buku-pegangan-siswa-matematika-smp-kelas-9-kurikulum-2013 ...

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN REPUBLIK INDONESIA 2015

MILIK NEGARA TIDAK DIPERDAGANGKAN

Buku ini disusun berdasarkan Kurikulum 2013 dengan menyesuaikan kompetensi dan materi berdasarkan standar internasional seperti PISA (Program for International Student Assessment) dan TIMSS (The International Mathematics and Science Survey). Buku ini berbeda dengan buku matematika umumnya karena dalam buku ini tidak semua informasi pengetahuan disajikan secara langsung, melainkan mengajak siswa aktif menggali pengetahuan dan mengkontruksi suatu konsep serta menumbuhkan kemampuan bernalar melalui kegiatan yang disajikan. Pembelajaran matematika dalam buku ini mengaitkan matematika dengan masalah dalam kehidupan nyata, bidang ilmu lain, dan antar materi matematika. Sehingga, siswa tidak hanya menguasai kompetensi dasar yang ditetapkan tetapi juga memahami manfaat matematika dalam kehidupan nyata dan mampu menerapkannya. Buku ini mengajak untuk berpikir secara ilmiah, dengan cara: mengamati, menanya, mengumpulkan informasi/mencoba, menalar/ mengasosiasi/ menganalisa, dan mengkomunikasikan. Kegiatan dalam buku ini perlu dilakukan secara berkelompok untuk membiasakan siswa bekerjasama dalam tim. Buku ini juga menyajikan beberapa model permasalahan, antara lain: soal prosedural, soal penalaran yang menuntut siswa berfikir kreatif, serta soal terbuka yang memungkinkan beberapa jawaban benar. Selain itu, juga memuat tugas projek untuk melatih siswa bekerjasama menghasilkan suatu model, metode, strategi, atau produk untuk dipresentasikan. Adapun materi yang dipelajari selama kelas IX semester 1 ini mencakup 5 Bab, yaitu: (1) Perpangkatan dan Bentuk Akar; (2) Pola, Barisan dan Deret; (3) Perbandingan Bertingkat; (4) Kekongruenan dan Kesebangunan; (5) Bangun Ruang Sisi Lengkung.

ISBN : 978-602-282-095-6 (jilid lengkap) (jilid 3a)

Matematika % Kelas IX SMP/MTs %Semester 1

MATEMATIKA

MATEMATIKA

SMP/MTs

KELAS

IX

SEMESTER 1

Hak Cipta © 2015 pada Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Dilindungi Undang-Undang.

Disklaimer: Buku ini merupakan buku siswa yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi Kurikulum 2013. Buku siswa ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini. .DWDORJ'DODP7HUELWDQ.'7 Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 0DWHPDWLND.HPHQWHULDQ3HQGLGLNDQGDQ.HEXGD\DDQ Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2015. vi, 274 hlm : ilus. ; 25 cm.

8QWXN60307V.HODV,;6HPHVWHU ,6%1MLOLGOHQJNDS ,6%1MLOLGD

0DWHPDWLND6WXGLGDQ3HQJDMDUDQ II. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

,-XGXO 510

.RQWULEXWRU1DVNDK

6XEFKDQ :LQDUQL /XNPDQ +DQD¿ 0 6\LID XO 0X¿G .LVWRVLO )DKLP :DZDQ +D¿G 6\DLIXGLQ GDQ 6DUL Cahyaningtias

3HQHODDK Penyelia Penerbitan

$JXQJ/XNLWR$OL0DKPXGL.XVQDGLGDQ7XUPXGL : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.

Cetakan ke-1, 2015 'LVXVXQGHQJDQKXUXI7LPHV1HZ5RPDQSW ii

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Kata Pengantar 0DWHPDWLND DGDODK EDKDVD XQLYHUVDO GDQ NDUHQDQ\D NHPDPSXDQ PDWHPDWLND VLVZD VXDWX QHJDUD VDQJDW PXGDK GLEDQGLQJNDQ GHQJDQ QHJDUD ODLQ 6HODLQ LWX PDWHPDWLND MXJD GLSDNDL VHEDJDLDODWXNXUXQWXNPHQHQWXNDQNHPDMXDQSHQGLGLNDQGLVXDWXQHJDUD.LWDPHQJHQDO3,6$ Program for International Student Assessment GDQ 7,066 The International Mathematics and Science Survey \DQJ VHFDUD EHUNDOD PHQJXNXU GDQ PHPEDQGLQJNDQ DQWDUD ODLQ NHPDMXDQ pendidikan matematika dibeberapa negara. 6WDQGDU LQWHUQDVLRQDO VHPDFDP LQL PHPEHULNDQ DUDKDQ GDODP PHUXPXVNDQ SHPEHODMDUDQ 0DWHPDWLND GL 60307V +DVLO SHPEDQGLQJDQ DQWDUD \DQJ NLWD DMDUNDQ VHODPD LQL GHQJDQ \DQJ GLQLODL VHFDUD LQWHUQDVLRQDO PHQXQMXNNDQ DGDQ\D SHUEHGDDQ EDLN WHUNDLW PDWHUL PDXSXQ NRPSHWHQVL3HUEHGDDDQLQLPHQMDGLGDVDUGDODPPHUXPXVNDQSHPEHODMDUDQ0DWHPDWLNDGDODP .XULNXOXP Buku Matematika Kelas IX SMP/MTs.XULNXOXPLQLGLWXOLVEHUGDVDUNDQSDGDPDWHUL GDQNRPSHWHQVL\DQJGLVHVXDLNDQGHQJDQVWDQGDULQWHUQDVRQDOWHUVHEXW7HUNDLWPDWHULPLVDOQ\D VHEDJDL WDPEDKDQ VHMDN NHODV 9,, WHODK GLDMDUNDQ DQWDUD ODLQ WHQWDQJ GDWD GDQ SHOXDQJ SROD GDQ EDULVDQ ELODQJDQ DOMDEDU GDQ EDQJXQ VHUWD WUDQVIRUPDVL JHRPHWUL .HVHLPEDQJDQ DQWDUD PDWHPDWLNDDQJNDGDQPDWHPDWLNDSRODGDQEDQJXQVHODOXGLMDJD.RPSHWHQVLSHQJHWDKXDQEXNDQ hanya sampai memahami secara konseptual tetapi sampai ke penerapan melalui pengetahuan SURVHGXUDOGDODPSHPHFDKDQPDVDODKPDWHPDWLND.RPSHWHQVLNHWHUDPSLODQEHU¿NLUMXJDGLDVDK untuk dapat memecahkan masalah yang membutuhkan pemikiran order tinggi seperti menalar SHPHFDKDQPDVDODKPHODOXLSHUPRGHODQSHPEXNWLDQGDQSHUNLUDDQSHQGHNDWDQ Walaupun demikian, pembahasan materi selalu didahului dengan pengetahuan konkret \DQJGLMXPSDLVLVZDGDODPNHKLGXSDQVHKDULKDUL3HUPDVDODKDQNRQNUHWWHUVHEXWGLSHUJXQDNDQ VHEDJDL MHPEDWDQ XQWXN PHQXMX NH GXQLD PDWHPDWLND DEVWUDN PHODOXL SHPDQIDDWDQ VLPERO simbol matematika yang sesuai melalui pemodelan. Sesampainya pada ranah abstrak, metodemetode matematika diperkenalkan untuk menyelesaikan model permasalahan yang diperoleh dan mengembalikan hasilnya pada ranah konkret. %XNX LQL PHQMDEDUNDQ XVDKD PLQLPDO \DQJ KDUXV GLODNXNDQ VLVZD XQWXN PHQFDSDL kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum VLVZDGLDMDNEHUDQLXQWXNPHQFDULVXPEHUEHODMDUODLQ\DQJWHUVHGLDGDQWHUEHQWDQJOXDVGL sekitarnya. Peran guru sangat penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap siswa dengan ketersedian kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam. Sebagai edisi pertama, buku ini sangat terbuka terhadap masukan dan akan terus diperbaiki dan disempurnakan. Untuk itu, kami mengundang para pembaca untuk memberikan kritik, saran dan masukan guna perbaikan dan penyempurnaan edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut, kami XFDSNDQWHULPDNDVLK0XGDKPXGDKDQNLWDGDSDWPHPEHULNDQ\DQJWHUEDLNEDJLNHPDMXDQGXQLD SHQGLGLNDQGDODPUDQJNDPHPSHUVLDSNDQJHQHUDVLVHUDWXVWDKXQ,QGRQHVLD0HUGHND Jakarta, Januari 2015 0HQWHUL3HQGLGLNDQGDQ.HEXGD\DDQ

iii

1... 2... 3...

DAFTAR ISI

Kata Pengantar .................................................................................................. Daftar Isi ............................................................................................................. Bab I

Perpangkatan dan Bentuk Akar ........................................................ 0HQJHQDO7RNRK .................................................................................. A. Bilangan Berpangkat ..................................................................... Latihan 1.1 Bilangan Berpangkat.................................................. B. Perkalian pada Perpangkatan ........................................................ Latihan 1.2 Perkalian pada Perpangkatan ..................................... C. Pembagian pada Perpangkatan...................................................... /DWLKDQ3HPEDJLDQSDGD3HUSDQJNDWDQ .................................. ' 1RWDVL,OPLDK%HQWXN%DNX ........................................................ /DWLKDQ0HPEDFDGDQ0HQXOLV1RWDVL,OPLDK ........................ E. Pangkat Bilangan Pecahan ............................................................ Latihan 1.5 Pangkat Bilangan Pecahan ......................................... Proyek 1 ................................................................................................ 8ML.RPSHWHQVL..................................................................................

Bab II Pola, Barisan, dan Deret ..................................................................... 0HQJHQDO7RNRK.................................................................................... A. Pola Bilangan ................................................................................ 0DWHUL(VHQVL................................................................................. Latihan 2.1 Pola Bilangan ............................................................. B. Barisan Bilangan ........................................................................... 0DWHUL(VHQVL................................................................................. Latihan 2.2 Barisan Bilangan ........................................................ C. Deret Bilangan .............................................................................. 0DWHUL(VHQVL................................................................................. /DWLKDQ'HUHW%LODQJDQ ........................................................... Proyek 2 ................................................................................................ 8ML.RPSHWHQVL..................................................................................

iv

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

iii iv 1 4 10 12 20 21 27 29 40 45 46 54 58 60 70 76 78 88 95 96

Copyright:

Bab III Perbandingan Bertingkat ................................................................... 0HQJHQDO7RNRK.................................................................................... A. Perbandingan Bertingkat ............................................................... 0DWHUL(VHQVL................................................................................. /DWLKDQ3HUEDQGLQJDQ%HUWLQJNDW............................................... 3UR\HN ................................................................................................ 8ML.RPSHWHQVL..................................................................................

101 104 108 110 112

Bab IV Kekongruenan dan Kesebangunan ................................................... 0HQJHQDO7RNRK.................................................................................... A. Kekongruenan Bangun Datar ........................................................ 0DWHUL(VHQVL................................................................................. Latihan 4.1 Bangun-bangun yang Kongruen ................................ B. Kekongruenan Dua Segitiga ......................................................... 0DWHUL(VHQVL................................................................................. Latihan 4.2 Kekongruenan Dua Segitiga ...................................... C. Kesebangunan Bangun Datar ........................................................ 0DWHUL(VHQVL................................................................................. /DWLKDQ.HVHEDQJXQDQ%DQJXQ'DWDU..................................... D. Kesebangunan Dua Segitiga ......................................................... 0DWHUL(VHQVL................................................................................. Latihan 4.4 Kesebangunan Dua Segitiga ...................................... Proyek 4 ................................................................................................ 8ML.RPSHWHQVL..................................................................................

117 119 120 125 129 142 144 147 157 169 175

Bangun Ruang Sisi Lengkung............................................................ 0HQJHQDO7RNRK.................................................................................... $ 7DEXQJ ........................................................................................... 0DWHUL(VHQVL................................................................................. /DWLKDQ7DEXQJ........................................................................ B. Kerucut .......................................................................................... Latihan 5.2 Kerucut....................................................................... C. Bola ............................................................................................... /DWLKDQ%ROD ............................................................................ Proyek 5 ................................................................................................ 8ML.RPSHWHQVL..................................................................................

185 186 191 194 197 205 208 212 215 216

Bab V

MATEMATIKA

v

Bab VI

Statistika ........................................................................................... 0HQJHQDO7RNRK ................................................................................ $ 3HQ\DMLDQ'DWD .......................................................................... 0DWHUL(VHQVL ............................................................................ /DWLKDQ3HQ\DMLDQ'DWD ....................................................... % 0HDQ0HGLDQGDQ0RGXV ....................................................... 0DWHUL(VHQVL ............................................................................ /DWLKDQ0HDQ0HGLDQ0RGXV........................................... Proyek 6 ............................................................................................. 8ML.RPSHWHQVL ...............................................................................

225 226 242 247 251 254 255

Contoh Penilaian Sikap ..................................................................................... 259 Rubrik Penilaian Sikap ..................................................................................... 261 Contoh Penilaian Diri ........................................................................................ 262 Contoh Penilaian Partisipasi Siswa .................................................................. LembarPartisipasi.............................................................................................. 264 Contoh Pengolahan Laporan Pencapaian Kompetensi Matematika ............ 265 Daftar Pustaka ................................................................................................... 269 Glosarium ........................................................................................................... 272

vi

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Bab I

Perpangkatan dan Bentuk Akar

Kata Kunci x x x x

Sifat-sifat Pangkat Pangkat Negatif Pangkat Pecahan Bentuk Baku

K ompetensi D asar 1.1 2.1

3.1

3.2

4.3

Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik dan kreatif, konsisten dan teliti, bertanggung jawab, responsif, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah sehari-hari, yang merupakan pencerminan sikap positif dalam bermatematika. Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar dalam suatu permasalahan. Memahami operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar. Menyelesaikan permasalahan dengan menaksir besaran yang tidak diketahui menggunakan berbagai teknik manipulasi aljabar dan aritmatika.

Sumber: Dokumen Kemdikbud Tahukah kamu berapakah jarak planet Jupiter ke matahari? Bagaimana kamu dapat menuliskan jarak tersebut dalam bentuk yang lebih sederhana? Dapatkah kamu melihat seekor bakteri dengan mata telanjang? Mengapa kamu tidak dapat melihatnya tanpa bantuan mikroskop?Berapakah panjang bakteri tersebut?Dapatkah kamu menuliskan dalam bentuk yang lebih sederhana untuk ukuran yang sangat kecil tersebut? Pernahkah kamu mengamati pembelahan sel pada seekor hewan bersel satu di pelajaran biologi? Bagaimanakah pola pembelahan yang terbentuk tiap satuan waktunya? Berapakah jumlah seluruh hewan tersebut pada satuan waktu tertentu? Bagaimanakah kamu dapat mengetahui jumlah tersebut? Bagaimana jika jumlah hewan bersel satu yang kalian amati lebih dari satu ekor? Dapatkah kamu mendapatkan jumlah seluruhnya setelah satu waktuan waktu? Nah, masalah-masalah tersebut di atas dapat diselesaikan dengan konsep perpangkatan. Konsep ini akan kita pelajari bersama di Bab 1 ini.

Pengalaman Belajar 0HQJLGHQWL¿NDVLPHQGHVNULSVLNDQPHQMHODVNDQVLIDWEHQWXNSDQJNDWEHUGDVDUNDQKDVLOSHQJDPDWDQ 2. Menyelesaikan permasalahan nyata yang berhubungan dengan perpangkatan dan operasi matematika. 3. Menggunakan bentuk baku untuk menuliskan bilangan yang sangat besar dan bilangan yang sangat kecil.

MATEMATIKA

1

Peta Konsep Perpangkatan

Bilangan Berpangkat

Pembagian pada Perpangkatan

Perkalian pada Perpangkatan

2

Perpangkatan Bilangan Pecahan

Notasi Ilmiah

Sumber: www.stanford.edu

Julius Wilhelm Richard Dedekind ODKLU SDGD 2NWREHU GDQ ZDIDW pada 12 Februari 1916, pada usia 85 WDKXQ%HOLDXPHUXSDNDQ0DWHPDWLNDZDQ asal Jerman yang sangat diperhitungkan GDODP VHMDUDK PDWHPDWLND VHEDJDL salah satu penemu dibidang matematika. 3HPLNLUDQ 'HGHNLQG EDQ\DN GLMDGLNDQ UXMXNDQ XQWXN PHPEHQWXN NRQVHS EDUX The Man and The Number Dedekind menyebutkan bahwa, angka adalah kreasi pikiran manusia dari sini Beliau menemukan konsep angka secara NXDQWLWDV GDQ PHUXSDNDQ UHSUHVHQWDWLI dari suatu label yang disebut bilangan.

'HGHNLQG PHUXSDNDQ 3URIHVVRU GL Pholytecnic School di Zurich, Jerman. Selama hidupnya, Dedekind banyak menerima penghargaan dalam bidang PDWHPDWLND GLDQWDUDQ\D *|WWLQJHQ $FDGHP\ 7KH %HUOLQ $FDGHP\ $FDGHP\ RI 5RPH 7KH /HRSROGLQR&DOLIRUQLD 1DWXUDH &XULRVRUXP $FDGHPLDDQGWKH$FDGpPLHGHV6FLHQFHVLQ3DULV 3HQJKDUJDDQGDODP ELGDQJGRNWRUDOGLEHULNDQNHSDGDQ\DROHK7KH8QLYHUVLWLHVRI.ULVWLDQLD2VOR =XULFKDQG%UXQVZLFN3DGDWDKXQ'HGHNLQPHQHUELWNDQEXNXEHUMXGXO Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen yang memberikan pengaruh VDQJDWEHVDUWHUKDGDSGDVDUGDVDU0DWHPDWLND Julius Wilhelm Richard Dedekind

Sumber: www.stanford.edu

Hikmah yang bisa diambil 1. Semangat Dedekind untuk merumuskan suatu teori bilangan yang lebih sederhana dan dapat dipahami sekaligus sebagai dasar metodologi konsepNRQVHSPRGHUQSDGDXVLD\DQJUHODWLIPXGD 'HGHNLQGWHWDSUHQGDKKDWLVHKLQJJDGLDVHODOXPHPLOLNLVHPDQJDWEHODMDU \DQJWLQJJLVHNDOLSXQWHODKPHQMDGLVHRUDQJSHQJDMDU 'HGHNLQG WLGDN PXGDK SXDV GHQJDQ VHJDOD SHQJKDUJDDQ \DQJ WHODK GLDQXJHUDKNDQNHSDGDQ\DKDOLQLWHUEXNWLGHQJDQNHDNWLIDQQ\DGDODPKDO SHQHOLWLDQNKXVXVQ\DWHRULDOMDEDU

3

A. Bilangan Berpangkat Pertanyaan Penting Bagaimana kamu dapat menggunakan bentuk pangkat untuk menyederhanakan penulisan sebuah bilangan?

Memahami Konsep Bilangan Berpangkat

Kegiatan 1.1

Lakukan kegiatan ini dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 siswa dan sediakan satu karton berwarna serta sebuah gunting kertas. /LSDWODK NHUWDV LWX PHQMDGL GXD EDJLDQ VDPD EHVDU\DLWXSDGDVXPEXVLPHWULOLSDWQ\D *XQWLQJODK NHUWDV SDGD VXPEX VLPHWUL lipatnya. 7XPSXNODK KDVLO JXQWLQJDQ NHUWDV VHKLQJJD tepat menutupi satu dengan yang lain. 5. Berikan kertas tersebut kepada siswa berikutnya, lalu lakukan Langkah 2 sampai 4 secara berulang sampai seluruh siswa di Sumber: Dokumen Kemdikbud Gambar 1.1 Karton, gunting, dan kelompokmu mendapat giliran. kertas 6. Banyak kertas hasil guntingan pada tiap-tiap SHQJJXQWLQJDQVHODQMXWQ\DGLVHEXWGHQJDQEDQ\DNNHUWDV7XOLVNDQEDQ\DNNHUWDV pada tabel berikut:

4

Pengguntingan ke-

Banyak kertas

1

2

2

...

...

4

...

5

...

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Dari Kegiatan 1.1, diperoleh bahwa banyak kertas hasil pengguntingan ke-2 adalah 2 kali lipat dari banyak kertas hasil pengguntingan ke-1. Banyak kertas hasil SHQJJXQWLQJDQNHDGDODKNDOLOLSDWGDULEDQ\DNNHUWDVKDVLOSHQJJXQWLQJDQNH dan seterusnya. Jika kamu melakukan pengguntingan kertas sebanyak n kali maka banyak kertas hasil pengguntingan adalah 2 u 2 u2 u… u2 = 2n 2 sebanyak n Bentuk di atas merupakan perkalian berulang bilangan 2 yang disebut dengan perpangkatan 2. Secara umum, perkalian berulang dari suatu bilangan x disebut dengan perpangkatan x. Ayo Kita Berbagi /DNXNDQNHPEDOL.HJLDWDQQDPXQNHUWDVGLOLSDWPHQMDGLEDJLDQ\DQJVDPDEHVDU EHUGDVDUNDQ VXPEX VLPHWUL OLSDWQ\D YHUWLNDO GDQ KRULVRQWDO .HPXGLDQ WXOLVNDQ MDZDEDQPX VHSHUWL WDEHO GL DWDV$SDNDK EDQ\DN NHUWDV KDVLO JXQWLQJDQ SDGD WLDS WLDSSHQJJXQWLQJDQMXPODKQ\DVDPDGHQJDQ\DQJWHODKNDPXODNXNDQVHEHOXPQ\D" 0HQJDSDKDOWHUVHEXWELVDWHUMDGL"-HODVNDQVHFDUDVLQJNDW3DSDUNDQMDZDEDQPXGL depan teman sekelasmu. Kegiatan 1.2

Menggunakan Notasi Pangkat

6HWHODK PHPDKDPL NRQVHS SHUSDQJNDWDQ SDGD .HJLDWDQ VHODQMXWQ\D SDGD kegiatan ini kamu akan menyatakan perpangkatan dalam bentuk perkalian berulang. Ayo Kita Amati Amatilah tabel berikut ini. Perpangkatan

Bentuk Perkalian

Hasil Perkalian

51

5

5

52

5u5

25

5

5u5u5

125

5 merupakan perpangkatan dari 5. Bilangan 5 merupakan basis atau bilangan SRNRNVHGDQJNDQPHUXSDNDQeksponen atau pangkat.

