Jul 18, 2001 - In the paper, we will only consider families of approximation spaces VÐ ... Assume that a family of approximation spaces ..... We write I = spanI.
Æ !" #
"
!" #!"
$
% &
% & Æ ' #( ) % & '
' '
' *
(+,
' %
& '
' ' '
(+%
(+ - '
*.(+, .(+% $ .(+ * %% /!01 ' , 2
2
Ê
) % &
' - ' % $
! "#
!
3 % ' ' 4
' 5
(+
.(+ '
6 ' % $ '
(+ .(+% 7 - ' .(+ ' ' 6 * , Æ .(+ ) 6 Æ ' ' 6 % 8 ) .(+
(+ '
' ' ' 6 % &
(+
(+ ) %
$ )
.(+ ' % 9 ' .(+ ' 6 /:"1 * /!:1 ' , /!"1% 8 - ' 6
/!; !
(+ -
'
' ' * 6,% ' ' ' Æ%
'
'
:
' * ,
% ' : %
*2, *2, Æ % *2, * , % *2,
@ *2, B * *2,, % 2
Ê
A - 2
@
* 2, B
*2,
" ' B " ' "% '
* 2,
*
* 2,,
9 ' '
2 * 2,
: ' - ' 2% $ - @ /" , 2 Æ ' * 2, */" ,, ' :% 7 ' " */" ,, @B */" ,, ' *Ê , */" ,, B "%
#
%
@B
* 2,
* 2, '6
@B
* 2,
* 2,
*!%!,
' ' ' % & '
A - 2 Ê # B *2, 2 B * 2, 2
*!%:, *!%:,
7 )
' * '
2,
B B
*2, 2 * 2, 2
@B * , C C
'
B * , D
*!%, *!%,
*!%>,
2% &
@ *2, * 2, @B
* , B
C
%%
% 9
*2, '
C
*!%,
* , *2,
@B
*2,
*!%,
' # *!%:,
*2,
*!%0,
' *!%, %
& *!%:, *!%, % *!%:, 6
*2,
*2, %%
*2,
*!%;,
C
*2,
*!%
,
E *!%!",
%
7 6 '
'
B B Æ Æ Æ *2, *2, Æ *" ! :,% $ *2,
' B 2 * , B
*2,
*,
*!%!!,
' B B @ * , B " *2,
6
* , B
C
*!%!:,
*2,
*!%!,
6 ' *!%!",%
- ) -
6 *!%!!, *!%!,% &
2%
$
B C
Æ
*2,
Æ
Æ *!%!0, %
& Æ *!%:, *!%, '
% $ -
(+ * F !%:, '
' / >1% & (+
' ' ' '
/01% 9 ' *!%!",% & '
B '
) 6
2
*!%!>,
2D G ' # G
%
. /: H 1
*!%!>,
2 '
2%
I '
' %
8 '
'
!
(+
' @ 9
!*, @B * 2, '
*!%!,
" /" !, *2, ' # *2,
@B C !
*!%!,
' *!%!>, ' *# ,
*# , / >1% ' # " " /" !, Æ )
*# , B *2, # ! # J
Æ
*!%!0,
9 ' * & 8%! ' ' '
,%
2
2
*2, Æ *" !1 !!"# $ 2 % # 2 Æ Æ
Æ
"
Æ *# ,
8 ' '
$ '
' A - 2 ' ' /1@
Æ
#Æ
Æ C
Æ
%
*!%!>,
Æ *2,%
' # *!%:,
Æ /" ! :,
*!%!;,
' *!%!;, % *!%!;, '
Æ /" ! :,%
' ' ' *%%
Æ ! :,
'
*%% ,% K 6 ' /!1 /1 ' 2
Ê
Æ
*! : !1 * 2 , '
# *!%:,
Æ
#Æ
Æ C
9 ' '
Æ
Æ /" Æ ,
*!%!,
% %
$
' @
* & . '/ ! . '2 * Ô 2
@B
*2
,
''# % '4# '!"# $ % # * 2, " :D *:%!, % # * 2, : : *:%!, $ # # .+ '/ '2 3& A @ /" , 2 - % & ' 2 A H%! Æ . * 2, */" ,, " :% & *:%!, ' " ' ' H% ' * : ",% "
*:%!, ' ' *:%!,
% &
* : ", %
!"
