Bab II Determinan Matriks-h.pdf - Lecturer EEPIS

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab

I Matriks dan Operasinya II Determinan Matriks III Sistem Persamaan Linear IV Vektor di Bidang dan di Ruang V Ruang Vektor VI Ruang Hasil Kali Dalam VII Transformasi Linear VIII Ruang Eigen

05/04/2007 10:35

MA-1223 Aljabar Linear

1

Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan

– Permutasi dan Determinan Matriks – Determinan dengan OBE – Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi Determinan ¾ Solusi SPL ¾ Optimasi ¾ Model Ekonomi ¾ dan lain-lain. 05/04/2007 10:35


2

Permutasi dan Definisi Determinan Matriks Permutasi Æ susunan yang mungkin dibuat dengan memperhatikan urutan Contoh : Permutasi dari {1, 2, 3} adalah (1,2,3), (1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1) Invers dalam Permutasi ÆJika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan permutasi

05/04/2007 10:35


3

1

Permutasi Genap Å Jumlah invers adalah bil. genap Permutasi Ganjil Å Jumlah invers adalah bil. ganjil Contoh : Jumlah invers pada permutasi dari {1, 2, 3} (1,2,3) Æ 0 + 0 = 0 Æ genap (1,3,2) Æ 0 + 1 = 1 Æ ganjil (2,1,3) Æ 1 + 0 = 1 Æ ganjil (2,3,1) Æ 1 + 1 = 2 Æ genap (3,1,2) Æ 2 + 0 = 2 Æ genap (3,2,1) Æ 2 + 1 = 3 Æ ganjil

05/04/2007 10:35


4

Definisi Determinan Matriks ⎛ a11 ⎜ ⎜a A = ⎜ 11 M ⎜ ⎜a ⎝ n1

a11 L a1n ⎞ ⎟ a11 L a2 n ⎟ M O M ⎟ ⎟ an1 L ann ⎟⎠

Hasil kali elementer A Æ hasilkali n buah unsur A tanpa ada pengambilan unsur dari baris/kolom yang sama. Contoh : ⎛ a11 ⎜ A = ⎜ a21 ⎜a ⎝ 31

a12 a22 a32

a13 ⎞ ⎟ a23 ⎟ a33 ⎟⎠

Ada 6 (3!) hasil kali elementer dari matriks A, yaitu: a11 a22 a33, a11 a23 a32 , a12 a21 a33 , a12 a23 a31 , a13 a21 a32 , a13 a22 a31 05/04/2007 10:35


5

Hasil kali elementer bertanda a11 a22 a33 Perhatikan… – a11 a23 a32 Tanda (+/-) muncul sesuai hasil – a12 a21 a33 klasifikasi permutasi indeks kolom, a12 a23 a31 yaitu : jika genap Æ + (positif) jika ganjil Æ - (negatif) a13 a21 a32 – a13 a22 a31 Jadi, Misalkan Anxn maka determinan dari matriks A didefinisikan sebagai jumlah dari semua hasil kali elementer bertanda matriks tersebut. Notasi : Det(A) atau |A|

05/04/2007 10:35


6

2

Contoh : Tentukan Determinan matriks ⎛ a11 ⎜ A = ⎜ a21 ⎜a ⎝ 31

a12 a22 a32

a13 ⎞ ⎟ a23 ⎟ a33 ⎟⎠

Jawab : Menurut definisi : Det(A3x3) = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 atau a11 a12 a13 a11 a12 A = a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a23 05/04/2007 10:35


7

Contoh : Tentukan determinan matriks 2 − 1⎞ ⎛ 3 ⎟ ⎜ B=⎜ 1 1 0⎟ ⎜− 2 − 2 1 ⎟ ⎠ ⎝

Jawab :

det (B ) =

3

2

1 1 −2 −2

−1 0 1

3

2

1 1 −2 −2

= (3)(1)(1) + (2)(0)(−2) + ( −1)(1)( −2) − (−1)(1)(−2) − (3)(0)(−2) − (2)(1)(1)

= 3+0+ 2−2−0−2 =1 05/04/2007 10:35


8

Menghitung Determinan dengan OBE Perhatikan : a. ⎛1 2⎞ det ⎜⎜ ⎟⎟ = 3 ⎝0 3⎠ b.

