione di equilibrio. In questo caso si pone: σr r = Φ0 σθ =
dΦ0 + FR r dr 77
(5.5)
La funzione Φ0 si determina mediante l’equazione di congruenza espressa in termini di sforzo attraverso la legge costitutiva. Considerando quanto già visto nel Cap. 4, si può dire che la funzione Φ0 è la derivata del potenziale di Airy.
5.2
Dischi sottili
Si trattano dischi omogenei, isotropi, di spessore costante infinitesimo, rotanti attorno all’asse principale d’inerzia z e sottoposti a pressioni sui contorni interno ed esterno, come mostra la Fig. 5.2. In ogni punto del disco si ha: σz = τrz = τθz = 0
(5.6)
Indicando con ρ la densità del materiale, la forza di massa per unità di volume è Fr = ρ ω 2 r (5.7) e le relazioni termoelastiche sono: 1 (σr − νσθ ) + α T (r) E 1 (σθ − νσr ) + α T (r) θ = E ν z = − (σr − νσθ ) + α T (r) E r =
(5.8)
dove α è il coefficiente di dilatazione lineare del materiale e T (r) è la temperatura (variabile lungo il raggio). Esprimendo le componenti di deformazione
ω
pi
pe Figura 5.2: Disco sottile e relative condizioni al contorno. 78
in funzione degli sforzi ed introducendole nell’equazione di congruenza (5.3) si ottiene: r d d 1 1 (σθ − νσr ) + α r T (r) + (σθ − νσr ) − (σr − νσθ ) = 0 E dr dr E E dσr dσr dT σθ − νσr − σr + νσθ + r −rν +αEr =0 dr dr dr Introducendo gli sforzi, espressi attraverso la funzione di sforzo Φ0 , si ha r2
d2 (Φ0 ) d(Φ0 ) dT + r − Φ0 = −ρω 2 r3 (3 + ν) − αEr2 dr2 dr dr
che è un’equazione differenziale lineare completa di Eulero. dell’integrale generale dell’omogenea associata si pone:
(5.9)
Per la ricerca
(Φ0 )0 = rλ da cui: d(Φ0 )0 = λrλ−1 dr d2 (Φ0 )0 = λ (λ − 1) rλ−2 dr2 Sostituendo si ottiene: r2 λ (λ − 1) rλ−2 + r λ rλ−1 − rλ = 0 → rλ [λ (λ − 1) + λ − 1] = 0
(5.10)
che dovendo valere per ogni r esige che λ1 = 1
λ2 = −1
(5.11)
e la soluzione dell’omogenea associata è: C2 r
(5.12)
T r dr
(5.13)
(Φ0 )0 = C1 rλ1 + C2 rλ2 = C1 r + L’integrale particolare è: 3+ν 2 3 1 (Φ ) = − ρω r − α E 8 r 0 00
Z
r
k
e quindi l’integrale generale risulta: Φ0 = (Φ0 )0 + (Φ0 )00 = C1 r +
C2 3+ν 2 3 1 − ρω r − α E r 8 r
Z
r
T r dr
(5.14)
k
in cui C1 e C2 sono costanti da determinare imponendo le condizioni al contorno. Si vede la sovrapposizione degli effetti dovuti alla rotazione (terzo addendo) e alla distribuzione della temperatura (quarto addendo). 79
Ricordando il legame tra la Φ0 e gli sforzi definito mediante la funzione del Airy, si ricava infine Z r Φ0 3+ν C2 1 T r dr (5.15) σr = = C1 + 2 − ρ−αE 2 r r 8 r k Z r dF 1 + 3ν C2 1 T r dr − α E T (5.16) + Rr = C1 − 2 − ρ+αE 2 σθ = dr r 8 r k Se T (r) = costante, gli integrali si spezzano nella somma di un termine costante e di uno in r−2 che si conglobano in C1 e in C2 . Solo se la temperatura non è uniforme ci sono sforzi termici.
5.2.1
Disco con sole pressioni sui contorni
Disco pieno La soluzione generale si riduce a quella del Lamé (citato in [9]). C2 r2 C2 σθ = C1 − 2 r σr = C 1 +
per cui: σr + σθ = 2 C1
(5.17)
Il disco si deforma in modo che le superficie laterali rimangono piane e parallele infatti: 1 (σr − νσθ ) E 1 θ = (σθ − νσr ) E 2νC1 ν = costante z = − (σθ + σr ) = − E E r =
(5.18)
Questa condizione, superficie laterali che rimangono piane durante la deformazione, per simmetria deve essere verificata anche per un concio infinitesimo di un cilindro infinitamente lungo (paragrafo ??) quindi per l’unicità della soluzione del problema elastico, la soluzione del Lamé, qui data per i dischi, è anche soluzione del problema dei cilindri infinitamente lunghi, pieni o cavi, con sole pressioni sui contorni. Se il disco non ha un foro centrale deve essere C2 = 0 affinché, per r → 0, gli sforzi non tendano all’infinito e quindi 2 : σr = C 1
σθ = C1
2 Si poteva anche arrivare alla stessa conclusione considerando che per r = 0 deve essere σr = σθ .
80
pe pe
pe pe
pe Figura 5.3: Stato di sforzo in un disco sottile soggetto a pressione esterna pe . La costante C1 si determina quindi imponendo l’unica condizione sul contorno esterno: σr = −pe per r = re dove il segno − deriva dall’aver assunto positivi gli sforzi di trazione. Si ha dunque in ogni punto del disco: σr = −pe
(5.19)
σθ = −pe
con uno stato di sforzo piano idrostatico (nel piano) come indicato nella figura 5.3. Disco forato Nel caso in cui il disco sia forato è necessario scrivere le condizioni sia sul contorno interno sia su quello esterno: σr = −pi
per
r = ri
σr = −pe
per
r = re
Si ricava C1 =
pi ri2 − pe re2 re2 − ri2
C2 =
81
C2 r2 C2 − pe = C1 + 2 r
− pi = C1 +
(pe − pi ) ri2 re2 re2 − ri2
(5.20)
2
σr/pi σθ/pi
1.5
a=2
1
σ/pi
a=2.5 a=3 0.5
0
a=3
a=2
a=2.5
−0.5
−1 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
(r−ri)/(re−ri)
Figura 5.4: Andamento di σr e σθ per pressione interna pi e diversi valori di a. e quindi l’espressione degli sforzi è la seguente: pi ri2 − pe re2 (pe − pi ) ri2 re2 + re2 − ri2 re2 − ri2 2 2 (pe − pi ) ri2 re2 pi ri − pe re − σθ = re2 − ri2 re2 − ri2 σr =
1 r2 1 r2
Nel caso di sola pressione esterna (pi = 0), indicando con a = 2 ri a2 − 1 a2 − 1 r2 2 a2 r σθ = p e 2 − i2 − 1 a −1 r σr = p e
(5.21)
re , si ha: ri
ovunque di compressione (5.22) ovunque di compressione
All’intradosso dove si ha il massimo valore assoluto di σθ è σr = 0 e σθ = −pe
2 a2 a2 − 1
(5.23)
e nel caso di foro molto piccolo (ri → 0 rispetto alle dimensioni esterne del disco) si ha3 : lim σθ = −2 pe ri →0
3 Allo stesso risultato si può arrivare considerando le (5.19) ed il coefficiente d’intaglio per un foro in una lastra soggetta a stato di sforzo biassiale (crf. Cap.2).
82
All’estradosso si ha: σr = −pe
e σr = −pe
a2 + 1 a2 − 1
(5.24)
Si osserva che |σθ | è sempre maggiore di pe e tende a pe per re → ∞. Va anche annotato come i valori degli sforzi non dipendono dalle dimensioni assolute del disco ma dal rapporto a = re /ri . Nel caso della sola pressione interna (Fig. 5.4) con pe = 0 si ha: a2 ri2 pi ovunque di compressione 1− 2 σr = 2 a −1 r (5.25) a2 ri2 pi 1+ 2 ovunque di trazione σθ = 2 a −1 r All’intradosso dove σθ è massima si ha: σr = −pi σθ = pi
a2 + 1 > pi a2 − 1
(5.26)
In questo caso la σθ è sempre maggiore di pi e tende a pi per re → ∞ o per ri → 0. All’estradosso si ha σr = 0 2 · pi σθ = 2 a −1 Esempio 5.1 Si consideri un disco in realizzato in Fe510 avente diametro esterno pari a 30 mm e forzato su un albero di diametro 10 mm. Si calcoli il valore massimo della pressione che, per effetto del forzamento, si può ammettere sul diametro interno affinché il coefficiente di sicurezza rispetto allo snervamento sia pari a 1.2. Il punto più sollecitato si ha all’intradosso dove: σr = −pi
e
σ θ = pi
a2 + 1 a2 − 1
(5.27)
Indicando con σ ∗ lo sforzo di confronto di Guest-Tresca, essendo σz = 0, si ha: σ ∗ = σθ − σr = pi
a2 + 1 + pi a2 − 1
(5.28)
Assumendo per il materiale Fe510 lo sforzo di snervamento pari a 355 MPa ed essendo a = re /ri = 3, si può scrivere: σ ∗ = pi (
32 + 1 355 + 1) = 32 − 1 1.2
da cui pi,max = 132 MPa, σr =-132 MPa, σθ = 165 MPa e σ ∗ = 297 MPa.
83
(5.29)
5.2.2
Disco rotante a ω costante
Le espressioni degli sforzi sono: 3+ν 2 2 C2 − ρω r r2 8 1 + 3ν 2 2 C2 σθ = C 1 − 2 − ρω r rp 8 σr = C 1 +
e la dilatazione lungo z è: z = −
ν ν (σr + σθ ) = − E E
1+ν 2C1 − ρω 2 r2 2
che mostra come le superficie laterali non restino piane; C1 e C2 si determinano imponendo le condizioni al contorno. Disco pieno Nel caso del disco pieno, se la superficie esterna è scarica, si ha: σr = σθ
per
r=0
σr = 0
per
r = re
e si ottiene:
3+ν 2 2 ρω r C2 = 0 8 Con questi valori delle costanti le espressioni degli sforzi diventano: C1 =
3+ν ρ ω 2 (re2 − r2 ) ovunque di trazione 8 3+ν 1 + 3ν σθ = ρ ω 2 re2 − ρ ω 2 r2 ovunque di trazione 8 8 σr =
Al centro del disco, per r = 0, è σr = σθ =
3+ν ρ ω 2 re2 8
e nel caso di ν = 0.3: σr = σθ = 0.412 ρ ω 2 re2 . Alla periferia del disco, per r = re , si ottiene: σr = 0 1−ν σθ = ρ ω 2 re2 4 La deformazione assiale z risulta variabile con r: ν 3+ν 2 1+ν 2 2 z = − ρ ω re − r E 4 2 84
(5.30)
0.5 σr/(ρ ω2 r2e) σθ/(ρ ω2 r2e)
σ/(ρ ω2 r2e)
0.4
0.3
0.2
0.1
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r/re
(a)
(b)
Figura 5.5: Disco rotante a ω costante: a) stato di sforzo; b) deformata qualitativa del disco. L’andamento degli sforzi è mostrato nella Fig. 5.5(a). La deformata qualitativa del disco è mostrata in Fig. 5.5(b): si può immediatamente notare come la soluzione dei dischi rotanti non possa essere valida anche per i cilindri in quanto z varia radialmente. Nel cilindro rotante dovrà quindi nascere una σz (variabile lungo il raggio) tale da rendere z = cost. Esempio 5.2 Si consideri un disco pieno in acciao (ρ = 7800kg/m3 ) rotante con velocità periferica vp = 100 m/s. Assumendo re =1 m (ω=100 rad/s), e lo spessore del disco (s) pari a 20 mm, si calcoli lo stato di sforzo al centro del disco e la massima riduzione di spessore del disco per effetto della rotazione. Al centro del disco: 3+ν 3+ν σr = σθ = ρ ω 2 re2 = · 7800 · 1002 = 32.4 · 106 [P a] = 32.4 [M P a]. 8 8 . La massima riduzione di spessore del disco si ha al centro del disco stesso dove è massimo in valore assoluto il valore di z . Per r = 0 si ha: ν 3+ν 2 re z = − ρ ω 2 E 4 Assumendo ν = 0.3, E = 200000 MPa ed esprimendo tutto nel SI si ha: 3 + 0.3 0.3 7800 1002 = −96 · 10−6 = −96 [µ] 200000 106 4 . La massima riduzione di spessore al centro del disco risulta: z = −
∆s = z · s = −96 · 10−6 · 20 [mm] = 0, 002 [mm]
85
Disco forato Se il disco rotante è forato, le condizioni al contorno sono σr = 0
per
r = ri
σθ = 0
per
r = re
e le espressioni degli sforzi sono: r2 r2 3+ν ovunque di trazione ρ ω 2 ri2 + re2 − e 2 i − r2 σr = 8 r 3+ν 1 + 3ν 2 r2 r2 σθ = ρ ω 2 ri2 + re2 + e 2 i − r ovunque di trazione 8 r 3+ν (5.31) Il valore massimo di σr è: (σr )max = e si ha per r = (σθ )max
3+ν 3+ν ρω 2 ri2 − re2 = ρω 2 r2 8 8
2 1 1− a
√
ri re , mentre il valore massimo di σθ è 3+ν 1−ν 2 3+ν 1−ν 1 2 2 2 2 = ρω re + r = ρ ω re 1 + 4 3+ν i 4 3 + ν a2
e si manifesta all’intradosso. All’estradosso si ha il minimo valore di σθ : 1−ν 2 3+ν 1 1−ν 3+ν ρω 2 ri2 + re = ρω 2 re2 + (σθ )r=re = 4 3+ν 4 a2 3+ν L’andamento degli sforzi è mostrato nella Fig. 5.6. Si può osservare che il valore degli sforzi dipende dalla forma (rapporto re /ri ), dalla densità ρ, dal coefficiente del Poisson ν e dalla velocità periferica vp = ω re . E’ interessante notare come per un foro molto piccolo presente sull’asse (ri → 0), cioè per a → ∞, si ottiene: σθ, max =
3+ν 2 2 ρω re 4
che è il doppio del valore di σθ al centro di un disco pieno rotante. Esempio 5.3 Si consideri un disco pieno in acciaio (ρ = 7800kg/m3 ) rotante con velocità di rotazione ω = 3000 [g/min], avente re =1 [m] e ri =0.2 [m], con uno spessore s= 40 [mm]. Alla periferia del disco sono vincolate 64 palette avente ognuna una massa mp = 1[kg], si calcoli lo stato di sforzo all’intradosso del disco.
