2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 • Hallar el radio.
Sol. 3 . Se un e un punto cualquiera P d e una e lip se con los focos. Demostrar que es tas re c ta s fo rman con l a n or mal a la curva en P ángul os a g udos igual es. 4.
D e m ost ra r qu e l.1 re cta Bx + Ay = AH es tangente a la elipse
úni ca ment e si se verifica que
IF,, 2 + .tP¡'2
=
A2/F.
5 . Hallar la Hitación de la tangente a la curva xmyll = u m + 1l en un punto cua lquiera. Demostrar que la parte de tangente comprendida entre los ejes queda di v idida en la ra zó n m por el p unto de contacto.
n
Sol. 6.
mYI (x -
XI)
+ nx¡ (y
-YI) =
o.
Si k es l a pendlerLe d e una tangente a la hip érbola b 2 x2 - a 2 y2 = u 2b 2.,
demostrar qu e s u ecuación es y = kx ± V a 2 k 2 - b 2 , y que el lugar geométrico de los puntos de intersección de las tangentes perpendiculares está dado por la ecuación X 2 + y2 = a 2 - b 2 .
http://carlos2524.jimdo.com/
CAPITULO V
APLICACIONES DE LA DERIVADA
42. que si
Dirección de una curva.
Se ha demostrado en el Articulo 28
y = f(x) es la ecuación de una cu rva (fig. 8), en tonces
:~ =
pendiente de la tangente a la curva en P (x, y).
y
B
x
A
F ig .8
Fig.9
La dirección de una curva en cualquier punto se define como la dirección de la tangente a la curva en este punto. Sea T = inclinación dE' la tangente. Entonces la pendiente = tg T, Y : : = tg
T
=
pendiente de la curva en cualquier punto P (x, y).
En los puntos como D, F, H, donde la dirección de la curva es paralela al eje de las x y la tangente es horizontal, se tiene dy
T
= O; lu ego dx = O.
http://carlos2524.jimdo.com/
APLICACIONES DE LA DERIVADA
53
En los puntos como A, B, G, donde la dirección de la curva es perpendicular al eje de las x y la tangente es vertical, se t.iene 7"
~~
= 90° ; luego
3 Dada la curva y = x- 3 La inclinación. cuando x = l.
EJ EM PLO 1. a)
se hace infinita. X2
+2
(fig. 9). hallar:
b)
El ángulo. cuando x = 3.
c) d)
Los puntos donde la dirección de la cur va es paralela a OX. Los puntos donde T = 45°.
e)
Los puntos donde la dirección de la curva es paralela a la recta 2:< - 3 Y = 6 (re cta AB).
Solución. a) b)
D er ivando . dy =
Cuando x = 1. Cuando x = 3.
2 x = tg "
X2 -
dx
tg' = 1 - 2 = - 1; luego" = 135° . t g T = 9 - 6 = 3; luego. = 71° 34'.
c) Cuando .=0. tg.=O: ec uac ión. obtenemos x = O Ó 2 .
luego x2 -2x=0. Resolviendo esta S ustituy endo estos valores en la ecu,lción
de la curva. hallamos y = 2 cuando x las tan gentes en d)
Cu.lnúo
e(o . T
2) y D(2 .
=
O. y =
2 3" cuando
x = 2. Por tanto .
+) son paralelas al eje OX.
= 45" . tg e = l.
lu ego
: 1, f'(x) = (+) (-) Cuando x
y
+.
2
Luego f (x) tiene un máximo cuando x = 1. Por la tabla adjunta vemos que este valor es y = f (1) = 2. Veamos ahora lo que ocurre para x = 2. Procederemos como antes, tomanclo en este caso valores de x próximos al valor crítico 2. 2
C uando x < 2, Cuando x> 2,
f' (x) f' (x)
(+)( - ) = - . (+ ) (+) = +.
Luego f(x) tiene un mínimo cuando x = 2. Según la. tabla anterior, este valor es y = f(2) = 1 . Estos resultaclos se resumen en la siguient0, regla, que sirve de guío, en las aplicaciones. 47. Primer método para calcular los máximos y mínimos de una función. Regla guía en las aplicaciones. Se halla la primera derz:vada de la función. Se iguala la primera derivada a cero, y se hallan las raíces reales de la ecuación resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable. TEHCER PASO. Se consideran los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos de la primera derivada, en primer lugar para un valor un poco menor * que el valor cTÍlico y después para un valor un poco mayor que él. Si el signo de la derivada es primeramente y después - , la función tiene un máXZ:mo para este valor crítico de la variable; en el caso contrario, tiene un mínimo. Si el signo no cambia, la función no tiene ni máximo ni mínimo para el valor crítico considerado . En el tercer paso, a menudo conviene descomponer f'(x) en factores, como se hizo en el Artículo 46. PRIMER PASO.
SECUNDO PASO.
+
EJEMPLO l. En el primer problema que se resolvió en el Artículo 44. vimos, por medio d e la gráf ic a de la función
A=xV IOO - x 2
,
* En este caso, cuando decimos' 'u n poco menor" queremos indicar cualquier va lor entre la raíz (valo r crítico) que se considera y la raíz inferior a ella más próxi m a; y " un poco mayor" significa cualquier va lor entre la raí z que se co n sidera y la próxima mayor.
http://carlos2524.jimdo.com/
67
APLICACIONES DE LA DERIVADA
que el rectángulo de área máxima inscrito en un circulo de 5 cm de radio tiene una área = 50 cm 2 . Ahora podemos obtener el mismo resultado analíticamente. aplicando la regla que acabamos de dar.
Solución.
f(x) = xV 100-x 2
Primer paso.
f' (x)
Segundo paso.
•
100 - 2 x2
VIOO-x 2 '
Resolviendo la ecuación f' (x) = O.
x
tenemos:
= 5V2 = 7.07.
que es el valor cntlco. Se toma solamente el signo positivo del radical. puesto que el signo negativo carece de sentido por la natur a le za del problema.
Tercer paso. Cuando x
>
Cuando x
< 5 V2.
5 V2. entonces 2
entonces 2
X2
>
X2
1.
f'(x)
= 5(+) (+)2 (+)
Cuando x
+.
100. y f' (x) es
5(-) (+)2 (+)
Luego. cuando x = I la función tiene un va lor mínimo
f(l) = O (= la ordenada d e C).
+.
http://carlos2524.jimdo.com/
68
CALCULO DIFERE NC IAL Examinemos aho ra el v alor crit i co x =
5
( B en la figura ) .
+.
< ;1.
{'(x) :a:: 5 (-)
(+)2 ( - ) =
C u a ndo x >~.
( '(x ) = 5 ( -)
( +)2 (+) = - .
C u a nd o x
Luego,
~
c uand o x =
+
la función
tiene un valor máximo f (
+)
=
J, J I
( = la ordenada de B).
Examinemos, por último, d valor critico x = - 1 (A en la figura). C uando x
(_) 2 (-)
=
+.
1. ('(x) = 5( -) ( + )2 ( - )
=
+ .
< - 1.
C uando x> Luego, cuando x = -1
('(x) =5 ( -)
la fu n ció n no tien e ni máximo ni mínimo.
48. Máximos o mínimos cuando f'(x) se vuelve infinita y f(X) es continua. Consideremos la gráfica de la figura 23. En B o G, f ( x)
Fi g. 23
es continua y t.iene un valor maXllllO, pero f'(x ) :;e vuelve infinita, puesto que la t.angen te en B es paralela al eje de las y. En jI,', f (x) tiene un valor mínimo y otra vez f'(x) se vuelve infinita. Por tanto, en nuestra di scusión de todos los valores máximos y mínimos posibles de f( x), debemos incluir t ambién como valores críticos los valores de x para los que f' (x) se vuelve infini ta , o lo que es lo mismo, los valores de x que satisfacen la ecuación (1)
.-
1
f '(x) = O.
Por consiguiente, el segundo paso de la regla dada en el Artículo 47 deberá modificarse teniendo en cuent.a lo que representa la ecuación (1). Los otros pasos no se alteran. En la figura 23 obsérvese que f' (x) se vuelve también infinita en A, pero la función no tiene en A ni un máximo ni un mínimo. EJEMPLO.
Determinar lo s má xi mos y mínimos de la f unción a - b (x -
c )% .
http://carlos2524.jimdo.com/
69
APLICACIONES DE LA DERIVADA {(x)
Solución.
(1
- b(x-c) ";.
p
y
2 [, 3 (x - c) Ji
( ' (x)
3(x - c)
f' (x)
J(.
2b
e
Puesto que x = e es un valor critico para el 1 Fig. 24 que - - -=0 . (yf'(x)=oo) . pero para el que f' (x) f (x) no es infinita . veamos si cuando x = e la función tiene un máximo o un mínimo . Cuando x < c. f' (x)
+.
Cuando x>c, f'(x) Luego, cuando x
e
= OM.
(fig. 24) la función tiene el valor máximo
1(r)=a=JvtP.
PROBLEMAS Ca lcul ar los máximos y mínimos de cada una de las funciones sig uien tes :
1.
Xl -
2.
10
6
+ 12
3.
2 x"
4.
xl
+9
X2
x - 3
+3
+2
X2
x.
X2 -
+ 12
X2 -
Sol.
2 x" .
x -· 4 .
Máx. = 4 para x = \. Min. =0 para x = 3. 1\·lá x . = 17 para x = \. Min. = - 10 para x
No tiene ni máximos ní minim os.
15 x - 20. Min. = O para x Máx. para x
6.
x' - 4 x .
7.
x' -
8.
3 x'-4 xl -12
9.
x5
10.
-
X2
= O. l.
3 p3ra x = \.
Mín.
+ l.
5 x'.
X2.
Min. = - 5 para x = - l. Máx. = O para x = O. Min. = - 32 para x = 2. Máx. Min .
= O para x = O. = - 256 para x = 4.
3 x 5 - 20 x". Mi n.
12.
2 x
1
3
(12
par" x =
(l.
http://carlos2524.jimdo.com/
70
CALCULO 13.
14.
15. 16. 17.
+~.
x2
Sol.
x2
ax
+a
2'
x2
Mín.
=
Mín. Máx.
= - 31 para x = = 31 para x = (/.
=
30.
a.
±
31.
a.
Z'
(2
20.
b+c(x
21.
a - b(x _.
22.
(2
+ .x )
+ x)
(l -
2
2.
x)
3.
-a)%.
y, (1 -
(a - X)3.
x(a+x)2
a) y, (x -
x+2
2
+2 x +4 +x +4
26.
x
27.
x2 x 4 x2+2 x +4
x+l
+ +
28,
(x - a)
29.
a2 x
(b - x) x~
b -+--. a-x 2
x
a)%.
=
3
+
X
-
X
-
l
+l
O para
=
\1"4 =
Máx. Mín. Máx.
= O para x = = - 2%4 a6 para = 12%29 a para
Máx. Mín.
x = 1.
1,6 para x = - l.
6
= ~
crítico tiene
a
a. x
x
= - Y2 = 7~ a.
a.
la funmáximo III
x = a,
ni
para x = x = a.
%
a.
= O para
el valor crítico x = Y2 Q, función no tiene ni máximo mínimo.
Máx. Mín.
= Y2 para x = O. = - %. para x = -
Máx. Mí n .
= = 3
5 para x = para x = l.
Máx. Mín.
= % = %
para para
Máx.
"" (b-a)2 4 ab
Mí n.
=
(a
+ b)
= (a - ~ a
la III
4. 3.
parax=~.
a+b 2
El cálculo de máximos y ; la ayuda de los siguientes pri de lo anteriormente expuesto
a) Los máximos y mini alternativamente. b ) Cuando e es una con mínimo para los valores de x para otros.
x = - 2. x = 2.
para
a x=--.
para
x
a Máx.
-
Determinar la funció Si la expresión rest condiciones del problema pro variables para que la función variable. c) A. la [uncion resultan tículo 47 para el cálculo de mi d ) En los problemas p'flá de los valores críticos dará un no siempre es necesario aplica e) Conciene construir le resultado obtenido. a) b)
ni minimo.
=
el valor ción no mínimo.
generales.
Q.
Máx.
Para
x2
b para
Mín.
Para
(2 x -
=
No tiene ni máximo x)%.
x2 x2
Instrucciones Mi n ,
c)Y,.
x)
49. Problemas sobre má; debemos primeramente halla] mática de la función cuyos v como hemos hecho en los ( Esto es a veces bastante di los casos, pero en muchos guicntes
+a x~ + 2 a2 x2 + a2 -x)
ea a-2x
x2
x2
19.
25.
x
+ a'
(2+x)2(1
24.
2 a2 para
x2
x
18.
23.
APLICACIO
DIFERENCIAL
2
Por tanto, al determina regla para ver si se trata de factores constantes.
a+b
= ~. a -
b
y
Cuando c es negativa, c f( recíprocamente.
http://carlos2524.jimdo.com/
APLICACIONES DE LA DERIVADA 30.
31.
Ca -
x) 3 a - 2 x
X2
+
X2 -
X
-
X
+
Sol.
Mín. = 2~~2
71 02
para x
=!!... 4
1 1
49. Problemas sobre máximos y mínimos. En muchos problemas debemos primeramente hallar, a partir de los datos, la expresión matemática de la función cuyos valores máximos o mínimos se desean, tal como hemos hecho en los dos ejemplos resueltos en el Artículo 44. Esto es a veces bastante difícil. Ninguna regla es aplicable en todos los casos, pero en muchos problemas podemos guiarnos por las siguientes Instrucciones generales. a) DeteTminar la fun ción cuyo máximo o mínimo se desea obtener . b) Si la expresión resultante contiene más de una variable, las condiciones del problema proporcionarán sujiáentes relaciones entTe las variables para qu e la función pueda expTesarse en términos de una sola variable. c) A. la función resultante se le aplica la regla que se dió en el Artículo 47 para el cálculo de máximos y mínimos. d) En los problemas pl'ácticos, muchas veces se ve con facilidad cuál de los valores críticos dará un máximo y cuál un mínimo; en consecuencia, no siempre es necesario aplicaT el teTcer paso. e) Conviene constTuir la gráfica de la función para comprobar el resultado obtenido.
El cálculo de máximos y mínimos puede a menudo simplificarse con la ayuda de los siguientes principios, que se deducen inmediatamente de lo anteriormente expuesto. a) Los máximos y mínimos de una función continua se presentan alternativamente. b) Cuando c es una constante positiva, c fe x) es un máximo o un mínimo para los valoTes de x que hacen a fe x) máxúna u mínima, y no para otros.
Por tanto, al determinar los valores críticos de x y al aplicar la regla para ver si se trat.a de máximos o mínimos, pueden omitirse los factores constantes. Cuando c es n egativa, cf( x) es un máximo cuando f (x) es mínima, y recíprocamente.
http://carlos2524.jimdo.com/
72
CALCULO DIFERENCIAL
c) Si c es constante, f (x) y c + f( x) tienen valores máximos y mínimos para los mismos valores de x. Por tanto, al hallar valores críticos de x y a l aplicar la regla pueden omitirse los t.érminos constantes. PROBLEMAS 1. De una pieza cuadrada de hojalata de lado a (fig . 25) . se de sea conslruir una caja. abierta por arriba . del mayor volumen posible. cortando de las esqui nas cuadrados iguales y doblando hacia arriba la hojalata para form ar las caras laterales. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados cortados' Solución.
Sea x
a-2x
lado del cuadrado peq ue ño
=
pr of undidad de la caja;
lado del cuadrado que fOfma el fondo de la caja .
v
y
=
Ca - 2
X)2X
es el volumen de la caja.
Queremos calcular el valor d e x para el cual esta función V es un máximo. Aplicando la regla CArt. 47). tendremos:
dV = (a - 2 x)
Pri mer paso.
2 .-
dx
Segundo paso.
4 x «({ - 2 x)
Resolvi en do la ecuación a 2
.. nen 1os va 1ores cntlcos x
=
Tu
-
=
8 ux
a2
-
+ 12
8 ax X2
=
+ 12
X2.
O. se obtie -
a y 6'
Se ve. por la figura 25. que x = 3... da un mínimo . puesto que en ese caso
2
toda la hojalata se quitaría y no quedaría material para constru ir l a caja. 3
d o l a reg l a. se h a 11 a que x = 6a d a e 1 vo 1um en nuxlmo .. 2a L uego l· A pican U. e l lado del cuadrado que se ha de cortar es un sexto del lado del cuadrado dado. En este problema y los siguientes . se recomienda a l estudian te el trazado de la gráfi ca.
Fig. 25
Fig. 26
2. Suponiendo que la resistencia de una viga de sección lransversal rectangular es directamente proporcional a la anchura y al cuadrado de la profundidad. ¿ cuáles son las dimensiones de la viga de mayor resistencia que puede aserrarse de un tronco redondo de diámetro d?
http://carlos2524.jimdo.com/
73
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Solución. Si x = la anchura y " = la prof undid a d . e nt o n ces la v iga tendr.l res i s t e n cia má x im .! cuando la función .::,,2 es m áx im a . De la figura 26 se lh' duce !J~ = ([2 - x~; luego deb e m os trab a jar con la función (e x )
X(J2 -
- 2
f' (x)
Pri mer paso.
X2).
+d
X2
x
Segu n do paso.
=
2 -- X2
d V3
=
d~
- 3 x2.
I = va or
' .
CriticO
que co rres -
ponde a un máximo. P o r tanto. si la v iga se corta de man e ra que prof undidad
y
=~+ del diámetr o de l tronc o.
a n chur a =
J~ d el dilimetro del
t ron co .
la viga t end"j máxima resist e ncia.
3. ¿C uál es e! ancho de! rec tá n g ulo de área máxima que puede ins c ribirse en un seg mento d a do OAA' (fi g. 27) d e un a p arábola ? SUGESTIO . Si OC = h . entonces Be = h el área d el rectá n g ul o PD D'P I es
x y PP' = 2 y: po r ta nt o.
2 ( h - x ) y. Pero P es un punto de la parábola '1 2 = 2 px ; por co n sig ui e n te. la f un ció n por estudiar es
f ex) = 2 (17 - x)
V 2 IJX .
Sol.
Ancho
% h.
B
x
o Fig.27
Fig. 28
4. Hallar la altura del cono de volumen máximo que puede inscribirse en una esfera de radio r. SUGESTION .
V o l u me n de l cono X2 =
= Ya
BC X CD
luego la función por tratar es
r ey)
T
=
1tX 2 y
(fig . 28). Pero
y (2 r -
yl (2 r -
y) ;
y ). So l.
Altura del cono
= Ya
f.
http://carlos2524.jimdo.com/
74
CALCULO DIFERENCIAL
5. Hallar la altura del cilindro de vol umen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto dado. SUGESTION. Sea AC = r y BC = h (figu8 ra 29). Volumen dc\ cilindro = Jtx 2 y. Pero de los triángulos semejantes ABe y DBG, se deduce
-------1
r:x=h:h-y, h
Por tanto , la función por estudiar es r2 f (y) = y (h h2
y)2.
Sol.
Altura = ~h.
6. S i trcs lad os de un trap ec io miden cada uno 10 cm, ¿cuánlo debe mcdir c\ cuarto lado para que el área sea má x ima ? Sol. 20 cm.
Fig . 29
7. Se desea construir un a va lla alrededor de un campo rectan g ular , y dividirlo en dos parcelas por otra valla paralela a un o de los lados . Si el á rea de! campo es dada, hallar la razón de los lados para qu e la longitud total de las vallas sea la mínima. Sol. %. 8. Una huerta rectangular ha de proyectarse alIado del solar de un vec ino , y ha de tener un área de 10 800 m etros cuadrados. Si el ve cino paga la mitad de la cerca medianera, ¿cuáles deben ser las dimen sio ne s de la huerta para que el costo de cercarla sea para el dueño de la hu erta el mínimo ? Sol. 90 m X 120 m. 9. Un fabricante de ra dios averigua que puede vender x instrumentos por semana a p pesos cada uno, siendo 5 x = 375 - 3 p . El costo de la producción es (500 + 15 x + % X2) pesos. Demostrar que se obtie n e la má x ima ganancia cuando la producción es alrededor d e 30 instrumentos por semana. 10.
Si en el problema anterior se supone que la relación entre x y p es
x
=
\00 - 20
~~,
demostrar que la producción que corresponde a una ganancia máxima es la de unos 25 instrumentos por semana. 11.
Si en el problema 9 se supone que la relación entre x y p es X2 =
2 500 - 20 p,
¿cuántos instrumentos deben producirse cada semana para obtener la máxima ganancia ? 12. El costo total de producir x artículos por semana es (ax 2 + bx pesos, y el precio (p pesos) al que cada uno puede venderse es p = i3 Demostrar que la producción total para la ganancia máxima es
x=
vi a 2 + 3 o. (13 -
b) -
+
e)
Cl.X 2 •
Q
30.
NOTA. En las aplicaciones a la Economía, los números positivos. Lo mismo ocurre en el problema 14.
Q,
b , c, o. y
13
son
http://carlos2524.jimdo.com/
75
APLICACIONFS DE LA DERIVADA
13. En el problema 9. supóngase que el gobierno imponga un impuesto de t pesos por instrumento. El fabricante agrega el impuesto a sus gastos de costo y determina la producción total y el precio en las nuevas circunstancias. a) Demostrar que el precio aumenta un poco menos que la mitad del impuesto. b) Expresar los ingresos debidos al impuesto en función de t. y determinar para qué valor del impuesto la ganancia es máxima. e) Demostrar que cuando se establece el impuesto determinado en eb). el precio se aumenta alrededor de un 33 por ciento.
14.
El costo total de producc i ón de x artículos por semana es
(ax 2
+ bx + e)
pesos.
a lo cual se agrega un impu esto de { pesos por artículo. decretad o por el gobierno. y rl precio (p pesos) a que cada artículo puede venderse es {3 - a x . Demostrar que el máximo retorno del impuesto se consigue cuando t Y, ({3 - b) Y que el aumento del precio de venta sobre el costo es siempre menor que el impuesto. Nota: En aplicaciones a economía, a, b, e, a, {1 son números positivos.
=
15. Una planta productora de acero puede producir por día x Tm de acero de segunda cl ase . y y Tm, por día, de acero de primera clase. siendo y
=
4~0 -=..5
x
x. Si el precio corriente del acero de segunda clase es la mitad del
de primera , demostrar que el máximo beneficio se obtiene produciend o alrededor de 5. 5 toneladas diarias de acero de segunda clase . 16. Una compañia de teléfonos halla que obtiene una ganancia líquida de 15 pesos por aparato si la central tiene 1000 abonados o menos. Si hay más de 1 000 abonados. dicha ganancia por aparato imta1ado disminuye un centavo por cada abonado que sobrepasa ese número. ¿ Cuántos abonados darian la máxima ganancia líquida?
l250.
Sol.
17. El costo de fabricar ci e rto artículo es p pesos. yel número que pueden venderse varía in v ersamente con la potencia en ésima del precio de venta. Calcular el precio de venta que dará la mayor ganan cia líquida.
Sol.
np
-;;--=1 .
18. I-iai íar el diámetro de un bote cilíndrico de hojalata de un litro de capacid ad. para que en su construcción entre la menor cantidad de hoja lata. a) si el bote es abierto por arriba; b) si el bote está tapado. .
Sol.
a)
~
-
8 It
.
dm.
b)
3/-
'\j~
dm.
19. El área lateral de un cilindro circular recto es 411: metros cuadrados. Del cilindro se corta un hemisferio cuyo diámetro es igual al diámetro del cilindro. Calcular las d i mensiones del cilindro para que el volumen que queda sea un máximo o un mínimo. Determinar si es máximo o mínimo. Sol. Radio = 1 m. altura = 2 m; máximo. 20. Hallar el área del mayor rectángulo, con lados paralelos a los ejes coordenades. que puede incribirse en la figura limitada por las dos parábolas 3 y = 12 - X2 y 6 y = X2 - 12. Sol. 16.
http://carlos2524.jimdo.com/
76
CALCULO DIFERENCIAL
21. Dos vértices de un rectángulo están sobre el eje de las x. Los 01 ros dos ', énices eS l án sobre las rectas cuyas ecuaciones son y = 2 x y 3 x y = 30. ¿ P.uJ qué valor de y será máxima el área del rectángulo? Sol. y=b.
+
22. Una base de un trapecio isóscele s es un diámetro d e un circulo de r,ldio u. y los extremos de la otra base están sobre la cir c unfHen cia . Hallar la longitud de la otra base para que el área sea máxima. Sol. u. 23. Un rectángulo está inscrito en un se g mento de parábola y un lado del rectán g ulo es tá en la base del segmento. Demostrar que la ra z ón del area del rectángulo máximo al área del segmento es
v1T
24 . La re s istencia de una vig a rectangular es proporcional ai produclo del ancho por el cuadrado de su espesor. Calcular las dimensiones de la v iga má s resistente que puede cortarse de un lronco cu y.¡ sección tr .llIs vers.¡1 es una elipse de sl'micjcs el ( m.¡yol') y b (menor ).
Sol.
Anchura
=
2 1>
~+;
espe so r
=
2u
~.
25. La rigidez de una viga rectangular es proporcional a l producto de la anchura por el cubo del espesor. Calcular las dimensiones de la viga más rigida que pueda cortarse de una troza cilindrica de radio a. Sol. a X a\/1. 26.
La ecuación d e l a tray ec toria de una pelota es y = m x _
2
(m +l )x
2
200
tomándose el origen en el punto desde e l cual se lan z a la pelota . y siendo m la pendiente de la curva en el origen; a) ¡ Para qué valor de m caerá la pelota . en el mismo nivel horizontal. a la mayor distancia? b) ¡Para qu é valor de m dará a la mayor alt ur a en una pared vertical a la distancia de 75 metros! Sol. u ) 1; b) %. 27. Una ve ntana tiene la forma de un rectán g ulo coronado d e un trián g ulo rec t á ngulo isósceles . Demostrar que si el perím e tro es p metros . la mayor cantidad de luz entrará cuando los lados del rect á n g ulo sean i g uales a los catetos del triángulo . 28. Dada la suma de las áreas de una esfera y un cubo. demostrar que 1.1 suma de sus volúmenes será mínima cuando el diámetro de la esfera es igual a la arista del cubo. ¡ Cuándo será máxima la suma de los v olúmenes? Hallar las aimensiones del mayor rectángulo que pueda inscribirse en la
29 . .
X2
elIpse -
a2
+ -b
y2
2
=
l.
Sol.
a../2
X
b../2 .
30. Hallar el área del mayor rectángulo que pueda construirse con su base en el eje de l as x y con dos vértices en la cur va llamada bruja de Agnesi cuya ecua.. 8 a3 ClOn es y = X2 4 a 2 (véase la gráfica de la curva en el Capítulo XXVI) .
+
Sul.
4
rl
2
•
31. Hal l M la ra z ón del áre.n.
http://carlos2524.jimdo.com/
77
APLICACIONES DE LA DER IV AD f\
32. Los dos vé rtices inferi.o r es de un trapecio isósceles son los puntos cuyas coordenadas son (-o. O) y (6, O). Los dos vé rtices superiores están e n la curva X2 4 Y = 36. Hallar el área del mayor trapecio que puede tra za rse de Sol. 64. esta manera.
+
33. Los radios de dos esferas son a y b y la distancia entre los centros es c. i Desde qu~ punto P en la recta de los centros AB es visiJle la mayor .lrea de superficie esférica? (El área de una zona esférica o casquete esfér i co de a l tura h es 2 rrrh, s iendo r el radio de la esfera.) unidad es de superficie.
So/ .
34. Hallar las dimensiones del mayor paralelepipedo rectang ular con base cuadrada que puede cortarse de una esfera sólida de radio f. Sol.
h
2 = 3"
f
y -3.
35. Dada un a es fera de (¡ cm de radio , calcular l a altura d e cada uno de los sól idos siguientes: a)
ci lindro circular recto inscrito de volumen máximo;
b)
cilindro circular recto inscrito d e superficie total máxima;
e)
cono re cto circunscrito de "olumen m ín imo. Sol .
36.
4y3 cm;
a}
b)
6,31 cm;
e)
2~
C I11.
Del110strar que una tienda de campaña de forma cónica de capacidad dada.
eXlglra la menOr ca ntidad de Ion,) cuando la altura es V2 ve ce s e l radio de la base. Demostrar también que s i se extiende la lona en un plano, se obtiene un sector circular de 207 0 51'- ,e u .i nta lona se n eces itaría para una tienda de 3 111 dealto' Sol. 24,5m 2 .
37. Dado un punto d el eje de la parábola y2 = 2 px a una distancia a del vért ice, calcular la abscisa del punto de la curVa más cercano al punto dad o . Sol.
38.
Hallar e l punto de la curva 2 y
X2
x=a-p .
más cercano al punto
Sol.
(4,
1).
(2, 2).
39. SI PQ es el segmento de recta má s lar go que se puede trazar de P(a, b) la curva y = F (x), o e l más CO rl O, demostrar que PQ es perpendicular a la tangente a la c urva en Q.
40.
Una fórmula para e! re ndimiento de un torni l lo es
R
h (1 h
h tg
+ tg
~)
~
s iendo O e l ángulo de rozamiento y h el paso del tornillo. Hallar h para rendimiento máximo. So/ h = sec O - tg O
http://carlos2524.jimdo.com/
78
CALCULO C'IFERENCIAL
41. La distancia entre dos focos caloríficos A y B (fig. 30) cuyas intensida des respecti vas son a y b, es 1. La intensidad total de calor en un punto P, entre A y B, se da por la fórmula A
B
P
1 = ~_+ b X2 (l-x)2'
------J
Fig. 30 siendo x la distancia entre P y A. posición tendrá P la tempera tura más baja? x
Sol.
¿ Para qué
= .....-:
a Y:;
a Y:;
1
+ bY¡
•
42. La base inferior de un trapecio ísósceles es el eje mayor de una elipse; los extremos de la base s upe rior so n puntos de la el ipse. Demostrar que en el trapecio de este tipo de ár¿a máxima la longitud de la base superior es la mitad de la inferior.
