Carte di controllo per attributi Il controllo per variabili non sempre `e ...

Statistica Industriale Lez. 9

Carte di controllo per attributi Il controllo per variabili non sempre ` e effettuabile

• misurazioni troppo difficili o costose

• troppe variabili che definiscono qualit` a di un prodotto

• le caratteristiche dei prodotti non sono misurabili

In questi casi si utilizza il controllo per attributi che si basa sulla formulazione di un giudizio qualitativo sulle unit` a prodotte che vengono classificate in conformi oppure non conformi. 1


Carta di controllo per frazione di unit` a non conformi - Carta p Dato un campione di numerosit` a n sia d il numero di unit` a risultate difettose. Se 0 < p < 1 ` e il livello di difettosit` a del processo produttivo e se indichiamo con D la v.c. che conta il numero di difetti in un campione di numerosit` a n abbiamo n P (D = d) = pd(1 − p)n−d, d = 0, 1, . . . , n d La frazione di non conformi ` e definita da pˆ = D e distribuita approssin ed ` mativamente come una gaussiana p(1 − p) pˆ ∼ N p, n

!

Se non si conosce p si estraggono m campioni di numerosit` a n si calcola per ogni campione la pî = dni e quindi si stima p con Pm Pm d pî i p¯ = i=1 = i=1

mn

m

2


I limiti di controllo per la carta 3-sigma e per la carta di probabilit` a sono rispettivamente s

UCL = p¯ + 3

p¯(1 − p¯) n

CL = p¯ s

p¯(1 − p¯) LCL = p¯ − 3 n s

UCL = p¯ + z1−α/2

p¯(1 − p¯) n

CL = p¯ s

p¯(1 − p¯) n Se LCL risulta negativo si pone uguale a zero. Le carte di controllo per la frazione di difettosi tengono sotto controllo sia la media che la variabilit` a del processo produttivo. LCL = p¯ − z1−α/2

3


Esempio: (Montgomery). Consideriamo i dati relativi alla produzione di contenitori per succo d’arancia che vengono prodotti a partire da fogli di cartone grezzo. Si ispezionano le confezioni finali per controllare che non perdano liquido. Vi sono m = 30 campioni di n = 50 unit` a ciascuno. Sulla base di questo primo campionamento si stimano i limiti di una carta di controllo 3-sigma. I valori centrale, UCL e LCL sono riportati nel grafico alla pagina seguente. Si notano un valore centrale piuttosto elevato (oltre il 20% di pezzi difettosi) e due punti fuori controllo (il 15-esimo e il 23-esimo campione). Individuato il motivo si tolgono questi due campioni e si ricalcolano i limiti di controllo per la carta. Si noti che nel secondo calcolo vi ` e ancora un punto fuori controllo. Non avendo trovato nessuna causa apparente del motivo si lascia il punto tra i campioni. Resta il fatto che la percentuale di pezzi difettosi ` e troppo elevata e occorre apportare qualche modifica al processo produttivo. 4


Carta p per D[Trial] ● ●

UCL

●

● ●

0.3

● ●

● ● ●

●

●

●

●

0.2

● ●

●

●

●

●

●

●

● ●

● ●

0.1

Group summary statistics

0.4

● ●

●

●

●

●

LCL 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

Group

Number of groups = 30 Center = 0.2313333 LCL = 0.05242755 Number beyond limits = 2 StdDev = 0.421685 UCL = 0.4102391 Number violating runs = 0

5


● ●

UCL

0.35

0.40

Carta p senza i punti fuori controllo

●

●

0.30

●

0.25

●

●

●

●

●

●

0.20

●

●

●

●

0.15

●

●

●

●

●

●

●

0.10

●

●

●

●

●

0.05


●

●

LCL 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

Group


6


La carta porta a concludere che il processo ` e sotto controllo con una media p = 0.215 di frazione di pezzi difettosi. Una percentuale decisamente alta. Dopo alcuni accorgimenti volti a migliorare il processo di produzione sono raccolti altri 24 campioni sempre di numerosit` a 20 e i risultati sono rappresentati nel grafico seguente. Si nota un vistoso abbassamento della frazione di difettosi. La carta segnala un punto fuori controllo in basso (non genera preoccupazione) e un campione che viola il numero di sequenze tutte dalla stessa parte. A questo punto un test per la verifica dell’uguaglianza delle due proporzioni nel primo gruppo di 30 campioni e nel secondo di 24 dovrebbe confermare il cambiamento avvenuto. Se il test conferma l’ipotesi che la proporzione di non conformi ` e diminuita si procede a ricalcolare i nuovi livelli della carta p. 7


p Chart for D.trial[−out] and D[!trial] New data in D[!trial]

