dari penjumlahan biasa,. ▫ memahami konvergensi deret dan kaitannya dengan
konvergensi barisan,. ▫ menyusun dan menulis deret dengan menggunakan.
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
MODUL 1 DERET TAKHINGGA Satuan Acara Perkuliahan Modul 1 (Deret Takhingga) sebagai berikut. Petemuan ke-
Pokok/Sub PokokBahasan
1
Deret Takhingga Barisan
Mahasiswa diharapkan mampu: memahami barisan, baik secara formal maupun intuitif, menentukan rumus rekursif dari barisan, memeriksa konvergensi suatu barisan dan menentukan limitnya, mengenal dan menyelesaikan masalah dengan barisan sebagai model matematikanya.
Deret takhingga (Deret khusus dan konvergensinya)
memahami arti deret takhingga dan membedakannya dari penjumlahan biasa, memahami konvergensi deret dan kaitannya dengan konvergensi barisan, menyusun dan menulis deret dengan menggunakan notasi , mengenal beberapa deret khusus dan konvergensinya, seperti deret geometri, deret harmonik, dan deret-p. memeriksa konvergensi deret sederhana dengan definisi
Uji Konvergensi Deret Positif
memeriksa konvergensi deret positif dan menghitung jumlahnya bila konvergen dengan menggunakan uji integral,
2
Deret Takhingga Uji Konvergensi Deret Positif (lanjutan)
Deret Berganti Tanda; Konvergensi Mutlak dan Konvergensi Bersyarat
AipSaripudin
TujuanPembelajaran
Mahasiswa diharapkan mampu: memeriksa konvergensi deret positif dan menghitung jumlahnya bila konvergen dengan menggunakan uji perbandingan dan uji limit perbandingan memeriksa konvergensi deret positif dan menghitung jumlahnya bila konvergen dengan menggunakan uji rasio memeriksa konvergensi deret positif dan memilihkan uji yang tepat, mengenal kekuatan dan kekurangan tiap uji serta menggunakannya untuk menentukan strategi penentuan konvergensi. mengenal deret yang lebih umum yaitu deret berganti tanda, memahami perbedaan deret berganti tanda dengan deret positif, memahami konsep kedivergenan, konsep konvergensi mutlak, dan konvergensi bersyarat.
Modul 1 DeretTakhingga - 1
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
menguji kekovergenan deret berganti tanda dengan menggunakan (memilih dengan tepat) uji deret berganti tanda, uji konvergensi mutlak, uji rasio mutlak, serta mengenal kelebihan dan kekurangan tiap uji konvergensi. Deret Pangkat
3
AipSaripudin
memahami pengertian deret pangkat sebagai deret, menentukan jari-jari konvergensi suatu deret pangkat dan interval konvergensinya. memahami fungsi yang dibangkitkan oleh sebuah deret pangkat dengan domain sama dengan interval konvergensinya.
Deret Takhingga Operasi Deret Pangkat
Mahasiswa diharapkan mampu: memahami representasi/penyajian berbagai fungsi dalam bentuk deret dan batasan domain penyajiannya. menentukan representasi/penyajian fungsi dalam bentuk deret dengan menggunakan teknik membangun deret pangkat yang baru berdasarkan yang telah ada, dengan operasi turunan, integral, operasi aljabar, subsitusi dan lainnya.
Deret Taylor dan Maclaurin
menentukan penyajian fungsi dalam bentuk deret pangkat deret Taylor dan deret Maclaurin. menghargai pentingnya deret Taylor untuk menghampiri nilai fungsi serta manfaatnya dalam perhitungan matematika yang digunakan dalam berbagai bidang. mengenal beberapa deret Maclaurin yang penting.
Modul 1 DeretTakhingga - 2
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
1.1 BarisanTakhingga Barisan adalah susunan bilangan-bilangan riil secara berurutan. Perhatikancontohberikut. (a) 2, 4, 8, 16, … (b)
1 2
, 14 , 18 , 161 ,...
(c) 1, 4, 7, 10, 13, … Secaraumum, barisandapatditulis
{an }n 1
a1 , a2 , a3 ,...
dengan an memenuhi persamaan tertentu. Pada contoh di atas, masing-masing dapat ditulis dalam rumus sebagai berikut. (a) an
2n
{an }n 1
2,4,8,16,...
