BAB I HIMPUNAN 1.1 PENGERTIAN Definisi : Himpunan adalah ...

BAB I HIMPUNAN

1.1 PENGERTIAN Definisi : Himpunan adalah kumpulan benda atau hal – hal lain yang telah terdefinisi secara jelas. Benda atau hal­hal lain tersebut disebut elemen atau unsure atau anggota himpunan. Himpunan biasanya diberi symbol huruf capital dan anggota himpunan dibatasi dengan tanda kurung kurawal. { … } Contoh : 1. A = {b, c, d} artinya bahwa himpunan A mempunyai anggota b, c dan d atau dengan kata lain dapat dikatakan b, c dan d merupakan anggota himpunan A. Untuk menyatakan bahwa suatu benda atau object menjadi anggota suatu himpunan digunakan lambang � dan untuk menyatakan bahwa suatu objek bukan merupakan anggota himpunan digunakan symbol �. 2. A = {b,c,d} dan B = {e,f} maka b � A dan b � B c � A dan c � B d � A dan d � B 1.2 PENULISAN HIMPUNAN Penulisan himpunan yang biasa dipergunakan ada dua bentuk yaitu; A. Bentuk Enumerasi yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan semua anggota himpunan dianta dua kurung kurawal Contoh : 1. A = { a, b, c, d, e } menyatakan himpunan 5 hurup pertama. 2. B = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 } menyatakan himpunan 6 bilangan ganjil. 3. C = { 11, 13, 17, 19 }

menyatakan himpunan 4 bilangan prima.

B. Notasi Pembentuk Himpunan yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan sifat anggotanya pada suatu notasi diantara dua kurung kurawal. BAB I HIMPUNAN

1

Contoh : 1. A = { x | x = lima hurup pertama abjad }. 2. B = { x | x = enam bilangan ganjil pertama }. 3. C = { x | 10 < x < 20 , x � bilangan prima }.

C. Diagram Venn yaitu menuliskan himpuan dalam bentuk diagram dimana himpunan semestanya digambarkan dengan segi empat sedangkan himpunan­himpunan yang ada dilingkungannya digambarkan dengan lingkaran. Contoh : U

A

B

CONTOH : 1. Tuliskan

dalam

bentuk

enumerasi

himpunan­himpunan

berikut

serta

kardinalitasnya: a. A = { x | x � himp bil bulat, 2 < x < 10 } b. B = { x | x � himp bil bulat, x2 + 1 � 10 } c. C = { x | x � himp bil bulat, x bilangan ganjil, ­5 < x < 5 } JAWAB a. A terdiri dari semua bilangan bulat antara 3 dan 9, sehingga A = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } dan n ( A ) = 7 b. B memuat semua bilangan bulat yang memenuhi persamaan x2 + 1 = 10, sehingga B = { ­2, ­3, 1, 2, 3 } dan n ( B ) = 5 c. C = { ­3, ­1, 1, 3 } dan n ( C ) = 4

BAB I HIMPUNAN

2

1.3 KEANGGOTAAN HIMPUNAN Pada dasarnya himpunan dipakai untuk mengelompokan anggota yang sejenis atau memiliki sifat yang mirip saja, tapi bila dipakai untuk menyatakan himpunan dari himpunan lain atau kelompok­kelompok yang berbedapun tidak dapat disalahkan, sebagai contoh ;

A = { a, 1, b, 2, c, 3 } P = { a, b, { a, b }, c, d } S = { a, {a}, {{a}} }

1.4 KARDINALITAS HIMPUNAN Misal S adalah himpunan yang angota­angotanya berhingga banyaknya, maka jumlah banyaknya angota didalam himpunan S disebut kardinalitas dari himpunan S Notasi : n (S) atau |S|

1.5 SIMBOL­SIMBOL BAKU HIMPUNAN Dalam mempelajari himpunan ada beberapa himpunan yang memakai simbul baku yang sering dipakai oleh beberapa buku. Simbul­simbul himpunan baku ini diantaranya : P = Himpunan bilangan positip = { 1, 2, 3, 4 . . . } N = Himpunan bilangan asli = { 0, 1, 2, 3 . . . } Z = Himpunan bilangan bulat = { . . . ­2, – 1, 0, 1, 2, . . . } R = Himpunan bilangan riil

1.6 JENIS­JENIS HIMPUNAN Dalam ilmu matematika dikenal ada beberapa macam himpunan, antara lain : 1.6.1 HIMPUNAN KOSONG Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {} atau �. Contoh : A = { } atau A = �

BAB I HIMPUNAN

3

1.6.2 HIMPUNAN SEMESTA (S) Hinpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua objek­objek yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga sering disebut himpunan universum atau semesta pembicaraan. Himpunan semesta biasa diberi symbol S Contoh : Besi dan tembaga termasuk logam, jika orang menyebut besi dan tembaga berarti orang tersebut sedang membicarakan masalah logam maka dikatakan { logam } merupakan himpunan semesta dari { besi, tembaga } atau dapat ditulis S = { besi, tembaga }

1.6.3 HIMPUNAN LEPAS Yaitu dua buah himpunan yang tidak memiliki anggota yang bersekutu. Himpunan lepas diberi symbol // Contoh : Jika A = { x | x � P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

1.6.4 HIMPUNAN SAMA Definisi : himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap angota himpunan A juga merupakan angota himpunan B demikian pula sebaliknya. Notasi : A = B Contoh ; 1. P = { a, b, c, d } dan Q = { d, c, b, a} , maka P = Q 2. Perhatikan himpunan­himpunan berikut : { a }, { a, b, c }, { a, c, D }, { c, b, a }, { a, b } Manakah dari himpunan­himpunan tersebut yang sama dengan himpunan A = { b, c, a}? Jawab : Himpunan { a, b, c } dan { c, b, a } identik atau sama dengan himpunan A karena mereka mempunyai tiga buah elemen yang sama. Himpunan­himpunan yang lain

BAB I HIMPUNAN

4

tidak sama dengan himpunan A karena mereka tidak mengandung semua elemen dari himpunan A atau mengandung elemen lain.

3. Perhatikan himpunan­himpunan { 4, 2 }, { x | x2x­ 6x + 8 = 0 } , { x | x adalah genap, 1 < x < 5 } Manakah dari himpunan­himpunan tersebut yang sama dengan

B = { 2, 4 } ?

Jawab : Semua himpunan di atas sama dengan himpunan B karena mereka semua memuat elemen 2 dan 4 (tidak elemen lainnya).

1.6.5 HIMPUNAN BERPOTONGAN Dua himpunan dikatakan saling berpotongan jika terdapat minimal 1 anggota yang menjadi anggota kedua himpunan tersebut.

1.6.6 HIMPUNAN BAGIAN DefInisi : Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B Notasi : A � B A � B; A himpunan bagian dari B bila tiap anggota himpunan A adalah elemen B. Contoh: A = { 2, 3, 4} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} , maka A � B Catatan : Banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan misalkan A, adalah 2 n(A). Dimana n(A) adalah bilangan kardinal yang menunjukkan jumlah elemen dari himpunan A.

1.6.7 HIMPUNAN EKUIVALEN Definisi : himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A ~ B

BAB I HIMPUNAN

5

Contoh ; X = { p, q, r, s } dan Y = { 2, 3, 5, 7 } , maka X ~ Y

1.6.8 HIMPUNAN KUASA Himpunan kuasa (Power Set) adalah himpunan seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan. Contoh : S = { 0, 1 } maka himpunan kuasanya Ρ(S) = { Ø, {0}, {1}, {0, 1} }

1.6.9 HIMPUNAN TERHINGGA Definisi : Himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotannya terhingga. Contoh: P = { x | x adalah bilangan asli yang kurang dari 10 } P adalah himpunan terhingga, karena elemen­elemennya terhingga yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

1.6.10 HIMPUNAN TAK HINGGA Definisi : Himpunan tak hingga adalah himpunan yang banyak anggotanya tidak terhingga atau tidak terbatas. Contoh: A = { x | x adalah bilangan asli } A adalah himpunan tak hingga, karena elemen­elemennya tidak terbatas atau tak berhingga.

BAB I HIMPUNAN

6

1.7 OPERASI HIMPUNAN 1.7.1 UNION (GABUNGAN) Definisi : Union himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari semua angota yang termasuk dalam himpunan A atau atau himpunan B atau keduanya. Notasi : A

B dibaca A union B

A Contoh 1. A = { a, b, c, d } dan B = { e, f, g } Maka A � B = { a, b, c, d, e, f, g } Union A dan B dapat didefinisikan secara ringkas sebagai berikut A � B = { x | x � A atau x � B } Berlaku hukum A � B = B � A A dan B kedua­duanya juga selalu berupa subhimpunan dari A � B, yaitu ; A � (A � B) dan B � (A � B)

2.. Terdapat himpunan : U = {1, 2, 3, …, 9} A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 6, 8} ; C = {3, 4, 5, 6} Tentukan :