● ●

UCL

0.35

0.40

Calibration data in D.trial[−out]

●

●

0.30

●

●

0.25

●

●

●

●

●

●

●

0.20

●

●

●

●

0.15

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

0.10

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

0.05


●

●

●

●

●

●

● ● ●

●

●

●

LCL 1

●

●

● ●

3

5

7

9 11

14

17

20

23

26

29

32

35

38

41

44

47

50

Group

Number of groups = 52 Center = 0.215 StdDev = 0.4108223

LCL = 0.04070284 UCL = 0.3892972

Number beyond limits = 2 Number violating runs = 1

8


UCL

●

0.20

0.25

Carta p per D[!Trial]

0.15

●

●

0.10

●

●

●

●

●

●

●

●

●

0.05

●

●

●

0.00


●

●

●

●

●

●

●

●

●

LCL 1 2 3 4 5 6 7 8 9

11

13

15

17

19

21

23

Group

Number of groups = 24 Center = 0.1108333 LCL = 0 StdDev = 0.3139256 UCL = 0.2440207


9


Scelta di n nelle carte di controllo per frazione di non conformi Dopo aver stimato p con un controllo del 100% della produzione se p ` e molto piccolo allora n deve essere molto grande per poter osservare almeno q un difetto. Infatti se p = 0.01 e n = 8 abbiamo che UCL = p + 3 p(1 − p)/n = 0.1155. Se si dovesse osservare una non conformit` a si avrebbe pˆ = 1/8 = 0.1250 e quindi il punto cadrebbe oltre UCL e il processo sarebbe considerato fuori controllo. Per evitare ci` o si pu` o ricorrere a due procedure. Possiamo scegliere n affinch´ e la probabilit` a di osservare una non conformit` a sia almeno superiore ad un livello γ fissato P (D ≥ 1) ≥ γ. Dall’approssimazione della Binomiale con la Poisson D(D = k) =

n

k

npk k n−k −np p (1 − p) ∼e , k!

ricaviamo − log(1 − γ) p Da cui per γ = 0.95 e p = 0.01 ricaviamo n ≥ 300. n≥

10


Un altro approccio consiste nello scegliere n in modo che la carta si accorga di un cambiamento di specificata entit` a. Ad esempio se vogliamo che sia segnalato un punto come fuori controllo quando la frazione di non conformi ` e pari a p1 > p allora deve essere s

p(1 − p) ≥ p1 p+3 n ponendo δ = p1 − p ricaviamo 9p(1 − p) n≥ δ2 Se, a titolo d’esempio, vogliamo determinare uno scostamento da p = 0.01 a p1 = 0.05 abbiamo, δ = 0.04 e ricaviamo n ≥ 56. A volte ci si vuole anche garantire di avere un LCL positivo in modo da andare a ispezionare quei casi di frazione di non conformi molto bassi. In tal caso deve essere scelto n in modo che s

p(1 − p) 1−p ≥ 0 da cui n ≥ 9 p−3 n p Ad esempio per p = 0.01 ricaviamo n ≥ 891, per p = 0.05, n ≥ 171 11


Carta di controllo per numero di unit` a non conformi - Carta np Invece che costruire la carta per la frazione di non conformi p possiamo costruire direttamente la carta per il numero di non conformit` a. I limiti della carta 3-sigma e di probabilit` a, rispettivamente, sono i seguenti q

UCL = np + 3 np(1 − p) CL = np q

LCL = np + 3 np(1 − p) q

UCL = np + z1−α/2 np(1 − p) CL = np q

LCL = np − z1−α/2 np(1 − p) Non conoscendo p si provveder` a a stimarlo.

