Appunti di MECCANICA DELLE STRUTTURE Prof. Elio Sacco ...

Appunti di

MECCANICA DELLE STRUTTURE

Prof. Elio Sacco Dipartimento di Ingegneria Civile e Meccanica Università di Cassino e del Lazio Meridionale Anno accademico 2014-2015

1

1 Richiami di Meccanica del continuo 1.1 Analisi della deformazione Si consideri un mezzo continuo Ω che nel tempo cambi configurazione. Detta C0 la configurazione del corpo Ω al tempo iniziale del moto t = t0 , sia C la configurazione di

Ω al generico istante t > t0 . In Figura 1-1 è riportato schematicamente il cambiamento di configurazione del corpo Ω .

u=y-x

Po

P

Ω Co , to x

y

C,t

O Figura 1-1: Cambiamento di configurazione del corpo

Ω.

Si indicano nel seguito con:

x   x = y y = z  

ξ    u η = ζ   

u    v   w  

(1.1)

il vettore posizione del generico punto materiale di Ω al tempo t0 , il vettore posizione dello stesso punto materiale al tempo t ed il vettore spostamento del punto materiale, tale che: u= y − x

(1.2)

Nel seguito si utilizza la notazione di Voigt, per cui le matrici a due indici sono organizzate come vettori. In tale spirito, si introduce il vettore di deformazione infinitesima

ε = {ε x ε y

ε z γ xy γ yz γ xz } , definito dalla relazione: T

2

ε = Su

(1.3)

con •, x 0  0 S= •, y 0   •, z

0 •, y 0 •, x •, z 0

0 0  •, z   0 •, y   •, x 

(1.4)

avendo indicato con la virgola la derivata parziale. Le componenti ε x

ε y ε z del vettore di deformazione infinitesima rappresentano le

dilatazioni lineari lungo gli assi di riferimento. Le componenti γ xy

γ yz γ xz

rappresentano gli scorrimenti angolari tra le direzioni. I valori delle deformazioni principali e le direzioni principali si determinano risolvendo il problema di autovalori ed autovettori:

1 1 0 (ε x − λ ) nx + γ xy ny + γ xz nz = 2

2 1 1 γ xy nx + ( ε y − λ ) n y + γ yz nz = 0 2 2 1 1 γ xz nx + γ yz n y + ( ε z − λ ) nz = 0 2 2

{

dove n = nx

ny

(1.5)

nz } è il versore della direzione principale. Per ammettere soluzione T

diversa dalla banale, il sistema di equazioni (1.5) non deve avere rango massimo, ovvero

λ deve soddisfare la seguente equazione caratteristica: λ 3 − A1λ 2 + A2 λ + A3 = 0

(1.6)

dove A1 , A2 e A3 sono invarianti della deformazione.

1.2 Analisi della tensione Si suppone che sul corpo possano agire due tipi di forze: p forze superficiali (o di contatto) e b forze di massa (o di volume, o azioni a distanza). Il vettore t è la tensione nel punto P agente sul generico piano π di normale n . Vale il seguente teorema di azione e reazione o di reciprocità: t ( n ) =−t ( −n )

(1.7)

3

La dipendenza della tensione dalla normale è fornita dal teorema del tetraedro di Cauchy:

σ x nx + τ xy n y + τ xz nz    t ( n ) = τ xy nx + σ y n y + τ yz nz  τ n + τ n + σ n  z z  xz x yz y

(1.8)

dove

σ = {σ x σ y σ z τ xy τ yz τ xz }

T

(1.9)

è il vettore delle tensioni. Introducendo la matrice dei coseni direttori N , la formula (1.8) assume la forma:

 nx  = t N= σ N 0 0  Indicando con b = {bx

by

0

0

ny

0

ny

0

nx

nz

0

nz

0

ny

nz   0 nx 

(1.10)

bz } il vettore delle forze per unità di volume nel solido, T

valgono le seguenti equazioni indefinite di equilibrio: 0 σ x , x + τ xy , y + τ xz , z + bx = 0 τ xy , x + σ y , y + τ yz , z + by =

(1.11)

0 τ xz , x + τ yz , y + σ z , z + bz =

ovvero, in forma compatta: ST σ + b = 0

(1.12)

Le direzioni e le tensioni principali si determinano risolvendo il problema di autovalori ed autovettori:

0 (σ x − λ ) nx + τ xy ny + τ xz nz =

τ xy nx + (σ y − λ ) n y + τ yz nz = 0

(1.13)

τ xz nx + τ yz n y + (σ z − λ ) nz = 0 Per ammettere soluzione diversa dalla banale, il sistema di equazioni (1.13) non deve avere rango massimo, ovvero λ deve soddisfare la seguente equazione caratteristica:

λ 3 − J1λ 2 + J 2 λ + J 3 = 0

(1.14)

dove J1 , J 2 e J 3 sono invarianti della tensione.

4

1.3 Principio dei lavori virtuali Si consideri un corpo Ω con frontiera ∂Ω = ∂ f Ω ∪ ∂ u Ω . Siano assegnate le forze di volume b in Ω , le forze di superficie p su ∂ f Ω e gli spostamenti uˆ su ∂ u Ω . Si considera un campo di tensioni in equilibrio con le forze attive e reattive agenti sul corpo; ovvero si assume che siano soddisfatte le equazioni (1.11) e le seguenti equazioni al contorno:

σ x nx + τ xy n y + τ xz nz = px τ xy nx + σ = py y n y + τ yz nz

su ∂ f Ω

(1.15)

τ xz nx + τ yz n y + σ z nz = pz con px p y pz le componenti del vettore p . Si assegni poi un campo di spostamenti u congruente con un campo di deformazioni ε , ovvero si suppone che le deformazioni soddisfino l'equazione di congruenza (1.3); inoltre sia assume u = uˆ su ∂ u Ω . Sotto tali ipotesi, si dimostra che il lavoro virtuale esterno Lve è uguale a quello interno Lvi per qualunque insieme di spostamenti virtuali (infinitesimi) compatibili con la continuità del corpo:

Lve = Lvi

(1.16)

con

Lve =∫ uT b dV + ∫ Ω

∂fΩ

uT p dA + ∫

∂u Ω

uˆ T t dA

bx   px  t x        =∫ {u v w} by  dV + ∫ {u v w}  p y  dA + ∫ {uˆ vˆ wˆ } t y  dA Ω ∂fΩ ∂u Ω b  p  t   z  z  z =

(1.17)

∫ ( b u + b v + b w) dV + ∫ ( p u + p v + p w) dA + ∫ ( t uˆ + t vˆ + t wˆ ) dA Ω

x

y

= Lvi

=

z

∂fΩ

ε σ dV ∫ {ε ∫= T

Ω

Ω

∫ (σ ε Ω

x x

x

x

y

z

ε y ε z γ xy γ yz

∂u Ω

x

y

σ x  σ   y σ  γ xz }  z  dV τ xy  τ yz    τ xz 

z

(1.18)

+ σ yε y + σ z ε z + τ xyγ xy + τ yz γ yz + τ xz γ xz ) dV

5

Si evidenzia che non è stata supposta alcuna relazione tra il sistema di forze ed il campo di spostamenti. In altri termini, il sistema delle forze e quello degli spostamenti non sono legati fra loro da alcun nesso di tipo causa-effetto. Vale inoltre quanto segue. •

Il soddisfacimento delle equazioni di equilibrio e delle equazioni di congruenza implicano la validità dell’equazione (1.16), ovvero del principio dei lavori virtuali.

•

Se sono soddisfatte le equazioni di congruenza, l’equazione del principio dei lavori virtuali conduce all’equilibrio delle tensioni con le forze esterne.

•

Se sono soddisfatte le equazioni di equilibrio, l’equazione del principio dei lavori virtuali conduce alla congruenza degli spostamenti con le deformazioni.

1.4 Legame costitutivo Le equazioni di legame forniscono una relazione tra la deformazione e la tensione; tale relazione dipende specificamente dal materiale che costituisce il corpo Ω . In particolare si considera un materiale elastico, ovvero un materiale capace di restituire tutta l’energia spesa per deformarlo. Si assume inoltre che il materiale abbia un comportamento lineare, ovvero che la relazione tensione – deformazione sia di tipo lineare: σ = Cε

(1.19)

dove C è la matrice (6×6 simmetrica) elastica del materiale. Nel caso di materiali elastici lineari il tensore elastico C è definito da 21 costanti elastiche. Si vogliono ora classificare i materiali in funzione di particolari proprietà, chiamate simmetrie materiali.

1.5 Simmetrie materiali Si consideri l’intorno I ( P) di un punto P . Sia x il vettore posizione che individua il generico punto Q ∈ I ( P) ed u sia lo spostamento del punto Q . Nel seguente paragrafo si farà uso della notazione tensoriale, per semplicità degli sviluppi. A tale scopo si indicano con [ε ] e [σ ] il tensore delle deformazioni e quello delle tensioni. La deformazione in Q , per l’equazione di congruenza (1.3) scritta in forma tensoriale, vale:

[ε=]

1 (∇u + ∇uT ) 2

(1.20)

6

Si ruoti poi l’intorno I ( P) con centro in P , così da individuare un intorno I ∗ ( P) ruotato di I ( P) tramite un tensore di rotazione Q . Il generico punto Q∗ ∈ I ∗ ( P) sia individuato dal vettore x∗ ruotato di x , i.e. x∗ = Qx . Si evidenzia che si è ruotato solo l’intorno geometrico I ( P) , e non un insieme di punti materiali del corpo con le sue proprietà. Siano i punti di I ∗ ( P) soggetti a spostamenti u∗ ruotati di u , i.e. u∗ = Qu . La deformazione associata agli spostamenti u∗ vale: (∇u∗ )ij =

∂u ∂x ∂ ∗ ∂ ∂ u = ∗ (Qik uk ) =Qik ∗ uk =Qik k m∗ =Qik (∇u) km Q jm ∗ i ∂x j ∂x j ∂x j ∂xm ∂x j

(1.21)

da cui si ricava:

ε∗  = Q [ε ] Q

T

(1.22)

Per l’equazione costitutiva, alla deformazione [ε ] è associato il tensore delle tensioni

[σ ] =  [ε ] , con

 tensore costitutivo del quarto ordine, mentre alla deformazione ruotata

corrisponde la tensione:

σ ∗  = ε∗  [Q [ε ] Q ] = T

(1.23)

D’altra parte, è possibile anche definire il ruotato del tensore di tensione [σ ] , come:

σ♦  = Q [σ ] Q

T

(1.24)

In generale la tensione associata alla deformazione ruotata σ ∗  è differente dal ruotato della tensione σ♦  . Si dice che Q è una trasformazione di simmetria per il materiale se accade che la tensione corrispondente alla deformazione ruotata eguaglia la ruotata della tensione associata alla deformazione iniziale: T σ*  = σ♦  ⇔ [Q [ε ] Q ] = Q [ε] Q T

∀ [ε ]

(1.25)

L’insieme di tutti i tensori Q che, per un dato materiale, soddisfano la proprietà appena enunciata prende il nome di gruppo di simmetria per il materiale e si indica con G . Si evidenzia che G soddisfa le seguenti proprietà di gruppo:

Q ∈ G ⇒ Q −1 = QT ∈ G Q, P ∈ G ⇒ QP ∈G

(1.26)

Tali proprietà si verificano come segue: 1.

Q ∈ G ⇒ Q −1 = QT ∈ G

7

Dalla relazione (1.25) si ricava: T QT [Q [ε ] Q ]Q =  [ε ] e quindi T QT= [Q [ε ] Q ]Q Q= Q [ε ] QT Q  [ε ] T

allora, posto Q [ε ] Q = [ η] , ovvero [ε ] = QT [ η] Q , si ha: T

T = [QT [ η] Q] Q= [QQT [ η] QQ ]Q QT  [ η] Q T

T da cui si deduce che Q = Q −1 ∈ G .

2.

Q, P ∈ G ⇒ QP ∈ G Applicando la (1.25) si ha: T  [ε ] = PT [P [ε ] P ]P

ed anche [P [ε ] P ] = QT [Q(P [ε ] P )QT ]Q T

T

Combinando le ultime due relazioni si ottiene: T = C[ε] P= QT C[Q(PεP T )QT ]QP

( QP ) C[( QP ) ε ( QP ) ] ( QP ) T

T

da cui si deduce che QP ∈ G . Il più piccolo sottogruppo di tensori ortogonali che sono trasformazioni di simmetria per un materiale contiene almeno {I, −I} ed è relativo ai materiali anisotropi. 1.5.1 Materiale monoclino Si esamina ora il caso di materiali che ammettono un piano di simmetria: essi sono detti monoclini. Si assuma come piano di simmetria il piano individuato da due versori e1 e e 2 ortogonali ad un versore e3 . In tal caso, il gruppo di simmetria materiale è:

G=

  

I, −I, P 3 

dove P 3 = e1 ⊗ e1 + e 2 ⊗ e 2 − e3 ⊗ e3

così che nel riferimento e1 , e 2 , e3 si ha:

1 0 0  P = 0 1 0  0 0 −1 3

Si calcoli allora il tensore di deformazione ε∗ nel caso che Q = P 3 : 8

1 0 0   ε11 ε12 ε13  1 0 0   0 1 0  ε 3  0 ε∗  P= = ε ε = 1 0  [ε ]  P 12 22 23      0 0 −1 ε13 ε 23 ε 33  0 0 −1 3 T  

       

ε11 ε12 −ε13   ε12 ε 22 −ε 23  (1.27)  −ε13 −ε 23 ε 33 

Le componenti del tensore delle tensioni σ ∗ sono allora:

σ 11∗ = C1111ε11 + C1122ε 22 + C1133ε 33 − 2C1123ε 23 − 2C1113ε13 + 2C1112ε12 ∗ σ 22 = C2211ε11 + C2222ε 22 + C2233ε 33 − 2C2223ε 23 − 2C2213ε13 + 2C2212ε12

σ 33∗ = C3311ε11 + C3322ε 22 + C3333ε 33 − 2C3323ε 23 − 2C3313ε13 + 2C3312ε12 ∗ = σ 23 C2311ε11 + C2322ε 22 + C2333ε 33 − 2C2323ε 23 − 2C2313ε13 + 2C2312ε12

(1.28)

σ 13∗ = C1311ε11 + C1322ε 22 + C1333ε 33 − 2C1323ε 23 − 2C1313ε13 + 2C1312ε12 σ 12∗ = C1211ε11 + C1222ε 22 + C1233ε 33 − 2C1223ε 23 − 2C1213ε13 + 2C1212ε12 D’altra parte, il ruotato tramite P 3 del tensore delle tensioni σ è:

σ 11 σ12 −σ13 σ  P= σ12 σ 22 −σ 23 = [σ ] P −σ13 −σ 23 σ 33 ♦

3

  

3 T  

(1.29)

che per il legame costitutivo, in esplicito fornisce:

σ 11♦ = C1111ε11 + C1122ε 22 + C1133ε 33 + 2C1123ε 23 + 2C1113ε13 + 2C1112ε12 ♦ σ 22 = C2211ε11 + C2222ε 22 + C2233ε 33 + 2C2223ε 23 + 2C2213ε13 + 2C2212ε12 ♦ σ 33 = C3311ε11 + C3322ε 22 + C3333ε 33 + 2C3323ε 23 + 2C3313ε13 + 2C3312ε12 ♦ σ 23 = − ( C2311ε11 + C2322ε 22 + C2333ε 33 + 2C2323ε 23 + 2C2313ε13 + 2C2312ε12 )

(30)

σ 13♦ = − ( C1311ε11 + C1322ε 22 + C1333ε 33 + 2C1323ε 23 + 2C1313ε13 + 2C1312ε12 ) σ 12♦ = C1211ε11 + C1222ε 22 + C1233ε 33 + 2C1223ε 23 + 2C1213ε13 + 2C1212ε12 Se P 3 appartiene al gruppo di simmetrie materiali, deve verificarsi l’eguaglianza σ ∗  = σ♦  , che in componenti fornisce:

