Boundary concentrated finite element methods

2 downloads 0 Views 672KB Size Report
Jul 18, 2001 - In the paper, we will only consider families of approximation spaces VЖ ... Assume that a family of approximation spaces ..... We write I = spanI.
      

       

       

  

      



                   

                                                                       Æ                                      !"     # 

                      "      



           

     

           

 

  !" #!"

  $       

     % &   

                    % &  Æ '    #(                                 )             % &    '        

   

     '  ' 

'     *



(+,

                              '  %

&    '    

                    

 ' '        '             

(+%

      

(+      -  '     

  *.(+,                          .(+% $  .(+ *  %% /!01 '         ,             2

2

Ê

            

 )       % &         

     '    - '      % $         



                   ! "#

     

!

  3   %  ' ' 4        

  '           5

(+  

.(+   '  

6  '       % $    '       

(+         .(+% 7       -  '  .(+      '  '  6    *   ,  Æ   .(+  )    6       Æ        '  '     6 % 8   )     .(+       

(+ ' 

 '    '       ' 6  % &     

(+  

(+      )  %

$     )

  .(+    '  % 9        '    .(+    '                     6 /:"1       *    /!:1   ' ,         /!"1% 8 -  '    6     

  /!; !        

(+       -  

  '    

                    ' '  *          6,%  ' '    '                     Æ %





  '  

      '            

:

'  *                 ,  

     %               '   :  %





  *2,  *2,   Æ         %          *2,       *    ,         %        *2,    

  @  *2, B * *2,, %         2      

Ê

  A -  2

    

@



 * 2, B

           





*2,



" ' B " ' "% '

* 2,

*

* 2,,

9         '  ' 

  2    * 2,

   :          ' -  '  2% $    -   @ /" ,   2                Æ     '   * 2,   */" ,, '     :% 7 '  "    */" ,, @B     */" ,, '   *Ê ,                 */" ,, B  "%

#      

             

   %    





@B

  * 2, 





* 2,   '6     

  @B 

  * 2,







* 2,

*!%!,

   

   '              '                 '         % &       '  

 A -  2 Ê   #    B   *2,  2    B    * 2,   2

*!%:, *!%:,

    



  7  )  

 '  * ' 

  2,

B B

  *2,  2     * 2,   2 

    @B * , C   C 

   

     '  

 B * , D

*!%, *!%,

*!%>,    

       2% &  





    

 @   *2,    * 2,   @B

 *  , B

    C

  %%



 

  

 % 9      

 

 



      

*2,    ' 

   C   

*!%,



     * ,                *2,       

@B



  *2, 



*!%,

'  #   *!%:,     

*2,

*!%0,

'     *!%,      %

&       *!%:, *!%,            %   *!%:,  6  





*2, 









*2, %%

  

  *2,

*!%;,

   C    

   *2,

*!%

   ,

 

E      *!%!",           

   

%

7   6             ' 

 '  

 B   B  Æ Æ Æ     *2,     *2, Æ  *" ! :,% $        *2,  

   '  B   2   *   , B   



  *2,

 *,

*!%!!,

     '     B       B    @  * , B "    *2,

   6 

 *   , B 

   



 

 C    



  



*!%!:,

   *2,

  

*!%!,

  6   '       *!%!",%

 

  -      )  -   

     

   

6  *!%!!,  *!%!,% &              

  

 2%

$   



     



 B  C 



  

Æ

*2,

 

 Æ 

 Æ    *!%!0,  %

       

&   Æ  *!%:, *!%,         '  



  % $    -      

(+ *  F !%:,   ' 

        '        / >1% &   (+  

     '       ' '     ' 

    /01% 9        '        *!%!",% &        '    

 B  ' 



   ) 6 

 2

*!%!>,

  2D         G ' #     G 

   %

.      /: H  1   



 *!%!>, 

  2     '          

     

 2%

I           '         

  '   %

 

8          '  

                  ' 

!