+
43. En la elipse b 2x2 a 2y2 = a 2b 2 se ha de inscribir un triángulo isósceles cuyo vértice sea el punto (O, b). Hallar la ecuación de la base correspond ient e al triángulo de área máxima. Sol. 2 y + b = O. 44. Hallar la base y la a ltur a del triángulo isósceles de área mínima circunscr it o a b elipse b 2 x2 a 2 y2 = a 2 b 2 , y cuya base es paralela al eje de las x.
+
Sol.
Altura=3b,
base=2aV1.
45. Sea P (a, b) un punto en el primer cuadrante de un sistema de ejes rec tangulares. Trácese por P una recta que corte las partes positivas de los ejes en A y B. Calcu lar la longitud de OA y de OB en cada un o de los siguientes C.1S0S:
a) b) e) d)
cuando cuando cuando cuando Sol.
el á rea OAB es mínima; la longitud AB es mínima; la suma de OA y OB es mínima; la di stanc ia (perpendicular) de O a AB es maxlma. ,,) 2a,2b; b) a+ a)"o b %,b+a%b Y. ; d)
c)
50. La derivada como rapidez de variación. la relación funcional (1 )
*
a
En el Artículo 23
dió como razón de los incrementos correspondientes ( 2) Cuando x (3)
!1y !1x
=
2x
+ !1x.
4 Y i1x = O ,5, la ecuación (2) se convierte en
!1y !1x
8,5.
Llamada también razón de ca mbio o rapidez de cambio.
http://carlos2524.jimdo.com/
APLICACIONES DE LA DERIVADA
79
Luego decimos que la rapidez media de variación de y con respecto a x es igual a 8,5 cuando x aumenta desde x = 4 hasta x = 4 ,5. En general, la razón (A)
~y =
ox
rapidez media de variación de y con respecto a x cuando x varía desde x hasta x
+ /).x.
Caso de rapidez constante de variación.
y = ax
(4)
/).y /).X
tenemos,
En el caso
+ b,
= a.
Es decir, la rapidez media de variación de y con respecto a x es igual a a, la pendiente de la rect.a (4), Y es cons·t ante . En este caso, y solamente en este caso, el cambio en y (/).y), cuando x aumenta descie un valor cualquiera x hasta x + /).x , es igual a /).X multiplicado por la rapidez de variación a. Rapidez instantánea de variación. Si el intervalo de x a x + /).X disminuye, es decir, si /).X ---7 0 , entonces la rapidez media de la variacjcJn de y con respecto a x se convierte, en el límite, en la rapidez instantán ea de variación de y con res pecto a x . Por consiguiente, según el Artículo 24, (B)
~: = rapidez instantánea
de la van·ación de y con respecto a x
para un valor definido de x.
Por ejemplo, de (1 ) se deduce, dy
(5 )
dx = 2 x.
Cuando x = 4, la rapidez inst.antánea de variación de y es 8 unidades por unidad de vari ación de x. Es frecuente que en la igua ldad tB) se prescinda de la palabra "inst.antánea". Interpretación geométrica. Tracemos la gráfica (fig. 31) de la función (6)
y = j(x) .
Cuando x aumenta de OM a ON, entonces y aumenta de MP a N Q. La rapidez media de la variación de y con respecto a x es igual a la pendiente de la recta secante PQ. La rapidez
8
y
S
A
x
o Fig. 31
http://carlos2524.jimdo.com/
80
CALCULO DIFERENCIAL
instantánea cuando x gente PT.
= OM
es igual a la pendiente de la tan-
Luego la mpidez instantánea de variación de y en P (x, y) es igual a la mpidez constante de variación de y a lo largo de la tangente en P. Cuando x = Xo, la rapidez instan tánea de variación de y, o sea de f(x), en (6), es f '(XO). Si x aumenta ahora de Xo a Xo + L'\x , el cambio exacto en y no es igual a f' ( Xo )L'\x , a no ser f' (x) constante, como en (4) . Sin embargo, veremos más tarde que este producto es, aproximadamente, igual a L'\ y cuando L'\x es suficien temente pequeño 51. Velocidad en un movimiento rectilíneo. Cuando la variable independiente es el tiempo, se presentan aplicaciones importantes . Entonces la rapidez de v~riación con respecto al tiempo se llama simplemente velocidad. La velocidad en un movimiento rectilíneo sumini stra un ejemplo sencillo. Consideremos el movimiento de un punto P (fig. 32) sobre la recta AB. Sea s la distancia medicta de
---+ 1
2 x+ l
+ y2
a2
du 2 = ( a 2
X2
V2 t 7.
d 2u
+ u2.
91
d2 y _ h2 d~2 - (hx
= 1.
-
ab
+ b U)3
d2y _ _ 2 x dx i ys'
= 1.
d 2y _ 2 y4 - x2y2 - x ·1 X 2 3 -- - ' y
= a4.
dx2 -
E n los problemas 15 a 25, ()btener los valor es d e y' y y" para lo s valore dados d e las va ri a bles.
15.
_ y = vax+
a2
-=:
x
=
x =
3,
a.
So l .
y' = 0,
1 2 a
y" = - .
Vax
V25 - 3
16.
y =
17.
y
18.
x2 - 4y2=9:
19.
x 2+4 xy+y2 +3
= x
V
X2
x:
+ 9:
x = 4. x=5 ,
= O;
x
y=2.
= 2,
y
4;
= -1.
20.
y= (3 - X2)
21.
y =V 1
22.
Y =
23.
Y = xV 3 x - 2;
24.
y2
25.
X3_ xy 2+y3 = 8:
y'
= ' }Is,
y'
= %'
y' = 0,
x= 1.
+ 2 x: x = 4. ~ x2 + 4: x = 2.
+ 2 xy
= 16:
x = 2. x= 3,
y
x=2,
= 2. y=2 .
y" y" y"
=
23r;25 .
= - Yt 28 . = - Ys.
http://carlos2524.jimdo.com/
92
CALCULO DIFERENCIAL 2
Hallar d y en cada un e de los ejercicios siguientes: dX2
26.
y=X3_~ x
X2
29.
y=xVa 2 - x 2 y 2 _ 4 xy
27.
y=~.
30.
28.
y=":;2-3x.
31.
.
= 16.
55. Sentido de la concavidad de una curva. Si el punto p(x, y) describe una curva, la pendiente de la tangente en P varía. Cuando la tangente queda debajo de la curva (fig. 37), el arco es cóncavo hacia arriba; si la tangen te queda arriba de la curva (fig. 38) , el arco es cóncavo hacia abajo . En la figura 37 la pendiente de la tangente aumenta cuando P describe el arco AP'. Luego j'(x) es una función creciente de x. Por otra parte, en la figura 38, cuando P describe el y
x Fig . 37
x Fig. 38
arco QB la pendiente disminuye, y j' (x) es una función dec reciente. Por tanto, en el primer caso jl/(x) es positiva y en el ::;egundo caso es negativa . De aquí el siguiente criterio para determinar el sentido de la concavidad de una curva en un punto: La gráfica de y = f (x) es cóncava hacia arriba si la segunda derivada de y con respecto a x es posit~'va; es cóncava hacia abajo si esta dcrivada es negativa . 56. Segundo método para determinar maxlmos y mllllmos. En el punto A, de la figura 37, el arco es cóncavo hacia arriba y la orde·nada tiene un valor mínimo. En este caso, 1'( x) = O Y j" (x) es positiva . En el punto B de la figura 38, se tiene j' (x) = O Y j" (x negativa. Las condiciones suficientes para máximos y mínimos de j (x) correspondientes a valores críticos de la variable son, pues, las siguient-es:
r
¡(x) es un máximo si f'(x) = O Y ¡"(x) es negativa. ¡(x) es un mínimo si ¡,(x) = O Y ¡"(x) es positiva.
http://carlos2524.jimdo.com/
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCION
93
La regla guía para aplicar este criterio es la siguiente: Hallar la primera derivada de la función . Igualar a cero ta primera derivada y reso!/1('}' la ecuación; las raíces reales son los valores críticos de la variable. TERCER PASO . Hallar la segunda derivada . CUARTO PASO. Sustituir en la segunda derivada, en lugar de la variable, cada uno de los valores críticos obtenidos. Si el resultado e.' negativo, la fun ción tiene un máximo para este valor crítico; S1' el res ultado es positivo, la función tiene un mínimo. PRIMER PASO.
SEGUNDO PASO .
Cuando f" (x ) = O, o bien no existe, dicho procedimiento no es aplicable, aunque todavía puede existir un máximo o un mínimo ; en este caso se aplica el primer método, dado en el Artículo 47 , que es el fundamental. Ordinariamente el segundo método es aplicable; y cuando la obtención de la segunda derivada no es demasiado largo, este método es , por lo general, el más conveniente . Ap l iquemos esta regla para obtener los máximos y mínimo s d e
EJEMPLO l .
la función
M
=
X2
+ 432 x
qu e estudiamos e n el Artículo 44.
Solución .
f(x) = x 2 +
Primer paso.
f ' (x)
=
2 x _ 432 . X2
2 x - ~~~ = 0,
Segundo paso.
X2
X
=
6,
valor cr i tico,
+ +.
Te rcer pas o .
f " ( x) = 2
Cuarto paso .
( " (6) =
86:. x
f (6) = 108, va lor mínimo.
Luego
función mé todo.
x3
-
+
x
f (x) =x 3 -3 x2-9 x +5.
Solución.
f '(x) = 3
Primer paso. Seg u ndo paso.
3
X2 -
6 x -
los va lores cr í Ticos son
Tercer pa so . Cuar l o paso .
=
O) tienen F ig. 46 las mismas propiedades que eX y In x , y sus gráficas son semejantes a las curvas representadas en las figuras 45 y 46. 63.
Derivación de la función logarítmica.
Sea
y
= In v.
(v> O)
Derivando según la regla general (Art. 27), considerando v la variable independiente tenemos
COIllO
t
PRIMER
PASO.
SEGUNDO PASO.
+ !!.y
Y
!!.y = In (v
= TERCEH
PASO.
=
In (v
+ !!.v) .
+ !!.v) -In v
ln(V~!!.V)
!!.y = l l n !!.v!!'v
= In
(l+~V). Según (2), Art. 1
(1 + !!.v) . v
Según vimos en el Artículo 16, no podemos hallar el límite del segundo miembro tal como está, puesto que el denominador!!.v tiende a eero. Pero podemos transformar la expresión como sigue :
!!.Y !!'V
=
l. ~
v!!'v
In
[MUltiPlicando
(1 + !!.v) v pC)r _ ~
] v
=
1
-In v
(
/1 v ) 1 +v
-
Do .¡
Según (2), Art. 1
http://carlos2524.jimdo.com/
110
CALCULO DIFERENCIAL
La expreflión qUf' fligue a In tiene la forma del segundo miembro de I1v la igualdad (2) del Artículo 61, con x = v dy 1 1 CUAlt'l'O PASO. - =-ln e = dv v 11
'l
,;
+
Cuando !'lu -7 O. Au -7 O, Luego lím (1 !'lu)l', U = r. según (1)] u "0-70 u del Art. 61, Empleando (4) del Art. 62. tenemos el resultado,
Puesto que v es una función de x y se desea la derivada de In v con respecto a x, debemos emplear la fórmula (A) riel Articulo 38 pn.ra derivar una función de función; a saber,
dy dy dv dx = dv . dx' Sustituyendo el valor de obtenemos
~~
según el resultado del cuarto paso,
dv d dx - (In v) = dx v
x
= -
1 dv -
vdx
.
La derivada del logaritmo natural de una función es 1'gual a la deri-lIada de la función dú,idida por la función ( o a la derivada de la función multiplicada por su recíproca ) , Puesto que log IV del Articulo 29 .
11
= log e In d dx
-(log v)
Xa
64.
tenemos inmerliA.tamf'llte
1) I
=
I
según
log e dv ---o v dx
Derivación de la función exponencial.
Sea
y
= a" _
Ca>
Tomando logaritmos de ba.se e en ambos miembros , obten emos In y
o Bea,
=
1)
In a,
v = In y = _1_ , In !JIn a In a
Derivando con respecto a y fiegú n la. fórmula X, resulta:
O)
http://carlos2524.jimdo.com/
FUNCIONES TRASCENDENTES
111
De (e), del Artícu lo ~9, que t.rat.a de laR funcion es Úl1'CrSflS, obtp.nemos dy - = In n.o y dlJ ' o SP'[l , dy -- = In a aY (1 ) dv o
Puesto que v es una funci
cos x.
sen x Ah ora bien: cuando x es pequeno, el valor de - - queda comx prendido entre 1 y cos x. Y como cuando x --7 O, el límite de cos x es igual a cos O = 1, puesto que cos x es continua para x = O (véase el Art. 17), resulta demostrada la igualdad (B). Es interesante observar el comportamiAnto de esa función por su gráfica, el lugar geométrico de la ecuación sen x
y=--.
x
Fig. 49
La función no está definida para x = O. Sin embargo, si le asignamos el valor 1 para x = O, entonces la función está definida y es continua para todos los valores de x (véase el Art. 17). 69.
Derivada de sen v.
Sea y
=
sen v .
Según la regla general (Art. 27), considerando v como la variable independiente, tenemos PRIMER PASO. SEGUNDO PASO.
Y
+ Ó-y = Ó-y
sen (v
= sen
(v
+ Ó-v) . + Ó-v) -
sen v .
Para poder calcular el límite en el cuarto paso debemos transformar el segundo miembro . Con este fin empleamos la fórmu la de (6) del Artículo 2, sen A - sen B = 2 cos Y2 (A B) sen Y2 (A - B) , haciendo A = V + Ó-v, B = v.
+
http://carlos2524.jimdo.com/
C ALCUL O DIF ERE NC IAL
120
Entonces
Yz (A + B)
= v + Yz ó'v ,
Yz (A
- B)
=
Yz ó,v.
Sust.ituyendo, seu (v + ó,v ) - sen v = 2 cos (v Luego
ó, y = 2 cos
TBRCEU PASO.
~~
+ Yz
ó,v) sen
Yz
ó,v.
Ó,V) sen ~M . ( v + "2 ó'v
= cos (
v+ ~v) ser~v2 . 2
CUARTO PASO .
Pue sto [
rl1J
-"- = cos v. dv
~~: : (scn~u)= 1, segun el A rt. 6S, I\u
,::; ,'-;'0
y lim
cos(u+~U)=cosu.] 2
6 ,.-;'0
T
Sust ituyen do en (A) del Artículo 38 este valor de
~~,
obtenemos
dy dv dx = cos v dx' XIII
d dv - (sen v) = cos v - . dx dx
Se deja ahora al estud iante el enunciado de las reglas correspondielJ tes . 70. Otras funciones trigonométricas. La función cos x está definida y es con tinua para cualquier valor de x. Es periódica, y su período es 2 1t. La gráfica de y = cos x
se obtienc de la figura 47 , correspondiente a sen x, tornando corno eje ele las y la recta x = Yz 1t . Por la gráfica elc y = tg x, represen tada en la figura 50, se ve que la función tg x es discontinua para un núm ero infinit·o Ofl valores de la variable independiente x;
http://carlos2524.jimdo.com/
FUNCIONES TRASCENDENTES
121
+
a saber, cuando x = (n Yz) ;¡;) siendo n un número entero cua lquiera positivo o negativo. En realidad, cuando x ---7 Yz re, tg x se vuelve infini ta. Pero de la relación tg (re x) = tg x vemos que la función tiene el período re, y los valores x = (n + Yz) re difieren de Yz re en un múltiplo de periodo. La función ctg x tiene el período re. Está definida y es continua para todos los valores de x con excepción de x = n re , siendo n cualquier número entlC'ro como antes. Para estos valores ctg x se Fig. 50 vuelve infini ta . P or último, ,.;ec x y csc x son periódicas, cada una con el período 2 re. La primera es discontinua so l:.1lnente cuando x = (n Yz ) re , y ]u segunda solamente cuando .l: = nn:. Los valores de x para lo s que estas funciones se vuelven infini tas cl eterminan en lmi g l'áficas asÍntotas verticales .
+
+
71.
Derivada de cos v.
Sea y
= cos
v.
Según (3) del Artíeulo 2, podemos escribir y
= sen
(~
- v) .
Df'rivando según la fórmula XIII, dy
dx
dv - sen v-o
dx
[puesto que cos
XIV
(T - (J)
d dx (COS
V)
= -
=
sen
sen
(J.
según (3). Art. 2.]
dv
V dx
.
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO
122
FUNCIONE
DIFERENCIAL
72. Demostración de las fórmulas XV a XIX. Estas fórmulas se establecen fácilmente si expresamos la función de que se trata en términos de otras funciones cuyas derivadas se han hallado. Demostración
de XV.
Sea y
Según (2),
VII
= tg
:x(~)=
VIII
dy _ dx -
IX
dy _ dx -
v.
Artículo 2, podemos escribir sen v y
Derivando
= cos u
según la fórmula
dy _ cos v
d a;; (sen
d dx [tg v)
dv dx
=
dv dx
=
(sin v) =
dx
No sólo dependen de és deducido, sino que todas las de ellas. Por esto vemos qu: mentales de derivación envur alguna dificultad, a saber,
v-
= sec" v-o
.!L
XIII
V
dv dx
+ sen"
v-
dv dx -cos" v
= XV
d
v) - sen va;; (cos v)
cos"
dx cos"
d - (In v) dx
X
VII,
Según (2),
Art.
2
dv
lím
y
sec? v dx .
V---7
A fin de demostrar las fórmulas XVI a XIX, derivese la forma que se da a continuación para cada una de las funciones que siguen. ctg v
XVI.
1 = --o
XVII.
tg v
XIX. Los desarrollos
sec v
1 = --. cos v
1
XVIII.
cscv = --o sen v
V
d dx (u
1.
las siguientes
y = se n
Solución.
seno verso v = vers v = 1 - cos v .
funci
ax2•
dy = e
dx
se dejan como ejercicios.
=2
73. Observaciones. Para establecer las fórmulas 1 a XIX hemos tenido que aplicar la regla general (Art. 27), solamente para las siguientes funciones:
III
Derivar
+v-
d dx (uv)
du w) = dx
=
d» u dx
dv
+ dx du
+ v d»'
-
dw dx '
Suma algebraica. Producto
.
2.
y=tgV~.
Solución.
dlj
=:
dx
=.
http://carlos2524.jimdo.com/
FUNCIONES TRASCENDENTES
du dv v--u~(~) = dx 2 dx dx V V
VII
Cociente.
dy dy dv dx = dv . d-;'
VIII
Función de función.
dy 1 dx=dx' dy
IX
123
Funciones inversas.
dv d
x
dx -d
XIII
dx
(In v) ( ') SIn V
dx
= -.
Logaritmo.
v
=
cos v -dv . dx
Seno.
N o sólo dependen de éstas todas las otras fórmulas que se han deducido, sino que todas las que vamos a deducir dependen también de ellas. Por esto vemos que el establecimiento de las fórmulas fundamentales de derivación envuelve solamente el cálculo de dos límites de alguna dificultad, a saber, lím sen v = 1 según el Art. 68 V-70 v 1
y
lím (1 V-70
+ v) v
= e.
Según el Art. 61
PROBLEMAS Derivar las siguientes funciones: 1.
y
= se n
Solución.
ax 2.
d Y = cos ax 2 !!.- (ax2) dx dx [t) = ax 2 . ] = 2 ax
2.
según XIII
cos ax 2 •
y=tgV¡-=-;.
Solución.
dy = sec2
dx
vI~!!.- (1 - x) Ji dx
vi
1-
x.]
= sec 2 vi 1 -
x .
Y2
[u
=
sec 2
V--¡-=-;
2v l - x
(1 - x) - Ji (- 1)
según XV
http://carlos2524.jimdo.com/
124
CALCULO DIFERENCIAL 3.
Y = eos 3 x.
Solución.
Esta función puede esc ribirse en la forma y = (cos x)
3.
dy = 3(eos x)2!!"" (eos x) dx dx [u = cos x
4.
y n = 3.
según VI
1
=
3 eos 2 x ( - sen x)
=
-
según XIV
3 sen x eos 2 x.
Y = sen nx sen " x.
c!J!. =
Solución.
dx
sen nx!!.... (se n x)" dx
[u
=
sen nx y
U =
+ sen"
según V
x!!.... (se n nx) dx
senil x.]
sen nx . n (sen x) 1(-1!!.... (sen x) dx
+ sen"
según VI Y XIII
x co s nx!!.... (nx) dx
sen n x . se n ,,-1 x eos x
=
/J
=
11 se n"- 1
=
n sen"-l x sen (n
x (sen nx eos x
+ 1)
+ n senil x eos nx + eos nx se n x) x.
5.
y
=
sen ax.
6.
y
=
3 eos 2 x.
y'
7.
s
=
tg 3 t.
s' = 3 see 2 3 t.
8.
u
=
2 etg
9.
y = see 4 x.
=
v y'
10.
Q
11.
y= Yz sen 2 x.
12.
s =
13.
Q =
a ese bIJ .
V
cos 2 t.
y' = a eos ax. =
4
y' = 4 see 4 x tg 4 x. Q' =
y'
=
ti!.
=
dy
= x
y
16.
f (O) = tg () - IJ.
eos x.
ab ese b{j et g bIJ
-
se n x eos x. -
sen 2 t
V
eos 2 t
see 2 3
d C!
dO=
2/'
2 tg x
~
y' = eos x -
f' (e)
e
'
(tg3IJ) /3
= -
dx
15.
6 sen 2 x.
-
du = _ ese 2 .!:!... du 2
dt
..y tg 3 e.
14.
Sol .
=
tg 2
(J.
x sen x.
http://carlos2524.jimdo.com/
FUNCIONES
según
según
según VI y XIII n" x cos nx
dO = IJ cos IJ - sen () d () IJ2
O = sen
18.
Y = se n 2 x cos x .
y' = 2 cos 2 x
19.
Y = In sen ax.
y' = a ctg ax.
20.
y = In
2I.
Y
22.
s = e-1 cos 2 t.
23.
y = In tg
24.
Y = In
25.
feO)
26.
f(x)
27.
Q =
28.
y
29.
Y = (cos x ) x.
VI
V
IJ.
IJ
V
eax
cos 2 x.
y'
x
Y,
=
= senz
7:í
tg3
xscn
sen x. sen x
(()+a)
=sen
Hallar
tg ()
- 6 sen 2 x.
=
30.
Y
3I.
Q
32.
u
33.
y =x
34.
y
35.
s _. el. cos t.
36.
s = e-1 se n 2 t.
37.
Y
se n h x ,
3 scc 2 3 t. -
CSC2~.
V4
= 1'1 ctg ~ r: 2
sec2 x
2'
= cos2IJ.
x).
f'(x)
= -2sen(n-x)
+ IJ.
O'
= tg4 IJ.
du --E.
=
dx
derivada
e=! (2
f'(e)
%.
la segunda
+ b cos bx) . se n 2 t + cos 2 r ) .
y' = sec x ,
cos(lI-a).
(n -
() -
sen 2 x se n x .
tg2x.
s' = -
2·
II+ \J I -
= -
x -
(OS
y' = rO" (a sen bx
se n b x .
x sen x )
a cos ax.
125
17.
según XIV
(se n nx)
TRASCENDENTES
(OS
de cada una de las siguientes
Sol.
dZy dxz
__
+ cos
xsen x (senx __ x
y' = y (In
cos(JT.-x).
x -
x In
x)'
x tg x).
funciones:
k2 sen h x .
-
cos 2 ()
2 4 sec 4 x tg 4 x . -
=
tg v.
ab ese bO ctg bIJ
sen x cos x.
2
d U = 2 sec? v tg dv2 2
cos x .
d y
= _
V.
2 se n x - x cos
X.
dx2
- sen 2 t cos 2 t
sen x ---o x
d2y _ dx2 -
2 sen x ~ 2 x cos x x3
x2 sen x
sec2 3 IJ .
2/ .
(tg30)/3
dZs dt2
-
~:~ = -
os x - x sen x . g2 O.
eax sen b x .
2 el se n t.
__
dZy
dx2
_ -
e-t (3 sen 2
ea:>: [ (aZ -
b2)
t
+4
se n b x
(OS
2 r) .
+ 2 ab
cos bx
1
http://carlos2524.jimdo.com/
CA LCULO DIFERENCIAL
126
Hallar dy en cada una de las funciones siguientes . dx 38.
y = cos (x -
y) .
Sol.
dy cos(x+y) dx = eU - cos (x + y)
39. eY = sen (x + y). 4 0.
dY _ sen (x - y) dx se n (x - y) - I
dy dx
cos y = In (x + y ).
=
- I l+ (x +y )seny
En los problemas 41 a 50. hallar el valor d e dy para el valor dado de x dx ( en radian es) .
x=1.
y' = 1. 841.
41.
y= x - cos x ;
42.
y=x se nf:
x=2 .
y'=1,381.
43.
y=lncosx:
x=0.5.
y'
44.
y=~:
45.
Y
=
sen x cos 2 x:
46.
Y
=
In
47.
y=exs enx:
48.
y =
Sol.
x=-0,5.
x
V
tg x:
y' = - 3.639.
=
x
= X
x
= -1.754.
1.
y'
Jt.
y' = 1.
x=2.
10 e- x cos Jtx:
= - 0.546.
'J' = 3.643.
x
=
1.
I
=
3.679.
y'
=
-
y
x
5 e2 sen Jtx. 2 .
49.
Y
50.
y = lO e -10 se n 3 x:
=
x
=
2.
21,35.
:t
74. (1)
x = 1.
Funciones trigonométricas inversas. y
y' = -
27.
De la ecuación
= sen x
se dedu ce que l ' X es la medida en radianes de un ángulo cuyo seno es igual a y " . Para un ángulo central en un círculo de radio unidad, x es también igual al a rco interceptado (véase el Artículo 2) ; luego la proposición que hemos puesto entre comillas se abrevia así: (2)
x = arc sen y,
que se lee" x es igual a un arco cuyo seno es y". Permutando x y y en (2), obtenemos (3 ) Y = arc sen x, que se llama la fun ción inversa de seno de x. Está definida pa.ra todo valor de x numéricamente menor que 1 o igual a 1. De (1) y (2) se ve que sen x y arc sen y son funciones inversas (Art. 39).
http://carlos2524.jimdo.com/
FUNCIONES TRASCENDENTES
12 7
Muchos autores escri ben la ecuación (3) en la forma y = sen- 1 x. que se lee' 'e l se no inverso de x". Creemos que esa notación no conviene porque sen- 1 x. así escrito. podría leerse como sen x con el exponente - 1.
Consideremos el valor de y que corresponde en (3) a x = tendremos: (4) y=arcsen Y2 .
Yz ;
Un valor de y que satisface (4) es y = }i 3t, puesto que sen H 3t = sen 30° = X. Un segundo valor es y = % 3t, puest.Q que sen % 3t = sen 150° = }~ . Cada una de estas soluciones admite la adición o sustracción de un múltiplo cualquiera de 2 3t. Luego el número de valores de y que satisfacen (4) es infinito. Por esto se dice que la función arc sen x es , , multiforme' , . La gráfica de arc sen x (fig. 51) muestra bien esta p propiedad. Cuando x = OM, entonces y
= MPl, MP2, MP a ,
... , MQ1, MQ2,
....
Para la mayor parte de los problemas que se presentan en Cálculo infinitesimal es permisible y aconsejable elegir uno de los muchos valores de y. E legimos el valor entre - H 3t Y >~ 3t; es decir, el de menor valor numérico. Así, por ejemplo, (5)
arc sen
}~
=
}'3t,
arc sen 0=0,
Q
Fig. 51
arc sen (-1) =
-}~ 3t.
La función arc sen x es ahora uniforme, y si (6)
y = are sen x, entonces -
>~
n 1, t > 2. e) velocidad mínima? el) ¡De dad es de 10 1U por segundo? Sol. a) Par
http://carlos2524.jimdo.com/
ECUACIONES
y OY , mediante
d) vierten
Cuando en
=
VI
100 Y cp
Eliminando
tice en P y lados Luego
t.
=
30°.
el resultado
del
147
movimiento
se con-
501 - 4.9 12. 0.049
x
que
V3-~
re p rese n ta
una
parábola. rectangular
4.:
y = x tg ep -
aceleración en un
(1
de la trayectoria
+
del proyectil
en
tg2 ep)x2•
V 1-
en 3. Si a un proyectil se le da una velocidad inicial de 48 m por segundo de una dirección inclinada 45° con la horizontal. hallar: a) las componentes b) la velocila velocidad al final del segundo segundo y del cuarto segundo; dad y la dirección del movimiento en los mismos instantes. Sol.
a)
= 2.
Cuando cuando
b)
nes del movimiento
t
cuando cuando
el ángulo de tiro y ndose x y y en mede la velocidad. las a velocidad y la acecualquiera; b) al do UI = 100 m por bién: e) la dirececuación cartesiana
ecuaciones
=
y
es y
2. Demostrar que la ecuación el problema anterior es
cemos uso de las ran muy bien los
las
50 1 V3,
=
x
y POLARES
PARAMETRICAS
t
ux
33.9
ID
= 4. = 2,
Vx
33,9
u
=
= 4,
u
=
= 14.3 m = - 5.4 m
por seg ..
Vy
ID
por seg.,
Vy
36.8
ID
por seg.,
r
= 22° 54'.
34.4
ID
por seg ..
r
= _ 8° 58'.
4. Con los datos del problema 3. hallar la mayor altura alcanza. Si e! proyectil da en e! suelo al mismo nivel horizontal hallar el tiempo que ha estado en el aire y el ángulo de! choque.
por se g . , por seg. ;
que el proyectil del que partió.
5. Un proyectil se lanza contra un rn u r o vertical a la distancia de 150 m. con la velocidad inicial de 50 m por segundo. Demostrar que no puede dar en e! muro en un punto más alto que 83.5 m arriba del eje de las x . ¡Cuál es cp para esta altura! Sol. ep = 59° 33'.' 6.
Un punto.
referido x
demostrar 7.
=
a
que la magnitud La trayectoria
a coordenadas
+b
rectangulares. y
y = asen
de su velocidad
es constante.
(OS
I
de un punto
móvil
se mueve t
+
de manera
que
e:
es la sinusoide
j x = ato
Iy ión hacia abajo.
