Exercice n◦1. Calculer. ∫ 1. −1 f(x) dx pour les fonctions suivantes. 1)f(x) = cos 3x
. 2)f(x) = 1. 2 + x. 3)f(x) = |x|. Calcul de primitives. Exercice n◦2 par linéarisation.
Calcul de primitives Exercice n◦ 1
1
Calculer
f (x) dx pour les fonctions suivantes −1
1)f (x) = cos 3x
2)f (x) =
1 2+x
3)f (x) = |x|
Calcul de primitives
Exercice n◦ 2 par lin´earisation √ 1) x2 (1 − 3 x)dx 4) sin 2x cos 3xdx 7) sin2 xdx 10) sh2 xdx
2) 5)
x2 +
8) 11)
1 x2
2
dx
3)
sh 2x ch 3xdx
6)
sin3 xdx
9)
ch3 xdx
x3 +
4 dx
ch 2x ch 3xdx
12)
1 x2
cos4 xdx sh4 xdx
Exercice n◦ 3 par int´egration par parties 2 1) x ln xdx 2) ln(x2 + 1)dx 4) Arctan xdx 5) x sin xdx x 7) dx 8) cos x ln(1 + cos x)dx 2 cos x 10) x2 e2x dx 11) (x3 + 5x2 − 2)e3x dx
3) 6)
e3x sin xdx ln(x + x2 − 1)dx
xe3x dx 12) ex cos2 xdx
9)
Exercice n◦ 4 par changement de variable du type t = ϕ(x) sin x 1) dx 2) sin3 x cos3 xdx 2x cos (ln x)p dx 4) x 1 + x2 dx 5) x 3x − 1 xdx √ 7) dx 8) 2 − 2x + 5 3x x+1 dx dx √ √ 10) 11) (x + 1) x x 2x − 1
tan x dx 2x cos Arcsin x √ 6) dx 1 − x2 dx 9) 2+2 3x ex dx √ 12) (3 + ex ) ex − 1 3)
Exercice n◦ 5 par changement de variable du type x = ϕ(t) o` u ϕ doit ˆetre une bijection.
1)
4 − x2 dx 2)
√ 9 − 12x − 4x2 dx
3)
4−x √ dx x
Primitives de fractions rationnelles
Exercice n◦ 6
5 x3 − 2x dx x +2 dx 2) 3) dx 2+x+1 5−x x + 1 x x dx dx dx 4) 5) 6) 3 2 2 x +1 (x + 1) (x − 1)2 (x2 + 1)
1)
Exercice n◦ 7 Cas des fonctions paires ou impaires 1) 4)
x3 dx 2) 4 x + 3x2 + 2 x2 (x2 + 1) dx 5) x2 + 4
2dx x(x2 + 1)2
3)
x7 dx (1 + x4 )2
(x2 + 1)(x2 + 2) dx (x2 + 3)(x2 + 4)
Exercice n◦ 8
dx cos x 1 − tan x 1) 2) dx 3) dx 4 + cos x cos 3x 1 + tan x sin 2x dx 4) 6) tan2 xdx dx 5) (2 + sin x)2 sin x cos3 x
Exercice n◦ 9
dx dx 1) e ch xdx 2) 3) 2 ch x th x dx dx dx 4) 5) 6) ch x − ch 2 1 + 3ex + 2e2x 5 ch x + 3 sh x + 4 x
e2x dx √ x e +1 xdx √ √ 8) x+2+ x+1 x2 dx dx √ 10) 11) (1 + x2 )3/2 x + x2 − 1 5)
´grales Calcul d’inte
Exercice n◦ 11 Calculer les int´egrales suivantes en utilisant une int´egration par parties. e 1) x ln x dx 1 π 2) Soit n un entier naturel. Int´egrer par parties In = x(π − x) cos(nx) dx. 0 3) Calculer, en int´egrant par parties, I = exp(αx) cos(βx) dx en fonction de J = exp(αx) sin(βx) dx. Calculer J en fonction de I. En d´eduire les valeurs de I et J.
Exercice n◦ 12 Calculer les int´egrales suivantes : 3 √ 1) e x+1 dx 0 1 3) e−2x cos(3x)dx 0 1 1 5) dx 2 + 1)2 (x 0 π2 7) sin2 x cos 2xdx 0π2 cos3 x 9) dx π sin4 x 6 π3 11) cos5 x sin x dx
π 3
sin x dx 1 + cos x + tan2 x 0 3 1 √ √ 4) dx x + 1( x + 1 + 1) 0 π2 sin x 6) dx 1 + sin x 0 π4 x 8) dx 2x cos 0 π4 cos x dx 10) cos x + sin x 0 2)
0
Extraits d’examens
Exercice n◦ 13 Extrait du contrˆ ole continu de novembre 1998 D´eterminer les primitives sur R de la fonction r´eelle f d´efinie, pour tout x r´eel, par f (x) = 2x(x2 + 1) exp(x2 ).
–3–
Exercice n◦ 14 Extrait de l’examen de janvier 1999 Calculer l’int´egrale suivante en utilisant le changement de variables t = 1/x.
4
I= 2
dx · x x(x − 1)
Exercice n◦ 15 Extrait de l’examen de janvier 1999 1) D´eterminer une primitive sur R de la fonction r´eelle g d´efinie pour tout x r´eel par g(x) =
x2
2x · +x+1
2) On d´efinit la fonction f sur ] − 1, 1[ par f (x) =
2x(x + 2) · (1 − x2 )(x2 + x + 1)
a) D´ecomposer la fraction rationnelle f en ´el´ements simples sur R(X). b) D´eterminer les primitives de f sur ] − 1, 1[.