(b) an
( 12 ) n
{an }n 1
1 2
(c) an
3n 2
{an }n 1 1,4,7,10,13
, 14 , 18 , 161 ,...
Konvergensi Barisan Barisan {an} dikatakan konvergen menuju L (bilangan berhingga) jika memenuhi
lim{an } L n
Jika syarat di atas tidak dipenuhi, barisan dikatakan divergen.
Sifat-sifat Limit Barisan Misalnya {an} dan {bn} adalah barisan konvergen dan k adalah konstanta. (1) lim k n
k
(2) lim kan n
(3) lim(an n
k lim an n
bn ) lim an lim bn n
(4) lim(an bn ) n
(5) lim n
an bn
CONTOH 1
n
lim an lim bn n
n
lim an n
lim bn n
Cari lim n
n2 . 4n 2 5
Penyelesaian
AipSaripudin
Modul 1 DeretTakhingga - 3
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat terbesar dari n (dalam hal ini, n 2) maka diperoleh
lim n
CONTOH 2
n2 4n 2 5
lim n
1 4 5 / n2
1
1 . 4
4 0
Diketahui sebuah barisan sebagai berikut. 1 2
, 23 , 34 , 54 ,...
(a) Nyatakan barisan tersebut dalam rumus eksplisit. (b) Apakah barisan di atas konvergen? Penyelesaian (a) Pada barisan di atas, penyebut selalu lebih besar 1 daripada pembilang. Jika pembilang diberi simbol n, penyebut menjadi n + 1. Dengan demikian, rumus eksplisit barisan di atas adalah
n
an
n 1
.
(b) Ujikonvergensi
lim an n
Karena lim an
n
n n 1
lim n
1 1 1/ n
1
1
1 0
1 (bilangan berhingga), maka {an} konvergen menuju 1.
n
CONTOH 3
lim
Apakah {a n } dengan an
e 2n konvergen? n 2 3n 1
Penyelesaian Untuk menguji konvergensi barisan di atas, cari limit anuntuk n . Jika kita masukkan n = pada soal ini, akan diperoleh bentuk taktentu / . Kita gunakandalilL’Hopital:
lim an n
Karena lim an
lim n
e 2n 2e 2 n lim n 2 3n 1 n 2n 3
lim n
4e 2 n 2
(takhingga), maka {an} divergen menuju .
n
LATIHAN 1.1 Untuk Soal 1 – 5, tuliskan lima suku pertama barisan berikut. Tentukanapakahbarisantersebutkonvergenat audivergen. 1.
an
n 1 3n 2
2.
an
3n 2 2 2n 1
3.
an
AipSaripudin
( 1)
n
4.
an
5.
an
ln n n e n sin n
UntukSoal 6 – 10, carirumuseksplisitanuntuksetiapbarisanberik ut.Tentukanapakahbarisantersebutkonvergen ataudivergen.
n
6.
1 2 3 4 , , , ,... 2 2 23 2 4 25
n 2
Modul 1 DeretTakhingga - 4
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
7. 8.
1, 1 4
1 1
1 2
,
1 2 3
1
,
1 1
3 4
,...
1, 12 , 16 , 121 ,...
9.
1 , 161 , 811 , 256 ,...
10.
1 3
, 94 ,
9 16 27 81
, ,...
1.2 Deret Takhingga: Deret Khusus dan Konvergensinya Secara umum, deret takhingga ditulis sebagai berikut.
an
a1 a2
a3 ...
n 1
KonvergensiDeret a n dikatakankonvergendanmemilikijumlahSjikabarisanjumlahparsialke-n{Sn}
Derettakhingga n 1
konvergenmenujuS. Jika {Sn} divergen, derettersebutdivergen. Deret divergen tidak memiliki jumlah.
CONTOH 1
Tentukan konvergensi jumlah deret berikut. 4 3
4 9
4 27
4 81
...
Penyelesaian Jumlahparsialke-nderettersebutadalah
S1
4 3
S2
4 3
4 9
16 9
S3
4 3
4 9
4 27
52 27
4 3
4 9
4 27
...
Sn
4 3n
2
2 3n
Maka
lim S n n
Dengan demikian, jumlah deret
AipSaripudin
4 3
4 9
4 27
lim 2 n
4 81
2 3n
2
... konvergen menuju 2.