= dO. En el triángulo rectángulo PQT, tomemos PQ = dQ. Entonces QT = tg'\jJ dO. Pero Luego por tanto,
tg
ti!
de
= O-d .
º de
QT =
º dQ dQ
PT
v
=
d0 2
Según (H) , Art. 85 = (l
de ;
+0
de 2
2
según (E) =
ds.
Según (H)
http://carlos2524.jimdo.com/
174
CALCULO
EJEMPLO
l.
Solución. Para
Hallar
la diferencial
ds = (1 + x ))1 y2 hallar
EJEMPLO
2.
~y
la diferencial
x = a (1/ en función
de 11 y dl/.
Solución.
(Véase
=
v'
(E),
r2 _
Sustituyendo
= a (1 -
d s? = a2 (J -
+ Vy
=
V~ . c
12.
y2=2px.
14.
x%
+ y'-"
15.
a2y
= x3•
16.
y2 -
vi ~2d~ y2
dy =
del arco de la cicloide
sen 1/),
Y = a (J -
el ejemplo
2 del An.
cos 1/), 81.)
cos 1/) d I),
dy = asen
= a'1.
2 x - 3 Y
=
O.
1/ dl/. En
cada
una
de las siguiente
de t y d t .
cos 1/)
del Artículo
(5),
vI~
En cada una de las siguientes
(C),
en
8. . x2
de x y d:
= x3•
a2y
lo que da
(~Y'
dy =
r dx
Diferenciando, dx
Según
dx
y2
:~ y2y
ds en función
6_ lo que da
(.c)J.-!í
=
2
dy = (x
Hallar
(D),
de y s u st it u im o s en
ds en función
ds = (1 +
)J.-!í dx
2
+ x y"
Hallar
y' í
dx = (y2
x~ + y2
x
de x susti tu mos en
ds en función 2
Para
del arco del círculo
dy __ dx -
Derivando,
hallar
DIF
DIFERENCIAL
d02 + a2 se n? /1 dl/2 = 2 a2 (J -
2
2.
I -
cos 11 = 2 se n?
Yí
O.
cos 1/) d1/2.
18.
x=2t+3,
19.
x = 3
y=t2-
Luego. Y = 2
t2,
t~.
ds = 2 a se n ~ 1/ dO. EJEMPLO 3. en función de 1/. Solución.
Hallar
la diferencial
en (1).
ds = [a2(1 a
(4
cos 1/)
se obtiene + a2 se n"
/I]J.-!í d
dI/ = 2 asen
f «e.
-- cos 1/)2 se n"
a (J -
(l
dQ=asenO. dO
Derivando.
Sustituyendo
del arco de la cardioide
f)J.-!í
ü
= a(2 -2
cos I/)J> dI/
PROBLEMAS En cada una de las siguientes L
2 Y = x2•
2.
y2 = 2 p x .
3.
b2x2+a2y2
curvas,
hallar Sol.
x2 dx.
ds = vi 1+
a4
ds =
-
(a2 -
a~ (a2
(x4
+ l)dx 2 x2
4. 6xy=x4+3.
ds =
5.
ds = sec x d x .
y = Insecx.
-
b2) x2 X2)
22.
Q =
23.
Q
24.
Q =
a cos
(
O.
= 5 cos 11 + 12 se n 11. -
sen 11.
25.
Q
3 sen 11 -
26.
Q
l+cosO.
27.
Q
sec'
28.
!!
2 - cos 11.
29.
Q=2+3senll.
30.
Q
4
cos 11.
/1
2"
= a cosnO.
97 _ La velocidad como r con respecto al tiempo. En h Artículo 83, la magnitud de
x + p dx . 2x
ds =~2
a2b2.
de x y d x .
ds en función
En cada una de las siguientes
dx .
(1) Según
1)2
(e) y (D) del Artícul
v,
http://carlos2524.jimdo.com/
175
DIFERENCIALES Hallar
ds en función
de x y d x en cada una de las siguientes
6. a2y = x3. e da r dx
9. 2 Y
7.
ay2 = x3•
8.
V;+Vy
=
V-;.
En cada una de las siguientes
curvas.
curvas:
= e" +
e-x.
10.
y = se n x .
11.
y = co s?
hallar
X.
ds en función
de y y dy.
e da y2 = 2 o x .
12.
r dy
Sol.
V
ds =
y2
+
p2 dy
p
+ y"1
14.
x%
16.
y2 -
En
cada
= a'':Í.
2 x - 3 y
=
17.
O.
de las siguientes
una
curvas.
hallar
2
4 = O.
y2 -
x u? -
d s , sen
y cos -; en función
T
de t y d t .
18. 19. = a (1 -
O);i
dO
e x y dx . 2
dx . P dx .
cos O)
x=2t+3. x
=
y=t2-2.
3 t'',
=
y
2
l~.
En cada una de las siguientes
= a
Q
23.
Q = 5 cos O +
24.
3 sen O -
26.
º= º= Q =
27.
o
scc?
28.
'J = 2 -
29.
º
30.
x = asen
t.
Y = a cos t.
21.
x = 4 cos
l.
Y
hallar
ds en función Sol.
22.
25.
curvas.
20.
cos 11. 12 se n O.
1 + cos
4 cos O.
31.
=
13
O
32.
º
33.
Q=
34.
Q=
T cos 1/.
ae. - 2
se n
e
d B,
»
4 1 + cos 11 3 -
4 cos (1
I -
4 3 cos O
=2+3sen(l.
Q = a cos nb .
««.
V2
Q =4sen3~.
97. La velocidad como rapidez de variación de la longitud del arco con respecto al tiempo. En la discusión del movimiento curvilíneo en el Artículo 83, la magnitud de la velocidad v se dió por (E) , (1 )
dx
a
ds =
o.
l.
de IJ y dO.
ds =
ds
I - sen u.
= 3 se n
Según
(e) y (D) del Artículo 83,
dx vx = dt '
dy
vv=
di'
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO DIFERENCIAL
176
Sustit.uyendo en (1), empleando diferenciales y la igualdad (e) del Artículo 95, el resultado es (2)
Extrayendo la raíz cuadrada, tomando el signo positivo, tenemos
ds v=dt· Por tanto, en el movimiento curvilíneo la m agnitud de la velocidad del punto móvil es la rapidez de variación de la longitud del arco de la distancia trayectoria con respecto al tiempo. Este enunciado debe compararse con la definición dada de velocidad, en el movimiento rectilíneo, como la rapidez de variación de la distancia con respecto al tiempo (Art . 51). 98. Las diferenciales como infinitésimos. Muchas veces, en las Matemáticas aplicadas, las diferenciales se tratan como infinitésimos (Art . 20) , es decir, como variables que tienden hacia cero. Por otra parte , frecuentemente se establecen relaciones entre infinitésimos en las que éstos se reemplazan por diferencia les. El "principio de reemplazo" sobre equiva lencia de infinitésimos y diferenciales es muy útil. Si x es la variable independiente, hemos visto que L\x = dx; siendo así, L\x puede reemplazarse por dx en cualquiera ecuación. Si L\x -) O, entonces dx -) O también. Al contrario, L\y y dy no son iguales en general . Pero cLJando x t iene un valor fij o y L\x ( = dx) es un infinitésimo, L\y también lo es, y asimismo dy, según (B) del Artículo 91. Además, es fácil demostrar la rela ción (1)
L\y , 11m dy
=
6 x-)O
Demostración.
1. -
Puesto que lím
~y =
j'(x),
6x-)O LlX
~yx = JI (x) + 7:,
podemos escribir
si Iírn
Ll
Quitando denominadores , y empleando (B), L\y
= dy
+ i L\x .
7,
6 x-)O
= O.
http://carlos2524.jimdo.com/
177
DIFERENCIALES
Dividiendo ambos miembros por l1y y transponiendo, se obtiene
dy l1y Luego,
dy lim - = 1 6 x----70 11 y
=
1- i I1x
l1y.
l1Y o sea, igualmente, lim d 6 X----7 0 y
1,
como se quería demostrar. Ahora enunciamos, sin demostración, el siguiente teorema sobre equivalencia de infinitésimos. Teorema. En los problemas que implican solamente la s razones de infinitésimos que tienden simultáneamente a cero, un infinilésimo puede reemplazarse por otro infinüésimo si el limite de la razón de los dos es la unidad. Según este teorema, l1y puede reemplazarse por dy, y, en general, un incremento cualquiera por la diferencial correspondiente. En una ecuación homogénea en infinitésimos, la aplicación de dicho teorema es sencilla. EJEMPLO 1. Según (5) . Art. 2. si x = VI i. 1- cos i = 2 sen 2 Yz i. Sea i un infinit és imo . Entonces. seg ún (B) del Art. 68. sen i puede reemplazarse por i . sen 2 VI i por ~ i 2 y. en consecu encia. 1 - cos i por VI i 2 • Ademas. tg, o
•
(
=
sen I azarse por ,. · --oi ) pue d e ree mp COSi
E JEMPLO 2. En (1). del Artículo 95. to das las cantidad es son . finalmente. infinitésimos . puesto que f'l.X----7 O. La ec uación es homo génea ( cada t érmino es de segundo grado). Según el teorema. podemos reemplazar los infinitésimos como sig ue: Cuerda PQ por arca PQ
=
f'l. s.
y f'l. s por ds ; f'l.y por dy;
Entonces (1) se convierte en ds 2 = dX2
+ dy2;
es decir. en
y f'l.x por dx.
ce).
99. Ordenes de infinitésimos. Diferenciales de orden superior. Sean i y j infinitésimos que tienden simult.áneamente [, cero, y sea lím
4-z = L.
Si L no es cero sino una cantidad finita, se dice que y j son infinilésimos del mismo orden. Si L = O, se dice que j es de orden superior al. Si L se hace infinito, se dice que j es de orden inferior al.
http://carlos2524.jimdo.com/
1 78
CALCULO DIFERENCIAL
Sea L = 1 . Entonces j - i es de orden superior al.
e i) ~
[lím
=
lím
(+ - 1) = lím -+ - 1 = O. ]
La recíproca es igualmente cierta. En este caso (L = 1), se dice que j difiere de i en un infinitésimo de orden superior. Por ejemplo, dy y /':;.x son del mismo orden si fl (x) no se anula ni se hace infinita. Entonces /':;.y y /':;.x son del misr mo orden, pero /':;.y - dy es de orden superior a /':;.x. A causa de esto, dy se llama " la parte principal de /':;.y". Evidentemente, las potencias d e un infinitésimo son de ord~n superior a i. EJEMPLO. Demostrar la igualdad, supuesta cierta en el A rtículo 95.
o
lím (cUerda PQ) arco PQ
x
1.
Demostración. En la figura 80, mos, por Geometría,
Fig. 80
1
XXVI).
R =
curva
el radio
d·
es la evol vente
41.
Hallar
42.
Hallar
el punto
d
los puntc
máxima.
44.
R=2asec3YzOl'
25.
Esta
43.
XXVI). R=~.
sec2
Hallar
Demostrar
que er
infinito.
XXVI). R=%~.
\12
40. curva
a.
012 La cardioide
cada
XXVI).
R 22.
sobre
39. Hallar el radio de hipocicloide x = a cos" t.
%
a se n?
%
01.
Dada
la curva
y
a) Hallar el trazar el circulo b) Demost: c u rv at ur a máxin e) Hallar. de curvatura má
http://carlos2524.jimdo.com/
187
CURVATURA
=1%Vl3.
R
26.
La trisectriz
O = 2 a cos 8 - a.
27.
La hipérbola
equilátera
28.
La cónica
Sol.
R
a(5-4coS81)% 9 - 6 cos el
R =
3 01 . a2
R=J.
2V2.
R =
(!¡,ílt.2).
1) en cada una
Hallar indicado. 29.
+a
Xl2
4Y12)
%
a'b"
1+
t2•
30.
x
3
31.
x
= 2 el.
32.
x
2
(YI
(2
a cos t.
Y
=
XI·
) a la parábola ángulo. ap ros. ) é
(3. 1) es 45°. .ión de la curva a B es !'J.s =U.2
1;
2
x
35.
x
36.
x
37.
x
tg
38.
x
t - sen t.
sobre cada
+ 1.
Hallar
el radio
t
1.
t :
y = 1.
se n l.
Y = cos 2
1;
t
1.
ctg r ;
Y
de curvatura
41.
es la evolvente
Hallar
el punto
=
en
(véase
a (sen el Art.
I
=
Y
x = a (cos t
curva
l.
1;
y
curva
Esta
1.
=
t
= (3 y =2 se n
4 cos
= 2
R = a.
ti·
4
34.
-
=
Yo rr .
re.
cos t :
punto
+t
= n.
I
(t =
cualquiera
Sol.
un
t -
=
= Y4
punto
R = 3 asen
cualquiera
Hallar
los
puntos
de la curva
Sol.
de un círculo. la curvatura
x3
3 y
-
Sol. Demostrar
que en un punto
11)
de
la
de inflexión
el radio
R =
all·
es máxima.
2 x donde
máxima. 43.
la
1) .
111)
Sol. 42.
de
1, cos 11·
=
(1
(1)
sen 1) .
leas
y = eX donde
de la curva
Vl
R =2
y
t.
12
R = 6.
=
t
= 4V2.
R 1.
=
x -
=
en el punto
O.
a se n r :
y
81)
t
;
+ e2) %
(1 - 2 e cos 01 (I - ecos 0¡)3
1.
=
39. Hallar el radio de curvatura en un hipocicloide x = a cos" 1. y = a se n ' t. 40.
e2)
a (1 -
R
33.
~. .
-
= 3 t - (3 =2 c=t ;
y y
aYt IY¡)
=
y
%
y¡)
a2•
de curvatura en cada una de las siguientes curvas la curva y el circulo de curvatura correspondiente.
21.
x
=
cos 2 O
a (1 - e2) l - ecos 8
O
el radio Trazar
02
x = - 0.347. la curvatura es x = ± 0.931.
de curvatura
se hace
infinito. 44.
Ql
asec3YíO¡. 4asen2~OI.
Dada
la curva
y = 3 x -
x3•
a) Hallar el radio de curvatura en el punto máximo de la curva. trazar el circulo de curvatura correspondiente. b) Demostrar que el punto máximo de la curva no es el punto c u rv at ur a máxima. e) Hallar. aproximando de curvatura máxima.
hasta
la centésima.
la absci sa del
Sol.
y de
punto
x = 1.01.
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO DIFERENCIAL
188
45. Hallar el radio de cur vatura en cada punto máximo o mínimo de la curva y = 2 Trazar la curva y los círculos de curvatura. Hallar los puntos de la curva donde el radi o de cur v atura es mínimo.
x' - X2.
46. Demostrar que en un punto de la curva y tura mínimo , se tiene
=
F (x) , de radio de cur va -
3(ddxY) (ddX2 )2=ddx [1 + (ddx)2J. 2y
3
y
y
3
4 7. Demostrar que la curvatura de la parábola cúbica 3 a 2 y = x 3 aumenta desde cero hasta un v a lor máximo cuand o x aum enta desde cero ha sta
+
a V'W. H alla r el va lor mínimo del radi o de cur v atura.
Sol.
0,983 a.
108. Centro de curvatura. La tangente en P(x, y) tiene la propiedad de que x, y y y' tienen los mismos valores en P para esta línea y para la curva. El círculo de curvatura en P tiene una propiedad semejante: a saber, x, y, y' , y" tienen los mismos valores en P para este círculo y para la curva. DEFINICIÓN . Se llama centro de curvatura (a, S) de un punto p (x, y) sobre una curva, el centro del circulo de curvatura.
Teorema. Las coordenadas (a, B) del centro de curvatura en el punto P(x, y) son (1 + y12) y' (1 + y12) (G) y'l . u =xy" ' B= y + Demostración.
La ecuación del círculo de curvatura es
donde R está dado por (F). Derivando (1),
x-a
Y'=-y-B'
R2
1/ _
Y - -
(y _ B)3 .
De la segunda de estas ecuaciones, después de sustituir el valor de R según (F), obtenemos (3)
(y - B)3 =
B=
.'. y -
1 + y'2 y"
De la primera de las ecuaciones (2) obtenemos, empleando (3),
(4 )
I (
1 O. Entonces, cuando I':.x es negativo,
cu tJ.'h
http://carlos2524.jimdo.com/
TEOREMA DEL VALOR MEDIO Y SUS APLICACIONES
219
Sustituyendo este resultado en (1), obtenernos
1 (F) f(b)=f(a) + (b-a)f'(a)+I~ (b -a )2f"(x2).
(a< x~ < b)
Continuando este procedimiento, obtenernos el resultado general (G)
f(b)=f(a)+ (b -a ) f'(a)+ (b -a )2 f "(a)
II
I~
+ (b ~ a)3 f'" (a) + . ..
+
(b-a) n- \ f(n - O (a) In-1 (a
(x) - tIJ (x) ; entonces, por hipótesis,
d
o.
F'(x) =-d [cf>(x) - tIJ(x)] = f(x) - f(x) = x
Pero según la fórmula (D) del teorema del valor medió (Art. 116), tenemos: (o (x) y 1\J (x) difieren sólo en una constante. El valor de puede determinarse en el caso en que se conozca el valor de la integral para algún valor de la variable, y de eso veremos muchos ejemplos en el capítulo siguiente. Por ahora nos contentaremos con ap render a hallar las integrales indefinidas de expresiones diferenciales dadas. En lo que sigue daremos por sentado que toda función conti nua tiene una integral indefinida, proposición cuya demostración rigurosa queda fuera del propósito de este libro. Sin embargo, para todas las funciones elementales, la exactitud de la proposición aparecerá clara en los capítulos que siguen. En todos los casos de integración indefinida, el criterio que debe aplicarse al verificar los resultados es que la diferencial de la integral ha de ser igual a la expres~·ón diferencial dada .
e
128. Reglas para integrar las formas elementales ordinarias. El Cálculo diferencial nos ha proporcionado una regla general para obtener la derivada y la diferencial (Arts. 27 y 94). El Cálculo int egral nO da
http://carlos2524.jimdo.com/
INTEGRACION
231
una regla general correspondiente, que pueda aplicarse fácilmente en la práctica para la operación inversa de la integración. * Cada caso necesita un trato especial, y se llega a la integral de una expresión diferencial dada por medio de nuestro conocimiento de los resultados de la diferenciación. Es decir: resolvemos el problema contestando a la pregunta, ¿qué función, diferenciada, producirá la expresión diferencial dada? La integración es , pues, un procedimiento esencialmente de ensayos. Para facilitar el trabajo, se fo rman tablas ele in tegrales conocidas, que se llaman tablas de integrales inmediatas. Pa ra efectuar una integración cualquiera, comparamos la expresión diferencial dada con las tablas. Si se encuentra registrada en ellas, se sabe la integral. Si no está registrada, miraremos , por varios métodos, de reducirla a una de las formas registradas. Como muchos de los métodos se sirven de artificios que sólo la práctica puede sugerir, una gran parte de nuestro texto se consagrará a la explicación de métodos _para integra r las funciones que se encuentran frecuentemente en la resolución de problemas prácticos. De todo resultado de diferenciación puede deducirse siempre una fórmula para integración. Las dos reglas siguientes son útiles para la reducción de expresiones diferenciales a integrales inmediatas. a) La integral de una suma algebraica de expresiones diferenciales el:; igual a la misma suma algebraica de las integrales de esas expresiones.
Demostración.
Diferenciando la expresión
fdU + f siendo u, v,
W
fdW,
funciones de una sola variable, obtenemos du
(1)
dv -
f
(du
+
du -
+ dv-dw. dw) =
f
du
Según III, Art. 04
+ J'dU -
f
dw.
b) Un factor constante puede escribirse o delante del signo integral o después de él . * Aun cuando se sabe que la integral de una expresión diferencial dada existe. puede ser imposible obtenerla en términos de funciones conocidas.
http://carlos2524.jimdo.com/
232
INTEGRAL
CALCULO
Demostración.
Diferenciando
la expresión
aJdV a dv.
obtenemos (2)
Según IV,
Art.
A causa de la importancia de estas dos reglas, las escribiremos como fórmulas al principio de la lista siguiente de " integrales inmediatas" o "formas elementales ordinarias' , .
.'
~
l'.
INTEGRALES
(1)
S(dU+
(2)
f
11 ~~;
SdX=
(4)
f
1., .•
(5)
x+ C. 1
tñd»
SdVv
n = --v +
n+l
In v
+ In
[Haciendo
(7) (8) (9) (10)
S S S
V
a" dv
f
= --Ina a
e" dv = e
V
sen v dv
feos
+ C.
(n ~ - 1)
= In v +C.
= (6)
= S du+ S dv- SdW.
adv = aSdv.
(3)
. ;rf~
INMEDIATAS
dv-dw)
e
e
=
=
(12)
Ssec
(13)
Scsc v ctg
(14)
ftg
v dv =
(15)
Sctg
v du=
(16)
Ssec
v du .
( 17)
Scsc,v
(18)
S
(19)
f
(19 a)
S a2 dv v2
(20)
S
In ev.
In c.l
+ C.
+ c.
(21) (22) (23)
= - cos v + C.
v dv = sen v
SCSC2 v dv
+ C.
v tg ~
94
dv = afdv.
fa
(11)
S S S vv
du=
dv
+a =
v2
2
v2 dVa2= =
dv va2-z
dv vv2±a2-
-1
va2-v2dv= 2
±
a2dv=
129. Demostración fácilmente. Demostración
de 1
de (3).
I d
sec" v dv
= tg v + C.
obtenemos
http://carlos2524.jimdo.com/
INTEGRACION
f f f f f f
(11) (12) IV, Art. 94 (l3)
escribiremos egrales inme-
(14)
(15) (16) dw.
(n ~ - 1)
233
c.
ese? Vdv = - etg V +
c.
see V tg Vdv = see V +
c.
ese V etg Vdv = - ese V +
e=
tg V dv = - In eos v + etg v dv = In sen v
+ c.
see v du = In (se e v + tg v) +
(17)
f
ese· v du = In (ese v - etg ~) +
(18)
f
1 --2 dv 2 = -aretg-+ v + a a
(19)
fdV 1 -.--2 v"-a = 2ln~ a
(19 a)
f
(20)
f
~=_l-ln
a2_
v2
a -v2
v
(v2
a+v+C. a - v
(z? < a2)
a2
(22)
f--
V a2
-
(23)
f-
v--a2 v2 dv = -2 V. a2
±
a2 du = - v-aV(-)v2 2
V v2
±
Demostración
= In (v+vv2±a2)
v
-
v2
+ -2
are sen a
±
a2
± -
In v
de las fórmulas
de (3).
2
+ c.
+V v
(3), (4) Y (5).
2
±
a2
+ C.
Se demuestran
Puesto que d(x
obtenemos
+ C.
2
129. Demostración fácilmente.
> a2)
= are sen - v + C. a
V dv 2 v
c.
C.
a
f
(21)
c.
v-a v a + C.
2 a
V dv 2
c.
In see v +
+ C) =
f
dx
=
dx,
x
+ C.
II,
Art.
94
http://carlos2524.jimdo.com/
234
CALCULO INTEGRAL
Demostración de (4).
Puesto que Vn+l
)
d ( n+l+C
J
obtenemos
=
VI, Art. 94
v" dv, V'Hl
n
v dv = n
+ 1 + C.
Esto es cierto para todo valor de n, con excepción de n = - 1 . En efecto, cuando n = - 1, (4) implica división por cero. El caso de n = - 1 corresponde a la fórmula (5). Puesto que
Demostración de (5).
dv dOn v + C) = - , v
J
X, Art. 94
dV
-; = In v +
obtenemos
C
Este resultado puede expresarse en forma más abreviada si representamos la constante de integración por loge c. Así.
J
dV
-; = In v
+ In c =
In cv .
La fórmula (5) dice: si la expresión que se encuentra bajo el signo ú¡legml es una fracción cuyo numemdor es la diferencial del denominador, enton ces la integral es ellogarivnw natural del denominador. EJEMPLOS ILUSTRATIVOS Comprobar la s siguientes íntegraciones: 1.
2.
x7
x6 + 1
- - + C = - + C, segun (4 ), siendo U = x f x 6dx = 6+ 1 7 -/f x I2 dx=_+C=_x x% 2 % ) I 2+c, por (4), f vxdx =
1/
3/
y n
=
Q.
siendou=x
y n=Vz.
2 fdx = fx - a dx = xxa - 2 y n = - 3. 3.
4.
+C
=
-
fax 5 dx=afx 5 dX=at+c'
_ 1_ + C 2 X2
según (4),
siendo
Según (2)
u
y
=
x
(4)
.. Mientras el estudiante aprende a integrar, debe recibir lección oral de integración de formas sencillas.
http://carlos2524.jimdo.com/
235
INTEGRACION
5.
J'
(2 x 3
-
5 X2 - 3 x =
=
,f
+ 4) dx
2 x 3 dx -
2 j'x 3 dx -
,f 5,f
5 X2 dx -
x 2 dx -
,f3 3,f
x dx x dx
+ j'4 dx
+ 4 J'dX
según (1) según (2)
x4 5 x3 3 X2 =-----+4x+C. 2 3 2 NOTA. Aunque cada integración requiere una constante arbitraria. esc ribimos só lo una constante que representa la suma alg~braica de ellas.
6.
f(~~
-!. +
c~ x 2 )
3
dx
2 ax-)I:í dx - fbx- 2 dX
=f
= 2 afx-)I:ídx - b fX- 2 dx
7.
f
(a
xY2
=
La· -
=
4a
)tí
X-1
- b . -
-
-
vi x
l
+ -----;b : + T9
J'3 cx%dx
según (1)
+ 3 cfX%dX
según (2)
+
+ 3 c . -x% - + C % ó/ CX.f3
según (4)
+ C.
% - x %3 )3 d x =a 2 x+-;¡a'x C) % 1:í -T 9 a% % x3 x -T+C,
SUGESTION.
En primer lugar. desarrollar el cubo del binomio.
Solución. Esta inte gral puede reducirse a la forma (4). En efecto. se puede introducir el factor 2 b 2 después del signo integral. delante de x dx. y su recíproco delante del signo integral. Estas operaciones se compensan mutuamente segú n (2) . (Compárese con (4). u = a 2 + b 2 x2. n = Yz. du = 2 b 2 xdx.)
f
(a Z
+b
2
X2) )12 x dx
= - l2- f (a 2 2b
_ (a"
-
+
+ b 2 x 2 »)I:í (2 b 2 x dx)
b 2 x2) % 3 b2
r
=
L
~fuy,; du
2 b2
= u%2 +C. según (4) ] 36
+ C.
NOTA. Se previene al estudiante que no debe trasladar una función de la variable de un lado a otro del signo integral. puesto que eSo alteraría el valor de la in tegra!.
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO
236
INTEGRAL
7. f~=-~+c. t2 Según
Solución. Esta integral
(2)
integral se parece a (5). Si introducimos el factor 2 c2 después del signo y su recíproco delante de él. no se alterará el valor de la expresión.
(Compárese
3
Luego.
(5).
con
a
f
v
b2
=
+
C2X2• dv
=
8.
S "';-d ax x
."
= ~
+
b2
In (b2
2 c2
[-
C2X2
+
-
2 c x dx.)
+ C,
3 a f d o - 3 a In v D --;;- 2 c2
12.
f4 x2 x
13.
f( ---x22
según
14. S "';-;(3
+ C,
C2y2)
3 15. f x
X3dx X2 10. f __ = x - + -x~ x 1 2 3
+
Solución.
En primer
lugar.
-
In (x
+
16. S...;-- a dividiendo
el numerador
por
'•.
x+l
Sustituyendo
en la integral.
=
x2
-
x
empleando
2"';; 2)
dx--_ x~ 6
x"
x - 2)dx
=
+ 5 dx
=
6x x
+ bx
2( dx = -
17. S ...; ady- by
1 +1---.
x+l
(1) e integrando.
dx -' -,
el denominador.
resulta:
__x3
-
+ C.
1)
+ 5V
11. S (x ~- - 2 x/2L3
b2+C2X2
2 c2x dx
2x"';~ 3
= ---
2
x dx
- 3af - 2 c2
t
obtenemos
la so-
= --
18. f(a+bt)2dt
2'
=JE.
lución.
11. f 2x-1 2 x+3 Solución.
19. fX(2 dx=x-ln
Dividiendo.
2 x -
l = l
2x+3
dx
=
4__
y emplear
. Sustituir
(1)
20. f y (a - by2) dy = .
2x+3
etcétera.
21. St"';2t2+3dt=
La función por integrar se llama el integrando. plo 1, el integrando es x6•
Así, en el ejem-
22. 23 .
PROBLEMAS Verificar
las siguientes
1. f x' dx 2.
+ X2)2
(2x+3)2+C.
= ~5
fdx = - .!.. x· x
+ C. + c.
f x (2 x + 1)
f •
dX
S
'\.¡-; = 2 V
5·S~=3x%+c. ~-; 6.
f3 ay2dy
x
+ c.
dx
=
4 x2 dx = 8 ...;-; "';x3 +8 6 z dz (5 - 3 Z2) 2 =
5'
25. S
("';-;i - V;)2
dx
26.
f
(y-;;- "';;)2 dx Vx
2 = ay3
2
24. f integraciones.
4.
-
+ C.
27. S
"';;(y'-;;-v';:
http://carlos2524.jimdo.com/
23í
INTEGRACION
Según
(2)
c2 después del signo de la expresión.
li
+
C.
según
7.
J~=-~+C.
8.
S -rz:«. = 2 xV~
t2
9.
t
11. S (x'l:\ - 2 x%
J4
13.
J(x
14 . 15.
16. por el denominador,
+ 5V~ -
2 x -:. 2V~ dx
12.
(5) ]
2
o, obtenemos
itu ir
y emplear
la so-
(1)
Sv~
(3 x - 2) dx
S ---+ SV v'
a
=
20.
Jy
21.
Stv'2t2+3dt=
y=ay3+C.
+
+ C.
(a+bt)3+C. 3 b
X2)
(4x2dx
.J Vx +8
2
dx
=
+6X2) 3 + C.
(2
t
=8V~
z dz 3 Z2)
V a -
+ C.
