16. BAB II. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE-KEDUA. Persamaan diferensial
orde-kedua berbentuk . +. = +. • Kasus pertama bila. (maka. = +. (misalkan dan. )
...
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE-KEDUA Persamaan diferensial orde-kedua berbentuk .
=
+
+
bila ( maka (misalkan dan
Kasus pertama = + .
+
dan .
)
) ;
)
dan ) fungsi dari
+)
Dengan menjumlahkan kedua persamaan di atas, kita dapatkan ) ) " + ) → )
)
)
)
dan
Sehingga persamaan di atas dapat ditulis: )
)
+
)
Merupakan persamaan awal dengan ) Artinya jika dan ) adalah penyelesaian persamaan +
(maka begitu juga
) +
Persamaan sebelumnya
( jika
kita dapatkan
persamaan orde pertama dari kelompok yang sama : +
+
( dimana
atau
Dengan metode pemisahan variabel, kita dapatkan
+
. + + . adalah konstanta) Bila ; . ; Dengan cara yang sama, . ; akan menjadi penyelesaian dari persamaan orde-kedua + (karena
+
(jika
.
;
. ;. .;
.
;
;
16
Dengan mensubstitusi kita dapatkan . .; . ; . . ;. ; +. . ; Bila kedua sisi dibagi dengan . ; maka ; ; + persamaan kuadratik yang menghasilkan dua nilai m. kita sebut ; ; dan ; ; ; Sehingga . dan . ; adalah dua penyelesaian bagi persamaan tersebut. Maka: jika dan ) adalah dua penyelesaian Maka ) juga merupakan penyelesaian ; jika . dan . ; . ; a juga merupakan penyelesaian Mak . ; +
Maka penyelesaian dari A dan B = konstanta sembarang, ; kuadratik ; ; +
dan ;
adalah
.
;
.
;
= akar-akar dari persamaan
Persamaan kuadratik ini disebut persamaan karakteristik ;
(;
Contoh: untuk persamaan Persamaan karakteristik ; ; Maka penyelesaian dari
; ;
; dan ; adalah
. . Akar-akar yang real dan berbeda untuk persamaan karteristik Contoh:
Persamaan karakteristik ; ; ; ; ; Penyelesaian . . Akar-akar yang real dan sama untuk persamaan karakteristik Contoh: Persamaan karakteristik ; ; ; ; ; Penyelesaian . . Kedua suku di atas dapat dinyatakan sebagai: . Tapi setiap persamaan orde-kedua mempunyai dua buah konstanta. Jadi harus ada suku lain yang membuat konstanta kedua. 17
Sehingga penyelesaian umumnya menjadi . . ; Dengan kata lain adalah penyelesaian persamaan diferensial jika persamaan karakteristik mempunyai akar yang real dan sama. Contoh: PK = Persamaan karakteristik
;
; ;
;
;
Akar-akar kompleks untuk persamaan karakteristik Bila PK adalah bilangan kompleks, maka ; ∴ ; ∴ dan ; ∴ Maka penyelesaian adalah ∴
∴
∴
∴ . . Dari bentuk bilangan kompleks diketahui: + +
+ + Maka penyelesaian dapat ditulis sebagai ∴ + ∴ + Bila ( dan ∴ +
∴
+ (maka
Contoh: selesaikan PK
;
;
; ∴ ( Penyelesaian: +
18
Bila persamaan berbentuk Adalah kasus dari persamaan: +
dengan +
+
; dapat ditulis sehingga:
;
bila
; ;
Ini sama dengan ;
∴
∴
(
+ ;
;
;
Dari fungsi hiperbolik +
+
+
Penjumlahan persamaan diatas + Sehingga
; dapat ditulis sebagai:
+
+ +
+
+
+
Contoh:
;
(; 19
+
+ ;
(;
+ + Kasus sebelumnya: + Bila
; bagaimana? +
Dalam persamaan
, substitusi
;
;
akan membuat sisi kiri diatas sama dengan nol. Karena itu harus ada satu suku tambahan dalam penyelesaiannya yang membuat sisi sama dengan bukan nol. Maka: ; ; ; fungsi tambahan ; ; fungsi komplementer (FK) (sebuah fungsi) integral khusus (IK) Contoh : selesaikan * FK
sisi kiri sana dengan nol ; ; ; ;
FK * IK (Integral Khusus) Misal
;
fungsi derajat dua
Substitusi ke persamaan diatas
Penyelesaian Umum: Menentukan nilai-nilai konstanta Jika asumsikan
20
+
+ +
+
Contoh: Selesaikanlah ;
;
;
;
; +
misalkan
+ + +
+
+
+ ( + +
Penyelesaian Umum: Contoh: Selesaikanlah Solusi :
;
;
;
;
;
Bagi kedua sisi dengan Maka
Penyelesaian Umum: Bagaimana menentukan nilai A & B; nilai A & B dapat dicari bila ada informasi tambahan. 21
Contoh: Selesaikan persamaan berikut: ; jika Solusi: ;
;
;
;
+ (
(
+
Penyelesaian Umum: Karena
+ +
Penyelesaian Umum:
+
+
INGAT!! Dari persamaan sebelumnya + Bila Bila
disebut persamaan homogen orde-kedua disebut persamaan non homogen orde-kedua