Modul 1 DeretTakhingga - 5
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Deret Geometri Deret geometri memiliki bentuk
ar n 1
a ar ar 2
ar 3 ...
n 1
an 1 . an
dengana 0, r
Deretgeometrikonvergenuntuk -1 1. Untukderetgeometrikonvergen, jumlahnyamemenuhi
S
a
lim S n
1 r
n
n
ar k
dengan S n
1
a ar ar 2
ar 3 ... ar n 1
k 1
CONTOH 2
Tentukanjumlahderetberikut. 1 2
1 4
1 8
1 16
...
Penyelesaian 1 4
Rasio deret r
1 2
1 2
1 2
dan a
maka jumlahnya adalah
S
1 2
a 1 r
1
1 2
1
Deret Harmonik Deret harmonik memiliki bentuk sebagai berikut.
1 1 1 2 n 1 n
1 3
1 ... 4
Deret harmonik merupakan deret divergen. Buktinya sebagai berikut.
Sn
1
1 2
1 3
1
1 2
1
1 2
2 4
4 8 1 ... 8 16 n
1
1 2
1 2
1 2
1 3
1 4 1 4
Jelas bahwa lim S n
1 1 ... 5 n 1 5
1 6
1 7
1 8
1 1 ... 9 16
...
1 n
1 1 ... 2 n sehingga deret harmonik divergen menuju takhingga.
n
AipSaripudin
Modul 1 DeretTakhingga - 6
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Deret-p Deret-pmemilikibentuksebagaiberikut.
n 1
1 np
1
1 2p
1 3p
1 4p
...
dengan p konstanta. Deret-p konvergen jika p > 1 dan divergen jika p 1 {Bukti konvergensi ini ditunda dulu hingga Anda selesai mempelajari beberapa metode uji konvergensi).
UjiSukuke-n untukKonvergensi: UjiPendahuluan Jika lim an n
0 atau tidak ada, deret tersebut divergen. Jika lim an n
a n perlu diuji
0 , deret n 1
lagi dengan metode lain apakah ia konvergen atau divergen.
CONTOH 4
Tunjukkan bahwa n 1
n2 divergen. 2n 2 n
Penyelesaian
lim an n
lim n
n2 2n 2 n
1
lim n
2
1 1 n
1 . 2
2 0
Dengan demikian, sesuai dengan uji suku ke-n, deret tersebut divergen.
LATIHAN 1.2 Untuk Soal 1 – 6, tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen. Jika konvergen, cari jumlahnya. Petunjuk: untuk memudahkan, tulis beberapa suku awal deret tersebut. 1 n 5
1.
Untuk Soal 7 – 10, gunakan uji pendahuluan (uji suku ke-n) untuk menyatakan bahwa deret tersebut divergen atau perlu uji lanjutan. Ingat, uji pendahuluan tidak dapat digunakan untuk menyimpulkan bahwa deret konvergen.
n 1
7.
k 1
2 k
k 1
2 k (k 2)
k 1
k 5 k 2
2.
3.
5.
6. k 1
1 2
8.
1 4
AipSaripudin
n 1
9.
10. k 2
4 5
9 10
16 17
25 26
36 37
...
n 3 n 2 10n
n! n 1 ( n 1)! ( 1) n n 2 ( n 1) 2
Modul 1 DeretTakhingga - 7
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
1.3 UjiKonvergensiDeretPositif 1.3.1 Uji Integral Misalnyafmerupakanfungsikontinu, positif, dantidaknaikpada interval [1, ) dananggap an f (n) untuksemuabilanganpositifn. Derettakhingga
a n konvergen jika dan hanya jika integral improper f (n)dn konvergen. n 1
CONTOH 6
1
1
Gunakan uji integral untuk menentukan apakah n 1
n 1
konvergen atau divergen.
Penyelesaian t
lim t
1
Dengandemikian, n 1
CONTOH 7
1 n 1
t
dn
lim ln( n 1) 1
lim ln( t 1) ln 2
t
t
1 divergen. n 1
Tunjukanbahwaderet-p(a)konvergenjika p > 1 dan (b) divergenjika p
1.