2
(2t2 3)%+C.
V
vi x
4 x3
3
x2 2
+C . 3
= __ 1_ 2
./-)2
ev~-v'~)2dX
f
+ C. + C.
b
4
J (5 6-
%
by2) dy = _ (a - by2) 4b
(a -
-I-
26.
+3 bbx)
. J x(2x+I)2dx=x +-+-+C.
25. Se
+ c.
6~%
C.
2v'~
3
3 x% 2
~3t
4V~ + C.
-
6 x~ 5 - 4 x% 3
= -
a _ by
J x (2 +
24.
S
x
2 (a
bx dx
19.
23.
= 2~% -
3)dx
dx
Jx3-6x+5dx=~-6x+5Inx+C. x 3
J(a+bt)2dt=
22.
=
10.
+~+
= x
x"
18.
ASí, en el ejem-
= 2 x2 3 6
-1:,-)dX
2
dy
17.
+C.
3
x
5 - 3
dx
=
+ C.
Z2
4xv'ax ax - --3-
2
x +T + c.
= _2ev'~-v'~)3+C. 3
v2x+C.
SV2x=
d t = (3 ~
10
;% -
%
+ C.
3x
+ C.
http://carlos2524.jimdo.com/
238 28.
29.
CALCULO
'
f
. V
32. 33,
dt
+
V
,
f2
2
V
a
46 . f.Q3-±3)dx
+C
2
dz
2
+b
47. f
5
f
35.
J'(x
2
B Z
S
%
50.
+ C.
+ I)dx
V
x3
+
r
I - cos x sec ' y dy = .l. In + b tg y b
• a
51. f(2x+3)dx=2x
+c.
x+2 (x2 + 2) dx = xZ. x + 1 2
52. f
(2 x 3) dx 2 "\lx2+3x=2Vx +3x+C. 2
= 2V
+3
x"
3x
= In (1-
49. fsenxdx
+ b
t ::n)
(a+, b
+ bee
a
+ c.
+
34.
= ~
48. f~=ln 2
2
dx = 2(a
(y + 2)dy y2 + 4 Y
+ c.
2
= a z + 2 a:z 2
x"
= In (
x2 + 3 x
.
1 3 b (a + b t ") + C.
= -
(a + bz3)
fX"-I
¡4
I = - 4 b (a + bx2)
3
tZ dt (a + bt3)
+
2
I = - 2 b (a + by)
3
x dx (a + bx2)
r
a4
=
/4
J. (a +dy by)
30. f 31.
¡3
a4
INTEGRAL
(x + 4) dx 2 x + 3
53. f x +C.
2
3
Yíz
54. f~= 36.
s..
=
f(2+I;x)dx=
e2S + 1
(2+~nx)2+c.
In (
e 55. fae 37. j'sen2
+ b de = 2 In aee - b
x cos x dx =
J
(se n x )
Emplear
SUGESTION.
cos x d x =
2
haciendo
(4),
(sen x) 3
3
Determinar el valor de ea' re su 1 tados por di fereneiaeión
+ C = seno x + C -3-'
u = se n x ,
d o = cos x d x ,
n = 2.
56. 38.
ax cos ax dx = se~2aax + C.
fsen
f
2 x dx .3/ V
6 - 5 x2
39. fsen2x 40.
41 .
cos22xdx=
-
j'tg"::,,scc2"::"dx=tgZ"::"+C 2 2
J'
cosaxdx
V
42.
J(I
43.
j'~
b
+ se n
(2
2+3x 2
f
x
45.
f~a + br?
2
dx
+ x"
= In (2
= In
C.
a -:--_1 _ tg x
+ + 3 x) + C
dx =
= In
+
dx
d[ _1..10 (6
Verificación.
2Vb+senax _ __--''---_c:c.c.
x
44.
eos:2x+C.
2'
ax •
~Ct: r
j'~6-5xx 2
Solución.
.
3
+ x3) + C
3
(a
+ c. 57.
f(x3+3xZ)dx.
58.
J
59.
f(.
.
..
+ 61 + C 2
)
2 b
.
(X2
-
4) dx .
x,
+~
V5X
5
V
5
http://carlos2524.jimdo.com/
INTEGRACION
=
46. fil3-±3)dx
+ 3x
x2
47.
J
(y + 2) dy y2 4 Y
=
+
In
(x2
In
(y2
1-
50.
[SeC2ydy
. a+
+
4 y)
+ e.
b
=
cos x
+ 3 x) + e. 2
48. f~=ln(a+beO)+C. a + beo 49. Jsenxdx
239
In ( 1 -
. = -I
+
In (a
b
b tg y
+ e.
cos x )
51. J(2x+3)dx=2x-ln
b tg y )
+ e.
(x+2)
+e.
x +2 2 52. f(x +2)dx= x
53.
J
54.
J ~
e~s
ae9
-3-
+
C.
56.
=~_+
51n
In (e2s
+b
2 In (aeO -
dO
=
el valor
de cada
+
-te.
(2x+3) 4
2
b
+C.
In (x+l)
+ 1 = Yz -
Determinar resultados
cos x d x , n = 2.
2 x _x+3 2
I
(x+4)dx 2x+3
O 55. Jae
sen ' x
+
+ C.
1)
b) -
una
0+
C.
de las siguientes
y verificar
integrales.
por diferenciación. 2 x dx
f
_3/
v 6 -
Solución.
5' 2 x
fV
2xdx =--!-J(6-5x2)-X(-IOxdx} 6 - 5 x2 ) = - ~
(6 - 5 x2) %
10
d[ -~
Verificación.
10 =
57.
JCx3+3x2)dx.
58.
.
59.
f(V
[ = 72
tl2 dtl
(9 -
+4
===
vi 9 =
..!.-
-are
In (
2 + vi x2
5
5
vI~
y2 vi y2 -
7
=
"7 y
12.
f
+ vi
vI~
dx
12
(2
di
.
2
u
trasponiendo,
Integrando,
resulta l
(A)
+4
x
)
+ C.
)
+ C.
25 - x2
+C. 1
x + -54 are sec -3 + C.
18 x2
x3~=
+ 8) + C.
100:
C.
+ C. 5 x
16 -
x2
vI~
dx
X2~=
11.
+ vi
senT+
x
= ~ In (
dy
(x
+9d x2
136. Integración pOI variable independiente, ción de un producto (V: o sea,
+ C.
2
x
tl2
2
XZ
+ C.
t
2"
u
ti
3L= tl2) /2
dx x vi x2
f---;:::::::dX f f
+ 8 + In
vi x2
6)
+C.
2"
= -
+ 8)
17.
----x2 - 6 + 3 In (x +vI x~ -
5 vi 5 - x2
2
vl4-/2
+ 2 + C.
2 vi x2
= - vi
6
(5 - x2)
(x2
=
x
__
vi x2-
x vi 25 -
9.
integraciones.
dx (x2
16.
vi 16 - t2 I
-arcsen
4+C.
t
que se llama fórmula di integrar u dv directamer dependa de la de dv y v Este método de integra Cálculo integral. Para aplicar esta Ión diferencial dada en dos instrucciones generales r les las siguientes: a)
dx es siempre
b)
debe ser posible
UI
l
c) cuando la expre nes, ordinariamente es rr tal que pueda integrarse,
http://carlos2524.jimdo.com/
269
INTEGRACION Hallar
árq uense los lados
el valor
s
resultados
por
13.
s la solución.
V
SV
14.
15.
de
cada
una
de las
siguientes
integrales,
y comprobar
los
diferenciación.
S
2
x
16dx.
:
y2 -9dY. y
dx
x3
V4
-
x2
18.
S
19.
S
dx
V x2 + 1 .
x3
dv (v2
20.
S
21.
S
3)%'
2
x dx x2 5'
+
V
•
2
16.
17.
SVX +9dX. x2
SV
100:
dx
x, 2
u
duo
SV
22.
V x2
-
5'
2
x +9dx. x6
136. Integración por partes. Si u y v-son funciones de la misma variable independiente, tenemos, según la fórmula para la diferenciación de un producto (V, Art. 94) , d (uv) o sea,
u dv 8)
Integrando,
+ c.
(A)
= u dv
+ v du,
trasponiendo,
= d (uv) - v du .
resulta la fórmula
S
inversa,
u dv = uv -
S
v
du,
que se llama fórmula de integración por partes. Tal vez no podamos integrar u dv directamente; pero esta fórmula hace que su integración dependa de la de dv y v du, que pueden ser formas fáciles de integral' . Este método de integración por partes es uno de los más útiles del Cálculo integral. Para aplicar esta fórmula en un caso dado, debe descomponerse la diferencial dada en dos factores, a saber, n y dv. N o pueden darse instrucciones generales para la elección de esos factores, pero son útiles las siguientes: \
a) b)
dx es siempre una parte de dv; debe ser posible integrar dv ;
c) cuando la expresión para integrar es el producto de dos funciones, ordinariamente es mejor elegir la de apariencia más complicada, con tal que pueda integrarse, como parte dv .
http://carlos2524.jimdo.com/
270
CALCULO
Los siguientes fórmula: EJEMPLO
l.
Solución,
ejemplos
u = x
y
d u = dx
y
Sean
Sustituyendo
en detalle
cómo se aplica
Solución,
f
v =
=
In x
y
entonces
du
=
dx x
Y
en (A),
f x eax
+cosx+C.
(1) d o = x dx ;
v
f x dx
=
La in tegral del segundo mi la (A), De esta manera obtei
x2
= Z·
J xea
en (A) ,
Susti tu yendo
fx
In x dx
= In x .
~2 _ f _;2. d; Sustituyendo
x2 -In
= EJEMPLO Solución,
3.
HalJar
2
4
fx
2
eQX
y
V
=
en (A),
f x eos d x
= e"r.
eax
x = --2-
x dx
3
= Z.
z dz =
VI ~
Demostración,
Hagamos
entonces
2
-"2a
Demostrar
5.
X2
J' x2 eaxadx
X2
2 2
f
a
f sec
do = x d x ;
y
este resultad,
eax dx
EJEMPLO
ea,; . a d x
dtl
+ C.
dx .
X
:t:;;;
x2 -
x -
f xe" u
Sean
entonces Sustituyendo
dx =
2
In x dx.
u
Sea
Solución.
u = .
du
Sustituyendo
=
fx
2
Sean
en tonces
Hallar
Jx
Hallar
se n x.
x dx
(OS
=
2.
4.
d o = cos x d x ;
u
lC
En algunos casos es nee partes más de una vez, eo EJEMPLO
do v v du ...-.,,---"----~,..--'---f ,.-------~ cos x dx x sen x sen x dx xsenx
EJEMPLO
la
(A).
en
tI
f
enseñarán
f x cos x dx.
Hallar
entonces
INTEGRAL
d en (A),
Sustituyendo
f x-,axdx,
J sec ' z d :
?
Pero integrar x e'" dx es menos sencillo que integrar xe'" d x . Este hecho irrdi ca que no hemos e le g ido nuestros factores co n v e n ie n temcn te . En lugar de eso, sean u = x y d v = enx d x ; 2
En
la nueva
integral.
Jsec3zdz entonces Sustituyendo
du
dx
v =
y
J' e
fIX
en (Al, • (
J
xeOX
dx
e(fX
= x· -
a
-
f" -e':lX
•
a
d
X
dx
a
efectu
obtenemos scc z
Trasponiendo al primer m ie r por 2, tenemos el resultado t EJ EM PLO 6.
f
Demostrar e(JX se n nx
a
http://carlos2524.jimdo.com/
INTEGRACION
271
En algunos casos es necesario apli car la fórmula de integración por partes más de una vez, como en el ejemplo que sigue. EJEMPLO 4. Solución.
Hallar
f
X2
cax dx.
Sean
du
y
du
en tonces
2 x dx
=
y
=
eaz dx;
u=feax dx
a
Sustituyendo en (A),
f
f _eaaz. 2 x d x 2 f xe ax dx. a
= x 2 . _e((X -
x 2 eaz dx
a
ax
2
x -e- = -
(1)
a
-
La integral del seg undo miembro puede hallarse ap lic an do otra vez la fórmul a (A). D e esta m anera obtenemos
Su st itu ye ndo este resultado en (1) , se tiene
j'
X2
eaz dx
EJEMPLO 5.
f
=
X2
_ 2 caz (x _
a2
J.a. ) + c
=
en" a
(X2 -
~ a
+ 2.) + c. a2
D emostrar que
sec 3 z d z
Demostración.
ax
e a
= Yz
sec z t g z
Ha gamos
II
du
en ton ces
+ ),tí
1n (s~c z y
=
sec z
=
sec z tg z dz
+ tg z) + c.
du
=
S2C 2 Z
u
=
tg z ,
y
dz ;
Sustituyendo en (A),
fsec3zdz
=
secz tgz- fsecz tg 2 zdz.
En la nueva int eg ral. efect u emos la sustitución tg 2 z = sec 2 z obtenemos
f sec 3 z dz
=
sec z t g z - f
sec 3 z dz
+ In
(sec z
1. Entonces,
+ t g z) + c.
Traspon i endo a l pr im er m i embro la integral d el seg und o miembro y dividiendo por 2, tenem os el resu l tado buscado. EJ EM PLO 6.
f
Demostrar qu e eoxs en nx dx = cOIta sen nx -
a2
+n
n cos nx) 2
+ c.
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO
272 Demostración.
Sean
u = eOX
en tonees
Il
INTEGRAL y
d o = sen nx d x ; y
du = aeUX dx
f
(2)
(A),
en la fórmula
IJ =
Integremos
eax sen nx dx
por partes
Sea
u
= -
la nueva
=
el resultado ax
e
7.
2e S y2 se n ny dy =-
y
JI
9. •
se n nx
y
f
eax sen nx
eax eos n x dx
a
xn+
xn In x dx = n
+
10.
S are sen x d x = x al
1l.
S are tg x dx = x ar
n
--;;
f eaxsennxdx.
a
12. S Sustituyendo
f
en
(2),
He etg y dy
=
y a,
obtenemos 2-
= :::
eax sen nx dx
(a sen nx -
f
13 . J'are
eos 2 x dx = x
miem-
14.
•fare
see y dy = yal
del método de integración
15.
S a re cse '2 t dI = e al
16.
f
17.
.fare
18.
SX2e-X
19.
S
n eos nx
)
-
~
2
eax sen nx d x .
Las dos integrales de (4) son idénticas. Trasponiendo la del segundo y despejando la integral se obtiene el resultado buscado.
Entre las aplicaciones más importantes por partes se encuentra la integración de a)
L:
IJ=---.
(A),
según
(3)
bro,
= n'"
n
Luego,
(4)
IJdv
eosnxdx;
dlJ
du = aea:>: d x
entonces
n?
8. S xa'" dx
eax eos n x d x .
integral.
eaz
IJse
es
+ -;;-f
e~s nx
= X
S
n
Sustituyendo
3
6.
eos nx
diferenciales
que contienen productos,
b)
diferenciales
que contienen logaritmos,
c)
diferenciales
que contienen funciones
triqonoméiricas
x are tg x dx = -x
y'-;
19
dx =
inversas. dx = -
e-
PROBLEMAS
Demostrar
las siguientes
1.
.r
2.
Jlnxdx=x(lnx-l)
20. x eos x
3.
4.
5.
J
x
fx J' see" (OS
ti
2
x x+
(x+I)2
S x2 are sc n x dx =
+C. x x d x = 4 se n - - 2- x eos -
2
nx nx (I x = eos --.,n:
ti
Slnxdx
+ c. 21.
se n -
"2 (
eO
co s e de =
integraciones.
x se n x dx = sen x -
'. x
eO
d
ti
ti
tg
ti
2
+x + In
sen nx n eos
LI
+ C.
22.
SlnCx+l)dX=
V S
+C. + C.
23.
24.
x+1
xe"
dx (l+x)2=fT
Se-t
cos n r de
eX
=:.
http://carlos2524.jimdo.com/
INTEGRACIO N 6. 7.
fu se n 2 3 u du
=
y2 sen ny dy
=
f
~
u2
273
}12 u se n 6 u - 0 2 eos 6 u +
-
y2 eos ny n +C.
2 eos ny + 2 y sen ny --n-3n2
[~ In a
_In 12 a ]
+ e.
8.
fxa ::c dx
9.
Jxn ln xdx =:71:11(lnx-n~I)+C.
= a'"
-
V~ +
10 .
far e sen x dx
11.
,)are tg x dx
12.
f
13.
fare eos 2 x dx
=
14.
,)are see y dy
=
Y are see y - In (y +
=
1 a re ese T + 2 1n (1 + V 12 - 4) + C.
15 .
3re et g
1)
=
x are t g x -
=
j 'a re eseTdl
17.
J are ¡ g
..¡-;
18.
f
dx = -
19.
f
21.
22.
24 .
VI
X 2)
+ C.
In (1 + y2) + C .
Yz V
x are eos 2 x -
x a re t g x dx
1
--2--
=
dx
eseo s O dO =
+
x2
f
2 e-·r
In ( 1 +
C.
'1 - 4
X2
v !J2=l)
+ C. +
c.
t
1
x
Yz
dI) = y are etg y +
16.
20.
x are se n x+
c.
are t g x -
x
T
+
c.
(x + 1) are tg V-; - V-; +
=
c.
e-"'(2 + 2 x + x2) + C .
~
( sen 0+ cosO) +C .
In x dx x (x+ I )2= x+ lln x - In (x+ I )+C .
f f f j x2
In
f
a re sen
x3
x
dx
x+; ~ dx
= T are se n
X2+ 2 --+ - -9- VI - X2 + C.
= 2 V x + I [ In
e-I
e'leosJTldt =
x
(x + 1) -
(Jt sen Jtl - eos Jtl) Jt 2+ 1 + C.
2] + C.
http://carlos2524.jimdo.com/
27-J.
CALCULO
Hallar resultados
el valor de cada por diferenciación.
25. .
f
de las
x dx . x scc? 2" 2
26. ,fx
e05
siguientes
36.
2 x dx .
37.
integrales.
x are tg x d x .
j'
(ex
+ 2 x)
(2
+ X2)
eosxdx.
38.
28, •[are
sc n mx d x .
39. f
T
are etg
30.
f
are eos ~
3I.
j'
are see
32. f
33.
f
34. fX3
35.
x 42. f e3'x eosTdx.
dx.
J
3 x dx 5-2x2'
d B,
+ b)d~
3.
j
4.
fxeos2xdx.
6.
,
V
(2
_
.
x2
se n xt de.
, S .y
(4 x
x2
+ 3) dx . +4 x +8
1-
c4 eos
-45. ft e
TII
dt .
;{ I 4
sen
46. ,fese311
x2
vx
J
44.
137. Observaciones, La integración ción más difícil que la diferenciación. sencilla en aspecto como
calcular;
'
43. fe-~eos2Idl.
fxaresenxdx
no se puede
dx .
dq,
/5
5 - 2 x2'
'(ax
2
f
eos
[ ,V
2.
dx .
2
4I. f
are sen x dx .
VI -
3 x dx
dx .
;
el valor de cada una por diferenciación.
l.
3
X
r:
are se n ~
Hallar resultados
x2
40. fe-o
are ese ni di.
PROB
los
V; dx .
a re tg
dx .
J
y
y comprobar
J' .f
27. fx2
29. f 11
una
11
INTEGRAL
4dr.
d B,
es, en general, En efecto, una
una operaintegral tan 12. f(e2X-2x)2dX.
fvx
sen x dx
es decir,
no hay
ninguna
función
elemental
cuya derivada sea sen x. Para ayudar en el cálculo de integrales se han preparado tablas extensas de integrales ya resueltas. El Capítulo XX VII de este libro es una tabla de esta clase. El uso de esa tabla se explica más adelante, en el Artículo 176. Aquí basta seíialar que los métodos hasta ahora presentados son adecuados para muchos problemas. En capítulos posteriores se desarrollarán otros métodos.
14.
15.
f f
sen2
(IX
(OS
ax d x .
se n 2 ax cos? ax d.\
16. fIn
(1 -
V-:C)dx
http://carlos2524.jimdo.com/
275
INTEGRACION PROBLEMAS DIVERSOS
Hallar el valor de cada una de las siguientes inte gr ales, y comprobar los resultad os por difer e nciación. 1.
2.
' 3 x dx JV 5 - 2
17.
,
j
'53- x 2xdx
X2
18 .
2 '
3 . 5 ( ax+b)d~.
...¡ c 2
X2
-
19 .
4.
j'x cos 2 x elx .
20 .
5.
j
21.
6 .,
'(4X+3)elX x"+4x+8 '
' fV
' J
7. ,
f
(a 2 _
dx X2)
el.\" X2 - 6 x
14.
f f f
15 .
fs~ n 2
13 .
16 .
j ,
%.
+ 10'
(e 2X
-
2 X)2 elx .
e) 2 de.
ctg
x3e1x
V X2
'
+1
elx --;===0== V X2 X3
' f
x3 elx
V 1-
.
X2
'x 3 elx x - l'
J
22 . ,
23 .
26 .
27.
12.
f
+
(4 x 3) elx x2+4x+¡)'
24 .
10.
j' (2 tg 2 e ' 4x tlx j 1-4 x. '
28.
,
' JV
4 x elx I - 4 x,
5
6 2/ ceas 3 I dI.
j j
'sen
4
O
5 de .
' (I-CSC 2
21)c!1
1"+etg2¡
SI \j
are se n x dx . 1-
X2
elx eL -
4 e - x'
sc n 2
(I X
5
In
(OS
ax d x .
ax eos 2 ax d.\".
(1 - y'-;)dx.
30.
3 1.
32.
f f f
y'
5 tlx x+ l'
X2 -
x 3 are tg
(e'
f
+ sen
d.\" .
x)
2
dx .
http://carlos2524.jimdo.com/
276
CALCULO
33. feX-COSX)2dX,
34. f
35.
36.
f
(i
+
tg x ) 3dx.
se n () «o (1 - COSO)3'
J(¡
+sent)3dt cos t
INTEGRAL
37. fe-tsen
38.
fsen
2 t dt.
2
e
cos 3 () dlJ.
39. fsen
ep se n 4 ep dsp .
40.
(1 cos 2
fcos
(1
da.
CA CONSTAN1
138. Determinación de 1 condiciones iniciales. Como constante de integración pi conocemos el valor de la il variable. En realidad, para gración es necesario tener alg rencial que se ha de integrar EJ EMPLO. y tenga
el valor
Solución. Ahora
una f unc x =
Hallar
12 cuando
+
- 2.\
(3.\2
5)
bien.
J (3 x· - 2 x :
siendo C la constante de integra este resultado debe ser igual a 12
12 = l - 1Por
tanto,
x3
-
.\.
+
5 x
+
139. Significado geomét cado geométrico de la constr EJ punto
FMPLO
tenga
Solución.
l. Determinar de pendiente 2 .r. Puesto
c ua lqu ie r a es dy dx /
o sea,
que la pe
tenemos,
po
http://carlos2524.jimdo.com/
CAPITULO XIII CONSTANTE DE INTEGRACION 138. Determinación de la constante de integración por medio de condiciones iniciales. Como se ha indicado en el Artículo 127, la constante de integración pued e hallarse, un caso dado, cuando conocemos el va lor de la integral para algún valor pa rti cu la r de la variable. En realidad, para poder determinar la constante de in tegración es necesario ten er algun os datos a demát; d e la expresión diferencial que se ha de integ ra r . Ilu stremos esto con un ejemplo.
en
EJEM P LO. Hallar un a función cuya p rim era derivada sea 3 y tenga el va l or 12 cua ndo x = l.
Soiución.
(3.\"2 - 2 x
+ 5) elx
X 2 -
2 x
+ 5.
es la expresión diferencial por integrar.
Ahora bien .
f
(3
X2 -
2x
+ 5) el"
=
x3
-
X2
+ 5 x + C.
e
sie nd o la constante de integración. P or las condiciones de nuestro problema. este resultado debe ser igu al a 12 cuando x = 1; es decir. qu e 12 = I Por tanto.
x
3 -
,,2
+5x
+ 5 + C. o sea. que e = + 7 es la f unci ó n buscada.
I
7.
139. Significado geométrico. Ilu straremos con ejemplos el 'i ign ificado geométri co de la constante de integración. EJ FMPLO l. Determinar la ecuac ió n de la curva c uya tangente punto ten ga de pendiente 2 x . Sol n ción.
~ u dlq uierJ es
(dela
Puesto qu e la pendiente de la t a ngent e a una curva en un p unto dy dx'
te nem os. por hipótesis. ely ,I.\'
o sea.
~n
=
2
X.
dy = 2 x dx .
http://carlos2524.jimdo.com/
278
CALCULO
fx
Integrando.
y = 2
(l)
y = x2
siendo
e
la constante
p dx ,
o sea.
+ c.
de integración. Ahora res. digamos ecuaciones y = x2
--rr-'~--=~""-....,f-+r-----;;x
CONSTANl
INTEGRAL
Las siguientes expresiones se i cada caso. hállese la función p.
e
bien: si damos a varios 6. O. - 3. entonces (1)
+ 6.
y =
valoda las
y=x2-3.
X2,
103
2
cuyos lugares geométricos son parábolas (figura 103) con sus ejes en el eje de las y y que cortan a este eje a las distancias 6. O. - 3. respe c t iv a me n t e , del origen. Todas las parábolas (1) tienen el mismo
2.
6 2
5.
t
valor
6.
scc?
de dy; es decir. tienen la misma dx ción (o pendiente) para el mismo valor Se advertirá también que la diferencia
d.re cde x . de sus
ordenadas permanece la m ism a para todos los valores de x . Por tanto. todas las parábolas pueden o b te n e r se trasladando una cualquiera de ellas a lo largo del eje de las y. puesto que en este caso el valor de no afecta la pendiente de la curva.
Si en este ejemplo imponemos la condición adicional de que la curva pase por el punto (l. 4). entonces las coordenadas de ese punto deben satisfacer (1). lo que da 4 = I C. o sea. e = 3. Luego la curva par t ic u la r que se pide es la parábola y = x2 3.
+
EJ EMPLO 2. Hallar la ecuación de una curva quiera de ella la pendiente de la tangente sea igual ordenada.
+
tal que en un punto cuala la razón de la abscisa a la
cambiada
de signo.
x - 3 3 + x - 5,,2 3. y3 _ b2y 4. se n 8 + cos O I
I
-2-
dy
=
dx x
o sea.
separando
del
problema
x2
8.
bx '
9.
2
+ ax + 4
. r:
Integrando.
10.
ctg 8 -
11.
3 t e2t
Esta ecuación representa coa ~I centro en el origen.
o sea. una familia
x2
12. 13.
15.
de circunferencias
y2
=
2 C.
concéntricas
(fig.
+
+
y'2 = 25.
8
Y2 O
Sol.
m. X •
x2 y X
y2'
3 x2•
18.
7'
l
x y
':L. x
21.
b2x 112y'
22.
-
23.
I +x I - Y
104)
Si se impone la condición de que la curva debe pasar por el punto (3. 4). entonces 9 16 = 2 C. Luego la curva pa r t ic u la r que se pide es la c irc u n Ie re nx:?
ese?
2
17.
19.
+
4
Hallar la ecuación de la f rmil tiene el' en un punto cualquiera
20. 104
b
I
t+ VI
V
las variables.
y dy = - x d x .
Ci.1
a
+a
7.
16.
x y
o
1>
l
Y Solución. La condición se expresa por la ecuación
-:
t
+ tg
1>
14.
y
Fig.
Valor de cariub,
D@riuada de la i u nci on 1.
e
Fig.
función.
b2x -¡;i'y'
http://carlos2524.jimdo.com/
27 9
CO N STANTE D E IN T E GR ACIO N PROBLEMAS
La s si g ui en tes ex pr esiones se han obte nido d e ri va nd o cie rta s fl\n cione s . E n ca d a caso, h á ll ese la f un ción p a r a los va lor es d ados d e la va ri a bl e y d e la funci ó n . Val or de la \falo r co rr es Du i uada Soluc i ó n uariable pondie n te d" l a de la fu n ció n función 1.
x - 3
2. 3. 4.
3
5. 6.
+
2
5xe
6
!/ " - b !/ se n O + cos O I l
2
x 2
2- t
t
se c 2 1> + tg 1>
7. _ _ 1_ X2 a2
+
8.
bx 3 +a x+4
9. v r+-IVI 10. 11.
Yz lt
ct g O - csc 2 O 3 te
2t
"
O
Yzx2 - 3x + 13. 304 + 3 x + Yz X2
9 - 20
b 2!/ 2
2
se n O - cos O + 1.
o
In ( 2 t -
5
t2)
-
%x 3 •
+ 2 b2 -
O
4.
•
t g l' + In sec 1> + 5.
..!....arctg .::.+~ .
a
a
a
b
10
4
o
Yzlt
3 4
O
l~
~4 !/4 -
4 a
H all a r la ecu ac ión de la familia d e c ur vas tal es qu e la pe ndi e nte d e la tang e nt e en un p unt o cu alqui e ra tiene el val o r q ue se indi ca. 12.
m.
13 .
x.
S ol.
R ecta s , y =m x+C. P a rá bola s , y =
H.
Y2
Pará bo la s, Yz!/2
X2
=
+ C.
X + C.
P a rábol as se mi c ú b icas,
Yz
y2
16.
P a ra b o la s semicúbicJs ,
Yz
y' =
17.
Par á bo la s cúbi cas,
y = x3 + C.
18.
P a rábo la s cú b ica s.
Y:< y:J = x + C .
15. !/
19.
x y
20.
- JL.
Hi pé rb o las equil á te ra s,
21.
b2x a 2 y'
Hip é rb o las.
22. 23 ,
Hip é rb o las equil á te ra s , y2 -
x
b " X2 -
Yz
", 2
=
xe + C.
C.
x y = C.
a"y2 =
C.
b2x a 2 y'
I +x
-¡-::Y'
Cir c un fere n cias,
.\'2
+ y2 + 2 x
C
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO
280
CONST
INTEGRAL
En cada uno de los siguientes ejercicios. hallar la ecuación de la curva cuya pendiente en un punto cualquiera es la función dada de las coordenadas. y que pasa por el punto pa r t ic u l a r asignado. 24.
x;
25.