MATEMATIKA

5

Ayo Kita Menanya Buatlah pertanyaan yang berhubungan dengan kata “basis” dan “eksponen”. Ayo Kita Mencoba Setelah mengamati tabel di atas, lengkapilah tabel di bawah ini. Perpangkatan

Bentuk Perkalian

Nilai

24 65 74 107 Ayo Kita Menalar &REDMHODVNDQGHQJDQNDWDNDWDPXVHQGLULDSDNDK\DQJGLPDNVXGGHQJDQEHQWXNn untuk nELODQJDQEXODWSRVLWLI Ayo Kita Simpulkan Setelah melakukan rangkaian Kegiatan 1.2, apa yang dapat kamu simpulkan berkaitan dengan perpangkatan? Perpangkatan adalah perkalian berulang dari suatu bilangan yang sama. Bilangan pokok dalam suatu perpangkatan disebut ... dan banyaknya bilangan pokok yang digunakan dalam perkalian berulang disebut ... Sehingga bentuk umum dari perpangkatan adalah xn = x u x u x u … u xnELODQJDQEXODWSRVLWLI x sebanyak n

6

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Kegiatan 1.3

Menyatakan Perpangkatan dalam Bentuk Bilangan Biasa

Ayo Kita Mencoba Berikut ini diberikan suatu besaran yang dituliskan dalam perpangkatan. Untuk PDVLQJPDVLQJREMHNWXOLVNDQNHPEDOLGDODPEHQWXNELDVDWLGDNGDODPSHUSDQJNDWDQ a. Kisaran luas total daratan Indonesia adalah 1,8 u 1012 m2 = 1.800.000.000.000 m2

Sumber: http://www.biakkab.go.id

Gambar 1.2 Daratan Indonesia

E .LVDUDQ SDQMDQJ WHPERN EHVDU great wall GL7LRQJNRNDGDODKu107 m = ...

Sumber: http://inedwi.blogspot.com

Gambar 1.37HPERNEHVDUGL7LRQJNRN

c. Kisaran diameter bumi adalah 108 m = ...

Sumber: http://hanifweb.wordpress.com

Gambar 1.4 Bumi

MATEMATIKA

7

G .LVDUDQOXDVVDPXGHUDSDVL¿NDGDODK m2 = ....

Sumber: http://banyakilmunya. blogspot.com

Gambar 1.56DPXGHUD3DVL¿N

H 'LDPHWHU JDODNVL ELPD VDNWL milky way adalah 9,5 u 1017 = ....

Sumber: http://www.jpnn.com

Gambar 1.6 Galaksi Bima Sakti

I .LVDUDQGLDPHWHUPDWDKDULDGDODK8 km = ....

Ayo Kita Simpulkan

Sumber: https://triwidodo. wordpress.com

Gambar 1.70DWDKDUL

6HWHODK PHODNXNDQ NHJLDWDQ GL DWDV GDSDWNDK NDPX PHQMHODVNDQ PDQIDDW GDUL perpangkatan? Contoh 1.1

Menuliskan Perpangkatan

Nyatakan perkalian berikut dalam perpangkatan. D u u

8

.DUHQD GLNDOLNDQ EHUXODQJ VHEDQ\DN WLJD NDOL PDND u u PHUXSDNDQSHUSDQJNDWDQGHQJDQEDVLV GDQSDQJNDW -DGL u u

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

b. y uy uy uy uy uy

Karena y dikalikan berulang sebanyak enam kali maka y u y u y u y u y u y merupakan perpangkatan dengan basis y dan pangkat 6. Jadi y uy uy uy uy uy = y6

Contoh 1.2

Menghitung Nilai Perpangkatan

1\DWDNDQSHUSDQJNDWDQ 2 GDQ 2 dalam bentuk bilangan biasa. Alternatif Penyelesaian:

2 u

7XOLVNHPEDOLGDODPEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ

= 0,09 2

u

Sederhanakan

7XOLVNHPEDOLGDODPEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ

= 0,09

Sederhanakan

1\DWDNDQSHUSDQJNDWDQ GDQ dalam bentuk bilangan biasa.

Alternatif Penyelesaian:

u u = -0,027

7XOLVGDODPEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ

u u = 0,027


Sederhanakan

Sederhanakan

1\DWDNDQSHUSDQJNDWDQ GDQ 4 dalam bentuk bilangan biasa.

Alternatif Penyelesaian:

4

u u = -8


u u u = 16


Sederhanakan

Sederhanakan

Ayo Kita Menalar Berdasarkan Contoh 1.2, tentukan perbedaan: 3HUSDQJNDWDQGHQJDQEDVLVELODQJDQSRVLWLIGDQQHJDWLI 3HUSDQJNDWDQGHQJDQHNVSRQHQELODQJDQJDQMLOGDQJHQDS -HODVNDQMDZDEDQPX MATEMATIKA

9

Contoh 1.3

Operasi yang Melibatkan Perpangkatan

Hitung nilai pada operasi perpangkatan berikut: D u 52

u 52 u 25

Lakukan operasi perkalian

/DNXNDQRSHUDVLSHQMXPODKDQ

Sederhanakan

b. 42

42

Lakukan operasi pembagian

/DNXNDQRSHUDVLSHQMXPODKDQ

= 17

Sederhanakan

Ayo Kita Tinjau Ulang Selesaikan soal-soal di bawah ini. 7HQWXNDQKDVLOGDUL

D u 4

b. § 1 · u 2 1 ¨ ¸ 2 ©8¹

7XOLVNDQNHGDODPEHQWXNSHUSDQJNDWDQ a.

§ 2· § 2· § 2· § 2· ¨- ¸u¨- ¸u¨- ¸u¨- ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹

c. -66

b. t u t u 2 u 2 u2

7HQWXNDQQLODLGDUL a. pn-p n untuk p bilangan bulat dan n bilangan asli genap. b. pn-p n untuk p bilangan bulat dan nELODQJDQDVOLJDQMLO

Latihan 1.1

Bilangan Berpangkat

1. Nyatakan perkalian berulang berikut dalam perpangkatan

10

D u u

2 2 2 2 b. §¨ - ·¸ u §¨ - ·¸ u §¨ - ·¸ u §¨ - ·¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ c. t ut u t × 2 × 2 × 2 Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

d. t u y ut uy ut e.

1 1 1 1 1 u u u u 4 4 4 4 4

2. Nyatakan perpangkatan berikut dalam bentuk perkalian berulang D 8

E 4 c. t

1 d. §¨ - ·¸ © 4¹ 4 e. - §¨ 1 ·¸ ©4¹ 4

I § 1 · ¨ ¸ ©2¹

5

7HQWXNDQKDVLOGDULSHUSDQJNDWDQEHULNXW a. 54

G 2

e. §¨ 1 ·¸ ©¹ 4 I - § 1 · ¨ ¸ ©4¹

b. 65 c. 28

4. Nyatakan bilangan berikut dalam perpangkatan dengan basis 10 a. 1.000

c. 1.000.000

b. 100.000

d. 10.000.000

5. Nyatakan bilangan berikut dalam perpangkatan dengan basis 2 a. 256

c. 512

b. 64

d. 1.048.576

7XOLVNDQVHEDJDLEHQWXNSHUSDQJNDWDQGHQJDQEDVLV a. 5

c. 15.625

b. 625

d. 125

7HQWXNDQKDVLOGDULRSHUDVLEHULNXWLQL

D î4 b.

1 6 4 2

F î 4

G 4 – 44

e. §¨ 1 ·¸ u §¨ - 1 ·¸ © ¹ © ¹ 4

I § 1 · : - § 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ ©¹ 4

2

2

MATEMATIKA

11

7HPXNDQQLODLx pada persamaan matematika di bawah ini. a. 7x

x

F x = 10.000 d. 5x = 625

b. 2 = 64

7LPSHQHOLWLGDUL'LQDV.HVHKDWDQVXDWXGDHUDKGL,QGRQHVLD7LPXUPHQHOLWLVXDWX ZDEDK\DQJVHGDQJEHUNHPEDQJGL'HVD;7LPSHQHOLWLWHUVHEXWPHQHPXNDQ IDNWD EDKZD ZDEDK \DQJ EHUNHPEDQJ GLVHEDENDQ ROHK YLUXV \DQJ WHQJDK EHUNHPEDQJ GL $IULND 'DUL KDVLO SHQHOLWLDQ GLGDSDWNDQ EDKZD YLUXV WHUVHEXW GDSDWEHUNHPEDQJGHQJDQFDUDPHPEHODKGLULPHQMDGLYLUXVVHWLDSVHWHQJDK MDPGDQPHQ\HUDQJVLVWHPNHNHEDODQWXEXK%HUDSDEDQ\DNYLUXVGDODPWXEXK PDQXVLDVHWHODKMDP" 10. Tantangan. Dalam sebuah penelitian, diketahui seekor Amoeba S berkembang biak dengan membelah diri sebanyak 2 kali tiap 15 menit.

D %HUDSD EDQ\DN DPRHED 6 VHODPD VDWX KDUL MLND GDODP VXDWX SHQJDPDWDQ terdapat 4 ekor amoeba S?

E %HUDSDEDQ\DNMXPODK$PRHED6PXODPXODVHKLQJJDGDODPMDPWHUGDSDW minimal 1.000 Amoeba S?

B. Perkalian pada Perpangkatan Pertanyaan Penting Bagaimana hasil perkalian dari dua perpangkatan dengan basis yang sama? Kegiatan 1.4

Mengalikan Dua Perpangkatan dengan Basis yang Sama

Ayo Kita Amati $PDWLODKWDEHOGLEDZDKLQL+DVLORSHUDVLSHUNDOLDQSDGDSHUSDQJNDWDQVHODQMXWQ\D ditulis dalam perpangkatan. Operasi Perkalian pada Perpangkatan 2 u

2 u y5 uy2

12

Kelas IX SMP/MTs

Operasi Perkalian

Perpangkatan

uuuu

5

u u u u

5

yuyuyuyuyuyuy

y7

Semester 1

Ayo Kita Mencoba Lengkapilah tabel di bawah ini. Operasi Perkalian pada Perpangkatan

Operasi Perkalian

Perpangkatan

6u 62

4,22 u 4,2 74 u 74

§1· §1· ¨ ¸ u¨ ¸ ©¹ ©¹ 2

5

§ 1· § 1· ¨- ¸ u¨- ¸ © ¹ © ¹

5u 5

6HWHODKPHOHQJNDSLWDEHOGLDWDVLQIRUPDVLDSDNDK\DQJNDPXGDSDWNDQPHQJHQDL operasi perkalian pada perpangkatan? Ayo Kita Menalar Sederhanakan operasi perkalian pada perpangkatan dengan basis a di bawah ini. am u an = a Apakah aturan yang kamu dapatkan berlaku untuk operasi perkalian pada perpangkatan dengan basis yang berbeda? Sebagai contoh, 54 u 2-HODVNDQMDZDEDQPX Ayo Kita Simpulkan

Bagaimana cara untuk mendapatkan hasil operasi perkalian pada perpangkatan dengan basis yang sama?

MATEMATIKA

13

Memangkatkan Suatu Perpangkatan

Kegiatan 1.5

$PDWL WDEHO EHULNXW LQL +DVLO SHPDQJNDWDQ SDGD VXDWX SHUSDQJNDWDQ VHODQMXWQ\D ditulis dalam perpangkatan. Pemangkatkan Suatu Perpangkatan

2

Bentuk Perkalian Berulang

42 u 42 u42 u uu uu =4 u4 u4 u4 u4 u4

4 u4 u4 u uu4 u = 4 u4 u4 u4 u4 u4

2

s4 u s4 s us us us us us us us = s us us us us us us us

s4 2

s2 4

s2 u s2 u s2 u s2 s u s us u s us u s us u s =sususususususus

Perpangkatan

46

46

s8

s8

Dari tabel di atas, perhatikan kembali kolom pertama dan ketiga. Apa yang dapat kamu simpulkan? Ayo Kita Menanya Setelah mengamati tabel di atas, buatlah pertanyaan yang berhubungan dengan “memangkatkan suatu perpangkatan”. 14

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Ayo Kita Mencoba Setelah mengamati tabel di atas, salin dan lengkapilah tabel di bawah ini. Bentuk Perkalian Berulang

Pemangkatkan Suatu Perpangkatan

Perpangkatan

4 4 t4 t 4 6HFDUDXPXPEHQWXNam nGDSDWGLXEDKPHQMDGL am n an m = am u n

Ayo Kita Simpulkan Setelah melakukan rangkaian Kegiatan 1.5 tersebut. Apa yang dapat kamu simpulkan berkaitan dengan memangkatkan bentuk perpangkatan? Bagaimana cara untuk mendapatkan hasil dari perpangkatan yang dipangkatkan?

Kegiatan 1.6

Memangkatkan Suatu Perkalian Bilangan

Ayo Kita Amati $PDWL WDEHO GL EDZDK LQL +DVLO SHPDQJNDWDQ SDGD SHUNDOLDQ ELODQJDQ VHODQMXWQ\D ditulis dalam perpangkatan

MATEMATIKA

15

Pemangkatan Pada Perkalian Bilangan

Bentuk Perkalian Berulang u uu uu

î

= 2 uu2 uu2 u

= 2 u2 u2 uuu u uu uu uu

î 4

b u y

= 2 u5 u2 u5 u2 u5 u2 u5

= 2 u 2 u 2 u 2 u5 u 5 u 5 u 5 b u y ub u y

2

=buyubuy

=bubuyuy

Perpangkatan

2 u

25 u 5 5

b2 u y2

Ayo Kita Mencoba Lengkapi tabel di bawah ini. Pemangkatan Pada Perkalian Bilangan


Perpangkatan

u

u 5 n u y 2 u t

u 4

16

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

6HFDUDXPXPEHQWXNa u b mGDSDWGLXEDKPHQMDGL a u b m = am u bm Ayo Kita Simpulkan Setelah melakukan rangkaian Kegiatan 1.6 tersebut, kesimpulan apakah yang kamu dapatkan? Bagaimana cara untuk mendapatkan hasil pemangkatan pada perkalian bilangan?

Kegiatan 1.7

Permainan Menuliskan Perpangkatan

Lakukan kegiatan ini secara berkelompok yang terdiri atas 4 - 5 siswa, kemudian lakukan langkah-langkah berikut ini. Ayo Kita Mencoba 1. Siapkan 1 lembar kertas karton, penggaris, pensil, serta uang koin 2. Buatlah tabel seperti gambar di bawah ini

1

2

1

2

7XPSXNODKNRLQSDGDWLDSWLDSNRWDNGHQJDQNHWHQWXDQEHULNXW

%DQ\DNQ\DNRLQSDGDNRWDNGHQJDQSRVLVLx, y DGDODKx u 2y

&RQWRKSDGDNRWDNGHQJDQSRVLVL EDQ\DNQ\DNRLQDGDODK1 u22 = 2 = 8 koin

MATEMATIKA

17

'DULSHUFREDDQGLDWDVMDZDEODKSHUWDQ\DDQGLEDZDKLQL D %HUDSDEDQ\DNNRLQSDGDSRVLVL " E 3DGDSRVLVLPDQDWHUGDSDWNRLQVHEDQ\DN" c. Pada posisi mana terdapat koin paling banyak, dan berapa banyaknya? Ayo Kita Menalar -LNDWDEHO\DQJNDPXEXDWGLSHUOXDVPHQMDGLEHUXNXUDQu 5, berapa banyak koin SDGDSRVLVL " %HUDSDWLQJJLWXPSXNDQNRLQSDGDSRVLVL MLNDVHEXDKNRLQPHPLOLNLWHEDO 0,2 cm? Menyederhanakan Operasi Perkalian Pada Perpangkatan

Contoh 1.5

Sederhanakan operasi perkalian pada perpangkatan berikut ini. a. 4 u 42 = 4 =4

5

Jumlahkan pangkatnya Sederhanakan

b. 16 u 2 u

6DPDNDQEHQWXNEDVLVPHQMDGL

-XPODKNDQSDQJNDWGDULEDVLV

5

c. m× m5 = m =m

Sederhanakan

8

Jumlahkan pangkat dari basis m Sederhanakan

Memangkatkan Suatu Perpangkatan

Contoh 1.6

Sederhanakan operasi pemangkatan pada perpangkatan berikut ini D 2 = 4u 4 = 4 =4

6

E x 4 = xu x u x u x

=x

= x12

18

Kelas IX SMP/MTs

8EDKPHQMDGLEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ Jumlahkan pangkatnya Sederhanakan

8EDKPHQMDGLEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ Jumlahkan pangkatnya Sederhanakan

Semester 1

Mendapatkan Hasil Perpangkatan dari Hasil Kali

Contoh 1.7

Sederhanakan perpangkatan pada perkalian bilangan berikut ini D y 2 = 4y u 4y

u uy u y

=4 uy 2

8EDKPHQMDGLEHQWXNSHUNDOLDQEHUXODQJ

2

Jumlahkan tiap-tiap pangkatnya

2

= 16y

Sederhanakan

E wy = wy u wy u wy

w u w u w uy u y u y

=wy

Kelompokkan basis yang sama

8EDKPHQMDGLEHQWXNSHQJXODQJDQSHUNDOLDQ Kelompokkan yang sama Sederhanakan

Ayo Kita Tinjau Ulang 1. Sederhanakan bentuk perkalian bilangan berpangkat berikut: a. 7u 72

b. §¨ 1 ·¸ × §¨ 1 ·¸ ©¹ ©¹ c. t u t-1 6

4

2. Sederhanakan bentuk perkalian bilangan berpangkat berikut:

D 4

E ] 6 c.

§ § 2 · · ¨¨ ¨ ¸ ¸¸ ©© ¹ ¹

2

6HGHUKDQDNDQRSHUDVLEHULNXWLQL a. 72 u 7

E 4

%DQGLQJNDQMDZDEDQVRDOQRPRUD GHQJDQVRDOQRPRUD GDQVRDOQRPRU E GHQJDQVRDOQRPRUD $SDNDKMDZDEDQ\DQJNDPXGDSDWEHUQLODLVDPD" 0HQJDSDGHPLNLDQ"-HODVNDQ

MATEMATIKA

19

Latihan 1.2

Perkalian pada Perpangkatan

1. Berpikir Kritis. Nyatakan hasil kali perpangkatan berikut dalam satu bentuk pangkat Jelaskan. Gunakan cara yang lebih mudah 4 u 56

2. Sederhanakan perpangkatan berikut ini. a. 46 u 4

G 2

e. 52 u § 2 · u § 2 · ¨ ¸ ¨ ¸ ©5¹ ©5¹

E u 2

F 4 u

6HGHUKDQDNDQRSHUDVLDOMDEDUEHULNXWLQL a. y u 2y7 uy 2

b. b u 2y7 × b × y2

F m umn 4 G tn 4 u 4t

H x ux2y2 u 5y4

7HQWXNDQQLODLGDULSHUSDQJNDWDQEHULNXWLQL

D u 2 u7

E 2 u 16

1 §§ 1 · · u¨¨- ¸ ¸ 2 ¨© © 2 ¹ ¸¹ G 4 u 4 u 2

4

c.

5. Nyatakan perpangkatan berikut dalam bentuk paling sederhana: a. 4 u 26

E u 2 5

c. 4 u4 u4

5

G u 6

6. Nyatakan bilangan di bawah ini dalam bentuk yang memuat perpangkatan dengan basis 2. a. 64

c. 100

128 7HQWXNDQQLODLx yang memenuhi persamaan berikut ini. b. 20

D x x = 81 b.

20

d.

1 u 4 x u 2 x = 64 64

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

8. Analisis Kesalahan. Jelaskan dan perbaiki kesalahan dalam menyederhanakan hasil perkalian bentuk pangkat berikut ini.

D 6 u4 u = 910

E t 6 = t = t

9. Tantangan 3DGD VHEXDK SDVDU WUDGLVLRQDO SHUSXWDUDQ XDQJ \DQJ WHUMDGL VHWLDS PHQLWQ\D DGDODK 5S 3DGD KDUL 6HQLQ-XPDWSURVHV SHUGDJDQJDQ WHUMDGL UDWDUDWD MDP WLDS KDUL 6HGDQJNDQ XQWXN 6DEWX0LQJJX SURVHV MXDO EHOL WHUMDGL UDWDUDWD MDP WLDS KDUL %HUDSD MXPODK SHUSXWDUDQ XDQJ GL SDVDU WUDGLVLRQDO WHUVHEXW VHODPD PLQJJX Q\DWDNDQ MDZDEDQPX GDODP EHQWXN SHUSDQJNDWDQ 10. Tantangan. Sebuah bola karet dengan diameter 7 cm direndam dalam sebuah EHMDQD EHULVL PLQ\DN WDQDK VHODPD MDP -LND SHUWDPEDKDQ GLDPHWHU EROD NDUHW WHUVHEXW PPGHWLN %HUDSDNDK YROXPH EROD NDUHW VHWHODK SURVHV perendaman.

Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 1.8%HMDQDEHULVLPLQ\DNWDQDKGDQERODNDUHW

C. Pembagian pada Perpangkatan Pertanyaan Penting Bagaimana hasil pembagian dari dua perpangkatan yang memiliki basis sama? Kegiatan 1.8

Membagi Dua Bentuk Perpangkatan

Ayo Kita Amati $PDWL WDEHO GL EDZDK LQL +DVLO SHPEDJLDQ SDGD VXDWX SHUSDQJNDWDQ VHODQMXWQ\D ditulis dalam perpangkatan.

MATEMATIKA

21

Pembagian Bentuk Perpangkatan

9 4

Pengulangan Bentuk Perkalian

Bentuk Perpangkatan

u u u u u u u u u u u

5

-2 -2

-2 u -2 u -2 u -2 u -2 u -2 -2 u -2 u -2

68 64

6u6u6u6u6u6u6u6 6u6u6u6

6

64

Ayo Kita Menanya Buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan “pembagian pada perpangkatan”. Ayo Kita Mencoba Setelah kamu mengamati tabel di atas, lengkapilah tabel di bawah ini. Pembagian pada Perpangkatan


Perpangkatan

4, 210 4, 25

-7 5 -7 7

27 21

22

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1



-2,5 2 -2,5

Perpangkatan

4

109 10 Secara umum bentuk

am GDSDWGLXEDKPHQMDGL an am = am n an

Ayo Kita Simpulkan Bagaimana cara untuk mendapatkan hasil pemangkatan pada perkalian bilangan? Kegiatan 1.9

Membandingkan Volume

%HQWXNODKNHORPSRNGDQEDQGLQJNDQYROXPHGDULREMHN\DQJGLEHULNDQGLEDZDKLQL Ayo Kita Mencoba Pada gambar di bawah ini, diberikan berbagai ukuran wadah dengan bentuk limas yang diputar 180o terhadap sumbu-y. Hitung volume tiap-tiap limas. Bandingkan YROXPHOLPDVEHVDUWHUKDGDSYROXPHOLPDVNHFLOGHQJDQXNXUDQSDQMDQJDODVOLPDV s GDQ WLQJJL OLPDV h GLEHULNDQ VHEDJDL EHULNXW &DWDW KDVLO \DQJ NDPX SHUROHK dalam tabel. a. limas kecil s h = 9 B A O

b. limas kecil s = 4, h = 8 B A O C

D

T

C

D

T

MATEMATIKA

23

limas besar s 2, h = 18 B A O

limas besar s = 42, h = 12 B A C

D

O C

D

T

T

c. limas kecil s = 2, h = 5 B A O

d. limas kecil s = 10, h = 15 B A O C

D

T

T

limas besar s = 2, h = 5 B A O

limas besar s = 102, h = 200 B A O C

D

Volume limas kecil

24

1 2 u u

Kelas IX SMP/MTs

C

D

T

a.