'!! + + + * Ô *2
,
' @ , 'N & P + ! : N N ' N #J Æ & # " *" !1 $ & Æ + ! : % / *'N , ! / B + * , & + ! : 0 + ) + & P ' / ##0 $ # " 3& & B B B /:; &% %:%1% & E
(+
' ' '
' %
% ! - .+ '/ ! - # & "
*
,
/" !, # " $ % # " + & . '/ # "
C # Ô ' * *2 , # *:%!0, 5 & & & B * Ô*2 , 3& *# , "
# &
@B
!
*: , * J,
!
*# ,
#
7
!
*: , *J,
!
#
*# ,
! #
# *:, J >
#
! :
B
>
#
Æ '
*:%!;, *:%!;,
!!
* Ô *2 ,
% & B ! ' 2% 0 ' @B 0 ' ' % 9 '
8'
% 9
' 2 B ' 2 B %
K & .%> '
1
1 #
N @B
Æ (
! #
#
##
#
#
!
*: , * J,
&
1 ## #
2
A :%%01,%
#
! +
% %
$ ) ' $
(+ '
' % & ' ' - ' @ !%
9% &
6
% 9 :%
& B @ P '
%
'N
B %
& '
B +% 9 B
& ' '
P '
,
@B % 5 & & ' ' 'N % 9 B %
& ' 6 % 8 ' ' ) % 9 ' % E ' '
A 5 A ' % !>
!
#
+
B !
' Æ
' N P
+
B !
* ", Ê " !,% A Æ ' ' % 9 ' ' B
' ' @ @B ' * , B Æ ) ) C * !, @B 2 *, , B ! ! ! @B )*) ,*) C * !,, *, *), " + C , * ,* :, * P B
P
:
A /" !1% & 2 A C ! 5 A
/" !1@ A " B B ! - ' *! , *, ' 2 *, 7
2 *, @B
& '
,
B "
*%!,
* %
,
' %
/ ( ( " ( & ' %
(+ ' ' ' ' '
/!! >1% & ' ( %! % & 3 4 34 @
' 0B @B % &
+ B ! ( %!D ' A
' '
' % 9
' /:!1 ' ' ( @ B
@ B B
E ' '
B
*%:,
M ' * *2 ,% & ' '
' '
M % 9 ' B B B " ' 0 B 0 *%:, E' ' '
!
$ "
9 ) ' %
& '
* , @B ' '
* , B
'@
C ,
*
@B
@B
%
9
* ,
*%,
N * , ' ' ' N *N ' ' % & N B Æ ( N B Æ ( * , @B N, & '
*N N, @B N
N N N C N NN
N @B *( , * Æ ( , *( ,
'
N B Æ ( (
(
$ N 6 ' ' 6
* , %
)
$
* , * , %
@
)
%
8 /:!1
B
)3
' '
'
@B
% & ! @B
& )
@
'
(+ ' % & '
' '
(+ '
* ,,
B
'
B *
)
$
*%>,
@B
8 )
*%,
)
' % !
% ! !
- & . '2 & 1 * , $ : % * 4 *, B * ,
& & & * 4 *, B * , 3& & ' ) * , 6
* ,
* ,% 4
& )
* ,
B
* ,
' ' :%0% 8 )
8
4 *, B
* ,%
'
** , ,
B
* ,%
'
& ' 6 % $ /"1 ' R 6
6
& :%! %
% &
& ' ) ' - ' # ' % 9
% ! ) ! & '!'# & * 8% /! $ % # & ! : "
% . 2 + 5* , # !*! C !, ! B 5 & ; 5* , # !*! C !, 3& & *!, ' B ! />!1%
*%,
*%0,
L 'D ' ' ' %
&
*%% 7 6 %% /!1,@
#
B
# *2,
!
#
* ,
!0
*2,
*%;,
*2, * , " % ' ? ½ ' * *2 , ' B D
F '
! B !
*% ' '
5* ,
# *! C ,%
$
' Æ ' % 9 ' %
'
(
& '
#
*%, ' %
@
# * , @B
&
# * ,
*%!",
B
' ' ' ' % H '
' ' %!%!
B C 9
#
,C # * , B *
C
'
!;
*%!!,
#
* , C * ,
*%!:,
9 %!%! ' '
' 6% & ' /:1 ' '
#
*%!",
! % ! 01 &
' @
& * , B " *%!, $ % " Æ + * , # * , *! C !, * , * Ô*2 , ! B
$
& *%!,
%:% . %: *%!, '
* ,%
&
9 %:
*%!,
!