(+  

    '   @ 9



!*, @B   *  2,   ' 

*!%!,

"  /" !,    *2,       ' # *2,  

   @B   C !    





   *!%!,

  '     *!%!>,       '           *#  ,  

 *# ,   / >1%   '  #  " "  /" !,         Æ   )  

  *#  , B    *2,      # !     # J 



  Æ 

*!%!0,

9    '     *  &  8%! '    '   '           



  ,%

                    2

2

  *2, Æ  *" !1  !!"# $     2   % #     2    Æ   Æ     

Æ



"



   

 

Æ *#  ,

8        '  '  

$  '              



   '    A -  2       '   '   /1@



Æ 



 #Æ  



Æ  C



Æ  

       %

 *!%!>,  





  Æ *2,%

'  #   *!%:,



Æ  /" ! :,

*!%!;,

        ' *!%!;,  % *!%!;,     '      

Æ  /" ! :,%

'      ' ' *%%

Æ  ! :,   

'   

     *%%   ,% K   6 ' /!1 /1    '     2

Ê

  

Æ

 *! : !1 *     2  ,       ' 

#   *!%:,  



Æ 



 #Æ  



Æ  C

9  '  '     



Æ  



Æ  /" Æ ,

*!%!,

% %

$  

'     @

 *                    & . '/  !        . '2  * Ô    2

@B

*2

,

  ''# %     '4#  '!"# $ %    #     * 2, "     :D *:%!,      %    #        * 2,  :   : *:%!, $  # #             .+  '/ '2 3& A  @ /" ,   2   -   % & '  2        A H%!         Æ .                 * 2,   */" ,, "   :% &    *:%!, '   "   '   '     H%    '   *  : ",%  "   

  



  *:%!, '   '  *:%!,    

         % &  

 *  : ",     %

!"

  '!!   +   +  +  * Ô   *2

,

        '   @  ,  'N   &    P  +  ! :   N    N     '   N    #J   Æ  &  #  "    *" !1 $ &         Æ       +  ! :   %   /  *'N ,  ! /  B +  *  , & +  ! :  0 +    ) +   &     P  '  /     ##0  $  #   "       3& &    B  B  B        /:; &% %:%1% &      E



(+ 

     '  '  '





     '  %

% !   -               .+  '/  !          -       #  &  "

*

,

 /" !, #  " $  % #   "    +         & . '/    #  "   

  C #  Ô '        * *2  ,  # *:%!0, 5  &  & &      B * Ô*2  ,     3&      *# ,   " 

# &    

@B

 

!





*:  ,  * J, 

!     

    *#  , 

  

#



7     

 

!

*: ,  *J, 

! 



   #

    *#  ,  

!       #  

 

# *:, J > 

# 

  

! : 

B

> 

# 

  Æ   '   

*:%!;, *:%!;,

!!

* Ô *2  ,     

     % &             B ! '      2%         0 '       @B   0     '  ' % 9        '

8'           

    % 9      

'   2 B   '   2 B %

K  &  .%>       '       

1  

 1    #       



  N @B

 Æ (

!     #



#

##

      # 

# 





!     

    *:  , * J, 



 

& 

 

 1    ## # 

 2 

    A :%%01,%



#     

   ! + 

     %   %     

$       )    '     $     







(+      '

'  % &     '   '   -  '   @ !%

9%  &   

6             

   % 9  :%

  &   B      @     P '

%

 'N

 B   %

&           '   

   

B +% 9   B   

&     '  ' 

       P ' 

,

 @B       % 5  &    & '  '       'N % 9   B   %

&       '     6        % 8        '            '    ) % 9      '  % E    '    '

   

 A           5 A             '    % !>

! 

#  

 +

     

B !

'   Æ

   ' N   P

+



B !



