Boundary concentrated finite element methods

Æ !" #

"

!" #!"

$

% &

% & Æ ' #( ) % & '

' '

' *

(+,

' %

& '

' ' '

(+%

(+ - '

*.(+, .(+% $ .(+ * %% /!01 ' , 2

2

Ê

) % &

' - ' % $

! "#

!

3 % ' ' 4

' 5

(+

.(+ '

6 ' % $ '

(+ .(+% 7 - ' .(+ ' ' 6 * , Æ .(+ ) 6 Æ ' ' 6 % 8 ) .(+

(+ '

' ' ' 6 % &

(+

(+ ) %

$ )

.(+ ' % 9 ' .(+ ' 6 /:"1 * /!:1 ' , /!"1% 8 - ' 6

/!; !

(+ -

'

' ' * 6,% ' ' ' Æ%

'

'

:

' * ,

% ' : %

*2, *2, Æ % *2, * , % *2,

@ *2, B * *2,, % 2

Ê

A - 2

@

* 2, B

*2,

" ' B " ' "% '

* 2,

*

* 2,,

9 ' '

2 * 2,

: ' - ' 2% $ - @ /" , 2 Æ ' * 2, */" ,, ' :% 7 ' " */" ,, @B */" ,, ' *Ê , */" ,, B "%

#

%

@B

* 2,

* 2, '6

@B

* 2,

* 2,

*!%!,

' ' ' % & '

A - 2 Ê # B *2, 2 B * 2, 2

*!%:, *!%:,

7 )

' * '

2,

B B

*2, 2 * 2, 2

@B * , C C

'

B * , D

*!%, *!%,

*!%>,

2% &

@ *2, * 2, @B

* , B

C

%%

% 9

*2, '

C

*!%,

* , *2,

@B

*2,

*!%,

' # *!%:,

*2,

*!%0,

' *!%, %

& *!%:, *!%, % *!%:, 6

*2,

*2, %%

*2,

*!%;,

C

*2,

*!%

,

E *!%!",

%

7 6 '

'

B B Æ Æ Æ *2, *2, Æ *" ! :,% $ *2,

' B 2 * , B

*2,

*,

*!%!!,

' B B @ * , B " *2,

6

* , B

C

*!%!:,

*2,

*!%!,

6 ' *!%!",%

- ) -

6 *!%!!, *!%!,% &

2%

$

B C

Æ

*2,

Æ

Æ *!%!0, %

& Æ *!%:, *!%, '

% $ -

(+ * F !%:, '

' / >1% & (+

' ' ' '

/01% 9 ' *!%!",% & '

B '

) 6

2

*!%!>,

2D G ' # G

%

. /: H 1

*!%!>,

2 '

2%

I '

' %

8 '

'

!

(+

' @ 9

!*, @B * 2, '

*!%!,

" /" !, *2, ' # *2,

@B C !

*!%!,

' *!%!>, ' *# ,

*# , / >1% ' # " " /" !, Æ )

*# , B *2, # ! # J

Æ

*!%!0,

9 ' * & 8%! ' ' '

,%

2

2

*2, Æ *" !1 !!"# $ 2 % # 2 Æ Æ

Æ

"

Æ *# ,

8 ' '

$ '

' A - 2 ' ' /1@

Æ

#Æ

Æ C

Æ

%

*!%!>,

Æ *2,%

' # *!%:,

Æ /" ! :,

*!%!;,

' *!%!;, % *!%!;, '

Æ /" ! :,%

' ' ' *%%

Æ ! :,

'

*%% ,% K 6 ' /!1 /1 ' 2

Ê

Æ

*! : !1 * 2 , '

# *!%:,

Æ

#Æ

Æ C

9 ' '

Æ

Æ /" Æ ,

*!%!,

% %

$

' @

* & . '/ ! . '2 * Ô 2

@B

*2

,

''# % '4# '!"# $ % # * 2, " :D *:%!, % # * 2, : : *:%!, $ # # .+ '/ '2 3& A @ /" , 2 - % & ' 2 A H%! Æ . * 2, */" ,, " :% & *:%!, ' " ' ' H% ' * : ",% "

*:%!, ' ' *:%!,

% &

* : ", %

!"

'!! + + + * Ô *2

,

' @ , 'N & P + ! : N N ' N #J Æ & # " *" !1 $ & Æ + ! : % / *'N , ! / B + * , & + ! : 0 + ) + & P ' / ##0 $ # " 3& & B B B /:; &% %:%1% & E

(+

' ' '

' %

% ! - .+ '/ ! - # & "

*

,

/" !, # " $ % # " + & . '/ # "

C # Ô ' * *2 , # *:%!0, 5 & & & B * Ô*2 , 3& *# , "

# &

@B

!