86
1 σr/(ρ ω2 r2e) σθ/(ρ ω2 r2e)
σ/(ρ ω2 r2e)
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
0.2
0.4 0.6 (r−ri)/(re−ri)
0.8
1
Figura 5.6: Andamento di σr e σθ per il disco rotante a ω costante con re /ri = 4. Calcolando la risultante totale dovute alla forza centrifuga delle palette (ω = 314.15 [rad/s]) si ottiene che: Fr = 64 · mp · ω 2 · re = 6.316 · 106 [N ] dividendo per l’area totale su cui è applicata Fr (la superficie esterna del disco) ne risulta: Fr = 25.13 [M P a] σext = 2π · re · s Lo stato di sforzo all’intradosso del disco turbina è quindi la sovrapposizione dello sforzo dovuto a σext (che già contiene la forza centrifuga delle palette) e di quello dovuto alla rotazione del disco. In particolare: σθ = σθ,ω + σθ,σext = 640.46 + 52.35 = 692.81 [M P a]
Come si vede chiaramente dall’esempio, nel disco rotante gli sforzi circonferenziali maggiori sono all’intradosso e, nei casi di interesse applicativo in cui (ω · re ) assume valori elevati, sono sicuramente impegnativi per i materiali di comune impiego. Nelle turbine (a vapore o a gas) il profilo dei dischi (che sono anche soggetti alle forze radiali centrifughe delle palette) presentano uno spessore maggiore all’intradosso proprio per presidiare tali sforzi circonferenziali. Le palette vengono fissate all’esterno del disco mediante opportuni collegamenti che permettono un facile montaggio delle pale ed il trasferimento degli elevati carichi al disco turbina attraverso un accoppiamento di forma (vedasi Fig. 5.7(b)).
87
(a)
(b)
Figura 5.7: Applicazione analisi dischi: a) disco turbina con palette; b) particolare attacco palette.
88
5.2.3
Metodo di Grammel
Esistono alcune soluzioni analitiche per i dischi di spessore variabile [9], ma si può trovare una soluzione soddisfacente al problema dividendo il disco in n corone circolari di spessore costante hi (i = 1, n), assumendo uno spessore pari al valore medio nel tratto considerato. Questo modo di procedere si chiama metodo del Grammel [10].
Figura 5.8: Disco di spessore variabile: suddivisione in n corone di spessore costante. Per ciascuna corona valgono le espressioni degli sforzi trovati per disco rotante di spessore costante: C2i 3+ν 2 − r r2 8 C2i 1 + 3ν 2 σθ = C1i − 2 − r r 8 σr = C1i +
Le 2n costanti C1i e C2i con (i = 1, n) si determinano con le due condizioni al contorno sulle superficie interna ed esterna: σr = −pint σr = σext
per per
r = rint r = rext
prima corona n-esima corona
(5.32)
e con 2(n − 1) condizioni di contatto tra n corone. Considerato il disco i-esimo e la superficie di contatto con il disco successivo (posta a r = ri ) possiamo scrivere l’equazione di equilibrio delle forze radiali: σr(i) hi = σr(i+1) hi+1
(5.33)
e l’equazione di congruenza imponendo l’uguaglianza delle deformazioni circonferenziali: (i) (i) (i+1) (i+1) σθ est − ν σr est = σθ int − ν σr int (5.34) 89
questa seconda, esprimendo l’uguaglianza delle deformazioni circonferenziali, impone l’uguaglianza degli spostamenti radiali. Le due equazioni precedenti, queste possono essere scritte per ognuno delle (n − 1) superfici di contatto, formando quindi con le (5.32) un sistema di (2 · n) incognite in (2 · n) equazioni. In molti casi pratici, per esempio dischi di bassa pressione di turbine a vapore, in cui lo spessore aumenta molto verso il mozzo, l’approssimazione più gravosa sta nel considerare valide le relazioni che danno gli sforzi ricavati per spessore infinitesimo. La variabilità dello spessore può essere seguita molto bene aumentando il numero delle corone, introducendo tutta la procedura in un opportuno programma di calcolo. E’ interessante notare come le espressioni soprascritte esprimono il metodo delle forze con i passi usuali, in particolare: (i)
• mettiamo in evidenza le iperstatiche (le forze radiali σr · hi ); • calcoliamo le iperstatiche in modo da ricostruire le congruenza delle deformazioni.
5.3
Cilindri lunghi
Il problema dei dischi sottili è un problema di sforzo piano, σz = 0, mentre nei cilindri indefinitamente lunghi ogni piano normale all’asse del cilindro è un piano di simmetria e quindi tale sezione può spostarsi solo parallelamente a se stessa, cioè z = costante (le sezioni si mantengono piane). Per il cilindro deve inoltre valere la condizione globale di equilibrio: Z σz dA = N (5.35) A
essendo N la forza assiale agente sulle basi. L’effetto di altri carichi (flessione, taglio, torsione) si considera a parte e poi si applica la sovrapposizione degli effetti poiché si è in campo elastico lineare. Procedendo come già fatto per i dischi e introducendo il legame sforzideformazioni nell’equazione di congruenza si ottiene: (1 + ν) σθ − (1 + ν)σr + r
dσr dσz dT dσθ −rν −rν +αEr =0 dr dr dr dr
(5.36)
Dall’espressione della dilatazione assiale: z =
1 [σz − ν (σr + σθ )] + α T (r) E
poiché z = cost lungo la sezione, deve essere: dz 1 d T (r) =0 = [σz − ν (σr + σθ )] + α dr E dr dr 90
(5.37)
da cui si ottiene:
dσz d T (r) =ν (σr + σθ ) + α dr dr dr Tenendo conto di questa espressione si ottiene: (1+ν)σθ −(1+ν)σr +r(1−ν 2 )
(5.38)
dσθ dσr dT −r ν (1+ν) +(1+ν)αE r = 0 (5.39) dr dr dr
e infine introducendo ancora la funzione di sforzo F si ottiene ancora un’equazione di Eulero, analoga a quella dei dischi, in cui al secondo membro la ν compare in modo diverso: r2
dΦ0 3 − 2ν αE 2 dT d 2 Φ0 +r − Φ0 = −ρ ω 2 r3 − r 2 dr dr 1−ν 1−ν dr
(5.40)
Integrando si ottiene: Φ 0 = C1 r +
3 − 2ν αE 1 C2 − ρω 2 r3 − r 8(1 − ν) 1−ν r
Z
r
T r dr
(5.41)
k
e successivamente: 3 − 2ν C2 − ρω 2 r2 − r2 8(1 − ν) C2 1 − 2ν σθ = C1 − 2 − ρω 2 r2 + r 8(1 − ν)
αE 1−ν αE 1−ν
σr = C1 +
Z r 1 T r dr r2 k Z r 1 αE T r dr − T r2 k 1−ν
(5.42)
Da queste si ricava: σr + σθ = 2 C1 −
1 αE ρω 2 r2 − T 2(1 − ν) 1−ν
(5.43)
e quindi: dσz d dT ν ν dT dT =ν (σr + σθ ) − αE =− ρω 2 r − αE − αE (5.44) dr dr dr 1−ν 1−ν dr dr e integrando si ha l’espressione di σz : σz = −
ν αE ρω 2 r2 − T + C3 2(1 + ν) 1−ν
(5.45)
C3 si calcola imponendo l’equilibrio sulle basi, per esempio Z re N= σz dA , ri
e si ottiene 2 4 Z re re r2 N ν re r4 αE C3 − i = + ρω 2 − i − T r dr 2 2 2π 2(1 + ν) 4 4 1 − ν ri 91
Si vede che nell’espressione di σz i termini che dipendono da r sono quelli dovuti alla rotazione. Nel caso in cui agiscano solo le pressioni interna ed esterna si ha lo sforzo σz = costante = N/A. Se N = 0 non si hanno sforzi assiali. In questo caso la soluzione è quella già trovata per i dischi che dà z = cost., come deve essere per l’unicità della soluzione del problema termoelastico.
5.3.1
Cilindro rotante a velocità angolare costante
Cilindro pieno Nel caso del cilindro pieno con superficie esterna scarica e con N = 0 si ottiene r2 3 − 2ν 2 2 ρ ω re 1 − 2 ovunque di trazione σr = 8(1 − ν) re 1 + 2ν r2 3 − 2ν 2 2 ρ ω re 1 − σθ = ovunque di trazione 8(1 − ν) 3 − 2 ν re2 ν r2 re ρ ω 2 re2 1 − 2 2 si annulla per r = √ σz = 4(1 − ν) re 2
(5.46)
L’andamento di tali sforzi lungo il raggio è riportato nella Fig. 5.9. Al centro
0.5 0.4
σ/(ρ ω2 r2e)
0.3 0.2 0.1 0 −0.1 −0.2 0
σr/(ρ ω2 r2e) σθ/(ρ ω2 r2e) σz/(ρ ω2 r2e) 0.2
0.4
0.6
0.8
1
r/re
Figura 5.9: Andamento degli sforzi lungo il raggio di un cilindro rotante (ν = 0.3).
92
del cilindro per r = 0 si ha: 3 − 2ν ρ ω 2 re2 8(1 − ν) ν σz = ρ ω 2 re2 4(1 − ν)
σr = σθ =
(5.47)
per ν = 0.3 tali relazioni forniscono: ( σr = σθ = 0.428 ρ ω 2 re2 σz = 0.107 ρ ω 2 re2 I valori sono leggermente maggiori di quelli trovati per il disco sottile, ma nel cilindro è presente anche uno sforzo σz > 0: il confronto dei cerchi di Mohr nei due casi è mostrato in Fig. 5.10.
0.2
τ/(ρ ω2 r2e)
Disco Cilindro
0.15 0.1 σz
0.05 0
0 0
σθ=σr
σz 0.1 0.1
0.2 0.2
0.3 0.3
−0.05
0.4 0.4
0.5 0.5 σ/(ρ ω2 r2e)
−0.1 −0.15 −0.2
Figura 5.10: Cerchi di Mohr per disco e cilindro rotanti pieni in corrispondenza dell’asse con ν = 0.3. Calcolando la sollecitazione equivalente di Guest-Tresca: σ ¯GT,cil = (0.428 − 0.107) ρ ω 2 re2 = 0.321 ρ ω 2 re2 σ ¯GT,dis = (0.412 − 0) ρ ω 2 re2 = 0.412 ρ ω 2 re2 si può facilmente verificare come il lo stato di sforzo nel disco sia più gravoso di quello del cilindro.
93
Al bordo esterno gli sforzi sono: σr = 0 1−2ν σθ = ρ ω 2 re2 4(1 − ν) ν ρ ω 2 re2 σz = − 4(1 − ν) per ν = 0.3 tali sforzi risultano: σθ = 0.146 ρ ω 2 re2 ;
σr = 0;
σz = −0.107 ρ ω 2 re2
Cilindro cavo Se il cilindro è cavo supponendo che le superficie laterali siano scariche, le condizioni al contorno si esprimono come: ( σr = 0 per r = ri σr = 0
r = re
per
Imponendo tali condizioni al contorno e ricavando le costanti C1 e C2 si ottiene: 1 3 − 2ν r2 r2 ρ ω 2 re2 1 + 2 − i2 − 2 σr = ovunque di trazione 8(1 − ν) a r re 3 − 2ν 1 r2 1 + 2ν r2 σθ = ρ ω 2 re2 1 + 2 + i2 − ovunque di trazione 8(1 − ν) a r 3 − 2ν re2 1 r2 ν ρ ω 2 re2 1 + 2 − 2 2 σz = 4(1 − ν) a re (5.48) L’andamento degli sforzi in funzione q del raggio, per a = 4, è riportato nella ri2 +re2 figura 5.11. Si ha σz = 0 per r = 2 . La σr è massima quando è minima la somma dei due addendi è costante, quando σr
max
ri2 r2
=
r2 re2
ri2 r2
+
r2 re
cioè, dato che il prodotto √ e quindi per r = ri re dove vale:
3 − 2ν = ρ ω 2 re2 8(1 − ν)
1 1− 2 a
La σθ e la σz sono massime all’intradosso dove valgono: 3 − 2ν 1 − 2ν 1 σθ max = ρ ω 2 re2 1 + per 4(1 − ν) 3 − 2ν a2 ν 1 σz max = ρ ω 2 re2 1 − 2 per r = ri 4(1 − ν) a
94
r = ri (5.49)
1
σr/(ρ ω2 r2e)
0.8
σθ/(ρ ω2 r2e) σz/(ρ ω2 r2e)
σ/(ρ ω2 r2e)
0.6 0.4 0.2 0 −0.2 0
0.2
0.4 0.6 (r−ri)/(re−ri)
0.8
1
Figura 5.11: Sforzi in un cilindro lungo rotante per a = 4 (ν = 0.3). Sulla superficie esterna si ha il valore minimo sia di σz sia di σθ 3 − 2ν 1 1 − 2ν σθ min = ρ ω 2 re2 + 2 per r = re 4(1 − ν) 3 − 2ν a 1 ν ρ ω 2 re2 1 − 2 per r = re σz min = − 4(1 − ν) a Nel caso di un foro molto piccolo presente al centro del cilindro rotante, dalle equazioni precedenti per a → ∞, si ottiene: 3 − 2ν ρω 2 re2 4(1 − ν) ν = ρω 2 re2 4(1 − ν)
σθ, max = σz, max
E’ facile verificare che σθ, max in presenza del foro è il doppio del valore di un cilindro pieno, mentre la σz rimane inalterata in quanto un foro, lungo l’asse z, non provoca alcuna concentrazione di tensioni.
5.4
Esercizi
Esercizio 5.1 Dato un disco forato (D=60 mm) su cui viene calettato un disco forato (Di = 60 mm, De = 160 mm), ambedue i dischi sono in acciaio: • calcolare l’interferenza necessaria ad assicurare una pressione di contatto di 60 MPa;
95
• calcolare la pressione di contatto se l’insieme dei due corpi viene posto in rotazione ad una velocità di 3000 [g/min](il calcolo si fa immaginando che per effetto della rotazione le superfici dei due dischi subiscano uno spostamento radiale); • verificare che la soluzione del punto precedente poteva essere ottenuta mediante il principio di sovrapposizione degli effetti. Esercizio 5.2 Si abbia un tubo da realizzare in acciaio inox AISI 17-4 PH (Rm = 1100 [M P a], Rp0.2 = 1000 [M P a]), costituente un intensificatore di pressione per un water-jet, con un diametro di 30 mm soggetto ad una pressione interna pulsante di 250 [M P a]. Quesiti: • calcolare il minimo diametro esterno del tubo in modo che il tubo possa resistere a fatica illimitata (si assuma la superficie interna del tubo rettificata); • calcolare come cambia il coefficiente di sicurezza a fatica sulla superficie interna del tubo se a questo (mediante forzamento di una camicia esterna) venisse imposta una pressione esterna di 50 [M P a]. Esercizio 5.3 Dimensionare la camicia esterna, realizzata nello stesso acciaio del tubo, che permetta di avere una pressione di contatto di 50 [M P a] tra i due tubi dell’esercizio precedente. Calcolare inoltre come cambia lo stato di sforzo nel foro dell’intensificatore per effetto della camicia forzata.
96
Capitolo 6
Lastre circolari piane Si analizza in questo capitolo, a partire dal legame tra curvature e momenti delle lastre piane, si analizza lo stato di sforzo in lastre circolari caricate simmetricamente soggette a condizioni di carico che si rifanno alle comuni applicazioni nei recipienti in pressione1 .