C1111ε11 + C1122ε 22 + C1133ε 33 − 2C1123ε 23 − 2C1113ε13 + 2C1112ε12 =C1111ε11 +C1122ε 22 +C1133ε 33 +2C1123ε 23 +2C1113ε13 +2C1112ε12 C2211ε11 + C2222ε 22 + C2233ε 33 − 2C2223ε 23 − 2C2213ε13 + 2C2212ε12 =C2211ε11 +C2222ε 22 +C2233ε 33 +2C2223ε 23 +2C2213ε13 +2C2212ε12 C3311ε11 + C3322ε 22 + C3333ε 33 − 2C3323ε 23 − 2C3313ε13 + 2C3312ε12 =C3311ε11 +C3322ε 22 +C3333ε 33 +2C3323ε 23 +2C3313ε13 +2C3312ε12 C2311ε11 + C2322ε 22 + C2333ε 33 − 2C2323ε 23 − 2C2313ε13 + 2C2312ε12 = − C2311ε11 + C2322ε 22 + C2333ε 33 + 2C2323ε 23 + 2C2313ε13 + 2C2312ε12  



9

C1311ε11 + C1322ε 22 + C1333ε 33 − 2C1323ε 23 − 2C1313ε13 + 2C1312ε12 = − C1311ε11 + C1322ε 22 + C1333ε 33 + 2C1323ε 23 + 2C1313ε13 + 2C1312ε12  



C1211ε11 + C1222ε 22 + C1233ε 33 − 2C1223ε 23 − 2C1213ε13 + 2C1212ε12 =C1211ε11 +C1222ε 22 +C1233ε 33 +2C1223ε 23 +2C1213ε13 +2C1212ε12 che possono verificarsi se e solo se: 0 C= C= C= C= C= C= C= C= 1123 1113 2223 2213 3323 3313 1223 1213

(1.31)

In definitiva, si osservi che per essere il materiale monoclino, devono essere nulle le 8 costanti elastiche specificate nelle relazioni (1.31), se ne deduce allora che per materiali monoclini le costanti elastiche necessarie alla definizione di C si riducono a 13. 1.5.2 Materiale triclinoclino o ortotropo Si esamini ora il caso in cui il materiale ammetta due piani di simmetria e si supponga che il gruppo di simmetria sia fornito da:

G=

  

I, −I, P 3 , P 2 

dove P 2 = e1 ⊗ e1 − e 2 ⊗ e 2 + e3 ⊗ e3

così che nel riferimento e1 , e 2 , e3 si ha:

1 0 0   P 0 −1 0  = 0 0 1  2

Per la seconda proprietà dei gruppi, si ha che se P 2 ∈ G e P 3 ∈ G anche P 2 P 3 ∈ G , ma P 2 P 3 =  e1 ⊗ e1 − e 2 ⊗ e 2 + e3 ⊗ e3   e1 ⊗ e1 + e 2 ⊗ e 2 − e3 ⊗ e3  =e1⊗e1 −e2 ⊗e2 −e3 ⊗e3 =P1

così che nel riferimento e1 , e 2 , e3 è:

1 0 0  = P 0 −1 0  0 0 −1 1

Se ne deduce che se il materiale ammette due piani di simmetria ne ammette anche un terzo; in questo caso il materiale è detto triclino o ortotropo. Per i materiali triclini deve accadere che:

10

= 0 C= C= C= C2213 1123 1113 2223 = C= C= C= C1213 3323 3313 1223

(1.32)

= C= C= C= C1323 1112 2212 3312 ovvero il numero delle costanti elastiche necessarie alla definizione di C si riduce ulteriormente, passando da 13 a 9. In notazione Voigt, l’inversa della matrice elastica per il materiale ortotropo è del tipo:

 1   Ex  ν xy −  Ex   − ν xz  Ex C−1 =    0    0    0 

−

ν yx

ν zx

0

0

0

0

1 Ez

0

0

0

0

1 Gxy

0

0

0

0

1 G yz

0

0

0

0

Ey

1 Ey −

− −

ν yz Ey

Ez

ν zy Ez

 0    0    0     0    0   1   Gxz 

(1.33)

dove Ex , E y e Ez sono i moduli elastici lungo le direzioni x , y e z ; ν ij è il rapporto di Poisson, definito come il rapporto tra la deformazione lungo la j − esima direzione quando è applicata ina tensione lungo la i − esima direzione, con i, j = x, y, z . A causa della simmetria della matrice elastica C e quindi della sua inversa C−1 , deve accadere:

ν yx

ν xy

ν

ν

ν zy

ν yz

zx xz ; ; = = = E y Ex Ez Ex Ez E y

(1.34)

per cui le costanti indipendenti sono solo 9. Imponendo ulteriori condizioni di simmetria il numero delle costanti elastiche indipendenti si riduce sempre più. 1.5.3 Materiale trasversalmente isotropo Per i materiali trasversalmente isotropi accade che i gruppo di simmetrie materiali contenga tutti i tensori di rotazione intorno ad un asse. In tal case le costanti elastiche indipendenti sono solo 5 e l’inversa della matrice elastica diventa:

11

 1  E   ν −E   νz − E −1 C = z   0    0    0 

−

ν E

1 E −

νz

−

νz

−

νz

Ez Ez

0

0

0

0

0

0

Ez

1 Ez

0

0

2 (1 +ν ) E

0

0

0

2 (1 +ν ) E

0

0

0

0

0

 0    0    0    0    0   1  Gxz 

(1.35)

In questo caso il piano ortogonale all’asse di tutte le rotazioni che appartengono a G è il piano x − y . 1.5.4 Materiale isotropo Il più ampio gruppo di simmetria possibile, cui corrisponde il minimo numero di costanti elastiche, è costituito dall’insieme di tutti i tensori di rotazione. In tal caso il materiale è detto isotropo, ed ha uguale risposta per ogni direzione. Un materiale è isotropo se si comporta nello stesso modo in tutte le direzioni, ovvero le proprietà meccaniche del materiale non dipendono dalla direzione. In questo caso, la matrice elastica dipende da solo due costanti elastiche, E modulo di Young e ν rapporto di Poisson. Tornando alla notazione di Voigt, la relazione tensione-deformazione si scrive come:

ν ν 1 −ν  ν ν 1 −ν   ν ν 1 −ν   0 E 0 0 C=  (1 +ν )(1 − 2ν )   0 0 0   0 0  0 

0 0 0

0 0 0

1 (1 − 2ν ) 2

0

0

1 (1 − 2ν ) 2

0

0

      0    0   1 (1 − 2ν )  2 0 0 0

(1.36)

e, nella forma inversa,

12

1  −ν   −ν 1 −1 = A C=  E0 0   0

−ν 1 −ν 0 0

−ν

0

0

−ν 1

0 0

0 0

0

0 0

2 (1 +ν ) 0 0 2 (1 +ν )

0

0

0

  0  0   0  0   2 (1 +ν )  0

(1.37)

1.6 Problema delle Equilibrio Elastico Dato un corpo Ω con frontiera ∂Ω = ∂ f Ω ∪ ∂ u Ω , il problema dell’equilibrio elastico consiste in: •

assegnate o le forze di volume b in Ω , o le forze di superficie p su ∂ f Ω , o gli spostamenti uˆ su ∂ u Ω ;

•

determinare lo stato elastico definito da o il campo di spostamenti u , o il campo di deformazioni ε , o il campo di tensioni σ ,

che soddisfano le equazioni di campo: ε = Su T S= σ+b 0 σ = Cε

in Ω

(1.38)

e le condizioni al contorno: = Nσ p

su ∂ f Ω

= u uˆ

su ∂ u Ω

(1.39)

1.7 Energia Potenziale Totale Il problema dell’equilibrio elastico può essere affrontato e risolto ricorrendo ad un approccio basato sulla definizione dell’energia coinvolta nel sistema. Per formulare in modo semplice il problema in forma energetica, si considera inizialmente un caso molto semplice, il cui sistema meccanico è costituito da una molla ed una massa.

13

La molla di lunghezza L è vincolata ad un estremo e sull’estremo opposto è presente una massa m che da luogo ad una forza F = m g , come illustrato in Figura 1-2.

u F

configurazione configurazione iniziale finale Figura 1-2: Molla vincolata ad un estremo e caricata da una forza

F.

Per effetto della forza applica F , nella molla nasce uno sforzo normale N ; d’altra parte, per la presenza dello sforzo normale N si ha un allungamento elastico della molla e, di conseguenza, si ha uno spostamento u dell’estremo su cui è applicata la forza. Le equazioni che governano il problema sono le seguenti: u congruenza L 0 equilibrio N −F = legame costitutivo N = kε

ε=

(1.40)

dove k denota l’elasticità (per unità di lunghezza) della molla. Dopo semplici sostituzioni, le equazioni (1.40) forniscono: F =Ku

(1.41)

dove K = k / L è la rigidezza (globale) della molla. Risolvendo la (1.41) si ottiene:

u=

F K

(1.42)

Energia interna Tenuto conto della terza delle equazioni (1.40), la densità di energia interna immagazzinata dalla molla vale: 14

= ϕ (ε )

ε

N δε ∫= 0

ε

kε δε ∫= 0

1 2 kε 2

(1.43)

ovvero si ricava come area sottesa dalla curva che definisce la relazione tra la sollecitazione interna N e la deformazione ε . L’energia immagazzinata in tutta la molla è:

Φ = (ε )

ε ) dx ∫ ∫ ϕ (= L

L

0

0

1 2 1 k= ε dx k Lε 2 2 2

(1.44)

Tenendo conto delle (1.40)1 e (1.40)3, la (1.44) fornisce:

= Φ

1 u 1 = k u K u2 2 L 2

(1.45)

Potenziale delle forze Si definisce poi energia potenziale delle forze applicate la quantità:

Λ = −F u

(1.46)

Energia potenziale totale L’energia potenziale totale del sistema è ottenuta come la somma dell’energia potenziale interna della molla (1.45) e dell’energia potenziale delle forze (1.46):

Π (u ) = Φ + Λ =

1 K u2 − F u 2

(1.47)

Si evidenzia che Π è funzione dello spostamento dell’estremo libero u della molla; in particolare, Π è una funzione quadratica dello spostamento. In Figura 1-3 è schematicamente illustrato il grafico dell’energia potenziale totale.

Π (u )

F/K

u

Figura 1-3: Grafico dell’energia potenziale totale.

15

Il teorema di stazionarietà dell’energia potenziale totale assicura che: condizione necessaria e sufficiente affinché lo spostamento u che soddisfi l’equazione di equilibrio (1.41), è che l’energia potenziale totale (1.47) attinga un punto di stazionarietà proprio in u . Infatti:

∂Π = Ku−F ∂u

= 0

(1.48)

ovvero si ottiene l’equazione (1.41). Il teorema di stazionarietà dell’energia potenziale totale vale non solo per il semplice sistema considerato, costituito da una molla caricata da una forza, ma per ogni sistema elastico. Infatti, si può dimostrare che la soluzione di un problema dell’equilibrio elastico si può determinare imponendo la condizione di stazionarietà dell’energia potenziale totale. Nel seguito si introdurrà l’energia potenziale per specifici modelli strutturali. Si considera ora il problema di un corpo rigido connesso ad un piano rigido tramite due molle parallele di differente rigidezza, come schematicamente illustrato in Figura 1-4.

K1

K2

d2

d1 u e

ϕ

F configurazione iniziale

configurazione finale

Figura 1-4: Corpo rigido vincolato ad un piano tramite due molle elastiche.

La deformata del corpo rigido è governata dai due parametri cinematici u e ϕ ; gli spostamenti dei punti di connessione delle molle con il corpo e lo spostamento del punto di applicazione della forza valgono rispettivamente:

u1= u + d1 ϕ u2= u − d 2 ϕ

(1.49)

uF = u + e ϕ 16

L’energia interna del sistema vale allora: = Φ

1 1 K1u12 + K 2u22 2 2 1 1 2 2 K1 ( u + d1 ϕ ) + K 2 ( u − d 2 ϕ ) = 2 2

(1.50)

mentre, l’energia potenziale del carico vale:

Λ = − F uF

= −F (u + eϕ )

(1.51)

In definitiva, l’energia potenziale totale è: Π = Φ+Λ 1 1 2 2 = K1 ( u + d1 ϕ ) + K 2 ( u − d 2 ϕ ) − F ( u + e ϕ ) 2 2

(1.52)

La condizione di stazionarietà dell’energia potenziale totale fornisce:

∂Π 0 = =K1 ( u + d1 ϕ ) + K 2 ( u − d 2 ϕ ) − F ∂u ∂Π 0 = =K1 ( u + d1 ϕ ) d1 − K 2 ( u − d 2 ϕ ) d 2 − F e ∂ϕ

(1.53)

ovvero, in forma matriciale:  K1 + K 2 K d − K d 2 2  1 1

K1d1 − K 2 d 2   u   F   =  K1d12 + K 2 d 2 2  ϕ   F e 

(1.54)

La matrice a primo membro della (1.54) è detta matrice di rigidezza; essa è sempre simmetrica e definita positiva.

17

2 Modellazione della trave: Problema assiale 2.1 Il modello di trave Le equazioni che governano il problema assiale della trave sono di seguito riportate. Spostamenti Il campo degli spostamenti si scrive come segue:

w = w( z )

spostamento lungo z

(2.1)

Deformazione La deformazione si calcola come:

ε = w'

(2.2)

avendo indicato con l’apice la derivata rispetto a z . Tensione La tensione normale alla sezione retta si determina tramite l’equazione del legame costitutivo:

= σ E= ε E w'

(2.3)

Sforzo normale La presenza della tensione normale σ fa nascere uno sforzo normale:

= N

σ dA ∫ E= ε dA ∫= A

E Aε

(2.4)

A

essendo A l’area della sezione retta della trave. Equilibrio Dall’equilibrio del tratto infinitesimo di trave, rappresentato in Figura 2-1, si ricava l’equazione:

N'= −f

(2.5)

Problema dell’equilibrio elastico In definitiva, le equazioni che governano il problema assiale della trave sono:

ε = w'

N = E Aε

N'= −f

(2.6)

e quindi

E A w '' = − f

(2.7)

18

Facendo riferimento allo schema rappresentato in Figura 2-2, il problema dell’equilibrio elastico è completato dalle seguenti condizioni al contorno: N= 0 in = z 0 0 − P0 N L= − PL 0 in = z L

f

N

(2.8)

N + ∆N

∆z Figura 2-1: Equilibrio del tratto di trave infinitesimo.

2.2 Energia potenziale totale Si consideri un filo di area dA e lunghezza dz . L’energia interna in questo caso si calcola come:

1 φ = E ε 2 dAdz 2

(2.9)

Poiché il tratto di trave di lunghezza dz può essere visto come l’insieme di tanti fili di area dA lunghezza dz , l’energia interna si può determinare come:

= φA

1 1 = E ε 2 dAdz EA ε 2dz ∫ 2A 2

(2.10)

ovvero

1 2 φA = EA ( w ' ) dz 2

(2.11)

Ne consegue che l’energia interna di una trave di lunghezza L vale: L

1 2 Φ = ∫ EA ( w ' ) dz 20

(2.12)

Il potenziale dei carichi, con riferimento alla Figura 2-2, vale: L  Λ = −  ∫ f w dz + PL wL − P0 w0  0 

(2.13)

19

P0

PL

f

Figura 2-2: Trave soggetta a carichi assiali distribuiti ed a forze sulle sezioni di estremità.