12


Dimensione campionaria variabile Capita spesso che la dimensione campionaria sia diversa. In questo caso 3 sono gli approcci che si possono seguire. Il primo consiste nel considerare le linee della carta variabili (poco consigliato). Il secondo consiste nel costruire la carta basandosi sul valore medio di n calcolato come segue m 1 X ni n ¯= m i=1

e utilizzando come stima di p la seguente Pm di i=1 p¯ = Pm i=1 ni

I limiti di controllo per la carta 3-sigma sono s

UCL = p¯ + 3

p¯(1 − p¯) n ¯

CL = p¯ s

p¯(1 − p¯) LCL = p¯ − 3 n ¯ 13


Il terzo metodo consiste nell’utilizzare i valori standardizzati. campione si calcolano i valori pˆ − p , zi = r i

Per ogni

i = 1, 2, . . . , m

p(1−p) ni

dove pî ` e la frazione di non conformi nel gruppo i-esimo e a p dobbiamo sostituire una sua stima. La carta ha come linea centrale zero, mentre come UCL e LCL rispettivamente 3 e −3.

14


Curva operativa caratteristica La curva OC descrive la probabilit` a di accettare erroneamente un punto come sotto controllo quando invece non lo ` e, in funzione dello scostamento dal valore fissato p0. Si tratta quindi di calcolare la probabilit` a di commettere un errore di secondo tipo (β) al variare di p β(p) = P (ˆ p < UCL|p) − P (ˆ p < LCL|p) ˆ < nUCL|p) − P (D < nLCL|p) = P (D dove D segue la distribuzione Binomiale con parametri n e p. Fissati i limiti UCL e LCL avremo una curva per ogni numerosit` a campionaria n. Ad esempio per la carta con limiti LCL=0 e UCL=0.2440 dobbiamo calcolare ˆ < 50·0.2440|p)−P (D < 50·0|p) = P (D < 12.2|p) = P (D ≤ 12|p) β(p) = P (D Mentre per la carta con limiti LCL=0.0407 e UCL=0.3893 dobbiamo calcolare β(p) = P (D < 19|p) − P (D ≤ 2|p) 15


Riportiamo il grafico per la carta di pagina 9

0.0

0.2

0.4

β(p)

0.6

0.8

1.0

Curva Caratteristica n == 50

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

p

16


Riportiamo il grafico per la carta di pagina 8

0.0

0.2

0.4

β(p)

0.6

0.8

1.0

Curva Caratteristica n == 50

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

p

17


Dalla curva OC ricaviamo, se il processo ` e sotto controllo, con valore della CL p = 0.215, β(p) = 0.9971 da cui α = 0.0029 e 1 = 339.38 0.0029 Per cui si avr` a un segnale di falso allarme in media ogni 339 campioni. ARL0 =

Se invece il valore di riferimento si sposta a p = 0.3 abbiamo β = 0.9152 e 1 1 ARL = = = 11.79 1−β 1 − 0.9152 Per cui dovremo aspettare in media 12 campioni prima di avere un segnale di fuori controllo. Se il valore si sposta a p = 0.4 abbiamo β = 0.4465 e 1 1 = = 1.807. 1−β 1 − 0.4465 Per cui dovremo aspettare in media 2 campioni prima di avere un segnale di fuori controllo. 18 ARL =


Carte di controllo per numero di non conformit` a per unit` a - Carta c Si ` e interessati al numero totale di difetti per unit` a prodotta (ad esempio il numero di falle in un tessuto). L’ipotesi su cui si basa la costruzione di tali carte ` e che la v.c. che descrive il numero di difetti abbia la distribuzione di Poisson con parametro c che rappresenta il numero medio di difetti nell’unit` a di misura prefissata. cx −c P (X = x) = e , x = 0, 1, 2, . . . x! La carta di controllo con limiti 3-sigma sfrutta l’approssimazione della Poisson alla Gaussiana N (c, c). Questa approssimazione vale se c = np nel caso in cui cresce n e contemporaneamente diminuisce p mantenendo costante il prodotto np. I limiti della carta sono dunque i seguenti √ UCL = ¯ c+3 ¯ c CL = ¯ c

√ LCL = ¯ c−3 ¯ c dove ¯ c=

P

ci/m, essendo ci il numero di difetti nell’unit` a i. 19


Esempio: (Montgomery). Si considerano il numero di non conformit` a riscontrate su 26 campioni costituiti da 100 circuiti stampati. La stima di c ` e data da ¯ c = 516 26 = 19.85. I limiti della carta sono rappresentati nella figura seguente.