6.1
Flessione semplice di una lastra in due direzioni ortogonali
Consideriamo una lastra di spessore t inflessa nei due piani xz ed yz da coppie uniformemente ripartite [11]. Chiamiamo Mx ed My i momenti per unità di lunghezza di ciascun lato. La lastra si inflette in entrambe le direzioni ed il piano medio xy diventa una superficie a doppia curvatura, la superficie elastica della lastra. Analogamente a ciò che accade nelle travi, ogni segmento perpendicolare al piano medio si mantiene rettilineo e normale alla superficie elastica. Inoltre, se gli spostamenti w dei punti del piano medio sono piccoli rispetto allo spessore t, possiamo ritenere che le deformazioni x ed y siano proporzionali alla distanza z dal piano medio (ovvero le deformazioni sono nulle sul piano medio). In particolare: z z x = , y = (6.1) ρx ρy Se dalle deformazioni ricaviamo gli sforzi otteniamo: E·z 1 1 E·z 1 1 σx = +ν , σy = +ν (6.2) 1 − ν 2 ρx ρy 1 − ν 2 ρy ρx I momenti per unità di lunghezza applicati alla lastra stanno in relazione con gli sforzi (prendendo delle porzioni di larghezza unitaria) tramite le: Z +t/2 Z +t/2 Mx = σx · 1dz · z, My = σy · 1dz · z (6.3) −t/2 1a
−t/2
cura di S. Beretta
97
Sostituendo le (6.2) si ottiene: Mx = D e:
My = D
dove: D=
E 1 − ν2
Z
1 1 +ν ρx ρy
1 1 +ν ρy ρx
+t/2
z 2 dz =
−t/2
(6.4)
(6.5)
Et3 12(1 − ν 2 )
(6.6)
rappresenta la rigidezza flessionale della lastra.
t
t/2 t/2
Figura 6.1: Flessione semplice in due piani di una lastra [11].
6.1.1
Composizione dei momenti in un punto
Considerando le sollecitazioni σx e σy agenti in un punto, possiamo calcolare le sollecitazioni agenti su un piano avente normale n con coseni direttori [cos α sin α] con le relazioni del cerchio di Mohr: σn = σx cos2 α + σy sin2 α (6.7) τnt = (σy − σx ) sin α cos α Se gli sforzi σx e σy sono gli sforzi generati ad una distanza z dal piano medio dai momenti Mx ed My in una fetta di lastra, se ne deduce che sulla faccia inclinata nascono: un momento normale Mn , che genera σn , ed un momento
98
σx σx Y
σy
α
n
σy
z
τnt
σn
τnt
σn
My
Mx
t
Mnt Mn
X
(a)
(b)
Figura 6.2: Composizione momenti su un piano: a) sforzi su un piano avente coseni direttori [cos α sin α]; b) i momenti flettenti sulla faccia di una lastra avente la medesima inclinazione. torcente Mnt , che genera τnt . Si può quindi facilmente ricavare che tali momenti dipendono dalla direzione della normale n con le relazioni: Mn = Mx cos2 α + My sin2 α (6.8) Mnt = (My − Mx ) sin α cos α Poichè le relazioni tra gli sforzi sono uguali alle relazioni tra i momenti, ne segue che i momenti agenti in un punto al variare della giacitura possono essere rappresentati su un cerchio esattamente come gli sforzi: esistono due momenti principali che corrispondono ai momenti normali massimo e minimo (si verificano su piani in cui Mnt è nullo). La costruzione grafica permette di anche capire come l’unico caso in cui non vi sia Mnt è quello in cui i due momenti principali siano coincidenti.
Mnt 2α My
Mx
Figura 6.3: Cerchio di Mohr per i momenti agenti in un punto.
99
6.1.2
Lastre con momento uniforme
Nel caso di Mx = My = m (flessione uniforme), le due curvature 1/ρx ed 1/ρy sono uguali tra di loro e risulta: 1 m = ρ (1 + ν)D
(6.9)
ovvero la superficie elastica diventa una sfera (una porzione di sfera) avente un raggio ρ. Se consideriamo una lastra circolare soggetta ad un momento distribuito m costante sul contorno (essendo Mx = My = m si ha un momento costante in tutte le direzioni), ci troviamo in tale situazione. In particolare detto R il raggio della lastra, la rotazione α al contorno e la freccia f al centro risultano:
w Figura 6.4: Lastra circolare soggetta a momento costante m sul contorno [11].
α=
R m·R = ρ (1 + ν)D
(6.10)
2R2 mR2 = (6.11) 8ρ 2(1 + ν)D La superficie secondo cui si atteggia la lastra è descritta dall’equazione: m w= R2 − r 2 (6.12) 2(1 + ν)D f=
6.2
Lastre circolari assialsimmetriche
Analizziamo come si possa arrivare ad un’equazione risolvente che ci permetta di determinare la soluzione del problema elastico nel caso di lastre circolari soggette ad una distribuzione di carico assialsimmetrica [12]. 100
Se consideriamo una lastra circolare soggetta da una distribuzione di sforzo assialsimmetrica, la deformata sarà anch’essa dello stesso tipo e ci basta analizzare la deformata lungo un qualsiasi diametro. Consideriamo l’origine O del nostro riferimento al centro della lastra ed indichiamo con w l’abbassamento della lastra. La curvatura della lastra in direzione radiale in un punto A risulta espressa da: d2 w 1 (6.13) =− 2 ρr dr e quella in direzione circonferenziale (la superficie dei punti lungo lo spessore avente la medesima distanza r dal centro si atteggia secondo un cono avente centro in B) con: 1 1 dw =− (6.14) ρθ r dr Il legame tra momenti e curvature risulta quindi2 :
Figura 6.5: Raggi di curvatura nella deformazione di una lastra circolare. 2 d w ν dw Mr = −D + dr2 r dr 1 dw d2 w Mθ = −D +ν 2 r dr dr
(6.15) (6.16)
Consideriamo una porzione di lastra abcd di larghezza dr e delimitata dall’angolo dθ e soggetta ad un carico distribuito q: sulle facce ab e cd agiscono le forze di taglio Q ed i momenti Mr , mentre sulle facce ad e bc (per la condizione di assialsimmetria) agiscono solo i momenti Mθ .
2 alla stesse equazioni si poteva arrivare, come visto a lezione, trasformando in coordinate polari (e tenendo conto che ∂w/∂θ = 0 in un problema assialsimmetrico) il legame tra momenti e curvature delle lastre in coordinate cartesiane.
101
Mθ Mr
dθ
Mr+ dMr Mθ (a)
(b)
Figura 6.6: Equilibrio di una porzione di lastra: a) posizione geometrica e sezione; b) i momenti flettenti presenti sul concio [12]. In particolare si può notare come le due coppie Mθ diano come risultante un momento radiale (diretto come il momento Mr agente su cd) pari a: 2 · Mθ sin
dθ dr = Mθ drdθ 2
Scrivendo quindi l’equilibrio alla rotazione dell’elementino abcd si ottiene: dMr Mr + dr (r + dr)dθ − Mr rdθ − Mθ drdθ + Qrdrdθ = 0 (6.17) dr trascurando gli infinitesimi di ordine superiore e dividendo per drdθ l’equazione di equilibrio si semplifica in: Mr +
dMr · r − Mθ + Q · r = 0 dr
(6.18)
Esprimendo i momenti flettenti in termini di curvature, si ottiene la equazione differenziale: Q d3 w 1 d2 w 1 dw = (6.19) + − 2 dr3 r dr2 r dr D che può essere riscritta come: dw Q d 1 d r = (6.20) dr r dr dr D Il taglio Q è in equilibrio con il carico distribuito q tramite la relazione: Z r Q · 2πr = q · 2πrdr (6.21) 0
L’equazione differenziale può essere quindi riscritta come: 102
Figura 6.7: Equilibrio tra taglio Q e carico distribuito q. Z r d 1 d dw 1 r = q · rdr dr r dr dr r·D 0 differenziando rispetto ad r e dividendo per r si ottiene: d 1 d dw q 1 d r r = r dr dr r dr dr D
(6.22)
(6.23)
Nei paragrafi successivi vedremo come integrando tale relazione, a dispetto della lunghezza della formula, sia semplice ottenere la soluzione in alcuni casi applicativi di interesse.
6.2.1
Carico distribuito
Consideriamo una lastra soggetta ad un carico distribuito q, esaminando la Fig. 6.7 possiamo esprimere Q come: Q=
qr 2
(6.24)
Se consideriamo la Eq.(6.20) possiamo quindi scrivere: d 1 d dw qr r = dr r dr dr 2D integrando una volta: 1 d r dr
r
dw dr
=
qr2 + C1 4D
Moltiplicando per r ed integrando otteniamo: r da cui:
dw qr4 C1 r2 = + + C2 dr 16D 2 dw qr3 C1 r C2 = + + dr 16D 2 r 103
(6.25)
Integrando ancora una volta otteniamo finalmente la soluzione (costituita da un’omogenea con i termini C1 , C2 e C3 e da un’integrale particolare contenente q): qr4 C1 r 2 w= + + C2 log r + C3 (6.26) 64D 4 Lastra incastrata q
Figura 6.8: Lastra incastrata soggetta al carico distribuito q. Consideriamo ora una lastra incastrata di raggio a, le condizioni al contorno del problema sono: dw dr = 0 per r = a C2 = 0 2 → dw C1 = − qa 8D dr = 0 per r = 0 Otteniamo che la equazione risolvente è: w=
qa2 r2 qr4 − + C3 64D 32D
Imponendo: w(a) = 0
→
C3 =
qa4 64D
In conclusione la soluzione è: w=
2 q a2 − r2 64D
(6.27)
La freccia massima al centro risulta: fmax =
qa4 64D
I momenti flettenti risultano: q 2 a (1 + ν) − r2 (3 + ν) 16 q 2 Mr = a (1 + ν) − r2 (1 + 3ν) 16 Mθ =
104
(6.28) (6.29)
I momenti nella sezione d’incastro (r = a) risultano: Mr = −
qa2 8
Mθ = −ν
qa2 8
(6.30)
Gli sforzi si ricavano dai momenti flettenti come: σr =
6Mr t2
σθ =
6Mθ t2
L’andamento degli sforzi è riportato nella Fig. 6.9: si può vedere come il punto più sollecitato per una lastra incastrata sia sul bordo esterno.
Figura 6.9: Distribuzione degli sforzi nella lastra incastrata soggetta a pressione (carico distribuito) costante.
Lastra appoggiata La lastra appoggiata si può ricavare a partire da quella della lastra incastrata sovrapponendo alla soluzione dell’incastro, quella di una lastra soggetta a dei momenti radiali uguali e contrari al momento radiale d’incastro. Poichè nella soluzione che sovrapponiamo Mr = Mθ = −qa2 /8 costante, ci basta sovrapporre tale valore alle equazioni dei momenti per la lastra incastrata. In particolare i momenti flettenti nella lastra appoggiata soggetta a carico distribuito risultano: q 2 Mθ = a (3 + ν) − r2 (1 + 3ν) (6.31) 16 Mr =
6.2.2
q (3 + ν)(a2 − r2 ) 16
(6.32)
Carico concentrato
Considerando una lastra circolare appoggiata caricata al centro da un carico concentrato P, la soluzione della deformata può essere ottenuta come limite (per 105
Figura 6.10: Soluzione della lastra circolare soggetta a pressione appoggiata, come sovrapposizione della soluzione incastrata (a) più una lastra soggetta a momenti distribuiti che liberano radialmente il bordo. c → 0) della soluzione di una lastra in cui il carico P sia ripartito su un’area di raggio c (tale soluzione si può ottenere con un metodo delle forze ricostruendo la congruenza tra la lastra centrale con carico distribuito ed una lastra anulare caricata dal taglio Q e da un momento M [12]).
a
P
Figura 6.11: Lastra circolare caricata al centro. Quando c → 0 la deformata della lastra risulta espressa da: 3+ν 2 r P w= (a − r2 ) + 2r2 log 16πD 1 + ν a
(6.33)
I momenti flettenti risultano: P a Mθ = (1 + ν) log 4π r P a Mr = (1 + ν) log + 1 − ν 4π r
(6.34) (6.35)
Quando r → 0 le espressioni precedenti non possono essere utilizzate per valutare i momenti flettenti e gli sforzi nella lastra in quanto tendono all’infinito. Le assunzioni su cui è stata impostata la soluzione dei problemi delle lastre non 106
a c
M
Q Figura 6.12: Lastra circolare caricata su una zona centrale: la soluzione si ottiene cercando le iperstatiche M e Q che ristabiliscono la congruenza degli spostamenti tra le due porzioni di lastra. valgono vicino al punto di applicazione del carico: quando c → 0 l’intensità della pressione P/πc2 non è più trascurabile in confronto agli sforzi flessionali, così come la deformazione dovuta alle azioni taglianti. Lo stato di sforzo vero è quello di una porzione di lastra cui si sovrappone la distribuzione locale dovuta al carico carico concentrato (esaminato nella Sez. 3.3.5).
Figura 6.13: Azioni localizzate in presenza di un carico concentrato [12].
6.2.3
Lastra anulare
Momenti applicati Consideriamo una lastra anulare (di raggio interno b e raggio esterno a) soggetta alle coppie M1 ed M2 applicate ai bordi: il taglio è nullo, la soluzione si può trovare a partire dalla (6.26) con i termini della soluzione dell’omogenea. In particolare riscriviamo per comodità l’integrale dell’omogenea come: w=
r C1 r2 + C2 log + C3 4 a
107
(6.36)
a b
M2
M1
M1
M2
Figura 6.14: Lastra anulare con momenti sui bordi. Il momento Mr risulta:
C1 C2 C2 C1 Mr = −D − 2 +ν + 2 2 r 2 r
(6.37)
Imponendo che:
Mr = M1 Mr = M2
per r = b per r = a
Si ottiene: a 2 M 2 − b2 M 1 C1 =− 2 (1 + ν)D(a2 − b2 )
C2 = −
a2 b2 (M2 − M1 ) (1 − ν)D(a2 − b2 )
(6.38)
Dovendo essere w(a) = 0 si ottiene: C3 = −
C1 a2 4
(6.39)
E’ interessante notare che se b → 0, allora C2 = 0 e gli altri termini diventano: C1 M2 =− 2 (1 + ν)D
C3 =
M2 a2 2(1 + ν)D
(6.40)
e l’equazione della deformata diventa identica alla (6.12) (là il raggio esterno era R): ciò significa che la presenza di un foro piccolo al centro della lastra non altera la deformazione della lastra, ma ovviamente crea una concentrazione di sforzo da valutare con i concetti esposti nel Cap. 2. Carico sul bordo interno Consideriamo una lastra anulare caricata sul bordo interno da un carico P uniformemente ripartito sul bordo interno. La forza di taglio Q risulta: Q=
P Qo b = r 2πr
Integrando la (6.23) si ottiene una equazione del tipo [12]:
108
(6.41)
a b
Qo Figura 6.15: Lastra anulare caricata sul bordo interno.
w=
P r2 r C1 r 2 r log + + C2 log + C3 4πD a 4 a
(6.42)
Le costanti possono essere determinate imponendo che sul bordo esterno: 2 d w ν dw + =0 (w)r=a = 0 − D dr2 r dr r=a e sul bordo interno:
d2 w ν dw −D + dr2 r dr
=0 r=b
Nel caso b → 0 (un forellino infinitesimo) le costanti diventano: C1 = −
1−ν P 1 + ν 4πD
C2 = 0 C3 =
P a2 1 − ν 16πD 1 + ν
(6.43)
e la espressione della deformata coincide con la (6.33), confermando ancora come la presenza di un forellino al centro non faccia cambiare la deformata generale della lastra.