4 y;
26.
2 xy;
(1,
So/.
1).
(1.
1).
xq;
28.
y+
x
+
r:
In y = x2
48.
b -
x h'
29.
y -
30.
Y. x2
31.
yV~;
32.
4 xu 4x2-15'
33.
y 2;
(y+I)2=
1).
+
(O. O).
x2
1).
x In u = x -
y2
3 In y
(2,
37.
(1. 9).
38.
x - 3
¡-=--y;
(3.
3;
y -
¡+ + 2 3
x ,
41. cuando 42. cuando
=
O.
. 4'
(l.
Se dan dy x = 3. Se dan
-
En
cada
punto
2). (2 x
V
dA
15.
=
(4. 2).
(1. 50.
O) con inclinación Hallar
d
la ecuación,
Según ({
51. Hallar la curva del Articulo 43).
cu
52. tacto.
cu
6).
(2.
y
~y-I;
40.
+ 1) d x ,
2 px
dx
,
X
Y = 7 cuando
A
= p2
3
cuando
(3.
Hallar
53. Hallar R cuando
=
la curva
la curva x
e os? y;
(4,
x = l.
Hallar
x =
S UGESTION.
5).
Y4
c
= O.
E-. Hallar 2
So/.
de y 17.
el valor
de A
Sol.
43. Se dan d u de !J cuando x = 8.
x
=
V
100 -
44. cuando
Se dan dO O = % rt ,
45. cuando
Se dan t = 2.
46. sabiendo
En cada punto de cierta que pasa por el punto
x" d x ,
cos 2 O dl),
0=6
tV4t+l
dt, s
y
O cuando
c u a n do O
=
O cuando
x = O.
Y!
zt,
%
p2.
Hallar el valor Sol. 78%.
Hallar
t = O. Hallar
Según el .
re) . el valor
x = 2 p.
ds
de
8) .
y'
x - 2
+
que pas
O). 39.
x!J
de ,
l.
ex V~
= 2
4-x
2
\
x2
2 h x - 2 ky
-
4 x' - y2
1).
(1, 4).
34.
36.
punto
SUGEST10N. (4.1).
x
35.
En cada
+1)2+3.
(x
to
(l.
•
de
2.
49. (O.
punto
de la curva sabiendo en ese punto.
9.
-
y=2e
(O. 2).
l.
cada
curva sabiendo que pasa po recta 6 x + !J = 6.
In y = 4 x - 4.
",2 -
En
2y=x2+1.
(3. 1).
27.
47.
el valor
de ()
el valor
de s
curva es y" = x . Hallar la ecuación de la curva (3. O) y tiene en ese punto la pendiente y;. Sol. 6 t) = x" - 6 x - 9.
54. Ha!la r las ecuacion mal es proporcional al cuad 55. Hallar la ecuación vector y la tangente es la m
56. Hallar las ecuacic radio ve ct o r y !J tangente e
140. Significado fü guientes ejemplos ilustn la, constan te de integrac E.J EM PI.U mueve
en línea
l.
Hallar
I.
re ct a con
al
http://carlos2524.jimdo.com/
CONSTA N TE DE IN TEGRACIO N 47 .
_ .-12 · a cur v a es y " E n ca d a p unto d e Ciert x3
28 1
H a llar la ec ua ció n d e la
cur v a sab iendo que pasa por el p unt o ( 1, O) y es ta n ge nte en ese punto a la recta 6 x y = 6. 50[. xy 6 x 6.
+
48.
+
En cada punto de cierta cur va es y"
3
=
v
x
+
Hallar la ecuació n
3
de l a curva sabi endo que pasa po r e l p unto (1, 1) y tien e un a inclina ció n d ~ 45° en ese p unto .
y"
J...
49.
En cada punto de cierta c ur va es
50.
H a ll a r la ec ua ción de la cur v a c u ya s ubn orma l es constant e e igu al a 2 a.
La cun' a pasa por e l p unx to (1. O) co n in clinación d e 135° . H a llar s u ec ua ción . =
Sol . SUGESTION.
Según (4) del Artículo .+3 , la
y2 =
+ C,
4 ax
sub norm~1
una parábola .
es i g ual a y e/ y . dx
51. H a llar la cur v a cuya s ub ta ng e nt e es co nstante e ig ual a a (véase d el Arti c ulo 43). Sol . a In y = x
(3)
+ C.
52. t acto. 53. y =
Hallar la curva c u ya s ubn orma l es i g ual a la abscisa d e l p unto d e conSol. y2 - X 2 = 2 C, un a hi p é rbola eq uil áte ra. Hallar I·a cur v a cuya normal es co n stante
R cuando x = O.
SUGESTlON . y
Sol.
( = R ) , s u po ni en d o que X2
+
y2 =
R2 ,
un c írc ul o .
Según el Artíc ulo 43, la lon g itud de la norma l es i g ual a
~l + (~;r.
o sea, dx =
±
(R2 -
y2)
-J~
Y dy.
54 . H a ll ar las ec u aciones de las cur v a s en las que la lon git u d d e la s ubnormal es proporcional al cuadrado d e la ordenada. Sol . y Ce k L . 55. H a llar la ec uaci ón d e l a c ur va en la que el á n g ul o qu e fo rm a n el radio vecto r y la tangente es la mitad d e l á n g ul o pola r. Sol. = e ( 1 - co s O) .
º
56. Ha ll ar las ec u acion es de las c ur V,IS en las que e l áng ulo que forman cI rad i o vecto r y b tangente en un punto cualquiera es n veces el á n g ulo p o lar .
S o l.
Q/1 =
e sen nO.
140. Significado físico de la constante de integración. Los Si gu ientes ejemplos ilustra rá n lu q ue se ellti ende por sig nifi cado I'ísico de la. const::m te de integración. E.J EMPI.U l. Hallar l as leyes q u e ri g en el mO " lm ient o de un pUIlLO que se mueve e n linca recta con acele rac i ó n co nSl il ntc.
http://carlos2524.jimdo.com/
282
CALCULO
Solución.
Puesto
es constante.
digamos
que
INTEGRAL
la aceleración
o sea.
d
(1)
c
= f
u =
Para de t e r rn i n a r e, supongamos sea u = Uo cuando I = O. Esos valores, sustituidos en (1).
e
o sea, se convierte
Integrando.
Integrando.
di.
inicial
la veiocidad
UD;
Condiciones
+ e.
O
= uo·
del Art.
es decir,
1-0
+ Vo.
s
Pero
Vo
So
ds
(3)
s -
Para determinar e, supongamos sea s = so cuando I = O. Esos valores, s u s t it u id os en (3).
(2)
de
(3)
se convierte
v I
entre
estas
Vo
(e) y
según
sea
so,
Vo co
dx=vocoI
Integrando. (6)
e
d
es decir.
dan o sea,
(D)
di
inicial
la distancia
vo cos
dx
+ e.
I
= Uo cos
vx
o sea. que
obtenemos
x = Vo cos a . 1+(
Para determinar e3 y C,. Susti tu yendo esos valores
so·
(7) (8)
los valores f = g. Va = O. so = O. s = h , obde un cuerpo que cae en el vacío partiendo del = gl
Y
h = Yz g12.
ec u a c io ne s,
EJEMPLO 2. Estudiar el movimiento inicial vo. siendo o. el angulo de tiro
Solución. Tomemos como horizontal y OY del origen.
corn po:
Integrando,
S=Yzft2+Vol+So.
Sustituyendo en (2) y (4) tenemos las leyes de! movimiento rcposo, a saber.
dad
di.
en
(4)
Eliminando
+
Vo sen a
el
Pero.
Yz i t?
co m p o:
(5)
+ Vo
i t di
Vo cos a
Luego.
+ vo.
so=o+o+e, Luego
I
y
obtenemos
16co:
----
---
di o sea,
o
iniciales
u
I
51).
= it
':!¡;,
sea
dan
v = it v = cJ..2 «(e) di
Vx =
+ e.
fl
en
(2 ) que
Supongamos que sólo la este caso la aceleración será ( vertical. Luego. según (F)
59 ]
di d
que
Uo =
Puesto
del Artículo
(A)
t.
di
(1)
según
= ~~.
i , tenemos du
Luego
[
CONSTl'
el plano XOY como vertical;
tenemos
Eliminando
I
=
de un proyectil y despreciando como el plano y supongamos
V
(7) y
(9) Esta ecuación. del proyectil.
v
entre
que rep rese
2 gh. que tiene una velocila resistencia del aire.
del movimiento. que el proyectil
OX parte
En los siguientes problem entre s y t. si s = 2 cuando 1.
v
2.
v=
=
a
+ bt .
vi=!.
http://carlos2524.jimdo.com/
283
CONSTA N TE D E I NTEG RACIO N
Supongamos q ue sólo l a f u erza d e la g ra ve dad i nflu ye e n el proyect il. En este caso l a aceleración será cero en e l sentido h orizonta l y - 9 e n el sentido ve rti ca l. L u ego , segú n (F) del Artículo 84, dUr =
O
de
duy= _g, dI
y
In teg ra nd o, y
x
Fig . 105 Pero
compon ente hori zo ntal de l a ve locidad ini ciaL
Uo cos u
y
se n
Uo
Cl
L u ego,
( 5)
component e ve rti ca l d e la " clocidad ini cial.
(J.
=
U.Y
Uo
cos
(1
Y C?
Uo
cos
U
y
Uy =
Pero, seg ún (C) y ( D ) d e l Ar t. 83, dx de
o sea,
dx
Uo
=
U
+C
3
-
gl
=
Ux
se n u.
d x y Uy de
+ Uo
= _
ge
dI Y d y
= -
ge de
y
lo que da
+ Uo
dy dI
cos u cos
Uo
Uo se n u ,
=
=
d y; por ta nt o (5) da dI
sen u,
+ Uo se n
u dI.
Int egra ndo , obtene m os
(6)
=
x
Uo cos u· e
y
y
= - Y:í
gl~
+ Uo
sen u· e
+ C4.
Para d ete rminar C 3 y C., observamos que cuando e = O, x = O Y Y = O. Sust it u ye ndo esos v alores e n (6), tenemos C 3 = O Y c. l = O. Lu ego,
(7)
x = Uo cos u . t,
(8)
Y = -
Yz
Y
+ Uo
gl2
se n u . l.
E limin ando t entre ( 7) y (8), obten em o s
(9)
y
.
=
-- g~ . 2 2
x tg u -
2
U0
COS
U
Esta ec u ac ión, que repres en ta un a padbob, es la ecuación de la I ral/cctoria de l proyectil.
PROBLEMAS E n l os s ig ui entes probl e ma s se da l a relac ió n entre en t re s y 1, s i s = 2 e u a n d o t = 1. 1.
u
= a
2.
u
=
+
b/.
vlt=!.
So l . 3.
U
y /.
s = a( t - 1) +
u
=
12
+~. 2 1
Hallar l a rcl ac i ó n
Yz
/;( t 2 -
1) +2.
http://carlos2524.jimdo.com/
284
CALCULO INTEGRAL
En los siguientes problemas se da la expresión para la ac eleraci ó n. rel aci ó n entre u y / . si u = 2 cuando / = 3. Sol.
5.
'Vt + 3.
6.
u = 4 ( -
- 32.
8.
4 - /.
(3
-
l.
H all ar la
s =20( -1 6/ 2 •
Sol.
9.
Ya
rz-r.
E n los si g ui entes p ro bl em as se da la ex pr esió n para la ace lerac ión. relación en tre s y / si s = O. u = 20 cua n do / = O. 7.
Hallar la
- 16 cos 2 (.
1 0 . eCon qué ve locidad dará una pie d ra en el s u elo si se d eja caer desde lo alto de Un edificio d e 40 metro s de a l t ur a? (q = 9.8.) Sol . 28 m por seg und o . 1 1. ¿ Con qu é ve lo cidad da d la p ied ra del problema lO e n el s uelo si se ha a rrojado h acia a ba j o con ve l oc idad d e 5 m po r seg u ndo ? ¿ Y si se ha a rrojado h ac ia arr ib a ca n veloc ida d d e 5 m por se g un do? S o l . 2 3 .~4 m po r seg u ndo. 12. Un a pi edra se d ejó caer desde un g lob o que ascenclia a la "clocidad de 5 m et ras por seg un do . La p iedra l legó a l su elo en ~ seg undo s. ;Q ué altura te n ia el globo cuando la p iedra se d ejó caer: Sol. 273 . 6 m . 13 .
En el pro blema 12. si el g lobo hubi ese estado bajando a la \'C loci d ad d e ¿c u ~nto ti empo bubicL1 lardado la piedra en Il eg.lr al s uelo' Sol . 7 segu nd os.
m por seg und o.
14. Un tren parte de Una estación d e f e r ro ca rr il. S i s u ace leració n es de 0 . 15 0.006 ( m por segundo po r segundo. ¿q u é d ista n cia recorrerá en 20 se So/. 38 metros. g u ndo s?
+
15 . U n c uerpo q ue se d es l iza h J cia ab ajo so bre ciert o pla n o i n cl in ad o es tá sujeto a una aceleración de 1,2 m por segu n do po r segundo . Si se pOnC en m ov i miento hac ia arr i ba en el pla n o co n veloc i dad d e 1.8 m po r se g undo. a) ¿a q u é di sta n cia ll ega rá Cn / seg undos ? b ) ¿a qué distan cia llegará antes d e de's lizarse hacia atrás ' So l. 1.3 5 metros . 16. Si el p la n o in cl inad o del pr ob lema 15 ti e ne 6 m de lar go . y el cuerpo se pone en mOl'imiento desde lo m ,Ís bajo , ¿c u á l d ebe ser l.1 vdoc id aJ iniei.ll pa ra q ue el c uer po ll eg u e j us tame n te ha st:! lo m.í s alto?
S o l.
1.2
y-¡o
m por se g u ndo.
17. Una p elota se la n za del su elo hac ia .ur i ba. E n u n scg u nrlo l lega hast a un a al t ura de 2') Ill. ¿ Cu.í l será la máx i ma a l t u ra ,l l,anzada' 1 8 . Un proyecti l se di spara contra un a pared vertical s ituada a un :: di sLlncia de 147111. La ve locida d i n icial es 49111 p o r segun d o.
al
s;
u = 45 ° . hallar la altu ra del impMto del
p(Qy~Clil
e n L1 pared .
Sol.
58 .8 111.
http://carlos2524.jimdo.com/
CONSTANTE DE lNTEGRACION b) pared. c)
285
Hallar u de manera que el impacto del proyectil esté en 13 base de la Sol. 18° ó 72°. Hallar
(i.
d e manera que el proyectil dé en la pared a la altura de 24,5 m. Sol. 29° ó 70 0 •
d) Hallar a. para la máxima altura del impacto en la pared, y calcular esa altura. Sol. 59° ; 78,4 m.
19. Un cuerpo se mueve con velocidad variable u; su aceleración es -hu 2 , siendo k. constante. Si Uo es la velocidad cuando t = O, demostrar que
u
J.... -\-
uo
kt.
20. Dentro de ciereas limitaciones de velocidad, la resistencia del aire en un automóvil es proporcional a la velocidad. Por tanto, si F es la fuerza neta generada por el motor, tenemos M du = F - ku. dt función de t, sabiéndose que u = O cu a ndo t = O.
Expresar la velocidad en
Sol. PROBLEMAS
u -
kl
~
(1- e-M') .
ADICIONALES
1. En un cuarto a la temperatura de 20° se observa que un líquido tiene una tempcrotura de 70 0 ; d esp ués d e 5 minutos. de 60 ° . Suponiendo que la rapid ez de enfriamiento sea proporcional a la diferencia de las temp e raturas del líquido y del cuarto, b a Ilar la temperatura del liquido 30 minutos después de la primera observación. Sol. 33, l ° . 2. Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (a, O) y cuya sub· tan ge nte en coordenadas polares es n veces la longitud del radio ve ctor corres · pon diente. e Sol. Q = ar".
3. H a lJ:¡r la ecuación de la curva que pasa por el punto I, a, O) y cuya sub· norm a l polar es n veces la longitud del radio vector correspondiente.
Sol.
Q=ae·,, 8.
4. Una partícula se mueve en el plano xy de manera que las componentes de l a velocidad paralelas al eje de las x y al eje de las y son, respectivamente, hy y Í1x. Demostrar que la trayectoria es una hip é rbola equilátera.
5. Un cuerpo que se lanza desde lo alto de una torre bajo un ángulo de 45 ° arriba d e l plano horizontal, cae al suelo en 5 segundos , en un punto cuya dis ' tancia horizontal del pie de la torre es igual a la altura de ésta. Hallar la altura de la torre (q = 9.8j. Sol. 61,25 m. 6. Un móvil parte del origen de coordenadas. y después de 1 segundos lo componente x de su velocidad es t 2 - 4 Y la componente lj es 4 l.
a)
Hallar la posición del m óv il después de 1 segundos. Sol. x = Y:í 1"
4
1,
Y
http://carlos2524.jimdo.com/
286
CALCULO INTEGRAL
b)
Hallar la distancia reco rrida en la tray ec toria.
e)
Hallar la ecuación de la trayectoria.
Sol.
72
Sol . X2 =
y3 -
s =
48
Ya
(3
+ 4 (.
y2
+
576 y.
7 . Obtener l a ecuación de una curva en la que la lon git ud d e la tan gente (A rt. 43) sea constante (= c) . SUGESTION. Elegir el sig n o menos en el problema 2 (a) de la página 104 y suponer que y = c cuando x = O.
Sol.
x
8. Para cierta cu rva es a 2 ds = to (a, O). Obtener su ecuación.
Q3
=
c
In ( e
+ V~ ) - V c2
_
y2.
de (Art. 96) ; la curva pasa por el pun Sol. Q2 = a 2 sec 2 e.
http://carlos2524.jimdo.com/
CAPITULO XIV
INTEGRAL DEFINIDA
141. Diferencial del área bajo una curva. continua cP (x) , y sea y = grac ión, puesto que s iempre desa pa rece en la sus! racc ión . La pJ labra " I imil e" u sa d ,1 e n ,s i r ( a so n o repr ese nra m,i s qu e e l I'a l or de la var i ab1c en un ex tr t>mo d~ s u ill (l' r \,.1 ! o d ~ vJ ria c i ón (\' alor ~ xt [ e 1llo ), y no d e be co nfundirsc co n el s i g nifi CJuo d c l., mism.1 p:liab ra r n iJ reo ría d e l os limiI CS. A l g un os a Ul o r es, para ev i l,H cu n fusiones. prctierc n cmple.1r I.1S palJbr,1s "C Xlrem o in fer io r" y "CXlrcm o s up e ri o r ' . l' (x) es conlinua y uni forml' -7+'"
X2 + 4 a
l'
=
lím b-7+'"
O
3
a dx = l 1m ' [4 a 2 a rc t g x- ] b X2 + 4 a 2 b-7+ '" 2a o
[ 4 a2 arctg~ J = 4 a2.~=2¡¡a2. 2a
2
Int e rpretemos es te resultado geométricamente. La gráfica de nuestra función es la CUrva llamada la bruja , o curva de Agnes i (f ig. 117), dada por la ecuación
( ú 8 a d x = 4 a 2 arc tg ~. Jo x 2 + 4a 2 2a 3
Area OPQb =
Fi~ . 11 7
"-
Luego, cuando la ordenada bQ se mueve indefinidamente hacia la derecha, el área OPQb tiende h a cia un l imite finito 2 ¡¡a 2 • EJE MPLO 3. Solución.
Hallar .( 1
~dx JI x
:
+00 d x -
x
.
Iím- -( b dx = lím (In b). b-7+"" JI x b-7 +'"
No ex iste el límite de In b cuando b aumenta sin límite: por tanto , la in teg ral n o tiene sig n ificado en este ca so.
154. Integrales impropias. Cuando y = cf> (x) es discontinua. Consideremos ahora casos donde la función para integrar es d iscontinua pa ra valores aislados de la variable dentro de los límites de integración.
http://carlos2524.jimdo.com/
306
CA LCULO INTEGRAL
Con sideremos, en primer lugar, el caso en que la función para in tegrar es continua para todos los valores de x entre los límites a y b, con excepción de x = a. Si a < b Y E es positivo, empleamos la siguiente definición:
( b (X l )~ XI
+ cf> (X2 )i1 X2 + .. . + cf> (XII )i1x" = ¿A (Xi )~Xi . ;= 1
Entonces, el valor límite de esta suma cuando n tiende a infinito, y cada I>ub intervalo hende a cero, es igual al valor de la integra l definida
La igua ldad (A) pued e a breviarse Como sigue : n
( 3)
l b (x)dx
Ju
= Iím LeI> (X ;)dX¡. n ----7~ i = 1
La imporLancia de este teorema resu lta del hec ho que así podemos calcular, por integración, 1lna magnitud qlle sea el Umite e/cuna su ma de/aforma (2). Puede obse rvarse qu e cada término de la suma (2) es una ex pre sión diferencial, puesLo que las longitudes i1Xl) fj.Xt, ... ) d-t " tienden a cero. Además) cada término se ll ama un elemento de la ma g nitud qu e se trata de calcular .
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO INTE GRAL
3 12
La siguiente regla será muy ú til en la aplicación de este teorema a Jos problemas prácticos. REG LA PAR A APLICAR EL TEORE MA FU~DAME~TAL P RIMER PASO. Se divide la magnitud buscada en partes semejantes de manera que sea claro que el resultado deseado se encuentra tomando el límúe de una suma de esas partes. SEGUNDO PASO. P ara las magnitudes de estas partes se hallan ex presiones tales que su suma sea de la forma (2). T ERCER PASO. Elegidos los límites apropiados, x = a y x = b, se aplica el teorema fundam ental
y se integra.
157. Demostración analítica del teorema fundamental. Como en el Artículo 156, divida mos el intervalo desde x = a hasta x = b en cualquier número n de subintervalos, que no necesitan ser iguales, y representemos las abscisas de los puntos de división por
y las longitudes de los subintervalos por ~x ¡, ~X2, . . . , ~Xn . H agamos a hora que xI ¡, X' 2, . . . , x'" representen abscisas, una en cada interx o valo, determinadas por el teorema del valor medio (Art . 116 ) ; levanFig. 123 temos las ordenadas en los extremos de estas abscisas y tracemos por los extremos de las ordenadas líneas horizontales para formar rectángulos, como se indica en la figura 123. Obsérvese que aquí rf> (x) reemplaza a f' (x) . Aplicando (B) del Artículo 116 a l primer interva lo Ca = a, b = b¡ Y Xl¡ está entre a y b¡) , tenemos ffb¡) -fea) =,I.( ') '1' X J , bl - a o sea , puesto que
http://carlos2524.jimdo.com/
LA INTEGRACION COMO SUMA
313
Igualmente,
J (b2)
-
J (bl) =
cf> (XI2)~X2,
J (b 3 )
-
J (b2) =
cf>
J (b) - J (bn-I) =
para el segundo intervalo,
(X'3 )~X3 , para el tercer intervalo,
cf> (X'n)~Xn,
para el enésimo intervalo.
Sumando éstos, obtenemos (1)
Pero
J(b) -JCa) cf> (XiI) . ~XI cf>
(X'2)·
= cf>(xll)~XI+cf>(xI2)~X2 + .. . +cf> (X'n)~X" . = área del primer rectángulo,
~X2 =
área del segundo rectángulo, etc.
Luego el segundo miembro de (1) es igual a la suma de las áreas de los rectángulos. Pero según (1) del Articulo 156 el primer miembro de (1) es igual al área entre la curva y = cf> (x), el eje de las x y las ordenadas en x = a y x = b. Entonces, la suma
"
(2)
.L cf> CX'i)~X; i= 1
es igual a esa área. Y si bien la suma correspondiente
"
(3 )
.L cf> ;= 1
(Xi
)~Xi (en donde
Xi es una abscisa cualquiera del subintervalo ~Xi)
(formada como en el Articulo 156) no da igualmente el área, sin embargo podemos demostrar que las dos sumas (2) Y (3) tienden a ser iguales cuando n tiende a infinito y cada subintervalo tiende a cero. En efecto, la diferencia .p (x';) - (Xi) no excede en valor numérico a la diferencia de las ordenadas más grande y más pequeña dentro de ~Xi. Y ademá,s siempre es posible * hacer que todas estas diferencias sean , en valor num éri co, menores que un número positivo cualquiera E dado de antemano, por pequeño que sea este nÚlllero, si continuamos suficientemente el proceso de la subdivisión; es decir, "i elegimos n suficientemente grande. Por tanto. para tal elecc¡ón de n la diferencia de las sumas (2) Y (3) es menor que E (b - a) en valor numérico; es decir, es menor que una cantidad positiva cualquiera dada de antemano, por pequei1a que se la suponga , Por consiguiente, cuanclo *
La d emostración puede verse en obras s uperiores de Cálcu lo infinitesimal.
http://carlos2524.jimdo.com/
314 .
CALCULO INTEGRAL
n a umenta indefinid amente, las sumas (2) y (3) tienden hacia el mismo lími te, y puesto que (2) es siempre igual al área, se sigue el resultado fundamental
en donde el in tervalo [a, b 1 se subdivide de cualquier modo y una abscisa cualquiera del sub int ervalo correspondien te .
Xi
es
158. Areas de superficies limitadas por curvas planas; coordenadas rectangulares. Como ya se ha explicado, el área entre una curva, el eje de las X y las ordenadas correspondientes a x = a y x = b viene dada por la fórmul a
(B)
Area =
i
b
y dx,
sustituyéndose de la ecuación de la curva el valor de y en términos de x. La fórmula (B) es fácil de recordar ·observando que el elemento de área es un rectángulo como CR (fig. 124) de base dx y altura y. El á rea buscada ABQP es el límite de la suma de todos esos rectángulos (tiras) entre las ordenadas AP y BQ.
Fig. 124
F ig . 125
Apliquemos ahora el teorema fundamental . (Art. 156) al cálculo del área de la superficie limitada por la curva x == cp (y) (AB en la figura 125), el eje de las y y las líneas horizontales y = e y y = d. PRIMER PASO . Construiremos los n rectángulos como en la figura. Ev identemente , el área que se busca es el límite de la suma de las áreas de estos rectángu10s cua ndo su número tiende a infinito y la altura d e cada lino tiende a cero.
http://carlos2524.jimdo.com/
LA INTEGRACIO N COMO SUMÁ
315
SEGUNDO PASO . Representaremos la s a lt uras por I'J,.Yl, I'J,.Y2 , etc. Tomaremos en cada interva lo un punto en la extrem idad superior y designaremos las ordenadas de estos puntos por yl, y2, etc. Entonces las bases son
1 . Si 11·1 < 1, entonces r n disminuye en valor num érico cuando n aumenta, y lím (r n ) = O. n""'¿oo
Lu ego vemos por la fórmula (2) que (Art. 16 ) (3 )
lím Sn
n""'¿ oo
= 1~. r
Por tanto , si 1 r 1 < 1 la suma Sn de una serie geométrica t iende hacia un lími te cuando el número de términos aumenta in definidamente. E n este caso se dice que la serie es convergente. Si Irl > 1, en tonces rn se hará infinito cuando n aum en ta indefini damente (Art. 18). Por ta nto, de la segunda fórmula de (2), la suma S", se ha rá infinita. E n este caso se dice que la serie es divergente. Un caso especial se presenta si r = - l. E ntonces la seri e es (4 )
a-a+a-a+a-a
Si n es par, la suma es cero. Si n es impa r, la suma es a . Cua ndo n a ument.a ind efinid amen te la suma no aumenta indefin id amente y no tiende hacia un límite. Una serie de esta clase se llama oscilante.
http://carlos2524.jimdo.com/
414
CALCULO
EJEMPLO.
Consideremos
INTEGRAL
la serie geométrica
Escribir los cuatro p rirne rc general es el que se da.
en la que
r=Vz,
a=1,
212-1
s; = I +~+~+ 2 4
(5)
... +_1_. 21/.-1
I -~ Según
S" = ~
(2),
I-
Yz
Iím
n---7 .o
Sn = 2,
-yI-;;'
8.
n +2 2 n - ¡"
9.
312-1'
=2 __ 1_.
211.-1
Entonces (6)
7.
lo que está de acuerdo
con
(3)
cuando
Yz.
a = 1, r =
X71-1
c
10.
o
1
!
11-
I
I
S, Fig.
S,
1+
l-f-
S3
S.
2
I
I
I
n
11.
-yI-;;' ( _ 1) n-I x2n-
177
12. Es interesante estudiar Para ello, tornemos sobre sucesivos de S", n
la serie (5) desde un punto de vista una recta, como se indica en la figura 2
4,
3
punto así determinado 2. De esta consideración,
biseca el segmento la igualdad (6)
entre resulta
En cada escribir
el punto evidente.
anterior
Término
enésimo
1)
n-I
n
n+l
5.
-yI~ 2
+~ 2·4
+
x -yI-:;' 2.4.6
+
...
x2 2.4.6.8
S« =
1..
l.
Que S« tiem
(1)
X
En este caso Be dice que 1: al valor u, o que tiene el
1+
1.:: . + ...
CASO
CASO II. Que S; no dice que la serie infinita el Ejemplos de series divr
n-2
3. x, i .2 . 3
Series convergen
= 21/..
(-
x2 x3 x+--+-+--_+ 1 1. 2
21/.-1.
la variable S" es una fur número de términos (= r; dos cosas siguientes:
2.
4.
+ n) 2" 1.::
y el
una de las series siguientes: a) descubrir la ley de formación; tres términos más; e) hallar el término enésimo o general. Sol.
a)n-I
1.:: (y
13.
184.
PROBLEMAS
b)
(x -
etc. e tc .
S" Cada punto
geométrico. 177, valores
I .
I~
1-
2
2"
1.::'
(-
a)
?, n
1/.+1
+
1
Como ya hemos dicho es un número u (llamad A una serie divergente no
http://carlos2524.jimdo.com/
415
SERIES Escribir los cuatro primeros general es el que se da.
que
7.
8,
9. ando a = 1. r =
i1-
11.. ir
5,
5, 54
7f.
n
1
3"-1'
11.
12n-1
13.
!+
184.
n)
n
2"-1.
3"-1
15.