C

D

T

Volume limas besar

1 2 2 u

Volume limas besar Volume limas kecil

2 2

u u 2

2 u 2

u 2

Semester 1

Volume limas kecil

Volume limas besar

Volume limas besar Volume limas kecil

b. c. d.

Diskusi 1. Bagaimana kamu dapat membagi dua perpangkatan dengan basis yang sama? %HULNDQGXDFRQWRKVHEDJDLSHQGXNXQJMDZDEDQPX


Contoh 1.8

1.

4 42

= 4± =4

-4 2 -4

Kurangkan pangkat dari basis 4 Sederhanakan

7

2.

7 – 2

.XUDQJNDQSDQJNDWGDULEDVLV

Sederhanakan

5

x5 2 = x5 – 2 x = x

Kurangkan pangkat dari basis x

Contoh 1.9 Sederhanakan bentuk

4 4 u 4 = 5 5 4 4 411 = 5 4 = 411 – 5 6

=4

Sederhanakan

Menyederhanakan Operasi pada Perpangkatan 4 u 4 7XOLVNDQMDZDEDQGDODPEHQWXNELODQJDQEHUSDQJNDW 45 Jumlahkan pangkat dari pembilang Sederhanakan Kurangkan pangkat dari basis 4 Sederhanakan

MATEMATIKA

25

Operasi Perkalian dan Pembagian pada Perpangkatan

Contoh 1.10

b4 b6 u 7XOLVNDQMDZDEDQGDODPEHQWXNELODQJDQEHUSDQJNDW b b Alternatif Penyelesaian: Sederhanakan bentuk

b4 b6 u = b4 – 2 × b± b b = b2 u b

Kurangkan pangkat Sederhanakan

= b

Jumlahkan pangkat

5

=b

Sederhanakan

Penerapan Pembagian pada Perpangkatan dalam Kehidupan Nyata

Contoh 1.11

Berdasarkan data BPS tahun ZZZESVJRLG MXPODK penduduk pulau Jawa mencapai MXWD MLZD PHODOXL SURVHV SHPEXODWDQ 6HGDQJNDQ OXDV SXODX -DZD u 10 km2. Berapakah kepadatan penduduk pulau Jawa tahun 2010? Sumber: www. http://geospasial.bnpb.go.id

Gambar 1.9 Kepadatan penduduk Jawa

Jawaban: /XDVDUHD u 105 km2 Jumlah penduduk Kepadatan penduduk = Luas area = =

u 8 u 5

8 × 5

= 1 u 108 – 5 = 1 u 10

Subtitusikan populasi penduduk dan luas area

7XOLVNHPEDOLGDODPEHQWXNSHPEDJLDQWHUSLVDK Kurangkan pangkat Sederhanakan

-DGLNHSDGDWDQSHQGXGXN3XODX-DZDWDKXQDGDODKMLZDNP2

26

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Ayo Kita Tinjau Ulang 1. Sederhanakan bentuk pembagian bilangan berpangkat berikut: a.

84 81

b.

-8 -8 9

7

c.

2. Sederhanakan bentuk pembagian bilangan berpangkat berikut: a.

84 u 82 8

± u 10

b.

c.

b9 b 7 u b b

3DGD&RQWRKMLNDSRSXODVLSHQGXGXNSXODX-DZDEHUWDPEDKVHWLDS WDKXQKLWXQJNHSDGDWDQSHQGXGXNSXODX-DZDSDGDWDKXQGDQ

Latihan 1.3


5m = 54 5n D 7HQWXNDQ GXD ELODQJDQ m dan n yang bernilai antara 1 sampai dengan 9 sehingga dapat memenuhi persamaan di atas.

1. Berpikir Kritis. Diberikan persamaan

E 7HQWXNDQ EDQ\DNQ\D SHQ\HOHVDLDQ GDUL SHUVDPDDQ WHUVHEXW -HODVNDQ MDZDEDQPX

6HGHUKDQDNDQ SHPEDJLDQ SDGD SHUSDQJNDWDQ EHULNXW LQL 7XOLVNDQ MDZDEDQPX dalam bentuk bilangan berpangkat

-4 2 -4 5

a.

-4 2 -4

c.

§2· ¨ ¸ ©5¹ 5 §2· ¨ ¸ ©5¹ 9

6

b.

7

d.

MATEMATIKA

27

6HGHUKDQDNDQHNVSUHVLEHQWXNDOMDEDUEHULNXWLQL a.

- y5 - y2

§1· ¨ ¸ ©t¹ §1· ¨ ¸ ©t¹

c.

m7 m

d.

42 y 8 12 y 5

7

b.

6HGHUKDQDNDQRSHUDVLEHULNXWLQL7XOLVNDQMDZDEDQPXGDODPSDQJNDW

a.

b.

c.

§1· §1· ¨ ¸ ¨ ¸ ©t ¹ u©t ¹ §1· §1· ¨ ¸ ¨ ¸ ©t¹ ©t¹

d.

w4 u 5w w2

u 7

2

55 5 u 5

5. Sederhanakan bentuk di bawah ini. a.

0, 24 u 0, 22 0, 25

b.

-5 u -5

d.

-55

2

2

e.

u 4 15 5 45 2 4 u6 4 2

7

c. 4 46 6. Sederhanakan bentuk di bawah ini.

28

a.

5 8

b.

20

c.

45 6

d.

50 625

e.

49 686

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

7XOLVNDQNHPEDOLGDODPEHQWXNSHPEDJLDQSHUSDQJNDWDQ a. 25 b. p 8. Dapatkan nilai n dari pembagian bilangan berpangkat di bawah ini: a.

s 2 s9 × = sn s s

b.

6 = nu9 2

9. Analisa Kesalahan. Jelaskan dan perbaiki kesalahan dalam menyederhanakan ekspresi berikut 7 = 7 5 = 78 5 7

10.


Tantangan. Intensitas bunyi percakapan manusia adalah 106 lebih besar dari intensitas suara manusia berbisik. Sedangkan intensitas bunyi pesawat lepas landas adalah 1014 lebih besar dari pada suara bisikan manusia yang dapat terdengar. Berapa kali intensitas bunyi pesawat lepas landas dibandingkan dengan bunyi percakapan manusia?

Gambar 1.10

D Notasi Ilmiah (Bentuk Baku) Pertanyaan Penting Bagaimana membaca dan menuliskan notasi ilmiah? Kegiatan 1.10

Menggunakan Kalkulator

Ayo Kita Amati Pada kegiatan ini, kamu diminta melakukan pengamatan secara berkelompok. /DNXNDQODQJNDKNHUMDVHSHUWL\DQJWHODKGLVDMLNDQ

MATEMATIKA

29

Ayo Kita Mencoba 1. Dengan menggunakan kalkulator VDLQWL¿N NDOLNDQ GXD ELODQJDQ besar. Sebagai contoh 2.000.000.000 u

Berapa nilai yang muncul di layar kalkulator? 7HQWXNDQ KDVLO SHUNDOLDQ 2.000.000.000 dengan WDQSDPHQJJXQDNDQ kalkulator. Berapa hasilnya? $SD \DQJ GDSDW NDPX VLPSXONDQ GDULKDVLO GDQ "

Sumber: www.studentcalculators.co.uk

Gambar 1.11 Kalkulator

3HULNVD NHPEDOL SHQMHODVDQPX GHQJDQ PHQJJXQDNDQ KDVLO NDOL ELODQJDQ EHVDU yang lain. Ayo Kita Menanya Setelah melakukan percobaan di atas, buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan pola SHQXOLVDQSHUSDQJNDWDQ\DQJGLWXQMXNNDQNDONXODWRU Ayo Kita Menalar 1. Lakukan percobaan dengan mengalikan dua bilangan yang sangat kecil, sebagai FRQWRKGLNDOLNDQGHQJDQEDJDLPDQDKDVLO\DQJGLWXQMXNNDQ oleh kalkulatormu? $SD\DQJGLWXQMXNNDQGLOD\DUNDONXODWRU"-HODVNDQ /DNXNDQSHUFREDDQXQWXNPHQHQWXNDQDQJNDPDNVLPXP\DQJGDSDWGLWDPSLONDQ di layar kalkulator. Sebagai contoh, ketika kamu mengalikan 1.000 dengan 1.000 PDNDNDONXODWRUPXDNDQPHQXQMXNNDQ

30

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Diskusi 1. Bagaimana kamu dapat menuliskan sebuah bilangan dalam bentuk notasi ilmiah? 2. Coba kamu buat penelitian secara mandiri seperti pada Kegiatan 1.10, dengan menggunakan angka yang sangat kecil. Bagaimanakah hasil penelitian kamu? Jelaskan. Ayo Kita Simpulkan Setelah melakukan rangkaian Kegiatan 1.10 tersebut, kesimpulan apakah yang dapat NDPXWDULNEHUNHQDDQGHQJDQQRWDVLLOPLDKEHQWXNEDNX VXDWXELODQJDQ" 6HEXDKELODQJDQGLNDWDNDQWHUWXOLVGDODPEHQWXNQRWDVLLOPLDKEDNX NHWLND x )DNWRUSHQJDOLEHUDGDGLDQWDUDt

x

Basis dari bentuk perpangkatan 10 memiliki pangkat ... Faktor pengali lebih besar dari 1 dan kurang dari 10

u 10

Pemangkatan 10 harus memiliki pangkat bilangan bulat

Bilangan lebih besar atau sama dengan 10 *XQDNDQVHEXDKSDQJNDWSRVLWLINHWLNDNDPXPHPLQGDKNDQWLWLNGHVLPDONHNLUL Bilangan antara 0 dan 1 *XQDNDQVHEXDKSDQJNDWQHJDWLINHWLNDNDPXPHPLQGDKNDQWLWLNGHVLPDONHNDQDQ Contoh 1.12

Menulis Notasi Ilmiah dalam Bentuk Biasa

1\DWDNDQEHQWXNLOPLDKEHULNXWLQLPHQMDGLEHQWXNELDVD

a. 2,16× 105 = 2,16 u 100.000 Dapatkan hasil dari perpangkatan 5 dari basis 10 = 216.000 b. 0,16 u 10 = 0,16 u0,001 = 0,00016

Lakukan operasi perkalian dengan memindahkan tanda desimal sebanyak 5 tempat ke kanan 'DSDWNDQKDVLOGDULSHUSDQJNDWDQ GDULEDVLV Lakukan perkalian dengan memindahkan tanda desimal VHEDQ\DNWHPSDWNHNLUL

MATEMATIKA

31

Ayo Kita Tinjau Ulang 7XOLVNDQEHQWXNEDNXGDUL a. 12 u 105

E u 10-7

Latihan 1.4

Membaca dan Menulis Notasi Ilmiah

1. Berpikir Kritis7HEDOVHEXDKELVNXLWDGDODKFP sedangkan dalam satu kemasan 600 gr berisi 100 EXDKELVNXLW%HUDSDNDKSDQMDQJELVNXLW\DQJGDSDW GLVXVXQPHPDQMDQJGDODPVDWXNDUGXV\DQJEHULVL NHPDVDQJU7XOLVNDQMDZDEDQPXGDODPEHQWXN biasa kemudian sederhanakan dalam bentuk baku. Sumber: http://food.detik.com

Gambar 1.12 Biskuit

7HQWXNDQMDZDEDQNDPXGDODPEHQWXNEDNX%HULSHQMHODVDQVLQJNDWEDJDLPDQD NDPXPHQGDSDWNDQMDZDEDQWHUVHEXW a. 10,5 u 10

b. 1,5 u 10-5

c. 7.125 u 10

d. 0,455 u 10-6

e. 5 u 1012

-16

7XOLVNDQNHPEDOLGDODPEHQWXNELDVD a. 7 u 10

b. 2,7 u 10

d. 9,95 u 1015 H u 10

-12

F u105

7XOLVNDQGDODPEHQWXNEDNX a. 0,00000056

d. 880

E

H

c. 1.000.000.000.000.000 6HGHUKDQDNDQGDQWXOLVNDQMDZDEDQPXGDODPEHQWXNEDNX

D u 102 îu 102

E u 10 uu 10

F u10 u

32

Kelas IX SMP/MTs

5

6

-12

Semester 1

d. e.

1, 25 u 10 5 u 10

16

6

1,6 u 10 2 u 104

6. Analisis Kesalahan. Jelaskan dan perbaiki kesalahan dalam penulisan bilangan bentuk baku berikut. a. 125.000.000 = 12,5 u 107

b. 0,0000055 = 5,5 u 106

F u 10-4

0DVVD SODQHW -XSLWHU DGDODK u 108 kg, VHGDQJNDQ EHUDW SODQHW %XPL DGDODK GDUL -XSLWHU%HUDSDNDKPDVVDSODQHW%XPL"7XOLVNDQ MDZDEDQPX GDODP EHQWXN EDNX DWDX QRWDVL ilmiah.

Sumber: http://teknologi.news. viva.co.id

Gambar 1.13 Planet Jupiter

0DVVD%XPLDGDODK NJ7XOLVNDQGDODPEHQWXNEDNX

Sumber: indonesiaindonesia. com

Gambar 1.14 Planet Bumi

9. Tantangan 'LQGD PHPEHOL ÀDVKGLVN EDUX VHKDUJD 5S GHQJDQ NDSDVLWDV *% %HUDSD E\WH NDSDVLWDV ÀDVKGLVN 'LQGD \DQJ ELVD GLJXQDNDQ MLND GDODP VXDWX ÀDVK GLVN NDSDVLWDV \DQJ GDSDW GLJXQDNDQDGDODKGDULNDSDVLWDVWRWDOQ\D Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 1.15 Flashdisk

10. Tantangan. Pada soal nomor 9. Berapakah kisaran harga memori yang dapat GLJXQDNDQWLDSE\WHQ\D7XOLVNDQMDZDEDQPXGDODPEHQWXNEDNX

MATEMATIKA

33

E. Pangkat Bilangan Pecahan Pertanyaan Penting Bagaimana kamu dapat menggunakan bilangan berpangkat pecahan untuk menuliskan sebuah angka? Pangkat Bilangan Pecahan

Kegiatan 1.11

Ayo Kita Amati Pada kegiatan ini, kamu diminta untuk mengamati suatu rumusan matematika yaitu 7HRUHPD 3\WKDJRUDV7HRUHPD 3\WKDJRUDV EHUODNXSDGD VHEXDK VHJLWLJD \DQJ VDODK satu sudutnya adalah siku-siku. Perhatikan dengan seksama langkah-langkah aturan Pythagoras berikut ini. c2 = a2 b2

c

c

5XPXVXPXPDWXUDQS\WKDJRUDV

a b

2

2

2

sisi miring segita siku-siku

b

a b

cc = 2

$NDUNDQNHGXDUXDVXQWXNPHQGDSDWNDQSDQMDQJ

a

2

2

Didapatkan persamaan umum untuk mencari

SDQMDQJVLVLPLULQJVHJLWLJDVLNXVLNX

Ayo Kita Menanya Setelah kamu mengamati proses untuk mendapatkan sisi miring pada segitiga siku-siku dengan menerapkan aturan pythagoras pada kegiatan di atas. Susunlah pertanyaan yang menyatakan hubungan antara pangkat kuadrat dan akar pangkat dua. Kegiatan 1.12

Mendapatkan Sisi Kubus

Ayo Kita Mencoba %HULNXWLQLGLVDMLNDQEHEHUDSDPDFDPNXEXVGHQJDQXNXUDQ\DQJEHUEHGDGHQJDQ PHQJJXQDNDQGH¿QLVL\DQJGLGDSDWNDQGL.HJLDWDQ7HQWXNDQPDVLQJPDVLQJ luas permukaan dan sisi kubus yang ada. 34

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Volume

Panjang sisi

(s u s u s = s3)

(s)

Luas Permukaan

(6 u s u s)

Metode 1: = = =

4u 4u 4

4u 4u 4

4

§ 1· = ¨ 4 ¸ © ¹

64 cm

= 4 = 41 = 4

6 u 4 u 4 = 96

Metode 2: =

4u 4u 4

=

4

26

= 26 =

1

6

= 2 = 22 = 4 Metode 1:

125 cm

Metode 2:

Metode 1:

729 m

Metode 2:

MATEMATIKA

35

Diskusi dan Berbagi ,QIRUPDVLDSDNDK\DQJNDPXGDSDWNDQVHWHODKPHOHQJNDSLWDEHOGLDWDV"'DSDWNDK kamu mendapatkan hubungan antara bentuk perpangkatan dengan bentuk akar? Diskusikan hasil yang kamu dapatkan dengan teman kamu. Ayo Kita Simpulkan Setelah melakukan rangkaian Kegiatan 1.11 dan Kegiatan 1.12 tersebut. Kesimpulan apakah yang dapat kamu tarik berkenaan dengan pangkat pecahan pada bentuk perpangkatan? Dari kegiatan-kegiatan yang telah kamu lakukan, maka didapatkan: xJika mempertimbangkan

xJika mempertimbangkan m

a n = ... a... =

a

...

...

m

an m

an

VHEDJDLa... ...VHODQMXWQ\D

m

a

a n = ... a... m

VHEDJDLa... ...VHODQMXWQ\D a n =

...

, ...

, dengan a > 0, dan m, nELODQJDQEXODWSRVLWLI

Menghitung Bentuk Pangkat Pecahan

Contoh 1.13

Hitung bentuk pangkat pecahan di bawah ini: a.

1

b.

92

2

8

Alternatif Penyelesaian: a.

1

92 1

Metode 1

Metode 2

92 1

92

=

9

Bentuk dalam bentuk akar

= 2 2

Hitung hasil akarnya

1

1 2u 2

=

1

36

Kelas IX SMP/MTs

Bentuk dalam bentuk kuadrat Kalikan pangkat Hitung hasil pangkatnya

Semester 1

Alternatif Penyelesaian: b.

2

8 § 1· = ¨ 8 ¸ 8 © ¹ 2

Metode 1

=

2

8

Bentuk dalam bentuk perkalian pangkat 2

Bentuk ke dalam akar pangkat tiga

= 22 = 4 2

Metode 2

8

Hitung hasil pangkatnya

= 82 1

Bentuk dalam bentuk kuadrat

1

= 64 = 2

Metode 3

8

Kalikan pangkat

64

= 2

Hitung hasil akarnya

4

2

=

2

Bentuk dalam bentuk perkalian pangkat

2 u

Bentuk ke dalam akar pangkat tiga

= 22 = 4

Hitung hasil pangkatnya

Ayo Kita Tinjau Ulang 7XOLVNDQEHQWXNEDNXGDUL a.

1

64 2

2

b. 27

7XOLVNDQEHQWXNSHUSDQJNDWDQSHFDKDQGDUL a.

25

Latihan 1.5

b.

125

Pangkat Bilangan Pecahan

1. Berpikir Kritis 7RQR GDSDW PHQJLVL SHQXK VHEXDKNHUDQMDQJEXDKZDNWXPHQLW-LND7RQR PHQJLVLNHUDQMDQJWHUVHEXWGHQJDQNHFHSDWDQGXD kali dari biasanya. Berapa menitkah waktu yang GLEXWXKNDQ7RQRXQWXNPHQJLVLSHQXKNHUDQMDQJ buah tersebut? Sumber: Dokumen Kemdikbud Gambar 1.16 .HUDQMDQJEXDK

MATEMATIKA

37

2. Analisis Kesalahan. Jelaskan dan perbaiki kesalahan persamaan berikut.

x

2

1 x

2

1\DWDNDQSHUSDQJNDWDQGLEDZDKLQLGDODPEHQWXNODLQ b. § 1 · 2 ¨ ¸ ©5¹

c. § 27 · ¨ ¸ © 8 ¹

1

a.

1

-

1

4. Nyatakan perpangkatandi bawah ini dalam bentuk lain a.

6 u6 u6 -

1

-

1

-

1

b.

625

5. Sederhanakan bentuk perpangkatan di bawah ini a.

y4 u y 6 1

b.

-

1

m 2 : 2m 2

6. Hitung operasi bilangan berpangkat di bawah ini: 2

a.

u 2 1 2

b.

55

c.

1

5

1,96 u 1024

6HWLDSNDOLSHUD\DDQ+875,60317DPDQPHQJDGDNDQORPED³NHODVEHUKLDV´ 6HOXUXK VLVZD GLZDMLENDQ PHQJKLDV NHODV PHUHND VHPHQDULN PXQJNLQ GHQJDQ tema kemerdekaan. Kelas 9A berencana menghias langit-langit kelas dengan deretan bendera merah-putih pada benang wool. Sesuai kesepakatan, benang bendera tersebut akan dihiaskan memutari langit-langit kelas dan menyilang SDGD GLDJRQDOQ\D %HUDSD SDQMDQJ EHQDQJ EHQGHUD \DQJ GLEXWXKNDQ NHODV $ MLNDNHODVQ\DEHUXNXUDQPu 8 m? 6HGHUKDQDNDQ EHQWXN RSHUDVL SHUSDQJNDWDQ EHULNXW LQL WXOLVNDQ MDZDEDQPX dalam bentuk akar: a.

xyz

x yz

b.

ab u a 2 b- 1

6HGHUKDQDNDQ EHQWXN RSHUDVL SHUSDQJNDWDQ EHULNXW LQL WXOLVNDQ MDZDEDQPX dalam bentuk pangkat:

a bc u abc

a.

b.

38

x

xyz yz

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

10. Gunakan kalkulator untuk mendapatkan nilai perpangkatan di bawah ini: a.

1

1

b. 125 4

c.