6.3
Esercizi e problemi sul quaderno
Esercizio 6.1 Dato il fondo piano superiore del recipiente in pressione adottato nell’esercitazione sperimentale, valutare la rigidezza flessionale con la presenza del foro centrale confrontandola con quella di una lastra non forata. Problema 6.1 Ricavare la distribuzione dei momenti flettenti in una lastra incastrata soggetta a carico concentrato P al centro della lastra, utilizzando la soluzione della lastra appoggiata + quella della lastra circolare soggetta a momento radiale di estremità. Problema 6.2 Dato un acciaio con Rp0,2 =240 MPa ed un carico P=1000 [N], calcolare lo spessore t minimo per una lastra di raggio 500 mm che sopporti il carico e ricavare la freccia massima.
109
Capitolo 7
Lastre cilindriche In questo capitolo, seguendo la notazione di Timoshenko [12], si analizza lo stato di sforzo in lastre cilindriche indefinitamente lunghe caricate simmetricamente. Nelle applicazioni, affrontate con il metodo dei coefficienti elastici di bordo, si esaminano quindi comuni casi relativi ai recipienti in pressione1 .
7.1
Risoluzione del problema elastico
Consideriamo una lastra cilindrica come nella Fig. 7.1: è facile ricavare dalle equazioni di equilibrio delle lastre che, per le condizioni di assialsimmetria, le uniche azioni flessionali presenti sono i momenti Mx ed Mφ (quest’ultimo costante lungo una circonferenza), l’unica azione tagliante è Tx e le componenti membranali sono Nx ed Nφ (anche questa costante lungo una circonferenza per assialsimmetria). Consideriamo un concio di lastra di dimensioni dx × Rdϕ (considerando che le uniche azioni che variano sui lati dell’elemento sono Mx e Tx , vedasi Fig. 7.2) soggetto ad una pressione distribuita p. Scrivendo l’equilibrio lungo la direzione x del concio di lastra otteniamo: ∂Nx Rdxdϕ = 0 ∂x L’equazione di equilibrio lungo la direzione z risulta: ∂Tx Tx + dx Rdϕ − Tx Rdϕ + Nϕ sin (dϕ) dx + pRdxdϕ = 0 ∂x
(7.1)
(7.2)
che si può semplificare come: ∂Tx Rdxdϕ + Nϕ dϕdx + pRdxdϕ = 0 ∂x 1a
cura di S. Beretta e M. Sangirardi
110
(7.3)
(a)
Mϕ Mx
Tx
Nϕ Nx
(b)
(c)
Figura 7.1: Lastra cilindrica con carichi assialsimmetrici: a) posizione del problema; b) schematizzazione dell’elemento come lastra; c) schematizzazione dell’elemento come membrana.
da cui:
∂Tx Nϕ + = −p (7.4) ∂x R Con riferimento ancora alla Fig. 7.2 e imponendo l’equilibrio alla rotazione
111
p
Figura 7.2: Equilibrio dell’elemento infinitesimo.
intorno alla direzione circonferenziale si ottiene: ∂Mx dx Rdϕ − Mx Rdϕ − Tx Rdϕdx = 0 Mx + ∂x
(7.5)
da cui:
∂Mx − Tx = 0 (7.6) ∂x Cercando di risolvere in forma chiusa il problema ci troviamo di fronte ad una difficoltà in quanto abbiamo due equazioni (la 7.4 e la 7.6) in tre funzioni incognite.
7.1.1
Deformazioni ed azioni sul concio di lastra
Considerando gli spostamenti elastici membranali: la simmetria implica che la componente di spostamento circonferenziale uϕ = 0, restano le componenti assiale u e radiale w. In particolare le componenti di deformazione sono: ∂u ∂x
(7.7)
w (R − w) dϕ − Rdϕ =− Rdϕ R
(7.8)
xm = ϕm =
Esprimendo quindi gli sforzi in funzione delle deformazioni, possiamo scrivere: σxm =
E (xm + νϕm ) 1 − ν2
(7.9)
σϕm =
E (ϕm + νxm ) 1 − ν2
(7.10)
112
Figura 7.3: Componenti di deformazione.
da cui le azioni membranali (essendo s lo spessore della lastra): Nx =
Es (xm + νϕm ) 1 − ν2
Es (ϕm + νxm ) 1 − ν2 Sostituendo le deformazioni in funzione degli spostamenti: Es w ∂u Nx = −ν 1 − ν 2 ∂x R Es ∂u w Nϕ = − +ν 1 − ν2 R ∂x Nϕ =
(7.11) (7.12)
(7.13) (7.14)
Se consideriamo lastre cilindriche non soggette ad alcun carico assiale Nx = 0 e dovrà essere quindi2 : ∂u w =ν (7.15) ∂x R sostituendo quindi nella eq.(7.14) si ottiene: Es w w 2w Nϕ = − + ν = −Es (7.16) 2 1−ν R R R Se consideriamo il legame tra momenti flettenti e curvature già visto nel Cap. 3, poiché il problema è assialsimmetrico la superficie media della lastra si può solo spostare in direzione radiale, mantenendo costante la curvatura circonferenziale. Risulta quindi: E s3 ∂ 2 w E s3 ∂ 2 w Mx = − =− (7.17) 2 2 2 (1 − ν ) 12 ∂x (1 − ν ) 12 ∂x2 2 questa è una ipotesi importante della quale dovremo ricordarci per la soluzione dei problemi pratici: in caso di sforzi assiali dovremo risolvere il problema come sovrapposizione degli effetti di sforzi assiali (ricavabili dell’equilibrio assiale) e sforzi circonferenziali dovuti alla pressione.
113
Mϕ = −
7.1.2
2 νE s3 ∂ 2 w E s3 ∂ w ν 2 =− 2 (1 − ν ) 12 ∂x (1 − ν 2 ) 12 ∂x2
(7.18)
Equazione risolvente
Derivando la (7.4) in x ed introducendo i termini nella Eq.(7.6) si ottiene: ∂ 2 Mx Nϕ + = −p ∂x2 R
(7.19)
Sostituendo ora nell’eq.(7.19) le espressioni di Nϕ e Mx delle equazioni (7.16) e (7.17), si ottiene: p ∂ 4 w 12 1 − ν 2 + w= , (7.20) ∂x4 s2 R2 D dove: Es3 D= 12 (1 − ν 2 ) è il modulo di elasticità flessionale della lastra. Ponendo: 3 1 − ν2 = β4 s2 R2
(7.21)
l’equazione risolutiva diventa: ∂4w p + 4β 4 w = 4 ∂x D
(7.22)
L’omogenea (p = 0) ha per soluzione: w = eβx (C1 cos (βx) + C2 sin (βx)) + e−βx (C3 cos (βx) + C4 sin (βx)) (7.23)
7.1.3
Un approccio basato sulla teoria delle travi
Si può arrivare all’equazione risolvente delle lastre cilindriche a partire dalla teoria delle travi [11].Consideriamo dapprima un concio di lastra cilindrica delimitato dall’angolo dϕ, ed immaginiamo che subisca uno spostamento radiale w. Per effetto dello spostamento radiale, la deformazione circonferenziale cui è soggetto il concio è: w ϕ = − R Ne segue che lo sforzo circonferenziale che ne nasce è: σϕ = −E ·
w R
la cui risultante è la forza circonferenziale: Nϕ = −Es · 114
w R
Se componiamo radialmente il contributo di Nϕ sui due lati del concio, immaginando che sia assimilabile ad una pressione radiale ρ otteniamo: 2 · −Es ·
w dϕ · = ρ · Rdϕ R 2
(7.24)
da cui:
Es ·w (7.25) R2 Consideriamo ora una striscia longitudinale (sempre sottesa dall’angolo dϕ) della lastra soggetta alla pressione p. Ricordando che l’equazione di equilibrio della trave soggetta ad un carico distribuito è: ρ=−
EJ · wIV = p
(7.26)
Possiamo adattare questa equazione alla nostra striscia di lastra, considerando che per una una strisciolina di lastra (date le deformazioni trasversali impedite) al posto di EJ va considerato il termine: Es3 (1 − ν 2 )12 Inoltre dobbiamo aggiungere al carico distribuito p il carico trasversale ρ dovuto alla cerchiatura esercitata dalla lastra cilindrica sulla striscia, quindi al posto di p dobbiamo considerare: Esw p+ρ=p− R2 L’equazione differenziale di equilibrio della trave risulta quindi: Es Es3 wIV + 2 w = p 12(1 − ν 2 ) R
(7.27)
ovvero questa equazione coincide con la (7.22). w
ρ Nφ
R
Nφ
dφ
Figura 7.4: Risultante radiale ρ per effetto dello spostamento radiale w.
115
p
ρ
Figura 7.5: Striscia di lastra soggetta a ρ e p.
7.1.4
Integrali particolari
Se p varia lungo il tubo con una legge del tipo p = cxn , l’integrale particolare della (7.22) è 3 : cxn cxn R2 pR2 w= = = (7.28) 4 4β D Es Es Le forze circonferenziali che conseguono a questi spostamenti: Nϕ = −
Es pR2 = −pR R Es
(7.29)
Gli sforzi:
Nϕ pR =− (7.30) s s Gli sforzi circonferenziali sono proporzionali solo alla pressione, con dei termini pari allo sforzo di Mariotte. Da notarsi che gli sforzi sono negativi in quanto la pressione va nello stesso verso dell’asse z, nei recipienti in pressione più comunemente si ha una pressione maggiore all’interno del recipeinte: in questo caso p sarebbe negativa, come pure (dalle equazioni soprascritte) w, Nϕ e σϕ . σϕ =
7.2
Cilindri lunghi caricati su un bordo
Consideriamo una lastra cilindrica indefinitamente lunga al cui bordo estremo siano applicati delle forze di taglio To e delle coppie Mo (forze e coppie per unità di lunghezza quindi dimensionalmente sono [N/m] e [N · m/m]), come rappresentato in Fig. 7.6. 3 vale
la relazione: 4β 4 D = Es/R2
116
Figura 7.6: Effetti di bordo.
La distribuzione di forze è autoequilibrata, quindi ad una distanza x sufficientemente grande dal bordo gli sforzi e le deformazioni dovranno annullarsi (come abbiamo già visto nel Cap. 2). Ne consegue che i termini in eβx della soluzione generale (7.23) dovranno essere essere nulli e quindi C1 = C2 = 0. La soluzione sarà quindi rappresentata da sinusoide e cosinusoide smorzate: w = e−βx (C3 cos (βx) + C4 sin (βx)) la cui lunghezza d’onda è: λ=
2π β
β viene detto coefficiente di smorzamento: p 4 3 (1 − ν 2 ) √ β= sR con ν = 0.33 assume il valore: 1.285 β∼ = √ sR Esempio 7.1 Ad esempio, assumendo 2R = 10s (piccolo spessore) si ottiene: β=
(7.31)
0.575 s
117
(7.32)
Per βx = π: x=
π πs = ≈ 1.74πs = 5.47s β 0.575 e−π = 0.043
quindi già ad una distanza pari a metà lunghezza d’onda gli spostamenti sono di due ordini di grandezza inferiori rispetto a quelli delle estremità caricate del bordo. Ad una distanza βx = 2π il termine e−βx diventa e−2π = 0.0019 e gli spostamenti sono di tre ordini di grandezza inferiori rispetto al bordo.
Supponendo che vi sia solo M0 : E s3 ∂ 2 w E s3 2 −βx β e (−2C3 sin (βx) + 2C4 cos (βx)) = (1 − ν 2 ) 12 ∂x2 (1 − ν 2 ) 12 (7.33) Per x = 0: Mx = −
E s3 2 β 2C4 = M0 2 (1 − ν ) 12 12 1 − ν 2 C4 = M0 2Es3 β 2
Mx (x = 0) =
(7.34)
(7.35)
Per determinare il valore di C3 , ricordando l’eq.(7.6): Tx = −
E s3 3 −βx 2β e ((C4 − C3 ) sin (βx) + (C4 + C3 ) cos (βx)) (7.36) (1 − ν 2 ) 12
da cui, imponendo che per x = 0 sia T = 0: Tx (x = 0) = − si ottiene:
E s3 3 2β (C3 + C4 ) = 0 (1 − ν 2 ) 12
12 1 − ν 2 M0 C3 = −C4 = − 2Es3 β 2
Gli spostamenti e le azioni sulla lastra risultano: 6 1 − ν 2 −βx w[M0 ] = e M0 (−cos (βx) + sin (βx)) Es3 β 2 Mx[M0 ] = M0 e−βx (sin (βx) + cos (βx)) Tx[M0 ] = −2βM0 e
118
−βx
sin (βx)
(7.37)
(7.38)
(7.39) (7.40) (7.41)
Esempio 7.2 Considerando ancora un cilindro con 2R = 10s ed s = 10 mm soggetto ad una coppia M0 = 100 [N mm/mm], calcolare le azioni interne nel tubo e gli sforzi. Applicando la (7.40) e la (7.41) è facile ottenere l’andamento lungo il tubo delle azioni sulla lastra. E’ facile verificare come i punti di stazionarietà di Mx si ottengano per βx = 0 e βx = π, ovvero i punti nei quali Tx è nullo. 6
100
!" m
Mx Tx
!x
5
80
!" f
4 60
3 40
2 20
1 0
−20
0
0
10
20
30
40
50 x [mm]
60
70
80
90
100
−1 0
(a)
10
20
30
40
50 x [mm]
60
70
80
90
100
(b)
Figura 7.7: Cilindro con momento su un bordo: a) azioni interne sulla lastra; b) sforzi all’intradosso.
Lo stato di sforzo sull’intradosso (dove il contributo di Mx è positivo) è facilmente calcolabile: w 6Mx σϕ,f = ν · σx,M σϕ = −E σx,M = 2 s R I diversi termini sono riportati in Fig. 7.7: va annotato come gli sforzi sull’estradosso (per la sola componente flessionale) vadano calcolati con il segno negativo rispetto alle relazioni soprascritte.
