PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I. 1.1 Pengertian PD, Orde (tingkat),
& Derajat (Pangkat). ❖ Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang ...
Fendi Alfi Fauzi
BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I 1.1 Pengertian PD, Orde (tingkat), & Derajat (Pangkat) Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatifderivatif (turunan) sekurang-kurangnya 1 derivatif dari fungsi yang tidak diketahui Orde atau tingkat dari suatu PD ditentukan oleh tingkat derivatif yang tertinggi yang terdapat pada persamaan tersebut Derajat/pangkat dari suatu PD adalah pangkat dari derivatif yang mempunyai tingkat tertinggi dari persamaan tertentu Contoh : 𝑑 2𝑦 𝑑𝑥 2
3
+
𝑑𝑦 2 𝑑𝑥
+ 2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛3 𝑥
PD orde 2 derajat 3 1.2 Membentuk PD Eliminasikan hubungan 𝑐1 & 𝑐2 dari persamaan berikut : 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑒 3𝑥 … … 1 𝑦 𝐼 = −2𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 3𝑐2 𝑒 3𝑥 … … 2 𝑦 𝐼𝐼 = 4𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 9𝑐2 𝑒 3𝑥 … … 3 Persamaan 2 & 3 eliminasikan 𝑦 𝐼 = −2𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 3𝑐2 𝑒 3𝑥
x2 2𝑦 𝐼 = −4𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 6𝑐2 𝑒 3𝑥
𝑦 𝐼𝐼 = 4𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 9𝑐2 𝑒 3𝑥
x1 𝑦 𝐼𝐼 = 4𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 9𝑐2 𝑒 3𝑥 2𝑦 𝐼 +𝑦 𝐼𝐼 = 15𝑐2 𝑒 3𝑥
………….(4)
Persamaan 1 & 3 eliminasikan 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑒 3𝑥
x4
4𝑦 = 4𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 4𝑐2 𝑒 3𝑥
𝑦 𝐼𝐼 = 4𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 9𝑐2 𝑒 3𝑥
x1
𝑦 𝐼𝐼 = 4𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 9𝑐2 𝑒 3𝑥 4𝑦 − 𝑦 𝐼𝐼 = −5𝑐2 𝑒 3𝑥 ………..(5)
Persamaan 4 & 5 eliminasikan 2𝑦 𝐼 +𝑦 𝐼𝐼 = 15𝑐2 𝑒 3𝑥
x1
4𝑦 − 𝑦 𝐼𝐼 = −5𝑐2 𝑒 3𝑥 x2
2𝑦 𝐼 +𝑦 𝐼𝐼 = 15𝑐2 𝑒 3𝑥 12𝑦 − 3𝑦 𝐼𝐼 = −5𝑐2 𝑒 3𝑥 2𝑦 𝐼 + 𝑦 𝐼𝐼 + 12𝑦 − 3𝑦 𝐼𝐼 = 0
Fendi Alfi Fauzi
−2𝑦 𝐼𝐼 + 2𝑦 𝐼 + 12𝑦 = 0 𝑦 𝐼𝐼 − 𝑦 𝐼 + 6𝑦 = 0 𝑑 2𝑦 𝑑𝑥 2
𝑑𝑦
+
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 0