*: , * J,

!

*# ,

#

7

!

*: , *J,

!

#

*# ,

! #

# *:, J >

#

! :

B

>

#

Æ '

*:%!;, *:%!;,

!!

* Ô *2 ,

% & B ! ' 2% 0 ' @B 0 ' ' % 9 '

8'

% 9

' 2 B ' 2 B %

K & .%> '

1

1 #

N @B

Æ (

! #

#

##

#

#

!

*: , * J,

&

1 ## #

2

A :%%01,%

#

! +

% %

$ ) ' $

(+ '

' % & ' ' - ' @ !%

9% &

6

% 9 :%

& B @ P '

%

'N

B %

& '

B +% 9 B

& ' '

P '

,

@B % 5 & & ' ' 'N % 9 B %

& ' 6 % 8 ' ' ) % 9 ' % E ' '

A 5 A ' % !>

!

#

+

B !

' Æ

' N P

+

B !

* ", Ê " !,% A Æ ' ' % 9 ' ' B

' ' @ @B ' * , B Æ ) ) C * !, @B 2 *, , B ! ! ! @B )*) ,*) C * !,, *, *), " + C , * ,* :, * P B

P

:

A /" !1% & 2 A C ! 5 A

/" !1@ A " B B ! - ' *! , *, ' 2 *, 7

2 *, @B

& '

,

B "

*%!,

* %

,

' %

/ ( ( " ( & ' %

(+ ' ' ' ' '

/!! >1% & ' ( %! % & 3 4 34 @

' 0B @B % &

+ B ! ( %!D ' A

' '

' % 9

' /:!1 ' ' ( @ B

@ B B

E ' '

B

*%:,

M ' * *2 ,% & ' '

' '

M % 9 ' B B B " ' 0 B 0 *%:, E' ' '

!

$ "

9 ) ' %

& '

* , @B ' '

* , B

'@

C ,

*

@B

@B

%

9

* ,

*%,

N * , ' ' ' N *N ' ' % & N B Æ ( N B Æ ( * , @B N, & '

*N N, @B N

N N N C N NN

N @B *( , * Æ ( , *( ,

'

N B Æ ( (

(

$ N 6 ' ' 6

* , %

)

$

* , * , %

@

)

%

8 /:!1

B

)3

' '

'

@B

% & ! @B

& )

@

'

(+ ' % & '

' '

(+ '

* ,,

B

'

B *

)

$

*%>,

@B

8 )

*%,

)

' % !

% ! !

- & . '2 & 1 * , $ : % * 4 *, B * ,

& & & * 4 *, B * , 3& & ' ) * , 6

* ,

* ,% 4

& )

* ,

B

* ,

' ' :%0% 8 )

8

4 *, B

* ,%

'

** , ,

B

* ,%

'

& ' 6 % $ /"1 ' R 6

6

& :%! %

% &

& ' ) ' - ' # ' % 9

% ! ) ! & '!'# & * 8% /! $ % # & ! : "

% . 2 + 5* , # !*! C !, ! B 5 & ; 5* , # !*! C !, 3& & *!, ' B ! />!1%

*%,

*%0,

L 'D ' ' ' %

&

*%% 7 6 %% /!1,@

#

B

# *2,

!

#

* ,

!0

*2,

*%;,

*2, * , " % ' ? ½ ' * *2 , ' B D

F '

! B !

*% ' '

5* ,

# *! C ,%

$

' Æ ' % 9 ' %

'

(

& '

#

*%, ' %

@

# * , @B

&

# * ,

*%!",

B

' ' ' ' % H '

' ' %!%!

B C 9

#

,C # * , B *

C

'

!;

*%!!,

#

* , C * ,

*%!:,

9 %!%! ' '

' 6% & ' /:1 ' '

#

*%!",

! % ! 01 &

' @

& * , B " *%!, $ % " Æ + * , # * , *! C !, * , * Ô*2 , ! B

$

& *%!,

%:% . %: *%!, '

* ,%

&

9 %:

*%!,

!