Penyelesaian Sepertitelahdituliskanpadasubbab 1.2, deret-pberbentuk
n 1
1 np
1
1 2p
(a) Untuk p> 1, 1
t
1 dn np
Selanjutnya, lim t 1
p
t
n dn 1
1
1 dn np
1
n 1 dn
t 1
1 dn np
t
ln n 1
ln t
1
n 1
Untuk 0 1. np
t
maka
t
...
t1 p 1 1 p
n 1
Selanjutnya, lim ln t
AipSaripudin
t
0 . Dengan demikian t
(b) Untuk p = 1:
n1 p 1 p
p
1 4p
1 kontinu, positif, dan tidak naik pada [1, ). np
dengan p konstanta. Untuk p > 0, fungsi f (n) t
1 3p
1 divergen. np
t
n p dn 1
n1 p 1 p
t
1
t1 p 1 1 p
Modul 1 DeretTakhingga - 8
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Karena 0 0. Selanjutnya, lim t 1
p
lim t u
t
maka
t
n 1
1 np
divergen. p< 0 maka –p = u> 0 sehingga an
Untuk p < 0,:
pendahuluan (uji suku ke-n): lim nu
maka
n
n 1
1 np
n
p
n u . Dengan uji
1 divergen. np
Dari ketiga kondisi di atas diperoleh simpulan bahwa n 1
1 divergen untuk p 1. np
1.3.2 UjiPerbandingan Misalnya (1)
dan
. Untuk n
bn konvergen maka
dan
(2)
N,
bn divergen maka
dan
an konvergen.
an divergen.
Untuk uji perbandingan, kita dapat melakukan perbandingan suatu deret dengan deret yang konvergensi atau divergensinya sudah kita ketahui. Dalam hal ini, telah diketahui konvergensi atau divergensi beberapa deret sebagai berikut. (1) DeretGeometri
ar n konvergenjika –1 1. n 1
(2) Deret-p
n 1
1 konvergen jika p > 1 dan divergen jika p 1. np
(3) DeretHarmonik
1 divergen. n 1 n
CONTOH 1
n
Apakah n 1
3n
2
1
konvergen atau divergen?
Penyelesaian Untuk n besar, suku ke-n deret tersebut menyerupai dengan
dan bandingkan
sebagai berikut
n 3n
AipSaripudin
1 . Kita coba pilih 3n
2
1
n 3n 2
1 1 3 n
an
bn
Modul 1 DeretTakhingga - 9
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Karena
bn
dan n 1
n
1 n divergen (sepertiga kali deret harmonik) maka 2 1 n 1 3n 1 3n
divergen.
CONTOH 2
Tentukan konvergensi
3n 1 . 3 2 n 1 3n
Penyelesaian Untuk n besar, suku ke-nderet di atas menyerupai
3n 1 3n 3 2 Karena
n 1
1 n2
. Selanjutnya,
an
bn
1 3n 1 konvergen (deret-p dengan p = 2 > 1) maka 2 3 2 n n 1 3n
bn
dan
1 . Pilih n2
n 1
konvergen.
1.3.3 UjiLimit Perbandingan Misalnya an
0 , bn
CONTOH 3
an bn
a n dan
bn sama-sama konvergen atau sama-sama divergen.
n
(1) 0 < L< (2) L = 0 dan
0 , dan lim
L.
bn divergen
a n konvergen.