* ",  Ê  "  !,% A       Æ      '     '  % 9      '       '   B      

   '    '   @  @B      '     * , B Æ         )  ) C * !,  @B 2  *,   , B !      !  !     @B )*) ,*) C * !,, *, *),  "  + C ,  * ,* :,     *   P B

      P  





:

  A        /" !1% &   2    A            C ! 5 A 

  /" !1@ A " B    B !   - '      *! ,  *,  '  2  *,    7   

2  *, @B

   

 

 

&     ' 



,

      

B "

          

*%!,

* %

 , 

      '  %

 / ( ( " ( &     '       %







(+   '  '              '      ' '   

 /!! >1% &   ' (  %!          % &     3 4  34     @    

'               0B   @B     % &            

    + B !       (  %!D       '   A     

'  '

               '  % 9         

     ' /:!1        '     '  (   @  B   

    @  B     B       

E       '  ' 



B

  

 

*%:,

  M         '    *  *2  ,% &   '  '   

         '  '   

       M  % 9  '    B     B      B " '     0 B 0 *%:, E'     '  ' 



!



      $   "    

9         )                '                 %



&          ' 



 *  , @B   '  ' 



 *  , B



  

'@

   C   , 

*

      

  

  



 

@B

 

@B

  %

9     

 *   ,

*%,

N  *   ,  '      '  ' N *N   ' ' % &    N B  Æ (  N B  Æ (    *  , @B  N,     &    '

 *N N, @B N





N N N C N NN 

N @B *( ,  * Æ ( , *( ,





'

N B  Æ ( ( 

( 

$      N   6 '     ' 6   

* ,  %

  ) 

  

$   



* , * , %

 @

 

        ) 

%





8  /:!1        



 

 

B

 

 

    

 

    

)3

 

    '   '      

         '

@B

       



   

%  &  ! @B    

&       ) 

 @



         '            





(+        '         % &   ' 

  ' '

(+     ' 

 *  ,,    

B 

 '   

B *

      ) 

$





*%>,

               @B

    

8             ) 

*%,



  ) 

              '  % !

% !                 !   

    -    & . '2    &   1      * ,    $  : %     * 4 *, B * ,

           &           &   &  * 4 *, B * , 3& &   '      )   *  ,     6  

* ,

 

 

* ,% 4



&            )



 



* ,



B

 * ,

                 ' '    :%0% 8         ) 



    

8         

4 *, B

* ,%

 

'

** , ,

B

* ,%

'        

&   '  6       % $     /"1    '  R    6        





  6       

   

    

&  :%!    %



% &     

&  '            )    '    -   '  #    '      % 9 

% !    )            !       & '!'#      &   *     8% /! $  % #  &  !      :  "

%     .    2 +    5* ,  # !*! C   !,  ! B     5   & ;       5* ,  #  !*! C   !, 3& & *!,        '      B !      />!1%

*%,

*%0,  

 L            'D  '         '     '   %

&        

   

     *%%     7  6  %% /!1,@       

#

B

# *2, 



!



    #  

* ,

!0

   *2,

*%;,

   *2,     * , "   %   '     ?  ½ '      * *2  ,      '   B   D  

F  '      

 









  



   

  



!   B !      

*%     '  ' 

5* ,

 #    *! C      ,%

$      

       '   Æ   '      % 9          '       %



    '    

    (    

&  ' 

#

      *%,    '     %

      @

# *  , @B



&    

# *   ,

 

*%!",

      B             

  '     '        '        ' % H     '        

      '          '           %!%!

 

 B   C 9       

#

,C # *  , B  *   





  C  

'     



 !;

*%!!,

#



 *     , C  *   ,

*%!:,

9      %!%!    '    '

      

  '     6% & '         /:1    '          '      

#

  *%!",      

! % !     01          &     

     '   @

   &       *  , B "        *%!, $  %   "     Æ     +         * ,  # * ,   *! C  !,  * ,   * Ô*2  ,  ! B    

 $

&     *%!,               

        %:% .    %:      *%!,   ' 

  

* ,%

 &

9                    %:

     *%!,      

  !    