L’energia potenziale totale è: Π=Φ+Λ =

L L  1 2 EA w dz − ' ( )  ∫ f w dz + PL wL − P0 w0  ∫ 20 0 

(2.14)

Si evidenzia che Π dipende dalla funzione w( z ) ; l’integrale che definisce Π è un valore scalare che dipende da una funzione. Tale speciale applicazione viene chiamata in matematica funzionale. Il concetto di funzionale può caratterizzarsi come la generalizzazione del concetto classico di funzione. In altri termini, un funzionale è una funzione a valore scalare nella quale la variabile indipendente è, a sua volta, una funzione. Imporre la stazionarietà dell’energia, come già fatto nel caso del semplice sistema di una molla caricata che ha condotto alla semplice equazione (1.48), non risulta immediato nel caso in cui si debba imporre la stazionarietà di un funzionale come quello definito dall’equazione (2.14) per la trave. La variazione prima di un funzionale è definita come:  d  δΠ α  = Π ( w + α u )  dα α = 0

(2.15)

essendo α u = δ w una funzione che rappresenta una possibile variazione della funzione di spostamento assiale della trave w . Applicando la (2.15), la variazione prima di Π si determina come:  d δΠ α  =  dα

L 1 L 2 ' ' EA w α u dz + − ( )  ∫ ∫0 f ( w + α u ) dz 2 0

(P (w L

L

 + α uL ) − P0 ( w0 + α u0 ) )    α =0

(2.16)

Effettuando la derivata rispetto ad α e calcolandone il valore per α = 0 , la (2.16) fornisce:

= δΠ

L

L

0

0

∫ EA w 'δ w ' dz − ∫ f δ wdz − ( P δ w L

L

− P0δ w0 )

(2.17)

La condizione di stazionarietà dell’energia potenziale totale ∀ δ w fornisce:

20

0 = δΠ =

L

L

0

0

∫ EA w 'δ w ' dz − ∫ f δ wdz − ( PLδ wL − P0δ w0 )

∀δw

(2.18)

Integrando per parti, l’equazione (2.18) diventa: L

L

0

0

− ∫ EA w '' δ w dz − ∫ f δ wdz + EA wL ' δ wL 0= − EA w0 ' δ w0 − ( PLδ wL − P0δ w0 ) L

= − ∫ ( EA w ''+ f ) δ w dz + ( EA wL '− PL ) δ wL − ( EA w0 '− P0 ) δ w0

(2.19) ∀δw

0

Vista l’arbitrarietà di δ w , la (2.19) fornisce: EA= w ''+ f 0 per z ∈ ( 0, L ) 0 in EA w= z 0 = 0 '− P0 0 in EA w= z L = L '− PL

(2.20)

Le equazioni (2.20) coincidono le (2.6) e (2.7). Ne consegue che se w rappresenta un punto di stazionarietà dell’energia potenziale totale, ovvero se è soddisfatta la (2.18) e quindi le (2.20), allora sono soddisfatte le (2.6) e (2.7). Al contrario se w risolve le equazioni (2.6) e (2.7), allora sono soddisfatte le (2.20) e quindi w rappresenta un punto di stazionarietà dell’energia potenziale totale.

21

3 Modellazione della trave: Trave inflessa di Eulero Bernoulli 3.1 Il modello di trave Il modello di trave di Eulero Bernoulli (EB) è basato sull’ipotesi che la generica sezione retta a deformazione avvenuta resti piana ed ortogonale alla deformata della linea d’asse della trave, come schematicamente illustrato in Figura 3-1. Nel seguito viene ignorato il problema assiale, trattato nel paragrafo precedente.

v

Figura 3-1: Trave inflessa, ipotesi di Eulero Bernoulli.

Spostamenti Il campo degli spostamenti si può scrivere come segue:

v = v( z ) w = yϕ ( z )

spostamento lungo y spostamento lungo z

(3.1)

dove ϕ ( z ) rappresenta la rotazione della sezione retta, che per il modello di EuleroBernoulli deve risultare:

ϕ = −v '

(3.2)

= ε w=' yϕ '

(3.3)


Ricordando la relazione (3.2), la deformazione (3.3) diventa:

ε = − y v ''

(3.4)

inoltre, introducendo la curvatura come χ = ϕ ' , ovvero anche χ = −v '' , si ha:

22

ε = yχ

(3.5)

Tensione La tensione normale alla sezione retta si determina tramite l’equazione del legame costitutivo: = σ E= ε E yχ

(3.6)

essendo E il modulo elastico o modulo di Young. Caratteristiche della sollecitazione La presenza della tensione normale σ può far nascere sia sforzo normale che momento flettente: = N

σ dA ∫ E y= χ dA ∫= A

= M

ESχ

A

y σ dA ∫=

2 χ dA E I χ ∫ E y=

A

A

(3.7)

essendo A , S e I rispettivamente l’area, il momento statico e il momento d’inerzia della sezione retta della trave. Si evidenzia che scegliendo, come spesso accade, un sistema di riferimento baricentrico nella sezione retta, il momento statico è nullo e quindi lo sforzo normale è nullo: S =0 ⇒ N =0 . Risolvendo la seconda delle (3.7) rispetto a χ e sostituendo il risultato nella (3.6), si ottiene la formula di Navier:

σ=

M y I

(3.8)

Equilibrio Dall’equilibrio del tratto infinitesimo di trave, rappresentato schematicamente in Figura 3-2, si ricavano le equazioni:

M '=T

(3.9)

T ' = −q

q

T

M + ∆M

M ∆z

T + ∆T

Figura 3-2: Equilibrio del tratto di trave infinitesimo.

23

Problema dell’equilibrio elastico In definitiva, le equazioni che governano il problema della trave inflessa sono:

ϕ= −v ' T'= −q = χ ϕ= ' M' T ⇓

⇓

(3.10)

χ= −v '' M = E I χ M '' = −q    e quindi

E Iv '''' = q

(3.11)

Il problema dell’equilibrio elastico scritto nella forma (3.10) o (3.11) si completa con opportune condizioni al contorno.

3.2 Energia potenziale totale Si consideri la trave rappresentata in Figura 3-3. Le equazioni che governano il problema sono le equazioni di campo (3.10), ovvero:

ϕ = −v ' χ =ϕ' M EIχ =

per z ∈ ( 0, L )

(3.12)

M '=T T ' = −q

completate dalle condizioni al contorno: T0 − F0 = 0 M 0 − m0 = 0 TL − FL = 0 M L − mL = 0

in

z=0

(3.13) in

z=L

Si consideri ora un filo di area dA lunghezza dz della trave. L’energia interna in questo caso si calcola come:

1 φ = E ε 2 dAdz 2

(3.14)

Poiché il tratto di trave di lunghezza dz può essere visto come l’insieme di tanti fili di area dA e lunghezza dz , tenuto conto della formula (3.5), l’energia interna si determina come:

= φA

1 1 1 = E ε 2 dAdz E = y 2 χ 2 dAdz EI χ 2dz ∫ ∫ 2A 2A 2

(3.15)

24

ovvero

1 2 φA = EI ( v '' ) dz 2

(3.16)

Ne consegue che l’energia interna di una trave inflessa di lunghezza L vale: L

1 2 Φ = ∫ EI ( v '' ) dz 20

(3.17)

Il potenziale dei carichi, con riferimento alla Figura 3-3, vale: L  Λ = −  ∫ q v dz + FL vL + mLϕ L − F0v0 − m0ϕ 0  0 

(3.18)

q

F0

mL

m0 FL

Figura 3-3: Trave soggetta a carico distribuito ed a carichi concentrati sulle sezioni di estremità.

Ne consegue che l’energia potenziale totale è: L L  1 2 Π = Φ + Λ = ∫ EI ( v '' ) dz −  ∫ q v dz + FL vL + mLϕ L − F0v0 − m0ϕ 0  20 0 

(3.19)

Si evidenzia che Π dipende dalla funzione v ( z ) ; l’integrale che definisce Π è un valore scalare che dipende da una funzione, ovvero è un funzionale. Come già vista nel paragrafo 2.2, la variazione prima di un funzionale è definita come: d  δΠ α  = Π ( v + α u )  dα α = 0

(3.20)

che nel caso specifico della trave EB fornisce:

25

L  d 1 L  2 δΠ α   ∫ EI ( v ''+ α u '' ) dz − ∫ q ( v + α u ) dz   = 0  α =0  dα  2 0

(3.21)

 d  FL ( vL + α uL ) − mL ( v ' L + α u ' L ) − F0 ( v0 + α u0 ) + m0 ( v '0 + α u '0 ) ) −α  (  dα α = 0

essendo α u una funzione che rappresenta una possibile variazione della funzione di inflessione v , come illustrato in Figura 3-4.

Figura 3-4: Variazione della funzione

La condizione di stazionarietà dell’energia potenziale totale diventa allora: L L  = δΠ α  ∫ EI v '' u '' dz − ∫ q u dz  − α ( FLuL − mLuL '− F0u0 '+ m0u0 ' ) 0 0  L

L

0

0

∫ EI v '' δ v '' dz − ∫ q δ v dz − ( F δ v

=

L

L

(3.22)

− mLδ vL '− F0δ v0 '+ m0= δ v0 ' ) 0

essendo δ v = α u . La formula (3.22) si può riscrivere come: L

L

0

0

∫ EI v '' δ v '' dz= ∫ q δ v dz + ( F δ v L

L

− mLδ v ' L − F0δ v ' L + m0δ v '0 )

(3.23)

che rappresenta la ben nota equazione del principio dei lavori virtuali. Integrando per parti, si ottiene: L

− ∫ EI v ''' δ v ' dz + EI vL '' δ vL '− EI v0 '' δ v0 ' 0

(3.24)

L

=

∫ q δ v dz + ( F δ v L

L

− mLδ v 'L − F0δ v 'L + m0δ v '0 )

0

ed integrando ancora:

26

L

∫ EI v ''''δ v dz + EI v

L

'' δ vL '− EI v0 '' δ v0 '− EI vL ''' δ vL + EI v0 ''' δ v0

0

(3.25)

L

=

∫ q δ v dz + ( F δ v L

L

− mLδ v 'L − F0δ v 'L + m0δ v '0 )

0

ovvero, riorganizzando i termini: L

∫ ( EI v ''''− q ) δ v dz + ( EI v

L

''+ mL ) δ vL '− ( EI v0 ''+ m0 ) δ v0 '

0

(3.26)

− ( EI vL '''+ FL ) δ vL + ( EI v0 '''+ F0 ) δ v0 = 0

Dovendo la formula (3.26) valere per ogni δ v , deve accadere: = EI v ''''− q 0 = EI v0 ''+ m0 0 EI = vL ''+ mL 0 = EI vL '''+ FL 0 EI v0 '''+ F

per z ∈ ( 0, L ) = z 0 in = z L in = z 0 in z= L in

(3.27)

Le equazioni (3.27) coincidono le (3.12) e (3.13). Ne consegue che se v rappresenta un punto di stazionarietà dell’energia potenziale totale, ovvero se è soddisfatta la (3.23) e quindi le (3.27), allora sono soddisfatte le (3.12) e (3.13). Al contrario se v risolve le equazioni (3.12) e (3.13), allora sono soddisfatte le (3.27) e quindi v rappresenta un punto di stazionarietà dell’energia potenziale totale.

3.3 Metodo variazionale approssimato Si assume una forma di rappresentazione per la funzione incognita v : n

v ( z ) = ∑ ci φi ( z )

(3.28)

i =1

essendo

φi ( z ) i = 1, 2,..., n funzioni approssimanti ci i = 1, 2,..., n coefficienti incogniti In altre parole, la funzione incognita v si assume combinazione lineare di funzioni note. Le funzioni approssimanti sono scelte, mentre i coefficienti devono essere determinati. L’energia potenziale totale di formula (3.19) diventa:

27

L L n 1  n  = Π EI ∑ ci φi ''  dz −  ∫ q ∑ ci φi dz + 2 ∫0  i 1 = =  0 i 1 2

 FL ∑ ci φi ( L) − mL ∑ ci φi '( L) − F0 ∑ ci φi (0) + m0 ∑ ci φi '(0)  =i 1 =i 1 =i 1 =i 1  n

n

n

(3.29)

n

La condizione di stazionarietà dell’energia potenziale totale conduce alle n equazioni: ∂Π =0 ∂c1 ∂Π =0 ∂c2

(3.30)

... ∂Π =0 ∂cn

Il sistema di n equazioni (3.30) nelle n incognite c1 , c2 , .., cn risulta risolvibile se le funzioni approssimanti φi sono scelte linearmente indipendenti tra loro. Poiché lo schema di trave analizzato illustrato in Figura 3-3 è labile, il sistema di equazioni (3.30) non risulta risolvibile, a meno che il sistema di forze non sia equilibrato; in tal caso, il sistema ammette soluzione a meno di moti rigidi. Per ottenere un’unica soluzione è necessario eliminare i moti rigidi introducendo opportuni vincoli. In tal caso, è possibile verificare che all’aumentare del numero delle funzioni scelte la soluzione approssimata tende alla soluzione esatta purché lo spazio delle funzioni approssimanti sia completo. Nel caso di polinomi approssimanti, un polinomio di grado p è completo se sono presenti tutti i termini del polinomio con grado minore di p . Per risolvere il problema di una trave non labile è necessario scegliere delle funzioni di approssimazione che soddisfano le condizioni di vincolo imposte sulla trave, cosa non sempre semplice da effettuare. Allo scopo di evitare la determinazione di funzioni di approssimazione che implicitamente soddisfino le condizioni di vincolo, nel paragrafo successivo viene presentato un metodo semplice ed efficace.

3.4 Metodo di penalizzazione (penalty) La tipica condizione di vincolo può essere rilassata sostituendo i vincoli rigidi con vincoli cedevoli elasticamente. In Figura 3-5 è illustrato il caso di un appoggio. I vincoli elastici sono caratterizzati da una rigidezza che governa la relazione tra la reazione del vincolo e l’abbassamento. Incrementando il valore della rigidezza kv lo spostamento v che subirà la sezione vincolata si riduce; per un valore della rigidezza che tende a infinito, si tende

28

quindi al vincolo rigido, per il quale lo spostamento della sezione vincolata è nullo. La forza che nasce nel vincolo elastico vale: R = −kv v

(3.31)

R

v kv

v

R

R Figura 3-5: Comportamento del vincolo elastico.

L’energia interna immagazzinata nel vincolo elastico vale:

1 1 Φ v =− R v = kv v 2 2 2

(3.32)

Nota che nell’espressione (3.32) compare il segno meno, in quanto R e v hanno versi opposti. L’energia espressa dalla formula (3.32) deve essere introdotta nel calcolo dell’energia potenziale totale del sistema. In definitiva si ottiene:

ˆ = Φ + Λ + Φ = Φ + Λ + 1 k v2 Π v v 2

(3.33)

ˆ definito dalla relazione (3.33) fornisce: La stazionarietà del nuovo funzionale Π ˆ = δΦ + δΛ + k v δ v δΠ v

(3.34)

3.5 Moltiplicatori di Lagrange Ricordando l’espressione (3.31), l’equazione di equilibrio (3.34) diventa:

ˆ = δΦ + δΛ − R δ v δΠ

(3.35)

Tale equazione si può ricavare introducendo il funzionale: ΠL = Φ + Λ − R v

(3.36)

detto di Lagrange, dove R è il moltiplicatore di Lagrange del vincolo v = 0 . Infatti, Π L dipende da R e da v , per cui la condizione di stazionarietà diventa:

29

δ v Π L = δΦ + δΛ − R δ v = 0 δ R Π L =−v δ R =0

(3.37)

La seconda delle (3.37) rappresenta la condizione di vincolo v = 0 .