Considerando ora il caso che vi sia solo T0 , imponendo la condizione x = 0 nelle due eq.(7.33) e (7.37) si ottiene: Mx (x = 0) = 0 =⇒
E s3 2 β (2C4 ) = 0 =⇒ C4 = 0 2 (1 − ν ) 12
(7.42)
e: 6 1 − ν2 E s3 3 Tx (x = 0) = T0 =⇒ − β C = T =⇒ C = −T 3 0 3 0 (1 − ν 2 ) 12 Es3 β 3 Spostamenti ed azioni sulla lastra dovute a T0 risultano quindi: 6 1 − ν2 T0 e−βx cos (βx) w[T0 ] = − Es3 β 3 119
(7.43)
(7.44)
Mx[T0 ] =
T0 −βx e sin (βx) β
(7.45)
Tx[T0 ] = −T0 e−βx (sin (βx) − cos (βx))
(7.46)
Esempio 7.3 Considerando ancora un cilindro con 2R = 10s ed s = 10 mm soggetto ad una forza radiale T0 = 10 [N/mm], calcolare le azioni interne nel tubo e gli sforzi all’intradosso. 6
60
!" m
Mx Tx
50
40
4
30
3
20
2
10
1
0
0
−10
0
10
20
30
40
50 x [mm]
60
70
80
90
!x
5
100
−1 0
!" f
10
(a)
20
30
40
50 x [mm]
60
70
80
90
100
(b)
Figura 7.8: Cilindro con forza radiale su un bordo: a) azioni interne sulla lastra; b) sforzi all’intradosso.
In complesso, in presenza sia di M0 sia di T0 : 6 1 − ν 2 −βx T0 e M0 (−cos (βx) + sin (βx)) − cos (βx) w= Es3 β 2 β 6 1 − ν 2 −βx ∂w = e [2βM0 cos (βx) + T0 (cos (βx) + sin (βx))] ∂x Es3 β 2 T0 −βx Mx = e M0 (sin (βx) + cos (βx)) + sin (βx) β Tx = e−βx [−2βM0 sin (βx) − T0 (sin (βx) − cos (βx))]
(7.47)
(7.48) (7.49) (7.50)
La derivata ∂w/∂x rappresenta la rotazione del bordo cui vengono applicate le azioni: con le convenzioni prese per w ed x, la rotazione è positiva se diretta in senso orario. 120
7.2.1
Coefficienti di bordo
Gli effetti di M0 e T0 li possiamo trattare con dei coefficienti che diano spostamenti e rotazioni per effetto di forze e coppie unitarie. In particolare calcolando gli spostamenti e le derivate prime in x = 0: 1 2β 2 D
(7.51)
1 2β 3 D
(7.52)
wM = − wT = −
1 dwM = θM = dx βD θT =
1 2β 2 D
(7.53) (7.54)
Va annotato come i termini misti dovrebbero essere uguali per il Th. di Maxwell, in realtà il segno è discorde perché abbiamo preso il verso di T discorde con w. I coefficienti di bordo inoltre soddisfano questa relazione: wT · θM = 2 · wM · θT
7.3 7.3.1
(7.55)
Applicazioni Forza radiale su un parallelo
Calcoliamo le azioni che nascono su un tubo che venga ‘premuto’ su un parallelo da una forza radiale P .
Figura 7.9: Tubo lungo premuto da una forza radiale P lungo un parallelo.
Una striscia del cilindro, lungo la generatrice, è come una trave caricata sull’asse di simmetria: la forza P si ripartisce egualmente sulle due metà del cilindro e possiamo mettere in evidenza un momento iperstatico M , come visibile in Figura 7.10.
121
Figura 7.10: Sezione del cilindro nella zona di applicazione della forza P .
Avendo diviso il problema in due cilindri, uniti per un bordo, possiamo usare i coefficienti di bordo. Il momento M deve essere tale da ‘riportare’ a zero l’angolo che la lastra forma per effetto di P/2. In particolare: P 1 P P/2 1 M− = 0 =⇒ M = = 2 βD 2 2β D 4β 2β
(7.56)
Lo spostamento del tubo sotto l’azione di P può essere calcolato ancora con i coefficienti di bordo, sotto l’azione di M e P/2: w|x=0 = −
7.3.2
P P 1 P 1 + =⇒ w|x=0 = 4β 2β 2 D 2 2β 3 D 8β 3 D
(7.57)
Vincolo radiale su un tubo
Si abbia un tubo soggetto ad una pressione interna p, vincolato a non espandersi radialmente su un parallelo. Calcolare lo stato di sforzo.
(a)
(b)
Figura 7.11: Cilindro in pressione vincolato su un parallelo: a) problema; b) schematizzazione.
Calcoliamo, con i concetti del metodo delle forze, la forza T che ‘riporta’ a zero lo spostamento radiale del parallelo vincolato, quando il cilindro è soggetto alla pressione interna. T
1 pR2 2p − = 0 =⇒ T = 3 8β D Es β 122
(7.58)
Il momento M si ricava dalla soluzione già vista per la lastra caricata su un parallelo. M=
p 2β 2
(7.59)
Si poteva arrivare alla stessa soluzione cercando le forze T0 e M0 da applicare al bordo di un tubo per impedire lo spostamento radiale (per il vincolo) e la rotazione (per la simmetria). ( 1 1 βD M0 + 2β 2 D T0 = 0 (7.60) 1 − 2β 2 D M0 − 2β13 D T0 − 4βp4 D = 0 Notare che T0 ha verso diverso rispetto a T della soluzione precedente. M0 =
p 2β 2
T0 = −
p β
(7.61)
Ovviamente la soluzione trovata fa sì che lo spostamento radiale del parallelo sia nullo: p p p 1 β 2− − 4 =0 (7.62) w|x=0 = − 3 2β D 2β β 4β D Lo spostamento risulta: e−βx p p p w(x) = β 2 (sin (βx) − cos (βx)) + cos (βx) − 4 3 2β D 2β β 4β D
(7.63)
di cui l’ultimo termine corrisponde all’integrale particolare. Il momento Mx vale: p p (sin (βx) + cos (βx)) − sin (βx) (7.64) Mx = e−βx 2β 2 β2 Esempio 7.4 Considerando un cilindro con R = 200 [mm] ed s = 10 mm soggetto ad una pressione interna p = 15 [N/mm2 ] che è impedito di spostarsi radialmente su un parallelo, calcolare gli sforzi all’intradosso del tubo. Applicando le relazioni trovate si ottengono dapprima w ed Mx (è presente anche il momento anticlastico Mϕ = νMx ), gli sforzi risultano: σx =
6Mx s2
σϕ,f = ν · σx,m
σϕ,m = −E
w R
L’andamento degli sforzi rappresentato in Fig. 7.12. Val la pena notare come nella sezione di mezzeria, essendo impedito lo spostamento radiale, lo sforzo σϕ,m = 0. La seconda osservazione che si può fare è che lo sforzo circonferenziale membranale può essere anche calcolato come: σϕ,m = −
E pR w(M0 , T0 ) + R s
(7.65)
ovvero come somma del contributo dovuto allo spostamento indotto dalle iperstatiche e del contributo dovuto allo sforzo di Mariotte.
123
600 !" m !x
500
!" f 400
!
300 200 100 0 −100 −200
0
50
100
150 x [mm]
200
250
300
Figura 7.12: Sforzi all’intradosso del tubo, con una pressione interna p = 15 [M P a], la cui espansione è impedita su un parallelo.
Si può facilmente vedere come lo sforzo σϕ,m sia massimo per βx = π = 109.3 [mm]. Per βx = 2π gli effetti di bordo sono trascurabili: per x > 2π/β il cilindro non risente della presenza del vincolo (lo stato di sforzo e deformazione corrisponde ai soli effetti della pressione interna) e si comporta come un cilindro di lunghezza indefinita.
7.3.3
Cerchiatura del tubo
Si abbia un tubo soggetto ad una pressione p, rinforzato su un parallelo da un anello di sezione trasversale A (supponiamo la sezione sufficientemente stretta da immaginare che i due corpi si scambino azioni su un parallelo): vogliamo calcolare lo stato di sforzo. Risolvendo con il metodo delle forze, il problema è ricercare la forza radiale T che si scambiano anello e cilindro, imponendo che i due corpi abbiano lo stesso spostamento radiale. Conosciamo già la cedevolezza del tubo premuto radialmente, dobbiamo calcolare quella della trave anulare 4 . Considerando la trave anulare soggetta ad una forza radiale T , la trave risulta soggetta (facendo l’equilibrio radiale su un semi-anello) ad un’azione assiale N
4 La schematizzazione a trave è corretta se l’altezza dell’anello è piccola, altrimenti l’anello andrebbe schematizzato come un disco forato
124
T
A
p
(a)
(b)
Figura 7.13: Cilindro in pressione rinforzato su un parallelo: a) problema; b) schematizzazione con il metodo delle forze.
che genera uno sforzo circonferenziale σϕ : N =T ·R
⇒
σϕ =
T ·R A
Poichè la deformazione circonferenziale è ϕ = u/R, lo spostamento radiale che subisce l’anello risulta: T · R2 u= (7.66) E·A Scrivendo l’equazione di congruenza (spostamento cilindro = spostamento anello) si ottiene: p T · R2 1 (7.67) T · 3 − 4 =− 8β D 4β D E·A da cui con alcuni semplici passaggi (ricordando che 4β 4 D = Es/R2 ) si ottiene: β s T + =p 2 A da cui: T =
β 2
p +
s A
(7.68)
Val la pena notare come se A → ∞, allora T = 2p/β (come nel caso del vincolo radiale sul parallelo), mentre se A → 0 allora T → 0.
Esempio 7.5 Considerando un cilindro con R = 200 [mm] ed s = 10 [mm] soggetto ad una pressione interna p = 15 [N/mm2 ] su cui è saldato un anello avente sezione 20 × 50 [mm], calcolare gli sforzi all’intradosso del tubo e lo sforzo assiale sul rinforzo. Applicando le formule precedenti si ottiene T = 615.47 [N/mm], da cui si ricavano le azioni applicate sul bordo del cilindro nella sezione di mezzeria: M0 = T /4β e T0 = −T /2. Lo spostamento w ed Mx dovuto alle iperstatiche si calcolano quindi semplicemente con la (7.47) e la (7.49). Lo sforzo circonferenziale medio si calcola
125
quindi in modo semplice con la (7.65). In particolare gli sforzi sono rappresentati nella Fig. 7.14 : lo sforzo circonferenziale medio in x = 0 risulta meno del 50% dello sforzo di Mariotte nel cilindro semplice. Lo sforzo nell’anello risulta: σϕ,an = 123.1 [M P a]: è da notare che tale valore corrisponde allo sforzo circonferenziale membranale nel tubo. 350 300 250
!" m
200
!" f
!x
!
150 100 50 0 −50 −100
0
50
100
150 x [mm]
200
250
300
Figura 7.14: Sforzi all’intradosso di un tubo (R = 200 [mm], s = 10 [mm]) rinforzato con un anello di dimensioni 20 × 50 [mm] soggetto ad una pressione interna p = 15 [M P a].
Come si vede dall’esempio precedente, la cerchiatura provoca una drastica riduzione dello sforzo σϕ,m nel tubo. Questo è il principio su cui funzionano le condotte cerchiate, su cui vengono messi degli anelli equispaziati, per ridurre lo sforzo nel tubo e permettere alla tubazione di assorbire sovrapressioni e colpi d’ariete (in questo modo si risparmia materiale rispetto ad una condotta di spessore uniforme). Nelle reali applicazioni gli anelli vengono forzati sul tubo per agevolare il collegamento meccanico e precaricare in compressione la condotta. La distanza tra gli anelli in una cerchiatura reale deve essere minore della metà di λ = 2π/β altrimenti l’effetto benefico si limita a brevi zone sotto ciascun cerchio [11].
7.4
Recipienti cilindrici
La risoluzione della giunzione tra lastre cilindriche ed altri elementi (travi ad anello, fondi piani, fondi sferici) tramite il metodo delle forze, come visto nelle
126
applicazioni precedenti, permette di trovare lo stato di sforzo presente nei recipienti in pressione. Avendo già analizzato fondi piani e travi ad anello, nel seguito si esaminano i coefficienti elastici e lo stato di sforzo nelle fondi (cupole) sferici, per poi calcolare lo stato di sforzo in un recipiente a spessore costante soggetto a pressione interna
7.4.1
Fondi sferici
Consideriamo una porzione di fondo sferico di raggio R e spessore s ed indichiamo con ωf l’angolo che il fondo forma con il piano che contiene il bordo. Si dimostra che sotto l’azione di forze radiali T unitarie applicate al bordo, gli spostamenti risultano [11]: wT = −
sin2 ωf 2β 3 D
θT =
sin2 ωf 2β 2 D
(7.69)
e che per effetto di coppie M unitarie risultano: wM = −
sin2 ωf 2β 2 D
θM =
sin2 ωf βD
(7.70)
Osservando le equazioni precedenti, si osserva facilmente che per ωf = 90 i coefficienti di bordo sono quindi uguali a quello di un cilindro lungo.
T
R
M
ωf
Figura 7.15: Applicazione di forze al bordo di una porzione di fondo sferico.
Considerando il fondo sferico soggetto alla pressione p, gli sforzi membranali (uguali lungo lungo i meridiani e lungo i paralleli) presenti sono: σϕ = − 127
pR 2s
(7.71)
con le stesse convenzioni di segno già assunte per i cilindri (pressione positiva se agente sulla superficie esterna). Nella risoluzione dei problemi andrà quindi tenuto in conto che lo spostamento radiale del fondo, ricavabile dagli sforzi membranali, è diverso da quello del mantello cilindrico.
7.4.2
Recipiente con fondi semisferici
Consideriamo un recipiente cilindrico di raggio R e spessore s con fondi semisferici di uguale spessore, soggetto alla pressione interna p. Per effetto della
T
T M
M
p
p
Figura 7.16: Forze che si sviluppano alla giunzione fondo-cilindro di un recipiente in pressione.
pressione interna le deformazioni circonferenziali nei due corpi (cilindro e fondo) sono rispettivamente: ϕ,c =
1 pR 1 pR (2 − ν) ϕ,f = (1 − ν) E 2s E 2s
(7.72)
Gli spostamenti radiali (essendo ϕ = u/R) sono: uc =
1 pR2 1 pR2 (2 − ν) uf = (1 − ν) E 2s E 2s
(7.73)
Nascono quindi delle azioni iperstatiche M e T che ristabiliscono la congruenza delle deformazioni tra i corpi. In particolare, scrivendo la prima equazione di congruenza degli spostamenti angolari: 1 1 1 1 M− 2 T =− M− 2 T βD 2β D βD 2β D
128
(7.74)
da cui si ottiene M = 0 (ciò è dovuto al fatto che T genera delle rotazioni uguali sui due corpi e non è quindi ulteriormente necessario M ). Dalla congruenza degli spostamenti radiali (sapendo già che M = 0): 1 1 pR2 1 1 pR2 T− (2 − ν) = − 3 T − (1 − ν) 3 2β D E 2s 2β D E 2s
(7.75)
da cui si ricava:
p (7.76) 8β Gli sforzi si ricavano quindi dalle (7.47) ed (7.49) (nelle quali T0 = −T per la convenzione di Fig. 7.16 contraria a quelle che avevamo assunto per gli effetti di bordo). In particolare: p Mx = − 2 e−βx sin βx 8β p −βx Tx = e (sin βx − cos βx) 8β Il massimo di Mx si raggiunge quando Tx = 0, ovvero per βx = π4 . In corrispondenza di tale distanza lo sforzo σx,f è massimo (il segno negativo di Mx significa che sono tese le fibre all’estradosso) a cui va sommato lo sforzo membranale σx,m = pR/2s. In particolare lo sforzo massimo all’estradosso del cilindro risulta: √ pR 3 2R (7.77) e−π/4 p + σx,max = σx,f,max + σx,m = p 2 2s 8s 3(1 − ν ) T =
tale valore è circa pari a 1.29 · σx,m .
