Assignments for Chapter 15 Using Quantum Mechanics on Simple ...

Assignments for Chapter 15 Using Quantum Mechanics on Simple  Systems    Deadline: Before the end of the next chapter.  下一章結束日或之前繳交。 

Questions on Concepts      You hand in the answers to any 8 or more of the following questions:  Q15.1  We set the potential energy in the particle in the box equal to zero and justified it by  saying that there is no absolute scale for potential energy. Is this also true for kinetic  energy?  Q15.2  Discuss why a quantum mechanical particle in a box has a zero point energy in terms  of its wavelength.  Q15.3  How does an expectation value for an observable differ from an average of all  possible eigenvalues?  Q15.4  Is the probability distribution for a free particle consistent with a purely particle  picture, a purely wave picture, or both?  Q15.5  Why is it not possible to normalize the free‐particle wave functions over the whole  range of motion of the particle?  Q15.6  The probability density for a particle in a box is an oscillatory function even for very  large energies. Explain how the classical limit of a constant probability density that is  independent of position is achieved.  Q15.7  Explain using words, rather than equations, why if  , ,   , the total energy eigenfunctions cannot be written in the from  , , .  Q15.8  Can a guitar string be in a superposition of states or is such a superposition only  possible for a quantum mechanical system?  Q15.9  Show that for the particle in the box total energy eigenfunctions,  /   ,    is a continuous function at the edges of the box. Is  2/ sin /   a continuous function of    at the edges of the box?  Q15.10  Why are standing‐wave solutions for the free particle not compatible with the 

classical result  v   ?  Q15.11  What is the difference between probability and probability density?  Q15.12  Why are traveling‐wave solutions for the particle in the box not compatible with the  boundary conditions?  Q15.13  Can the particles in a one‐dimensional box, a square two‐dimensional box, and a  cubic three‐dimensional box all have degenerate energy levels?  Q15.14  Invoke wave‐particle duality to address the following question: How does a particle  get through a node in a wave function to get to the other side of the box?  Q15.15  Why is the zero point energy lower for a He atom in a box than for an electron?  _____________________________________________________________________ 

Problems  You hand in the solutions to any 15 or more of the following questions:  P15.1  This problem explores under what conditions the classical limit is reached for a  macroscopic cubic box of edge length a. An argon atom of average translational  0.500 m   at 298 K. Use  energy  3/2   is confined in a cubic box of volume  the result from Equation (15.25) for the dependence of the energy levels on a and on  the quantum numbers  ,  , and  .  a. What is the value of the “reduced quantum number”    for  298 K?  b. What is the energy separation between the levels    and  1  (Hint: Subtract    from    before plugging in numbers.)  c. Calculate the ratio  /   and use your result to conclude whether a  classical or quantum mechanical description is appropriate for the particle.  P15.2  Calculate the expectation value    for a particle in the state n = 3 moving in a  one‐dimensional box of length  . Is    ? Explain your answer.  P15.3  Normalize the total energy eigenfunctions for the three‐dimensional box in the  interval  0 ,0 ,0   .  P15.4  Is the superposition wave function for the free particle an eigenfunction of the 

momentum operator? Is it an eigenfunction of the total energy operator? Explain  your result.    P15.5  Suppose that the wave function for a system can be written as  √

  and that 

, 

, and 

    are normalized eigenfunctions of the operator 

  with eigenvalues  ,  3   and  7 , respectively.  a. Verify that    is normalized.  b. What are the possible values that you could obtain in measuring the kinetic  energy on identically prepared systems?  c. What is the probability of measuring each of these eigenvalues?  d. What is the average value of    that you would obtain from a large number  of measurements?  P15.6  Consider a free particle moving in one dimension whose probability of moving in the  positive    direction is three times that for moving in the negative    direction. Give  as much information as you can about the wave function of the particle.  P15.7  Consider the contour plots of Problem P15.19.  a. What are the most likely area or areas  ∆ ∆   to find the particle for each of the  eigenfunctions of    depicted in plots a – f?  b. For the one‐dimensional box, the nodes are points. What form do the nodes take  for the two‐dimensional box? Where are the nodes located in plots a – f? How  many nodes are there in each contour plot?  P15.8  Evaluate the normalization integral for the eigenfunctions of    for the particle in  sin /   using the trigonometric identity  sin the box  1 cos 2 /2.  P15.9  The function  / 1 /   is an acceptable wave function for the  particle in the one‐dimensional infinite depth box of length  . Calculate the  normalization constant    and the expectation values    and  .  P15.10  What is the solution of the time‐dependent Schrödinger equation  Ψ ,

  for the 

total energy eigenfunction  2/ sin 4 /   in the particle in the box  modal? Write  /   explicitly in terms of the parameters of the problem.  P15.11 