1 2 3

Dengan mudah… Karena hasil kali elementer bertanda selain unsur diagonal adalah nol

0 4 5 = 24 0 0 6 c.

Det(A) = Hasilkali unsur diagonal?

⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ det ⎜ 4 5 0 ⎟ = 45 ⎜7 8 9⎟ ⎝ ⎠

05/04/2007 10:35

Hitung Det. Matriks Bukan Segitiga???


9

3

Perlu OBE untuk menentukan determinan suatu matriks yang bukan segitiga. Caranya : Matriks bujur sangkar ~ OBE ~ matriks segitiga Berikut ini adalah pengaruh OBE pada nilai determinan suatu matriks, yaitu : 1. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali pertukaran baris maka Det (B) = - Det (A) Contoh : ⎛ 2 1⎞ A =3 A = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝−1

1⎠

sehingga

⎛ − 1 1⎞ ⎟⎟ B = ⎜⎜ ⎝ 2 1⎠

05/04/2007 10:35

2.

B =

−1 2

1 = −3 = − A 1


10

Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali pertukaran baris maka Det (B) = - Det (A) Contoh : ⎛ 2 A = ⎜⎜ ⎝−1

1⎞ ⎟ 1 ⎟⎠

⎛ 2 B = ⎜⎜ ⎝− 2

1⎞ ⎟ 2 ⎟⎠

A =3

dan

maka B =

2 −2

2 1 = 2 2 −1

05/04/2007 10:35

3.

1 =2A =6 1


11

Jika matriks B berasal dari matriks A dengan perkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol k lalu dijumlahkan pada baris lain maka Det (B) = Det (A) Contoh 3 : ⎛1 3 ⎞ A = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 − 6⎠

A = −12

Perhatikan

1 3 1 3 = 0 − 12 2 −6

OBE yang dilakukan pada matriks tersebut adalah –2b1 + b2

= - 12

05/04/2007 10:35


12

4

Contoh 3 : Tentukan determinan matriks berikut : ⎛2 1 0⎞ ⎜ ⎟ A=⎜ 1 2 1 ⎟ ⎜0 1 2⎟ ⎝ ⎠

Jawab :

2 1 0 A= 1 2 1 0

1

2

1

2

1

=− 2

1

0

0

1

2

pertukaran baris ke - 1 dan ke - 2

05/04/2007 10:35


1 2 1 A = − 0 -3 - 2

=

0

1

2

1 0

2 1

1 2

13

− 2b1 + b2

Pertukaran baris ke - 2 dan ke - 3

0 -3 -2 1

2

1

= 0

1

2

0

0

4

= 4

3b2 + b3

(hasil perkalian semua unsur diagonalnya)

05/04/2007 10:35


14

Determinan dengan ekspansi kofaktor Misalkan ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a a ... a 2 n ⎟ A = ⎜ 21 22 : : : ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a a ... a ⎟ nn ⎠ ⎝ n1 n 2

Beberapa definisi yang perlu diketahui : • Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A. Contoh : ⎛2 1 0⎞ ⎜ ⎟ A=⎜1 2 1 ⎟ ⎜0 1 2⎟ ⎝ ⎠ 05/04/2007 10:35

1

2

0

1

maka M 13 =

=1


15

5

•

Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij Contoh : ⎛2 ⎜ A=⎜1 ⎜0 ⎝

1 0⎞ ⎟ 2 1 ⎟ 1 2 ⎟⎠

maka C12 = (− 1)

2 +1

1

0

1

2

= (– 1)3 .2 =–2

05/04/2007 10:35


16

Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor : • Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin • Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j det (A) = aij C1j + a2j C2j + . . . + anj Cjn Contoh 6 : Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor : ⎛2 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ A=⎜1 2 1 ⎟ ⎜0 1 2 ⎟ ⎝ ⎠ 05/04/2007 10:35