1

1.024 2

Proyek 1 1. Gunakan akses internet untuk mendapatkan populasi penduduk di 5 negara dengan penduduk terpadat di dunia. D 1\DWDNDQ MXPODK PDVLQJPDVLQJ SRSXODVL SHQGXGXN WHUVHEXW GDODP bentuk notasi ilmiah E 'DSDWNDQ MXJD OXDV ZLOD\DK GL QHJDUD WHUVHEXW 6HODQMXWQ\D GDSDWNDQ NHSDGDWDQSHQGXGXNPDVLQJPDVLQJQHJDUD1\DWDNDQMDZDEDQPXGDODP bentuk baku. F 0HODOXL FDUD \DQJ VDPD FDUL WDKX MXJD WHQWDQJ SHUWXPEXKDQ SHQGXGXN WLDSWDKXQQ\D.HPXGLDQGDSDWNDQMXPODKSHQGXGXNWDKXQNHGHSDQNH depan di masing-masing negara. G 'DUL LQIRUPDVL \DQJ NDPX GDSDWNDQ SDGD SRLQ EXWLU F +LWXQJ MXJD kepadatan penduduk 10 tahun kedepanke depan. 2. Seorang ayah memberikan sebuah tantangan kepada anaknya untuk PHQJKLWXQJMXPODKELMLMDJXQJ\DQJGLSHUOXNDQXQWXNPHPHQXKLSDSDQFDWXU -LNDSDGDNRWDNSHUWDPDGLEHULELMLMDJXQJNRWDNNHGXDELMLMDJXQJELML MDJXQJXQWXNNRWDNNHWLJDELMLXQWXNNRWDNNHHPSDWGHPLPLNLDQEHUODQMXW sampai memenuhi ke enampuluh kotak. D %DQWXDQDNWHUVHEXWPHQHQWXNDQVXVXQDQMXPODKELMLSDGDPDVLQJPDVLQJ kotak papan catur tersebut. E -LNDEHUDWWLDSWLDSELMLMDJXQJDGDODKJU'DSDWNDQEHUDWELMLMDJXQJ pada masing-masing kotak. F *DEXQJNDQLQIRUPDVL\DQJNDPXGDSDWNDQGDODPEHQWXNWDEHOSHUKLWXQJDQ \DQJPHPXDWNHGXDLQIRUPDVLWHUVHEXW G %HUDSDNDK XDQJ \DQJ KDUXV GLNHOXDUNDQ DQDN WHUVHEXW MLND KDUJD ELML MDJXQJWLDSNLORJUDPQ\DDGDODK5S

MATEMATIKA

39

Uji Kompetensi 1

Perpangkatan dan Bentuk Akar

1. Dapatkan hasil dari operasi perpangkatan berikut ini.

4 64 'L VHEXDK GHVD GL .DEXSDWHQ /DUDQWXND .XSDQJ 177 terdapat sebuah lapangan seukuran lapangan sepak bola 120m u 90m. Pemerintah daerah setempat berencana menanami lapangan dengan rumput. Hitung luas rumput yang disediakan untuk menanami seluruh permukaan ODSDQJDQVHSDNERODWHUVHEXW-HODVNDQMDZDEDQPXGDODP SHUSDQJNDWDQ\DQJSDOLQJVHGHUKDQD/XDVSHUVHJLSDQMDQJ DGDODKSDQMDQJuOHEDU 'DSDWNDQ EHQWXN SHUSDQJNDWDQ \DQJ HNLYDOHQ GHQJDQ ELODQJDQ GL EDZDK LQL -DZDEDQGDSDWOHELKGDULVDWXEHQWXNSHUSDQJNDWDQ a.

2

b.

8

x

27

4. Diketahui

n 1

yn

6 n

2n

adalah senilai dengan xayb. Dapatkan nilai

x y 6HGHUKDQDNDQRSHUDVLSHUSDQJNDWDQDOMDEDUEHULNXWLQL a. y u\ 2

b.

b2y ub 6y

b . a

F tn 4 u 4t

G x îx2y2 × 5y4

7XOLVNDQELODQJDQGLEDZDKLQLGDODPQRWDVLLOPLDK a. 0,00000056

c. 0,98

b. 2.500.000

d. 10.000.000.000.000

+LWXQJ KDVLO SDGD SHUSDQJNDWDQ EHULNXW LQL7XOLVNDQ MDZDEDQPX GDODP QRWDVL ilmiah. a. 12 u 2

b. 7,27 u 10 – 0,5 u 10 2

F u 104 u 10-6

G u 10 u5,2 u 10

40

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

8. Diberikan x = 24 dan y 7HQWXNDQ KDVLO RSHUDVL GL EDZDK LQL WXOLVNDQ MDZDEDQPXGDODPEHQWXNSHUSDQJNDWDQ\DQJSDOLQJVHGHUKDQD x a. x u y b. y %HUDSDNDKKDVLORSHUDVLSHUSDQJNDWDQEHULNXW5 – 2465 %HUDSDEDQ\DNGHWLNGDODPNXUXQZDNWXWDKXQ"7XOLVNDQKDVLOQ\DGDODP notasi ilmiah. 7XOLVNDQKDVLORSHUDVLSHUSDQJNDWDQEHULNXWLQL a. -8 u 26

16 24 98 d. 7 c.

b. 54 u 50

12. Tantangan. Pada acara lomba 17 Agustus GL6'17DPDQGLDGDNDQORPEDPHQJLVL air pada topi ulang tahun berbentuk NHUXFXW GHQJDQ PHOHZDWL SHUMDODQDQ VHMDXK P 6HWLDS PHWHU \DQJ GLWHPSXK 1 maka air akan berkurang sebanyak 10 bagian. Berapakah air yang terkumpul GDODP VDWX NDOL SHUMDODQDQ" 'LPHQVL WRSL


XODQJWDKXQGLDPHWHU FPGHQJDQWLQJJLFP9kerucut = 8UXWNDQELODQJDQEHULNXWLQLGDUL\DQJWHUEHVDUNHWHUNHFLO a. 7 d. 0,98 u 104 b. 0,89

c. 5,2 u 10

1 2 ʌr .

e. 0,0045

I

&DKD\D EHUJHUDN GHQJDQ NHFHSDWDQ u 108 PV %HUDSD MDXK FDKD\D EHUJHUDN GDODPVDWXWDKXQ"7XOLVNDQKDVLOQ\DGDODPQRWDVLLOPLDK 7XOLVNDQKDVLOSHUSDQJNDWDQEHULNXWLQL a.

1 6 4 2

E u 4

F 4 – 44

d. § 1 · u § - 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ © 4 ¹ © 16 ¹ 4

2

Perlu diingat bahwa operasi perkalian dan pembagian lebih didahulukan GDULSDGD RSHUDVL SHQMXPODKDQSHQJXUDQJDQ NHFXDOL GDODP NDVXV NKXVXV VHSHUWLEHUDGDGDODPWDQGDNXUXQJVHKLQJJDKDUXVPHQMDGLSULRULWDV

MATEMATIKA

41

16. Dapatkan nilai n dari persamaan berikut ini:

D n

F n 0

1 G n4 16 1\DWDNDQ SHUQ\DWDDQ PDWHPDWLND EHULNXW VHEDJDL SHUQ\DWDDQ %HQDU % DWDX 6DODK6 %HULNDQDODVDQPX b. 2n =

a.

6 6

27 c. §¨ 2 ·¸ 7 ©5¹ 5 d. 4 × 47 = 220 7

0

E u 5 = 25 u 65

18. Sederhanakan bentuk di bawah ini. a. b. c.

§ a bc · § 8ac · ¨ ¸u¨ ¸ © bc ¹ © bc ¹ 2m0 u m 2

m

4 m

19. Diberikan x = 27 dan y 7HQWXNDQKDVLOGDULRSHUDVLGLEDZDKLQLWXOLVNDQ MDZDEDQPXGDODPEHQWXNELODQJDQEHUSDQJNDWSDOLQJVHGHUKDQD a. xy b.

x y

7XOLVNDQGDODPEHQWXNSDQJNDWSDOLQJVHGHUKDQD

42

a.

20

c.

b.

500 9

d.

Kelas IX SMP/MTs

50 625 49 686

Semester 1

Bab II Pola, Barisan, dan Deret

Kata Kunci x x x x x

Pola Bilangan Genap Pola Bilangan Segitiga Pola Bilangan Persegi Pola Bilangan Persegi Panjang Pola Bilangan Segitiga Pascal

K ompetensi D asar 1.1 Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. 2.2 Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri dan ketertarikan pada matematika serta memiliki rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika, yang terbentuk melalui pengalaman belajar. 3.10 Menerapkan pola dan generalisasi untuk membuat prediksi. 4.4 Mengenal pola bilangan, barisan, deret, dan semacam, dan memperumumnya; menggunakan untuk menyelesaikan masalah nyata serta menemukan masalah baru.


Pada hari pertama dalam suatu pengamatan di lab biologi, diketahui terdapat 8.000 bakteri. Setelah 4 hari pengamatan jumlah bakteri bertambah menjadi 32.000. Jumlah bakteri tersebut terus bertambah, sehingga kita bisa menghitung jumlah pertumbuhan bakteri tiap harinya. Apakah kamu dapat menentukan jumlah bakteri setelah 6, 8 dan 10 hari pengamatan? Bagaimana caramu menentukannya? Pelajarilah lebih lanjut pada bab ini!

Pengalaman Belajar 1. 2. 3.

Menentukan pola berikutnya dari suatu susunan bilangan. Menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan barisan aritmetika dan geometri. Menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan deret aritmetika dan geometri.

MATEMATIKA

43

Peta Konsep Pola, Barisan, dan Deret

Pola Bilangan

Deret Bilangan

Pola Bilangan Ganjil

Aritmetika

Aritmetika

Pola Bilangan Genap

Geometri

Geometri

Pola Bilangan Segitiga

Pola Bilangan Persegi

Pola Bilangan Persegi Panjang

Pola Bilangan Segitiga Pascal

44

Barisan Bilangan

Leonardo dari Pisa atau lebih dikenal dengan QDPD /HRQDUGR )LERQDFFL OHELK VLQJNDWQ\D )LERQDFFL DGDODK VHRUDQJ DKOL PDWHPDWLND Italia. Ia terkenal karena penelitiannya dalam Deret Fibonacci dan perannya mengenalkan tentang algorisme di wilayah Eropa. Algorisme merupakan sistem Arab modern dalam penempatan bilangan desimal untuk menulis dan memanipulasi angka.

Sumber: www.edulens.org

Leonardo Fibonacci

$\DK /HRQDUGR EHUQDPD *XJOLHOPR :LOOLDP dengan nama panggilan Bonaccio. William bertugas mengatur pos perdagangan pada VHEXDKSHODEXKDQGL$OLJLHUVSDGD]DPDQGLQDVWL NHVXOWDQDQ $OPRKDG GL %DUEDUHVTXH $IULND Utara. Leonardo Fibonacci pergi ke sana untuk PHPEDQWXD\DKQ\D'LVDQDODKLDEHODMDUWHQWDQJ sistem bilangan Arab.

Setelah melihat bahwa aritmetika dengan bilangan Arab lebih mudah GDQ OHELK H¿VLHQ GLEDQGLQJNDQ GHQJDQ DQJND URPDZL )LERQDFFL PHODNXNDQ SHUMDODQDQ GL VHSDQMDQJ 0HGLWHUDQLD XQWXN EHODMDU GLEDZDK ELPELQJDQ DKOL PDWHPDWLND$UDEWHUNHPXNDVDDWLWXGDQNHPEDOLVHNLWDUWDKXQ03DGD WDKXQ0SDGDVDDWLDEHUXPXUWDKXQLDPHQHUELWNDQEXNXEHULVLDSD \DQJWHODKLDSHODMDUL\DLWXLiber Abaci atau "Book of Calculation". /HRQDUGR PHQMDGL VHRUDQJ WDPX GDUL (PSHURU )UHGHULFN ,, \DQJ MXJD PHUXSDNDQVHRUDQJSHFLQWD0DWHPDWLNDGDQ6DLQV3DGDWDKXQ5HSXEOLN 3LVD PHQJDQXJHUDKL /HRQDUGR GHQJDQ PHPDNDL QDPD DOWHUQDWLIQ\D /HRQDUGL Bigollo. Sumber: www.edulens.org

Hikmah yang bisa diambil 1. Fibonacci adalah orang yang mempunyai rasa ingin tahu yang sangat tinggi. 6HNDOLSXQ DQJND 5RPDZL VXGDK GLNHQDO PDV\DUDNDW (URSD SDGD XPXQ\D WDSLGLDWHUXVPHQJJDOLLQIRUPDVLPHQJHQDLSHQXOLVDQELODQJDQ$UDE\DQJ OHELKPXGDKGDQOHELKH¿VLHQGDULDQJND5RPDZL 7LGDNPXGDKSXDVWHUKDGDSVHVXDWX\DQJVXGDKGLGDSDWNDQVHKLQJJDWHUXV EHU¿NLUPHODNXNDQLQRYDVLXQWXNPHQHPXNDQVHVXDWX\DQJEDUX 0DWHPDWLND DGDODK LOPX \DQJ PHQDULN XQWXN NLWD SHODMDUL .DUHQD WHODK EDQ\DN VHMDUDK \DQJ PHQFHULWDNDQ WHQWDQJ SHUDQ PDWHPDWLND GDODP PHPDMXNDQSHUDGDEDQPDQXVLDVDODKVDWXQ\DDGDODKGHUHW¿ERQDFFL\DQJ PHQMDGLSHORSRUSHUNHPEDQJDQLOPXEDULVDQGDQGHUHW

45

A. Pola Bilangan Pertanyaan Penting Bagaimana cara untuk menentukan bilangan berikutnya dari suatu susunan bilangan? $JDUNDPXGDSDWPHQJHWDKXLGDQPHPDKDPLMDZDEDQSHUWDQ\DDQGLDWDVODNXNDQODK kegiatan-kegiatan di bawah ini. Kegiatan 2.1

Menentukan Gambar Berikutnya

3HUKDWLNDQVXVXQDQJDPEDU\DQJDGDGLEDZDKLQL7LDSVRDOWHUGLULGDULJDPEDU dengan aturan tertentu, tentukanlah gambar kelima dari setiap soal di bawah ini. 1.

2.

4.

5.

6.

7.

46

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

8.

9.

10.


Gambar 2.10HQHQWXNDQJDPEDUEHULNXWQ\D

Kegiatan 2.2

Menentukan Nomor Rumah di Suatu Perumahan

Ayo Kita Amati

Sumber: http://www.rumahku.com

Gambar 2.21RPRUUXPDKSDGDVXDWX3HUXPDKDQ;

3DGD VXDWX MDODQ GL SHUXPDKDQ ; QRPRU SDGD VHWLDS UXPDK PHQJLNXWL VXDWX DWXUDQ WHUWHQWX 3DGD VLVL NLUL MDODQ UXPDK EHUQRPRU WHUOHWDN SDGD SRVLVL SDOLQJ XMXQJVHGDQJNDQSDGDVLVLNDQDQMDODQUXPDK\DQJWHUOHWDNSDGDSRVLVLSDOLQJXMXQJ EHUQRPRU5XPDKEHUQRPRUWHUOHWDNWHSDWGLVDPSLQJUXPDKEHUQRPRUGDQ UXPDKEHUQRPRUWHUOHWDNWHSDWGLVHEHODKUXPDKEHUQRPRU5XPDKEHUQRPRU WHUOHWDNGLDQWDUDUXPDKEHUQRPRUGDQVHGDQJNDQUXPDKEHUQRPRUWHUOHWDNGL antara rumah bernomor 4 dan 8, begitu seterusnya MATEMATIKA

47

Ayo Kita Mencoba Buatlah sebuah denah sederhana yang menggambarkan sepuluh rumah pertama \DQJ WHUOHWDN SDGD SRVLVL XMXQJ MDODQ GL SHUXPDKDQ ; WHUVHEXW EDLN SDGD VLVL NLUL MDODQPDXSXQVLVLNDQDQMDODQ6HVXDLLQIRUPDVL\DQJWHODKNDPXGDSDWNDQGLDWDV UXPDK\DQJEHUQRPRUWHUOHWDNSDGDSRVLVLSDOLQJXMXQJVLVLNLULMDODQGDQUXPDK \DQJEHUQRPRUWHUOHWDNSDGDSRVLVLSDOLQJXMXQJVLVLNDQDQMDODQ%HULNDQQRPRU SDGDVHWLDSUXPDKVHVXDLGHQJDQLQIRUPDVL\DQJDGD'DULGHQDK\DQJWHODKNDPX EXDWUXPDKQRPRUEHUDSD\DQJWHUOHWDNSDGDSRVLVLNHVHSXOXKGDULXMXQJGLVHEHODK NDQDQMDODQ" Ayo Kita Menalar D -LNDGDODPVDWXMDODQWHUVHEXWWHUGDSDWUXPDKEDQ\DNQ\DUXPDKSDGDVLVL NLULGDQNDQDQMDODQPDVLQJPDVLQJDGDODK EHUDSDNDKQRPRUUXPDKWHUEHVDU \DQJWHUOHWDNSDGDVLVLNLULMDODQ" E 0HQXUXWPX EDJDLPDQD DWXUDQ XQWXN PHQHQWXNDQ QRPRU UXPDK \DQJ WHUOHWDN SDGDVLVLNLULPDXSXQNDQDQMDODQGLSHUXPDKDQ;WHUVHEXW" c. Carilah contoh benda-benda di sekitarmu yang memiliki suatu pola tertentu. 7XOLVNDQPLQLPDOFRQWRKGDQDWXUDQ\DQJWHUGDSDWSDGDWLDSWLDSEHQGDWHUVHEXW Kegiatan 2.3

Menata Tutup Botol

Ayo Kita Mencoba Buatlah kelompok yang terdiri dari 5 anak. Setiap anak membawa 20 tutup botol air mineral. Kumpulkan tutup botol tersebut dalam satu kelompok. Siapkan kertas karton berukuran 2 uPHWHUSHUVHJL6HODQMXWQ\DEHULNDQOHPSDGDEDJLDQEHODNDQJ dari tutup botol sehingga tutup botol tersebut dapat ditempelkan pada kertas karton. 7LDSWLDS DQDN VHFDUD EHUJDQWLDQ GLEHULNDQ WXJDV XQWXN PHPEXDW VXVXQDQ WXWXS ERWRO EHUGDVDUNDQ XUXWDQ EHULNXW DQDN SHUWDPD PHODNXNDQ .HJLDWDQ DQDN NHGXDPHODNXNDQ.HJLDWDQEHJLWXVHWHUXVQ\DVDPSDLDQDNNHOLPD Kegiatan 2.3.1 Susunlah tutup botol yang ada dengan susunan seperti pada gambar di bawah ini

48

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1


Gambar 2.36XVXQDQWXWXSERWROSDGD.HJLDWDQ

Amatilah dan catat banyak tutup botol yang diperlukan untuk membuat susunan ke-1, NHNHNHGDQNH Kegiatan 2.3.2 Susunlah tutup botol yang ada dengan susunan seperti pada gambar di bawah ini



Kegiatan 2.3.3 Susunlah tutup botol yang ada dengan susunan seperti pada gambar di bawah ini




MATEMATIKA

49






Amatilah dan catat banyak tutup botol yang diperlukan untuk membuat susunan ke-1, NHNHNHGDQNH Ayo Kita Amati 3DGD.HJLDWDQGLDWDVGDSDWGLNHWDKXLEDQ\DNWXWXSERWRO\DQJGLJXQDNDQ XQWXNPHPEXDWVXVXQDQNHDGDODKVXVXQDQNHDGDODKGDQVHWHUXVQ\D-XPODK tutup botol yang digunakan untuk membuat tiap-tiap susunan pada setiap kegiatan EHUEHGD+DOLQLWHUMDGLNDUHQDDWXUDQXQWXNPHPEXDWVXVXQDQSDGDVHWLDSNHJLDWDQ MXJDEHUEHGD Dari kegiatan pengamatan yang telah kamu lakukan dengan kelompokmu, hitunglah banyak tutup botol yang diperlukan untuk membuat tiap-tiap susunan pada VHWLDSNHJLDWDQ7XOLVNDQKDVLOPXSDGDWDEHOGLEDZDKLQL

50

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

7DEHO+DVLOSHQJDPDWDQSDGDNHJLDWDQPHQDWDWXWXSERWRO Pola ke-

Banyak Tutup Botol

1 2 4 5 3HUKDWLNDQKDVLO\DQJWHODKNDPXGDSDWNDQSDGD7DEHOEHUGDVDUNDQNHJLDWDQ \DQJWHODKNDPXODNXNDQSDGD.HJLDWDQVDPSDLGHQJDQ.HJLDWDQ-DZDEODK pertanyaan di bawah ini. a. Berapa banyak tutup botol yang diperlukan untuk membuat susunan ke-5 pada .HJLDWDQ VXVXQDQ NH SDGD .HJLDWDQ GDQ VXVXQDQ NH SDGD .HJLDWDQ" E 3HUKDWLNDQ NHPEDOL ELODQJDQELODQJDQ \DQJ PHQXQMXNNDQ EDQ\DNQ\D WXWXS ERWRO SDGD NRORP VHEHODK NDQDQ7DEHO 7HQWXNDQ MXPODK WXWXS ERWRO \DQJ digunakan untuk membuat susunan ke-6, ke-7, dan ke-8 pada tiap-tiap kegiatan GDUL.HJLDWDQVDPSDLGHQJDQ.HJLDWDQ Ayo Kita Menalar 0HQXUXWPX DSDNDK ELODQJDQELODQJDQ \DQJ PHQXQMXNNDQ EDQ\DNQ\D WXWXS ERWRO SDGD WLDSWLDS VXVXQDQ GL PDVLQJPDVLQJ NHJLDWDQ PHPLOLNL DWXUDQSROD WHUWHQWX" Bagaimanakah cara untuk mendapatkan susunan berikutnya? Diskusi dan Berbagi 6HWHODK NDPX PHODNXNDQ .HJLDWDQ NLQL NDPX WHODK PHQJHWDKXL EHEHUDSD MHQLV SROD ELODQJDQ 6HNDUDQJ FRED NDPX GLVNXVLNDQ GHQJDQ WHPDQ NHORPSRNPX XQWXNPHQMDZDESHUWDQ\DDQEHULNXWLQL D 7XOLVNDQ ELODQJDQ SHUWDPD GDUL WLDSWLDS SROD ELODQJDQ \DQJ WHODK NDPX SHODMDULSDGD.HJLDWDQ

MATEMATIKA

51

b. Bagaimana aturan untuk untuk menentukan bilangan berikutnya pada tiap-tiap pola bilangan tersebut? 7XOLVNDQ KDVLO GLVNXVL WHUVHEXW VHFDUD UDSL %HUVLDSODK XQWXN GLVNXVL GL GHSDQ NHODVGDQSDSDUNDQMDZDEDQPXGLGHSDQWHPDQPX Ayo Kita Simpulkan x 7XOLVNDQ ELODQJDQ SHUWDPD GDUL WLDSWLDS SROD ELODQJDQ \DQJ WHODK NDPX SHODMDULSDGD.HJLDWDQ

x 7XOLVNDQ DWXUDQ XQWXN PHQGDSDWNDQ ELODQJDQ EHULNXWQ\D GDUL VHWLDS SROD bilangan tersebut. Kegiatan 2.4

Segitiga Pascal

6XVXQDQELODQJDQVHJLWLJDSDVFDOWHODKGLNHQDOGL&LQDVHMDNNLUDNLUDWDKXQ Kemudian susunan ini dinamakan dengan segitiga pascal, karena diperkenalkan oleh VHRUDQJLOPXZDQ3UDQFLVEHUQDPD%ODLVH3DVFDOSDGDWDKXQ*DPEDUEHULNXWLQL merupakan susunan bilangan segitiga pascal. Ayo Kita Amati


Gambar 2.8 Segitiga Pascal

52

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Coba kamu amati susunan bilangan yang terdapat pada segitiga pascal tersebut. Susunan bilangan 1 merupakan baris ke-1, susunan bilangan-bilangan 1 1 merupakan EDULVNHVXVXQDQELODQJDQELODQJDQPHUXSDNDQEDULVNHGDQVHWHUXVQ\D ,VLODKWDEHOEHULNXWLQL\DQJPHQ\DWDNDQKDVLOSHQMXPODKDQELODQJDQELODQJDQSDGD WLDS EDULV VHJLWLJD SDVFDO +DVLO SHQMXPODKDQ ELODQJDQELODQJDQ SDGD WLDS EDULV VHJLWLJDSDVFDOVHODQMXWQ\DGLVHEXWGHQJDQMXPODKEDULV 7DEHO3HQMXPODKDQ%LODQJDQ3DGD6HWLDS%DULV6HJLWLJD3DVFDO Baris ke-

Bentuk Penjumlahan

Jumlah Baris

1

1

1

2

2

4

4

...