BAB I HIMPUNAN

a. A � B

c. B � C

b. A � C

d. B � B

7

Jawab : a. Untuk menentukan A dan B, kita gabung semua elemen­elemen dari A bersama­ sama dengan elemen­elemen B. Dengan demikian,   

 

A � B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} 

b. Begitu pula dengan A � C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  c. B � C = {2, 4, 6, 8, 3, 5}  d. B � B = B = {2, 4, 6, 8}    1.7.2 INTERSECTION (IRISAN) Definisi   :   Irisan  himpunan  A  dan  himpunan  B  adalah  himpunan  dari  angota­ angotanya  dimiliki  bersama  oleh  A  dan  B,  yaitu  angota­angota  yang  termasuk A dan juga termasuk B.   Notasi : A

B   yang dibaca ”A irisan B” 

   

S    

 

A 

B 

Contoh : 1. S = { a, b, c, d } dan T = { b, d, f, g }  Maka S � T = { b, d }  Dapat dinyatakan dengan A � B = {x | x � A dan x � B}  Setiap  himpunan  A  dan  himpunan  B  mengandung  A  �  B  sebagai  subhimpunan,  yaitu  (A � B) �  A dan (A � B) �  B    Jika  himpunan  A  dan  himpunan  B  tidak  mempunyai  elemen­elemen  yang  dimiliki  bersama,  berarti  A  dan  B  terpisah,  maka  irisan  dari  keduanya  adalah  himpunan  kosong.  BAB I HIMPUNAN

8

2. Terdapat himpunan sebagai berikut  A = {0, 1, 3, 4, 6} ;  B = {0, 3, 6} ; C = {5, 6}  Tentukan :  a. A � B 

 

b.  A � C 

c.  B � C 

JAWAB  a. A � B = { 0, 3, 6 }  b. A � C = { 6 }  c. B � C = { 6 }    1.7.3 DIFFERENCE (SELISIH) Definisi :  Selisih  dari  himpunan  A  dan  himpunan  B  adalah  himpunan  dari  elemen­ elemen yang termasuk A tetapi tidak termasuk B.  Notasi : A – B  dibaca ”selisih A dan B” atau ”A kurang B”  dapat dinyatakan dengan A – B = { x � x � A dan x � B}  Himpunan A mengandung A – B sebagai subhimpunan, berarti  (A – B) � A  Contoh : 1. Terdapat himpunan sebagai berikut      A = { 0, 1, 3, 4, 6 } ;    B = { 0, 3, 6 } ;    C = { 5, 6 }  Tentukan :  a. A – B 

b. A – C 

c. B ­ C 

  JAWAB     a. A ­ B = { 1, 4 }     b. A ­ C = { 0, 1, 3, 4, }     c. B ­ C = { 0, 3 }   

BAB I HIMPUNAN

9

1.7.4 COMPLEMENT (KOMPLEMEN) Definisi : Komplemen dari himpunan A adalah himpunan dari elemen­elemen yang tidak  termasuk A, yaitu selisih dari himpunan semesta U dan A.   Notasi : A’ = { x � x � U dan x � A} atau A’ = {x � x � A}      A

         

1.7.5 SYMETRIC DIFFERENCE (BEDA SETANGKUP) Definisi  :  Beda  setangkup  dari  himpunana  A  dan  B    adalah  suatu  himpunan  yang  elemennya ada pada himpunan A atau B tapi tidak dikeduanya.  Notasi : A  �  B  dibaca ” Beda setangkup  A dan B  dapat dinyatakan pula dengan :  A  �  B  = ( A  �  B ) – ( A  �  B )       

S          ­­­­­­­     ­­­­­­­  A  B        ­­­­­­­­        ­­­­­­­ 

 

         ­­­­­        ­­­­­­ 

 

1.7.6 CARTESIAN PRODUCT (PERKALIAN CARTESIAN) Definisi   :   Perkalian  kartesian  dari  himpunan  A  dengan  himpunan  B  adalah  himpunan  yang  agota­angotanya  semua  pasangan  berurutan  (  ordered  pair  )  yang  mungkin  dibentuka  dengan  unsur  pertama  dari  himpunan  A  dan unsur kedua deari himpunan B.  Notasi : A x B = { ( a, b) | a  �  A dan b  �  B . 

BAB I HIMPUNAN

10

Contoh :  A = { 1, 2, 3 } dan B = { a, b } , maka   A x B = { (1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b) } 

Latihan Soal­soal 1. Tulislah dalam bentuk enumerasi himpunan berikut, lalu berapa nilai kardinalitasnya.  a. P = { x | x adalah bilangan ganjil, ­ 4 ≤ x