3.6 Trave su suolo elastico Un caso di notevole interesse ingegneristico è quello della trave appoggiata su un letto di molle distribuite (alla Winkler) indipendenti tra loro. Soggetto a inflessione positiva, il letto di molle reagisce in modo proporzionale al valore dell’abbassamento v ( z ) in verso opposto all’inflessione; in altre parole, la trave oltre ad essere soggetta al carico esterno assegnato q è soggetta anche alla reazione delle molle r = − K v , così che l’equazione (3.11) diventa:

E I v ''''= q + r

(3.38)

E I v ''''+ K v = q

(3.39)

ovvero

Posto:

K = 4β 4 EI

(3.40)

l’equazione (3.39) diventa:

q v ''''+ 4 β 4 v = EI

(3.41)

La soluzione dell’omogena associata all’equazione (3.41) assume la forma: = v e − β z ( C1 cos ( β z ) + C2 sin ( β z ) ) +e β z ( C3 cos ( β z ) + C4 sin ( β z ) )

(3.42)

L’energia interna immagazzinata dal letto di molle deformato congruentemente con la trave dell’inflessione v ( z ) , si calcola come: L

ΦW =−

L

1 1 r v dz = ∫ K v 2 dz ∫ 20 20

(3.43)

Per tenere quindi conto della presenza del letto di molle alla Winkler, nell’espressione dell’energia potenziale della trave (3.19) si deve introdurre anche il termine ΦW fornito dalla (3.43).

30

4

Stabilità di travi inflesse

Si consideri una trave soggetta ad un carico assiale uniformemente distribuito tale da indurre un andamento lineare dello sforzo normale N di compressione lungo l’asse della trave, come riportato in Figura 4-1.

f

Q0

z

QL

L dz M

N

f

T

M+dM N+dN T+dT Figura 4-1: schema di una trave soggetta a carico assiale uniformemente distribuito.

Le ipotesi su cui la trattazione presentata si fonda prevedono che la trave sia: -

perfettamente rettilinea,

-

soggetta a sforzo di compressione N perfettamente assiale,

-

omogenea, sottoposta a tensioni entro il limite elastico.

La trattazione è svolta assumendo che la trave si trovi in una configurazione deformata, ma che quest'ultima sia sufficiente vicina ma non coincida con l'indeformata.

4.1 Approccio statico Facendo riferimento all'elemento di trave di lunghezza infinitesima dz riportato in Figura 4-1, le equazioni di equilibrio sono: -

equilibrio alla traslazione verticale

T= T + dT

→

T'= 0

(4.1)

31

-

equilibrio alla rotazione

M + N dv + Tdz =M + dM

→

M '− Nv ' =T

(4.2)

combinando le equazioni (4.1) e (4.2), si ottiene:

M ''− Nv ''− N ' v ' = 0

(4.3)

Nelle ipotesi che la curvatura della trave sia sufficientemente piccola e che quindi valga ancora la classica relazione tra curvatura e momento flettente:

M = EI χ = − EI v ''

(4.4)

l’equazione differenziale che descrive il problema è:

EI v ''''+ N v ''+ N ' v ' = 0

(4.5)

Dalla condizione di equilibrio in direzione dell’asse della trave, si ha inoltre:

dN − f dz = 0

→

N'= f

(4.6)

Per f ≠ 0 , l'equazione (4.5) è un’ equazione differenziale del quarto ordine a coefficienti non costanti; per tale equazione, in generale, non è possibile determinare una soluzione analitica in forma chiusa. Qualora si pone f = 0 , lo sforzo di compressione N risulta essere costante lungo l’asse della trave, e l’equazione differenziale (4.5) si particolarizza in:

EI v ''''+ N v '' = 0

(4.7)

Tale equazione si differenzia dalla classica equazione della linea elastica di Eulero-

N v '' responsabile dell’equilibrio nella

Bernoulli per la presenza del termine configurazione inflessa. Ponendo:

α2 =

N EI

(4.8)

l'equazione (4.7) si riscrive nella forma equivalente: v ''''+ α 2 v '' = 0

(4.9)

L’equazione (4.9) è un’ equazione differenziale del quarto ordine a coefficienti costanti, che ammette una soluzione generale del tipo:

= v( z ) A sin(α z ) + B cos(α z ) + Cz + D

(4.10)

Imponendo opportune condizioni al contorno è possibile scrivere un sistema omogeneo di 4 equazioni nelle 4 incognite A, B, C e D. Per ottenere una soluzione diversa dalla banale si

32

impone che il determinate dei coefficienti delle incognite sia nullo. In tal modo si determina il valore più piccolo di α e, per la (4.8), il valore del carico critico. 4.1.1 La trave semplicemente appoggiata Facendo riferimento alla classica trave appoggiata e appoggiata, le equazioni che esprimono le condizioni al contorno forniscono: = → +D 0 v(0) 0 B= → M (0) = B= 0 0 (4.11) → +D 0 v= A sin(α L) + B cos(α L) + CL= ( L) 0 → α 2 A sin(α L) + α 2 B cos(α L) = M ( L) = 0 0

Tali condizioni forniscono in definitiva:

A sin( α L) 0 =

B 0,= C 0,= D 0, =

(4.12)

Se anche A fosse nulla, la soluzione sarebbe banale, ovvero l’equilibrio si avrebbe nella configurazione indeformata. Poiché si intende determinare la condizione di equilibrio nella configurazione deformata, si deve porre:

sin(α L) =0

→

α L = nπ

→

α=

nπ L

(4.13)

Tenendo conto della posizione (4.8), la terza delle relazioni (4.13) fornisce: N cr = EI

π2

(4.14)

L2

avendo assunto n = 1 , ossia di quel valore di N superato il quale si attiva il fenomeno dell’instabilità dell’elemento.

4.2 Approccio energetico L'energia potenziale si scrive come somma dell'energia interna Φ e del potenziale dei carichi esterni Λ : Π = Φ+Λ

(4.15)

L'energia interna, dovuta all'inflessione della trave assume la forma (3.17): L

2

1 Φ = EI ∫ ( v '') dz 2 0

(4.16)

mentre l'energia dei carichi, con riferimento alla Figura 4-1, vale:

33

L

Λ = −QL wL − ∫ f w dz

(4.17)

0

dove w rappresenta lo spostamento assiale della trave nella generica sezione e wL è il valore di w per z = L ; si evidenzia inoltre che lo spostamento è stato posto uguale a zero per z = 0 , i.e. w0 = 0 .

dζ Configurazione indeformata

dw

Configurazione deformata

dξ

Figura 4-2: spostamento assiale dovuto all’inflessione.

Con riferimento allo schema illustrato in Figura 4-2 , lo spostamento assiale si calcola come: z

z

z

z

1 1 2 w ( z ) =∫ ( d ζ − d ξ ) =∫ (1 − cos ϕ )d ζ ≈ ∫ ϕ 2 d ζ ≈ ∫ ( v ') d ζ 20 20 0 0

(4.18)

In definitiva, l'energia potenziale totale assume la forma specifica: L L L 1 z  1 1 2 2 = Π EI ∫ ( v '') dz − QL ∫ ( v ') dz − ∫ f  ∫ ( v ') d ζ  dz 2 0 20 0 2 0  2

(4.19)

La stazionarietà dell'energia (4.19) fornisce la condizione di equilibrio della trave, ovvero conduce all’equazione (4.5).

4.3 Metodo variazionale approssimato L'approccio all'energia potenziale totale può considerarsi un'ottima base per lo sviluppo di tecniche numeriche capaci di determinare soluzioni approssimate del carico critico. Tale considerazione è particolarmente importante quando l'equazione differenziale che governa il problema ha una soluzione complessa oppure non ammette soluzione analitica. Assumendo una forma specifica per il campo di spostamenti da inflessione del tipo: v(= z ) c1φ1 ( z ) + c2φ2 ( z ) + .... + cnφn ( z )

(4.20)

34

con φ1 , φ2 , ..., φn n funzioni assegnate e c1 , c2 , ..., cn n parametri incogniti, l'equazione (4.19) assume la forma: 2

L

1 = Π EI ( c1 φ1 ''+ c2 φ2 ''+ ... + cn φn '') dz 2 ∫0 L

−QL

1 2 ( c1 φ1 ''+ c2 φ2 ''+ ... + cn φn '') dz ∫ 20

(4.21)

1 z  2 − ∫ f  ∫ ( c1 φ1 ''+ c2 φ2 ''+ ... + cn φn '') d ζ  dz 0 2 0  L

Le funzioni assegnate φ1 , φ2 , ..., φn sono scelte in modo da soddisfare la compatibilità cinematica dei vincoli introdotti nella trave. In alternativa si può utilizzare un metodo tipo penalty. Imponendo la stazionarietà dell'energia (4.21), si ottiene il seguente sistema di equazioni algebriche:

∂Π = ( Kij − QL Gij − f M ij ) c j =0 ∂ci

i, j = 1, 2,..., n

(4.22)

con L

K ij EI ∫= φi ''φ j ''dz Gij = 0

L

φi 'φ j ' dz M ij ∫= 0

L z

∫ ∫ φ 'φ i

j

'd ζ dz

(4.23)

0 0

Si ottiene in definitiva un sistema omogeneo di n equazioni nelle n incognite c1 , c2 , ..., cn ; per ottenere una soluzione diversa dalla banale si impone che il determinate dei coefficienti delle incognite sia nullo:

det ( K − QL G − fM ) = 0

(4.24)

in tal modo si determina il più piccolo valore di QL che rappresenta il valore del carico critico.

4.4 Trave su suolo elastico Si supponga ora che la trave sia adagiata su un suolo elastico e si schematizzi il terreno come un mezzo continuo elastico, ossia come costituito da un letto di molle dotate tutte della medesima rigidezza. Si pensi ad esempio alle rotaie ferroviarie, in cui un aumento di temperatura può provocare forze assiali di compressione così elevate da indurre fenomeni di svergolamento se la rigidezza del collegamento con il suolo non è sufficiente. Altro esempio è quello dei lunghi

35

pali di fondazione portanti di punta. La reazione del terreno sarà, in virtù di tale posizione, proporzionale in ciascuna sezione retta della trave alla deformazione impressa. Per determinare il carico critico in tale circostanza si adotta un criterio di natura energetica. Si indica con K il modulo di rigidezza della fondazione, ovvero la rigidezza per unità di lunghezza. 4.4.1 Soluzione approssimata tramite approccio energetico Si affronta il problema imponendo la stazionarietà dell'energia potenziale totale. In questo caso è necessario introdurre l’ulteriore termine nella formula (4.19) che definisce l'energia elastica delle molle trasversali alla trave. Assumendo il carico assiale distribuito nullo, cioè

f = 0 , l'energia potenziale diventa: EI = Π 2

L

2

K

L

1

L

2 ∫ ( v '') dz + 2 ∫ v dz − 2 ∫ N ( v ') 0

0

2

dz

(4.25)

0

L’espressione della deformata della trave è approssimata dalla polinomiale: v = c1 z 2 + c2 z 3 + c3 z 4 + ... + cn −1 z n

(4.26)

Sostituendo l'espressione (4.26) nella formula (4.25), ed imponendo la stazionarietà dell'energia si ottiene:

(K

ij

+ K H ij − N = Gij ) c j 0

= i, j 1, 2,..., n

(4.27)

che rappresenta un sistema omogeneo di n equazioni nelle n incognite c1 , c2 , ..., cn ; per ottenere una soluzione diversa dalla banale si impone che il determinate dei coefficienti delle incognite sia nullo:

det ( K + K H − N G ) = 0

(4.28)

in tal modo si determina il più piccolo di valore N che rappresenta il valore del carico critico.

36

5 Modellazione della trave: Trave di Timoshenko 5.1 Il modello di trave Il modello di trave di Timoshenko è basato sull’ipotesi che la generica sezione retta a deformazione avvenuta resti piana ma non necessariamente ortogonale alla deformata della linea d’asse della trave. In altri termini, rispetto al modello di trave di Eulero Bernoulli, la rotazione della sezione retta ϕ ( z ) non risulta definita come l’opposto della derivata prima dell’inflessione, ma è una funzione indipendente dalla v ( z ) . Il modello di trave di Timoshenko (T) viene spesso anche denominato modello con deformazione a taglio del primo ordine. Spostamenti Il campo degli spostamenti si può scrivere come segue:

v = v( z ) w = yϕ ( z )

spostamento lungo y spostamento lungo z

(5.1)


∂w = yϕ ' ∂z ∂v ∂w =v '+ ϕ γ = + ∂z ∂y

= ε

(5.2)

avendo indicato con l’apice la derivata rispetto a z . Si evidenzia che, al contrario del modello EB, il valore dello scorrimento angolare γ può essere diverso da zero. Introducendo la curvatura come χ = ϕ ' , si ha:

∂w = yχ ∂z ∂v ∂w γ = + =v '+ ϕ ∂z ∂y

= ε

(5.3)

Tensioni La tensione normale e tangenziale nella sezione retta della trave si determinano tramite le equazioni del legame costitutivo:

37

σ E= ε E y= χ E yϕ ' = (5.4)

τ G= γ G ( v '+ ϕ ) = essendo E il modulo elastico o modulo di Young e G il modulo a taglio. Caratteristiche della sollecitazione

La presenza della tensione normale σ e della tensione tangenziale τ fa insorgere momento flettente e taglio: = M

y σ dA ∫ E y= ϕ ' dA ∫= 2

A

E Iϕ'

A

T = ∫ τ dA = ∫ G ( v '+ ϕ ) dA = GAs ( v '+ ϕ ) A

(5.5)

A

essendo As ed I rispettivamente l’area a taglio (concetto meglio precisato nel seguito) ed il momento d’inerzia della sezione retta della trave. L’area a taglio viene spesso definita come il prodotto dell’area geometrica A moltiplicata per il fattore di deformazione a taglio

κ , As = κ A . Risolvendo la prima delle (5.5) rispetto a ϕ ' e sostituendo il risultato nella prima delle (5.4), si ottiene la formula di Navier:

σ=

M y I

(5.6)

Equilibrio Dall’equilibrio del tratto infinitesimo di trave, rappresentato in Figura 3-2, si ricavano le equazioni:

M '=T T ' = −q

(5.7)

come nel caso della trave EB. Problema dell’equilibrio elastico In definitiva, le equazioni che governano il problema della trave inflessa sono:

γ = −q v '+ ϕ T = G As γ T ' = = χ ϕ= χ M' T ' M E I=

(5.8)

e quindi = E I ϕ '' G As ( v '+ ϕ ) −q G As ( v ''+ ϕ ' ) =

(5.9)

ovvero, derivando la prima delle (5.9) e tenendo conto della seconda delle (5.9):

38

E I ϕ ''' = − q = E I ϕ '' G As ( v '+ ϕ )

(5.10)

Facendo riferimento allo schema di trave illustrato in Figura 3-3, il problema dell’equilibrio elastico della trave inflessa è completato dalle condizioni al contorno: 0 T0 − F0 = 0 M 0 − m0 = 0 TL − FL = 0 M L − mL =

in

z=0

(5.11) in

z=L

5.2 Determinazione del fattore di correzione a taglio Il fattore di deformazione a taglio per il modello di trave T nasce dalla seguente esigenza. Le tensioni tangenziali nella generica sezione retta della trave si possono determinare tramite l’equazione del legame costitutivo, la seconda delle (5.4), oppure tramite l’equazione di equilibrio: ∂τ ∂σ 0 + = ∂y ∂z

(5.12)

Assumendo inizialmente per semplicità che la sezione retta della trave sia rettangolare di dimensioni b × h , l’equazione di equilibrio (5.12) si può integrare, fornendo:

∂σ dη − h /2 ∂z

τ = −∫

y

(5.13)

Ricordando la prima delle (5.4), si ottiene: y

η 2  h2  1 − E ∫ η ϕ '' dη = − E ϕ ''   = − E ϕ ''  y 2 −  τ= − h /2 2 4  2  − h /2 y

(5.14)

In definitiva, si giunge al seguente risultato: = τ G ( v '+ ϕ )

legame costitutivo

 1  h2 = τ Eϕ ''  − y 2  equilibrio 2 4 

(5.15)

In Figura 5-1 è illustrato il profilo delle tensioni tangenziali ottenuti utilizzando le due formule riportate per il calcolo (5.15).

39

Emergono tensioni tangenziali inaccettabili

Distribuzione ottimale

Trave tensioni tangenziali da legame costitutivo

tensioni tangenziali da equilibrio

Figura 5-1: Profilo delle tensioni tangenziali nella sezione retta della trave.