...

5

...

...

6

...

...

7

...

...

8

...

...

D %HUGDVDUNDQ7DEHOEHUDSDMXPODKEDULVNHGDULVXVXQDQELODQJDQVHJLWLJD Pascal? E 7HQWXNDQMXPODKEDULVNHNHNHGDULVXVXQDQELODQJDQVHJLWLJD3DVFDO WDQSDPHQXOLVNDQEHQWXNMXPODKDQVHSHUWL\DQJWHUGDSDWSDGDNRORPNH7DEHO 2.2 di atas. Ayo Kita Menanya Berdasarkan kegiatan yang telah kamu lakukan di atas, coba buatlah pertanyaan \DQJPHPXDWNDWDNDWDEHULNXW³MXPODKEDULVVHJLWLJD3DVFDO´GDQ³SRODELODQJDQ´" 7XOLVODKSHUWDQ\DDQPXGLEXNXWXOLV Ayo Kita Menalar &REDNDPXDPDWLMXPODKEDULVGDULVXVXQDQELODQJDQVHJLWLJDSDVFDO\DQJWHUGDSDW SDGDNRORP7DEHO.HPXGLDQMDZDEODKSHUWDQ\DDQEHULNXWLQL MATEMATIKA

53

D $SDNDKELODQJDQELODQJDQ\DQJPHQ\DWDNDQMXPODKEDULVWHUVHEXWPHPEHQWXN suatu pola tertentu? E %DJDLPDQDNDKDWXUDQXQWXNPHQGDSDWNDQMXPODKEDULVEHULNXWQ\D" Materi Esensi

Pola Bilangan

3DGDEHEHUDSDNHJLDWDQ\DQJWHODKNDPXODNXNDQGLDWDVNDPXWHODKPHPSHODMDUL EHEHUDSDMHQLVSRODELODQJDQ%HULNXWLQLDGDODKEHEHUDSDMHQLVSRODELODQJDQWHUVHEXW A. Pola Bilangan Ganjil %LODQJDQ«DGDODKVXVXQDQELODQJDQ\DQJPHPLOLNLVXDWXSROD\DQJ dinamakan dengan pola bilangan ganjil. Urutan pertama adalah 1, urutan kedua DGDODK XUXWDQ NHWLJD DGDODK GDQ VHWHUXVQ\D %LODQJDQ EHULNXWQ\D GLSHUROHK GHQJDQPHQDPEDKNDQSDGDELODQJDQVHEHOXPQ\D&RQWRKGDULSRODELODQJDQJDQMLO ELVDGLOLKDWSDGD.HJLDWDQ B. Pola Bilangan Genap Bilangan 2, 4, 6, 8, … adalah susunan bilangan yang memiliki suatu pola yang dinamakan dengan pola bilangan genap. Urutan pertama adalah 2, urutan kedua adalah 4, urutan ketiga adalah 6, dan seterusnya. Bilangan berikutnya diperoleh dengan menambahkan 2 pada bilangan sebelumnya. Contoh dari pola bilangan JHQDSELVDGLOLKDWSDGD.HJLDWDQ C. Pola Bilangan Segitiga %LODQJDQ«DGDODKVXVXQDQELODQJDQ\DQJPHPLOLNLVXDWXSROD\DQJ dinamakan dengan pola bilangan segitiga. Urutan pertama adalah 1, urutan kedua DGDODKXUXWDQNHWLJDDGDODKGDQVHWHUXVQ\D%LODQJDQELODQJDQWHUVHEXWEHUDVDO GDULSHQMXPODKDQELODQJDQFDFDK\DLWX GDQ VHWHUXVQ\D&RQWRKGDULSRODELODQJDQVHJLWLJDELVDGLOLKDWSDGD.HJLDWDQ D. Pola Bilangan Persegi Bilangan 1, 4, 9, 16, … adalah susunan bilangan yang memiliki suatu pola yang dinamakan dengan pola bilangan persegi. Urutan pertama adalah 1, urutan kedua adalah 4, urutan ketiga adalah 9, dan seterusnya. Pola bilangan tersebut dinamakan SROD ELODQJDQ SHUVHJL DWDX GLVHEXW MXJD SROD ELODQJDQ NXDGUDW NDUHQD XQWXN mendapatkannya berasal dari kuadrat bilangan asli, yaitu 12 = 1, 22 2 = 9, dan VHWHUXVQ\D&RQWRKGDULSRODELODQJDQSHUVHJLELVDGLOLKDWSDGD.HJLDWDQ E. Pola Bilangan Persegi Panjang Bilangan 2, 6, 12, 20, … adalah susunan bilangan yang memiliki suatu pola yang dinamakan dengan pola bilangan persegi panjang. Urutan pertama adalah 2,

54

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

urutan kedua adalah 6, urutan ketiga adalah 12, dan seterusnya. Bilangan-bilangan WHUVHEXWGLSHUROHKGHQJDQFDUDPHQJDOLNDQELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQEDULVGHQJDQ ELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQNRORPVHEDJDLEHULNXW baris 1 2 4

kolom u

2

u

hasil

u

=

2

4

=

12

4

=

20

u

$WXUDQQ\DDGDODKELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQNRORPQLODLQ\DVHODOXVDWXOHELK EDQ\DNGDULELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQEDULV&RQWRKGDULSRODELODQJDQSHUVHJL SDQMDQJELVDGLOLKDWSDGD.HJLDWDQ F. Pola Bilangan Segitiga Pascal Bilangan-bilangan pada segitiga Pascal memiliki suatu pola tertentu, yaitu DSDELODGXDELODQJDQ\DQJVDOLQJEHUGHNDWDQGLMXPODKNDQPDNDDNDQPHQJKDVLONDQ ELODQJDQELODQJDQ SDGD EDULV VHODQMXWQ\D NHFXDOL 6HGDQJNDQ KDVLO SHQMXPODKDQ ELODQJDQSDGDWLDSWLDSEDULVVHJLWLJD3DVFDOMXJDPHPLOLNLVXDWXSRODGHQJDQUXPXV 2n – 1, dengan nPHQXQMXNNDQSRVLVLEDULVSDGDVHJLWLJDSDVFDO Tahukah Kamu? Salah satu kegunaan dari susunan bilangan pada segitiga pascal adalah untuk PHQHQWXNDQNRH¿VLHQNRH¿VLHQVXNXVXNXKDVLOSHUSDQJNDWDQab n, dengan n adalah bilangan asli. ab 0 = 1

1

ab = ab 1

1

ab = a abE 2

2

2

ab Da2bab2b

1

1 2

1

# 3HUKDWLNDQKDVLOSHQMDEDUDQGDULab GLDWDV.RH¿VLHQaDGDODKNRH¿VLHQa2 b DGDODKNRH¿VLHQab2DGDODKGDQNRH¿VLHQb adalah 1. Contoh 2.1

Menentukan Aturan Pada Susunan Bilangan

7HQWXNDQ DWXUDQ XQWXN PHQGDSDWNDQ ELODQJDQ EHULNXWQ\D SDGD WLDSWLDS VXVXQDQ ELODQJDQEHULNXWLQLGDQWHQWXNDQHPSDWELODQJDQEHULNXWQ\D

MATEMATIKA

55

a. 1, 4, 7, 10, …, …, …, … b. 1, 4, 16, 64, …, …, …, … c. 1, 8, 27, 64, …, …, …, … d. 2.000, 1.800, 1.600, 1.400, …, …, …, … Alternatif Penyelesaian: a. 1, 4, 7, 10, …, …, …, … Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 1. Bilangan berikutnya GLSHUROHKGHQJDQPHQDPEDKNDQSDGDELODQJDQVHEHOXPQ\D(PSDWELODQJDQ EHULNXWQ\DDGDODKGDQ b. 1, 4, 16, 64, …, …, …, … Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 1. Bilangan berikutnya diperoleh dengan mengalikan 4 pada bilangan sebelumnya. Empat bilangan EHULNXWQ\DDGDODKGDQ c. 1, 8, 27, 64, …, …, …, … Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 1 = 1, bilangan kedua adalah 1 = 2 ELODQJDQ NHWLJD DGDODK , bilangan keempat adalah 64 = 4. Bilangan berikutnya diperoleh dengan melakukan pemangkatan tiga terhadap urutan bilangan tersebut. Empat bilangan berikutnya adalah 5= 125, 6= 216, 7 GDQ= 512. d. 2.000, 1.800, 1.600, 1.400, …, …, …, … Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 2000. Bilangan berikutnya diperoleh dengan mengurangkan 200 pada bilangan sebelumnya. Empat bilangan berikutnya adalah 1.200, 1.000, 800, 600. Contoh 2.2

Menentukan Pola Bilangan Pada Susunan Kardus

Perhatikan susunan kardus yang dibentuk menurut aturan seperti pada gambar di bawah ini:

Gambar 2.9 Susunan Kardus

D %XDWODK WDEHO \DQJ PHQXQMXNNDQ EDQ\DNQ\D NDUGXV \DQJ GLJXQDNDQ XQWXN PHPEXDWVXVXQDQNHNHNHGDQNH

56

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

b. Pola bilangan apa yang kalian dapatkan? F %HUDSDNDKMXPODKNDUGXV\DQJGLSHUOXNDQXQWXNPHPEXDWVXVXQDQNH" Alternatif Penyelesaian: D 7DEHO EHULNXW PHQXQMXNNDQ EDQ\DN NDUGXV \DQJ GLJXQDNDQ XQWXN PHPEXDW susunan ke-1 sampai pola ke-4. Susunan ke-

1

2

4

Jumlah Kardus

2

4

6

8

b. Susunan berikutnya diperoleh dengan menambahkan satu buah kardus pada bagian atas, serta satu buah kardus pada bagian kanan. Sehingga untuk mendapatkan MXPODKNDUGXV\DQJGLEXWXKNDQDJDUGDSDWPHPEXDWVXVXQDQEHULNXWQ\DDGDODK dengan menambahkan dua buah kardus pada susunan sebelumnya. Jika kamu perhatikan, pola bilangan yang terbentuk merupakan pola bilangan genap. Bilangan pertama adalah dua, dan untuk mendapatkan bilangan berikutnya dapat diperoleh dengan menambahkan dua pada bilangan sebelumnya. c. Jumlah kardus yang diperlukan untuk membuat susunan ke-100 sama dengan ELODQJDQ JHQDS \DQJ NH 6HKLQJJD MXPODK NDUGXV \DQJ GLSHUOXNDQ XQWXN membuat susunan ke-100 adalah 200 buah kardus. Ayo Kita Tinjau Ulang 6HEXWNDQEHEHUDSDMHQLVSRODELODQJDQ\DQJWHODKNDPXSHODMDULSDGDEDELQLGDQ sebutkan aturan untuk tiap-tiap pola bilangan tersebut. 2. Salinlah urutan bilangan berikut ini, kemudian isilah bagian yang kosong VHKLQJJD PHPEHQWXN VXVXQDQ ELODQJDQ GHQJDQ SROD WHUWHQWX 7HQWXNDQ DWXUDQ untuk mendapatkan pola berikutnya. D ««« E ««« F «« 1 , …, … 2 d. …, 1 «««

MATEMATIKA

57

Latihan 2.1

Pola Bilangan

7HQWXNDQELODQJDQEHULNXWQ\DGDULVXVXQDQELODQJDQ\DQJDGDGLEDZDKLQL a. 2, 10, 50, 250, …, …, …

E «««

, 1, 4 , 16 , …, …, … 4 9 H «««

d.

c. 164, 172, 180, 188, …, …, … 2. Lengkapilah susunan gambar yang ada di bawah ini pada bagian yang kosong.


Gambar 2.100HOHQJNDSLVXVXQDQJDPEDU

/HQJNDSLODKVXVXQDQELODQJDQGLEDZDKLQLEHUGDVDUNDQSROD\DQJDGDSDGDWLDS WLDSVXVXQDQELODQJDQ

D b. 5, 10, 8, 14, 11, 18, ..., ..., ... c. 99, 94, 97, 92, 95, ..., ..., 88, ... d. 1, 4, 20, 80, ..., 1600, 8000, ..., ... e. 5, 6, 9, 14, 21, ..., ..., 54, ...

4. Susunan Lantai. Coba kamu perhatikan susunan lantai dari beberapa buah persegi yang diarsir seperti pada gambar di samping ini. Susunan persegi tersebut membentuk suatu pola tertentu. Berapakah banyak persegi yang diarsir pada pola ke-7? Gambar 2.11 Susunan lantai

58

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

5. Perhatikan susunan segitiga pada gambar di bawah ini:

Gambar 2.12 Susunan segitiga

D 7XOLVNDQODKMXPODKVHJLWLJDSDGDVXVXQDQNHVDPSDLVXVXQDQNH

E %HUDSDNDKMXPODKVHJLWLJDSDGDVXVXQDQNH"

F %HUDSDNDKMXPODKVHJLWLJDSDGDVXVXQDQNHn?

6. Amir mencoba membuat sebuah menara yang disusun dari batang korek api. Berikut adalah susunan menara korek api yang dibuat oleh Amir. WLQJNDW 2 tingkat 1 tingkat


Gambar 2.13 Susunan Batang Korek Api

D %XDWODKWDEHO\DQJPHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DNRUHNDSL\DQJGLJXQDNDQXQWXN PHPEXDWPHQDUDWLQJNDWWLQJNDWVDPSDLGHQJDQWLQJNDW E %HUDSDNDK EDQ\DN NRUHN DSL \DQJ GLJXQDNDQ MLND $PLU LQJLQ PHPEXDW susunan 10 tingkat? c. Berapa banyak batang korek api yang digunakan untuk membuat n tingkat? -HODVNDQMDZDEDQPX :DZDQ PHPLOLNL EXDK NRWDN GHQJDQ XNXUDQ \DQJ EHUEHGDEHGD 0DVLQJ masing kotak berbentuk kubus. Wawan harus mengisi tiap kotak tersebut dengan NXEXVNXEXV NHFLO \DQJ PHPLOLNL SDQMDQJ VLVL FP :DZDQ WHODK PHQJLVL kotak. Jumlah kubus kecil yang tepat masuk ke dalam tiap-tiap kotak adalah sebagai berikut:

/HQJNDSLODK MXPODK NXEXV NHFLO \DQJ GLEXWXKNDQ XQWXN NHHPSDW NRWDN VHODQMXWQ\D

MATEMATIKA

59

8. Lengkapilah bagian-bagian yang kosong dalam pola bilangan di bawah ini:

u

u

u

u

u

u

9. Perhatikan pola bilangan di bawah ini: a. 1 b. 1 4 5 6 5 6 7 8 9 # # 7HQWXNDQ ELODQJDQ SHUWDPD SDGD EDULV NH GDQ GDUL PDVLQJPDVLQJ VXVXQDQ ELODQJDQ GL DWDV %DJDLPDQD FDUDPX PHQGDSDWNDQQ\D"$SDNDK NDPX dapat menentukan bilangan pertama pada baris ke-n untuk masing-masing VXVXQDQELODQJDQGLDWDV"-HODVNDQVHFDUDVLQJNDW

B. Barisan Bilangan Pertanyaan Penting 3HUKDWLNDQNHPEDOLFRQWRKFRQWRKVXVXQDQELODQJDQ\DQJWHODKNDPXSHODMDULSDGD Bab 2.1. Susunan bilangan tersebut memiliki suatu pola atau aturan tertentu. Apa \DQJ GLPDNVXG EDULVDQ ELODQJDQ" 8QWXN PHQJHWDKXL MDZDEDQQ\D FRED ODNXNDQ kegiatan-kegiatan berikut ini. Kegiatan 2.5

Menentukan Urutan dalam Barisan Berdasarkan Tinggi Badan

Ayo Kita Amati 3DGD VHWLDS KDUL 6HQLQ SDJL VHOXUXK VLVZD 603 &HULD VHODOX PHODNVDQDNDQ XSDFDUDEHQGHUD0HUHNDVHPXDEHUEDULVVHFDUDUDSLDJDUGDSDWPHQJLNXWLXSDFDUD

60

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

EHQGHUDVHFDUDNKLGPDW6HWLDSNHODVGL603&HULDWHUGLULGDULRUDQJVLVZD3DGD NHODV ,;$ MXPODK VLVZD ODNLODNL DGDODK RUDQJ GDQ MXPODK VLVZD SHUHPSXDQ MXJD RUDQJ )RUPDVL EDULVDQ \DQJ GLEHQWXN ROHK WLDSWLDS NHODV DGDODK WHUGLUL GDULEDULV\DQJVHMDMDUGLPDQDEDULVSHUWDPDGLLVLROHKVLVZDODNLODNLGDQEDULV kedua diisi oleh siswa perempuan. Berikut adalah data siswa laki-laki beserta tinggi EDGDQQ\DGLNHODV,;$ 7DEHO'DWD7LQJJL%DGDQ6LVZD.HODV,;$603&HULDGDODPFP Nama Siswa

Tinggi Badan

Fahim

157

0X¿G

154

Wawan

+D¿G

169

Budi

Aldo

176

Stevan

151

Andika

165

Andre

160

5XGL

179

Ayo Kita Mencoba &REDNDPXSHUKDWLNDQGDWDWLQJJLEDGDQGDULVLVZDNHODV,;$603&HULDVHSHUWL \DQJWHUOLKDWSDGD7DEHO a. Siapakah siswa tertinggi dan siswa terpendek dalam kelas tersebut? b. Coba kamu urutkan siswa-siswa tersebut dalam suatu barisan sesuai dengan WLQJJLEDGDQWLDSWLDSVLVZDGDUL\DQJWHUSHQGHNVDPSDL\DQJWHUWLQJJL7XOLVNDQ hasilmu dalam tabel berikut ini.

MATEMATIKA

61

7DEHO+DVLO3HQJXUXWDQ6LVZD%HUGDVDUNDQ7LQJJL%DGDQGDODPFP Urutan ke-

1

2

4

5

6

7

8

9

10

Nama Siswa Tinggi Badan c. Siapakah siswa yang terletak pada urutan ke-5 dan ke-8, dan berapa tinggi siswa tersebut? Ayo Kita Menalar 0HQXUXWPXEDJDLPDQDDWXUDQXQWXNPHQJXUXWNDQNHVHSXOXKVLVZDWHUVHEXWGDODP satu barisan berdasarkan tinggi badannya? Informasi Utama Susunan bilangan yang menyatakan tinggi badan kesepuluh siswa tersebut membentuk suatu barisan bilanganGHQJDQDWXUDQSRODWHUWHQWX%LODQJDQELODQJDQ yang terdapat dalam barisan bilangan tersebut dikenal dengan nama suku. Secara umum suku-suku pada barisan bilangan dapat dituliskan sebagai U1, U2, U, …, Un . Ayo Kita Simpulkan Dari Kegiatan 2.5 di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Apa yang dimaksud dengan barisan bilangan? Apa yang dimaksud suku dari barisan bilangan? Kegiatan 2.6

Menyusun Batang Korek Api

Ayo Kita Mencoba %XDWODKNHORPSRN\DQJWHUGLULGDULDWDXDQDN6HGLDNDQNRWDNNRUHNDSLGDQ kertas karton. Pada tiap-tiap batang korek api oleskan lem sehingga batang korek api WHUVHEXWGDSDWGLWHPSHONDQSDGDNHUWDVNDUWRQ7HPSHONDQEDWDQJNRUHNDSLWHUVHEXW pada kertas karton dengan susunan seperti pada gambar di bawah ini:

62

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1


Gambar 2.14 Susunan batang korek api

Ayo Kita Amati Coba kamu amati susunan yang dibentuk dari batang korek api seperti pada gambar di atas. Pada kegiatan tersebut, dapat dilihat bahwa untuk membuat susunan ke-1 dan ke-2 masing-masing diperlukan 4 dan 7 batang korek api. Berapa banyak EDWDQJ NRUHN DSL \DQJ GLSHUOXNDQ XQWXN PHPEXDW VXVXQDQ NH NH GDQ NH" 7XOLVNDQKDVLOSHQJDPDWDQPXSDGDWDEHOEHULNXW 7DEHO+DVLOSHQJDPDWDQEDQ\DNEDWDQJNRUHNDSLSDGDWLDSVXVXQDQ Susunan ke-

Banyak batang korek api

1

4

2

7

…

4

…

5

…

0HQXUXWPX EHUDSDNDK MXPODK WXWXS EDWDQJ NRUHN DSL \DQJ GLSHUOXNDQ XQWXN membuat pola ke-6 dan ke-7?