 *  , B "

*%!>,

$         -    '   



  ' 

           '       *%!:, *%!>,      %% E     '      *%!:, *%!,                  % 9   -    ' 

     

# *  , B 2* , .      *%:, '     ' 

 B  C

  

 C

  

H      

 



  

# %%      

   

 '    '          * *2  ,

   



   

*%!,

             

  -      '     '     @

 *   ,  *   ,  *   ,

B B B

2 * , 2* , 2* ,

        

*%!, '    

'  

0

9       *%!0,  *%!;,                 @ !
           - 

                  '  

    Æ  H5   %

#           6 %

         

                      '  

 

     ' 

  %

   



 '   '   '    

7@ & 





7



7

7  



7 B   *7  , B "

7

     

   0    

*%:,

     '     '    @B 7          

    #    '     ' 

   '   

         ' 

' 

 

@B

7

 %

&

          -   '    @

'    % "  #  +  )  "" 5   

@      B  C          #  *  , B 2* ,         ! # .       *2,       *R  , B 2* ,       *2, *%:0, $    Æ   )+   : %  &

      & =',># ;   : %   /'(#    % &  ::

# .      & * S , * Æ ( , * Æ (,   B 2*,  *R ,      # 7 &          *&     , B "      *%:;, $       )+   : %   /'%:,

B "%

 '      %%

    *!%!;, *!%!%,      /< A :%!!1 /< A :%01 

8 



Æ  

 # 

Æ 

 #Æ 

Æ  



      '   '      *!%!%,

3& 8

       * U * U  B      #       *:%:",  *>%,%

 '!!   +   % 764 # !  & 

  

  

8 @  

    =   

8

 8 

*>%,

   '   





8     B  *  ,

              '    B          B    *   , B "       *2,

    Æ      "! A   & $ '!/   B "#   &   Æ  /" Æ 1  /" Æ , 8  8 % 

    #Æ



Æ

C







*>%0,

3& K  % 8 % B 8 %   8 8 % B *$ % ,8 C % 8 *$ % , C % *8 8 ,% 

*>%;,

&      *>%;,     '  ' 

*$ % ,8  % 8 *$ % ,

     

 

8   Æ   #Æ Æ  Æ  # *$ % ,    # Æ  Æ   



Æ

        

     '   M  A :%;     '   ' 

8

   8    >%!%

& @       ' ' H   :%!:   '     * 2,  *>%;,      '       

& *% ,   # % 

  

        *:%!,      %  *>%;,       

D R  





  %

 # 



 

   

.     

  



*>%!!,

B "  #   

B "        

:

*>%!",

   '   

  *2,      *!%:,  

*2,  *!%:, 

%

*>%;



!>!0

:        '  ) %     #   

    '  

 B !    %>         

'     '

% %

&      '  

% 0% 8      '          '   )      & :%

      

   & :   '        H5     !"



 %

% ! *',    

   

 B !



'    2   

*      ,       

2

 

%

9            '  ' )                 

% %

  /:01         ' '

   %> *   /:, 

 2 (  C ; 

'   ' 

2

Æ

2 ( 



   

#& C 2

( 



*8%,  

 2 (  C ; * 2, (   #;Æ   Æ (   





  Æ (     8  -M   M   % 9      ;  !

; Æ    (   #  J   Æ (  C  (  C #&  

3& & $ !

K   .       *  %% />:1,  

      ' 2       

 B   +  Æ  '      

'     @ !%

 B  * ,  ! B    *   2, '      *" !,D

 Æ   '     2@ +  Æ        D      *" !,   2    * ,%

:%    %





#

@B

!







 

#



#



#&



Æ



   (      J 



 Æ





!

  A 8%  

! 





*: & ,  * J,

   (   

! Æ   ( 

!