Si evidenzia che le tensioni da legame costitutivo sono costanti nella sezione e, per la simmetria delle tensioni tangenziali, fanno emergere tensioni tangenziali non nulle sull’estradosso ed intradosso della trave. I valori delle tensioni tangenziali che emergono sono funzioni del taglio nella sezione e quindi si determinano come parte della soluzione del problema della trave. In realtà, il valore delle tensioni all’estradosso ed intradosso della trave devono essere prescritte, ovvero rappresentano un dato del problema e non possono quindi risultare come parte della soluzione del problema. Spesso, le tensioni tangenziali all’estradosso ed intradosso della trave sono assunte nulle. Quindi, le tensioni che emergono sono inaccettabili. Al contrario, le tensioni che si determinano tramite le equazioni di equilibrio hanno un andamento parabolico e sono nulle all’estradosso ed intradosso della trave. Inoltre, è possibile dimostrare che i valori che si determinano tramite la seconda delle equazioni (5.15) approssima molto bene la soluzione esatta del taglio. Si evidenzia la seconda delle equazioni (5.15) rappresenta un caso particolare della ben nota formula di Jourawski. E’ allora possibile derivare due differenti espressioni della tensione tangenziale in funzione della caratteristica della sollecitazione tagliante. Infatti, assumendo la tensione tangenziale costante in tutta la sezione della trave, si ottiene:

τ=

T bh

(5.16)

D’altra parte si calcoli la risultante delle tensioni tangenziali, ovvero la caratteristica di sollecitazione di taglio, integrando le tensioni tangenziali ottenute tramite la seconda delle equazioni (5.15):

40

 h2  1 Eϕ '' ∫  − y 2  dA 2 4  A A  2 h /2 b /2  h  1 = Eϕ '' ∫ ∫  − y 2  dA − h /2 − b /2 2  4  = T

τ dA ∫=

(5.17)

h /2

 h2 1 y3  = Eϕ '' b  y −  2 3  − h /2 4  h3 h3  1 1 = Eϕ '' b  = −  Eϕ '' bh3 2  4 12  12

da cui si ricava:

ϕ '' =

12T Ebh3

(5.18)

Sostituendo la formula (5.18) nella (5.14), si ottiene:

= τ

3T h2 − 4 y 2 ) 3 ( 2bh

(5.19)

Si determina quindi l’energia associata alla deformazione provocata dalla presenza delle tensioni tangenziali nella generica sezione retta della trave. L’espressione dell’energia è:

ψ=

1 τ γ dA 2 ∫A

(5.20)

Tenuto conto che si è pervenuti a due differenti espressioni della tensione tangenziale e, di conseguenza, dello scorrimento angolare, è possibile determinare due differenti formule per l’energia di deformazione:

= ψ lc

1 1 T2 T2 2 = τ dA = dA 2κ G ∫A 2κ G ∫A A2 2κ GA

(5.21)

2

1 1  3T  = ψ eq = τ 2 dA h 2 − 4 y 2 ) dA 3 ( ∫ ∫  2G A 2G A  2bh 

dove i pedici

lc

e

eq

(5.22)

denotano l’energia calcolata utilizzando l’espressione delle tensioni

tangenziali da legame costitutivo e da equilibrio. Calcolando l’integrale al secondo membro dell’equazione (5.22), si ottiene:

41

= ψ eq

1 9T 2 ( h 4 + 16 y 4 − 8h 2 y 2 ) dA 2G ∫A 4b2h 6

=

1 9T 2 16 8   bh 5  1 + −  2 6 2G 4b h  5*16 3* 4 

1 9T 2 1 2  1 9T 2 15 + 3 − 10 5 bh 1 bh 5 = = + −   2 6 2 6 2G 4b h 15  5 3  2G 4b h =

(5.23)

1 9T 2 3 T2 5 8 bh = 2G 4b 2h 6 15 5G bh

Imponendo l’eguaglianza dell’energia calcolata con l’espressione delle tensioni tangenziali da legame costitutivo e da equilibrio, si ha:

ψ lc = ψ eq

⇒

T2 3 T2 = 2κ GA 5G bh

⇒ κ=

5 6

(5.24)

Nel caso più generale di trave con sezione generica, per la determinazione del fattore di correzione a taglio è necessario determinare il profilo delle tensioni tangenziali tramite l’equazione di equilibrio. Con riferimento alla Figura 5-2, si considera l’equilibrio della parte di trave definita tra le sezioni z e z + ∆z e dal piano passante per i punti A e B della sezione retta della trave. Su tale parte di trave agiscono tensioni nomali sulla sezione retta e tensioni tangenziali sia sulla sezione retta che, per la simmetria delle tensioni tangenziali, anche sulla faccia che divide la trave in senso longitudinale.

A* M(z)

τ

A

τ

B

τ

M (z+ ∆z)

∆z Figura 5-2: Tratto di trave soggetto a flessione e taglio.

Per l’equilibrio lungo l’asse della trave, cioè in direzione z , si può scrivere:

∫ σ ( z + ∆z ) − σ ( z ) dA + τ b ∆z =0

(5.25)

*

A

42

dove A* è l’area della parte di sezione al di sopra della corda AB e b è la dimensione della corda. Dividendo tutti i termini della formula (5.25) per ∆z e facendo il limite per ∆z che tende a zero, si ottiene:

0 ∫ σ ' dA + τ b =

(5.26)

A*

Ricordando la formula di Navier (5.6), l’equazione (5.26) diventa: = 0

M' T y dA + = τb ∫ I A* I

∫ y dA + τ b

(5.27)

*

A

essendo, per la prima delle (5.7), il taglio la derivata del momento flettente. Risolvendo l’equazione (5.27), la tensione tangenziale vale:

τ = −

T * S Ib

(5.28)

nota come formula di Jourawksi per il taglio; nell’equazione (5.28), S * rappresenta il momento statico della parte di sezione retta A* . Si evidenzia che sia la corda b che il momento statico S * sono funzioni di y . L’espressione dell’energia diventa allora: 2

ψ eq

1 T 2  S*  dA = 2 G I 2 ∫A  b 

(5.29)

Imponendo l’eguaglianza dell’energia calcolata con l’espressione delle tensioni tangenziali da legame costitutivo e da equilibrio: 2

ψ lc = ψ eq ⇒

T2 T 2  S*  dA ⇒ κ = = 2κ GA 2G I 2 ∫A  b 

I2 2

S  A∫   dA b  A *

(5.30)

Sezione circolare Nel caso della sezione circolare, si utilizza per il calcolo del fattore di correzione a taglio un sistema di coordinate polari. Con riferimento alla Figura 5-3, per la corda individuata dall’anomalia θ , si ha:

x = R cos θ y = R sin θ

(5.31)

43

A*

θ ϕ

Figura 5-3: Sezione circolare, calcolo del fattore di correzione a taglio.

La lunghezza della corda risulta allora:

= b 2= x 2 R cos θ

(5.32)

L’area ed il momento d’inerzia della sezione circolare si calcolano rispettivamente come: dA ∫ ∫=

A =

R

−R

b= dy

π /2

dθ ∫ π 2 ( R cosθ ) =

π R2

(5.33)

1 π R4 4

(5.34)

2 3 ( R cos ϕ ) 3

(5.35)

2

− /2

A

π /2

y dA ∫ 2 ( R sin θ ) ( R cos θ= ) dθ ∫= π

I =

2

2

2

− /2

A

Analogamente, il momento statico dell’area A* vale: S* =

ϕ

∫ y dA = ∫ π

− /2

*

2 R sin θ ( R cos θ ) dθ = − 2

A

Si calcola anche la quantità: 2

3 2 ( R cos ϕ )  π /2   S*  2 ∫A  b  dA = ∫−π /2  3 2 R cos ϕ  2 ( R cos ϕ ) dϕ     π /2 2 6 5 6 = = π R6 R ∫ ( cos ϕ ) dϕ − π /2 9 72 2

(5.36)

Sostituendo le espressioni (5.33), (5.34) e (5.36) nella formula (5.30), si ottiene:

44

2

1 4  πR  9 4  = κ = 10 π R2 π R 6 10 9 ⋅ 16

(5.37)

5.3 Soluzione analitica Il sistema costituito dalle due equazioni differenziali (5.10) nelle due funzioni incognite

v ( z ) e ϕ ( z ) si risolve come segue. Dalla prima delle (5.10) si ottiene: EI ϕ ''' = − q q z + c1 ϕ '' = − EI q 2 ϕ'= − z + c1 z + c2 2 EI q 3 1 2 ϕ= − z + c1 z + c2 z + c3 6 EI 2

(5.38)

sostituendo poi l’espressione della ϕ e della ϕ '' nella seconda delle (5.10) si ha: = v' = =

EI ϕ ''− ϕ GAs EI GAs

 q   q 3 1 2  z + c1  −  − z + c1 z + c2 z + c3  − 2  EI   6 EI 

(5.39)

 q 3 1 2  EI q EI + c2  z + z − c1 z −  c1 − c3 GAs 6 EI 2  χ GA EI 

che integrata fornisce: = v

  EI  1 1  EI q q z 4 − c1 z 3 −  + c2  z 2 +  c1 − c3  z + c4 24 EI 6 2  GAs EI   GAs 

(5.40)

Le costanti di integrazione si determinano imponendo opportune condizioni al contorno.

5.4 Energia potenziale totale Per il calcolo dell’energia interna, nel caso del modello di trave di Timoshenko, si deve tener conto non solo dell’energia che dipende dall’effetto flessionale, ma anche di quella dovuta alla presenza di tensioni tangenziali che lavorano per gli associati scorrimenti angolari. Ne consegue che l’energia interna della trave di lunghezza L vale:

45

L

= Φ

L

1 1 2 2 EI (ϕ ' ) dz + ∫ GAs ( v '+ ϕ ) dz ∫ 20 20

(5.41)

Il potenziale dei carichi è ancora espresso dalla formula (3.18), per cui l’energia potenziale totale del sistema rappresentato in Figura 3-3, vale: = Π ( v, ϕ )

L L L  1 1 2 2 + + − + + − − EI ϕ dz GA v ϕ dz q v dz F v m ϕ F v m ϕ ' ' ( ) ) (   (5.42) s L L L L 0 0 0 0 ∫ 2 ∫0 2 ∫0 0 

La condizione di stazionarietà dell’energia potenziale totale fornisce allora:

= δΠ

L

L

L

0

0

0

∫ EI ϕ ' δϕ ' dz + ∫ GAs ( v '+ ϕ ) δϕ dz + ∫ GAs ( v '+ ϕ ) δ v ' dz L

(5.43)

− ∫ q δ v dz − ( FLδ vL + mLδϕ L − F0δ v ' L − m0δϕ 0 ) = 0 0

ovvero si ottengono le due equazioni di stazionarietà: = δϕ Π

L

L

0 L − m0δϕ 0 ) ∫ EI ϕ ' δϕ ' dz + ∫ GAs ( v '+ ϕ ) δϕ dz − ( mLδϕ= 0

= δ vΠ

(5.44)

0 L

L

0

0

0 0δ v0 ) ∫ GAs ( v '+ ϕ ) δ v ' dz − ∫ q δ v dz − ( FLδ vL − F=

(5.45)

Integrando per parti l’espressione (5.44), si ottiene: L

0= ∫ − EI ϕ ''+ GAs ( v '+ ϕ ) δϕ dz + ( EI ϕ L '− mL ) δϕ L − ( EI ϕ0 '− m0 ) δϕ0

(5.46)

0

che, dovendo essere valida per ogni possibile δϕ , si localizza in: = EI ϕ ''− GA 0 per z ∈ ( 0, L ) s ( v '+ ϕ ) = EI ϕ0 ' m= z 0 in 0 = EI ϕ L ' m= z L in L

(5.47)

Analogamente, integrando per parti l’espressione (5.45), si ottiene: L

0= − ∫ GAs ( v ''+ ϕ ') + q  δ v dz 0

(5.48)

+ GAs ( vL '+ ϕ L ) − FL  δ vL − GAs ( v0 '+ ϕ0 ) − F0  δ v0

che, dovendo essere valida per ogni possibile δ v , si localizza in: GAs = per z ∈ ( 0, L ) ( v ''+ ϕ ') + q 0 GA = F0 = in z 0 s ( v0 '+ ϕ 0 ) GA = FL = in z L s ( vL '+ ϕ L )

(5.49)

46

Le equazioni (5.47) e (5.49) equivalgono alle già determinate (5.8)-(5.10) e (5.11).

5.5 Metodo variazionale approssimato Si assumono le seguenti forme di rappresentazione per le funzioni incognita v e ϕ : n

v ( z ) = ∑ ci φi ( z ) i =1

(5.50)

m

ϕ ( z ) = ∑ gi ψ i ( z ) i =1

essendo

φi ( z ) i = 1, 2,..., n funzioni approssimanti per v ( z ) ci

i = 1, 2,..., n coefficienti incogniti per v ( z )

ψ i ( z ) i = 1, 2,..., m funzioni approssimanti per ϕ ( z ) gi i = 1, 2,..., m coefficienti incogniti per ϕ ( z ) L’energia potenziale totale di formula (5.42) diventa: L L m L n 1 1  m   n  gi ψ i '  dz + ∫ GAs  ∑ ci φi ' + ∑ gi ψ i  dz −  ∫ q ∑ ci φi dz + = Π ∫0 EI  ∑ 2= 2= i 1   i 1 =i 1  = 0 0 i 1 2

2

 FL ∑ ci φi ( L) + mL ∑ gi ψ i ( L) − F0 ∑ ci φi (0) − m0 ∑ gi ψ i (0)  =i 1 =i 1 =i 1 =i 1  n

m

n

(5.51)

m

La condizione di stazionarietà dell’energia potenziale totale conduce alle n + m equazioni: ∂Π =0 ∂c1 ∂Π =0 ∂c2 ... ∂Π =0 ∂cn ∂Π =0 ∂g1

(5.52)

∂Π =0 ∂g 2 ... ∂Π =0 ∂g m

47

Il sistema di n + m equazioni (5.52) nelle n + m incognite c1 , c2 , .., cn , g1 , g 2 , .., g m risulta risolvibile se le funzioni approssimanti φi sono scelte linearmente indipendenti tra loro e le funzioni approssimanti ψ i sono scelte linearmente indipendenti tra loro.

48

6 Problemi bidimensionali: lastra e piastra Gli elementi strutturali lastra e piastra sono oggetti tridimensionali in cui una dimensione è significativamente più piccola delle altre due. Si indica con Ω il corpo tridimensionale di

 h h spessore costante h e piano medio M , così che Ω =  − ,  × M .  2 2 Nel seguito si indica con: •

lastra, la struttura intesa bidimensionale sulla quale il carico agisce nel piano stesso della struttura;

•

piastra, la struttura intesa bidimensionale sulla quale il carico agisce ortogonalmente al piano stesso della struttura.