MATEMATIKA

63

Ayo Kita Menalar 3HUKDWLNDQ NHPEDOL ELODQJDQ \DQJ PHQXQMXNNDQ EDQ\DNQ\D EDWDQJ NRUHN DSL GDUL KDVLOSHQJDPDWDQPXSDGDNRORPNHGXD7DEHOVHWHODKLWXMDZDEODKSHUWDQ\DDQGL bawah ini. D $SDNDKELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DEDWDQJNRUHNDSL\DQJGLEXWXKNDQ untuk membuat setiap susunan membentuk suatu barisan bilangan? E %HUGDVDUNDQ7DEHOEDJLDQPDQD\DQJPHQXQMXNNDQVXNXVXNXGDULEDULVDQ bilangan yang terbentuk? c. Bagaimana aturan untuk mendapatkan suku berikutnya dari barisan bilangan tersebut? G $SDNDKVHOLVLKDQWDUDGXDVXNX\DQJEHUXUXWDQVHODOXVDPDWHWDS" Informasi Utama Dari Kegiatan 2.6 yang telah kamu lakukan, dapat kamu lihat bahwa susunan bilangan yang menyatakan banyaknya batang korek api untuk membuat tiaptiap susunan membentuk suatu barisan bilangan yang disebut dengan barisan aritmetika. Selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap dan disebut beda. Ayo Kita Simpulkan Dari Kegiatan 2.6 di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Apakah yang dimaksud dengan barisan aritmetika? Jawablah dengan menggunakan kata-katamu sendiri. Ayo Kita Mencoba 3HUKDWLNDQNHPEDOLNRORPSDGD7DEHO%LODQJDQELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQ banyaknya batang korek api yang diperlukan untuk membuat susunan pertama VDPSDLNHOLPDGDSDWGLWXOLVNDQGDODPEHQWXN$SDNDKNDPXGDSDW menentukan banyaknya batang korek api yang diperlukan untuk membuat susunan NHGDQNH"'DSDWNDKNDPXPHQMHODVNDQVHFDUDVLQJNDWFDUDPHQHQWXNDQQ\D" 8QWXNPHQMDZDESHUWDQ\DDQWHUVHEXWODNXNDQNHJLDWDQGLEDZDKLQL%DQ\DNQ\D EDWDQJ NRUHN DSL \DQJ GLJXQDNDQ XQWXN PHPEXDW WLDSWLDS VXVXQDQ VHODQMXWQ\D disebut suku dari barisan aritmetika yang terbentuk. Lengkapi tabel di bawah ini: 64

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Susunan ke-

Suku

Pola Bilangan dengan Beda 3

1

4

± u

2

7

± u

10

± u

4

± u

5

…

…

6

…

…

7

…

…

8

…

…

Informasi Utama Perhatikan bilangan-bilangan pada kolom kedua tabel di atas, bilangan 4 menyatakan suku ke-1 dari barisan aritmetika tersebut. Bilangan 7 menyatakan suku ke-2 dari barisan aritmetika tersebut, dan seterusnya. Sekarang perhatikan kolom sebelah kanan dari tabel di atas. Suku kedua adalah 7, dengan demikian didapatkan bentuk pola bilangan GHQJDQ EHGD DGDODK ± u $QJND SDGD EDJLDQ SHUWDPD UXDV NDQDQ SHUVDPDDQ WHUVHEXW PHQXQMXNNDQ suku pertama dari barisan aritmetika \DQJWHUEHQWXN$QJNDPHQXQMXNNDQEDKZDPHUXSDNDQsuku ke-2. Sedangkan DQJNDPHQXQMXNNDQbeda dari barisan aritmetika tersebut.

Ayo Kita Menanya Berdasarkan hasil pengamatanmu di atas, coba buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan kegiatan tersebut. Berikut adalah salah satu contoh pertanyaan: Apakah hubungan antara suku pertama dengan suku-suku berikutya pada barisan aritmetika? 7XOLVNDQSHUWDQ\DDQPXGDODPEXNXWXOLV Ayo Kita Menalar a. Bagaimana caramu menentukan suku ke-9, 10, dan 11 dari barisan aritmetika tersebut? Berapakah nilainya? MATEMATIKA

65

E 0HQXUXWPXDSDKXEXQJDQDQWDUDVXNXSHUWDPDEHGDGHQJDQQLODLWLDSWLDSVXNX dari barisan aritmetika tersebut ? F 7HQWXNDQVXNXNHGDQGDULEDULVDQDULWPHWLNDWHUVHEXW Diskusi dan Berbagi D 3HUKDWLNDQ NHPEDOL NRORP VHEHODK NDQDQ SDGD WDEHO GL DWDV 7HQWXNDQ UXPXV umum suku ke-n pada barisan aritmetika tersebut sesuai dengan bentuk yang terdapat pada kolom sebelah kanan tabel di atas. b. Jika suku pertama dari suatu barisan aritmetika disimbolkan dengan a¸ beda dari barisan aritmetika disimbolkan dengan b, dan suku ke-n dari barisan aritmetika disimbolkan dengan Un, tuliskan rumus suku ke-n yang melibatkan a dan b. 7XOLVNDQ KDVLO GLVNXVL WHUVHEXW VHFDUD UDSL %HUVLDSODK XQWXN GLVNXVL GL GHSDQ NHODVGDQSDSDUNDQMDZDEDQPXGLGHSDQWHPDQPX Ayo Kita Simpulkan Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Bagaimana rumus suku ke-nGLVRPERONDQGHQJDQUn GDULVXDWXEDULVDQDULWPHWLND MLNDGLNHWDKXLVXNXSHUWDPDDGDODKa dan beda dalam barisan aritmetika adalah b? Kegiatan 2.7

Melipat dan Menghitung Potongan Kertas

Ayo Kita Mencoba 3DGDNHJLDWDQLQLNDPXGLZDMLENDQXQWXNPHPEDZDVDWXOHPEDUNHUWDVKYV,NXWL langkah-langkah kegiatan di bawah ini: /LSDWODKVDWXOHPEDUNHUWDV\DQJWHODKNDOLDQEDZDVHKLQJJDPHQMDGLEDJLDQ yang sama. Guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas? 2. Susunlah semua potongan kertas tersebut sehingga saling menutup. Lipatlah VXVXQDQ NHUWDV WHUVHEXW PHQMDGL EDJLDQ \DQJ VDPD NHPXGLDQ JXQWLQJODK menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas sekarang? /DNXNDQNHJLDWDQWHUVHEXWVDPSDLNDOL

66

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Ayo Kita Amati &REDNDPXDPDWLMXPODKSRWRQJDQNHUWDV\DQJDGDVHWLDSNDOLNDPXPHODNXNDQ kegiatan melipat dan menggunting kertas. Setelah melakukan kegiatan ini sebanyak 1 dan 2 kali, diperoleh banyak potongan kertas yang ada masing-masing sebanyak 2 GDQ7XOLVNDQKDVLOSHQJDPDWDQPXSDGDWDEHOGLEDZDKLQL 7DEHO+DVLOSHQJDPDWDQMXPODKSRWRQJDQNHUWDV\DQJWHUEHQWXN Kegiatan Melipat dan Menggunting Kertas ke-

Banyak Potongan Kertas

1

2

2

4

…

4

…

5

…

6

…

7

…

a. Berapakah banyak potongan kertas setelah kamu melakukan kegiatan tersebut sampai 8 kali? E 7HQWXNDQ EDQ\DN SRWRQJDQ NHUWDV MLND NDPX PHODNXNDQ NHJLDWDQ PHOLSDW GDQ menggunting kertas tersebut sampai 10 kali? Ayo Kita Menalar Perhatikan kembali bilangan-bilangan pada pengamatan terhadap banyak SRWRQJDQNHUWDV\DQJWHUEHQWXNVHVXDL7DEHO6HWHODKLWXMDZDEODKSHUWDQ\DDQGL bawah ini: a. Apakah bilangan yang menyatakan banyak potongan kertas membentuk suatu barisan bilangan? E %HUGDVDUNDQ 7DEHO EDJLDQ PDQDNDK \DQJ PHQXQMXNNDQ VXNXVXNX GDUL barisan bilangan yang terbentuk? c. Bagaimana aturan untuk mendapatkan suku berikutnya dari barisan bilangan tersebut? G $SDNDKSHUEDQGLQJDQDQWDUDGXDVXNX\DQJEHUXUXWDQVHODOXVDPDWHWDS" MATEMATIKA

67

Informasi Utama Dari Kegiatan 2.7 yang telah kamu lakukan, dapat kamu lihat bahwa susunan bilangan yang menyatakan banyaknya potongan kertas pada tiap-tiap kegiatan melipat dan menggunting kertas membentuk suatu barisan bilangan yang disebut dengan barisan geometri. Perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu bernilai tetap dan disebut rasio. Ayo Kita Simpulkan Dari Kegiatan 2.7 di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Apakah yang dimaksud dengan barisan geometri? Jawablah dengan menggunakan kata-katamu sendiri.

Ayo Kita Amati 3HUKDWLNDQNHPEDOLNRORPSDGD7DEHO%LODQJDQELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQ MXPODKSRWRQJDQNHUWDV\DQJDGDSDGDNHJLDWDQPHOLSDWGDQPHPRWRQJNHUWDVNH VDPSDLNHGDSDWGLWXOLVNDQGDODPEHQWXN$SDNDKNDPX dapat menentukan banyak potongan kertas yang terbentuk pada kegiatan ke-8 dan NHJLDWDQNH"'DSDWNDKNDPXPHQMHODVNDQVHFDUDVLQJNDWFDUDPHQHQWXNDQQ\D" 8QWXNPHQMDZDESHUWDQ\DDQWHUVHEXWODNXNDQNHJLDWDQGLEDZDKLQL%DQ\DNQ\D SRWRQJDQNHUWDVSDGDWLDSWLDSNHJLDWDQPHOLSDWGDQPHQJJXQWLQJNHUWDVVHODQMXWQ\D disebut suku dari barisan geometri yang terbentuk. Lengkapi tabel di bawah ini.

68

Susunan ke-

Suku

1

2

2

4

8

4

16

16 = 2 u 24 – 1

5

…

…

6

…

…

7

…

…

8

…

…

Kelas IX SMP/MTs

Pola Bilangan dengan Rasio 2

2 = 2 u 21 – 1 4 = 2 u 22 – 1 8 = 2 u 2±

Semester 1

Informasi Utama Perhatikan bilangan-bilangan pada kolom kedua tabel di atas, bilangan 2 menyatakan suku ke-1 dari barisan geometri tersebut. Bilangan 4 menyatakan suku ke-2 dari barisan geometri tersebut, dan seterusnya. Sekarang perhatikan kolom sebelah kanan dari tabel di atas. Suku ketiga adalah 8, dengan demikian didapatkan bentuk pola bilangan dengan rasio 2 adalah 8 = 2 u 2 ± . Angka 2 pada bagian pertama ruas kanan SHUVDPDDQ WHUVHEXW PHQXQMXNNDQ VXNX SHUWDPD GDUL EDULVDQ JHRPHWUL \DQJ terbentuk. Pada bagian perpangkatan, angka 2 yang merupakan basis dari SHUSDQJNDWDQWHUVHEXWPHQXQMXNNDQUDVLRGDULEDULVDQJHRPHWUL6HGDQJNDQDQJND PHQXQMXNNDQEDKZDPHUXSDNDQVXNXNHGDULEDULVDQJHRPHWULWHUVHEXW

Ayo Kita Menanya Berdasarkan hasil pengamatanmu di atas, coba buatlah pertanyaan yang berkaitan GHQJDQEDULVDQJHRPHWUL7XOLVNDQSHUWDQ\DDQNDOLDQGLEXNXWXOLV Ayo Kita Menalar a. Bagaimana caramu menentukan suku ke-9, 10 dan 11 dari barisan aritmetika tersebut? Berapakah nilainya? E 0HQXUXWPX DSD KXEXQJDQ DQWDUD VXNX SHUWDPD UDVLR GHQJDQ QLODL WLDSWLDS suku dari barisan geometri tersebut ? F 7HQWXNDQVXNXNHGDQGDULEDULVDQJHRPHWULWHUVHEXW Diskusi dan Berbagi D 3HUKDWLNDQ NHPEDOL NRORP VHEHODK NDQDQ SDGD WDEHO GL DWDV 7HQWXNDQ UXPXV umum suku ke-n pada barisan geometri tersebut sesuai dengan bentuk yang terdapat pada kolom sebelah kanan tabel di atas? b. Jika suku pertama dari barisan geometri tersebut disimbolkan dengan a¸ rasio dari barisan geometri disimbolkan dengan r, dan suku ke-n dari barisan geometri disimbolkan dengan Un, tuliskan rumus suku ke-n yang melibatkan a dan r. 7XOLVNDQ KDVLO GLVNXVL WHUVHEXW VHFDUD UDSL %HUVLDSODK XQWXN GLVNXVL GL GHSDQ NHODVGDQSDSDUNDQMDZDEDQPXGLGHSDQWHPDQPX

MATEMATIKA

69

Ayo Kita Simpulkan Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Bagaimana rumus suku ke-n GLVRPERONDQGHQJDQUn GDULVXDWXEDULVDQJHRPHWUL MLNDGLNHWDKXLVXNXSHUWDPDDGDODKa dan rasio dalam barisan geometri adalah r? Materi Esensi

Barisan Bilangan

Susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu disebut barisan bilangan. Kedudukan tiap-tiap bilangan pada barisan bilangan disebut suku-suku dari barisan bilangan tersebut. Secara umum suku-suku pada barisan bilangan dapat dituliskan sebagai U1, U2, U, …, Un . A. Barisan Aritmetika &REDNDPXSHUKDWLNDQNHPEDOLKDVLO\DQJWHODKNDPXGDSDWNDQSDGD7DEHO Suku-suku pada barisan bilangan tersebut ditulis secara berurutan seperti di bawah ini. 4

7

10

...

16

7HUOLKDW EDKZD VHOLVLK DQWDU GXD VXNX EHUXUXWDQ DGDODK DWDX ELVD GLWXOLVNDQ sebagai berikut U2 – U1 U – U2 U4 – U # Un – Un – 1 6XNXEHULNXWQ\DGLSHUROHKGHQJDQFDUDPHQDPEDKNDQSDGDVXNXVHEHOXPQ\D $QJNDLQLVHODQMXWQ\DGLVHEXWGHQJDQbeda. Pada barisan aritmetika tersebut, diketahui bahwa suku pertama adalah 4, dan EHGDEDULVDQDULWPHWLNDWHUVHEXWDGDODKVHKLQJJDUXPXVVXNXNHQDGDODKUn n± u Barisan bilangan U1, U2, U, …, Un disebut barisan aritmetikaMLNDVHOLVLKDQWDUD dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih antara dua suku yang berurutan disebut dengan beda. 70

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Secara umum, suatu barisan aritmetika dengan suku pertama U1 = a , dan beda antara dua suku yang berurutan adalah b, maka suku ke-n barisan aritmetika tersebut adalah Un = a + (n – 1) u b. Tahukah Kamu? %DULVDQ DULWPHWLND GLVHEXW EDULVDQ DULWPHWLND QDLN MLND VXNXVXNXQ\D PDNLQ EHVDUGHQJDQNDWDODLQEHGDSDGDEDULVDQDULWPHWLNDDGDODKSRVLWLI %DULVDQDULWPHWLNDGLVHEXWEDULVDQDULWPHWLNDWXUXQMLNDVXNXVXNXQ\DPDNLQ NHFLOGHQJDQNDWDODLQEHGDSDGDEDULVDQDULWPHWLNDDGDODKQHJDWLI B. Barisan Geometri &REDNDPXSHUKDWLNDQNHPEDOLKDVLO\DQJWHODKNDPXGDSDWNDQSDGD7DEHO Suku-suku pada barisan bilangan tersebut ditulis secara berurutan seperti di bawah ini 2

4 u2

8 u2

16 u2

u2

... u2

7HUOLKDW EDKZD SHUEDQGLQJDQ DQWDU GXD VXNX EHUXUXWDQ DGDODK DWDX ELVD dituliskan: U2 =2 U1

U =2 U2 U4 =2 U # Un =2 Un 1 Suku berikutnya diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan 2. $QJNDLQLVHODQMXWQ\DGLVHEXWGHQJDQSHPEDQGLQJUDVLR Pada barisan geometri tersebut, diketahui bahwa suku pertama adalah 2, dan rasio dari barisan tersebut adalah 2 , maka rumus suku ke-n adalah Un = 2 u 2n – 1 Barisan bilangan U1, U2, U, …, Un disebut barisan geometriMLNDSHUEDQGLQJDQ antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Nilai perbandingan antara dua suku yang berurutan pada barisan geometri disebut dengan pembanding/rasio.

MATEMATIKA

71

Secara umum, suatu barisan geometri dengan suku pertama U1 = a, dan SHUEDQGLQJDQUDVLRDQWDUDGXDVXNX\DQJEHUXUXWDQDGDODKr, maka suku ke-n barisan geometri tersebut adalah Un = a × rn – 1 Tahukah Kamu? %DULVDQJHRPHWULGLVHEXWEDULVDQJHRPHWULQDLNMLNDVXNXVXNXQ\DPDNLQEHVDU dengan kata lain rasio pada barisan geometri lebih dari 1. %DULVDQ JHRPHWUL GLVHEXW EDULVDQ JHRPHWUL WXUXQ MLND VXNXVXNXQ\D PDNLQ kecil, dengan kata lain rasio pada barisan geometri kurang dari 1.

Contoh 2.3

Suku-suku pada Barisan Bilangan Genap

7XOLVNDQVXNXSHUWDPDSDGDEDULVDQELODQJDQJHQDSGDQWHQWXNDQVXNXNH Alternatif Penyelesaian: Diketahui: Suatu barisan bilangan genap dengan x suku pertama a = 2 x beda b = 2 Ditanya: 5 suku pertama dan suku ke-57 Jawab: Suku pertama pada barisan bilangan genap adalah 2, atau bisa ditulis dengan U1 = 2. Suku berikutnya pada barisan bilangan genap dapat diperoleh dengan menambahkan 2 pada suku sebelumnya, sehingga beda pada barisan tersebut adalah 2. Sehingga keempat suku berikutnya adalah U2 = 4, U = 6, U4 = 8, U5 = 10. Dari a = 2 dan b = 2, maka kita bisa dapatkan nilai dari U57 yaitu Un = an± ub U57 = a± ub

± u 2

u 2

= 114

Jadi suku ke-57 pada barisan bilangan genap adalah 114.

72

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Contoh 2.4

Sisi-sisi pada Segitiga Siku-siku

Sisi-sisi dari suatu segitiga siku-siku membentuk barisan DULWPHWLND -LND SDQMDQJ VLVL PLULQJQ\D DGDODK FP PDNDWHQWXNDQSDQMDQJVLVLVLNXVLNX\DQJWHUSHQGHN

40 cm

Alternatif Penyelesaian: Diketahui:

x Suatu segitiga siku-siku memiliki sisi miring GHQJDQSDQMDQJFP

x Ketiga sisi segitiga siku-siku membentuk suatu barisan aritmetika dengan beda sebesar b

Gambar 2.15 Sisi-sisi segitiga siku-siku

Ditanya:

3DQMDQJVLVLVLNXVLNXWHUSHQGHN

Jawab: /DQJNDK 7XOLVNDQVLVLVLVLVHJLWLJDGDODPEHQWXNEDULVDQDULWPHWLND Coba kamu perhatikan gambar segitiga siku-siku di samping. Kita bisa tuliskan SDQMDQJ VLVLVLVLQ\D VHVXDL GHQJDQ EHQWXN barisan aritmetika sebagai berikut:

40 cm 40 – 2b

U1 = 40 – 2b U2 = 40 – b

40 – b Sisi-sisi segitiga siku-siku

U = 40 Langkah 2: Gunakan teorema Phytagoras

Dengan menggunakan teorema phytagoras diperoleh persamaan berikut: 402 ±b 2±b 2 ±bb2 ±b b2 ±b b2 /DQJNDK6HOHVDLNDQEHQWXNSHUVDPDDQNXDGUDWXQWXNPHPSHUROHKQLODLb Selesaikan bentuk persamaan kuadrat yang telah kita peroleh dengan cara mengurangkan kedua ruas dengan 1.600, sehingga didapatkan: 0 = 5b2±

MATEMATIKA

73

3HUVDPDDQGLDWDVELVDNLWDMDEDUNDQGDQWXOLVNDQNHPEDOLPHQMDGL b± b± Didapatkan penyelesaiannya adalah b = 8 atau b = 40, akan tetapi nilai b = 40 tidak memenuhi, karena ketika substitusikan nilai ini ke dalam barisan aritmetika DNDQGLSHUROHKQLODLGDQSDGDSDQMDQJVLVLVHJLWLJDVHGDQJNDQSDQMDQJGDUL VHJLWLJDWLGDNPXQJNLQEHUQLODLQHJDWLIPDXSXQ 'DULSHQMHODVDQWHUVHEXWNLWDGDSDWNDQQLODLEHGDb = 8. Langkah 4: Substitusikan nilai b ke dalam tiap suku barisan aritmetika 6XEVWLWXVLNDQQLODLLQLSDGDEDULVDQDULWPHWLND\DQJWHODKNLWDGH¿QLVLNDQGLDWDV sehingga diperoleh: U1 = 40 – 2b ± ± U2 = 40 – b ± U = 40 -DGLSDQMDQJVLVLVLNXVLNX\DQJWHUSHQGHNSDGDVHJLWLJDVLNXVLNXWHUVHEXWDGDODK 24 cm. Ayo Kita Menalar Dengan prosedur yang hampir sama dengan Contoh 42. di atas, dapatkan SDQMDQJ VLVL PLULQJ GDUL VXDWX VHJLWLJD VLNXVLNX MLND GLNHWDKXL SDQMDQJ VLVL WHJDN \DQJPHUXSDNDQVLVLWHUSHQGHNDGDODKFPGDQVLVLVLVLGDULVHJLWLJDWHUVHEXWMXJD PHPEHQWXN VXDWX EDULVDQ DULWPHWLND -HODVNDQ VHFDUD VLQJNDW ODQJNDKODQJNDK SHQ\HOHVDLDQQ\D Contoh 2.5

Pertumbuhan Jumlah Penduduk

Kota A memiliki populasi sebanyak 100.000 MLZD SDGD EXODQ -DQXDUL 3HPHULQWDK NRWD tersebut bertekad untuk meningkatkan semua sarana GDQSUDVDUDQDGLNRWD$VHKLQJJDMXPODKSHQGXGXN di kota A bisa mengalami peningkatan tetap sebesar VHWLDSWDKXQQ\D %HUDSDNDKMXPODKSHQGXGXNNRWD$SDGDEXODQ Sumber: http://saly-enjoy.blogspot. Januari 2020? com %XDWODKJUD¿NSHUWXPEXKDQMXPODKSHQGXGXNNRWD$ Gambar 2.16 Pertumbuhan MXPODKSHQGXGXN GDULEXODQ-DQXDULVDPSDLGHQJDQ-DQXDUL

74

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Alternatif Penyelesaian: Diketahui:

x Populasi awal kota A pada Januari 2015 adalah a = 100.000

x 3HQLQJNDWDQSHQGXGXNNRWD$WLDSWDKXQDGDODKWHWDSVHEHVDU Ditanya:

-XPODKSHQGXGXNNRWD$SDGD-DQXDULGDQJUD¿NSHUWXPEXKDQSHQGXGXN

Jawab:

/DQJNDK7HQWXNDQUDVLRSHUWXPEXKDQSHQGXGXNr

3HUWXPEXKDQ MXPODK SHQGXGXN PHUXSDNDQ VDODK VDWX DSOLNDVL GDUL EDULVDQ JHRPHWULQDLN'LNHWDKXLEDKZDVHWLDSWDKXQQ\DWHUMDGLSHQLQJNDWDQWHWDSSDGD MXPODKSHQGXGXNNRWD$VHEHVDUVHKLQJJDSDGDWDKXQEHULNXWQ\DMXPODK VHOXUXKSHQGXGXNNRWD$DNDQPHQMDGLGDULSRSXODVL\DQJDGDSDGDWDKXQ saat ini.