       *8%,  

&   '   

 Æ



! *:& ,  *J,

# 







*: & ,

C

  Æ  

J

&  *J,

(  C

B

> 

#& 

  Æ ( 



  * ,       '       

K   '  2

    

!

 Æ





 





!C







 Æ

! 

Æ

   (  

  #  (     



# * J,



# * J, #&



 C

C

  C





Æ ( 

Æ 

#      &     % Æ  /" !1  &  8%!     @

'      &   

.  ) ' 

       !    !!2#   B 5 C Æ  5  Æ   Æ  /" !,          *2,  !#  Æ    & '#   &     C ! Æ )    #& &J   Æ   *8%, $  % #   "   

! Æ  )   # J #& C     3& &            5  Æ  %  5 B "         &  8%!% 8      '   "  5 5 '   5  Æ        Ê

2







' 

5 C !%

&         

! Æ  )    # 

#) *8%!,

5



#& C 

Æ  



  Æ  

  J

9 

"

 5 5

- B 5    )



9  B  @B 9  C R



 )   9  '          

 R B



       

6  '  ' 





  ' 

! Æ    # 

#  &

C

  %

Æ  

* A :%% ' /:;1 '       '   



&       

J

  Æ  

  9   '      %,

&  8%! '             %

)   & *   (  Æ  *" !,    2 Ê       *,   *, *), ) C     @B  Æ Æ     *  2,    )  Æ

*.%!,

    L       ' '          ) />"1@ >

 8     +  Æ     &   B

   %   Æ      +  Æ       

Ê

2

   

  

*.%:,



      ) 

$

* ,



(

* ,

 )  Æ

(



/ )    C   Æ (  Æ 

3& 9     '    

  (



B

(



( (



( (

C



( (



( (

C



( (



( (

C



( (

*.%,

( (

K       *.%:,   





( (

*, *),  Æ ( (  ) 

      )     ) Æ ( (  * ,

)











*, *),  Æ ( ( ( (  ) 

   *, *),  Æ ( ( ( (  ) 

      *.%,   



9  



( (

*, *),  Æ ( (  ) 



)  :

)





)









 





  Æ (    Æ ( 

 ( (

)

  Æ (  

H          



* ,



*, C *),  )  Æ ( (

)



*, )    *,   ! )   Æ  Æ ( (  )  ( ( (  ) 

( (





*,



!

 )  Æ )    /   Æ *,    *  , Æ   /   Æ (  Æ (





(

(



H           '% A 2

Ê

     A -   

"  *" !,     

  @B  

& 

 *2,   



 C

!

!    

      ' 

   *!%!,%



#  *2,  









*.%>,   % 9 

 8 

    "  *" !, $ &  "  Æ  ! : ! "   % # "     Æ   #      *2, 3& A  B   +  Æ      ' 2       ' ' &  8%!%  N        N   % .  +   N B  Æ (   Æ  ( @  Ê

2

  L 

      '  

6 "     #* " 



N   Æ (   #* N  (  C 6N  (   



Æ ! :% 9    6

         

7           '%

!

 Æ

" Æ     '

  Æ (   #*  (  C #6!  (  



&      '   

  Æ (   #*! Æ  (  C #6! Æ  (  

   

 '              A .%!

  

 Æ   # 8

Æ ! :





  Æ (   #*! Æ   C #6! Æ    

  '  &  !%>%>% ' /!1



! Æ    #  Æ  % 

&  

6

Æ          % 8   6 ' A .%:   '  

  8 

      "  *" !, $ &  "  Æ  ! : ! "      *2,  Æ *2,   5    *2, #  *2, 3& & 

  *2, # *2, '   '   Æ *2, #  *2,  '   Æ "  Æ   L 

  % .   *2,  Æ *2,     

 '  "  Æ Æ   Æ     '   Æ    # "    Æ   #     &   '   '  A .%: 

  %

  8  'N   & 1    &   !*, B   * 'N , N ,  1    & ' N B 8 #    & ' N B * #  "  *" !, 7    *' $  1     # !    2

Ê









3& A       ' 'N % (         ' &  .%         ' ' A >%! ' /01      ' 

     # !    C 

8

* , B 1* , 







* ,

       '   %



!