6.1 Lastra 6.1.1 Cinematica Il campo di spostamenti è descritto da vettore: u ( x, y )  u=   v ( x, y ) 

(6.1)

ε= v, y y

(6.2)

Le deformazioni non nulle valgono:

ε= u, x x

γ= u, y + v, x xy

che organizzate in un vettore forniscono:

εx    ε = εy  = γ   xy 

∂   ∂x  Su = S 0  ∂  ∂y 

 0   ∂ ∂y   ∂ ∂x 

(6.3)

6.1.2 Legame costitutivo Tenuto conto delle (1.19) e (1.37), il legame costitutivo 3D isotropo assume la forma:

49

1 (σ x − ν σ y − ν σ z ) ε y = E 1 γ xy = τ xy γ yz = G

1 (σ y − ν σ x − ν σ z ) ε z = E 1 τ yz γ xz = G

εx =

1 (σ z − ν σ x − ν σ y ) E 1 τ xz G

(6.4)

Si esamina inizialmente il caso di stato piano di tensione, definito dalle seguenti condizioni:

σ= τ= τ= 0 z yz xz

(6.5)

In tal caso le equazioni di legame costitutivo (6.4) si semplificano in:

1 1 1 σ x −ν σ y ) ε y = (σ y −ν σ x ) ε z = ( −ν σ x −ν σ y ) ( E E E 1 = γ xy = τ xy γ yz 0= γ xz 0 G

εx =

(6.6)

Invertendo le (6.6), si ottiene: E (ε x + ν ε y ) 1 −ν 2 E = σy (ε y + ν ε x ) 1 −ν 2 τ xy = G γ xy = σx

(6.7)

ovvero in forma matriciale:  1  2 1 − ν  ν σ D= ε D E = 1 −ν 2   0 

ν 1 −ν 2 1 1 −ν 2 0

    0   1  2 (1 + ν )  0

(6.8)

Lo stato piano di deformazione è definito dalle seguenti condizioni:

0 ε= γ= γ= z yz xz

(6.9)

In tal caso le equazioni di legame costitutivo (6.4) si semplificano in:

50

1 (σ x − ν σ y − ν σ z ) E 1 εy= (σ y − ν σ x − ν σ z ) E 1 0= (σ z − ν σ x − ν σ y ) E 1 γ xy = τ xy G 1 0 = τ yz G 1 0 = τ xz G

εx =

(6.10)

Invertendo le(6.10), si ottiene:

= σx

E ( (1 − ν ) ε x + ν ε y ) (1 + ν )(1 − 2ν )

= σy

E ( (1 − ν ) ε y + ν ε x ) (1 + ν )(1 − 2ν )

(6.11)

τ xy = G γ xy ovvero in forma matriciale:  1 −ν  1 − 2ν  E  ν σ D= ε D = 1 + ν 1 − 2ν   0 

ν 1 − 2ν 1 −ν 1 − 2ν 0

 0  0  1  2

(6.12)

Inoltre si ottiene anche:

= σ z ν (σ x + σ y )

(6.13)

6.1.3 Equazioni di equilibrio Si introducono le caratteristiche membranali della sollecitazione come: h /2

Nx =

σ dz ∫=

Ny =

σ y dz h σ y ∫=

N xy =

τ dz ∫=

− h /2

x

hσ x

h /2

− h /2

h /2

− h /2

xy

(6.14)

h τ xy

essendo σ x , σ y e τ xy funzioni solo di x e y . Le equazioni di equilibrio si ricavano con riferimento alla Figura 6-1, sono:

51

( N x + ∆N x − N x ) ∆y + ( N xy + ∆N xy − N xy ) ∆x + bx ∆x ∆y =0

(N

xy

(6.15)

+ ∆N xy − N xy ) ∆y + ( N y + ∆N y − N y ) ∆x + by ∆x ∆y =0

dove bx e by sono le componenti di un vettore b che rappresenta un carico distribuito agente sul piano medio della lastra.

Ny Nxy Nx

Nxy

x ∆x

∆y

Nx+∆Nx Nxy+∆Nxy

Nxy+∆Nxy y

Ny+∆Ny

Figura 6-1: Equilibrio dell’area elementare per la lastra.

Dividendo tutti i membri delle equazioni (6.15) per ∆x ∆y , nel limite per ∆x → 0 e

∆y → 0 si ottiene: N x , x + N xy , y + bx = 0 N xy , x + N y , y + by = 0

(6.16)

6.1.4 Energia potenziale totale e formulazione variazionale approssimata L’energia potenziale totale per una lastra vale: Π (u) = Φ (u) + Λ (u)

(6.17)

dove l’energia interna Φ ( u ) è:

52

= Φ (u)

1 1 T h ∫ εT D ε dA ε= σ dV ∫ Ω 2 2 M 1 T = h ∫ ( S u ) DS u dA M 2

(6.18)

e il potenziale dei carichi Λ ( u ) è:

Λ (u) = − ∫ uT b dA − ∫

∂M

M

uT p ds

(6.19)

dove p è il vettore che rappresenta un carico distribuito agente sul contorno del piano medio della lastra. La formulazione variazionale approssimata del problema della lastra si ottiene considerando una forma di rappresentazione del campo di spostamenti, come: nx

u ( x, y ) = ∑ cx iφx i ( x, y ) i =1 ny

(6.20)

v ( x, y ) = ∑ c y iφ y i ( x, y ) i =1

essendo

φx i ( x, y ) i = 1, 2,..., nx cx i

i = 1, 2,..., n x

φ y i ( x, y ) i = 1, 2,..., n y cy i

i = 1, 2,..., n y

funzioni approssimanti di u coefficienti incogniti per l'approssimazione di u funzioni approssimanti di v coefficienti incogniti per l'approssimazione di v

Si evidenzia che il numero nx e n y delle funzioni approssimanti i campi u e v e le funzioni approssimanti φx i ( x, y ) e φ y i ( x, y ) possono essere fra loro diverse. Introducendo le approssimazioni scelte per u e v (6.20) nell’espressione dell’energia potenziale totale (6.17), tenuto conto delle espressioni (6.18) e (6.19), ed imponendo la condizione di stazionarietà di Π rispetto a tutti i coefficienti incogniti cx i e c y i si ottiene un sistema di n x + n y equazioni in n x + n y incognite. Scelte bene le funzioni approssimanti il sistema è risolvibile e fornisce un’unica soluzione approssimata del problema. 6.1.5 Applicazione A titolo di esempio si può studiare il problema della lastra rappresentata in Figura 6-2, determinando una soluzione approssimata e confrontandola con le soluzioni fornita dai modelli trave Eulero-Bernoulli e Timoshenko.

53

Figura 6-2: Lastra soggetta a carico verticale uniforme.

54

6.2 Piastra di Kirchhoff-Love Vengono utilizzate le seguenti notazioni: •

Spostamenti u    u = v  w  

•

Deformazioni

εx  ε   y  ε z  ε = =  γ xy  γ yz    γ xz 

•

(6.21)

   v  ,y    w, z  =   Su  u, y + v, x   v, z + w, y    u, z + w, x  u, x

∂  ∂x  0   0  S  = ∂   ∂y  0  ∂   ∂z

∂ ∂y 0 ∂ ∂x ∂ ∂z 0

 0   0    ∂  ∂z   0   ∂  ∂y  ∂  ∂x 

(6.22)

Tensioni σ x  σ   y σ z  σ=  τ xy  τ yz    τ xz 

•

0

(6.23)

Legame costitutivo o Ortotropo

55

εx =

ν ν 1 σ x − yx σ y − zx σ z Ex Ey Ez

ν ν 1 εy = σ y − zy σ z − xy σ x + Ex

Ey

Ez

ν ν 1 εz = − xz σ x − yz σ y + σ z Ex

γ xy

Ey

Ez

(6.24)

1 τ xy = Gxy

γ yz =

1 τ yz G yz

γ xz =

1 τ xz Gxz

ovvero  1  E  x  ν xy −  Ex  ν  − xz  Ex ε A= σ A  =  0    0     0 

−

ν yx

ν zx

0

0

0

0

1 Ez

0

0

0

0

1 Gxy

0

0

0

0

1 G yz

0

0

0

0

Ey

1 Ey −

−

ν yz Ey

−

Ez

ν zy Ez

 0    0    0    0    0    1  Gxz 

(6.25)

con

ν

ν

ν

ν

ν

ν

yx xy zy yz zx xz = = = E y Ex Ez Ex Ez E y

(6.26)

per cui per definire completamente il legame elastico lineare ortotropo è necessario determinare il valore di 9 costanti elastiche; o Isotropo

56

1 σ x − ν (σ y + σ z )  E 1 σ y − ν (σ x + σ z )  εy = E 1 σ z − ν (σ x + σ y ) εz =  E

2 (1 + ν ) τ xy E 2 (1 + ν ) = τ yz E 2 (1 + ν ) = τ xz E

γ xy =

εx =

γ yz γ xz

(6.27)

ovvero 1  −ν  1  −ν = ε A= σ A  E 0 0  0

−ν 1 −ν 0 0 0

−ν

0

0

−ν 1

0

0

0

0

0 0 0

2 (1 + ν ) 0 0 2 (1 + ν ) 0 0

  0  0   0   0  2 (1 + ν ) 

0

(6.28)

6.2.1 Ipotesi di base Il modello di piastra di Kirchhoff-Love è basato sulle seguenti ipotesi: •

la dilatazione lineare in direzione dello spessore della piastra è trascurabile: la fibra ortogonale al piano medio della piastra risulta inestensibile;

•

gli scorrimenti angolari tra il piano della piastra e la fibra ortogonale a tale piano sono trascurabili: la fibra ortogonale al piano medio della piastra risulta rettilinea ed ortogonale alla superficie media della piastra a deformazione avvenuta;

•

la tensione normale in direzione dello spessore della piastra è trascurabile.

Si introduce un sistema di riferimento, come rappresentato in Figura 6-3.

x q

y

h: spessore della piastra

z Figura 6-3: Piastra di spessore costante.

57

In formule, le ipotesi appena introdotte si traducono in:

εz = 0 0 γ= γ= yz xz

(6.29)

σz = 0 La (6.29)1 risulta:

ε z =0

⇒

w, z =0

(6.30)

che integrata nello spessore fornisce:

w = w( x, y )

(6.31)

Le ipotesi sugli scorrimenti angolari (6.29)2 risultano:

γ yz= 0

⇒

v, z + w, y= 0

γ xz= 0

⇒

u, z + w, x= 0

(6.32)

che integrati nelle spessore forniscono: u = − z w, x

(6.33)

v = − z w, y

In definitiva, sulla base delle ipotesi cinematiche (6.29)1 e (6.29)2 si ottiene la seguente forma di rappresentazione degli spostamenti: u = − z w, x ( x, y ) v = − z w, y ( x, y )

(6.34)

w = w( x, y )

Sulla base del campo di spostamenti (6.34) e delle equazioni di congruenza (6.22), le deformazioni non nulle valgono:

εx   χx      εy  z  χy  = ε = γ  χ   xy   xy 

 χx   •, x  − w, x     χy  S  S 0 =  =  − w, y  χ  •, y xy  

0  •, y  •, x 

(6.35)

dove il vettore {− w, x − w, y } è l’opposto del gradiente dello spostamento trasversale w , T

che rappresenta la rotazione (infinitesima) della fibra ortogonale al piano medio della piastra. Inoltre le quantità χ x , χ y e χ xy sono le curvature della piastra:

χ x = − w, xx χ y = − w, yy

(6.36)

χ xy = − w, xy − w, yx = −2 w, xy

58

6.2.2 Equazioni di equilibrio tramite PLV Le tensioni che compiono lavoro per le deformazioni non nulle della piastra di KirchhoffLove sono solo le σ x , σ y e τ xy , per cui il lavoro virtuale interno vale:

ε σ dV ∫ χ ∫= M

M dA

(6.37)

 h /2 z σ dz   M x   ∫− h /2 x      h /2 M y   ∫ z σ y dz  M = = − h /2  M   h /2   xy   z τ dz   ∫− h /2 xy 

(6.38)

= Lvi

T

Ω

T

avendo introdotto il vettore dei momenti M come:

In Figura 6-4 sono illustrati i momenti agenti nel piano medio della piastra; si evidenzia che: •

M x è il momento flettente agente nella direzione y ;

•

M y è il momento flettente agente nella direzione − x ;

•

M xy è il momento torcente.

M xy Mx

My

M xy

Figura 6-4: Momenti agenti nel piano medio della piastra.

In forma esplicita, l’espressione (6.37) è: L= vi

∫M ( M χ + M χ = −∫ ( M w + M M x

x

x

y

, xx

y

+ M xy χ xy ) dA

xy w, yx + M y w, yy + M xy w, xy ) dA

(6.39)

Integrando per parti, si ottiene:

59

L= vi

∫M ( M w + M − ∫ ( M w + M M x,x

,x

x

∂

xy , x

,x

w, y + M y , y w, y + M xy , y w, x ) dA

(6.40)

 xy w, y ) n x + ( M y w, y + M xy w, x ) n y  ds

integrando ancora per parti si ha:

Lvi = − ∫ ( M x , xx + 2 M xy , xy + M y , yy ) w dA M

+∫

∂M

−∫

∂M

( M x , x + M xy , y ) n x + ( M xy , x + M y , y ) n y  w ds  

(6.41)

( M x w, x + M xy w, y ) n x + ( M y w, y + M xy w, x ) n y  ds  

Si introducono i tagli trasversali, definiti come:

Qx = M x , x + M xy , y

Qy = M xy , x + M y , y

(6.42)

per cui la (6.41) diventa:

Lvi = − ∫ ( M x , xx + 2 M xy , xy + M y , yy ) w dA M

+∫

∂M

−∫

∂M

Qx nx + Qy n y  w ds

(6.43)

( M x w, x + M xy w, y ) nx + ( M y w, y + M xy w, x ) n y  ds  

In relazione ai termini di bordo dell’espressione (6.43), si consideri sulla curva ∂M un riferimento locale n, t , definito dalla normale n e dalla tangente t alla curva, come rappresentato in Figura 6-5. Si evidenzia che il momento M n è diretto secondo t .

Figura 6-5: Tipico tratto della frontiera del piano medio della piastra.

I termini di bordo si possono riscrivere allora come:

∫ M Q n + Q n  w ds − ∫ M ( M w + M w ) n + ( M w + M w ) n  ds = ∫ [Q n + Q n ] w ds − ∫ ( M w + M w ) n + ( M w + M w ) n  ds M M = ∫ Q w dA − ∫ ( M w + M w ) ds M M ∂

x x

y

∂

n n

t t

∂

n

∂

y

x

∂

n

∂

n

,n

nt

,x

,n

xy

nt

,y

,t

x

n

y

t

,t

,y

nt

xy

,x

,n

t

y

(6.44)

,t

60

essendo nn = 1 e nt = 0 . Lungo la curva ∂M , il termine M nt w,t può ancora essere integrato per parti, per cui si ottiene:

∫ M Q w dA − ∫ M ( M w + M w ) ds = ∫ M ( Q + M ) w dA − ∫ M M w ds − [ M w] n

∂

n

∂

n

∂

nt ,t

,n

nt

,t

n

∂

,n

(6.45)

∂∂M

nt

avendo indicato con ∂∂M i punti che rappresentano l’inizio e la fine della curva ∂M . Il termine Qn + M nt ,t è detta taglio di Kirchhoff. Il lavoro virtuale interno, in definitiva si scrive come: Lvi = − ∫ ( M x , xx + 2 M xy , xy + M y , yy ) w dA M

+∫

(M M

∂

n ,n + M nt ,t + M nt ,t ) w ds − ∫

∂M

M n w,n ds − [ M nt w]∂∂M

(6.46)

Per consistenza con l’espressione derivata per il lavoro virtuale interno, il lavoro virtuale esterno deve essere compiuto da enti che lavorano in M per w , su ∂M per w e per w,n e su ∂∂M per w . Ne consegue che il lavoro virtuale esterno vale:

Lve =∫ q w ds + ∫

∂M

M

f w ds − ∫

∂M

m w,n ds − [ F w]∂∂M

(6.47)

dove q è il carico per unità di superficie, trasversale al piano medio della piastra, che compie lavoro per lo spostamento w in M ; f è il carico per unità di lunghezza, trasversale al piano medio della piastra, che compie lavoro per lo spostamento w su ∂M ; m è una coppia per unità di lunghezza che compie lavoro per la rotazione − w,n su ∂M ;

F è una forza concentrata agente su punti di discontinuità della frontiera di ∂M , che

compie lavoro per lo spostamento w . Eguagliando il lavoro virtuale esterno a quello interno si ottiene:

( M + 2 M + M ) w dA + ∫ ( M + M + M ) w ds − ∫ M w ds − [ M w] = ∫ q w dA + ∫ f w ds − ∫ m w ds − [ F w] −∫

M

∂M

M

x , xx

xy , xy

n ,n

nt ,t

∂M

y , yy

nt ,t

∂M

∂M

n

,n

,n

nt

(6.48)

∂∂M

∂∂M

∀w

da cui si ricavano le equazioni di equilibrio di campo e sulla frontiera: M x , xx + 2 M xy , xy + M y , yy + q = 0 = Qn + M nt ,t f = Mn m = M nt F

in M su ∂M su ∂M in ∂∂M

(6.49)

61

Le equazioni di equilibrio di campo si possono determinare anche seguendo un ragionamento più meccanico, facendo cioè riferimento al tipico elemento di piastra. Facendo riferimento alla Figura 6-6, l’equazione di equilibrio nella direzione z fornisce:

(Qx + ∆Qx − Qx ) ∆y + (Q y + ∆Q y − Q y ) ∆x + q ∆x∆y =0

(6.50)

ovvero nel limite per ∆x → 0 e ∆y → 0 si ottiene:

Qx , x + Q y , y + q = 0

(6.51)

Qy

Qx

Qy

q

x ∆x

Qx + ∆Qx Qy + ∆Qy

Qx+∆Qx

∆y

Qx y

Qy+∆Qy

Figura 6-6: Tipico elemento di piastra soggetto a carico distribuito ed alle sollecitazioni di taglio trasversale.