'HQJDQGHPLNLDQPDNDWLDSWDKXQQ\DMXPODKSHQGXGXNNRWD$DNDQPHQMDGL NDOLMXPODKSHQGXGXNSDGDWDKXQLQLVHKLQJJDUDVLRSHUWXPEXKDQSHQGXGXNNRWD A adalah r = 1,2. Langkah 2: Gunakan r untuk mendapatkan suku berikutnya Populasi awal penduduk pada Januari 2015 adalah a = 100.000, dengan menggunakan perhitungan maka didapatkan: Populasi penduduk kota A pada bulan Januari 2016 hingga bulan Januari 2020 masing-masing dinyatakan dengan U2, U, U4, U5, dan U6. U2 = ar U = ar2 2 U4 = ar U5 = ar4 4 U6 = ar5 5

%HULNXW LQL DGDODK WDEHO \DQJ PHQXQMXQMXNNDQ SHUWXPEXKDQ SHQGXGXN NRWD$ dari Januari 2015 sampai dengan Januari 2020: Bulan/ Tahun Jumlah Penduduk

Januari

Januari

Januari

Januari

Januari

Januari

2015

2016

2017

2018

2019

2020

100.000

120.000

144.000

172.800

MATEMATIKA

75

*DPEDUGLEDZDKLQLPHQXQMXNNDQJUD¿NSHUWXPEXKDQMXPODKSHQGXGXNNRWD$ dari bulan Januari 2015 sampai dengan Januari 2020:

Ja n 20 uar 18 i Ja n 20 uar 18 i Ja n 20 uar 20 i

172.800 144.000 120.000 100.000

Ja n 20 uar 15 i Ja n 20 uar 16 i Ja n 20 uar 17 i

Jumlah Penduduk

Tahun Sumber: Dokumentasi Kemdikbud

Gambar 2.17*UD¿NSHUWXPEXKDQSHQGXGXNNRWD$

Ayo Kita Tinjau Ulang Perhatikan kembali konsep mengenai suku ke-n pada barisan aritmetika dan EDULVDQJHRPHWUL\DQJWHODKGLMHODVNDQVHEHOXPQ\D&REDNDPXSDKDPLODJL 1. Sebutkan ciri utama dari barisan aritmetika dan barisan geometri. 'LNHWDKXLEDULVDQELODQJDQ«7HQWXNDQ a. Suku ke-10 dan suku ke-25

E 5XPXVVXNXNHn

F 6XNXNHEHUDSD\DQJQLODLQ\DDGDODK" Latihan 2.2

Barisan Bilangan

7HQWXNDQODKOLPDVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQEHULNXWLQL a. Un = n2

b. Un n – 2

76

Kelas IX SMP/MTs

F Un =

1 2 n ± 2

d. Un = n

Semester 1

2. Dapatkan selisih antar suku yang berurutan dan suku ke–15 dari tiap-tiap barisan bilangan berikut ini: a. 1, 8, 15, 22, …

E «

c. 2, 5, 8, 11, …

G «

'DSDWNDQSHUEDQGLQJDQDQWDUVXNXEHUXUXWDQGDQVXNXNH±GDULWLDSWLDSEDULVDQ bilangan berikut ini: c. xy, x2y, xy, x4y, …

a. 64, -96, 144, -216, …

2, 1, 1 , 1 ,… d. 7 , 1, , 9 , … 7 49 6 12 7HQWXNDQVXNXNHGDQVXNXNHnUn GDULEDULVDQELODQJDQEHULNXW b.

D «

F «

E «

G ab2, a2b, ab4, a4b5,…

5. Perkembangbiakan Bakteri. Seorang peneliti melakukan pengamatan pada perkembangbiakan sebuah bakteri di dalam sebuah preparat. Pada hari awal SHQJDPDWDQ GLNHWDKXL EDKZD MXPODK bakteri yang terdapat di dalam preparat DGDODK 6HWLDS MDP PDVLQJPDVLQJ EDNWHUL PHPEHODK GLUL PHQMDGL GXD $SDELODVHWLDSMDPVHNDOLVHWHQJDKGDUL seluruh bakteri yang ada dibunuh, maka tentukan banyaknya virus setelah 12 hari GDULDZDOSHQJDPDWDQ 6. Usia Anak .HOXDUJD 3DN 5KRPD Sumber: http://www.artikelbiologi.com Gambar 2.18 Perkembangbiakan mempunyai 6 orang anak yang usianya pada Bakteri saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika XVLDDQDNNHDGDODKWDKXQGDQXVLDDQDNNHDGDODKWDKXQPDNDMXPODK XVLDHQDPDQDN3DN5KRPDWHUVHEXWDGDODK«WDKXQ 7. Membagi Uang ,EX &DWK\ LQJLQ PHPEDJLNDQ XDQJ VHEHVDU 5S kepada 5 orang anaknya. Semakin tua usia anak, maka semakin banyak uang yang akan dia terima. Jika selisih uang yang diterima oleh setiap dua orang anak \DQJ XVLDQ\D EHUGHNDWDQ DGDODK 5S GDQ VL EXQJVX PHQHULPD XDQJ SDOLQJVHGLNLWPDNDWHQWXNDQXDQJ\DQJGLWHULPDROHKDQDNNHWLJD

MATEMATIKA

77

8. Gaji Karyawan. Pada suatu perusahaan, VHPXD NDU\DZDQQ\D PHPSHUROHK JDML awal yang besarnya sama ketika pertama kali masuk ke dalam perusahaan. *DML WHUVHEXW DNDQ PHQLQJNDW GHQJDQ persentase yang tetap setiap tahunnya, sehingga karyawan yang lebih dahulu EHNHUMD SDGD SHUXVDKDDQ WHUVHEXW DNDQ PHQHULPD JDML \DQJ OHELK EHVDU GDULSDGD NDU\DZDQ \DQJ EDUX PDVXN$SDELOD JDML 6DVKD\DQJWHODKEHNHUMDVHODPDGXDWDKXQ DGDODK 5S GDQ JDML :LQGD Sumber: http://www.jobstreet.co.id \DQJ WHODK EHNHUMD VHODPD WLJD WDKXQ Gambar 2.19*DMLNDU\DZDQ DGDODK 5S EHUDSDNDK JDML karyawan di perusahaan tersebut saat pertama kali masuk? 9. Soal Tantangan. Jika diketahui t, u, v, dan wDGDODKELODQJDQDVOLEXNWLNDQVLIDW VLIDW\DQJEHUODNXSDGDEDULVDQDULWPHWLNDGLEDZDKLQL a. Jika u, v, dan w adalah tiga suku yang berurutan pada suatu barisan aritmetika, maka akan berlaku : 2v = uw b. Jika t, u, v, w adalah empat suku yang berurutan pada suatu barisan aritmetika, PDNDEHUODNXVLIDWuv = tw 10. Soal Tantangan. Jika diketahui t, u, v, dan wDGDODKELODQJDQDVOLEXNWLNDQVLIDW VLIDW\DQJEHUODNXSDGDEDULVDQJHRPHWULGLEDZDKLQL a. Jika u, v, dan w adalah tiga suku yang berurutan pada suatu barisan geometri, PDNDDNDQEHUODNXVLIDWv2 = uw b. Jika t, u, v, w adalah empat suku yang berurutan pada suatu barisan geometri, PDNDEHUODNXVLIDWuv = tw

C. Deret Bilangan Pertanyaan Penting $SD \DQJ GLPDNVXG GHQJDQ GHUHW ELODQJDQ" 8QWXN PHQJHWDKXL MDZDEDQQ\D FRED lakukan kegiatan-kegiatan berikut ini.

78

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Kegiatan 2.8

Menabung

Ayo Kita Amati Setiap akhir minggu Nita selalu menyisihkan uang saku yang ia dapatkan untuk ditabung. Ia bertekad untuk dapat menabung uang lebih banyak pada minggu-minggu berikutnya. Pada akhir minggu pertama Nita menabung VHEHVDU 5S DNKLU PLQJJX NHGXD LD PHQDEXQJ VHEHVDU 5S DNKLU PLQJJX NHWLJD LD PHQDEXQJ VHEHVDU5SEHJLWXVHWHUXVQ\DLDVHODOXPHQDEXQJ 5S OHELK EDQ\DN GDUL PLQJJX VHEHOXPQ\D 3HUKDWLNDQ MXPODK XDQJ \DQJ GLWDEXQJ ROHK 1LWD VHWLDS akhir minggunya. Sumber: http://stdiis.ac.id

Gambar 2.200HQDEXQJ

Ayo Kita Mencoba

&RED NDPX WXOLVNDQ MXPODK XDQJ \DQJ GLWDEXQJ VHUWD MXPODK WRWDO XDQJ WDEXQJDQ 1LWDVHWLDSDNKLUPLQJJXQ\DGHQJDQPHOHQJNDSLWDEHOGLEDZDKLQL 7DEHO-XPODKXDQJ\DQJGLWDEXQJGDQWRWDOWDEXQJDQ1LWD Akhir Minggu ke-

Uang yang Ditabung

Total Tabungan

1

1.000

1.000

2

2.000

6.000

4

4.000

10.000

5

5.000

…

6

…

…

7

…

…

8

…

…

9

…

…

10

…

…

MATEMATIKA

79

Ayo Kita Menalar D 'DSDWNDKNDPXPHQJKLWXQJMXPODKXDQJ\DQJGLWDEXQJ1LWDSDGDDNKLUPLQJJX NHGDQDNKLUPLQJJXNH"%HUDSDNDKMXPODKQ\D" b. Berapakah total uang tabungan Nita pada akhir minggu ke-20? F %DJDLPDQDFDUDPXPHQHQWXNDQKDVLOSDGDE "-HODVNDQ d. Berapakah total uang tabungan Nita pada akhir minggu ke-25? H %DJDLPDQDFDUDPXXQWXNPHQGDSDWNDQKDVLOSDGDG MLNDPHOLEDWNDQE " Ayo Kita Menanya Buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan kegiatan yang telah kamu lakukan di atas. Berikut adalah salah satu contoh pertanyaan: Bagaimana hubungan antara uang yang ditabung oleh Nita dengan uang total tabungan Nita pada tiap akhir minggu? Diskusi dan Berbagi 0HQXUXWPXDSDNDKPXQJNLQNLWDGDSDWPHQHQWXNDQMXPODKWRWDOWDEXQJDQ1LWDSDGD DNKLUPLQJJXNHMLNDKDQ\DGLNHWDKXLXDQJ\DQJGLWDEXQJ1LWDSDGDDNKLUPLQJJX NH NH GDQ NH" %DJDLPDQDNDK FDUDQ\D" %HUDSDNDK EDQ\DN XDQJ WDEXQJDQ Nita pada akhir minggu ke-n? Diskusikan dengan teman sebangkumu dan paparkan hasilnya di depan kelas. Informasi Utama 6HSHUWL\DQJWHODKGLMHODVNDQSDGDEDEEDULVDQELODQJDQGDSDWGLOLKDWEDKZDXDQJ yang ditabung oleh Nita pada tiap akhir minggu membentuk suatu barisan bilangan. Banyaknya uang yang ditabung oleh Nita pada tiap akhir minggu menyatakan VXNXGDULEDULVDQELODQJDQWHUVHEXW7RWDOXDQJWDEXQJDQ1LWDWLDSDNKLUPLQJJX PHQ\DWDNDQMXPODKDQGDULEHEHUDSDVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQWHUVHEXW \DQJVHODQMXWQ\DGLVHEXWGHQJDQderet bilangan. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan disimbolkan dengan Sn. Dalam hal ini S2 PHQ\DWDNDQ MXPODKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQWHUVHEXWS = 6.000 dan S4 = 10.000 PDVLQJPDVLQJPHQ\DWDNDQMXPODKVXNXSHUWDPDGDQMXPODKVXNXSHUWDPDGDUL barisan bilangan tersebut

80

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Ayo Kita Simpulkan x x

Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan disimbolkan dengan … Apakah yang dimaksud dengan deret bilangan? Jawablah dengan menggunakan kata-katamu sendiri. Kegiatan 2.9

Penjumlahan Suku-suku pada Barisan Bilangan Genap

Ayo Kita Mencoba &RED NDPX WXOLVNDQ MXPODK XDQJ \DQJ GLWDEXQJ VHUWD MXPODK WRWDO XDQJ WDEXQJDQ 1LWDVHWLDSDNKLUPLQJJXQ\DGHQJDQPHOHQJNDSLWDEHOGLEDZDKLQL 7DEHO-XPODKEHEHUDSDVXNXSHUWDPDSDGDEDULVDQELODQJDQJHQDS Suku ke-

Nilai

Jumlah Suku

1

2

2

2

4

6

4

8

5

10

…

6

…

…

7

…

…

8

…

…

9

…

…

10

…

…

MATEMATIKA

81

D %HUDSDNDKMXPODKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQJHQDSWHUVHEXW" E %HUDSDNDKMXPODKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQJHQDSWHUVHEXW" F %DJDLPDQDFDUDPXPHQHQWXNDQE GHQJDQPHOLEDWNDQD " Ayo Kita Mencoba -LNDMXPODKn suku pertama dinotasikan dengan Sn, maka S4PHQ\DWDNDQMXPODK VXNXSHUWDPDGDULVXDWXEDULVDQ6HNDUDQJFREDNDPXMXPODKNDQVXNXSHUWDPDGDUL barisan bilangan genap. S4

L

%HULNXWQ\D FRED NDPX MXPODKNDQ VXNX SHUWDPD GDUL ELODQJDQ JHQDS GL DWDV GHQJDQFDUDPHQXOLVNDQEHQWXNSHQMXPODKDQGLDWDVGDODPXUXWDQWHUEDOLN S4

LL

&RED MXPODKNDQ L GDQ LL PHODOXL ODQJNDKODQJNDK EHULNXW LQL GHQJDQ FDUD mengisi bagian yang kosong S4 S4 2S4

4 suku

2S4 = ... u S4 =

} u } 2

LLL

Ayo Kita Menalar Coba kamu perhatikan kembali langkah-langkah dalam menghitung S4 pada EDULVDQ ELODQJDQ JHQDS GL DWDV VHKLQJJD GLGDSDWNDQ KDVLOQ\D VHSHUWL SDGD LLL Perhatikan nilai yang terdapat pada bagian di dalam tanda kurung. Jawablah pertanyaan di bawah ini: a. Berapakah dari suku pertama pada barisan bilangan genap? E -LND PHQJKLWXQJ MXPODK VXNX SHUWDPD GDUL EDULVDQ ELODQJDQ JHQDS VXNX PDQDNDK\DQJPHQMDGLVXNXWHUDNKLUGDODPSHUKLWXQJDQWHUVHEXW"

82

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

F %HUDSDNDKVXNXWHUDNKLUGDODPSHQMXPODKDQVXNXSDGDEDULVDQELODQJDQJHQDS" G .DPX WHODK PHQMXPODKNDQ VXNX SHUWDPD GDUL EDULVDQ ELODQJDQ JHQDS PHQXUXWPXDQJNDSDGDEDJLDQLLL PHQXQMXNNDQLQIRUPDVLDSD" Ayo Kita Simpulkan Jumlah 4 suku pertama pada barisan bilangan genap disimbolkan dengan … %LODQJDQ « SDGD EDJLDQ LLL PHQXQMXNNDQ VXNX NH GDUL EDULVDQ ELODQJDQ JHQDSVHGDQJNDQDQJND«PHQXQMXNNDQVXNXNHGDULEDULVDQELODQJDQJHQDS 3HQMXPODKDQVXNXVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQEHODQJDQJHQDSVHODQMXWQ\DGLVHEXW dengan deret bilangan genap.

Diskusi dan Berbagi %HUDSDNDKMXPODKVXNXSHUWDPDEDULVDQELODQJDQJHQDSWHUVHEXW"7HPXNDQ FDUD WHUFHSDW WDQSD SHUOX PHQMXPODKNDQ VDWX SHUVDWX VHPXD VXNXQ\D 3HUKDWLNDQ NHPEDOLODQJNDKODQJNDK\DQJWHODKNDPXODNXNDQGDODPPHQJKLWXQJMXPODKVXNX pertama barisan bilangan genap di atas. Diskusikan dengan teman sebangkumu agar GDSDWPHQMDZDESHUWDQ\DDQWHUVHEXWGDQSDSDUNDQMDZDEDQPXGLGHSDQNHODV Informasi Utama 0LVDONDQ GDODP VXDWX EDULVDQ DULWPHWLND VXNX SHUWDPD U1 = a, dan beda pada barisan aritmetika tersebut adalah b0DNDVXNXNHNHNHNHNHGDQ ke-n dapat dituliskan dalam bentuk: U2 = ab U = ab U4 = ab U5 = ab U6 = ab ‫ڭ‬

Un = an± b 6HFDUD XPXP MXPODK n suku pertama pada barisan aritmetika dapat dituliskan sebagai berikut : Sn = aab ab an± îb an± îb L

MATEMATIKA

83

%HQWXNSHQMXPODKDQGLDWDVMLNDGLWXOLVGDODPXUXWDQWHUEDOLNGLPDQDVXNXWHUDNKLU \DQJEHUDGDSDGDSRVLVLSDOLQJGHSDQGDQVHEDOLNQ\DPDNDL DNDQPHQMDGLEHQWXN di bawah ini: Sn an± îb aQ± îb «ab ab aLL %HULNXWQ\DMXPODKNDQL GDQLL VHKLQJJDGLGDSDWNDQEHQWXNGLEDZDKLQL Sn = aab ab an± îb an± îb Sn an± îb aQ± îb «ab ab a 2Sn aan± îb aan± îb aan± îb

n suku DUn DUn DUn n suku = nîDUn Sn =

n u a U n 2 Ayo Kita Simpulkan

'DUL,QIRUPDVL8WDPDGLDWDVNHVLPSXODQDSD\DQJNDPXSHUROHK" -LND«PHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DVXNXGDULVXDWXEDULVDQDULWPHWLND«PHQXQMXNNDQ VXNX SHUWDPD « PHQXQMXNNDQ VXNX NHn dari barisan aritmetika, maka rumus MXPODKn suku pertama dari barisan aritmetika yang disimbolkan dengan … adalah …

Ayo Kita Menalar Dengan menggunakan rumus Un = a n ± b EXNWLNDQ EDKZD MXPODK n suku pertama dari deret aritmetika dapat dituliskan sebagai berikut

n a n± b 2

84

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Kegiatan 2.10

Koleksi Kelereng

Ayo Kita Amati Amin memiliki hobi mengumpulkan NHOHUHQJ7LDSDNKLUPLQJJXLDVHODOXPHPEHOL kelereng untuk dikoleksi. Pada akhir minggu SHUWDPDLDPHPEHOLVHEDQ\DNEXDKNHOHUHQJ Pada akhir minggu kedua ia membeli lagi sebanyak 6 buah kelereng, dan pada akhir minggu ketiga ia membeli sebanyak 12 buah kelereng. Begitu seterusnya, tiap akhir minggu ia selalu membeli kelereng sebanyak 2 kali lipat dari akhir minggu sebelumnya.

Sumber: http://www.bimbingan.org

Gambar 2.21 Kelereng

Ayo Kita Mencoba 3HUKDWLNDQODKMXPODKNHOHUHQJ\DQJGLEHOLROHK$PLQVHWLDSDNKLUPLQJJXQ\D&RED NDPX WXOLVNDQ MXPODK NHOHUHQJ \DQJ GLEHOL VHUWD MXPODK WRWDO WRWDO NHOHUHQJ \DQJ dimiliki oleh Amin setiap akhir minggunya dengan melengkapi tabel di bawah LQL7RWDONHOHUHQJ\DQJGLPLOLNL$PLQVHWLDSDNKLUPLQJJXQ\DVHODQMXWQ\DGLVHEXW GHQJDQMXPODKNHOHUHQJ 7DEHO-XPODKNHOHUHQJ\DQJGLEHOLVHUWDWRWDONHOHUHQJPLOLN$PLQ Minggu ke-

Kelereng yang dibeli

Jumlah Kelereng

1

2

6

12

4

24

5

48

…

6

…

…

7

…

…

8

…

…

MATEMATIKA

85

a. Berapakah banyak total kelereng yang dimiliki oleh Amin pada akhir minggu ke-6 dan akhir minggu ke-8? b. Apakah kamu dapat menebak banyak total kelereng Amin pada akhir minggu ke"%HUDSDMXPODKQ\D" c. Apakah banyaknya kelereng yang dibeli Amin antara dua minggu yang berurutan memiliki perbandingan yang tetap? Ayo Kita Mencoba -LNDMXPODKn suku pertama dinotasikan dengan Sn, maka S5PHQ\DWDNDQMXPODK VXNX SHUWDPD GDUL VXDWX EDULVDQ 6HNDUDQJ FRED NDPX MXPODKNDQ VXNX SHUWDPD GDULEDULVDQELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DNHOHUHQJ\DQJGLEHOL$PLQWLDS minggunya. S5

L

Berikutnya coba kamu kalikan masing-masing suku di dalam barisan bilangan tersebut dengan 2, sehingga didapatkan 2S5 = 2 uu«u«u«u … 2S5

LL

&RED NXUDQJNDQ LL GHQJDQ L PHODOXL ODQJNDKODQJNDK EHULNXW LQL GHQJDQ FDUD mengisi bagian yang kosong 2S5 S5 –

2S5 – S5 «±

&RED SHUKDWLNDQ WLDSWLDS DQJND SDGD UXDV NDQDQ GDUL SHQJXUDQJDQ S5 terhadap S5MLNDWHUGDSDWQLODL\DQJVDPDPDNDNDPXGDSDWPHQJXUDQJNDQVHFDUDODQJVXQJ VHKLQJJDKDVLOSHQJXUDQJDQQ\DPHQMDGL S5± «± S5± î ± …

S5± î ± …

S5 =

86

u }

Kelas IX SMP/MTs

LLL

Semester 1

Ayo Kita Menalar Coba kamu perhatikan kembali langkah-langkah dalam menghitung S5 di atas VHKLQJJDGLGDSDWNDQKDVLOQ\DVHSHUWLSDGDLLL 3HUKDWLNDQQLODLQLODLELODQJDQ\DQJ WHUGDSDWSDGDUXDVNDQDQGDULLLL -DZDEODKSHUWDQ\DDQGLEDZDKLQL D &REDNDPXSHUKDWLNDQELODQJDQSDGDLLL %HUDSDNDKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQ ELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQMXPODKNHOHUHQJ\DQJGLEHOL$PLQWLDSPLQJJXQ\D" Apa kamu dapat menarik suatu kesimpulan sederhana terkait hal ini? E &REDNDPXSHUKDWLNDQELODQJDQSDGDEDJLDQDWDVLLL 3HUKDWLNDQSXODELODQJDQ SDGD EDJLDQ EDZDK LLL %HUDSDNDK SHUEDQGLQJDQ DQWDU VXNX GDUL EDULVDQ ELODQJDQ\DQJPHQXQMXNNDQMXPODKNHOHUHQJ\DQJGLEHOL$PLQWLDSPLQJJXQ\D" Apa kamu dapat menarik suatu kesimpulan sederhana terkait hal ini? Ayo Kita Simpulkan Dari Kegiatan 2.10 di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? -XPODK VXNX SHUWDPD SDGD EDULVDQ ELODQJDQ \DQJ PHQXQMXNNDQ EDQ\DNQ\D kelereng yang dibeli oleh Amin tiap minggunya disimbolkan dengan … Bilangan « SDGD EDJLDQ LLL PHQXQMXNNDQ VXNX SHUWDPD EDULVDQ ELODQJDQ VHGDQJNDQ ELODQJDQ « PHQXQMXNNDQ SHUEDQGLQJDQ UDVLR DQWDU VXNX \DQJ EHUXUXWDQ GDUL barisan bilangan tersebut.