Tentukan apakah 1
n
2
n konvergen atau divergen. 2n 3
Penyelesaian Untuk n besar, suku ke-n deret tersebut menyerupai 1/n. Oleh karena itu, pilih
bn
1 maka n lim n
bn
Karena 1
AipSaripudin
1
an bn
lim n
n2
n 2n 3
1 n
1 divergen (deret harmonik), maka n
lim n
1
n2
n
2
n2 1 2n 3
n divergen. 2n 3
Modul 1 DeretTakhingga - 10
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
CONTOH 4
2n 1 konvergen atau divergen. n 3 2n 2 5
Tentukan apakah 1
Penyelesaian
1 maka n2
Untuk n besar, suku ke-n deret tersebut mirip 1/n2. Oleh karena itu, pilih bn
lim n
bn
Karena 1
1
CONTOH 5
an bn
2n 1 3 n 2n 2 5
lim n
1 n2
lim n
2n 3 n 2 1 n 3 2n 2 5
1 konvergen (deret-p dengan p = 2 > 1), maka n2
Tentukan konvergensi
2n 1 konvergen. n 2n 2 5 3
1
ln n . n 1 n
Penyelesaian Mirip bentuk rumus eksplisit suku ke-n seperti apakah membandingkannya dengan
1 . Karena itu, pilih bn n lim n
an bn
lim n
ln n n
ln n ? Kita coba dengan n 1 maka n
1 n
lim ln n n
Ternyata uji di atas gagal karena tidak sesuai dengan syarat uji limitperbandingan. Kita cobalagidenganmemilih b
lim n
an bn
lim n
1 n
maka
ln n n
1 n
lim
ln n
n
lim n
n
1/ n 1/ 2 n
lim n
2 n
0
{Limit di atas diperoleh dengan dalil L’Hopital}
1 divergen (deret-p dengan p = ½ < 1) maka, sesuai syarat uji 1/ 2 n n1n n 1 ln n limitperbandingan, konvergen. n 1 n Karena
1
1.3.4 UjiRasio Misalnya
a n merupakanderetsuku-sukupositifdan lim n
an 1 an
.
(1) Jika < 1, derettersebutkonvergen. (2) Jika > 1 atau = , derettersebutdivergen. (3) Jika
AipSaripudin
= 1, gunakan uji konvergensi lain.
Modul 1 DeretTakhingga - 11
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
CONTOH 8
Uji konvergensi deret berikut.
1
1 1 1 1 ... ... 2! 3! 4! n!
Penyelesaian
1 dan suku ke-(n+1): an 1 n!
Deret tersebut memiliki suku ke-n: an
lim n
an 1 an
lim n
1
1 (n 1)! n!
lim n
1 (n 1)!
n! 1 lim n (n 1)! n 1
maka
0.
Karena < 1 maka deret tersebut konvergen. Catatan:
n! (n 1)! CONTOH 9
n(n 1)(n 2)3 2 1 (n 1)(n)(n 1)(n 2)3 2 1
1 n 1
.
Uji konvergensi deret berikut.
n 1
2n . n2
Penyelesaian Suku ke-n dan ke-(n+1) deret tersebut masing-masing a n
2n dan a n n2
2n 1 maka, dengan (n 1) 2
uji rasio,
lim n
an 1 an
lim n
2n 1 (n 1) 2
2n n2
lim n
2n 2 (n 1) 2
lim n
2 (1
1 2 n
)
2 (1 0) 2
2.
= 2 > 1 maka deret tersebut divergen.
LATIHAN 1.3 Untuk Soal 1 – 4, gunakan uji perbandingan atau perbandingan limit untuk menentukan konvergensi deret.
n 1
2n 2 1 n3
1
1. n 1
2.
4.
n n 1
ln n 2 n 1 n
Gunakan uji integral untuk menentukan konvergensi deret pada Soal 5 – 8 berikut. 5. n 1
3. n 1
1 2n
n2
6. n 1
AipSaripudin
1 n ln n n3 1
Modul 1 DeretTakhingga - 12
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
7.
n n 1 (n
2
2
n e
8.
13.
1)
1 2 2
15. n 1
n 1 n2 1
n 1
nn (2n)!
16.
4n n!
n 1
e n2
n 1
18.
2n
11. n
3 3n 0 2
12. n 1
4 52
...
1 3 3
1 4 4
...
ln n
17.
n
10.
3 42
14. 1
Gunakan uji rasio untuk menentukan konvergensi deret pada Soal 8 – 12 berikut.
n 1
2 32
n3
n 1
9.
1 22
2
n
n n 1 3
n 1
n2 1 3n
n 1
3n 1 n3 4
19.
en n!
n
20. Tentukan konvergensi deret pada Soal 13 – 20 berikut. Tuliskanuji yang digunakan.
1.4 Deret Berganti Tanda; Konvergensi Mutlak dan Konvergensi Bersyarat Deret berganti tanda memiliki bentuk umum sebagai berikut.
( 1) n 1 an
a1 a2
a3 a4 ...
n 1
dengan an
an 1
0.
Uji Deret Berganti Tanda: Jika lim an n
CONTOH 1
0 , deret tersebut konvergen.