Mxy My

Qy Mx

∆x

Q Mxy x

∆y

x

Qx+∆Qx Mxy+∆Mxy Mx+∆Mx

Qy+∆Qy My+∆My y

Mxy+∆Mxy

Figura 6-7: Tipico elemento di piastra soggetto a carico distribuito ed alle sollecitazioni flessionali, torsionali e di taglio trasversale.

62

Facendo riferimento alla Figura 6-7, l’equazione di equilibrio alla rotazione intorno all’asse y ed intorno all’asse x , rispettivamente forniscono:

∆x 2 ∆y =0 ( M x + ∆M x − M x ) ∆y + ( M xy + ∆M xy − M xy ) ∆x − (Qx + ∆Qx ) ∆x∆y − q 2 (6.52) ∆x ∆y 2 ( M y + ∆M y − M y ) ∆x + ( M xy + ∆M xy − M xy ) ∆y − (Q y + ∆Q y ) ∆x∆y − q 2 =0 Semplificando, dividendo tutti i membri per ∆x ∆y , nel limite per ∆x → 0 e ∆y → 0 si ottiene: = Qx M x , x + M xy , y

(6.53)

= Q y M xy , x + M y , y

Sostituendo le espressioni trovate per Qx e Q y nell’equazione (6.51), si perviene alla:

M x , xx + 2 M xy , xy + M y , yy + q = 0

(6.54)

ovvero alla prima delle (6.49).

Mxy My Mx

x

Mn

Mxy t

Mnt n

y Figura 6-8: Calcolo del momento flettente e torcente per la generica direzione.

Le equazioni di equilibrio per l’elemento di piastra intorno agli assi definiti da t e da n si scrivono come:

63

M n  t + M y ∆x i + M xy ∆x ( − j) + M xy ∆y i + M x ∆y ( − j) = 0 − M nt  n + M y ∆x i + M xy ∆x ( − j) + M xy ∆y i + M x ∆y ( − j) = 0

(6.55)

ovvero, moltiplicando scalarmente la prima per t e la seconda per n : M n  + M y ∆x t x − M xy ∆x t y + M xy ∆y t x − M x ∆y t y = 0 − M nt  + M y ∆x n x − M xy ∆x n y + M xy ∆y n x − M x ∆y n y = 0

(6.56)

dividendo le due equazioni per  e ricordando che:

∆y ∆x ∆x ∆y nx = ny = tx = − ty =    

(6.57)

si ottiene: M n = M x t y 2 + M y t x 2 − 2 M xy t x t y M nt = ( M y − M x ) nx n y + M xy ( nx 2 − n y 2 )

(6.58)

6.2.3 Legame costitutivo Ricordando l’ipotesi sul valore nullo della tensione normale nello spessore della piastra,

σ z = 0 , le prime due e la quarta delle equazioni costitutive per il problema 3D, riportate nelle (6.27), diventano: 1 σ x − νσ y  E 1 σ y − νσ x  εy = E 2 (1 + ν ) γ xy = τ xy E

εx =

(6.59)

che invertite forniscono: E ε x + ν ε y  1 −ν 2  E ε y + ν ε x  = σy 1 −ν 2  E τ xy = γ xy 2 (1 + ν ) = σx

(6.60)

ovvero in forma matriciale:

64

 1  2 1 − ν  ν σ D= ε D E = 1 −ν 2   0 

ν 1 −ν 2 1 1 −ν 2 0

    0   1  2 (1 + ν )  0

(6.61)

Nel caso si consideri un legame costitutivo ortotropo, si ha:  Ex 1 − ν ν xy yx   ν E = σ D= ε D  xy y 1 − ν xyν yx   0 

ν yx E x 1 − ν xyν yx Ey 1 − ν xyν yx 0

    0   1   2 (1 + ν )  0

(6.62)

Tenuto conto dell’equazione (6.35), si ha: σ = zD χ

(6.63)

e, tramite la (6.38), si determina il vettore dei momenti come: = M

h /2

z σ dz ∫= − h /2

∫

h /2

z 2 D χ dz D= = χ D

− h /2

h3 D 12

(6.64)

che in esplicito, per il caso isotropo, fornisce: − D ( w, xx + ν w, yy ) Mx = D ( χx +ν χ y ) = − D ( w, yy + ν w, xx ) My = D ( χ y +ν χx ) = M xy

1 −ν = − (1 − ν ) Dw, xy D χ xy = 2

(6.65)

avendo posto:

D=

E h3 (1 − ν 2 )12

(6.66)

In Figura 6-9 sono schematicamente rappresentati gli andamenti delle tensioni normali e tangenziali nello spessore della piastra.

65

Figura 6-9: Andamento delle tensioni normali e tangenziali nello spessore della piastra.

Sostituendo le espressioni (6.65) nell’equazione di equilibrio (6.49)1, si ottiene l’equazione di campo della piastra di Eulero-Bernoulli:

0 =D ( w, xx + ν w, yy ), xx + 2 (1 − ν ) Dw, xyxy + D ( w, yy + ν w, xx ), yy − q in M

(6.67)

q D

(6.68)

ovvero:

w, xxxx + 2 w, xyxy + w,= yyyy

⇒ ∆∆ = w

q D

in M

6.2.4 Energia potenziale totale L’energia potenziale totale per una piastra vale: Π (u) = Φ (u) + Λ (u)

(6.69)


= Φ (u )

1 1 1 T z 2 χ T Dχ = dV ε= σ dV χ T Dχ dA ∫ ∫ ∫ Ω Ω M 2 2 2  − w, xx  1   = ∫ {− w, xx − w, yy −2 w, xy } D  − w, yy  dA M 2 −2 w  , xy  

(6.70)

e il potenziale dei carichi Λ ( u ) è: Λ (u) = −  ∫ q w dA + ∫ f w ds − ∫ m w,n ds − [ F w]∂∂M  ∂M ∂M  M 

(6.71)

66

La formulazione variazionale approssimata del problema della piastra si ottiene considerando una forma di rappresentazione del campo degli spostamenti, come: n

w ( x, y ) = ∑ ciφi ( x, y )

(6.72)

i =1

essendo

φi ( x, y ) i = 1, 2,..., n funzioni approssimanti di w ci

i = 1, 2,..., n coefficienti incogniti per l'approssimazione di w

Introducendo l’approssimazione scelta per w (6.72) nell’espressione dell’energia potenziale totale (6.69), tenuto conto delle espressioni (6.70) e (6.71), ed imponendo la condizione di stazionarietà di Π rispetto ai coefficienti incogniti ci si ottiene un sistema di n equazioni in n incognite. Scelte bene le funzioni approssimanti il sistema è risolvibile e

fornisce un’unica soluzione approssimata del problema. 6.2.5 Applicazione A titolo di esempio si può studiare il problema della piastra rappresentata in Figura 6-10, determinando una soluzione approssimata.

Figura 6-10: Piastra appoggiata sui quattro lati.

67

6.3 Piastra di Reissner-Mindlin 6.3.1 Ipotesi di base Il modello di piastra di Reissner-Mindlin (FSDT, first-order shear deformation theory) è basato sulle seguenti ipotesi: •

la dilatazione lineare in direzione dello spessore della piastra è trascurabile: la fibra ortogonale al piano medio della piastra risulta inestensibile;

•

gli scorrimenti angolari tra il piano della piastra e la fibra ortogonale a tale piano sono trascurabili: la fibra ortogonale al piano medio della piastra risulta rettilinea ma non necessariamente ortogonale alla superficie media della piastra a deformazione avvenuta;

•

la tensione normale in direzione dello spessore della piastra è trascurabile.

Si introduce un sistema di riferimento, come rappresentato in Figura 6-3. In formule, le ipotesi appena introdotte si traducono in:

εz = 0

γ yz g= γ xz g x ( x, y ) = y ( x, y )

(6.73)

σz = 0 Sulla base delle ipotesi cinematiche (6.73)1 e (6.73)2 si ottiene la seguente forma di rappresentazione degli spostamenti: u = z ϕ x ( x, y ) v = z ϕ y ( x, y )

(6.74)

w = w( x, y )

Sulla base del campo di spostamenti (6.74), le deformazioni non nulle valgono:

εx   χx      ε = = εy  z  χy  γ  χ   xy   xy 

 χx  w  0 •, x      S 0 0 χ y  S ϕ x  = = χ  ϕ  0 •, y  xy   y

w γ xz   •, x   = γ = T   T ϕ x  = γ yz   •, y ϕ   y

1 0 0 1 

0  •, y  •, x 

(6.75)

(6.76)

dove le quantità χ x , χ y e χ xy sono le curvature della piastra:  ϕ x,x   w, x + ϕ x    χ = γ  = ϕ y, y    w, y + ϕ y  ϕ + ϕ  y,x   x, y

(6.77)

68

6.3.2 Equazioni di equilibrio tramite PLV Le tensioni che compiono lavoro per le deformazioni non nulle della piastra di ReissnerMindlin sono la σ = {σ x , σ y ,τ xy } e τ = {τ xz ,τ yz } per cui il lavoro virtuale interno vale: T

T

Lvi =∫ ( εT σ + γ T τ ) dV =∫ Ω

M

(χ

T

M + γ T Q ) dA

(6.78)

avendo introdotto il vettore dei momenti M ed il vettore dei tagli Q come:

 h /2 z σ dz   M x   ∫− h /2 x   Qx     h /2 M M Q = = =  ∫− h /2 z σ y dz  =  y  Qx   M   h /2   xy   z τ dz   ∫− h /2 xy 

 h /2 τ dz   ∫− h /2 xz   h /2   ∫ τ yz dz   − h /2 

(6.79)

In forma esplicita, l’espressione (6.78) fornisce:

∫M ( M χ + M χ + M χ + Q γ + Q γ ) dA = ∫ ( M ϕ + M ϕ + M ϕ + M ϕ ) dA M + ∫ Q ( w + ϕ ) + Q ( w + ϕ ) dA M

= Lvi

x

x

x

x,x

x

y

y

xy

,x

xy

xy

y,x

x

y

y

x xz

y, y

,y

y

xy

yz

x, y

(6.80)

y

Integrando per parti, si ottiene: Lvi = − ∫ ( M x , xϕ x + M xy , xϕ y + M y , yϕ y + M xy , yϕ x ) dA M

(Q + Q ) w dA + ∫ (Q ϕ + Q ϕ ) dA + ∫ ( M ϕ + M ϕ ) n + ( M ϕ + M ϕ ) n + ∫ (Q n + Q n ) w ds −∫

x,x

M

y, y

x

∂M

x

∂M

M

x

xy

x

y

y

x

x

x

y

y

y

y

xy

x

 y  ds

(6.81)

y

ovvero Lvi = − ∫ ( M x , x + M xy , y − Qx ) ϕ x + ( M xy , x + M y , y − Q y ) ϕ y dA M

(Q + Q ) w dA + + ∫ ( M ϕ + M ϕ ) n + ( M ϕ + ∫ (Q n + Q n ) w ds −∫

M

x,x

x

∂M

∂M

y, y

x

x

x

xy

y

y

x

y

y

+ M xyϕ x ) n y  ds

(6.82)

y

In relazione ai termini di bordo dell’espressione (6.82), si consideri sulla curva ∂M un riferimento locale n, t , definito dalla normale e dalla tangente; tali termini si possono riscrivere come:

69

∫ M ( M ϕ + M ϕ ) n + ( M ϕ + M ϕ ) n  ds + ∫ ( Q n + Q n ) w ds M = ∫ ( M ϕ + M ϕ ) n + ( M ϕ + M ϕ ) n  ds M + ∫ Q n w ds M = ∫ ( M ϕ + M ϕ ) ds + ∫ Q n w ds M M ∂

x

x

∂

x x

∂

n

xy

y

y

x

y

y

xy

x

y

y

n

nt

t

n

t

t

nt

t

(6.83)

t

n n

∂

n

∂

n

nt

t

n n

∂

essendo nn = 1 e nt = 0 . Il lavoro virtuale interno, in definitiva si scrive come:

Lvi = − ∫ ( M x , x + M xy , y − Qx ) ϕ x + ( M xy , x + M y , y − Q y ) ϕ y dA M

−∫

(Q

+∫

( M nϕ n + M ntϕt ) ds + ∫∂M (Qn nn + Qt nt ) w ds

M

∂M

x,x

+ Q y , y ) w dA +

(6.84)

Per consistenza con l’espressione derivata per il lavoro virtuale interno, il lavoro virtuale esterno deve essere compiuto da enti che lavorano in M per w , per ϕ x e per ϕ y e su ∂M per w , per ϕ n e per ϕ t . Ne consegue che il lavoro virtuale esterno vale:

Lve =

∫M q w dA + ∫M ( c ϕ x

x

+ c yϕ y ) dA + ∫

∂M

f w ds + ∫

∂M

( mnϕ n + mntϕt ) ds

(6.85)

dove q è il carico per unità di superficie, trasversale al piano medio della piastra, che compie lavoro per lo spostamento w in M ; cx e c y sono coppie distribuite per unità di superficie, che compiono lavoro per le rotazioni spostamento ϕ x e ϕ y in M ; f è il carico per unità di lunghezza, trasversale al piano medio della piastra, che compie lavoro per lo spostamento w su ∂M ; mn e mnt sono coppie per unità di lunghezza che compiono lavoro per le rotazioni ϕ n e ϕ t su ∂M . Eguagliando il lavoro virtuale esterno a quello interno si ottiene:

∫M ( M + M − Q + c ) ϕ + ( M + M − Q + c ) ϕ dA + ∫ ( Q + Q + q ) w dA M − ∫ ( M − m ) ϕ + ( M − m ) ϕ  ds M − ∫ ( Q n − f ) w ds = 0 ∀w, ϕ , ϕ in M ; ∀w, ϕ , ϕ in ∂M M x, x

x, x

xy , y

x

x

xy , x

x

y, y

y

y

y

y, y

∂

n

∂

n n

n

n

nt

nt

(6.86)

t

x

y

n

t

da cui si ricavano le equazioni di equilibrio di campo e sulla frontiera:

70

0 in M M x , x + M xy , y − Qx + cx = 0 in M M xy , x + M y , y − Qy + c y = 0 in M Qx , x + Qy , y + q = M n − mn 0 = M nt − mnt 0 = Qn nn − f 0 =

su ∂M

(6.87)

su ∂M su ∂M

6.3.3 Legame costitutivo Ricordando l’ipotesi sul valore nullo della tensione normale nello spessore della piastra,

σ z = 0 , le equazioni costitutive diventano:  1  2 1 − ν  ν = σ D= ε D E 1 −ν 2   0 

   1  0  2 1 −ν  1  0 2 (1 + ν )  1 0 E = τ G= γ G  2 (1 + ν ) 0 1 

ν 1 −ν 2

0

(6.88)