17

Jawab : Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3

2 1 0 A= 1 2 1 0

1

2

3

det( A) =

∑ a3 j c3 j j =1

= a31 C31 + a32 C32 + a33 C33

= 0 + 1 (−1) 3+ 2

2 1

0 2 + 2 (−1) 3+ 3 1 1

1 2

=0–2+6 =4 05/04/2007 10:35


18

6

Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-3 2

1

0

A= 1 0

2 1

1 2

3

det( A) = ∑ ai 3ci 3 i =1

= a13 C13 + a23 C23 + a33 C33

= 0 + 1 (−1) 2+3

2 0

1 2 + 2 (−1)3+3 1 1

1 2

=0–2+6 =4 05/04/2007 10:35


19

Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka C12 L C1n ⎞ ⎟ C22 L C1n ⎟ M O M ⎟ ⎟ Cn 2 L Cnn ⎟⎠

⎛ C11 ⎜ ⎜ C21 C =⎜ M ⎜ ⎜C ⎝ n2

dinamakan matriks kofaktor A. Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A, notasi adj(A). ⎛ C11 ⎜ C

adj ( A) = C T = ⎜⎜ 12 M ⎜ ⎜ ⎝ C1n

05/04/2007 10:35

C21 L Cn1 ⎞ ⎟ C22 L Cn1 ⎟ M O M ⎟ ⎟ C2 n L Cnn ⎠⎟


20

Misalkan A punya invers maka A −1 =

1 adj ( A) det( A)

A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) ≠ 0. Beberapa sifat determinan matriks adalah : 1. Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka det (A) = det (At) 2. Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran sama, maka : det (A) det (B) = det (AB) 3. Jika A mempunyai invers maka : det( A−1 ) =

05/04/2007 10:35

1 det( A) MA-1223 Aljabar Linear

21

7

Contoh : Diketahui ⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 -1 0 ⎟ ⎜ 0 2 1⎟ ⎝ ⎠ Tentukan matriks adjoin A

Jawab : Perhatikan bahwa c11 = (−1)1+1

−1 0 = −1 2 1

c12 = (−1)1+ 2

−1 1 0 1+ 3 1 = −1 c13 = (−1) 0 2 = 2 0 1

c21 = 2, c22 = 1, c23 = −2, c31 = 1, c32 = 1, dan c33 = −1.

05/04/2007 10:35


22

Sehingga matriks kofaktor dari A : ⎛ -1 ⎜ C =⎜ 2 ⎜ 1 ⎝

-1 1 1

2 ⎞ ⎟ -2⎟ - 1 ⎟⎠

Maka matriks Adjoin dari A adalah : ⎛ -1 ⎜ adj ( A) = C T = ⎜ - 1 ⎜ 2 ⎝

2 1 -2

05/04/2007 10:35

1⎞ ⎟ 1⎟ - 1 ⎟⎠


23

Latihan Bab 2

1. Tentukan determinan matriks dengan OBE dan ekspansi kofaktor ⎛2 1 1⎞ ⎟ ⎜ P = ⎜ 1 2 1 ⎟ dan ⎜ 1 1 2⎟ ⎠ ⎝

⎛ 3 − 2 0⎞ ⎜ ⎟ Q = ⎜ 0 1 0⎟ ⎜− 4 4 1⎟ ⎝ ⎠

2. Diketahui : ⎛ 2 1 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 3 4 0⎟ ⎜ 0 0 2⎟ ⎝ ⎠

dan

⎛ 1 −1 3 ⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ 7 1 2⎟ ⎜5 0 1⎟ ⎝ ⎠

Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB) 05/04/2007 10:35


24

8

3. Diketahui :

⎛ 1 5 k⎞ ⎜ ⎟ D = ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎜ 3 k 4⎟ ⎝ ⎠ Tentukan k jika det (D) = 29

4. Diketahui matriks ⎛1 0 ⎜ A = ⎜2 1 ⎜3 4 ⎝

0⎞ ⎟ 0⎟ 5 ⎟⎠

Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A. Tentukan nilai x=

05/04/2007 10:35

( ) det (A t B )

det 2 A2 − det (5 B )


25

9