* , B "

*%!>,

$ - '

'

' *%!:, *%!>, %% E ' *%!:, *%!, % 9 - '

# * , B 2* , . *%:, ' '

B C

C

H

# %%

' ' * *2 ,

*%!,

- ' ' @

* , * , * ,

B B B

2 * , 2* , 2* ,

*%!, '

'

0

9 *%!0, *%!;, @ !
-

'

Æ H5 %

# 6 %

'

'

%

' ' '

7@ &

7

7

7

7 B *7 , B "

7

0

*%:,

' ' @B 7

# ' '

'

'

'

@B

7

%

&

- ' @

' % " # + ) "" 5

@ B C # * , B 2* , ! # . *2, *R , B 2* , *2, *%:0, $ Æ )+ : % &

& =',># ; : % /'(# % & ::

# . & * S, * Æ ( , * Æ (, B 2*, *R , # 7 & *& , B " *%:;, $ )+ : % /'%:,

B "%

' %%

*!%!;, *!%!%, /< A :%!!1 /< A :%01

8

Æ

#

Æ

#Æ

Æ

' ' *!%!%,

3& 8

* U * U B # *:%:", *>%,%

'!! + % 764 # ! &

8 @

=

8

8

*>%,

'

8 B * ,

' B B * , B " *2,

Æ "! A & $ '!/ B "# & Æ /" Æ 1 /" Æ , 8 8 %

#Æ

Æ

C

*>%0,

3& K % 8 % B 8 % 8 8 % B *$ % ,8 C % 8 *$ % , C % *8 8 ,%

*>%;,

& *>%;, ' '

*$ % ,8 % 8 *$ % ,

8 Æ #Æ Æ Æ # *$ % , # Æ Æ

#Æ

Æ

' M A :%; ' '

8

8 >%!%

& @ ' ' H :%!: ' * 2, *>%;, '

& *% , # %

*:%!, % *>%;,

D R

%

#

.

*>%!!,

B " #

B "

:

*>%!",

'

*2, *!%:,

*2, *!%:,

%

*>%;

!>!0

: ' ) % #

'

B ! %>

' '

% %

& '

% 0% 8 ' ' ) & :%

& : ' H5 !"

%

% ! *',

B !

' 2

* ,

2

%

9 ' ' )

% %

/:01 ' '

%> * /:,

2 ( C ;

' '

2

Æ

2 (

#& C 2

(

*8%,

2 ( C ; * 2, ( #;Æ Æ (

Æ ( 8 -M M % 9 ; !

; Æ ( # J Æ ( C ( C #&

3& & $ !

K . * %% />:1,

' 2

B + Æ '

' @ !%

B * , ! B * 2, ' *" !,D

Æ ' 2@ + Æ D *" !, 2 * ,%

:% %

#

@B

!

#

#

#&

Æ

( J

Æ

!

A 8%

!

*: & , * J,

(

! Æ (

!

*8%,

& '

Æ

! *:& , *J,

#

*: & ,

C

Æ

J

& *J,

( C

B

>

#&

Æ (

* , '

K ' 2

!

Æ

!C

Æ

!

Æ

(

# (

# * J,

# * J, #&

C

C

C

Æ (

Æ

# & % Æ /" !1 & 8%! @

' &

. ) '

! !!2# B 5 C Æ 5 Æ Æ /" !, *2, !# Æ & '# & C ! Æ ) #& &J Æ *8%, $ % # "

! Æ ) # J #& C 3& & 5 Æ % 5 B " & 8%!% 8 ' " 5 5 ' 5 Æ Ê

2

'

5 C !%

&

! Æ ) #

#) *8%!,

5

#& C

Æ

Æ

J

9

"

5 5

- B 5 )

9 B @B 9 C R

) 9 '

R B

6 ' '

'

! Æ #

# &

C

%

Æ

* A :%% ' /:;1 ' '

&

J

Æ

9 ' %,

& 8%! ' %

) & * ( Æ *" !, 2 Ê *, *, *), ) C @B Æ Æ * 2, ) Æ

*.%!,

L ' ' ) />"1@ >

8 + Æ & B

% Æ + Æ

Ê

2

*.%:,

)

$

* ,

(

* ,

) Æ

(

/ ) C Æ ( Æ

3& 9 '

(

B

(

( (

( (

C

( (

( (

C

( (

( (

C

( (

*.%,

( (

K *.%:,

( (

*, *), Æ ( ( )

) ) Æ ( ( * ,

)

*, *), Æ ( ( ( ( )

*, *), Æ ( ( ( ( )

*.%,

9

( (

*, *), Æ ( ( )

) :

)

)

Æ ( Æ (

( (

)

Æ (

H

* ,

*, C *), ) Æ ( (

)

*, ) *, ! ) Æ Æ ( ( ) ( ( ( )

( (

*,

!