Esempio 7.6 Considerando un recipiente cilindrico a fondi semisferici con R = 200 [mm] ed s = 10 [mm] soggetto ad una pressione interna p = 15 [N/mm2 ], calcolare gli sforzi sul mantello cilindrico. Dalla (7.76) ricaviamo T0 = −65.23 [N/mm] e possiamo rappresentare gli sforzi in Fig. 7.17. Va annotato come il calcolo dello sforzo membranale circonferenziale, poichè siamo in un caso in cui Nx 6= 0, può essere fatto solo attraverso la (7.65): la ragione sta nel fatto che lo spostamento radiale del mantello cilindrico (a causa della presenza dello sforzo assiale) non è più descritto dalla (7.28).
7.4.3
Altri recipienti
La soluzione vista prima per il recipiente con fondi semisferici (M0 = 0) vale solo per il caso di cilindro e fondi aventi medesimo spessore. In tutti gli altri casi (o nel caso di giunzioni con altri elementi quali travi ad anello o fondi piani) le due equazioni di congruenza formano un sistema 2 × 2 da cui si ricavano le azioni iperstatiche M0 e T0 . 129
350
300
!",m !",i
250
!",e !x,i
200
!
!x,e
150
100
50
0
0
50
100
150 x [mm]
200
250
300
Figura 7.17: Sforzi all’intradosso di un recipiente cilindrico (R = 200 [mm], s = 10 [mm] costante) con fondi semisferici, soggetto ad una pressione interna p = 15 [M P a].
7.5
Esercizi
Esercizio 7.1 Calcolare gli spostamenti e la distribuzione di sforzi in un tubo per effetto di un sistema di coppie applicate lungo un parallelo (è il duale della forza radiale sul parallelo). Perchè σϕ.m deve risultare nullo in corrispondenza del parallelo di applicazione delle forze ? Esercizio 7.2 Perchè in un tubo cerchiato lo sforzo circonferenziale sul tubo è pari a quello sull’anello ? Esercizio 7.3 Calcolare la distribuzione di sforzi nel mantello cilindrico di un recipiente a fondi chiusi (R = 100 [mm] e s = 10 [mm]), rinforzato da un anello 50 × 20 [mm] soggetto ad una pressione di 300 bar.
130
Parte III
Applicazioni ed organi di macchina
131
Capitolo 8
Fatica degli elementi saldati Si espongono i concetti fondamentali delle verifiche a fatica degli elementi saldati alla luce delle vigenti normative, insieme con una descrizione delle verifiche basate sul concetto di hot-spot. Per un quadro più completo, si accenna quindi alla propagazione di difetti ed ai metodi per incrementare la resistenza a fatica di un giunto saldato1 .
8.1
Introduzione alla resistenza a fatica dei giunti saldati
La saldatura è una tecnica di giunzione di materiali, solitamente metalli, per coalescenza. Ciò si ottiene provocando la fusione locale delle parti da collegare, eventualmente con l’aggiunta di materiale d’apporto. In questo modo si forma una mescolanza di materiale fuso che, una volta raffreddato, costituisce una giunzione resistente. Le fonti di energia per la saldatura possono essere una fiamma a gas, un arco elettrico, un laser o un fascio di elettroni. A saldatura avvenuta, nella zona di saldatura si possono riconoscere un certo numero di zone distinte.
Figura 8.1: Saldatura e zona termicamente alterata La saldatura vera e propria è la cosiddetta zona fusa (dove è stato eventualmente disposto il materiale d?apporto). Le proprietà della zona fusa dipendono 1a
cura di A. Bernasconi e M. Filippini
132
Figura 8.2: configurazioni tipiche dei giunti saldati essenzialmente dal materiale d?apporto utilizzato e dalla sua compatibilità con il materiale base. La circonda la zona termicamente alterata, fatta di materiale base la cui microstruttura e le cui proprietà sono state alterate dal processo di saldatura (si veda il profilo di durezza in corripsondenza della zona termicamente alterata in Figura 8.1). In questa zona si sviluppano le tensioni residue che verranno descritte nel seguito. I giunti saldati si classificano in base alla geometria e alla disposizione dei lembi delle lamiere che vengono collegate tra loro. In Figura 8.2 sono riportate le configurazioni più diffuse: 1. giunto di testa (butt joint) 2. giunto di testa con preparazione (single V butt joint) 3. giunto a sovrapposizione (lap joint) 4. giunto a T (T-butt weld ) La preparazione consiste in una lavorazione dei lembi da saldare atta a favorire la disposizione del materiale d’apporto in modo tale da ottenere la completa penetrazione, cioè il completo ripristino della sezione resistente. Come si può vedere in Figura 8.3, la presenza di una saldatura modifica la curva S-N di un acciaio in misura molto più gravosa di un semplice intaglio, con un abbassamento del limite di fatica e un incremento della pendenza della curva stessa. La presenza di saldature riduce la resistenza a fatica di un componente essenzialmente per le seguenti ragioni:
133
Figura 8.3: Confronto tra le curve S-N del materiale base, intagliato e saldato
Figura 8.4: Posizione del piede e della radice di una saldatura • concentrazione di sforzi dovuta alla forma della saldatura e alla geometria del giunto; • concentrazione di sforzi causata dai difetti di saldatura; • sforzi residui introdotti durante la saldatura. I punti di possibile nucleazione di fratture si trovano solitamente in corrispondenza del piede del cordone, della base della saldatura (radice, secondo la terminologia di Figura 8.4), o nei punti di interruzione del cordone nel caso di sladature discontinue o interrotte. La geometria locale di un cordone di saldatura è variabile da punto a punto e si discosta dalla geometria nominale per la forma (non necessariamente triangolare) e per la presenza di sporgenze e rientranze non sempre riconducibili a raggi di raccordo. Quanto anche sia possibile riconoscere dei dettagli geometrici assimilabili a raggi di raccordo, i valori presentano un’elevata dispersione al variare della posizione lungo il cordone lungo il quale si effettuano i rilievi. A titolo di esempio, in Figura 8.5 è riportata la micrografia di una sezione trasversale di una saldatura su cui sono stati rilevati i raggi di raccordo e il grafico con la 134
distribuzione dei raggi di raccordo misurati . I difetti presenti in una saldatura
Figura 8.5: Rilievo dei raggi di raccordo in una sezione trasversale di un cordone di saldatura e distribuzione dei valori di raggio rilevati [13]. sono di diverso tipo (in Figura 8.6 sono rappresentati i difetti più ricorrenti) e sono provocati da meccanismi essenzialmente riconducibili alla successione di riscaldamento e rapido raffreddamento, nonché alla deposizione di materiale di apporto. Per individuare i difetti le saldature sono soggette a controlli non distruttivi (radiografie, ultrasuoni) e pertanto ill livello e la qualità del controllo contribuisce a determinare i valori degli sforzi ammissibili.
Figura 8.6: Difetti tipici presenti in una saldatura. Gli sforzi residui si sviluppano in corrispondenza della saldatura per effetto della contrazione del materiale fuso durante il raffreddamento, che viene in parte contrastata dal materiale base che, avendo raggiunto una temperatura inferiore, ha subito una deformazione iniziale inferiore. Come tutte le tensioni residue, anche quelle derivanti dal processo di saldatura sono autoequilibrate (cioè la risultane delle forze ad essi associate è nulla). La distribuzione tipica di queste tensioni è mostrata in Figura 8.7, dove si può osservare che è presente una componente di trazione residua che si estende per un lungo trato lungo il 135
cordone di saldatura. Queste tensioni residue possono raggiungere valori molto elevati, dell’ordine di grandezza dello snervamento del materiale base. Le tensioni residue possono essere ridotte o eliminate mediante trattamenti termici di distensione.
Figura 8.7: Distribuzione degli sforzi residui in una saldatura In generale per valutare correttamente la resistenza di una saldatura, si deve adeguatamente tenere conto complessivamente di tutti i seguenti parametri: • ampiezza degli sforzi applicati; • livello caratteristico degli sforzi medi e sforzi residui indotti dal processo; • concentrazione di sforzi causati dalla geometria; • dimensioni e posizione delle discontinuità della saldatura. I primi due sono una conseguenza dei carichi applicati sulla struttura e solo parzialmente del processo di realizzazione della saldatura (sforzi residui), mentre gli altri tre parametri dipendono dalle scelte progettuali e dalle caratteristiche e dalla qualità della saldatura. La resistenza di una giunzione saldata può venire espressa in termini di fattori di riduzione, detti anche efficienze, che esprimono il rapporto tra la resistenza 136
Figura 8.8: Componenti di sforzo considerate nella definizione delle efficienze a fatica di una giunzione saldata e quella del materiale base. Solitamente fanno riferimento al limite di fatica; vedremo nel seguito che il concetto di limite di fatica trova una definizione convenzionale nell’ambito delle normative di riferimento per la verifica delle saldature. Questi fattori di riduzione sono definiti con riferimento alle ampiezze delle componenti di sforzo agenti in direzione perpendicolare σ⊥ , parallela σk e tangente τk al cordone di saldatura (v. Figura 8.8). Se indichiamo con ∆σ⊥,A , ∆σk,A e ∆τk,A i limiti di fatica associati a queste tre componenti, con ∆σD e ∆τD i limiti di fatica del materiale base (a trazione e a taglio, rispettivamente), le corrispondenti efficenze γ⊥ , γk γτ sono espresse nel seguente modo: ∆σ⊥A γ⊥ = (8.1) ∆σD γk =
∆σkA ∆σD
(8.2)
γτ =
∆τkA ∆τD
(8.3)
Valori caratteristici delle efficienze per un acciaio da costruzione simile all’Fe360 sono riportati nella tabella di Figura 8.10, in cui ∆σD = 240 MPa (questo valore, corrispondente Pf =10%, è relativo a un rapporto di ciclo R = 0, cioè a fatica pulsante, mentre la resistenza a fatica alternata, cioè a R= -1, dell’Fe360 è ∆σD,R=−1 /2 = 180 MPa; questi valori sono coerenti con il diagramma di Haigh di Figura 8.9 ). Si noti che le efficienze sono indicate con il simbolo γ a indicare che fanno riferimento a proprietà del materiale base ∆σD ricavate da provini estratti da lamiera grezza e non da provini lucidati (diverso effetto della finitura superficiale). Una tabella analoga, valida per le leghe di alluminio, è riportata in Figura 8.11
137
Figura 8.9: Diagramma di Haigh semplificato per l’acciaio Fe360
Figura 8.10: Valori tipici delle efficienze di giunti saldati in acciaio strutturale [14]
Figura 8.11: Valori tipici delle efficienze di giunti saldati in alluminio [14]
138
Figura 8.12: Coefficienti di sicurezza per la resistenza a fatica γM F proposti da Eurocodice 3.
8.2
Approccio agli sforzi nominali secondo le normative
Poiché la saldatura è molto utilizzata come tecnica per realizzare opere e strutture per uso civile, oltre che per la realizzazione di apparecchi in pressione, in tutti i paesi sono state pubblicate norme e linee guida per la verifica di giunzioni saldate. In Italia, fino a pochi anni fa era attiva la normativa CNR UNI 10011 [15], che riguardava in generale le strutture in acciaio2 e che presenta anche una parte riguardante la verifica di resistenza a fatica delle giunzioni saldate. Normative simili sono pubblicate in altri paesi. Ad esempio, le normative inglesi (BS) [16] pubblicano alcune normative che sono specifiche per il calcolo a fatica. Oggi il riferimento normativo più aggiornato sulla verifica a fatica di strutture saldate sono le normative europee (Eurocode 3 per le strutture ini acciaio [17], Eurocodice 9 [18] per le strutture in alluminio). In aggiunta alle normative, esistono linee guida per la progettazione e la verifica a fatica dell saldature, come quella prodotta dall’IIW, International Institute of Welding [19]. Pur non avendo valore normativo, le linee guida presentano importanti suggerimenti e complementi alle prescrizioni dell normative. Nel caso della progettazione a fatica, le norme possono essere intese come requisito minimo per la garanzia dei prodotti, e un’ulteriore analisi si deve rendere necessaria per quei componenti che si ritengono critici per la sicurezza (si pensi alle costruzioni impiegate per il trasporto ferroviario). Si tenga conto che importanti campi della tecnica non utilizzano codici e normative per la progettazione, come ad esempio il settore automobilistico e il settore aerospaziale, pur facendo largo uso della tecnica della saldatura. In generale, le normative si basano sul calcolo degli sforzi nominali. Le norme impongono di verificare che le ampiezze di variazione degli sforzi nominali, ∆σ siano sempre inferiori ad un’ampiezza nominale ammissibile, ottenuta dividendo l’ampiezza limite per un opportuno coefficiente di sicurezza corrispondente, a seconda dei casi, a durata illimitata, o a durata finita oppure ancora al caso di condizioni di carico variabili. In Figura 8.12 è riportata la tabella dei coefficienti di sicurezza γM F proposti da Eurocodice 3. 2 Per gli apparecchi in pressione sono previste normative specifiche: in questi casi i controlli e le verifiche sono ancora più dettagliate. Infatti in questo settore delle costruzioni meccaniche, la tecnica di saldatura riveste, a ragione, importanza fondamentale.
139
Figura 8.13: Curve SN utilizzate dalla normativa Eurocodice 3. . Gli sforzi ammissibili in funzione del numero di cicli atteso, sono dati sotto forma di curve SN in funzione della classe della giunzione. In Figura 8.13 sono riportate le curve SN relative agli acciai da costruzione (sono valide per tutti gli acciai da costruzione con fy ≤ 690N/mm2 ), tratte da Eurocodice 3. Queste curve S-N sono ottenute per traslazione lungo l’asse dei ∆σ di una curva di riferimento, riportata in Figura 8.14. Sono caratterizzate dallo stesso valore dell’inverso della pendenza m1 = 3 del tratto a termine, mentre si distinguono per il valore della resistenza ∆σC a N = 2 · 106 cicli. Questo tratto rettilineo si estende fino a durate pari a NC = 5 · 106 cicli. Oltre a questa durata, nel caso di fatica ad ampiezza costante, si considera che esista un valore ∆σD al di sotto del quale non sia necessaria alcuna verifica (linea c trattegiata in figura 8.14). L’ulteriore tratto continuo che in Figura 8.14 termina con il tratto orizzontale d verra spiegato nel seguito con riferimento alla verifica a fatica in presenza di sforzi ad ampiezza variabile. Curve S-N analoghe sono disponibili per i giunti saldati in lega di aluminio, come riportato in Figura 8.15. La norma di riferimento in questo caso è Eurocodice 9 [18] (in questa norma, per alcuni tipi di giunzioni in alluminio, sono previste pendenze del tratto a termine diverse da quelle degli acciai e diverse al variare della classe del giunto). Concorrono alla definizione della classe tre elementi principali: la geometria (in ultima analisi il tipo di discontinuità o intaglio), il tipo di sollecitazione (il tipo di forze che deve trasmettere il giunto e la posizione del loro punto 140
Figura 8.14: Curva SN di riferimento utilizzata dalla normativa Eurocodice 3.