Persamaan Diferensial Orde 2 derajat 1
1.3 Persamaan Diferensial Variabel Terpisah Bentuk umum F(x) dx + g(x) dy = 0 Solusi Umum : F(x) dx + g(x) dy = C
1.4 Persamaan Diferensial Reduksi ke Variabel Terpisah Bentuk umum F1(x) g1(y) dx + F2(x) g2(y) dy = 0 Solusi Umum : Dikali dengan faktor integralnya : Faktor integral adalah faktor pengali yang ingin kita cari yang ingin kita kalikan ke persamaan umum agar persamaan itu bias kita sendirikan. 1 F 2 (x) g 1 (y) 𝐹1 (𝑥) 𝐹2 (𝑥)
[𝐹1 (𝑥) 𝑔1 (𝑦) 𝑑𝑥 + 𝐹2 (𝑥) 𝑔2 (𝑦) 𝑑𝑥 = 0]
𝑑𝑥 +
𝐹1 (𝑥) 𝐹2 (𝑥)
𝑔2 (𝑥)
dy = 0
𝑔1 (𝑥)
𝑔1 (𝑥)
𝑑𝑥 +
𝑔2 𝑥
𝑑𝑦 = 𝐶
Contoh soal ! 1. Selesaikan PD x5 dx + (y+2)2 dy = 0 Jawab : 𝑥 5 𝑑𝑥 + (𝑦 + 2)2 𝑑𝑦 = 𝑘 1
1
𝑥6 + 3 𝑦 + 2 6
3
𝑥6 + 2 𝑦 + 2
= 6𝑘
3
=𝑘
𝑥6 + 2 𝑦 + 2
3
= 𝐶 dimana C = 6k
Fendi Alfi Fauzi
𝑑𝑦
2. Selesaikan PD 9y 𝑑𝑥 + 4𝑥 = 0 Jawab : Faktor integralnya = dx dx (9y
𝑑𝑦
+ 4𝑥 ) = 0
𝑑𝑥
9y dy +4x dx = 0 9y dy + 4x dx = k 9 2
𝑦 2 + 2𝑥 2 = 𝑘
9𝑦 2 + 4𝑥 2 = 2𝑘 9𝑦 2 + 4𝑥 2 = 𝐶 dengan C = 2𝑘
1.5 Persamaan Diferensial Homogen Fungsi Homogen Suatu fungsi F(x,y) dikatakan homogen berderajat n jika: F(λ x, λ y)= λ𝑛 f(x,y) Contoh fungsi homogen: F(x,y)
= 2x2+2y2
F(λ x, λ y) = 2(λx)2 + 2(λy)2 = 2λ2 𝑥 2 +2λ2 𝑦 2 = λ2 (2x2+2y2) F(λ x, λ y) = λ2 𝐹(𝑥, 𝑦) F(λ x, λ y) = λ2 𝐹(𝑥, 𝑦) fungsi homogen berderajat 2 Bentuk umum M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0 Syaratnya M(x,y) dan N(x,y) adalah homogen dan berderajat sama Langkah-langkah untuk menentukan solusi umum yaitu : 1.
Gunakan transformasi y = ux dan dy = x du + u dx adau x = uy dan dx = y du + u dy
2. PD homogen tereduksi ke PD variable terpisah 3. Gunakan aturan pada PD variabel terpisah 𝑦
4. Gantilah u= 𝑥 jika menggunakan transformasi y = ux
Fendi Alfi Fauzi
𝑥
Gantilah u = 𝑦 jika menggunakan transformasi x = uy untuk mendapatkan solusi semula 5. Solusi umum PD homogen diperoleh Contoh : (x+2y)dx + (2x + 3y) dy = 0 Jawab : M(λ x, λ y) = (λ x + 2 λ y) = λ (x + 2y) = λ M(x,y)
=> fungsi homogen berderajat Satu