* , B "
*%!>,
$ - '
'
' *%!:, *%!>, %% E ' *%!:, *%!, % 9 - '
# * , B 2* , . *%:, ' '
B C
C
H
# %%
' ' * *2 ,
*%!,
- ' ' @
* , * , * ,
B B B
2 * , 2* , 2* ,
*%!, '
'
0
9 *%!0, *%!;, @ !
-
'
Æ H5 %
# 6 %
'
'
%
' ' '
7@ &
7
7
7
7 B *7 , B "
7
0
*%:,
' ' @B 7
# ' '
'
'
'
@B
7
%
&
- ' @
' % " # + ) "" 5
@ B C # * , B 2* , ! # . *2, *R , B 2* , *2, *%:0, $ Æ )+ : % &
& =',># ; : % /'(# % & ::
# . & * S, * Æ ( , * Æ (, B 2*, *R , # 7 & *& , B " *%:;, $ )+ : % /'%:,
B "%
' %%
*!%!;, *!%!%, /< A :%!!1 /< A :%01
8
Æ
#
Æ
#Æ
Æ
' ' *!%!%,
3& 8
* U * U B # *:%:", *>%,%
'!! + % 764 # ! &
8 @
=
8
8
*>%,
'
8 B * ,
' B B * , B " *2,
Æ "! A & $ '!/ B "# & Æ /" Æ 1 /" Æ , 8 8 %
#Æ
Æ
C
*>%0,
3& K % 8 % B 8 % 8 8 % B *$ % ,8 C % 8 *$ % , C % *8 8 ,%
*>%;,
& *>%;, ' '
*$ % ,8 % 8 *$ % ,
8 Æ #Æ Æ Æ # *$ % , # Æ Æ
#Æ
Æ
' M A :%; ' '
8
8 >%!%
& @ ' ' H :%!: ' * 2, *>%;, '
& *% , # %
*:%!, % *>%;,
D R
%
#
.
*>%!!,
B " #
B "
:
*>%!",
'
*2, *!%:,
*2, *!%:,
%
*>%;
!>!0
: ' ) % #
'
B ! %>
' '
% %
& '
% 0% 8 ' ' ) & :%
& : ' H5 !"
%
% ! *',
B !
' 2
* ,
2
%
9 ' ' )
% %
/:01 ' '
%> * /:,
2 ( C ;
' '
2
Æ
2 (
#& C 2
(
*8%,
2 ( C ; * 2, ( #;Æ Æ (
Æ ( 8 -M M % 9 ; !
; Æ ( # J Æ ( C ( C #&
3& & $ !
K . * %% />:1,
' 2
B + Æ '
' @ !%
B * , ! B * 2, ' *" !,D
Æ ' 2@ + Æ D *" !, 2 * ,%
:% %
#
@B
!
#
#
#&
Æ
( J
Æ
!
A 8%
!
*: & , * J,
(
! Æ (
!
*8%,
& '
Æ
! *:& , *J,
#
*: & ,
C
Æ
J
& *J,
( C
B
>
#&
Æ (
* , '
K ' 2
!
Æ
!C
Æ
!
Æ
(
# (
# * J,
# * J, #&
C
C
C
Æ (
Æ
# & % Æ /" !1 & 8%! @
' &
. ) '
! !!2# B 5 C Æ 5 Æ Æ /" !, *2, !# Æ & '# & C ! Æ ) #& &J Æ *8%, $ % # "
! Æ ) # J #& C 3& & 5 Æ % 5 B " & 8%!% 8 ' " 5 5 ' 5 Æ Ê
2
'
5 C !%
&
! Æ ) #
#) *8%!,
5
#& C
Æ
Æ
J
9
"
5 5
- B 5 )
9 B @B 9 C R
) 9 '
R B
6 ' '
'
! Æ #
# &
C
%
Æ
* A :%% ' /:;1 ' '
&
J
Æ
9 ' %,
& 8%! ' %
) & * ( Æ *" !, 2 Ê *, *, *), ) C @B Æ Æ * 2, ) Æ
*.%!,
L ' ' ) />"1@ >
8 + Æ & B
% Æ + Æ
Ê
2
*.%:,
)
$
* ,
(
* ,
) Æ
(
/ ) C Æ ( Æ
3& 9 '
(
B
(
( (
( (
C
( (
( (
C
( (
( (
C
( (
*.%,
( (
K *.%:,
( (
*, *), Æ ( ( )
) ) Æ ( ( * ,
)
*, *), Æ ( ( ( ( )
*, *), Æ ( ( ( ( )
*.%,
9
( (
*, *), Æ ( ( )
) :
)
)
Æ ( Æ (
( (
)
Æ (
H
* ,
*, C *), ) Æ ( (
)
*, ) *, ! ) Æ Æ ( ( ) ( ( ( )
( (
*,
!