Figura 8.15: Curve SN relative alle costruzioni in alluminio [19].
141
Figura 8.16: Esempio di tabella relativa alle classi di resistenza delle saldature, tratta da Eurocodice 3.
142
di applicazione) ed infine la qualità della fabbricazione e/o il tipo e il livello di controlli eseguiti. Come mostrato in Figura 8.16, le normative propongono tabelle dove nella prima colonna è riportato il valore di ∆σ, nella seconda uno schea della giunzione e delle forze che trasmette, nella terza una descrizione e infine nella quarta eventuali precisazioni o considerazioni sulle modalità di realizzazione o sul livello di controllo. m Dalle espressioni delle curve SN, del tipo ∆σ m · N = ∆σC · NC , si ricava l’espressione della durata corrispondente a un dato ∆σ nominale applicato: per il tratto a termine (cioè per ∆σ > ∆σC , vale a dire per N < 5 · 106 ), si ha m1 ∆σC (8.4) N = 2 · 106 ∆σ/γM F Il valore dello sforzo nominale applicato, da cui si ricava ∆σ, è calcolato seguendo la definizione corrispondente alla classe del giunto, cioè con riferimento ad una determinata configurazione di carichi e ad una sezione resistente indicata dalla norma. Si osservi che ai fini della verifica è richiesto di consideare solo l’ampiezza ∆σ della variazione degli sforzi, trascurando il valore medio. Ciò è giustificato dalla presenza, nelle giunzioni saldate che non siano state soggette a trattamento termici di distensione, degli sforzi residui di trazione (come abbiamo già visto possono raggiungere il carico di snervamento del materiale base). La presenza di questi sforzi residue rende di fatto trascurabile la presenza di una componente media aggiuntiva, sia essa di trazione o di compressione, legata agli sforzi applicati. Nel caso di giunzioni distese è invece previsto che si tenga in conto l’effetto degli sforzi medi.
Figura 8.17: Disegno e dimensioni della struttura da verificare
143
Esempio 8.1 Sia data una struttura come quella disegnata in Figura 8.17. Si tratta di una porzione di una trave a struttura scatolare, con due rinforzi saldati sulle piattabande superiore ed inferiore, terminati con una sagoma semicircolare. Il modulo di resistenza della sezione nominale è quello della sezione rettangolare cava di dimensioni 330 x 400 x 10, e vale W =
400 1 = 1, 71 · 106 mm4 330 · 4003 − 310 · 3803 · 12 2
(8.5)
Supponendo che in corrispondenza della sezione A-A, posta al termine del rinforzo semicircolare, agisca l’azione interna momento flettente pulsante ∆M = 128,5 kNm, si calcola uno sofrzo nominale σ = M/W = 75M P a. Ipotizzando l’impiego di un acciaio strutturale, la classe di dettaglio riportata in Eurocodice 3 più simile a questa configurazione è la qunta dall’alto tra quelle riportate in Figura 8.16. Il valore di ∆σC associato è 50 MPa e pertanto si calcola una durata 3 50 N = 2 · 106 = 592.000 (8.6) 75
8.2.1
Effetto dello sforzo medio
Nel caso in cui la giunzione abbia subito un trattamento termico di distensione delle tensioni residue, è opportuno tenere conto dell’effetto della componente media del ciclo degli sforzi sulla resistenza a fatica. Come è noto, una componente di compressione ha l’effetto di aumentare la resistenza a fatica. Poiché le curve di riferimento fanno rifermento a prove di fatica pulsante (rapporto di ciclo R = 0), qualora una parte del ciclo degli sforzi sia di compressione, anziché modificare le curve, Eurocodice 3 prevede di modificare il valore dello sforzo nominale ∆σ, secondo lo schema riportato in Figura, cioè aggiungendo alla parte positiva del ciclo il 60% della frazione di compressione. Un approccio molto più chiaro è quello proposto dalle linee guida dell’IIW prevedono di modificare il valore di ∆σC , moltiplicandolo per un fattore correttivo fR che tenga conto del rapporto di ciclo R, i cui valori sono riportati in Figura 8.19. Ad esempio considerando una saldatura completamente distesa soggetta ad uno sforzo alternato simmetrico (R = −1), lo sforzo ammissibile ∆σC della saldatura può aumentare di un fattore 1.6 rispetto ai valori usuali riportati nelle tabelle di resistenza delle varie classi di saldatura.
8.2.2
Multiassialità degli sforzi
Nel caso di giunzioni saldate di elementi in acciaio, qualora lo stato di sforzo nominale consista in una componente di taglio agente in direzione parallela al cordone di saldatura, è prevista l’adozione di due curve S-N espresse in termini di ∆τ , caratterizzate da una pendenza del tratto a termine minore (m1 = 5) di quella associata a sforzi ∆σ agenti in direzione perpendicolare al cordone di
144
Figura 8.18: Modifica del ciclo degli sforzi per giunzioni distese, secondo normativa Eurocodice 3. saldatura (m1 = 3). In Figura 8.20 sono riportate le curve corrispondenti alle classi contemplate da Eurocodice 3. Nel caso di presenza contemporanea di sforzi normali ∆σ e tangenziali ∆τ , qualora per la classe di dettaglio in questione non sia espressamente prevista dalla normativa una formula che permetta di calcolare un’ampiezza di variazione degli sforzi di riferimento, si procede alla combinazione delle due componenti secondo la seguente formula di verifica
∆σ ∆σC
3
+
∆τ ∆τC
5 ≤ 1.0
(8.7)
Il significato fisico della (8.7) è che tale equazione corrisponde a combinare i ∆σ ed i ∆τ in modo che il danno (vedi sezione seguente) sia 1, in corrispondenza di 2 · 106 cicli. Nel caso di verifica per un numero di cicli inferiore, effettuando quindi un calcolo simile, si può applicare più intuitivamente la relazione: n n + ≤ 1.0 (8.8) N σ N τ
8.2.3
Sforzi ad ampiezza variabile
Nel caso di verifiche a fatica in presenza di sforzi ad ampiezza variabile, le curve S-N di riferimento vengono modificate in moto tale da ammettere un contributo al danno per fatica anche di cicli di ampiezza inferiore a ∆σD . Esiste ancora un limite di fatica, ma questo limite è spostato più in basso, al valore ∆σL , corrispondente a durate superiori a N = 108 cicli. Il tratto compreso tra ∆σD e
145
Figura 8.19: Fattore di correzione della resistenza a fatica, secondo le line guida dell’IIW.
Figura 8.20: Curva SN utilizzate dalla normativa Eurocodice 3 per la verifica in presenza di sforzi di taglio.
146
∆σL si assume che abbia una pendenza pari a 1/m2 , dove m2 = 2 · m1 − 1 = 5 per gli acciai. Nel caso di sforzi ad ampiezza variabile Eurocodice 3 prevede una procedura riassunta in figura8.21. Per prima cosa è necessario costruire la sequenza temporale degli sforzi nominali in corrispondenza del dettaglio da verificare. Successivamente, con un opportuno metodo (per esempio il metodo Rainflow) si procede all’individuazione dei cicli e al loro conteggio, al fine di costrure uno spettro di carico, caratterizzato da blocchi di ampiezza ∆σi che si estendono per un numero di cicli ni . Per ciascuno di questi blochhi, con rifernimento alla curva S-N del dettaglio in questione, si calcola il numero di cicli a rottura Ni . La verifica finale è condotta applicando una legge di somma lineare del danno (legge di Miner) X ni ≤ D = 1.0 (8.9) Ni dove Ni viene calcolato applicando le seguenti equazioni: m1 ∆σC ∆σi > ∆σC → Ni = 2 · 106 ∆σi /γM F m2 m1 ∆σC 2 ∆σ < ∆σC → N = 2 · 106 ∆σi /γM F 5
(8.10)
(8.11)
Il valore della somma del danno D uguale a 1.0 è ritenuta dall’IIW non conservativo. Pertanto viene proposto un valore ridotto a 0.5.
147
Figura 8.21: Schema proposto da Eurocodice 3 per la verifica in presenza di sforzi ad ampiezza variabile. 148
8.3
Metodo hot-spot
Qualora il manufatto che è oggetto della verifica non sia riconducibile a nessuna delle classi previste dalle normative, è possibile applicare un metodo, detto hot spot [20], basato sull’intensità delle azioni interne, valutate in corrispondenza del cordone di saldatura mediante opportune tecniche di estrapolazione (ovviamente nulla vieta di applicare il metodo hot spot anche a giunzioni contemplate tra ii dettagli strutturali contemplati dalle normative). L’estrapolazione è necessaria in quanto la distribuzione degli sforzi nello spessore di una lamiera in corrispondenza di una saldatura non è direttamente riconducibile ai valori delle azioni interne che la hanno generata. Ciò è dovuto alla presenza del cordone di saldatura che genera una concentrazione di sforzo e una distribuzione non lineare degli sforzi lungo lo spessore, come mostrato in Figura 8.22. Le sole azioni
Figura 8.22: Distribuzione degli sforzi nello spesssore in corrispondenza di una giunzione saldata.
Figura 8.23: Distribuzione lineare degli sforzi nello spesssore, in corrispondenza di una giunzione saldata, atttribuibile alle sole azioni interne. interne (momento flettente, che genera σb , ed azione assiale membranale, che genera σm ) infatti genererebbero una distribuzione lineare, quale quella mostata in Figura 8.23. Questa distribuzione di sforzi prende il nome di sforzi strutturali, in quanto appunto legati alle sole azioni interne. A questa si aggiunge una componente non lineare σnlp , il cui andamento dipende dalla geometria locale del 149
cordone di saldatura. Poiché, come abbiamo visto, tale geometria presenta una variabilità elevata, con il metodo hot spot si mira a ottenere uno sforzo locale di riferimento in corrispondenza del punto più sollecitato, l’hot spot appunto, che non dipenda da queste condizioni locali non note.
Figura 8.24: Distanza minima dal giunto da cui si procede per l’estrapolazione degli sforzi strutturali. Per ricavare il valore dello sforzo strutturale nell’hot spot viene prescritta un’estrapolazione a partire dai valori segli sforzi strutturali calcolati in prossimità del giunto, a partire da una distanza minima fissata in 0, 4t, dove t è lo spessore della lamiera di base. Il valore di 0, 4t è quello che nella maggior parte dei casi garantisce che la distribuzione degli sforzi nello spessore non risenta più della componente non lineare σnlp , come mostrato in Figura 8.24. Poiché nella magior parte dei casi si procede ad un’estrapolazione lineare, il secondo punto si posiziona ad una distanza pari allo spessore t della lamiera di base. Mediante questa tecnica di estrapolazione, lo sforzo strutturale nell’hot spot risulta più basso dello sforzo di picco reale, ma maggiore dello sforzo nominale, come mostrato schematicamente in Figura 8.25. Rispetto allo sforzo nominale σn , lo sforzo di hot spot σHS risulta pertanto amplificato di un coefficiente Ks , per cui σHS = Ks · σn (8.12) Il metodo hot spot si presta particolarmente all’applicazione ad analisi agli elementi finiti di strutture. E’ sufficiente disporre della coppia di nodi (di estremità, ma anche intermedi, o mid-node) posti alle distanze prescritte, come mostrato in Figura 8.26. Poiché nella pratica è frequente l’impiego di elementi aventi mediamente tutti le stesse dimensioni, è ammesso il ricorso all’estrapolazione anche a partire da nodi intermedi posti alle distanze di 0, 5t e 1, 5t, come mostrato in Figura 8.27 Le formule che forniscono il valore dello sforzo nell’hot spot sono, per l’estrapolazione eseguita a partire da punti posti alle distanze di 0, 4t e 1, 0t, σhs = 1, 67 · σ1,0t − 0, 67 · σ0,4t 150
(8.13)
Figura 8.25: Definizione del coefficiente Ks .
Figura 8.26: Estrapolazione degli sforzi strutturali da un modello FEM
Figura 8.27: Estrapolazione degli sforzi strutturali da un modello FEM con nodi equidistanti
151
mentre per l’estrapolazione a partire da punti posti alle distanze 0, 5t e 1, 5t σhs = 1, 5 · σ1,5t − 0, 5 · σ0,5t
(8.14)
Il tipo di elemento ottimale da impiegare per questo tipo di analisi deve essere quello che permetta di calcolare σHS con il minor numero di elementi. In tal senso si consiglia di utilizzare (v. Figura 8.28): • elementi solidi quadratici, con un solo elemento nello spessore, a integrazione ridotta, con rappresentazione del cordone di saldatura mediante elementi di tipo prismatico • elementi shell quadratici con rappresentazione del cordone di saldatura mediante: – elementi rigidi verticali; – elementi shell verticali; – elementi shell inclinati, a riprodurre la geometria nominale del cordone di saldatura.
Figura 8.28: Tipi di elementi adatti per analisi hot spot [20] I valori di ampiezza degli sforzi di hot spot ammissibili sono stati determinati mediante estese campagne sperimentali, come quella i cui risultati sono riportati in Figura 8.29, che hanno portato alla conclusione che sia possibile
152
fare riferimento, nel caso degli acciai, alle sole due classi denominate FAT90 e FAT100 (cioè alle classi di dettagglio corrispondenti a ∆σC = 90M P a e a ∆σC = 100M P a. In Eurocodice 3 è riportata una tabella (v. Figura 8.30) con le classi di resistenza da assumere nel caso in cui si proceda alla verifica mediante il metodo hot spot dei tipi di giunzione riportati nella tabella stessa. Il meodo hot spot è contemplato anche dalla norma Eurocodice 9 per le strutture in alluminio.