Informasi Utama 0LVDONDQ GDODP VXDWX EDULVDQ JHRPHWUL VXNX SHUWDPD 81 = a , dan rasio pada barisan geometri tersebut adalah r 0DND VXNX NH NH NH NH NH GDQ ke-n dapat dituliskan dalam bentuk: U2 = ar U3 = ar2 U4 = ar U5 = ar4 U6 = ar5 ‫ڭ‬

Un = arn – 1

MATEMATIKA

87

6HFDUD XPXP MXPODK n suku pertama pada barisan geometri dapat dituliskan sebagai berikut: Sn = aarar2ararn – 1

L

.HPXGLDQNDOLNDQL GHQJDQr, sehingga didapatkan hasil berikut ini. rSn = ar ar2 ararn – 1 arnLL .XUDQJNDQ LL GHQJDQ L GDQ GHQJDQ FDUD \DQJ KDPSLU VDPD GHQJDQ ODQJNDK ODQJNDKNHWLNDNDPXPHQJKLWXQJMXPODKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQ\DQJ PHQXQMXNNDQMXPODKNHOHUHQJ\DQJGLEHOL$PLQWLDSPLQJJXQ\DPDNDGLGDSDWNDQ rSn =

arar2 ararn – 1 arn

Sn = aarar2 ararn – 1 – rSn – Sn = arn – a Snr± arn± Sn =

a r n r 1

Ayo Kita Simpulkan 'DUL,QIRUPDVL8WDPDGLDWDVNHVLPSXODQDSD\DQJNDPXSHUROHK" -LND«PHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DVXNXGDULVXDWXEDULVDQJHRPHWUL«PHQXQMXNNDQ VXNX SHUWDPD « PHQXQMXNNDQ UDVLR GDUL EDULVDQ JHRPHWUL PDND UXPXV MXPODK Q VXNX SHUWDPD GDUL EDULVDQ JHRPHWUL GLVHEXW GHQJDQ GHUHW JHRPHWUL \DQJ disimbolkan dengan … adalah … Materi Esensi

Deret Bilangan

6HSHUWL\DQJWHODKGLMHODVNDQSDGDSHPEDKDVDQVHEHOXPQ\DNLWDGDSDWPHQXOLVNDQ suku-suku pada barisan bilangan sebagai U1, U2, U, …, Un. Jika suku-suku pada EDULVDQWHUVHEXWNLWDMXPODKNDQPDNDEHQWXNSHQMXPODKDQQ\DGLVHEXWGHQJDQGHUHW bilangan, dan dapat dituliskan sebagai U1U2U«Un . A. Deret Aritmetika Coba kamu perhatikan hasil yang telah kamu dapatkan pada Kegiatan 2.9. Deret bilangan genap tersebut dapat kita tuliskan dalam bentuk sebagai berikut: « 88

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

-LNDMXPODKn suku pertama dinotasikan dengan Sn , maka S4 dari deret di atas adalah S4 S4

2S4

GLWXOLVGDODPXUXWDQWHUEDOLN

4 suku 2S4

2 3HUKDWLNDQMXPODKVXNXSHUWDPDSDGDGHUHWELODQJDQJHQDS\DQJGLVLPERONDQ dengan S4. Angka 2 pada perhitungan tersebut menyatakan suku pertama dari barisan bilangan tersebut, sedangkan angka 8 merupakan suku ke-4. Deret bilangan genap termasuk ke dalam deret aritmetika. S4 =

6HFDUDXPXPMXPODKn suku pertama pada barisan aritmetika adalah:

n a U n 2 dengan n adalah banyak suku, a adalah suku pertama, dan Un adalah suku ke-n Sn =

B. Deret Geometri Coba kamu perhatikan hasil yang telah kamu dapatkan pada Kegiatan 2.10. Jumlah dari kelereng Amin pada akhir minggu ke-n dapat dituliskan dalam bentuk deret sebagai berikut: « Deret bilangan tersebut termasuk ke dalam deret geometri. Suku pertama dari GHUHWWHUVHEXWDGDODKGDQUDVLRQ\DDGDODK-LNDMXPODKQVXNXSHUWDPDGLQRWDVLNDQ dengan Sn , maka S5 dari deret di atas adalah: S5

L

%HULNXWQ\DNDOLNDQL GHQJDQSDGDPDVLQJPDVLQJUXDVVHKLQJJDNLWDSHUROHK hasil sebagai berikut: 2S5

LL

6HODQMXWQ\DNXUDQJNDQLL WHUKDGDSL VHKLQJJDGLGDSDWNDQ 2S5 S5 2S5 – S5

±

–

MATEMATIKA

89

S5± î± S5± î±

u 5 3HUKDWLNDQMXPODKVXNXSHUWDPDSDGDGHUHWELODQJDQGLDWDV\DQJGLVLPERONDQ dengan S5 $QJND GL EDJLDQ GHSDQ GDUL SHPELODQJ SDGD SHUKLWXQJDQ WHUVHEXW merupakan suku pertama deret geometri, sedangkan angka 2 pada perpangkatan di dalam tanda kurung dan pada penyebut merupakan rasio dari deret geometri tersebut. $QJNDPHQXQMXNNDQSHQMXPODKDQSDGDVXNXSHUWDPD S5 =

6HFDUDXPXPMXPODKn suku pertama pada barisan geometri adalah: Sn =

a r n a r n MLNDr > 1 dan Sn = MLNDr < 1 1 r r 1

dengan n adalah banyak suku, a adalah suku pertama, dan r adalah rasio dari deret geometri. Contoh 2.6

Produksi Mobil

Pertambahan hasil produksi mobil pada suatu pabrik tiap bulannya mengikuti barisan aritmetika. Jika produksi mobil pada bulan pertama adalah 100 unit dan pada bulan ke- 4 adalah 160 unit, berapa MXPODKPRELO\DQJGLSURGXNVLROHKSDEULN pada tahun tersebut? Alternatif Penyelesaian: Diketahui:

x SURGXNVL EXODQ SHUWDPD VXNX SHUWDPD a = 100

Sumber: http://teknologi.inilah.com

Gambar 2.22 Produksi mobil

x SURGXNVLEXODQNHHPSDWVXNXNHHPSDW U4 = 160

Ditanya:

-XPODKPRELO\DQJGLSURGXNVLSDEULNGDODPVDWXWDKXQEXODQ S12

Jawab: Langkah 1: Dari a dan U4, hitung nilai b

90

U4 = ab =160, substitusikan nilai a = 100 ke dalam U4 didapatkan b = 160 b = 60 b = 20 Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Langkah 2: Dari a dan b hitung S12

n a n b 2

Sn = S n

12 ± 2

S12 =

= 2.520

-DGLMXPODKPRELO\DQJGLSURGXNVLSDEULNSDGDWDKXQWHUVHEXWDGDODKVHEDQ\DN 2.520 unit. Ayo Kita Menalar

a. Pada Contoh 2.6 di atas, kamu dapat menghitung S12 tanpa menghitung U12. Apakah nilai U12 memang tidak dipergunakan untuk menghitung S12? Jelaskan MDZDEDQPX b. Pada Contoh 2.6 di atas, U1 dari deret telah diketahui. Apakah mungkin mencari S12 apabila U1 tidak diketahui, tetapi sebagai gantinya yang diketahui adalah U2 dan suku U4? Jelaskan alasanmu dan tuliskan secara detail bagaimana langkahODQJNDKQ\D Contoh 2.7

Potongan Kayu

Pak Seno memiliki sepotong kayu. Kemudian ia PHPRWRQJQ\D PHQMDGL EDJLDQ GHQJDQ PHQJLNXWL aturan deret geometri. Apabila potongan yang WHUSHQGHNDGDODKFPGDQSRWRQJDQ\DQJWHUSDQMDQJ DGDODK FP EHUDSDNDK SDQMDQJ ND\X 3DN 6HQR mula-mula? Alternatif Penyelesaian:

Sumber: http://liriklaguanak.com

Gambar 2.23 Potongan kayu

Diketahui: 6HSRWRQJND\XGLSRWRQJPHQMDGLEDJLDQGHQJDQ dengan x SRWRQJDQWHUSHQGHNVXNXSHUWDPD a x SRWRQJDQWHUSDQMDQJVXNXNHHQDP U6 = ar5 = 96 Ditanya: 3DQMDQJND\XPXODPXOD S6

MATEMATIKA

91

Jawab: Langkah 1: Dari a dan U6, hitung nilai r

U6 U1

ar 5 a

r5

96

dengan demikian didapatkan nilai r = 2 Langkah 2: Dari a dan r hitung S6

Sn = S6 = =

a r n r 1

6 1

= 189 cm

-DGLSDQMDQJND\X3DN6HQRPXODPXODDGDODKFP Ayo Kita Menalar

3DGD&RQWRKGLDWDVWHODKGLNHWDKXLEDKZDSDQMDQJND\X3DN6HQRPXODPXOD sebelum dipotong adalah 189 cm. Di lain pihak, Pak Badu yang merupakan tetangga 3DN6HQRMXJDPHPLOLNLVHSRWRQJND\XGHQJDQSDQMDQJDGDODKFPOHELKSDQMDQJ dari potongan kayu Pak Seno mula-mula. Apabila Pak Badu ingin memotong kayu PLOLNQ\DVHMXPODKEDJLDQGHQJDQPHQJLNXWLDWXUDQGHUHWDULWPHWLNDGDQSRWRQJDQ ND\XWHUSHQGHNQ\DDGDODKFP0HQXUXWPXOHELKSDQMDQJPDQDDQWDUDSRWRQJDQ ND\X WHUSDQMDQJ PLOLN 3DN 6HQR DWDX SRWRQJDQ ND\X WHUSDQMDQJ PLOLN 3DN %DGX" -HODVNDQMDZDEDQPX Ayo Kita Tinjau Ulang 1. Jika Un adalah suku ke-n dari barisan bilangan, dengan n adalah bilangan asli , buktikanlah bahwa: Sn – Sn – 1 = Un 2. Buatlah langkah-langkah sederhana untuk mendapatkan S20 pada suatu deret bilangan apabila diketahui U1 = a, U8 = ab dan U10 = ab, dengan a dan b adalah bilangan asli dan b menyatakan beda pada barisan bilangan tersebut. -HODVNDQDODVDQPX 92

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

Latihan 2.3

Deret Bilangan

7HQWXNDQMXPODKVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQEHULNXWLQL

D

E

F

1 2 8 4 H 9 27 I 2 +LWXQJODKQMLNDn –1 = 127 d.

-LNDGLNHWDKXLMXPODKn suku pertama bilangan asli adalah 5.050, berapakah nilai n"7HQWXNDQUXPXVXQWXNn bilangan asli pertama. -LNDMXPODKn suku pertama suatu barisan adalah 4n2n PDNDWHQWXNDQU4. 1RPRUUXPDKSDGDVDODKVDWXVLVL-DODQ0DNPXUGL3HUXPDKDQ$VULGLPXODLGDUL QRPRUGDQVHWHUXVQ\D

D 3DGDVLVLMDODQ\DQJVDPDXUXWDQNHEHUDSDNDKUXPDKQRPRU"

E 3DGDVLVLMDODQ\DQJVDPDUXPDKQRPRUEHUDSDNDK\DQJWHUOHWDNSDGDXUXWDQ ke-25?

7HQWXNDQMXPODKVHPXDELODQJDQELODQJDQEXODWGLDQWDUDGDQ\DQJKDELV GLEDJLWHWDSLWLGDNKDELVGLEDJL 7. Menjatuhkan Bola 6HEXDK EROD GLMDWXKNDQ dari ketinggian 4 meter. Bola tersebut kemudian PHPDQWXOGHQJDQNHWLQJJLDQVHEHVDUPHWHUSDGD pantulan pertama. Setelah itu bola tersebut terus memantul dengan ketinggian sebesar ¾ dari tinggi sebelumnya. Berapakah meter tinggi bola pada pantulan kedua, ketiga, keempat, dan kelima? EXODWNDQVDPSDLDQJNDGHVLPDO Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 2.24 Pantulan bola

MATEMATIKA

93

a. Lengkapi tabel di bawah ini: Pantulan ke-

1

2

4

5

Tinggi pantulan (meter)

E *DPEDUNDQKDVLO\DQJNDPXGDSDWNDQGLDWDVNHGDODPEHQWXNJUD¿N c.

Berapakah tinggi pantulan bola pada pantulan ke-6?

d.

Berapa meter total lintasan yang dilalui oleh bola tersebut apabila bola tersebut berhenti tepat saat pantulan keenam?

8. Menabung. Ibu memiliki uang sebesar 5S GDQ LQJLQ PHPEHULNDQ XDQJ tersebut kepada Andi untuk ditabung. Namun ibu tidak memberikan uang tersebut secara langsung, melainkan secara bertahap. Pada hari pertama ibu PHPEHUL$QGLXDQJVHEHVDU5SSDGDKDUL NHGXDLEXPHPEHUL5LQDXDQJVHEHVDU5S begitu seterusnya uang yang diberikan oleh ibu Sumber: http://diketiknews. EHUWDPEDK VHEHVDU 5S VHWLDS KDULQ\D blogspot.com Jika ibu ingin memberikan seluruh uang yang Gambar 2.240HQDEXQJ dipunyai kepada Andi, maka berapa hari Andi akan PHQGDSDWNDQVHOXUXKXDQJWHUVHEXW 9. Turnamen Tennis 3DGD VXDWX NHMXDUDDQ GXQLD tennis total ada 2.048 peserta mengikuti turnamen WHUVHEXWXQWXNPHPSHUHEXWNDQJHODUMXDUDSHULQJNDW GXQLD 6LVWHP \DQJ GLJXQDNDQ GDODP NHMXDUDDQ tersebut adalah sistem cup, dimana pemenang dari tiap pertandingan akan lolos ke babak berikutnya dan peserta yang kalah akan langsung tereliminasi Sumber: http://www.portalkbr. secara otomatis. com. a.

Berapakah total pertandingan yang dimainkan GDULDZDOWXUQDPHQVDPSDLSDGDEDEDN¿QDO"

Gambar 2.26 Pertandingan tennis

E -LND GLDVXPVLNDQ EDKZD SDGD WLDS SHUWDQGLQJDQ MXPODK WLNHW \DQJ WHUMXDO DGDODK EXDK EHUDSD MXPODK WLNHW \DQJ WHUMXDO VHODPD NHMXDUDDQ WHQQLV tersebut?

10. Robot Mobil. Suatu robot mobil yang digerakkan dengan tenaga baterai PHPLOLNLNHFHSDWDQDZDOFPGHWLN(QHUJL\DQJWHUVLPSDQGLGDODPEDWHUDL PRELO WHUVHEXW WHUXV EHUNXUDQJ VHSDQMDQJ ZDNWX VHKLQJJD VHWHODK EHUMDODQ VHODPDVHWHQJDKPHQLWGDULSRVLVLDZDONHFHSDWDQURERWPRELOEHUNXUDQJPHQMDGL

94

Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

FPGHWLN GDQ NHFHSDWDQQ\D EHUNXUDQJ ODJL PHQMDGL FPGHWLN VHWHODK EHUMDODQ PHQLW dari posisi awal, begitu seterusnya kecepatan URERWPRELOVHODOXEHUNXUDQJVHEHVDUFPGHWLN VHWLDSVHWHQJDKPHQLW5RERWPRELOWLGDNGDSDW EHUMDODQ NHWLND NHFHSDWDQQ\D PHQFDSDL FP detik. D 3DGDMDUDNEHUDSDPHWHUGDULSRVLVLDZDOGDQ setelah berapa menit robot mobil tersebut akan berhenti? b. Jika lintasan robot mobil berupa lingkaran dengan diameter 56 cm, apakah robot mobil Sumber: http://nibiru-world. WHUVHEXW GDSDW EHUMDODQ VHSDQMDQJ VDWX blogspot.com Gambar 2.27 5RERWPRELO SXWDUDQSHQXK"%HULNDQSHQMHODVDQPX

Proyek 2 Perhatikan barisan bilangan di bawah ini: « Bagaimana cara untuk mendapatkan suku-suku berikutnya dari barisan bilangan di atas? Dapatkan rumus matematika untuk mendapatkan suku ke-n dari barisan di atas? Barisan bilangan di atas telah secara umum dikenal oleh PDWHPDWLNDZDQ 7XJDV NDOLDQ DGDODK WXOLVNDQ VHMDUDK VLQJNDW GDUL EDULVDQ ELODQJDQ \DQJ GLPDNVXG VHUWD SHQHUDSDQQ\D GDODP NHKLGXSDQ NLWD VHKDULKDUL Carilah pada beberapa literatur, baik pada buku, internet, maupun sumber lainnya. 7XOLVNDQVHFDUDUDSLGDQFHULWDNDQNHSDGDWHPDQWHPDQPXGLGHSDQNHODV

MATEMATIKA

95

Uji Kompetensi 2

Pola, Barisan, dan Deret

7HQWXNDQVXNXVXNXGDULELODQJDQELODQJDQGLEDZDKLQL D6XNXNHGDULEDULVDQELODQJDQ b. Suku ke-8 dari barisan bilangan 6, 12, 24, 48, ... c. Suku ke-2015 dari barisan bilangan 2, 7, 12, 17, ... d. Suku ke-10 dari barisan bilangan 15, 10, 20 , 40 , ... 9 7HQWXNDQVXNXNHGDQVXNXNHnUn GDULEDULVDQELODQJDQEHULNXW a. 1, 6, 11, 16, ... b. 2, 6, 18, 54, ... c. 100, 95, 90, 85, ...

1 5 7 , 1, , , ... /HQJNDSLODKEDJLDQEDJLDQ\DQJNRVRQJGDODPSRODELODQJDQGLEDZDKLQL d.

u u u u u u u u u 4. Perhatikan pola bilangan di bawah ini:

dan seterusnya

96

7HQWXNDQ ELODQJDQ WHUDNKLU SDGD EDULV NH %DJDLPDQD FDUDPX PHQGDSDWNDQQ\D"-HODVNDQVHFDUDVLQJNDW Kelas IX SMP/MTs

Semester 1

5. Pada papan catur di bawah terdapat 64 kotak. Kotak pertama diisi 6 butir padi, kotak kedua diisi 12 butir padi, kotak ketiga diisi 18 butir padi, demikian VHWHUXVQ\D VHWLDS NDOL SHQJLVLDQ EHUVHOLVLK EXWLU +LWXQJODK MXPODK ELML EHUDV SDGDSDSDQFDWXUEHULNXW 1

2

4

5

6

7

8

9

10

11

12

14

15

16

17

18

19

20

21

22

24

25

26

27

28

29

40

41

42

44

45

46

47

48

49

50

51

52

54

55

56

57

58

59

60

61

62

64

Gambar 2.28 Papan catur yang diisi butir padi

6. Panjang Sisi Segitiga. Diketahui keliling dari segitiga sama sisi ABC di bawah ini adalah wFP7LWLNWHQJDKGDUL masing-masing sisi segitiga tersebut kemudian dibubungkan satu dengan yang lainnya sehingga membentuk suatu segitiga baru yang lebih kecil. Proses ini berlangsung secara terusmenerus seperti yang terlihat pada gambar. Apabila keliling dari segitiga ke-8 yang terbentuk adalah 1,5 cm, tentukan nilai dari w

C

A

B Sumber: Dokumen Kemdikbud

Gambar 2.29 Segitiga sama sisi

7. Kota YPHUXSDNDQNRWD\DQJWHUOHWDNGLWHSLSDQWDLQDPXQNRWDLQLMXJDGLNHOLOLQJL ROHKJXQXQJJXQXQJ7DEHOGLEDZDKLQLPHQXQMXNNDQVXKXXGDUDGLNRWDY pada tiap ketinggian wilayahnya. Ketinggian (m)

100

200

400

500

600

Suhu (oC)

28

26

24

22

Suhu di kota tersebut akan turun dengan nilai tetap dengan semakin tingginya wilayah kota yang diukur dari permukaan laut. a. Berapakah suhu di walayah kota Y yang memiliki ketinggian 1.000 m di atas permukaan laut?

MATEMATIKA

97

b. Berapakah suhu di wilayah kota Y yang berada pada wilayah pantai? NHWLQJJLDQZLOD\DKSDQWDLGLDVXPVLNDQVDPDGHQJDQNHWLQJJLDQSHUPXNDDQ DLUODXW c. Berapakah suhu terendah di kota YMLNDNHWLQJJLDQPDNVLPXPZLOD\DKNRWD