... media di processi multivariati Lowry et al. (1992) hanno proposto una
estensione multivariata della carta di controllo a media mobile basata sull'
informatore:.
Serie E.P. N. 83
Istituto di Statistica
Dott.ssa L. Deldossi
Carte di controllo multivariate a media mobile in senso predittivo: tavole per l’utilizzazione
1. Introduzione Per verificare la rottura di media di processi multivariati Lowry et al. (1992) hanno proposto una estensione multivariata della carta di controllo a media mobile basata sull’informatore:
Tt 2 =
2 − r ' −1 ⋅ Zt ⋅ Σ x ⋅ Zt r
[1]
dove il vettore Zt di dimensione p definito nel seguente modo: Z t = rX t + (1 − r )Z t −1 ,
Z0 = 0
[2]
con X1, X2, ..., v.c. p-variate indipendenti e identicamente distribuite come N (0, Σ x ) , 0 < r ≤ 1 . La carta conduce ad accettare H 0 : M ( X T ) = 0 e a ritenere il processo “in controllo” se Tt 2 ≤ h dove h>0 è un conveniente valore critico; al contrario, conduce ad accettare H 1 : M ( X T ) = μ ≠ 0 e a ritenere il processo “fuori controllo” se Tt 2 > h . I valori di h e r vengono determinati in base a considerazioni sulla lunghezza media delle sequenze – Average Run Length, nella letteratura anglosassone, da cui la sigla ARL - che, con riferimento ad un procedimento sequenziale del tipo in oggetto e ad una situazione di controllo o di fuori controllo, esprime il numero medio di osservazioni necessario per giungere, scorrettamente nel primo caso, correttamente nel secondo, a ritenere il processo fuori controllo. In particolare si sceglierà h ed r in modo tale che, sotto H0, ARL abbia un valore sufficientemente elevato (ARL0), mentre, sotto H1, ARL, che dipende da μ e da
Σ x solo attraverso il parametro di non centralità δ 2 = μ ' Σ −x 1 μ (vedi Lowry et al. (1992)), abbia un valore “piccolo” in corrispondenza ad una sregolazione δ ritenuta grave. In un precedente lavoro (cfr. Zanella e Deldossi (1992)) si era fatto rilevare come Zt definito nella [2], rappresentasse il predittore ottimo ad un passo di un processo a media mobile integrato p-variato (IMAp(1,1)) definito dall’equazione ricorrente:
X t − X t −1 = At − (Ι − Λ )At −1
[3]
con Λ=rΙ, dove Ι è la matrice identità, At processo vettoriale di tipo white noise con M(At)=0 e matrice di covarianza ΣA. Ne conseguiva che l’informatore [1] può essere idoneo a descrivere in
Serie E.P. N. 83
Istituto di Statistica
Dott.ssa L. Deldossi
modo coerente anche rotture del modello stocastico, generatore delle osservazioni, corrispondenti all’insorgere di un processo IMAp(1,1) come alternativa H 1' ad un “white noise”. Dal momento che, nei processi produttivi reali, l’insorgenza di fluttuazioni stocastiche di media può ritenersi corrente ed il modello IMAp(1,1) spesso adeguato a descriverle (vedi Box e Kramer (1992)) sembra ragionevole pensare di proteggersi nei confronti di detto fenomeno. In questo senso, in Zanella e Deldossi (1992), si propone un nuovo utilizzo della carta di controllo multivariata a media mobile (MUPES) in cui veniva conservata la definizione di H0 e l’ipotesi di indipendenza fra le Xt al variare di t mentre si ampliava la classe delle alternative aggiungendo ad H1
H 1' : Xt ∼ IMAp(1,1),
con Λ=rΙ, e
ΣA= ΣX,
[4]
cioè ammettendo che uno stato di fuori controllo posso includere, oltre alla classica rottura “a gradino” del livello medio del processo, anche una “rottura stocastica” con il passaggio da osservazioni indipendenti ed identicamente distribuite ad un comportamento non stazionario secondo un modello IMAp(1,1). ... 2. Il calcolo della lunghezza media di sequenza nella carta di controllo MUPES 3. Determinazione dei valori r ed h per l’utilizzo in senso predittivo delle carte MUPES 4. Commenti e conclusioni Riferimenti bibliografici
Marzo 1997