   *'N ,

# " 

*  !   #  + (  .  1 B / 1 1  B / 1     @ 1  1     

 $ &    :      Æ .      *1 ,   *1 ,

   $     &    *1 ,  *1 , &  &  &    &  .   *, B *, 5   &   2   @ 1   2       $   *1 , &    :     Æ .        * 2,   3& &      % 5  D  %% /< H % :%;1%        B '          * *1  ,    Æ   '   @ *   *1  , B     *1 ,       '    .  1 Ê       1 + &   1            &   &         + B "      ! &   " $ &  6  /" ! :,     Æ   % #*  "     +   #*  * +    *  *1  , *H%!,  +   #*  *  +    *  *1  , *H%:, 3& 9     *H%!,% *H%!,    '  6 B "% A '  6  *" ! :,% 9 * -       +     ' ' D     '      *1 ,@ 



 +  

 

=

9    ' 

 

* 

' * =, =

' * =, @B

   

 %

' * =, = 

 

=

* 

'

 + 

  +  C  +   

=



 

 +  = B :!6

 % "  

 +  

*





*H%,



 #*Ê ,     '   "  *,  !   

  / ! !1      % !  / ! : ! :1%  Æ "   Æ *, @B * Æ ,%  =  *" ,    $  

=



=



* 





*"

,     '   %

% *, @B ! 

*

A

  

' *= , 

 *, @B % *,*,

   

   '

  +  

B

 +   



% *  ,

 ,     '     

  6  '     '   





%

           

*! % , +    =



 



*%,     :

  

#



 





   

C  



   

0

=

+ 

 #=  +   

  

C  







     # 





  



!C

%    



=

 

 +   

8 '      

 

     *H%!,% 

#

=

  



*

' *= , =  #

 6 1



 *H%:,        

6  *" ! :, 

      *





*

 +   

      '





% &  

6 B "        



 

 %

 #  +  C  +  C  +   #  +  C #   +    *1  ,   

 *H%:,         +   #  +  C #*  * +   #*   * +  

 + 









% !   .  1







      1 + &   1  1 + &     $ @ *1 ,  *  *1  ,       $  +   #%,- +  &    *1 , $  B  &    *  *1  , $ &  6  /"  :,  %   #* "     #%,-    6    $  +   #* +   3& A    **1 ,  %    

        *    %% /01,    '   #* "     '   @ A   * *1  ,        '      ** *1  ,     , %% *   +  C   +   #* * +  *H%>, 

Ê





             *,        *,  

 $  +      +  C $ * , +   *! C #%,-,  +  







*H%,

9  '     A H%:

$  +    +  C  $  +    +  C    +  C  $  +   #* +  C #* *  $  + 

 #* +  C #* *   +  C  $  +   #* +  C #**: C #%,- , *  +   #  +   







    *H%,  *H%>,% &      ' '    %

 .

!% $        H%    '    

#%,- 

+ 

$



$ @  *1 ,   ,      *1 , %% $  +    '      *1 ,          '    H%%

     



*   *1



:% $         H%   '    '  %% '

  $ @ *1 ,  *   *1  ,   *1 ,   $  B  '      *1 ,%

' 2"9

&         '% #% 9% 7  '  

     % ;

' +   /!1 +% 8    .% 5 %

8 

 -     ' 

   

 

   '            %

  

;  

;@>= :"""% /:1 $% .V  8% H W% +   W% X %            %

(Æ     '  



5 C ;   :;*,@:>=!

! F '    '       

   $% .      '     6  '    %

5 C   !,@0=0;! !
C ;     *:,@
/:1 .%% [   M% A        '    ) 6  % & F  ;=; !@>;=>
  !