M(λ x, λ y) = 2 λx + 3 λy = λ (2x +3y) = λ M(x,y) => fungsi homogen berderajat Satu (x+2y) dx + (2x+3y)dy = 0 y = ux dan dy = x du + u dx (x + 2(ux)) dx + (2x + 3(ux)) (x du + u dx) = 0 (x + 2ux) dx + 2x2du + 2 xu dx + 3ux2 du + 3u2x dx = 0 (x + 4ux+ 3u2x) dx + (2x2 + 3ux2) du = 0 x(1+4u+3u2) dx+ x2(2 + 3u) du = 0 faktor integralnya = 1 1+4𝑢+3𝑢 2 𝑥 2 1 𝑥
1 𝑥
[x(1+4u+3u2) dx+ x2(2 + 3u) du = 0]
2+3𝑢
𝑑𝑥 +
1 1+4𝑢+3𝑢 2 𝑥 2
1+4𝑢+3𝑢 2
𝑑𝑢 = 0
2+3𝑢
𝑑𝑥 +
1+4𝑢+3𝑢 2
𝑑𝑢 = 𝑘
Misal w = 1 + 4𝑢 + 3𝑢2 dw = 4 + 6u du 1 2
ln 𝑥 +
1
1
2
𝑤
dw = 2 + 3u du
𝑑𝑤 = 𝑘
1
ln 𝑥 + 2 ln 𝑤 = 𝑘 ln 𝑥 +
1 2
ln 1 + 4𝑢 + 3𝑢2 = 𝑘
2 ln 𝑥 + ln 1 + 4𝑢 + 3𝑢2 = 2𝑘
Fendi Alfi Fauzi
𝑦2
𝑦
ln 𝑥 2 + ln 1 + 4 𝑥 + 3 𝑥 2 = 2𝑘 𝑦2
𝑦
ln 𝑥 2 . 1 + 4 𝑥 + 3 𝑥 2 = ln 𝑒 2𝑘 𝑦2
𝑦
𝑥 2 . 1 + 4 𝑥 + 3 𝑥 2 = 𝑒 2𝑘 𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 3𝑦 2 = 𝑒 2𝑘 𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 𝑢𝑚𝑢𝑚 𝑃𝐷 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 3𝑦 2 = 𝐶 dengan C = 𝑒 2𝑘
1.6 Persamaan Diferensial Eksak Bentuk umum M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dengan syarat sebagai berikut: 𝜕𝑀 𝜕𝑦
=
𝜕𝑁 𝜕𝑥
dengan solusi umum yaitu f(x,y) = C
Langkah-langkah untuk menentukan solusi umum yaitu : 𝜕𝑓
1.
𝜕𝑥
𝜕𝑓
= 𝑀(𝑥, 𝑦) dan 𝜕𝑥 = 𝑁(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑓
2. Integralkan
𝜕𝑥
maka f(x,y) =
𝜕𝑓
terhadap x. sehingga menjadi 𝑥
𝜕𝑥
=
𝑥
𝑀(𝑥, 𝑦) dx.
𝑀(𝑥, 𝑦) dx + 𝜑𝑦
3. Hasil integral tersebut kemudian diturunkan terhadap y yaitu : 𝜕𝑓 𝜕𝑦
=
𝑥
𝜕 𝜕𝑦
𝑀(𝑥, 𝑦) dx +
𝜕𝑓
𝑑𝜑 𝑑𝑦 𝑑𝜑
𝜕
4. Karena 𝜕𝑦 = 𝑁(𝑥, 𝑦) maka 𝑑𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 − 𝜕𝑦
𝑥
𝑀(𝑥, 𝑦) dx
5. 𝜑𝑦 yang diperoleh disubstitusikan kedalam f(x,y) dalam langkah 2 sehingga f(x,y) = C diperoleh. Contoh : Selesaikan PD berikut ! (x2 – y ) dx –x dy = 0 Jawab : M(x,y) = x2 – y 𝜕𝑀
N(x,y) = –x 𝜕𝑀
= −1
𝜕𝑦
Karena
𝜕𝑀 𝜕𝑦
∂f ∂x
=
𝜕𝑦 𝜕𝑁 𝜕𝑥
= −1
maka PD diatas adalah PD eksak ∂f
= M(x, y) dan ∂x = N(x, y)
Fendi Alfi Fauzi
Integrasikan M(x,y) terhadap x dan y tetap 𝑥
f(x,y) =
𝑥 2 − 𝑦 𝑑𝑥 + 𝜑(𝑦 )
1
= 3 𝑥 3 − 𝑥𝑦 + 𝜑(𝑦 )
𝜕𝑓
=
𝜕𝑦
𝜕
1
𝜕𝑦
3
𝑥 3 − 𝑥𝑦 +
𝑑𝜑 (𝑦 ) 𝑑𝑦
𝑑𝜑 (𝑦 )
= −𝑥 +
𝑑𝑦
𝜕𝑓
Karena 𝜕𝑦 = −𝑥 maka −𝑥 = −𝑥 + 𝑑𝜑 (𝑦 )
𝑑𝜑 (𝑦 ) 𝑑𝑦
=0
𝑑𝑦 𝑑𝜑 (𝑦 ) 𝑑𝑦
=
𝑜 𝑑𝑦
𝜑 𝑦 =k 1