Figura 8.29: Risultati sperimentali che hanno permesso di definire la resistenza hot spot degli acciai. Rispetto all’approccio nominale, la verifica secondo questo metodo si basa quindi sulla distribuzione delle azioni interne valutate mediante estrapolazione in corrispondenza della giunzione (l’approccio agli sforzi nominali invece si basa su configurazioni prestabilite, dove le azioni interne sono calcolate ad una distanza opportuna dalla giunzione). In questo modo è allora possibile includere l’effetto di eventuali disallineamenti delle lamiere, di eccentricità (per esempio nei giunti a sovrapposizione) e più in generale dello stato di sollecitazione effettivo negli elementi da verificare. Esempio 8.2 Si consideri la stessa struttura analizzata nell’esempio precedente e la si analizzi con il metodo hot spot. Per fare ciò è necessario costruire un modello agli elementi finiti della struttura. Il modello, riportato in Figura 8.31, è composto da elementi di tipo shell a 8 nodi e la mesh è stata costruita in modo tale che lungo la linea di mezzeria della piattabanda superiore, in prossimità del termine del rinforzo semicircolare, si disponessero due nodi alle distanze prestabilite di 0, 5t e 1, 5t (v. Figura 8.32). La presenza del cordone di saldatura è simulata per mezzo di elementi shell disposti sia verticalmente, sia secondo lo stesso angolo d’inclinazione del profilo nominale del cordone stesso, come mostrato in Figura 8.33. In questo modo, oltre a riprodurre l’irrigidimento dovuto alla presenza del cordone di saldatura, la posizione dell’hot spot nel modello agli elementi finiti viene a coincidere con quella dell’hot spot nella
153
Figura 8.30: Tabella dei valori di resistenza hot spot riportata in Eurocodice 3.
Figura 8.31: Modello agli elementi finiti della struttura.
154
Figura 8.32: Particolare del modello in corrispondenza del cordone di saldatura
Figura 8.33: Simulazione della presenza del cordone di saldatura mediante elementi inclinati o mediante elementi rigidi verticali
struttura reale. Diversamente, se non fossero stati presenti gli elementi inclinati, ma solo elementi verticali, eventualmente di tipo rigido, l’hot spot nel modello si sarebbe venuto a trovare spostato a sinistra rispetto alla posizione assunta nella struttura reale. L’analisi fornisce la distribuzione degli sforzi σx agenti in direzione parallella all’asse della trave riportata in Figura 8.34. Il valore massimo di σx si registra in prossimità della mezzeria della piattabanda, laddove agisce perpendicolarmente al cordone di saldatura. Tuttavia nel nodo posizionato esattamente all’intersezione tra il cordone di saldatura e la piatttabanda si registra una sollecitazione apparentemente inferiore, come si può vedere in Figura 8.35, a causa dell’operazione di resitituzione al nodo di un valore medio dei valori nodali di sforzo associato agli elementi aventi quel nodo in comune. Non è quindi possibile utilizzare il valore di sforzo agente nell’hot spot leggendolo direttamente in corrispondenza del nodo posto nell’hot spot, bensì è necessario procedere all’estrapolazione secondo la procedura vista. In Figura 8.36 è riportato l’andamento dei valori di σx in funzione della distanza dall’hotspot. Il risultato del-
155
Figura 8.34: Distribuzione degli sforzi σx nella piattabanda superiore l’estrapolazione lineare a partire dai valori di sigmax letti in corrispondenza dei nodi posti alle distanze 0, 5t e 1, 5t, rispettivamente pari a 144,4 MPa e 158,8 MPa, porta a valutare una sollecitazione ∆σhs = 1, 5 · 158, 8 − 0, 5 · 144, 4 = 166M P a. Assumendo una classe ∆σC = 100M P a, sulla base dello schema riportato in Figura 8.30, si calcola una durata pari a 3 100 N = 2 · 106 = 547.000 (8.15) 166 valore molto prossimo a quello ottenuto applicando il metodo basato sugli sforzi nominali.
156
Figura 8.35: Particolare della distribuzione degli sforzi σx nella piattabanda superiore; si osservi la riduzione apparente in corrispondenza dell’hot spot
Figura 8.36: Grafico dei valori di σx in funzione della distanza dall’hot spot
157
8.4
Difetti di saldatura e calcolo della vita a fatica
I difetti di saldatura sono principalmente imperfezioni geometriche generate durante il processo di fabbricazione, come cricche, strappi lamellari, inclusioni solide, penetrazioni incomplete, mancate fusioni e altre (figure 8.37, 8.38, 8.39). La presenza di questi difetti suggerisce l’applicazione di analisi basate sui principi della meccanica della frattura. Secondo questo approccio la durata a fatica degli elementi saldati consistere esclusivamente nella propagazione di cricche descritta attraverso la variazione del fattore d’intensità degli sforzi ∆KI ed una opportuna legge di propagazione in cui da/dN = f (∆K). Pur se tutte le saldature sono caratterizzate da imperfezioni e difetti (??) diventa difficile modellare precisamente il SIF di piccole fratture al piede o alla radice della saldatura, oltre che tenere adeguatamente in conto il cosiddetto effetto ’short-cracks’ (legato alle approssimazioni del campo singolare quando le cricche sono piccole). Per questo motivo si applica la Meccanica della Frattura per la valutazione della resistenza statica o della vita residua di saldature contenenti difetti solo quando questi abbiano dimensioni rilevabili con i controlli non distruttivi o per modellare l’effetto della preparazione in giunti a non completa penetrazione. Il calcolo della durata di un elemento contenente una cricca di profondità nota si può calcolare integrando la curva di Paris (figura ??): da = C∆K m dN dove
√ ∆K = F ∆S πa
nel modo seguente Z
af
N= ai
da √ C(∆S)m π(F (a)a)m
(8.16)
Come è noto, la durata calcolata attraverso questo metodo è fortemente influenzata dal valore della dimensione iniziale della cricca impiegata (i questo caso i difetti rilevati o la mancanza di penetrazione). Il valore finale della lunghezza della cricca af può essere determinato, nel caso di lamiere e giunti saldati, come lo spessore delle membrature attraversate dalla frattura (o nel caso di giunti a grosso spessore come il valore in corrispondenza del quale si supera il valore di tenacità alla frattura KIc sotto l’azione dei carichi massimi di esercizio). Per il fattore di forma F l’assunzione che spesso si fa nelle saldature, anche per effetto delle concentrazioni di sforzo al piede ed alla radice della saldatura, è considerare cricche 2D. I fattori di intensità degli sforzi (SIF) sono ricavati da formule approssimate basate su analisi agli elementi finiti o con mediante BEM, e coprono la maggior parte dei casi di interesse pratico, figura 8.41. Per quanto riguarda la curva di propagazione un’ampia serie di risultati sperimentali ha mostrato come la velocità di propagazione sia la stessa per diversi materiali saldati (vedasi Fig. 8.40 per saldature in acciaio). 158
Figura 8.37: Difetti di saldatura: criccatura a freddo e a caldo [14].
Figura 8.38: Difetti di saldatura: cavità e porosità [14].
Figura 8.39: Difetti di saldatura: mancanza di fusione e di sufficiente penetrazione [14].
159
Figura 8.40: Velocità di propagazione ricavata da prove di laboratorio su provini precriccati. Si noti che la velocità di propagazione non viene influenzata dal tipo di microstruttura.
160
Figura 8.41: Fattori di intensità degli sforzi per giunti saldati di differenti geometrie.
Figura 8.42: Curve di propagazione a frattura per materiali diversi. Questo risultato è inquadrabile nel comportamento a frattura dei materiali metallici in cui le diverse classi di materiali (leghe Al, leghe Ti, acciai ferriticoperlitici e martensitici) mostrano, all’interno della stessa classe, curve di propagazione molto simili (vedasi Figura 8.42). I valori dei coefficienti della curva di Paris pe questi materiali sono riporati in Tabella 8.1. Legame tra curve S-N e fratture E’ interessante notare che dalla 8.16 possiamo ricavare: Nf =
cost C · ∆S m
(8.17)
ovvero la pendenza del diagramma S-N è la stessa della curva di Paris. Da questo punto di vista si capisce come i diagrammi S − N previsti normative abbiano una pendenza m1 = 3 molto diversa dagli usuali diagrammi S − N 161
Materiale
C
acc. ferritici perlitici acc. austenitici 7075 T6 Ti6Al4V
m
mm/ciclo √ MP a m −9
6, 9 · 10 5, 6 · 10−9 2, 7 · 10−8 1, 0 · 10−8
m 3,0 2,3 3,7 3,2
Tabella 8.1: Valori dei coefficienti della legge di Paris per alcuni materiali (R=0) [21] dei componenti (costruiti a partire dal diagramma S − N del materiale), che corrisponde invece al m = 3 nella propagazione a frattura degli acciai. Una ulteriore conferma del fatto che il comportamento delle saldature corrisponde a quello di componenti che contengono fratture si ha dalla minore efficienza saldature in leghe Al. Infatti la minore efficienza non è descrivibile in termini di intaglio (le leghe Al hanno una minore sensibilità all’intaglio). La differenza fondamentale sta nelle minori proprietà a frattura delle leghe Al: usualmente hanno valori di ∆Kth che sono pari al 30 − 50% dei valori tipici per gli acciai e, a pari ∆K, hanno velocità di propagazione maggiori.
8.5
Accorgimenti di fabbricazione per aumentare la resistenza a fatica
Nella maggior parte dei casi il migliore accorgimento per aumentare la resistenza a fatica dei giunti saldati consiste in regole di buon progetto. D’altro canto però la maggior parte delle misure adottate per incrementare la resistenza statica, essenzialmente irrigidimenti e aumento delle sezioni che reggono i carichi, sono del tutto inefficaci se non deleterie, dal punto di vista della resistenza a fatica. Infatti un aumento dello spessore dei cordoni e di lembi costituisce un aumento del fattore di concentrazione degli sforzi, che aumentano bruscamente in corrispondenza dei “rinforzi”. In generale, gli accorgimenti di processo per migliorare la resistenza di un cordone si possono classificare come segue: • miglioramento della forma del cordone volta a diminuire le concentrazioni di sforzo • miglioramento delle condizioni del materiale del cordone attraverso la rimozione di micropori, microinclusioni e microcriccature • introduzione di sforzi residui di compressione, favorevoli per l’aumento della resistenza a fatica, nella zona della saldatura • protezione dalla corrosione
162
Figura 8.43: Molatura del cordone di saldatura. La soluzione b) ha efficacia, mentre la resistenza della geometria a) è poco differente da quella del cordone originale. I principali processi per aumentare la resistenza sono: Molatura la molatura del cordone di saldatura ha lo scopo, oltre a ridurre il Kt complessivo, di eliminare le microcricche che si trovano nella zona di transizione tra il materiale di riempimento e i lembi. Mediante la molatura si ottiene anche un leggero indurimento superficiale. È comumque fondamentale che si realizzi uno scavo profondo (figura 8.43), poiché altrimenti non si raggiunge l’effetto desiderato. TIG dressing l’uso della tecnica di saldatura TIG, con la fusione locale del cordone migliora la forma del cordone e rimuove i microintagli che potrebbero presentarsi nel cordone. I migliori risultati si ottengono per saldature trasversali e per gli acciai ad elevata resistenza. Sovraccarico sollecitando la zona del cordone sopra il limite elastico con un carico monotono, durante la successiva fase di scarico, si riescono a lasciare sforzi residui di compressione nella zona del piede della saldatura. Sforzi residui un’altra possibilità per introdurre sforzi residui di compressione consiste nella pallinatura (oppure di analogo trattamento tipo needlepeening dei cordoni e soprattutto della zona del piede della saldatura. L’aumento della resistenza a fatica a seguito degli accorgimenti di fabbricazione sono indicati nella figura 8.44. A parte alcuni casi specifici, indicazioni generali di come si possa tenere conto di questi accorgimenti nel calcolo possono essere trovate in IIW.
163
Figura 8.44: Aumento della resistenza a fatica di acciai strutturali (R = 0) realizzato mediante l’applicazione di differenti accorgimenti di fabbricazione.
164
Bibliografia [1] S.P. Timoshenko, J.N. Goodier. Theory of Elasticity. McGraw-Hill, 1982. [2] A.C. Ugural, S.K. Fenster. Advanced Strength and Applied Elasticity. Prentice Hall, Upper Saddle River (NJ), 2003. [3] M. H. Sadd. Elasticity: Theory, Applications and Numerics. Academic Press, Oxford, 2009. [4] P. Davoli, L. Vergani, S. Beretta, M. Guagliano, and S. Baragetti. Costruzione di Macchine 1. McGraw-Hill, Milano, 2007. [5] J.R. Barber. Elasticity. Kluwer Academic Publishers, 1992. [6] E. Bazzaro, C. Gorla, S. Miccoli. Lezioni di tecnica delle costruzioni meccaniche. Schonefeld - Ziegler, Milano, 2004. [7] W.D. Pilkey. Peterson’s Stress Concentration Factors. J. Wiley & Sons, New York, 1997. [8] Y. Murakami. Theory of Elasticity. Yokendo Ltd., Tokyo, 1997. [9] G. Belloni, A. Lo Conte. Costruzione di Macchine. Hoepli, Milano, 1990. [10] C. B. Biezeno, R. Grammel. Engineering Dynamics, volume 3. Blackie & Son, 1954. [11] O. Belluzzi. Scienza delle Costruzioni, volume 3. Zanichelli, 1988. [12] S.P. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger. Theory of Plates and Shells. McGraw-Hill International Editions, 1970. [13] A. Finzi S. Beretta, A. Bernasconi. Analisi della resistenza a fatica hot spot di giunzioni saldate in ruote per autocarro. In Atti del XXXI Convegno Nazionale Associazione Italiana per l’Analisi delle Sollecitazioni (AIAS) Parma 2002. [14] C.M. Sonsino D. Radaj, W. Fricke. Fatigue strength assessment of welded joints by local approaches, Second Edition. CRC Press, Woodhead Publishing, 2006. 165
[15] CNR-UNI 10011, Costruzioni in acciaio. Istruzioni per il calcolo, l’esecuzione, il collaudo e la manutenzione. UNI, 1988. [16] BS 7068, Code of practice for fatigue design and assessment of steel structures. British Standards Institution, 1993. [17] EN 1993-1-9, Eurocode 3: Design of steel structures – Part 1-9: Fatigue. 2005. [18] EN 1999-1-3 Eurocode 9, Design of aluminium structures Part 1-3: Structures susceptible to fatigue. 2007. [19] A. Hobbacher. Recommendations for fatigue design of welded joints and components. International Institute of Welding, 2007. [20] S.J. Maddox E. Niemi, W. Fricke. Fatigue analysis of welded components (IIW-1439-00). CRC Press, Woodhead Publishing, 2006. [21] P.Davoli, A.Bernasconi, M.Filippini, S.Foletti. Comportamento meccanico dei materiali. McGraw-Hill, Milano, 2005.
166
Appendice Una lista delle correzioni e delle aggiunte nelle edizioni per A.A. 2010-11: • nella revisione del 4 giugno 2011 corretta la simbologia per le iperstatiche di bordo nel recipiente in pressione (ora M e T ); • nella revisione del 8 giugno 2011 rivisti gli esercizi del Cap. 5; • nella revisione del 7 maggio 2012 corretto errore formula τott ed introdotti sforzi nei cilindri (Cap. 5); • nella revisione del 10 giugno 2012 corretto errore formula (7.60).
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