Tenuto conto delle equazioni (6.75) e (6.88), si ha:

σ z= Dχ τ Gγ =

(6.89)

per cui i vettori dei momenti e dei tagli trasversali si determinano come:

h3 M ∫= χ D D = z σ dz ∫ = z D χ dz D= − h /2 − h /2 12 h /2

Q =

h /2

h /2

h /2

− h /2

− h /2

τ dz ∫ ∫=

2

G γ dz G γ =

(6.90)

G κ hG =

essendo κ il fattore di correzione a taglio, di cui si è già discusso per la trave. Per la piastra si ha κ = 5 / 6 . In esplicito, per il caso isotropo, fornisce: M x = D ( χ x + ν χ y ) = D (ϕ x , x + ν ϕ y , y ) M y = D ( χ y + ν χ x ) = D (ϕ y , y + ν ϕ x , x ) 1 −ν 1 −ν = D χ xy D (ϕ x , y + ϕ y , x ) 2 2 = Qx H= γ xz H ( w, x + ϕ x )

= M xy

(6.91)

= Q y H= γ yz H ( w, y + ϕ y )

avendo posto: 71

= D

E h3 E 5 = H h 2 6 2 (1 + ν ) (1 − ν )12

(6.92)

Sostituendo le espressioni (6.92) nelle equazioni di equilibrio (6.87)1, (6.87)2, e (6.87)3 si ottengono le equazioni di campo della piastra di Mindlin:

D 0 in M ( 2ϕ x,xx + ϕ x, yy + ϕ y ,xy + ν ϕ y , yx − νϕ x, yy ) − H ( w,x + ϕ x ) + cx = 2 D 0 in M (ϕ x, yx + ϕ y ,xx + 2ϕ y , yy + ν ϕ x,xy − νϕ y ,xx ) − H ( w, y + ϕ y ) + c y = 2 0 in M H ( w, xx + w, yy + ϕ x , x + ϕ y , y ) + q =

(6.93)

6.3.4 Energia potenziale totale L’energia potenziale totale per una piastra vale: Π (u) = Φ (u) + Λ (u)

(6.94)


Φ= (u)

1 1 dV εT σ + γ T τ )= χ T Dχ + γ T Gγ ) dA ( ( ∫ ∫ Ω M 2 2

T  ϕ    ϕ x,x  T x,x  w w ϕ ϕ + +     1     x x ,x ,x G ϕ y, y  D  ϕ y, y  +    dA    ∫ w w ϕ ϕ + + 2 M  y y y y , ,       ϕ x , y + ϕ y , x  ϕ x , y + ϕ y , x   

(6.95)

e il potenziale dei carichi Λ ( u ) è: Λ (u) = −  ∫ q w dA + ∫ ( cxϕ x + c yϕ y ) dA + ∫ f w ds + ∫ ( mnϕ n + mntϕ t ) ds  (6.96) M ∂M ∂M  M 

La formulazione variazionale approssimata del problema della piastra si ottiene considerando una forma di rappresentazione del campo di spostamenti w , del campo delle rotazioni ϕ x e del campo delle rotazioni ϕ y come: nw

w ( x, y ) = ∑ c wiφ wi ( x, y ) i =1

nx

ϕ x ( x, y ) = ∑ c x iφ x i ( x, y )

(6.97)

i =1 ny

ϕ y ( x, y ) = ∑ c y iφ y i ( x, y ) i =1

essendo

72

φ wi ( x, y ) i = 1, 2,..., nw funzioni approssimanti di w c wi

i = 1, 2,..., nw

coefficienti incogniti per l'approssimazione di w

φ x i ( x, y ) i = 1, 2,..., nx funzioni approssimanti di ϕ x i = 1, 2,..., n x

coefficienti incogniti per l'approssimazione di ϕ x

φ y i ( x, y ) i = 1, 2,..., n y

funzioni approssimanti di ϕ y coefficienti incogniti per l'approssimazione di ϕ y

c xi

c

y i

i = 1, 2,..., n y

Introducendo l’approssimazione scelta per w , per ϕ x e per ϕ y nell’espressione (6.97) dell’energia potenziale totale (6.94), tenuto conto delle espressioni (6.95) e (6.96), ed imponendo la condizione di stazionarietà di Π rispetto ai coefficienti incogniti c wi , c x i e

c y i si ottiene un sistema di nw + n x + n y equazioni in nw + n x + n y incognite. Scelte bene le funzioni approssimanti il sistema è risolvibile e fornisce un’unica soluzione approssimata del problema. 6.3.5 Applicazione A titolo di esempio si può studiare il problema della piastra rappresentata in Figura 6-10, determinando una soluzione approssimata.

73

7 Soluzione di problemi strutturali non lineari 7.1 Introduzione Nella meccanica delle strutture, spesso si assume che gli spostamenti siano piccoli rispetto alla dimensione caratteristica della struttura e che le deformazioni siano infinitesime, così che la misura di deformazione è ottenuta come la parte simmetrica del gradiente degli spostamenti e che le equazioni di equilibrio sono scritte direttamente sulla configurazione indeformata del corpo. D’altra parte, si assume anche molto frequentemente che la relazione tra le tensioni e le deformazioni sia di tipo elastico lineare. Sotto le ipotesi sopra riportate il problema dell’equilibrio elastico è lineare. Ne consegue che implementando il metodo degli elementi finiti per un problema dell’equilibrio elastico lineare, si giunge ad un sistema algebrico di tipo lineare. Talvolta però non è possibile con buona approssimazione assumere valide ipotesi alla base della linearità del problema strutturale. Può infatti accadere che la struttura soggetta alle dovute condizioni di carico si deformi in modo tanto significativo che non è appropriato considerare come misura di deformazione quella infinitesima, ovvero la parte simmetrica del gradiente degli spostamenti, e di conseguenza non è lecito scrivere le equazioni di equilibrio sulla configurazione indeformata della struttura. E’ necessario allora tenere in conto di misure non lineari della deformazione ed imporre l’equilibrio sulla configurazione deformata, che non è nota a priori e costituisce un’incognita del problema strutturale. In tal caso il problema dell’equilibrio strutturale diventa non lineare e tale non linearità è generalmente denotata come non linearità geometrica. I materiali che costituiscono le costruzioni presentano comportamento di tipo elastico lineare in un intervalli di tensioni o deformazioni limitato. Superato un certo valore della deformazione il materiale si comporta in modo tale che la relazione costitutiva è non lineare. Questo è il caso della plasticità, del danneggiamento e del comportamento unilaterale. Anche in tal caso il problema dell’equilibrio strutturale diventa non lineare tale non linearità è generalmente denotata come non linearità materiale. Nel seguito si descrivono alcune procedure classiche utilizzate per risolvere problemi algebrici non lineari. La discussione è limitata al caso di non linearità materiale.

74

7.2 Materiale con comportamento elastico non lineare Un materiale è detto elastico quando assegnata che sia la deformazione, la tensione è univocamente determinata ed, inoltre, l’energia interna non dipende dal particolare percorso deformativo seguito. Per una struttura costitutiva da materiale elastico, lo stato deformativo e tensionale non dipende dalla particolare storia di carico seguita ma solo dal valore attuale delle forze agenti su essa. In Figura 7-1 è riportata schematicamente la risposta meccanica in termini di uno spostamento s di una struttura soggetta ad un sistema di forze (F). La relazione F-s risulta non lineare. Per una struttura costituita da materiale elastico, in fase di carico e di scarico si percorre comunque la stessa curva Λ(s).

F

Λ(s)

s Figura 7-1: Risposta strutturale schematica in termini di forza-spostamento.

Il problema che si intende affrontare è allora di determinare una strategia di calcolo, ovvero una procedura numerica che permetta di determinare lo spostamento che si ha una volta che sia assegnato che sia un valore della forza. In realtà il problema si pone nella seguente forma: dato un sistema strutturale, determinare il vettore degli spostamenti (nodali) s di una struttura che si hanno quando agisce un sistema di carico definito dal vettore F. In altra forma, si tratta di risolvere il problema struttura non lineare: Λ (s) = F

(7.1)

L’equazione (7.1) si riscrive nella forma residuale: R (s= ) Λ (s) − F= 0

(7.2)

75

essendo R(s) il residuo da annullare. Le procedure numeriche descritte nel seguito sono algoritmi capaci di trasformare il problema della ricerca della soluzione di un sistema di equazioni algebriche non lineari in una successione di problemi lineari. La procedura converge alla soluzione nel caso in cui la successione di soluzioni converge alla soluzione del problema iniziale non lineare.

7.3 Metodo di Newton-Raphson Assumendo che la funzione residuo R(s) sia sufficientemente regolare, si effettua lo sviluppo in serie di R(s) a partire dal vettore spostamento so: R (s) = R (s o ) +

∂R s − so ) ( ∂s s =so

(7.3)

∂Λ o s − s= = Λ (s ) − F + ( ) 0 ∂s s =so o

Si evidenzia che la derivate del vettore Λ(s) rispetto al vettore s è una matrice detta matrice tangente e denotata con Kt: o  ∂Λ  ∂Λ i = K ijt ,s =   ∂s s =so  ij ∂s j

(7.4) s = so

Assumendo so=0, è possibile determinare lo spostamento s1 risolvendo l’equazione (7.3):

s1 = − ( K t ,0 )

−1

− ( K t ,0 ) ( Λ ( 0) − F ) =

−1

R ( 0)

(7.5)

F F* R(s

1

Λ(s)

R(s2 Kt1

Kt0

0

s1

s*

s

Figura 7-2: schema iterativo secondo il metodo di Newton-Raphson

76

Nota che sia la soluzione s1 è possibile determinare il residuo R= (s1 ) Λ (s1 ) − F

(7.6)

che, in generale, risulta diverso da zero, come illustrato in Figura 7-2. A questo punto risolvendo l’equazione (7.3), con so=s1, si ottiene:

s 2 =s1 − ( K t ,1 )

−1

( Λ(s ) − F ) =s − ( K ) 1

t ,1 −1

1

R (s1 )

(7.7)

Noto s2, in modo analogo, si determina s3. In definitiva il metodo di Newton-Raphson ovvero della tangente, consiste nella determinazione della successione di soluzioni:

s k +1 =s k − ( K t ,k )

−1

( Λ(s ) − F ) =s − ( K ) k

k

t , k −1

R (s k )

(7.8)

La successione converge quando il residuo R(sk) tende a zero. Naturalmente, numericamente non è possibile giungere al valore nullo per cui si assumerà soddisfacente la soluzione sk per la quale accade che il residuo R(sk) è sufficientemente piccolo. In particolare si definisce errore k-esimo la quantità:

e = k

R (s k ) F

(7.9)

Si dimostra che tale procedura numerica quando converge, converge alla soluzione e converge con velocità quadratica. Di conseguenza l’algoritmo è caratterizzato da una buona velocità di convergenza. Si evidenzia che qualora la curva che rappresenta la risposta strutturale illustrata in Figura 7-2 tende ad una retta orizzontale, la matrice tangente tende a diventare singolare e, di conseguenza, il sistema di equazioni (7.8) tende a ad essere mal posto.

7.4 Metodo di Newton-Raphson modificato Il metodo di Newton-Raphson modificato si ottiene a partire dal metodo di NewtonRaphson assumendo la matrice tangente costante nel processo iterativo, e pari a quella corrispondente al punto s=0. In altri termini, l’algoritmo consiste nella costruzione della successione di soluzioni ottenute risolvento l’equazione:

77

s k +1 =s k − ( K t ,0 )

−1

( Λ(s ) − F ) =s − ( K ) k

k

t ,0 −1

R (s k )

(7.10)

In Figura 7-3 è rappresentato lo schema iterativo del metodo di Newton-Raphson modificato. Si nota che anche quando la curva che rappresenta la risposta strutturale tende ad una retta orizzontale, l’algoritmo non entra in crisi, in quanto la matrice da invertire è sempre quella iniziale. In generale, tale procedura risulta molto stabile nelle iterazioni e raramente entra in crisi. Un vantaggio di tale metodo rispetto al metodo di NewtonRaphson è che la matrice che governa l’equazione (7.10) non varia durante le iterazioni e deve essere calcolata solo all’inizio della procedura. D’altra parte si nota che la convergenza di tale metodo risulta in generale più lenta rispetto a quella che si ha per il metodo della tangente esposto nel paragrafo precedente.

F Λ(s)

F* R(s

1

Kt0

0

s1 s2

s4

s*

s

Figura 7-3: schema iterativo secondo il metodo di Newton-Raphson modificato

7.5 Metodo della secante Il metodo della secante, detto anche di Picard, è basato sull’ipotesi, molto spesso soddisfatta, che il vettore delle forze interne Λ(s) sia esprimibile come il prodotto di una matrice K(s), che dipende dal valore degli spostamenti, moltiplicato per il vettore degli spostamenti, in formula: Λ (s) = K (s)s

(7.11)

78

così che l’equazione di equilibrio (7.1) diventa: K (s)s = F

(7.12)

La matrice tangente si determina come:

= K t ,s o

∂ [ K (s)s ] ∂ [ K (s) ] ∂Λ = = K (s o ) + ∂s s =so ∂s ∂s = s so=s

s

(7.13)

so

La matrice secante è ottenuta dalla relazione (7.13) trascurando l’ultimo termine:

K s ,s = K (s o ) o

(7.14)

L’algoritmo della matrice secante è basato sulla soluzione dell’equazione (7.12), assumendo noto il vettore degli spostamenti per la valutazione della matrice secante. Sostituendo la matrice secante al posto della tangente nella formula (7.8) si ha:

s k +1 = s k − ( K s ,k ) ( Λ (s k ) − F ) −1

s k − ( K s ,k ) ( K s ,k s k − F ) = −1

(7.15)

= ( K s ,k ) F −1

In Figura 7-4 è rappresentato lo schema iterativo del metodo della secante. In generale, tale procedura risulta abbastanza stabile nelle iterazioni. La velocità di convergenza è minore di quella ottenibile con il metodo di Newton-Raphason ma è maggiore di quella con il metodo di Newton-Raphason modificato. Come per il metodo di Newton-Raphason la matrice che governa l’equazione (7.15) varia durante le iterazioni e deve essere calcolata ed invertita ad ogni iterazione.

79

F Λ(s)

F*

K(s1) s1

0

s1 s2

s4

s*

s

Figura 7-4: schema iterativo secondo il metodo della secante

7.6 Sezione in cemento armato A scopo esemplificativo, ma anche per illustrare un problema di notevole interesse applicativo, si sviluppano nel seguito i tre algoritmi introdotti nel paragrafo precedente per risolvere il problema della verifica di una sezione in cemento armato. I metodi sopra esposti, naturalmente, si possono applicare al problema della verifica agli stati limite per una sezione generica. Per semplicità nel seguito viene trattato il caso della verifica alle tensioni ammissibili di una sezione rettangolare in cemento armato. Si considera la sezione riportata in Figura 7-5, soggetta alle sollecitazioni di sforzo normale e momento flettente. Si assume che il materiale conglomerato cementizio sia non reagente a trazione, mentre presenti un comportamento elastico lineare a compressione, come illustrato in Figura 7-6. In particolare, si assume:

= σ 0 = σ Eε

se se

ε >0 ε ≤0

(7.16)

La cinematica della sezione è caratterizzata dalla deformazione assiale ε0 e dalla curvatura χ, così che la deformazione nel generico punto della sezione è definita dalla classica relazione: ε = ε 0 + yχ

(7.17)

80

b

Af1 yf1 h x1 yf2

Af2 x2 Figura 7-5: sezione in c.a.

σ ε

Figura 7-6: modello di materiale non reagente a trazione per conglomerato cementizio

Nella sezione si individua l’asse neutro, come:

yn : 0 = ε 0 + yn χ

⇒

ε χ

yn = − 0

(7.18)

81

Si distinguono due possibili casi:

caso (a)

χ≥0

caso (b)

χ