I~
Sn
enésimo =
2/1.. (-
1)
11-1
n
CASO l. (1)
n+1
x7
=
Ui
+
U2
+
U3
En la serie
+ .. , +
Que S; tienda hacia un límite, lím Sr¡
n---7w
=
en
2"1~
y divergentes.
Un ,
bien, si hacemos que el puede ocurrir una de las digamos u; es decir,
que
u.
En este caso se dice que la serie infinita es conuerqenie y que converge al valor u, o que tiene el valor u. CASO II. Que S; no tienda hacia dice que la serie infinita es divergente. Ejemplos de series divergentes son
n-2
x5
/2. + 12 - 12 + "+1
la variable S" es una función de n. Ahora número de términos (= n) tienda a infinito, dos cosas siguientes: la ley de formación; o general.
x3
2-2v' n + 2
14.
Series convergentes
y el
ési mo
x2
x3
I~ +
+ ....
VI + V3 + v'4 + ...
x -
a)n-I
(x -
o
....
234 +3+9+27
!)n-Ix2n-1
(y
enesimo
2 4 8 + VI + V3 + v'4 + ...
X
V--;;' (_
término
456 3+3+5+7+
n +2
2
anterior
1
2 n-l'
erc.
el punto evidente.
Sol.
cuyo
x71-1
12.
e te.
serie
de cada
2n-1 V--;;'
10. 2
o de vista geométrico. n la figura 177, valores
términos
ningún
límite.
En este caso se
1+2+3+4+5+ 1-1+1-1+ .... (-
a) 11.+1
2n
+l
Como ya hemos dicho, en una serie convergente el valor de la serie es un número u (llamado a veces la suma) que se define por (1). A una serie divergente no se le asigna ningún valor.
http://carlos2524.jimdo.com/
416
CALCULO INTEGRAL
En las aplicaciones de las series infinitas, las series convergentes son las de mayor importancia. Es preciso, por tanto, tener medios para poder saber si una serie dada es convergente o divergente. 185. Teoremas generales. Antes de desarrollar métodos especiales para probar las series, llamaremos la atención sobre los siguientes teoremas. Se prescinde de su demostración. Teorema 1. Si Sn es una variable que siempre aumenta cuando n aumenta, pero sin llegar nunca a ser mayor que algún número fijo definido A, entonces, cuando n tiende a infinito, Sn ten.drá un lím ite u no mayal' que A. La figura 178 ilustra la proposición. Los puntos determinados por los valores SI, S2, S3, etc. , se acercan al punto u, que no está más allá de A . Así, lím Sn = U. n-:»oo
$,
$,
$,
I
I
I
Fig. EJEMPLO.
A
II
I
178
Demostrar que la se ne infinita
( 1) es convergen te. Solución. (2)
Prescindiendo del primer túmi!1o, podemo s ese ribir
Sn
=
1 + _ 1_ + __ 1_ + . .. + 1.2 1.2. 3 1
Consideremos ahora la \' ariablc
(3 )
SIL
..,.-- , c - - -
2.3 ... n
definida por la igualdad
1 1 1 1+ - + - + .. . + - , 2 2.2 2" - 1
formada reemplazando por 2 todos los factores; excepto el factor 1, d e los denominadores de (2). Evidentemente , Sn < Sn . Además, en (3) tenemos una serie geo m é tri ca con r = Yz y Sil < 2 por grande que sea n (v éase el Artícu lo 183 ). Por tanto, Sil, definid a por la igualdad (2), es una variable que siempre aume nU cuando n au ment a, pero que permanece menor que 2. Luego, SI! tiende hacia un limite, cuando n tiende a infinito. y ese l imite es menor qu e 2. Por consigui e nte. la serie infinita (1) es con\'Crg ente. y su valor es menor que 3. Veremos más adelante que el valor de (1) es la co nst a nte e = 2.71828 .. . . base de lus logaritmos natuL1les (Art . 6 1) .
http://carlos2524.jimdo.com/
4 17
SERIES
Teorema n. Si Sil es una. vaTiable que siempTe disminuye cuando n aumenta, pero sin llegaT nunca a seT menor que algún númeTo fijo definido B, entonces, cuando n tiende a infinito, Sil tendeTá hacia un limite u no menOT que B. Consideremos aho ra una serie convergente
Sn =
UI
+ U2 + U3 + .. . + Un
en la que lím Sn = u. n-7 '"
Representemos gráficamente en una recta orientada los puntos determinados por los valores SI, S2, S3, etc. Entonces, cuando n aumenta, estos puntos se acercarán al punto determinado por u (teniendo todos los términos de Srt el mismo signo) o se agruparán alrededor de este punto. Así es evidente que (A)
lím
Un
71-7'"
= O.
Es decir, en una serie convergente el término general t iende a cero. Reciprocamente, si el término general de una serie no tiende a cero cuando n tiende a infini to, la serie es divergente. Pero (A) no es condición' , suficiente' , para la convergencia de la serie; es decir , si el término enésimo t iende a cero, no por eso podemos afirmar que la serie es convergente . En efecto, consideremos la se rie a rm ón ica 1 1+ -12 +-+ 3
+1-. n
En este caso, lím
7>-7'"
Un
= lím
11-700
1- = n
O;
lo que nos dice que se cumple la condición (A). Sin embargo, demostraremos en el Artículo 186 que la 'serie es divergente. Ahora vamos a deducir criterios especiales de convergencia que por lo común se a plican más fácilmente que los teoremas anteriores. 186. Criterios de comparación. En muchos casos es fácil determina r si una serie dada es o no convergente, comparándola, término a térm ino, con otra se rie cuyo carácter se conoce. Criterio de convergencia. (1)
UI
Sea
+ U 2 + Ua +
http://carlos2524.jimdo.com/
418
CALCULO
INTEGRAL
una serie de términos positivos que deseamos saber si es o no convergente . Si se puede encontrar una serie de términos positivos que sepamos de antemano que es convergente, a saber,
... ,
(2)
cuyos términos no sean nunca menores que los términos correspondientes de la serie dada (1), entonces la serie (1) es convergente y su valor no excede al de la serie (2).
Demostración.
Sea
sn =
Ul
+ U2 + U3 +
+ un,
y
y supongamos que
Um Sn
n-7""
= A.
Entonces, puesto que S"
1;
es diver-
http://carlos2524.jimdo.com/
420
CALCULO INTEG RAL
Demostración. Escríbase (10) como se indica a continuación, y compárese con la serie que se escribe debajo de ella . Los signos de paréntesis se emplean para ayudar a la comparación. (11 )
1
1
1
+ [ 2 + 3 + [ 411) + ;1' + ;1' + 711) ] 1'
1' ]
1
+ [8 + ... + 1~1' ] + 1'
1
(12)
1
.. .
,
1
+ [21p + ;1' J+ [ 4111 + 4 1' + 4 1' + 41p]
1
+ [81' + .. . +8\)J+ Si p> 1, los términos de (12) nunca son menores que los términos correspondientes de (11). Pero en (12) las sumas de dentro de los paréntesis son 1 2 1)
1
+ 21' =
2 1 1 2 P = 21'- 1; 4))
1
1
1
+ 4 1' + 4 1' + 41' =
4 22 1 4 P = 2"p = 22 1, la serie (13 ) es una serie geométrica de razón menor que la unidad; luego , es convergente. Luego (iO) también es convergente. Cuando p = 1, la se rie (10) es la serie armónica y es divergente. Cuando p < 1, los términos de la serie (10), con excepción del primero, son mayores qu e los términos correspondientes de la seri e armónica, lu ego en este caso (10 ) es también divergente . El teorema queda, por consiguiente, demost.rado. E J EMPLO 4.
(1 4)
D emos trar que la se rie
2 4 6 ~+~+4.5. 6
es con ve rgente.
+
2n ···+ (n+ l )(n + 2 ) (n+3 ) +
http://carlos2524.jimdo.com/
SER lES
2n, 1 la serie es convergente, y cuando p < 1 la serie es divergente. Así queda comprobado que (1 puede ser igual al, tanto para series convergentes como para las divergentes. Cuando esto ocurre pueden aplicarse otros criterios, pero el plan de nuestro libro no nos permite considerarlos. Para la convergencia no basta que la razón de un término al anterior sea menor que la unidad para todos Jos valores de n. Este criterio exige que el límite de la razón sea menor que la unidad. Por ejemplo, en la serie armónica la razón de un término al anterior es siempre menor que 1 ; pero el límite es 1. La exclusión de un grupo de términos al principio de una serie afectará al valor del límite pero no a su existencia. 188. Series alternadas. Se da este nombre a las series cuyos términos son alternativamente positivos y negativos. Teorema.
Si u! -
U2
+ Ua -
U4
+ ...
http://carlos2524.jimdo.com/
424
CALCULO INT E GRAL
es una serie alternada, en la que cada término es numéricamente menor que el que le precede, y si lím U n = O, n
---¿
~J)
entonces la serie es convergente .
Demostración. formas
Cuando n es par, Sn puede escribirse en las dos
(1)
Sn = (u¡ - U2)
(2)
8 n = u¡ -
(u~
-
+ (U3 -
ud
U 3) -
. . . -
+ ... + (U n -2 -
(U ll - 1 - u lI ) , U n - l) -
U n.
Cada expresión entre paréntesis es positiva. Por tanto, cuando n aumenta tomando valores pares, (1) muestra que Sn aumenta, y (2) muestra que Sil es siempre menor que U1 ; por tanto, según el teorema 1 del Artículo 185, S" tiende hacia un límite l. Pero Sn +l también tiende haria es te límite l, puesto que 811+ 1 = S" + U n + l Y lím U n + ¡ = O. Luego, cuando n aumenta tomando todos los valores enteros, Sn --'7 1 y la serie es convergente. EJEMPLO .
Averiguar si la serie alternada
1 1 1 1- - - + - - - + ... 234 es con ve rgent e. Soluci ón. Además .
Un
Cada término es num éricamente menor que el que le precede. I luego lím Un = O. Luego la serie es convergente . n n --'7 00
Una consecuencia importante de la demostración anterior es la siguient.e proposición: Si en una serie alternada convergente se suprimen los términos que siguen a uno determinado, el error que se comete no excede, numéricamente, al valor del primero de los términos que se desechan. (Así. por ejemplo. la suma de die z términos de la serie del ejemplo anterior es 0.646, y el valor de la serie difiere menos d e un onzavo de este v alor .)
En esta proposición se supone que la serie se ha continuado suficientement.e para que los términos disminuyan numéricamente . 189. Convergencia absoluta. Se dice que una serie es absolutamente o incondicionalmente convergente cuando es convergente la serie formada por los valores absolutos de sus términos. Las otras senes alternadas convergent.es se llaman condicionalmente convergentes .
http://carlos2524.jimdo.com/
425
SERIES
Por ejemplo, la serie
es absolutamente convergente, puesto que la serie (3) del Artículo 186 es convergente. La serie alternada
es condicionalmente convergente, puesto que la serie formada por los valores ahsolutos de sus términos es la serie armónica que es divergente . Una serie con algunos signos positivos y algunos negativos es convergente si la serie que se deduce de ella tomando todos los términos con signo positivo es convergente.
Se omite la demostración de este teorema. 190. Resumen. Suponiendo que el criterio de la razón de D 'A lembert (Art. 187) es válido sin poner a los signos de los términos ninguna restricción, podemos resulllir nuestros resultados en las siguientes Instrucciones generales para averiguar la convergencia o divergencia de la serie U¡
+ + + + .. . + + U2
U3
U4
Un
Un.+ 1
+ ....
Si es una serie alternada cuyos términos decrecen en valor numérico, y si lím Un = O, n--7r;fj
entonces la serie es convergente. Si no se satisfacen las condiciones anteriores, determinamos la forma de Un y Un + 1 , formamos la razón de D' Aleml¡ert y calculamos , (un +l) hm -n --7 '" Un
IQ I < 1, Cuando I Q I > 1 ,
1 . Cuando 11 .
=
Q.
la serie es ahsolutamente convergente. la serie es divergente.
http://carlos2524.jimdo.com/
426
CALCULO INTEGRAL
º
III. Cuando I I = 1, el criterio falla, y comparamos la serie dada con alguna otra que sabemos que es convergente, como, por eiemplo, a + ar + ar2 + ar 3 + ... ; (r< 1)
111 1 + 2 p + 3 p + 4 p + ...; (p
>
( serie geométrica)
1)
(serie p)
o con alguna que se sabe que es divergente, como
1+~+l.-+~+ 2
3
( serie armónica)
4
111 1+ 2p + 3p + 4 P + EJEMPLO l.
(p
al!
= x l 'IIn 11
--7 ',",
(a +1) = xL. n
--
an
Tenemo.s do.s Cl3.so.s: l. Si L = O, la serie (1) será co.nvergente para todos lo.s valo.res de x, puesto. que Q = O. II. Si L no. es cero., la serie será co.nvergente cuando. xL ( = º) es numéricamente meno.r que 1 , es decir, para valo.res de x en el in-tervalo
http://carlos2524.jimdo.com/
SERIES
429
que se llama intervalo de convergencia o carnpo de convergencia, y será divergente para valores de x fuera de este intervalo. Los extremos del intervalo deben examinarse separadamente. Para toda serie dada debe formarse la razón de D 'Alembert y determinarse el intervalo de convergencia aplicando lo dicho en el Artículo 187. EJEMPLO
s son monomios variable, diga-
l.
Hallar
el intervalo
de convergencia
de la serie
(2)
Solución.
Aquí
la razón
de D' Alembert
es
2
n (n+l)"
x.
Según
y la serie converge
cuan-
= _
Un+1 Un
2
dientes de x, se la mayor importodos los va 10, o puede conser divergen te ser los cceficien-
18,
el Artículo
lím n n---;,,,,(n+l)2
do x es numéricamente mayor que l. Ahora obtenemos
serie
Luego
Q = - x,
I. y diverge
que
los extremos
alternada
que es convergente
de esto, aplierie (1), omi-
menor
examinemos
que es una nemos
= l.
cuando
del intervalo.
convergente.
por comparación
es numéricamente en (2)
Sustituyendo
Sustituyendo
con la serie
x
en
>
p (p
(2)
x
-
x = 1,
1, obte-
1).
La serie del ejemplo dado tiene [- 1, 11 como in re r va l o de convergencia. Esto puede escribirse - I
= are tg (senh v) , (- Yz
Y despejemos a v. E l resul tado es (4)
JI:
< cf> < Yz
JI:)
>
O). gd
Su
tJ
0,5 1.0
0,480 0,864
1, 5 2,0
3,0
1, 132 1,3 02 1,407 1, 47 1
3 ,5
1. 510
4 ,0
1,534 1,5 4c) 1, 557
2, 5
4,5 5 ,0
v = sen h- 1(tg cf» .
* Así lla m ado de l n o mbre d el matemát ico G uderma nn. p u bl ica r o n e n 1830.
S u s tr abajos se
http://carlos2524.jimdo.com/
RAL
FUNCIONES
h v), que se preen (1) del ejemplo El símbolo es gd v ,
HIPERBOLICAS
533
Según (3) tenemos tg cj> = senh v. Y puesto que, cosh? v = 1 senh? v, resulta que las funciones trigonométricas de cj>, cuando v > O , se deducen del triángulo rectángulo de la ~se"h. figura 193. A si, sen cj> es igual a tgh v, ~ f y cos cj> es igual a sech v, etc. La función inversa * (4) puede escriFig. birse (5 ) v = In (sec cj> tg cj> ) .
+
según
(B),
193
+
Demostración. Basta sustituir en (F) del Artículo 216, el valor de x por tg cj>, y observar que 1 tg2 cj> es igual a seo"
(5) en términos
= e",
tg cj> -- eV
o sea,
al cuadrado ambos miembros, 2 cj> Y reduciendo, resulta
Art. 38
-- 2 tg Despejando
tg cj>,
Luego,
seeh v
> O). S u
e"
+ e "= 2
, se
sec cj>. sec" cj> por
1.
obtenemos tg cj>
211:·
.
t - a sen
demostrar que
y = a cos 1>.
De éstas y (6) deducir las ecuaciones param é tricas
x de la tractriz.
=
t -
a tgh!..., a
y
=
a sech
t
a
Hallar también la ecuación rectangular.
f
sech 3 u du
= Yz
+ Yz
+ C.
5.
Deducir
6.
Si la longitud de la tangente de una curva (Ar t. 43) es constante (= a) :
a)
b)
dy Demostrar que d x = -
sech u tgh u
gd u
Y
V
_ _ _
a2
-
y2
Int egrar por medio de la sustitución hiperbólica y
=
a sec h !... y con la a
condición de que x = O cuando t = O, y de este modo deducir las ecuacion es de la tractri z que se dieron en el problem a 4
7.
Determinar po r d erivación el valo r de cada uno de los l imites si gu ien tes: a)
lim gd x - x x3
1í m gd x - sen x. " -70 x, Sol. a) -~;
b)
" -70
8.
~o.
Empleando el desarrollo del problema 14 del Artículo 215, tenemos gd x = x - _l x 3 6
+ 24 -1 x
5 -
6 l_ x _ 5040
7
+ ...
Calcular el valor de gd 0 . 5 con cuatro decimales. 9.
b)
Sol.
0,4804.
La fórmula (5) del Artículo 221, puede escribirse
Demostrar esta igualdad si rvi éndo se de (2),
(4) Y (5) del Artículo 2.
222. Carta de Mercator. La figura 197 muestra una porción (un octavo) de una esfera que representa la Tierra. Están indicados el Polo Norte, N, el Ecuador, EF, Y la longitud, el, y latitud, 1) es a (se n 2 - sen 1) (véase la figura 197). Si los paralelos correspondientes en la carta son [} = Y2, Y = YI, demostrar las siguientes igualdades:
= MIQ
PIM¡
se aproxima a la tangente P M ¡ P r Q tiende hacia el án g: tanto, tg R'P¡T
( 10)
=
lím 6e~(
a) b)
h = a(tgh
Y2 -
tgh
dy = ~ sec2 1 dh. a
Yl); si 2 = (/'1
+ d q».
Compárese trar a)
Empleando (b) del problema 3, demostrar que zonas iguales de pequeña altura cuyas bases inferiores son paralelos de latitudes O, 30°, 45°, 60° se convierten en la carta. respectivamente, en rectángulos cuyas áreas están en la razón 3 : 4: 6 : 12. (El área de una zona es el producto de su altura por la circunferencia de un circulo m áx im o . ) Describir
la dirección a)
SI
b)
si
de una curva
sobre
d = O;
dO d d: se hace
dO
infinito.
la esfera:
(4)
del Artíc
lím
P¡M¡ P 1R
(vé
68 ---70 arco
4.
5.
con
que
b)
lím
MIQ
68 ---70 arco
RQ
=
1 (vé.
que muestra el plano del merí el triángulo MI QR, dcrnostr infinitésimo de orden superi óO y ó son del mismo arde tonces véase el problema en la Empleando (a) y (b) y el l lo 98, la fórmula (10) se COI Articulo 222.
http://carlos2524.jimdo.com/
FUNCIONES HIPERBOLICAS
541
G. Deducir cada una de las siguientes fórmulas por el m étodo que se empleó en el ej e mplo ilustrativo l.
a)
cosh (x + ir,¡)
=
cosh x cos y + i senh x sen y;
b)
sen (x + ir,¡)
=
sen x cosh y + i cos x senh y;
e)
cos (x + iy)
=
cos x cosh y - i sen x senh y.
Según éstas escribir los va lores de cosh (x - iy), sen (x - iy), cos (x - ir,¡) . 7.
Demostrar que a)
b)
-T x) = i cosh x; cosh (i -T x) i senh x.
senh (i
±
±
=
±
8. Determinar con dos decimales el valor de cada una de las sigui entes expresiones:
a)
senh (1,5 + i);
b)
cosh (1 - i) ;
e)
cos(0,8+0,5i);
d)
sen (0 ,5 + 0,8 i) .
Sol.
a)
1,15+1,98 i;
e)
0 ,78- 0,37i.
PROBLEMAS ADICIONALES 1. En la figura 197 se traza P¡M¡ perpendicular a eR, y por consig ui ente, perpendicu lar al plano del meridiano NQR. Entonces el triángulo P¡QM ¡ es un triángulo rectángulo (la cuerda p¡Q no está tra zada), y por
M¡Q. Cuando !'le ---7 0, la rect a P¡M¡ (prolongada) P¡M¡ se aproxima a la tangente P¡R', y el ángulo M¡P¡Q tiende hacia el á n g ulo R ' P¡T. Por tanto, lo tanto,
tg M¡P¡Q
tg R'P¡T
(10)
=
=
lím MIQ 6&---70 P ¡ M ¡
Compárese con (4) del Artículo 222, y demostrar que a)
lím 68 ---70
b)
lím 6 8 ---70
P¡M¡ arco P ¡ R
=
I (véase fi g. 199);
M IQ arco RQ
=
I (v éase fig. 200,
que mu es tra el plano del m er idiano NQR). En el triángulo M ¡ QR, demostrar que M ¡ R es un infinit és imo de orden su perior a QR cuando !'le y !'lep son del mismo orden (Art. 99 ). E ntonces véase el problema en la página 178 . Empleando (a) y (b) y el teorema del Artí culo 98, la fórmula (10) se con v ierte en (4) del Art iculo 222 .
F ig. 199
¡'ig. 200
http://carlos2524.jimdo.com/
542
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
2. Si ds¡ es e! elemento de la longitud de arco para una curva sobre la esfera representada en la figura 197, demostrar que dS¡2 = a 2 (dr¡,2 +cos 2 rp dlJ2). -- 2 cuerda p¡ Q (En la figura 197 (cuerda p¡Q) 2 = p¡ M¡2 + M1Q , y lím P Q =1.) arco l 3. Si ds es la diferencial de! alCO de una cur va en la carta de Mercator, demostrar que ds 2 = sec 2 rp (drp2 + cos 2 rp d0 2). (Comparando con el problema 2, tenemos dS¡2 = a 2 cos 2 rp ds 2 .) 4. Hallar la longitud de una loxodrómica entre puntos cuya diferencia de latitud es /':,.rp. Sol. a csc (l/':,.rp. (a = radio de la Tierra.) 5.
Demostrar que las cuatro primeras fórmulas de (4) del Artículo 2, y
(D) y (E) del Artículo 213, son válidas cuando x, y, v, w se sustituyen por
números complejos.
(Emplear las definiciones (5).)
6. Demostrar las fórmulas del problema 6, pág. 541, empleando los resultados del problema adicional 5 y la fórmula (L). senh 2 x + i sen 2 y
= cos h 2 x + cos 2
7.
Demostrar que tgh (x + iy)
8.
Del resultado del problema anterior deducir la fórmula para tg (x + iy).
y .
http://carlos2524.jimdo.com/
CAPITULO XXIII
DERIVADAS PARCIALES
224. Funciones de dos o más variables. Continuidad. Los capitulos anteriores se han consagrado a las aplicaciones del Cálculo diferencial e integral a funciones de una variable. Ahora nos ocuparemos de las funciones de más de una variable. Algunas fórmulas de las matemáticas elementales suministran ejemplos sencillos de tales funciones . Asi, en la fórmula para el volumen v de un cilindro circular recto, (1)
v es una función de las dos variables independientes x ( = radio) y y (= altura). Asimismo, en la fórmula para el área u de un triángulo plano oblicuángulo, (2)
u =
Yz
xy sen a ,
u es una función de las tres variables independientes x, y ya, que representan, respectivamente, dos lados y el ángulo comprendido. Evidentemente, tanto en (1) corno en (2) , los valores que pueden asignarse a las variables en el segundo miembro son enteramente independientes el uno del otro. La relación (3 )
z=
f (x,
y)
puede representarse gráficamente por una superficie, el lugar geométrico de la ecuación (3), que se obtiene tornando x, y, z como coordenadas rectangulares, como en la Geometría analítica del espacio. Esta superficie es la gráfica de la función de dos variables f (x, y) .
http://carlos2524.jimdo.com/
544
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Una función f (x 1 y) de dos variables independientes se define como continua para x = a, y = b, cuando (A)
lím f(x, y)
= fea,
b),
x-¿ -¿ "/,
y
sin importar la manera como x y y tienden a sus límites respectivos a y b. A veces) esta definici ón se resume en la siguiente proposición: un cambio muy pequeño en una variable o en ambas produce un cambio muy pequeño en el valor de la función . * Podemos ilustra r esto geométricamente considerando la superficie represen tada por la ecuación (3)
z
= f (x, y).
Consideremos un punto fijo P de la superficie (fig. 201 ) ) en donde x = a y y = b. Designemos por L1X y L1Y los incrementos de las variables x y y, y por L1Z el incremento correspondiente de la función z. Las coordenadas de pi serán (x
x
+ L1x)
y
+ L1Y, Z + L1z) .
E n P el valor de la función es
y.
Z
= f (a,
b)
=
M P.
Si la fun ción es continua en p) entonces) como quiera que L1X y L1y t iendan a cero) L1Z t enderá también a cero. Es decir, que M' p i tenderá a coincidir con MP, aproximándose el pun to pi sobre la superficie al pun to P en cualquier dirección. Una definición semejante de función continua se da pa ra el caso de una función de más de dos variables . E n lo que sigue, sólo se consideran valores de las variables para los que las func iones son continuas. F ig. 201
225. (1)
Derivadas parciales.
En la relación
z = f (x, y),
podemos mantener y fija y hacer que solamente varíe x.
E ntonces
•. Esto se comprenderá mejor s i el lector rep a sa e l Articu lo 17 ref er ente a las funcio n es co n t inua s d e un a sola variab le.
http://carlos2524.jimdo.com/
DERIVADAS PARCIALES
545
z vicne a ser una función de una sola variable x, y podemos derivarla de la manera usual. La notación es
az ' da ax = derwa
. l de z con respecto a x ( y permanece consparcta
tante) . * Análogamente,
az ay
' d a parcta . l d e z con respecto a y (x permanece cons= d erwa
tante) . * Se emplean símbolos correspondientes para derivadas parciales de funciones de tres o más variables. A fin de evitar confusión, se ha adoptado generalmente el símbolo a ** para indicar la derivación parcial. EJEMPLO
Solución,
1.
Hallar las derivadas parciales de z
az = 2 ax ax az ay
EJEMPLO 2.
Solución.
= 2
+ 2 by,
considerando y como una constante .
Hallar las deri vadas parciales de u
=
+ 2 bxy + cy2.
bx+2 cy, considerando x como una constante.
UU = a cos (ax ax
éJu ay
ax 2
=
b cos (ax
= sen
(ax
+ by + cz) .
+ by + cz) ,
cons id era ndo y y z como constantes.
+ by + cz) ,
cons id erando x y z como con sta nt es .
au = c cos (ax +by+ cz), considerando y y x como constantes. az
Con respecto a (1), las notaciones más usadas en la deri\':lción parcial son las siguientes: az ax
a
aj
= ax j (x , y) = ax = j x (x, y) =
f e
=
Zx ;
az a aj -;- = -;-j(x, y)=a- = ! v(x,y) =jy =z.u . uy uy y
Notaciones se mejantes se emplean para funci ones de cualquier número de variables. Los va lores constantes se s ustituyen en la f un ción a ntes d e deri var. Introdu cido por Jacobi (1 804- 1851 ) . Granville. Cálculo . -
35 .
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO DIFERE N CIAL E IN TEGRAL
546
Según el Artículo 24, tendremos - l' f(x+ó'x, yo) - f (x, yo) f( x x, yo) 1m AX
(2)
6 x---70
Ll
- l'1m f (xo , y + ó,y) - f (xo, y) A f y (Xo, y ) - 6Y---70 Lly
(3)
226. Interpretación geométrica de las derivadas parciales. superficie (fig. 202) de ecuación z
Por el punto P
=f
Sea la
(x, y) .
(en dond e x = a y y = b) hagamos pasar el plano EFGH paralelo al plano 8 XOZ. Puesto que la ecuación de este plano es y = b, x
T
la ecuación de la curva J P K , intersección del p 1a n o con la superficie, es z =
Fi g. 202
f
(x, b),
si con sideramos EF como eje de las z y EH como eje de las x .
. dz aZ slgm " fi ca l o mIsmo l E~ n est.e pano, ax que dx' y tenemos (1 )
az
ax = tg 111 T P = pendiente de la c u r vade intersección
.JK en P. Análogamente, si hacemos pasar por P el plano BCD paralelo al plano YOZ, su ecuación es
x = a, y para DP 1, la curva de intersección,
aaZy significa lo mismo qu e dz dy '
Luego (2)
DI en P .
az ay
- tg M TI P = pendiente de la curva de intersección
http://carlos2524.jimdo.com/
DERIVADAS
AL
yo2
o, y)
arciales.
547
2
x +.JC + Z2 = 1. hallar la pendiente de la 24 12 b curva de intersección del e l ip so ide , a) con el plano y = l. en el punto en que x = 4 Y z es p o si t iv o : b) con el plano x = 2. en el punto en que y = 3 y z es positivo. EJEMPLO.
z,
PARCIALES
el e l ip so ide
Dado
Solución.
Considerando
y como
2x+~az=b. 24 6 ax
Sea la Cuando
x es constan
gamos pasar el aralelo al plano que la ecuación s
= O.
iJz
6
ay
az =_ ax
G'
o sea,
az = _ ay
~.
Cuando
y=l
y x = 4, z =
b)
Cuando
x =2
y
y = 3. z
Hallar
las derivadas
z
= AX2
+
parciales
Bx u
+
~I·
az = -~. iJx az éJ Y
VI
i t x , 'y) = Ax3
+
+
Dx
+
3 Bx2y
3 Cx u?
EF como eje de o eje de las x.
Sol.
3.
f (x.
Ax
y)
Cx
+
+
-~VT. 2
Jf éJx
de intersección u = xy
5.
i (x,
+
y) =
+ zx. (.\ + y)
Q
F.
+ By + D; +
+
iJz = B.\
éJy
+
2 Cu
E.
Dy3.
fx(x.
y)=3(Ax2+2Bxy+Cy2);
f!l(x.
y) = 3 (Bx2
+2
Cxy
+ D(2).
se n (x -
= y
(Cx
éJy
(Cx+Dy)" Ux
(BC-!\f))x
af
(AD-BC)y
Sol.
q:
Sol.