40

c Chart for x[trial]

35

● ●

UCL 30

●

25

●

● ●

●

●

●

20

● ●

● ●

● ● ●

●

●

15

●

●

●

●

●

10

●

●

LCL ● ●

5


●

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

Group

Number of groups = 26 Center = 19.84615 LCL = 6.481447 StdDev = 4.454902 UCL = 33.21086


20


Si osservano due punti fuori controllo, le unit` a 6 e 20. Individuate le cause si tolgono i punti e si ricalcolano i limiti di controllo della carta. La nuova carta ` e rappresentata di seguito. La stima di c ` e data da ¯ c = 472 24 = 19.67 c Chart for x[inc] UCL 30

● ●

25

● ●

●

●

●

20

● ●

● ●

● ● ●

●

●

15

●

●

●

●

● ●

10


●

●

LCL 1 2 3 4 5 7 8 9

11

13

15

17

19

22

24

26

Group

Number of groups = 24 Center = 19.66667 LCL = 6.362532 StdDev = 4.434712 UCL = 32.9708


21


Carte di controllo per frazione di non conformit` a per unit` a - Carta u Si basa sul calcolo del numero medio di non conformit` a per unit` a di riferimento. Se vengono rilevate c difformit` a in n unit` a di riferimento avremo che il numero medio di tali difformit` a per unit` a di riferimento ` e c u= n I limiti della carta sono i seguenti s

UCL = u ¯+3

u ¯ n

CL = u ¯ s

u ¯ LCL = u ¯−3 n P

u

dove u ¯ = m i e ui = cni ` e il numero medio di non coformit` a per unit` a. 22


Esempio: (Montgomery). Si considerano il numero di non conformit` a registrate sull’unit` a di riferimento posta pari a 5 computer. I dati forniscono una stima u ¯ = 1.93. Il grafico seguente mostra la carta. u Chart for x UCL

3

●

●

●

●

2

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

1

●

0


●

●

●

LCL 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

12

14

16

18

20

Group


23


Curva operativa caratteristica - Carta c In questo caso si deve calcolare l’errore di seconda specie β al variare di c. Indicata con X la v.c. di Poisson che conta il numero di difetti per unit` a prodotta β(c) = P (X < UCL|c) − P (X < LCL|c)

Ad esempio per la carta a pagina 21 con limiti LCL= 6.36 e UCL=32.97 dobbiamo calcolare β(c) = P (X < 32.97|c) − P (X < 6.36|c) = β(c) = P (X ≤ 32|c) − P (X ≤ 6|c) Al variare di c.

24


0.0

0.2

0.4

β(p)

0.6

0.8

1.0

Curva Caratteristica

0

10

20

30

40

50

c

25


Dalla curva OC ricaviamo, se il processo ` e sotto controllo, con valore della CL c = 19.67, β(c) = 0.9960 da cui α = 0.0040 e 1 = 247.23 0.0040 Per cui si avr` a un segnale di falso allarme in media ogni 247 campioni. ARL0 =

Se invece il valore di riferimento si sposta a c = 24 abbiamo β = 0.9532 e 1 1 ARL = = = 21.41 1−β 1 − 0.9532 Per cui dovremo aspettare in media 21 campioni prima di avere un segnale di fuori controllo. Se il valore si sposta a c = 32 abbiamo β = 0.54.68 e 1 1 = = 2.21. 1−β 1 − 0.54.68 Per cui dovremo aspettare in media 2 campioni prima di avere un segnale di fuori controllo. 26 ARL =