chap 15 pyramide

Les PYRAMIDES I Vocabulaire 1) Utilisation du vocabulaire :

B

C

Le dessin ci-contre représente un prisme droit Seuls les angles DAE et AEH sont droits dans le polygone ADIHE. a) Que représentent les faces ADIHE et BCJGF pour ce prisme droit?

A

D

…ceux sont les bases…(elles sont superposables)…………

J

I

b) Quelle est la nature du quadrilatère DCJI ? Pourquoi ?

F

G

…DCJI est un rectangle car les faces latérales des prismes droits sont des rectangles…………………………… …………………………………………………………… E

…………………………………………………………… c) Complète les phrases suivantes avec les mots: parallèles - perpendiculaire(s) ou orthogonales.

H

Les droites (BC) et (FG) sont…… parallèles ……………………. Les droites (BC) et (AE) sont … orthogonales ……………………….. Les droites (BC) et (BF) sont ……… perpendiculaires ……………….…… Les droites (AB) et ( AE) sont ……… perpendiculaires car ABFE est un rectangle………….. Les droites (AB) et (AD) sont … perpendiculaire car ABCD est un rectangle…………... La droite (AB) est … perpendiculaire ………. au plan (ADI). d) Que représente la longueur AB pour le prisme droit ? ……la longueur AB est la hauteur du prisme droit………………………………………………………… 2) Définitions : Deux droites sont orthogonales lorsqu’ils existent une parallèle à l’une, perpendiculaire à l’autre. Une droite (d) est perpendiculaire à un plan (P) signifie que (d) est orthogonale à toutes droites du plan (P). 3) Propriété : Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan alors elle est perpendiculaire au plan. II Définitions et exemples 1) La pyramide : vocabulaire

Définition : Une pyramide est un solide dont : sommet Arête latérale Face latérale Arête de base

Base polygonale

-

une face est un polygone appelé …base………

-

toutes les autres faces sont des …triangles……… ayant un …sommet……… commun : le …sommet….. de la pyramide

2) La hauteur de la pyramide : T

F

hauteur

hauteur R

T

C

Pied de la hauteur H U

U

I

R

H

Pied de la hauteur

Définition : La hauteur d' une pyramide est …la droite passant par le sommet de la pyramide et perpendiculaire au plan de base….(Elle n' est pas obligatoirement située à l' intérieur de la pyramide) Définition : le point d' intersection de la hauteur de la pyramide et du plan de base est appelé …le pied de la hauteur ………. de la pyramide ( ici c' est le point H). Remarque : le segment [FH] et la longueur FH sont aussi appelés la hauteur de la pyramide. III Patron d'une pyramide 1) Exercice type 1 :

Demander qu’un brouillon soit tracé et codé avant le dessin et coller le dessin par la base

On considère une pyramide à base carrée et dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux. On donne pour longueur : la mesure d’un côté du carré : 5 cm Dans ce type de pyramide où les arêtes latérales ont la même longueur, on pourra remarquer que la hauteur issue du sommet passe par le centre du carré : on parle de pyramide régulière à base carrée. Trace le patron de cette pyramide.

2) Exercice type 2 : On considère une pyramide à base rectangulaire et dont toutes les faces sont des triangles isocèles. On donne pour longueurs : Les mesures du rectangle sont 4 cm et 2 cm la mesure d’un de deux côtés égaux du triangle isocèle : 6 cm Trace le patron de cette pyramide.

3) Exercice type 3 : On considère une pyramide à base triangulaire et dont une arête latérale est la hauteur de la pyramide. On donne pour longueurs : Les mesures du triangle de base sont 4 cm , 6 cm et 3 cm la hauteur : 5 cm Trace le patron de cette pyramide.

IV Volume de la pyramide 1) Introduction : Tu vas construire trois pyramides en pliant trois patrons identiques à celui-ci : Dispose ses trois pyramides de façons à obtenir un cube. Calcule le volume de ce cube : ………Vcube= côté × côté × côté = a × a × a = a3 = 53 = 125 cm3 ……… Déduis-en le volume d’un de ses pyramides : …

=

125 3

41,6666 cm3 ……………………………

On va maintenant regarder une seule de ses pyramides : -

soit h sa hauteur : que vaut

-

soit B l’aire de sa base : que vaut

-

que vaut

-

par combien faut-il diviser

×

? ……

? …….

×

= 5 cm …. ?

……..

= côté × côté = a² = 5² = 25

= 25 × 5 = 125 ×

pour obtenir son volume ? …..par 3 …..

On en conclut que le volume de cette pyramide se calcule en effectuant

=

× 3

2) Propriété : Une unité de longueur étant choisie, le volume est :

d' une pyramide dont ×

=

est l' aire de la base et

×

3) Exercice type 4 : La pyramide du Louvre est une pyramide régulière à base carrée de côté 34 m et de hauteur 21 m. Calcule le volume de cette pyramide Aire de la base carrée : Côté × côté = 34 × 34 = 342 =1156

Volume de la pyramide : 1 V= B×h 3 1 = 1156 × 21 3 = 8092 le volume de la pyramide du Louvre est de 8092 m3

Longueur arête latérale : 1) longueur diagonale de la base carrée : pythagore : 2) longueur arête : pythagore

32 m

48 m

la hauteur