( 1) n
Tunjukkan bahwa n 1
1
1 konvergen. n
Penyelesaian
lim n
1 n
0
Jelas bahwa deret tersebut konvergen.
AipSaripudin
Modul 1 DeretTakhingga - 13
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
KonvergensiMutlak | an | konvergen,
Jika
a n konvergen. Uji konvergensi mutlak (uji rasio mutlak) sebagai
berikut. Misalnya
lim n
| an 1 | | an |
(1) Jika < 1, deret tersebut konvergen mutlak. (2) Jika > 1 atau = , derettersebutdivergen. (3) Jika
= 1, gunakan uji konvergensi lain.
CONTOH 2
( 1) n
Tentukankonvergensi
1
n 1
2n . n2
Penyelesaian
lim n
an 1 an
lim n
2n 1 (n 1) 2
2n n2
lim n
2n 2 (n 1) 2
lim n
2 1 2 n
(1
)
2 (1 0) 2
2
> 1 maka, sesuai uji konvergensi mutlak, deret tersebut divergen.
Konvergensi Bersyarat Deret
a n disebut konvergen bersyarat jika
CONTOH 3
( 1) n
Tunjukkan bahwa
1
n 1
a n konvergen tetapi
| an | divergen.
1 konvergen bersyarat. n
Penyelesaian Pada CONTOH 1 telah dibuktikan bahwa deret tersebut konvergen. Akan tetapi,
n 1
1 divergen (deret harmonik). Jadi, jelas bahwa n
( 1) n n 1
1
1 konvergen bersyarat n
LATIHAN 1.4 Tunjukkan bahwa deret pada Soal 1 – 4 berikut konvergen mutlak.
3.
( 1) n
1
( 1) n
1
n 1
( 1)
1.
n
n 1
1 n n 1
4. n 1
2n n! n2 en
3 n 4
2. n 1
AipSaripudin
Modul 1 DeretTakhingga - 14
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
–
TentukanapakahderetpadaSoal 6 berikutkonvergenmutlak, konvergenbersyarat, ataudivergen.
( 1) n
6.
1
n 1
( 1)
7.
n 1
n 1
10
( 1) n
8.
n2 1
n 1
1 3n
9.
n 5n 1
10.
( 1) n
1
1
sin n
n 1
( 1) n
n n 1
n 1
n4 2n
1.5 DeretPangkat;HimpunanKonvergensi Deret pangkat memiliki bentuk sebagai berikut.
an x n
a0
a1 x a2 x 2
a3 x 3 ...
n 0
Konvergensi deret pangkat bergantung pada nilai x yang dipilih. Uji konvergensi yang digunakan adalah uji rasio mutlak. Himpunan konvergensi deret pangkat selalu berada dalam interval dari salah satu kemungkinan berikut. (1) Titiktunggalx = 0. (2) Interval (-R, R), ditambah salah satu atau kedua titik ujung. (3) Semuabilanganriil. Ketiga kemungkinan interval di atas disebut radius konvergensi. CONTOH 1
Tentukan x sehingga n 0
xn konvergen. n!
Penyelesaian Uji rasio mutlak,
xn 1 xn lim n (n 1)! n!
a lim n 1 n an Karena
lim
| x| 0. n 1
lim
x 2
n
= 0 < 1, deret tersebut konvergen untuk semua x.
CONTOH 2
Tentukan himpunan konvergensi n
( x) n . 2n 0
Penyelesaian Uji rasio mutlak,
lim n
AipSaripudin
an 1 an
lim n
( x) n 2n 1
1
( x) n 2n
n
| x| . 2
Modul 1 DeretTakhingga - 15
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Deret tersebut konvergen untuk < 1, yakni,
| x| 1 atau | x | 2 dan, sebaliknya, divergen pada 2
| x | 2 . Selanjutnya, cek titik-titik ujung, yakni x = –2 dan x = 2. Pada x = –2
(2) n 2n
an
1 dan lim an
1
n
1 divergen.
sehingga sesuai dengan uji pendahuluan (uji suku ke-n), n 0
Pada x = 2
( 2) n 2n
an
( 1) n dan lim an tidak ada n
( 1) n divergen.
sehingga sesuai denganteorema uji deret berganti tanda, n 0
Dengan demikian, deret di atas konvergen pada interval: –2