Derive an equation for the probability that a particle characterized by the quantum  number    is in the first  40. %  0 0.40   of an infinite depth box. Show that  this probability approaches the classical limit as  ∞.  P15.12  It is useful to consider the result for the energy eigenvalues for the one‐dimensional  box  /8 ,  1, 2, 3,   as a function of  ,  , and  .  a. By what factor do you need to change the box length to decrease the zero point  energy by a factor of 275 for a fixed value of  ?  b. By what factor would you have to change    for fixed values of    and    to  increase the energy by a factor of 600. ?  c. By what factor would you have to increase    at constant    to the zero point  energy of a proton in the box?  P15.13  /2 , are 

Show that the energy eigenvalues for the free particle,  consistent with the classical result  1/2 v .  P15.14 

a. Show by substitution into Equation (15.19) that the eigenfunctions of    for a  box with lengths along the  ,  , and    directions of  ,  , and  , repectively,  are  ,

,

, ,

b. Obtain an expression for 

sin ,

,

sin

  in terms of 

sin ,

,

 

, and  ,  , and  . 

P15.15  Calculate the wavelength of the light emitted when an electron in a one‐dimensional  box of length 3.0 nm makes a transition from the  5  state to the  4  state.  P15.16  A bowling ball has a weight of 15 lb and the length of the lane is approximately 60.  feet. Treat the ball in the lane as a one‐dimensional box. What quantum number  corresponds to a velocity of 5.0 miles per hour?  P15.17  Using your result from P15.19, how many energy levels does a particle of mass    in  a two‐dimensional box of edge length    have  degeneracy of each level?  P15.18 

25

/8

? What is the 

Are the eigenfunctions of    for the particle in the one‐dimensional box also  eigenfunctions of the momentum operator  ̂ ? Calculate the average value of    for the case  3. Repeat your calculation for  5  and, from these two results,  suggest an expression valid for all values of  . How does your result compare with 

the prediction based on classical physics?  P15.19  For a particle in a two‐dimensional box, the total energy eigenfunctions are    ,

,

a. Obtain an expression for 

,

sin   in terms of 

sin ,

 

,  , and    by substituting 

this wave function into the two‐dimensional analog of Equation (15.19).  b. Contour plots of several eigenfunctions are shown here. The    and    directions  of the box lie along the horizontal and vertical directions, respectively. The  amplitude has been displayed as a gradation in colors. Regions of positive and  negative amplitude are indicated. Identify the values of the quantum numbers    and    for plots a – f. 

  P15.20  Calculate (a) the zero point energy of a CO molecule in a one‐dimensional box of  length 1.00 cm and (b) the ratio of zero point energy to    at 300. K.  P15.21  Normalize the total energy eigenfunction for the rectangular two‐dimensional box,  ,

,

sin

sin

 

In the interval  0 ,0 .  P15.22  Generally, the quantization of translational motion is not significant for atoms  because of their mass. However, this conclusion depends on the dimensions of the  space to which they are confined. Zeolites are structure with small pores that we  describe by a cube with edge length 1 nm. Calculate the energy of a H2 molecule with 

10. Compare this energy to 

  at 

300. K. Is s classical or a 

quantum description appropriate?  P15.23  Are the eigenfunctions of    for the particle in the one‐dimensional box also  eigenfunctions of the position operator  ? Calculate the average value of    for the  case where  3. Explain your result by comparing it with what you would expect  for a classical particle. Repeat your calculation for  5  and, from these two results,  suggest an expression valid for all values of  . How does your result compare with  the prediction based on classical physics?  P15.24  What are the energies of the lowest five energy levels in a three‐dimensional box  with  ? What is the degeneracy of each level?  P15.25  In discussing the Boltzmann distribution in Chapter 13, we used the symbols    and    to indicate the degeneracies of the energy levels    and  . By degeneracy, we  mean the number of distinct quantum states (different quantum numbers) all of  which have the same energy.  a. Using your answer to Problem P15.19a, what is the degeneracy of the energy  level  5 /8   for the square two‐dimensional box of edge length  ?  b. Using your answer to Problem P15.14b, what is the degeneracy of the energy  level  9 P15.26 

/8

  for a three‐dimensional cubic box of edge length  ? 