G.
+
funciones.
By Dy Sol.
4.
Ey
az = 2 Ax éJx
Sol.
2.
de las siguientes
+
Cy2
x, b),
+z:
u!! =
+z:
X
Uz
+ f)y)
2
+
= x
y.
y) .
F.,. (x.
y) = se n (x -
fy(x.
y)=sen(x-y)-(x+y) Sol.
= se n 2 O c o s 3 cp .
dz mismo que dy'
y)
+
(x
+
y) cos(x
-
y);
cos(x-y). DO = 2 cos 2 O c o s 3 cp. iJe al.!
= _ 3 se n 2 () sen 3 cp.
éJ sen (J . y = a cos cos (J. z = a se n . si y (J son . re specti va mente. la latitud y lon g itud de P. b) Empleando (3). y (3) del Artículo 4. hallar el á n g ulo a. en P que forman el paralelo que pasa por P y una curva sob re la esfera para la que (J = f (O
un valor mínimo s¿. tl
>
2
< O;
f(o aay2f) > O. 2
OY a ax2
SI tl es negativo, no es difícil ver que f (x , y) no tendrá ni máximo m mínimo.
El lector debe observar que esta regla no da necesariamente todos los valores máximos y mínimos . En efecto, un par de valores de x y y determinados por el primer paso pueden anular a tl, Y pueden conducir a un máximo o a un mínimo o bien ni a máximo ni a mínimo . Por tanto, para tales valores se necesita un análisis adicional. Sin embargo, la regla basta para la resolución de muchos problemas importantes . La cuestión de los máxirrios y mínimos de funciones de tres o más variables independientes se deja para los tratados más adelantados. EJEMPLO 2.
Calcular los máximos y mínimos de la función
3 axy Solución. Pri m er paso.
f(x,
~= 3
ax
ay -
-
x3 -
y) = 3 axy -
3
X2
=
o.
y3. x3 -
y3.
~ = 3
ay
ax -
3 y2 = O.
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO
596 Resol viendo
DIFERENCIAL
el sistema
formado
af ax2 2
Segundo
Tercer para (O,
paso.
E INTEGRAL
por estas
dos ecuaciones,
x = O,
x
=
y = O,
y
= a.
a
6 x,
__
--
-
2f
°
paso. Cuando x = y y = O, O) no hay ni máximo ni mínimo.
Cuando
x
mos realizaJas Sustituyendo igual a a3,
=
en (a,
EJEMPLO
= a,
3.
Solución.
=
a -
a,
es /'). =
parte,
y
+ y)
= a -
x -
(x
por examinar
=
primera
af ax
paso.
9 a2,
y por
parte;
tercera
y
lo
tanto,
sea máximo.
2 xu -
6.
x2
-
xy
7.
xy
a b +-+-. x y
este
sistema,
obtenemos x =
Segundo
¡¡2 f
paso.
= - 2
ox2
/').= Tercer
paso.
Cuando
x
como
a
a
3'
T
~=
y,
a -
2 xy - x2
ax -
pareja
a2f
2 x - 2 y,
=- a
3
2 x - 2 y)
(a y y
a
= T'
Hallar
ay2
cribirse
- 2 x:
parte
es también
a
T'
cu-ando
x
a
T
y puesto
3
máximo
y =
a
Luego,
T es
a 27'
coordenada
el volumen
la
má
2 -x
a2
a
+.
30°,
=
p
y = --
2
12.
del producto
Hallar
que
x=JL=.!..
3
y el valor
el paralelepíped
11. Un pentágono está fOI un triángulo isósce!es. Si el hallar los valores de x , y y
2
es máximo
que el valo
Sol.
2 a -3 ' se ve que el producto
3
en el elipsoide
2.
a2
es /').
+
O.
de valores
ax ay
4 xu
3
caras en los planos
af ay una
+ y2 + ax
parte;
10. Resolviendo
()
+ sen y + sen
entonces
y).
y2 = O,
-t
sen x
9.
ay -
- 6 x
5.
8. Demostrar
es x -
+ x u + y2
2
que
que su producto
segunda
i t;x , y) = x q t;« -
Primer
-
y puesto
tales
y rr
2.4x+2Y-X2+xy-
/').
a2;
a en tres partes
Dividir
Sea x
y la función
=
y
x2
1. a,
es
los máximos
Calcular
a f = - 6 a, te n eax2 máximo de la función. a) las condiciones para un valor obtenemos su valor máximo y = a en la función dada,
a y
x
+ 27
3
[
obtenemos
a,
=
ax ay
AP.LICACIONES
Hallar
3
la distancia
x
r
y x=y-3=;
tercera
13. Un fabricante produ costos medios con s tan t e s . Si el precio de venta de la p
http://carlos2524.jimdo.com/
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES
597
PROBLEMAS Calcular lo s m áxi mos y mínimos dé las sig uientes funciones:
1.
X2
+ xy + y2
+ 2.
- 6 x
+ y2 + 5 uxy + y3.
3.
2 X2 - 2 xy
4.
x3 - 3
5,
sen x
+ se n y + sen
Sol.
x
x - 3 y.
(x
+ y) •
Y
4,
=
2 da mínimo.
% da
'%,
y =
x
- 1,
y
x
y
da mínimo.
x
11: .Y -3
= a
X2 - xy
7.
a3 b3 xy+-+-.
8.
Demostrar que el v alor máximo de la función
= Yz
máximo.
da mínimo.
da má ximo.
511:
da mínimo.
3
+ y2 + ax + by + c.
6.
y
+ by + e) 2
(ax X2
9.
-
x =
x = y
x
=
+ y2 +
l
Hallar el para l elepípedo r ectá n g ulo de vo lum en máximo que tiene tres
caras en los planos coordenados y un vé rtice e n el plano ~ a
+ J!..b + l:..e =
1.
Volumen = abe
Sol.
Ti'
Hallar el volumen máximo del paralelepípedo rectángulo que puede ins· 8 abe cribirse en el elipsoide X2 ~2 = l. Sol. 3 V3' a2 b2 c 10.
+ i:... +
11. Un pentágono está formado (fig. 217) por un rectán g ulo coronado de un triángulo isósceles. Si el perímetro del pentágono tiene un valor dado p, hallar los valores de x, y y (J. para que el área sea m áxi ma.
Sol.
a y =
=
30°,
.!:. 2
2x x (1
=
2
+2
P sec
(J.
-
tg a
+ sec a) . fJ
12.
Hallar l a distancia más corta entre
x =J!..= 3:.. y x=y-3=z .
2
3
las rectas 2x
Fig. 217
13.
Un fabricante produce dos clases de dulces de costos medios con s tan t e s de IDO centavos y 120 centavos por kilogramo. Si el precio de venta de la primera es x centavos por kilogramo y el de la
http://carlos2524.jimdo.com/
598
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
segunda y centavos, el número de kilogramos que pueden vende r se cada semana se da por las fórmulas
NI
=
N 2 = 16000
125(y - x),
+ 125(x -
2 y).
Demostrar que para máxima ganancia los precios de venta deben ser 178 centavos y 188 centavos por kilogramo.
14. Un fabricante de máquinas y hojas de afeitar produce a un costo medio constante de 40 centavos de dólar por máquina y 20 centavo s por docena de hojas. Si las máquinas se ve nd en a x centa vos cada una y las hojas a y centavos la docena, la demanda del mercado en cada semana es
4000000
xy
máquinas
y
8000000 docenas de hojas. Determinar los precios de venta para la máxima
xy
ganancia.
242. Teorema de Taylor para funciones de dos o más variables. El desarrollo de f (x, y) se encuentra empleando los métodos y resultados de los Artículos 194 y 240. Consideremos (1 )
F(t)=f(x+ht, y+kt),
y desarrollemos F (l) como en (5) del Artículo 194. El resultado es (2)
F(t) = F(O)
+ F/(O) Il + FI/(O) I~ + .. . + F(n-I) (O)
t"-l
In -1
+R.
Los valores de F (O), F 1 (O), F 1/ (O) los obtenemos sustituyendo t = O en (2), (4), (7) del Artículo 240. Derivando (7) y haciendo t = O, resultarán las expresiones para F 11/ (O), etc. Estas se omiten aquí. Sin embargo, obsérvese que F 11/ (O) es homogénea y de tercer grado en h y k. Lo mismo es cierto para las derivadas superiores. Si se sustituyen estos valores en (2) Y hacemos t = 1, el resultado es (3)
!(x
+ h, Y + k) + I~ +
= f(x, y)
[h 2 fxx (x,
k 2 fyy (x, y)
y)
+ hfzez,
+ 2 hkfxy (x,
y)
+ kfy(x,
y)
y)
1+ ... + R.
La expresi6n para R es complicada, y se omitirá de aquí en adelante.
http://carlos2524.jimdo.com/
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES
599
En (3) hagamos x = a, y = b, Y entonces reemplácese h por (x - a) y k por (y - b). El resultado es el teorema de Taylor para una función de dos variables, (l)
f(x, y) = fea, b)
+ fx
+ I~
(a, b) (x - a)
+ f y (a,
b) (y - b)
[Jxx (a, b) (x - a}2
+ 2 fJY (a, b) (x - a) (y - b) + fyy (a, b) (y - b) 2] + .... Finalmente, haciendo a = b = O, obtenernos el siguiente des arrollo que corresponde a la serie de Maclaurin, (A) del Artículo 194, (J)
f(x, y) = feO, O)
+ fx (O, O) x + fy (O, O) Y 1
+ I~- [fu (O, O) X2 + +fyy (o, 0)y2]
2 fxy (0, O) xy
+ ....
El segundo miembro de (J) puede escribirse como la serie infinita (4 )
en donde Vo =
f (O, O),
+ fu (O, O) y, O) X2 + 2 fxv (O, O) xy + fyy (O,
Ul
= fx (O, O)
U2
= f xx (O.
x
O) y2
,
etc . Los términos de (4) son polinomios homogéneos en (x, y). El grado de cada uno es igual al subíndic~. Es decir, mediante la fórmula (J) la función queda desarrollada en una suma de polinomios homogéneos en (x, y) y de grado ascendente. Análogamente, en (1) los términos del desarrollo son polinomios homogéneos en (x - a, y -
b).
La fórmula (I) se llama desarrollo de f (x, y) en el punto (a, b) . Debe recurrirse a tratados más adelantados para la resolución del problema de determinar los valores de (x, y) p:l ra los que los desarrollos (l) y (J) son aplicables.
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO
600
DIFERENCIAL
APLICACIONE~
E INTEGRAL
Limitando la serie (4) en cualquier término, se obtiene una fórmula aproximada para f (x, y) con respecto a valores próximos a (a, b) o (O, O). Compárese con lo dicho en el Artículo 200. Desarrollar
EJEMPLO.
Yz
(l.
Solución.
rr )
hasta
términos
+ sen
a f (x.
de tercer
grado.
=
l.
b
y) =
f,,(x.
y) =
y) = -
(XI/(X.
y) = 2 y
fyv(x.
y) = 2 x y =
76:
y2 se n x q,
+ cos x
2
xu -
xy
.J;;1t)=1t.
fxx (1.
X n) = -
f :¡; (1.
Yz re) = X re,
f¡¡y(1.
Yz n ) = 1.
log (1
+ y)
5.
Desarrollar
x3
6.
Verificar
Verificar
!;,í
Jt2.
obtenemos Jt2 + ~ 1t2(x
/2
+ (y
-
1)+
Jt(y
-
JI:í
-
rt) (y-~Jt)
+ YJ + ....
2
1t
Fácilmente se pueden deducir fórmulas para desarrollar variables f (x. y. z ) . Estas se dejan como problemas.
PROBLEMAS del Artículo
el siguien = y
242.
demostrar
+
XI
el sig uier
+ y)
=
las siguientes
f
sen (x
son
+~[_~Jt2(x-l)2+Jt(x-l) 4
(1)
Verificar
se n x u ,
1t2.
f¡¡ (1.
x u? + se n xy = 1 +!4
De
4.
sen x s'
sen xy.
rt, los resultados
f", (1. 76: 1t) = !;,í
1.
Desarrollar
a'"
+ sen x u . y2 + Y cos x q, 2 xy + x cos x u ,
fu (x.
(l).
3.
y) = xy2
f,,(x.
x = 1.
en
cos x cos y
= Yz re,
f (1. 76: zt) = !;,í 1t2 + 1.
Susti tu yendo
el siguien
xy
Aquí
Sustituyendo
Verificar
la función
x q? en el punto
2.
que
una función
de tres
7.
eX sen y = y
8.
eX
In (1
+ y)
+) =
http://carlos2524.jimdo.com/
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES 2.
60 l
Ver ifica r el sig uien te desarrollo cos x cos y
=
1
3.
Desarrollar sen x sen y en potencias de x y y.
4.
Ve rificar el siguiente d esarrollo : a X lag (1
+ y) =
y
+ Yt (2
xy lag a -
y2
+ x2y
- xy2 lag a)
+ xy2
5.
Desarrollar x 3
6.
Verificar el siguiente desarrollo: sen (x
log2 a
+ 7~
y3
+ .. .
en el p un to (l. 2).
+ y) = x + y
x3 -
+3
x2y
12+ 3 xy2 + y3 + .. .
Verificar las siguientes fórmulas aproximadas para valores p eq ueños de x y y:
7.
eX
sen y
8.
eX
In (1
+ xy. + y) = y + xy. = y
9.
~:!~ = l + Y2(x -
y).
http://carlos2524.jimdo.com/
CAPITULO XXV
INTEGRALES MULTIPLES
243. Integración parcial y sucesiva. Correspondiente al capítulo de diferenciación parcial del Cálculo diferencial, tenemos el procedimiento inverso de integración parcial en el Cálculo integral . Como se puede colegir de la conexión, ( ( integración parcial " quiere decir que, teniendo una expresión diferencial que contiene dos o más variables independientes, la integramos considerando en primer lugar que una sola de ellas varía, y que todas las otras son constantes . Entonces integramos el resultado dejando variar alguna otra de las variables y manteniendo las otras como constantes, y así sucesivamente. Tales integrales se llaman dobles, triples, etc. según el número de variables, y, en general, integrales múltiples. En la resolución de este problema no hay nada nuevo excepto que la constante de integración tiene una forma nueva. Ilustraremos esto por medio de ejemplos . Supongamos que deseamos hallar u dado
Integrando con respecto a x, considerando y como constante, cenemos u = X2 + xy + 3 x + 1> , en donde 1> representa la constante de integración . Pero, puesto que durante e s t a integración y se consideró como constante, 1> puede contener y. Indicaremos que 1> depende de y, reemplazando 1> por el símbolo 1> (y). En consecuencia, la forma más general de u es ti. = X2 + xy + 3 x + 1> (y) .
http://carlos2524.jimdo.com/
INTEGRALES MUL TIPLES
603
Otro problema: hallar u =
SS
CX2
+ y2 )dy dx.
Esto quiere decir que deseamos hall ar u, dado
Integrando en primer lugar con respecto a y, considerando x como constante, obtenemos
en donde '\jJ(x) es una función arbitraria de x . Integrando ahora este resultado con respecto a x, considerando y como constante, tenemos
en donde 1> (y) es una función arbitraria de y, y
244. Integral doble definida. Interpretación geométrica. S e a y) . una función continua y uniforme de x y y. Geométrica-
f (x,
mente. (1 )
z
=
f(x, y)
es la ecuación de una superficie, tal como KL (fig . 218). Consideremos un recinto S en el plano XOY, y construyamos sobre S como base el cilindro recto cuyas generatrices son paralelas a OZ. Este cilindro determina sobre KL el recinto S'. Tratemos ahora de hallar el volumen V del sólido limitado por S, S, y la superficie cilíndrica. Para ello procederemos como sigue: A distancias iguales ( = ~x) en el recinto S tracemos una serie de rectas paralelas a OY, y después una segunda serie de rectas paralelas a OX a distancias iguales (= ~y). Por estas rectas hagamos pasar planos paralelos a YOZ y XOZ, respectivamente.
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
604
Entonces tenemos dentro de los recint.os S y S I una red de lineas, tal como se indica en la figura; la red de S se compone de rectángulos, cada uno de área LlX Lly. Esta construcción divide el cilindro en varias columnas verticales, como MNPQ, cuyas bases superiores e inferiores son porciones correspondientes de las redes en S' y S, respectivamente. Puesto que las bases superiores de estas columnas son curvas, por supuesto que no podemos calcular directamente el volumen de las columnas. Reemplacemos estas columnas por prismas cuyas bases se hallan así: cada columna se corta por un plano paralelo a XOY que pasa por aquel vértice de la base superior de la columna para el que los valores numéricos de x y y son mínimos .
----L
G
Fig. 218
Así la columna MNPQ se reemplaza por el prisma recto MNPR, cuya base superior est.á en un plano paralelo al plano XOY, trazado por P. Si las coordenadas en P son x, y, z, entonces MP = z = j(x, y), y, en consecuencia: (2)
Volumen de MNPR
=
j(x, y)LlY LlX.
Si calculamos el volumen de cada uno de los otros prismas que se han formado de la misma manera, reemplazando x y y en (2) por los valores correspondientes, obtenemos un volumen V I aproximadamente igual a V; es decir, (3 )
V'
=
L. L. j (x,
y) LlY !'!x ,
http://carlos2524.jimdo.com/
INTEGRALES MUL TIPLES
LL
en donde el doble signo de 8uma
605
indica que en la cantidad que
debe sumarse, hay que tener en cuenta valores de dos variables x, y. Si ahora aumentamos indefinidamente el número de divisiones de la red en S, haciendo disminuir indefinidamente Llx y Lly, y si en cada caso calculamos la suma doble (3), entonces, evidentemente, V I tenderá hacia V como límite. De aquí el resultado fundamental (4)
V
lím
=
L'. z--¿O
L L j (x,
y) Lly Llx.
L'.y --¿O
Ahora demost.raremos que este límite puede hallarse por integración sucesiva. El volumen pedido puede hallarse como sigue: Considérese cualquiera de las rebanadas en las que el sólido queda dividido por dos planos sucesivos paralelos a YOZ; por ejemplo, aquella cuyas caras son F1HG y JT L I K l . El espesor de esta rebanada es Llx. Ahora bien, los valores de z a lo largo de la curva HI se encuentran haciendo x = OD en la ecuación z = j (x, y). Esto equivale a decir que '1 lo largo de HI es z = jCOD,y). Luego
Area FIHG =
i
DG
j(OD, y) dy. DI'
El volumen de la rebanada que consideramos es, aproximadamen-· te , igual al de un prisma de base FIGH y altura Llx, es decir , igual a Llx· área FIHG
=
Llx
i
DG
j(OD, y) dy. })I'
Evidentemente, el volumen pedido de todo el sólido es el límite de la ~uma de todos los prismas construí dos de igual manera, va riando x(= OD) de OA a OB; es decir, (5 )
V =
i
08 011
dx
fIJG. j(x,
y)dy.
DI-'
De la misma manera puede demostrarse que (6 )
V
=
()V dy fEU j(x,
S oc
EH'
y)dx .
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
606
Los integrales (5) Y (6) se escriben igualmente en la forma más abreviada
1,:JB fD:G f
(x, y) dy dx
y
fo;¡' fE~~f
(x, y)dx dy.
En (5) los límites DF y DG son funciones de x, puesto que se hallan resolviendo con respecto a y la ecuación de la curva que limita la base del sólido. De la misma manera, en (6) los lími tes EW y E U son fun ciones de y. Ahora bien, la comparación de (4), (5) Y (6) da el resultado
(A)
V= lím LLf(x,Y}I1Y.l1x= (aIsulf(x,Y}dYdX
J a -o
6 r-70
~ -70
=
uo
-
l
(b [Vlf(X,
J b2
y) dx dy,
JV2
en donde, en general, VI Y V2 son funciones de y, y Ul y U2 funciones de x. En cada caso el segundo signo integral se aplica a la primera diferencial. La ecuación (A) es una extensión del teorema fundamental del Artículo 156 relativo a las sumas dobles. N uestro resultado puede enunciarse en la siguiente forma: La integral doble defin ida
(al [UI f(x, y) dy dx
Ja2 J U2
puede interpretarse como porción de.l volumen de un cilindro recto limi·· tado por el plano XOY y la superficie
z = f(x, y), siendo la base del cilindro el recinto en el plano XOY limitado por las curvas y = Ul, Y = Ut, X = a l , x = a2 .
Una proposición semejante es cierta para la segunda integral . Es instructivo considerar de la siguiente ma nera el procedimiento anterior de hallar el volumen del sólido. Considérese como un elemen to de volumen una columna de base rectangula r dy dx y de altura z. Al suma r todos los elementos de esta clase desde y = DF hasta y = DG , siendo x entretanto constante (d igamos = OD), se encuentra el volumen de. una delgada rebanada que t iene FG H l como
http://carlos2524.jimdo.com/
607
INTEGRALES MUL TIPLES
una cara . Entonces el volumen de todo el sólido se halla sumando todas estas rebanadas desde x = OA hasta x = OB. En una integración sucesiva que implica dos variables, el orden de integración representa que los extremos que se escriben en el sig:po integral de la derecha corresponden a la variable cuya diferencial se escribe primero, escribiéndose en orden inverso las diferenciales de las variables y sus limites correspondientes. Antes que el estudiante intente aplicar la integración sucesiva a los problemas prácticos, es mejor que adquiera por medio de ejercIcIOs alguna facilidad en determinar los valores de integrales múltiples definidas. EJEMPLO l.
Hallar el valo r de la integral doble definida
f Oaf"a O
f af
Solución.
O
2
X2
-
"a 2
(x+y)dydx. -
O
2
2
(x+yjdydx
= f Oa [ f"~ O (x + y)dy ] dx
-f -
=
a [
xy
O
y J..,¡-¡;z=-;¡2 + "2 O dx 2
f oa (x vi a" _
2 x ) dx
+a ~ 2
x2
2 a3 -3-
z
Interpretando geométricamente este resultado. h emos determinado el vo lumen del sólido de forma ci líndri ca (fíg. 2 19) cuya base es OAB y limitado en su parte superior por el plano z = x y. La base del sólido está en el plano X O Y. y está limitada por los ex tr emo s de y:
+
y = O (recta OB) y = ~(c u adrante del círculo AB)
t
x = O (recta OA) x = a (recta BE) \
y
EJEMPLO 2.
..
Ven bcar
f2bf" b
Solución.
f b2bf(((a o
Fig. 219
.
seg un los extre mo s de x • (a - y)
X2
dy dx
2
=
y) x 2 dy d x
=
f2 b[ay -
6
=
f
20
I1
y2J" _ 2
b
a2
T
X2
3
7a b _-o
O
X2
dx
O
_ 7 a2 b 3 dx - -6- '
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO
608 EJEMPLO
V en if rca i r
3.
f"f
~ O
O
x
-
d
-~
-Va2_x2 _ -V a2 _ x2 X
faf
Solución.
E INTEGRAL
DIFERENCIAL
d d y
X =
fa
3 2a u dx =-. 3 [
O
INTE 5. f
] -V,,2_x2
xy
_ -V a2
_
d ","
6.
X
=f"2xVa2-x2dx O
2 ( = [- T
a2
)3~]
2
x
-
I
7.
2
O
1
fy2 v
f2
f-
I
O
aO
2 = T
fx2
O
f2Y xy dx dy v+1
3
f
f
2
2
f
1
5
xy2
dz
f 2
1
f
x
u? dz
dq
2
=f
X~!2dz ] 1
d
Z
rr
16.
]' v d u dx
1
f:
=
3
f
3 [2fl
xlj2dy
3
1
] dx
O
lo
flf2 O
(x+2)e/¡¡dx
= 5.
integrales
3.
debe describirse
f"fVx u
2 d u d x = -Q 3
1!...
2.
f4fx o
u
lj
dlj dx
=
32 3'
4.
2
y2
fl O
O
1
definidas.
O
O
O
19. f2f=fxV
dx
1 a 10 de la siguiente lista, es igual al valor de la integral.
de las siguientes
a
18. flfl-xf
PROBLEMAS el valor
r:
O
fl
lj dx d u f ' f02 . 1
7
= -.
6
%
el
O
O
f J' f x-t 1
O
Calcular
o
r. rrO
2().
En los problemas sólido cuyo volumen
O
17. f1
3[Xlj3J2 2
fb
b O
r.r. 2
faacos 9
~
21 f
o
-
u dx
=3 -xy2dljdx = 3
rr f"(I+cos O
2
3f?[ - xy2 2
O
2
d x = f3f2[f5
2
faco'9Q O
13.
se
a (>2
P
12. f"
15. fa
3f2f3
f b
d x = 35 -.
dy
2
2·
.
14. Verificar
= -1
3
a
En una integración sucesiva que implica tres variables, el orden de integración se representa de la misma manera que para dos variables; es decir, el orden de los extremos que se escriben en los signos integrales , leyendo de derecha a izquierda, es el mismo que el orden de las variables correspondientes cuyas diferenciales se leen de izquierda a derecha. 4.
5
(x+2y)dxd~
1lo fa
EJEMPLO
16 = -.
y dy d x
x
O
O
245. Valor de una inte En el articulo anterior la volumen. Esto no signific sea un volumen; en efec depende de la naturaleza d Si x, y, z son las coordei el resultado es efectivarne: doble definida en cuestión riamente el concepto georm ble z no aparece explícita podemos limitamos al plan
http://carlos2524.jimdo.com/
INTEGRALES MUL TIPLES 5. f
6.
2 O
fX
2
y dy dx
=
O
f f vY 2
2
~.
8. f
5
(x+ 2y)dxdy =143 -.
f-
1
O
f
2 V xy v+ l
11. f
12 .
9. f
30
1
7.
dx dy
a f
fJ
f "f
O
O
.!.!..
=
" O
=
O
l
(a 3
3
f aacos
Q
1
f
19. f 20 . f
2
I
Q< dQ d8
.... f O
I
O
f
I - x
O
f
+ y2) dy dx
l . 5
=~. 3
b 3 ) (cos (3 - cos a) .
-
4 3 se n Od Q d"u - - a . 3
2
8
fOI fyl2 fOI - X O
(X 2
=
3
=
(n: - ~)~ . 15 10
16. f afXf!1 x 3 y2z dz dy dx O O O
18 . f
x O
+ y) dy dx
aco. 8 QsenlJdQd8=_a 1 2.
15. f a f b f 2a x 2y2z dz dy dx b O a
17.
(x
fx 2 exd JI.. ydx = -1 . O 2
I
10. f
24
13. f " f a(\+coS OJ O o
14. f2
f
2
2
O
O
"Q2 sen O d8 dQ
b
fx
I
-1
609
j' x f O
X
dz dx dy
I - y2 Z
= _1
a 2b 3 ( a 3
6
= _1
90
-
b3)
.
a9 •
=~ .
dz d y dx
= 6Q!..! .
O x v¡ O
( -X - ) d y dx dz X2
X+V ez +v+': dz dy dx O
=
+ y2
=
1 -n:.
1.. e 4 8
2
-
~ e2 + e 4
-.2.. 8
245. Valor de una integral doble definida extendida a una región S. En el artícu lo anterior la integral doble definida apareció como un vo lu men. Esto no significa necesariamente que toda in tegral doble sea un volumen; en efecto , la interp retación física del resultado depende de la naturaleza de las magnitudes representadas por x, y, z. Si x, y, z son las coordenadas de un punto en el espacio, entonces el resultado es efectivamente un volumen. A fin de dar a la integral doble definida en cuestión una interpretación que no implique necesariamente el concepto geométrico de volumen, observemos que la variable z no aparece explícitamente en la integral, y que, por tanto, podemos limi tarnos al plano XOY. De hecho, consideremos solamente
http://carlos2524.jimdo.com/
610
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
una región S (fig, 220) en el plano XOY y una función dada f(x, y), Dentro de esa región constrúyanse elementos de área rectangulares, trazando una red de paralelas como yo indicamos en el Artículo 244, Elíjase un punto (x, y) del elemento de área rectangular ~x ~y, dentro del rectdngulo K-+-+-+-+S o sobre su perímetro. Fórmese el pro( x,Y)-Ftx-l--MI'" ducto
f
(x, y) ~x ~y ,
y productos semejantes para todos los
I
IO'it----...i....----x
otros elementos rectangulares, Súmense estos productos, El resultado es
Fig, 220
L. L.f(x,
y)
~x ~y,
Finalmente o hagamos que ~X--70 y ~y--70, Escribimos el resultado en la forma (1)
6!í~0 6y
--70
L. L. f
(x, y)
~x ~y =
fff
(x, y) dx dy,
S
Y lo llamamos la 1'ntegral doble de la función f (x, y) extendida a la región S, Según (A) el valor del primel' miembro de (1) se encontró por integración sucesiva cuando f (x, y) no tenía valores negativos para la región S, Sin embargo, el razonamiento del Artículo 244 será válido si la porción S I de la superficie z = f (x, y) está debajo del plano XOY, Entopces el límite de la suma doble será el volumen con signo negativo, Las integrales en (A) darán el mismo número negativo, Finalmente, si f (x, y) es positiva para algunos puntos de S y negativa para otros, podemos dividir S en subregiones en las que f (x, y) sea o siempre positiva o siempre negativa , El razonamiento será válido para cada subregión, y en consecuencia para la región total S, De aquí la siguiente conclusión: en todos los casos el valor de la integral doble en (1) puede determinarse por integración sucesiva , Queda por explicar el método de determinar los extremos de la integración, Esto se hace en el siguiente artículo, 246. Area de una superficie plana como integral doble definida: coordenadas rectangulares. El problema de las áreas de superficies planas se ha resuelto por integración simple en el Artículo 145, El estudio relativo al cálculo de áreas mediante las integrales dobles es útil principalmente porque aclara la manera cómo se determinan
http://carlos2524.jimdo.com/
INTEGRALES MUL TIPLES
6 11
los extremos o limites de las integrales en el problema general del Artículo 245. Para cllo procedamos como sigue: Tracemos una red de rectángulos como antes. Entonces, en la figura, tenemos: (1 )
Elemento de área =
~x ~y
.