) Æ ) / Æ *, * , Æ / Æ ( Æ (

(

(

H '% A 2

Ê

A -

" *" !,

@B

&

*2,

C

!

!

'

*!%!,%

# *2,

Æ

*.%>, % 9

8

" *" !, $ & " Æ ! : ! " % # " Æ # *2, 3& A B + Æ ' 2 ' ' & 8%!% N N % . + N B Æ ( Æ ( @ Ê

2

L

'

6 " #* "

N Æ ( #* N ( C 6N (

Æ ! :% 9 6

7 '%

!

Æ

" Æ '

Æ ( #* ( C #6! (

& '

Æ ( #*! Æ ( C #6! Æ (

' A .%!

Æ # 8

Æ ! :

Æ ( #*! Æ C #6! Æ

' & !%>%>% ' /!1

! Æ # Æ %

&

6

Æ % 8 6 ' A .%: '

8

" *" !, $ & " Æ ! : ! " *2, Æ *2, 5 *2, # *2, 3& &

*2, # *2, ' ' Æ *2, # *2, ' Æ " Æ L

% . *2, Æ *2,

' " Æ Æ Æ ' Æ # " Æ # & ' ' A .%:

%

8 'N & 1 & !*, B * 'N , N , 1 & ' N B 8 # & ' N B * # " *" !, 7 *' $ 1 # ! 2

Ê

3& A ' 'N % ( ' & .% ' ' A >%! ' /01 '

# ! C

8

* , B 1* ,

* ,

' %

!

*'N ,

# "

* ! # + ( . 1 B / 1 1 B / 1 @ 1 1

$ & : Æ . *1 , *1 ,

$ & *1 , *1 , & & & & . *, B *, 5 & 2 @ 1 2 $ *1 , & : Æ . * 2, 3& & % 5 D %% /< H % :%;1% B ' * *1 , Æ ' @ * *1 , B *1 , ' . 1 Ê 1 + & 1 & & + B " ! & " $ & 6 /" ! :, Æ % #* " + #* * + * *1 , *H%!, + #* * + * *1 , *H%:, 3& 9 *H%!,% *H%!, ' 6 B "% A ' 6 *" ! :,% 9 * - + ' ' D ' *1 ,@

+

=

9 '

*

' * =, =

' * =, @B

%

' * =, =

=

*

'

+

+ C +

=

+ = B :!6

% "

+

*

*H%,

#*Ê , ' " *, !

/ ! !1 % ! / ! : ! :1% Æ " Æ *, @B * Æ ,% = *" , $

=

=

*

*"

, ' %

% *, @B !

*

A

' *= ,

*, @B % *,*,

'

+

B

+

% * ,

, '

6 ' '

%

*! % , + =

*%, :

#

C

0

=

+

#= +

C

#

!C

%

=

+

8 '

*H%!,%

#

=

*

' *= , = #

6 1

*H%:,

6 *" ! :,

*

*

+

'

% &

6 B "

%

# + C + C + # + C # + *1 ,

*H%:, + # + C #* * + #* * +

+

% ! . 1

1 + & 1 1 + & $ @ *1 , * *1 , $ + #%,- + & *1 , $ B & * *1 , $ & 6 /" :, % #* " #%,- 6 $ + #* + 3& A **1 , %

* %% /01, ' #* " ' @ A * *1 , ' ** *1 , , %% * + C + #* * + *H%>,

Ê

*, *,

$ + + C $ * , + *! C #%,-, +

*H%,

9 ' A H%:

$ + + C $ + + C + C $ + #* + C #* * $ +

#* + C #* * + C $ + #* + C #**: C #%,- , * + # +

*H%, *H%>,% & ' ' %

.

!% $ H% '

#%,-

+

$

$ @ *1 , , *1 , %% $ + ' *1 , ' H%%

* *1

:% $ H% ' ' %% '

$ @ *1 , * *1 , *1 , $ B ' *1 ,%

' 2"9

& '% #% 9% 7 '

% ;

' + /!1 +% 8 .% 5 %

8

- '

' %

;

;@>= :"""% /:1 $% .V 8% H W% + W% X % %

(Æ '

5 C ; :;*,@:>=!

! F ' '

$% . ' 6 ' %

5 C !,@0=0;! !
C ; *:,@
/:1 .%% [ M% A ' ) 6 % & F ;=; !@>;=>
!