Show by examining the position of the nodes that  Re   and    represent plane waves moving in the positive and negative    Re directions, respectively. The notation Re[ ] refers to the real part of the function in  the brackets.    P15.27  Two wave functions are distinguishable if they lead to a different probability density.  Which of the following wave functions are distinguishable from  sin ?  /2 

a. sin b. c. cos d.

cos

,    a constant  /2   /2 sin

cos

√

√

,    a constant 

P15.28  Is the superposition wave function  2/ sin / sin eigenfunction of the total energy operator for the particle in the box?  P15.29 

/

  an 

The smallest observed frequency for a transition between states of an electron in a  one‐dimensional box is 3.5 × 1014 s‐1. What is the length of the box?  P15.30  Are the total energy eigenfunctions for the free particle in one dimension,  /

  and 

/

, eigenfunctions of the 

one‐dimensional linear momentum operator? If so, what are the eigenvalues?  P15.31  Use the eigenfunction    rather than  sin cos   to apply the boundary conditions for the particle in the box.  a. How do the boundary conditions restrict the acceptable choices for    and    and for  ?  b. Do these two functions give different probability densities if each is normalized?  P15.32  Consider a particle in a one‐dimensional box defined by  0, 0  and  ∞, , 0. Explain why each of the following unnormalized functions  is or is not an acceptable wave function based on criteria such as being consistent  with the boundary conditions, and with the association of    with  probability.  a.

cos

 

b. c.

   

d.

/

 

P15.33  Use your result from Problem P15.19 and make an energy level diagram for the first  five energy levels of a square two‐dimensional box of edge length  . Indicate which  of the energy levels are degenerate and the degeneracy of these levels.  P15.34  Calculate the probability that a particle in a one‐dimensional box of length    is  found between  0.18   and  0.22   when it is described by the following wave  functions:    a.

sin

b.

sin

   

What would you expect for a classical particle? Compare your results in the two case 

with the classical result.  _____________________________________________________________________ 

Web‐Based Simulations, Animations, and Problems  W15.1  The motion of a classical particle in a box potential is simulated. The particle energy  and the potential in the two halve of the box are varied using sliders. The kinetic  energy is displayed as a function of the position  , and the result of measuring the  probability of detecting the particle at    is displayed as a density plot. The student  is asked to use the information gathered to explain the motion of the particle.  W15.2  Wave functions for  1 5  are shown for the particle in the infinite depth box  and the energy levels are calculated. Sliders are used to vary the box length and the  mass of the particle. The student is asked questions that clarify the relationship  between the level energy, the mass, and the box length.  W15.3  The probability is calculated for finding a Particle in the infinite depth box in the  interval  0 0.1 , 0.1 0.2 , , 0.9 1.0   for  1,  2, and  50.  The student is asked to explain these results.  W15.4  Contour plots are generated for the total energy eigenfunctions of the particle in the  two‐dimensional infinite depth box,  ,

,

sin

sin

 

The student is asked questions about the nodal structure of these eigenfunctions and  asked to assign quantum number    and    to each contour plot.  W15.5  The student is asked to determine if the normalized wave function    105

 

is an acceptable wave function for the particle in the infinite depth based on graphs  of    and  /   as a function of  . The wave function    is expanded  in eigenfunctions of the total energy operator. The student is asked to determine the  probability of observing certain values of the total energy in a measurement on the  system.  W15.6  The normalized wave function, 

Ψ ,

/

sin

/

sin

2

 

| | With  | | 1  is a superposition of the ground state and first excited state  for the particle in the infinite depth box. Simulations are carried out to determine if  ,  , and    are independent of time for this superposition state.