Evidentemente, si A es el área entera de la región S, según (1) del Articulo 245, es (B)
A = lím 8"---70 811---70
L L~X ~y ffdX =
dy.
S
Aplicando el resultado enunciado en el Artículo 245, podemos decir: El área de una regi6n cualquiera es el valor de la integral doble de la funci6n f (x, y) = 1 extendida a esa regi6n. O también: El área es igual, en valor absoluto, al volumen de un cilindro recto de altura 1·gual a la unidad levantada sobre la base S. (Articulo 244. )
Los ejemplos siguientes muestran cómo se hallan los extremos de la integración. EJEMPLO 1. Calcular el área de la porClOn de superficie situada arriba de OX y limitada por la parábola semicúbica y2 = x 3 y la recta y = x. Solución. El orden de integración se indica en la figura 221. Hay que integrar. en primer lugar. con respecto a x. Es decir. hay que sumar los elementos dx dy en una tira horizontal. Entonces tenemos
r
AC
J AB
dx dy
=
dy
r
AC dx
J AH
= área de una tira horizontal de
altura dy. Después. hay que integrar este resultado con respecto a y. Esto corresponde a sumar todas las tiras horizontales. De esta manera obtenemos A
=
l
OD'S o
AC
Fig. 221
dx dy.
AB
Los extremos AB y AC se encuentran despejando x de cada una de las ecuaciones de las curvas que limitan la superficie. Así. de la ecuación de la recta
http://carlos2524.jimdo.com/
6 12
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ·
se deduce x = AB = y: y de la ec uació n de la cur va se obtiene x = Ae = y%. A fin de det erminar OD. se resuelve el sistema formado por las dos ecuacio ne s para obtener el punto de intersección E. Esto da el p un to (l. 1): lue go OD = 1. Por ta nt o.
A
i
1S l1 7:í dx dy = O
Y
i
l (y% -
y ) dy
3
2
10
Podemos tambi én empezar po r su mar los elementos dx dy en una tira ve rrical. y después s um a r estas tiras. Ento n ces tendremos:
dy dx
(1 O
=J
1
31
xf2) dx =
ex -
2
'2 - "5 = 10'
En este ejemplo se puede eleg ir uno u otro ord en d e in tegrac ió n . Esto no es siempre cierro. como lo mue Slr a el siguiente ejemp lo: EJEMPLO 2. Hall a r el á rea de la s u pe rficie situada en el primer cuadra nt e y limit ada po r el eje de las x y las cur vas X2 y2 = 10. y2 = 9 x.
+
y
S olución . Aquí lugar con respecto a horizontal : es d ec ir . el círc u lo. E n to n ces área.
A
=
integraremos en primer x para cubrir una tira desde la parábola hasta tene mos . para toda el
( 3 (Hl dxdy .
J o JHG
p ues to que el punto de intersección S es (1. 3). A fin de hallar HG. d espeja remos x de y2 = 9 x . Entonces x
F ig. 222 A fin de hallar HI. co n tr amo s
resolveremos X2
x = HI
+V
+
y2
JO co n respecto a x. E n-
10 - y2 .
Luego
A=
( 3 (V~0-V2dXdY= [ f"¡lO_y2+5a rcsen
Jo
J }~ y -
y
vi 10
-b Y3 J3=6.75. O
http://carlos2524.jimdo.com/
613
INTEGRAL ES MUL TIPLES
Si int eg ramos en primer lugar con r es pecto a y. empleando tiras verticales. se nec es it a n dos integrales. Entonces
y
A
ili 3~XdYdX
+ S ~lO
So ~10 - L2
dy dx = 6.75.
El orde n de integración debe ser t al que el área se da por una sola integral, s i esto es posible.
Los ejemplos anteriores muestran que hacemos A
=
ff
dx dy
o
A =
F i g. 223
ff
dy dx
según la naturaleza de las curvas que limitan la superficie . Las figuras 224 y 225 ilustran de una manera general la diferencia de procedimientos de suma que las dos integrales indican. r
--~o~-----------------x
--~o~---------------x
Fig. 225
F ig. 224
PROBLEMAS 1. Hallar. por integración dobl e, el ár ea de la superficie limitada por las dos parábo las 3 y2 = 25 x y 5 X2 = 9 y . a) inte gra ndo e n p rim e r lu g ar con respecto a y; b) in tegrando en pri!)1er lu gar con respe cto a x.
~25 '" Sol.
a)
(
3 (
Jo J 5",2
-3- Y d x = 5; d
b)
( 5( ~ -5dXdy Jo J~
=5.
25
Calcular por integra ci ó n dob le el área finita de la superficie limitada por cada uno de l os sigu i en tes pares de curva s:
2.
3.
Y = 4 x - x 2, y2
= 4 x,
y = x.
2 x - y = 4.
So l.
4
9.
Y2.
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO
614
4.
Y
5.
y2
X2.
=
= 2
x2
6. y2 = 4 x ,
= 2
7.
y2
8.
y2=9+x.
9.
(x2
10.
xYz
11.
x%
12.
y
=
13.
x
=6
14,
4 y2
15.
y2=x+4,
= 6 =
x
l2+2y-y2.
=
y2
+4 a y = + yYz = aYz, + y% = a%, 2)
x3
=
-
2 x,
y-
y2,
x3,
Sol.
y.
+ y2
x2
X.
= 4 9 -
409%5'
Haciendo
3 x.
48.
%.
a2(Jt
-
1).
x+y
= a.
7~2( 16 - 3 n) a2•
x -
z
z = O. resulta
que es la ecuación de la curv según (2), empleando el valo
7~ a
=6
Despejando
(5)
= a.
2
16.
x.
17. 18.
y2=4-2x.
•
z
16.
x3•
Y = x.
=
(4)
x+y
y
y
4.
Jt -
x = O.
Solución.
3%.
x.
2 y = x.
8 a3,
INTI
E INTEGRAL
= O.
- y+3
2x X.
DIFERENCIAL
X2+y2=25, (2a x2
-
X)y2
27y2=16x3.
=
y2 = 14,
x3, x2
y2
+ y2
= ax. = 36.
247. Volumen bajo una superficie. En el Articulo 244 hemos estudiado el volumen de un sólido limitado por una superficie
z = f (x, y),
(1)
el plano XOY y un cilindro. Las generatrices del cilindro eran paralelas a OZ, y su base era una región S en el plano XOY. El volumen de este sólido es, según lA),
v=
(2)
SS
z dx dy
=
SS
S
8~-Y Fig.
f (x, y) dx dy.
S
EJEMPLO
2.
Hallar
226 el ve
re v o l ución
El orden de integración y los extremos de las integrales son los mismos que para el área de la región S. El volumen de un sólido de este tipo es el "volumen bajo la superficie (1)". El problema análogo para el plano, "área bajo una curva", se ha tratado en el Capítulo XIV. Como caso especial, el volumen puede estar limitado enteramente por la superficie y el plano XOY. Obsérvese que el elemento de volumen en (2) es un prisma recto de base dx dy y altura z. EJ EMPLO
1.
(3) y el plano
Hallar
el vol urnen 4 z
XOY.
limitado
= 16 -
por el paraboloide
(7) el plano
XOY
y el cilindro
(8) Solución. Despejando z de la base del cilindro (8) en'
elíptico
4 x! - y2 Para el área ONA (fig. y de (8) l; y OA = 2 a.
2; E!
http://carlos2524.jimdo.com/
615
INTEGRALES MUL TIPLES
Solución.
Despejando z de (3). obtenemos
(4) Haciendo z = O. resulta (5)
4
x2
+
16.
y2 =
que es la ecuaClon de la cur va de la base del sólido en e! plano XOY. Luego. según (2). empleando el valor z en (4).
(6)
r Jor
V = 4 Jo
2
2
v4 - ,,> (4 -
z
1) y2 dy dx = 16 it.
"4
X2 -
Los extremos de las integrales se toman para e! área OAB de la elipse (5) que está en el primer cuadrante.
k----.."B
x Fig. 226 EJEMPLO 2. revol ución
Fig. 227
Hallar el volumen del sólido limitado por el paraboloide de
(7)
az.
el plano XOY y el cilindro
(8)
X2
+
y2
=
2
ax.
Solución. Despejando z de (7). Y determinando los extremos para el área de la base de! cilindro (8) en el plano XOY. obtenemos. empleando (2).
V
=
2
50
O
2a50 o
V2ax - x 2
X2
+
2
- - - y - dy dx = a'
Para el área ON A (f i g. 227). M N = V 2 ax l; y OA = 2 a. Estos son los extremos.
y de (8)
x2
3 3 -ita
2
[obtenida despejandd
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
616
PROBLEMAS
=
Hallar el volumen bajo la superficie z O y limitado por la curva y2 = 4 x.
1.
z
=
Sol.
V
=
2
4 -
So 2i 2Vx
arriba del plano
X2.
(4 - x2) dy dx
2. Hallar el volumen del espacio comprendido debajo del plano x arriba de z = O y adentro de X2 y" = 4.
+
Sol.
V=2
'S2iV~ (2 -2
-
Hallar el v olumen limitado por el plano.!... a coordenados.
2.
=
x)dyd x= 8 ¡¡.
+ J{b + ~e =
y 10s planos }~
Sol.
+ z = 4.
4. Hallar el vo lumen limitado arriba por x lateralmente por y2 = 4 x.
a2
Oy
5¡~;5.
Sol.
+
abe.
=
abajo por z
5. Hallar el vo lumen del sólid o limitado arriba por y2 por z = O. y dentro de X2 y2 = a2 •
az y abajo Sol. %1(a 3 •
-
Hallar el v.olumen comprendido debajo del paraboloide elíptico z = I _ ~ 4
X2 _
1
'9
y
2
Sol.
y arriba de z = O.
7.
+z
O
3.
6.
17.24.
=
3
¡¡.
Hallar el vo lumen del espac io comprendido debajo del plano
+ y + z = 8. O y entre los planos x + 2 y = 8. x
arriba de z =
x - 2 y
=
8. Hallar el volumen limitado por la superficie cilíndrica los planos x y = a. y = O. z = O.
+
9. Un sólido está limitado por las superficies y2 y situado en el interior de y2 = ax. Hallar el v olumen.
+
So/.
8.
Z2
=
X 2
+ az Sol.
4 ax. x
170 %. =
a2 y
% a~.
=3
a.
10. Hallar el volumen del espacio comprendido debajo de la superficie cilíndrica y2 = a 2 - az. arriba de z = O y dentro de la superficie cilíndrica x2 y2 = ax. Sol. 1%. ¡¡a3.
+
11. Hallar el vol umen del espacio comprendido debajo de z = 2 x + a. arriba de z = O y dentro de x2 y2 = 2 ax. Sol. 3 ¡¡a 3 •
+
12. Hallar el volumen del espacio comprendido debajo de y2 + z = 4. arriba de z = O y dentro de las superficies cilíndricas y2 - 2 x = O. y2 = 8 - 2 x.
Sol.
51%5'
http://carlos2524.jimdo.com/
INTEGRALES MUL TIPLES
6 17
+
13. Un sól ido está limitado por el paraboloide X2 y2 = az, la superficie cilíndrica y2 = a 2 - ax y los planos x = O, z = O. Hallar el volume n .
y¡ a 3 •
Sol. 14 .
Hallar el volumen del espacio comprendido debajo de 4z
arriba de z
=
O y dentro de
X2
= 16 - 4
+
y2 =
X2 -
y2,
2 x.
Sol.
4%6 n.
15. Los ejes de dos superficies cilíndrica s de rev olución se cortan en ángulo recto. Sus radios son iguales (= r). Hallar el vo lumen común. Sol. 1% r 3.
+
16. Hallar el vo lum en d e la sup erficie cerrada x % y% + z % = a%. interse cc ió n con cada plano coord enado es la astroide , C ap. XXVI.)
Sol. 17 .
Hallar el v olumen común a y2
+
Z2
= 4
ax y
X2
(Su
%snal .
+
y2 = 2 ax. Sol. (2n+ 1%)a 3.
248. Instrucciones para establecer, en la práctica, una integral doble. Ahora enunciaremos una regla para llegar a establecer la integral doble que dará una magnitud buscada. Veremos algunas apliciones en los artículos siguientes. La regla correspondiente para la integración simple se ha dado en el Artículo 156 . PRIMER PASO.
Se trazan las curvas que limitan la región en cuestión.
SEGUNDO PASO. En un punto cualquiera P (x, y) dentro del recinto se construye el elemento de área rectangular ~x ~y . T E RCER PASO. Se determina la función f (x, y) por la cual ~x ~y debe multiplicarse para dar la magnitud buscada asociada al elemento de área rectangular. CUARTO PASO.
La integral que se busca es
SSf(x,y)dXd y extendida a la región dada. El orden de integración y los extremos de las integrales se determinan como para calcular el área misma.
249. Momento de una superficie y centros de gravedad. Este problema se ha tratado en el Artículo 177 por integración simple. Muchas veces conviene más la integración doble. Seguiremos la regla del Artículo 248. Los momentos de una superficie para el elemento rectangular del área son respectivamente x y
~x ~y,
~x ~'J,
con respecto a OY, con respecto a OX.
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO
618
DIFERENCIAL
Luego para la superficie lo 177 , tenemos (e)
=
M"
entera,
SS
El centro de gravedad
empleando
y dx dy,
En (e) las integrales funciones
My
=
INTE
la notación
SS
del Artícu-
y
dan los valores
x dx dy.
My-
Mx
= área·
Puesto
de las integrales
dobles
de las
respectivamente, extendidas al área dada. (Art. 245.) Para una superficie limitada por una curva, el eje de las x y dos ordenadas (el "área bajo la curva' '), deducimos de (e)
M:¡; = My =
i So i So z
y dy dx =
b
Y
b
y
dy dx =
i i
Y2
b
by2
empleando
(e),
-i1fY% -i1fY%
y
M:¡; -
f (z , y) = y y f (x, y) = x,
(1)
Luego.
de la superficie se da por
-My x=-área'
(D)
E INTEGRAL
dx,
xy dx.
Estas ecuaciones están de acuerdo con (2) del Artículo 177. Obsérvese que y en (1) es la ordenada de un punto de la curva, y su valor en función de x debe hallarse de la ecuación de la curva y sustituirse en el integrando antes de integrar.
tenemos,
o
11
o
11
(D),
x
x
que
según
=
!Q
21
250. Teorema de Papp gravedad y el volumen de siguien te teorema:
Si un recinto plano gira lo corta, el volumen del sólí producto del drea del recinto cribe su centro de gravedad.
Demostración. Hagamo to S (fig. 228). El elemenl en P (x, y) engendrará un (
Descomponiendo
en fact
y
...•.
, /
--~~---------x
"\
s
\
J
--~,!!!~~ 0\'
o
Ahora bien, en (1), A "interior al rectángulo PQ o es un punto del contorno Entonces Ll V tiene la form lo 245, Y (e)
....•..
J.....
"-
Fíg.
(1 )
x Fig.
228
Hallar el centro de gravedad de la superficie situada y limitada por la parábola serni cúb ioa y2 = x3 y la recta
Solución.
El orden
I del Artículo
y los extremos 246.
2
Jt
I
229
Por último,
ejemplo
=
v
EJEMPLO.
cuadrante
V:¡;
de la integración
en el primer y = x,
se han hallado
en el
empleando
(2)
en donde A es el área de producto del área por la I
http://carlos2524.jimdo.com/
INTEGRALE S MUL TIPLES
619
Luego . empl ea ndo (e),
M
11
=
li1
11f 1l%
xdxdy="[
o
o
11
Puesto que
A
tenemo s, según ( D ),
I
(y % -y2)dY=21'
=
á rea
=~
lO'
x = 21!Q = 0.48, Y = 2.12 = 0.42.
250. Teorema de Pappus. Una relación útil entre el centro de gravedad y el volumen de un sólido de revolución se expresa en el siguiente teorema:
Si un recinto plano gira alrededor de un eje situado en su plano y no lo corta, el volumen del sólido de revolución así engendrado es igual al producto del área del recinto por la longitud de la circunferencia que des-o cribe su centro de gravedad. Demostración. Hagamos gira r alrededor del C'j e de las x el recinto S (fig . 228 ). El elemento de área rec cangular dent ro de la región S en P (x, y) engendrará un cilindro circular hueco cuyo volumen /1 V es
D escomponiendo en factores y simplificando, obtenemos /1 V = 2 n: (y
+ 72 /1y)
/1 x /1y.
Ahora bien, en (1), Art . 245, (x, y) en f (x, y) es un punto "interior al rectángulo PQ o sobre su contorno' '. Pero (x, y + 72 /1 y) es un punto del contorno de PQ . Por tanto, sea f (x, y) = 2 n:y . Entonces /1 V tiene la forma f (x, y) /1x /1y, y según (1), Artículo 245 , Y (e) (1 )
V", = 2 n:
ff
y /1x /1y = 2 n: M z .
s Por último, empleando (D), obtenemos (2)
Vx = 2
n:Y· A,
en donde A es el área del recinto S . El segundo miembro es el producto del área por la circunferencia que describe su centro de
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO
620
gravedad. escribir:
Por
DIFERENCIAL
tanto,
E
el teorema
(3)
V
=
2
queda
Hallar.
por
el teorema
Solución.
El
ny . A .
=
7.
y2
8.
y" = x.
X.
+Y
X
V, y,
de Pappus.
A, la otra
el centro
puede
de gravedad
del
+
~ =0
2.
=
y = 2.
x+
9. y3 = x2.
= Yz (3 5)8 = 32. Haciendo girar la figura alrededor de OX. el sólido que se forma es un tronco de cono de revolución. Luego según (12). Artículo 1. puesto que a = 8. R = 5. t = 3.
OMPB
área
y podemos
230.
OM P B de la figura
trapecio
lNTEGR
demostrado,
Si se conocen dos de las cantidades hallarse por medio de la fórmula (3). EJEMPLO.
INTEGRAL
x
2 y = x. 2 y2
=
10.
4 Y = 3 x2•
11.
y2
=
12.
y2
= 8
x,
x+y
=
13.
y2
=
X.
y2
- x.
14.
Y = 6 x - x2•
X
Ifi ,
x
Y = x.
16.
y=4x-x2•
17.
y2=4x.
18.
y=x2-2x-3.
19.
x2+y2=1,
20.
X2+y2=32.
21.
y2=4x.
22.
x2
23.
x2=y.
24.
x%
+ y%
25.
xy,
+
2 x,
4
= 4 Y -
9x.
y = x - x2.
= 5
y2.
6.
+Y
= (
resulta: B
V"
5
J O
8
Y
+ 9 + 15)
392
= -3-n.
(3). =
230
Fig.
(25
3
según
Luego.
X
M
=~
V", 2 nA
=
392 192
=
2.0~.
Haciendo girar la figura alrededor de OY. el volumen que se engendra diferencia entre los volúmenes del cilindro engendrado por OCPM y del engendrado
BCP.
por el triángulo
Por
es la cono
tanto.
V U = 320 n _ 128 n = 812 n.
3 Luego.
El centro
según
x
el teorema.
de gravedad
es
(4
=
%.
Vy
2 nA
= 832 = 192
3
42-. 3
y=5-2 2x-y=4. y=é x+y=1. y2=4x. 2x+y=4.
+ y2
-
10 x
=
O.
X2,
2y=6x-x2. = a%.
(Area e,
2.04). x = O.
yy, = ay,.
PROBLEMAS 26. Hallar dex=a(O-senO). Hallar siguientes
el centro
de gravedad
de la superficie
limitada
por
cada
una
el centro
de graveda y=a(l-
de las
curvas: y=4x.
('%5.6~L).
y=x3•
2.
y=6x-x2•
y=x.
o~.5).
3.
y=4x-x2•
y=2x-3.
(1.
4.
x2=4y.
5.
Y = x2•
6.
!I =
x2
(Areaene\primer.cuadrante.)
Sol.
1.
2 x - y -
2 x - 3.
28.
Empleando
de superficie
+3
=
O.
y = 2 x - 3.
el teorema
de
%).
(1. %).
x-2y+4=0.
27. Empleando semicírculo.
(I.'}t).
(2. -%).
el teorema .
de la e li pse ~
2
a2
de P
+.'L22 , b
http://carlos2524.jimdo.com/
L
INTEGRALES
o, y podemos
la otra puede
de gravedad
5)
=
=
5.
r =
3.
392 n , 3
Ot se engendra es la CPM y del cono
r cada una
y2=x.
8.
lj'i.
=
9.
y3
= x2•
de las
x+y=2.!1 X.
X
=0
+Y
= 2.
621 Sol.
(Primercuadrante.)
=
x
( 3%5. %.) .
O.
2 Y = x.
10.
4 y = 3 x
11.
y2 = 2 x ,
y = x - x2.
12.
y2 = 8 x ,
x+
13.
y2 = 4
y2 = 5
14.
Y
=
15.
de!
o girar la figura e se forma es un uego según (12) •
. R
7.
MUL TIPLES
2 y2 = 9 x .
2•
X.
=
6x -
x2•
X
x = 4 Y -
y2.
Y = x.
16.
Y = 4 x -
x2•
y = 5 -
17.
y2=4x.
6.
Y =
19.
x2
+
20.
x2
+ y2
21.
y2 = 4 x ,
x2
- 3.
y2 = 1,
x+y
23.
x2 = y.
24.
x%
+
25.
xy,
+ yYo
2 x.
(¡ Ys.
O) . 5).
%).
(3.
- x
y =6x
2
-
3.
1).
(2.
1.
=
1).
(0.585.0.585)
y2 = 4 x . y = 4.
IOx=O.
x2
2 Y = 6 x -
y% = a%. = aYo.
- 4).
('%, %1.
+
2 x
(3%.
(%.
-2x
= 32.
4%1) .
(%.
2x-y=4.
18.
(1%.
y.
x2•
(Ar ea en el primer x = O.
256 a. ( 315 rt
cuadrante.)
bajo
una arcada
de la cicloi-
Sol.
u~.5). (I.
%) .
(1.
%) .
(1.
1%).
de Pa p p u s , hallar
Sol.
el centro
Distancia
(J'ta,5 a). 6
de gravedad
del diámetro
de un
=
±..::. 3J't
28.
Empleando
el teorema 2
de superficie
(2. -%) .
el teorema
256 a). 315 J't
y = O.
26. Hallar el centro de gravedad de la superficie de x = a (O - se n O), Y = a (1 - c o s O).
27. Empleando semicírculo.
.
( I:y\S. _17\S).
x.
+Y
1}{o)
(J{ o. 2%0) .
y = 6.
-
(%5.
de la elipse
x a2
de Pa p p us, hallar
+ JC. b 2
= I
que
e! centro
de gravedad
está en el primer
de la parte
cuadrante.
Sol.
4 b). (~. 3J't 3J't
.
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
622
29. Empleando el teorema de Pappus , hallar el volumen del toro que se engendra haciendo girar el círculo (x - b) 2 y2 = a 2 (b > a) alrededor del eje de las y. So/. 2 n 2 a 2 b.
+
30. Un rectán g ulo gira alrededor de un eje que está en su plano y que es perpendicular a una di-agonal en uno de sus extremos. Hallar el vol umen del sólido engendrado.
251. Centro de preslon de liquidos. El problema de calcular la presión de un líquido sobre una pared vertical se estudió en el Artículo 179. Las presiones sobre los elementos rectangulares de la figura 231 constituyen un sistema de fuerzas paralelas, puesto que son perpendiculares al plano XOY del recinto. La resultante de este sistema d~ fuerzas es la presión total P del líquido, dada por (D), Art. 179.
P = W ibyx dx.
(1 ) b
j
El punto de aplicación de P se llama centro de presión del líquido . Deseamos hallar la coordenada x( = xo) de este punto . Con este fin emplearemos el princip1·o de momentos de fuerza, que se Fig . 231 puede enunciar así: La suma de los momentos de un sistema de fuerzas paralelas con respecto a un eje es igual al momento de su resultante con respecto a este eje . Ahora bien, la presión dP del líquido sobre el elemento rectangular EP es, según el Artículo 179, (2 )
dP = Wxy tix.
El momento de esta fuerza con respecto al eje OYes el producto de dP por su brazo de palanca) OE (= x), o sea, empleando (2), (3 )
Momento de dP = x dP = Wx%y tix.
De esto tenemos, para el momento total de la presión distribuída del líquido, (4 )
Momento total
=
i
b
Wx2y dx.
http://carlos2524.jimdo.com/
INTEGRALES MUL TIPLES
623
Pero el momento de la presión resultante P del líquido es xoP Luego (5 )
Despejando
3"0
Y empleando (1), obtenemos para la profundidad
del centro de presión, la siguiente fórmula:
Xo
(6 )
=
ir
X2
dA
b
b
Ja
,
x dA
en donde dA = elemento de área = y dx En (6) el denominador es el momento de la superficie plana ABCD con respecto a OY (véase el Art 177) El numerador es una integral que no hemos encontrado hasta ahora Se llama el momento de inercia de la superficie ABCD con respecto a OY o Ordinariamente se emplea la letra I para el momen to de inercia con respecto a un eje, y se añade un subíndice para señalar el eje Así (6) se convierte en o
o
o
o
o
(7 )
3"0 =
Iv -M
o
- v
La notación ordinaria para el momento de inercia con respecto a un eje l es (8)
11
=
Sr
2
dA,
en donde r = distancia del elemento dA al eje l o
(9)
El problema de este artículo es uno de los muchos que conducen a momentos de inercia En el Artículo 252 se explica el cálculo de momentos de inercia por integración doble y simple; también se dan aplicaciones o
o
252. Momento de inercia de una superficie. En mecánica el momento de inercia de una superficie con respecto a un eje es un concepto importante Ahora vamos a explicar el cálculo de los momentos de inercia. Seguiremos la regla del Artículo 248 o
o
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
624
Para el rectángulo elemental PQ en P (x, y) el momento de inercia con respecto a OX se define como (1)
y con respecto al eje de las y es (2)
X2 I1x l1y.
Entonces, SI 1,. e Iv son los momentos de inercia correspondientes a la superficie entera, tenemos (compáy rese con (8) del Artículo 251) (E)
o
Ix
=
f fy2dXdY,
1y
=
f f X2
dx dy.
Los radios de giro dados por la fórmula
x Fig. 232
(F)
Tx
y
Ty
VIenen
-Ivrx2=~, r-v - área' 9
area
En (E) las funciofJes cuyas integrales se extienden a la superficie son f (x, y) = y2 Y f (x, y) = x 2 , respectivamente. Las fórmulas (E) se simplifican para una superficie, "bajo una curva' '; es decir, una superficie limitada por una curva, el eje de las x y dos ordenadas. Así obtenemos Ix = (3 )
f. bi (t
vy2 dy dx
o
1 = "3
f. b
y3 dx,
a
Eü estas ecuaciones y es la ordenada de un punto de la curva, y su valor, en función de x, se obtiene de la ecuación de la curva y se sustituye en el integrando. Las fórmulas para los momentos de inercia 1 se escriben en la forma (G)
en donde A = área y T = radio de giro. Esta forma se obtiene despejando de (F) los valores de Ix e I!J. Dimensiones. Si la unidad lineal es 1 cm, el momento de inercia tiene las dimensiones cm 4 • Según (F), Tx y Ty son longitudes en centímetros.
http://carlos2524.jimdo.com/
INTEGRALES MUL TIPL ES
625
EJEMPLO l . H a ll ar Ix, I y y los radios de giro correspo ndi en tes para la su perf icie del ej emp lo 1 del Artículo 246. Solución. Empleando el mi smo ord en de inte gració n y lo s mismos extrem os, tenemos, segú n (E),
44'
Puesto que A
área
1
16'
encontramos, seg ún (F),
rL = 0.48.
r u = 0.53.
e Fig. 234
Fi g. 233 EJEMPLO 2. ra 234 . Solución . indican es
Hallar Ix e I!/ para el segmento parabólico BOe en la figu-
L a ecuació n de b pa rábola referida a los eje s coordenados que se y 2 = 2 px.
(1)
P u esto qu e B (a . b) es un punto d e la cur va . obtenemos. sustituyendo x y = b en (4).
a.
b 2 = 2pa. Despejando 2 p de esta ecuación, y sustituyendo su valor en (4), obtenemos (5)
b2x b xX , o sea. IJ - - a a~ •
1J2 = -
http://carlos2524.jimdo.com/
CALCULO
626
DIFERENCIAL
E INTEGRAL
INTEC
bajo el a r co OPB en el primer buscados. Por tanto. empleando obtenemos
Los momentos de inercia de la superficie cuadrante serán las mitades de los momentos (3) y sustituyendo el valor de y según (5).
_i
i
=
a
b
2
y¡
x
1 xY2
2
= ya b.
dx
a "
O
el área del segmento.
J.-
A
2
Luego.
=
(7)
1s =
r2 d.
(8)
M s =
r di
La
de AB es y = con extremo
ecuación
(8) e integrando
encontramos
i
a !J dx
O
según
=
i
-,-b
a
a!-2
O
x>-2 dx
= -2 ab.
A
3
4
18
="3 aá.
(F).
=
=
Ms=
1T
f f
251.
3
y Para
Art.
3
lx-15ab. 1 -2 Ty
Luego. según (8). (Art. 177). tenemos
I
50 \8 50 4
(6'
Ix = +Ab2•
A ="5 i»,
De aquí.
según
(7).
Art.
25
3
ly = lAa2•
Los
resultados
están
en la forma
253. Momento polar de tángulo elemental PQ con n origen O es el producto del
(G).
-2
En la figura 165 el eje OY está en la superficie del líquido. Si en cualquier figura llamamos s a este eje, entonces la profundidad del centro de presión es, según (7), Art. 251 ,
_ .L.. _ (6 ) si
rs = radio de giro alrededor
y
h.,
Nio¡e/ del
= profundidad
Luego, según el área entera
Ts2
M, -
Xo
hs'
del centro de gravedad
ecce
debajo del eje s .
/2
JSC641
\--'\----+------1
,c
A.Y)
----4"------~o~------7A(~.~'".),--+x i-------...-.(2m + 3)
2(2a - bu) Y~ 3 b2
=
r
2um
du = --7'--'-.,..:-,=-,-I>