) Æ ) / Æ *, * , Æ / Æ ( Æ (
(
(
H '% A 2
Ê
A -
" *" !,
@B
&
*2,
C
!
!
'
*!%!,%
# *2,
Æ
*.%>, % 9
8
" *" !, $ & " Æ ! : ! " % # " Æ # *2, 3& A B + Æ ' 2 ' ' & 8%!% N N % . + N B Æ ( Æ ( @ Ê
2
L
'
6 " #* "
N Æ ( #* N ( C 6N (
Æ ! :% 9 6
7 '%
!
Æ
" Æ '
Æ ( #* ( C #6! (
& '
Æ ( #*! Æ ( C #6! Æ (
' A .%!
Æ # 8
Æ ! :
Æ ( #*! Æ C #6! Æ
' & !%>%>% ' /!1
! Æ # Æ %
&
6
Æ % 8 6 ' A .%: '
8
" *" !, $ & " Æ ! : ! " *2, Æ *2, 5 *2, # *2, 3& &
*2, # *2, ' ' Æ *2, # *2, ' Æ " Æ L
% . *2, Æ *2,
' " Æ Æ Æ ' Æ # " Æ # & ' ' A .%:
%
8 'N & 1 & !*, B * 'N , N , 1 & ' N B 8 # & ' N B * # " *" !, 7 *' $ 1 # ! 2
Ê
3& A ' 'N % ( ' & .% ' ' A >%! ' /01 '
# ! C
8
* , B 1* ,
* ,
' %
!
*'N ,
# "
* ! # + ( . 1 B / 1 1 B / 1 @ 1 1
$ & : Æ . *1 , *1 ,
$ & *1 , *1 , & & & & . *, B *, 5 & 2 @ 1 2 $ *1 , & : Æ . * 2, 3& & % 5 D %% /< H % :%;1% B ' * *1 , Æ ' @ * *1 , B *1 , ' . 1 Ê 1 + & 1 & & + B " ! & " $ & 6 /" ! :, Æ % #* " + #* * + * *1 , *H%!, + #* * + * *1 , *H%:, 3& 9 *H%!,% *H%!, ' 6 B "% A ' 6 *" ! :,% 9 * - + ' ' D ' *1 ,@
+
=
9 '
*
' * =, =
' * =, @B
%
' * =, =
=
*
'
+
+ C +
=
+ = B :!6
% "
+
*
*H%,
#*Ê , ' " *, !
/ ! !1 % ! / ! : ! :1% Æ " Æ *, @B * Æ ,% = *" , $
=
=
*
*"
, ' %
% *, @B !
*
A
' *= ,
*, @B % *,*,
'
+
B
+
% * ,
, '
6 ' '
%
*! % , + =
*%, :
#
C
0
=
+
#= +
C
#
!C
%
=
+
8 '
*H%!,%
#
=
*
' *= , = #
6 1
*H%:,
6 *" ! :,
*
*
+
'
% &
6 B "
%
# + C + C + # + C # + *1 ,
*H%:, + # + C #* * + #* * +
+
% ! . 1
1 + & 1 1 + & $ @ *1 , * *1 , $ + #%,- + & *1 , $ B & * *1 , $ & 6 /" :, % #* " #%,- 6 $ + #* + 3& A **1 , %
* %% /01, ' #* " ' @ A * *1 , ' ** *1 , , %% * + C + #* * + *H%>,
Ê
*, *,
$ + + C $ * , + *! C #%,-, +
*H%,
9 ' A H%:
$ + + C $ + + C + C $ + #* + C #* * $ +
#* + C #* * + C $ + #* + C #**: C #%,- , * + # +
*H%, *H%>,% & ' ' %
.
!% $ H% '
#%,-
+
$
$ @ *1 , , *1 , %% $ + ' *1 , ' H%%
* *1
:% $ H% ' ' %% '
$ @ *1 , * *1 , *1 , $ B ' *1 ,%
' 2"9
& '% #% 9% 7 '
% ;
' + /!1 +% 8 .% 5 %
8
- '
' %
;
;@>= :"""% /:1 $% .V 8% H W% + W% X % %
(Æ '
5 C ; :;*,@:>=!
!
F ' '
$% . ' 6 ' %
5 C !,@0=0;! !
C ; *:,@
/:1 .%% [ M% A ' ) 6 % & F ;=; !@>;=>
!