Solusi f(x,y) = 3 𝑥 3 − 𝑥𝑦 + 𝑘 Jadi solusi umum PD eksak diatas adalah
1 3
𝑥 3 − 𝑥𝑦 = 𝐶 dengan C = −𝑘
f(x,y) = C 1.7 Persamaan Diferensial Non Eksak dan Non Homogen Bila persamaan M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah PD non eksak 𝜕𝑀 𝜕𝑦
≠
𝜕𝑁
maka akan dicari suatu fungsi yang dapat mengubahnya
𝜕𝑥
menjadi PD eksak. Fungsi yang akan dicari tersebut disebut faktor integral Pada umumnya faktor integral merupakan fungsi dengan peubah x dan y tetapi kadangkala mersupakan fungsi dengan peubah x saja. Misal u(x,y) adalah faktor integral dari PD tersebut, maka u M(x,y) dx + u N(x,y) dy = 0 Karena u M(x,y) dx + u N(x,y) dy = 0 adalah PD eksak, berarti 𝜕(𝑈𝑀) 𝜕𝑦
𝑈
𝜕𝑀 𝜕𝑦
=
𝜕(𝑈𝑁) 𝜕𝑥
maka ketika diturunkan akan menjadi
𝜕𝑈
+ 𝑀 𝜕𝑦 = 𝑈
𝜕𝑁 𝜕𝑥
𝜕𝑈
+ 𝑁 𝜕𝑥
Jika u hanya dalam peubah x ( u= u(x)) 𝜕𝑈 𝜕𝑦
=0
dan
𝜕𝑈 𝜕𝑥
=
𝑑𝑈 𝑑𝑥
Fendi Alfi Fauzi
𝑈
𝜕𝑀
+ 𝑀. 0 = 𝑈
𝜕𝑁
𝜕𝑀
− 𝜕𝑥 . 𝑈 = 𝑁 𝑑𝑥
𝜕𝑁
𝑑𝑈
𝜕𝑦
𝜕𝑦 𝜕𝑀 𝜕𝑦
−
𝜕𝑁 𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑦
𝜕𝑁 − 𝜕𝑥
𝑁
=
𝑑𝑥 𝜕𝑀 𝜕𝑦
ln 𝑢 =
−
𝑢 𝑑𝑢
𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑁
𝑢
𝑑𝑥
𝑁
u(x) = 𝑒
𝑑𝑢
= 𝜕𝑁 𝜕𝑥
𝜕𝑈
+ 𝑁 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥
Jika u hanya dalam peubah y ( u= u(y)) 𝜕𝑈
=0
𝜕𝑥 𝜕𝑀
𝑈
𝜕𝑦
𝜕𝑀 𝜕𝑦
−
𝜕𝑈
dan
𝜕𝑦
𝑑𝑈
𝜕𝑁
+ 𝑀 𝑑𝑦 = 𝑈
𝜕𝑥
𝜕𝑁
=
𝑑𝑈 𝑑𝑦
+ 𝑁. 0 𝑑𝑢
− 𝜕𝑥 . 𝑈 = −𝑀 𝑑𝑢
𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝑀
𝑑𝑦 =
𝑢 𝑦 = 𝑒
−
𝑑𝑢 𝑢
𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑀
𝑑𝑦
Jika u dalam peubah x dan y (u(x,y) : maka tidak ada prosedur tertentu untuk mencarinya. Hanya pada dasarnya PD sebelumnya menjadi sederhana dan mudah diselesaikan. Contoh : Selesaikan PD berikut
x2
dy ( xy x 2 1) 0 dx
Jawab :
x2
dy ( xy x 2 1) 0 dikalikan dengan dx sehingga menjadi dx
( xy x 2 1) dx x 2 dy 0 M = xy + x2 +1
N = x2
M x y
N 2x x
Fendi Alfi Fauzi
M N maka PD tersebut adalah PD non eksak dan non y x
Karena
homogen 𝜕𝑀 𝜕𝑦
𝜕𝑁
−
= 𝑥 − 2𝑥 = −𝑥
𝜕𝑥
𝑢 𝑥 = 𝑒
𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑁
𝑢 𝑥 = 𝑒
− 2 𝑑𝑥 𝑥
𝑑𝑥
𝑥
1 𝑥
= 𝑒−
𝑑𝑥
= 𝑒 − ln 𝑥 = 𝑒 𝑙𝑛 𝑥
−1
= 𝑥 −1 1
u(x) = 1
𝑥
𝑥𝑦 + 𝑥 2 + 1 𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0
𝑥
1
𝑦+𝑥+
𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦 = 0
𝑥
1
M= 𝑦 + 𝑥 + 𝑥 𝜕𝑀 𝜕𝑦
Karena
N=x 𝜕𝑁
=1 𝜕𝑀 𝜕𝑦 ∂f
𝜕𝑥
=
𝜕𝑁 𝜕𝑥
=1
maka PD diatas adalah PD eksak 1
∂f
=𝑦+𝑥+𝑥
∂x
f(x,y) =
𝑥
∂y 1
𝑦 + 𝑥 + 𝑥 𝑑𝑥 + 𝜑(𝑦) 1
= 𝑦𝑥 + 2 𝑥 2 + ln 𝑥 + 𝜑(𝑦)
𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑦
=
𝜕
1
𝑑𝜑
𝑦𝑥 + 2 𝑥 2 + ln 𝑥 + 𝑑𝑦
𝜕𝑦
𝑑𝜑
= 𝑥 + 𝑑𝑦 𝜕𝑓
𝑑𝜑
Karena 𝜕𝑦 = 𝑥 maka x = 𝑥 + 𝑑𝑦 𝑑𝜑 𝑑𝑦
=0
𝑑𝜑 𝑑𝑦
=
0 𝑑𝑦
𝜑 𝑦 = 𝑘
=x
Fendi Alfi Fauzi
Jadi, solusi umum untuk PD eksak tersebut adalah 1
f(x,y) = 𝑦𝑥 + 2 𝑥 2 + ln 𝑥 + 𝑘 1
𝑦𝑥 + 2 𝑥 2 + ln 𝑥 = 𝐶 dengan C = −𝑘 f(x,y) = C 1.8 Persamaan Diferensial Linier Orde 1 Bentuk umum
𝑑𝑦 𝑑𝑥
+ 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥)
Contoh 𝑑𝑦 𝑑𝑥
+ 3𝑥𝑦 = sin 𝑥
Untuk menyelesaikan PD linier orde 1ada tiga metode yang dapat digunakan yaitu: Metode Faktor Integral Metode Variasi Konstanta Lagrange Metode Bernouli
Metode Faktor Integral 𝑑𝑦
Bentuk PD 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥) Faktor integralnya adalah 𝑒
𝑝 𝑥 𝑑𝑥
Penyelesaian umum PD ini : y𝑒
𝑝 𝑥 𝑑𝑥
=
𝑦= 𝑄 𝑥 𝑒
𝑄 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 + 𝐶
𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 −
𝑝 𝑥 𝑑𝑥
Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD ini adalah : o Tentukan faktor integral o Dapatkan penyelesaian umum PD dengan melakukan integrasi pada ruas kanan dari bentuk penyelesaian umum diatas. Contoh : Selesaikan PD berikut ! 𝑑𝑦 𝑑𝑥
+ 𝑦 = 2𝑥 + 2𝑥
𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏: 𝑃 𝑥 = 1 Q(x) = 2 + 2x
Fendi Alfi Fauzi
Faktor integral 𝑒 𝑦𝑒 𝑥 =
𝑝 𝑥 𝑑𝑥
=𝑒
𝑑𝑥
= 𝑒𝑥
2 + 2𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶
= 2𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 = 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 2 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 = 2𝑒 𝑥 + 2[𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑑𝑥] = 2𝑒 𝑥 + 2 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝐶 = 2𝑒 𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑥 − 2𝑒 𝑥 + 𝐶 𝑦𝑒 𝑥 = 2𝑥𝑒 𝑥 + 𝐶 𝑦
= 2𝑥 + 𝐶𝑒 −𝑥
Jadi solusi umum PD tersebut adalah 𝑦 = 2𝑥 + 𝐶𝑒 −𝑥
