COLOURING QUASICRYSTALS WITH PRESCRIBED SYMMETRIES

0 downloads 0 Views 332KB Size Report
In this article we consider the problem of colouring the tiles of a given heirarchical and repetitive ...... s be a nelemen t o f t h e g r oup alge b r a o f & o ve r M.
 

   !"#$ &%$!(' )*+*,!( -!"./ 0' 12 !"/!(

3&!" 64 5 78:9;?@BA@C7D;E=)F:G@IH J =:KL=)M#F:NO=;E=:PRQ#=SUT)V)=WX=:S?=YT)V 5 ZI[O\^]E_O`Eab]6cedfhgjilknmoilknmpjkrq^k&stk&ulv:pjifCpjwxsyfzg:wy{(|ifzwyv}|Lv}q~iwxq|-s€p}wysxwx{lgƒ‚lg„p„fn…Rgƒkrp}i|†p pjifCvjfzgjusypjwx{l2gƒ‚lg„p„fn…‡wyg:{lk-pk-{bst‚vjfˆ‰fzpjwypjwyŠ&fr‹ŒwŒ f-Žib|†gp}ilfCsykXq|-sUwxg„k&…k-v„ˆOiwxgj…‘ˆbv„k-ˆ‰fvjp’‚b“ ” upi|-gˆvjf•g„qvjw ” fz–—q^k&stk&ulv:g„‚…r…fzpjvjwyfzg|†gm?f•sysŒ š˜ ™  ›?œlžŸ# #¡‰œ¢’ž£› ¤¥&¦"§©¨?¥ ª«n¥&¬?¥-¦n­Œ¦n­¯®€¥D¦n­Œ°±­Œ²6³´Eµ¶h·‘¨U¸¦n­Œ°±¥ ¹3º&´E²6³‰«n»6¥ ²€¦3¦n´0ª¼½²6­¯¦n¥²¾»6¿¨?¥&«´Eµ¦•­±°±¥ ¦~¸Y¬£¥ ¹ À$ÁÂ¥&«n¥ÄÃx«n¥-¬?¥&¦n­¯¦n­Œ®€¥OÅ?¿Æ¥Xª‰²6¹(¦nǽªO¦(¦nÇ6¥$¦n­±°Œ­±²6³ǽª‰¹ÈÃx°±´Yº ª‰°¯ÉÊ­Œ¹•´E¿Æ´‰«•¬½Ç6­Œ¹•¿Ś¬6«n´‰¬?¥&«z¦^¸­Œ² ¦nÇ6¥DµB´E°±°±´lË2­±²6³¹z¥ ²6¹•¥‰Ì3³E­¯®€¥ ²Íª‰²€¸¬šªO¦nºLÇÍ´EµI§Î´Yº&º »Ï«n­±²6³­±²Ðª‰²€¸o¨?´E»6²6Ñ6¥ ÑÍ«n¥&³E­±´E²Í´EµI¶ ·ÓÒ ­Œ¦—­Œ¹(«•¥&¬?¥XªO¦•¥ ÑÔ­Œ²Ôª‰²€¸o´‰¦nÇ6¥&«—¹•»ÏÕº ­±¥ ²€¦n°¯¸ °±ªO«n³E¥3«n¥ ³E­Œ´E²)À3Öª‰²¾¸o­Œ²¾¦•¥&«n¥ ¹z¦•­±²6³¥†×½ª‰¿¬½°Œ¥ ¹Â´Eµ ¦n­Œ°±­±²6³E¹ªO«n¥"ÏÇ6¥&­Œ«LªO«nºLÇ6­ŒºXª‰°jÅ Ò ­±²Æ¦nÇ6¥ÂµB´E°Œ°±´lËØ­Œ²6³¹•¥ ²6¹•¥$ÌÓ¦nÇ6¥&«•¥(ªO«n¥¬6«n¥ º ­Œ¹•¥Â«n»6°±¥&¹»6¹•­±²6³Ë2Ç6­±ºLÇ ´E²6¥Øº ª‰²¬šª‰¹•¹IµÙ«•´E¿Úª‰²€¸È³E­Œ®€¥ ²¦•­±°±­Œ²6³—§?Û2¨¾¸È¦•­±°±¥&¹Iº ´E²6³‰«n»6¥&²¾¦Ü¦n´Ý¦nÇ6¥2³E­Œ®€¥ ²D¦n­±°Œ¥¦~¸Y¬£¥ ¹ØÞjª‰²6Ñ ¿ ªO¦nºLÇ6­Œ²6³«n»6°Œ¥ ¹ÄßXßXßnà"¦n´ ªo¦•­±°±­Œ²6³0§#áDË2­Œ¦•Çâ¦nÇ6¥Ä¹nª‰¿¥¹z¥&¦´Eµr¦n­Œ°±¥ ¹$´E²Rª °ÙªO«•³E¥&«$¹•ºXª‰°Œ¥/ã Ò Ë2Ç6¥&«n¥—ã/­Œ¹rª$¬£´E¹•­Œ¦n­¯®€¥«n¥Xª‰°)²¾»6¿¨?¥&«2³‰«n¥XªO¦n¥-«¦nǽª‰²´E²6¥‰Àh䚻ϫ•¦nÇ6¥&«n¿´‰«n¥ Ò Ë2Ç6¥ ²/¦•Ç6¥—¹z¥ º ´E²6Ñ ¦n­Œ°±­±²6³­Œ¹¹•»Ï¬?¥-«n­±¿¬£´E¹•¥ Ñ´E² ¦nÇ6¥Â¼6«n¹z¦r´E²6¥ Ò ¦nÇ6¥Â¦n­Œ°±¥ ¹I´Eµ¦nÇ6¥Â²6¥-Ëe¦n­±°Œ­±²6³$ªO«n¥Â»6²6­Œ´E²6¹r´Eµ¦n­Œ°±¥ ¹ ´EµÜ¦•Ç6¥´E°±Ñ6¥-«Ý¦n­Œ°±­Œ²6³6ÀÖ´‰«•¥ ´®€¥-« Ò ¦~Ë´/º ´E²6³‰«n»6¥ ²€¦"¦n­Œ°±¥ ¹—´EµÜ§åá3ªO«n¥ÈÑ6¥ º ´E¿D¬?´E¹•¥ ÑÔ­±²€¦n´/¦n­Œ°±¥ ¹ ´Eµ:§?ۗ­Œ²¥-×6ª‰º&¦n°¯¸Æ¦nÇ6¥—¹nª‰¿Æ¥ÂËrªX¸€ÀÜærÇ6­±¹¹•¥ º&´E²6Ѧn­±°Œ­±²6³$§#á³E­Œ®€¥ ¹r«n­Œ¹•¥Â¦n´Æª¦n­±°Œ­±²6³§çÂËØÇ6´E¹z¥ ¦n­Œ°±¥ ¹2ªO«n¥—¹•­±¿Æ­Œ°ÙªO«r¦n´$¦nÇ6´E¹•¥Ý´Eµ:§)ÛÝ­±²/¦•Ç6¥—«LªO¦•­±´ã ç ª‰²6ѹ•´D´E²ÍßXßXß&À è^²Ý¦nÇ6­Œ¹#ªO«•¦•­±º °Œ¥h˥ܺ ´E²6¹•­ŒÑ6¥&«å¦nÇ6¥h¬6«n´‰¨½°±¥&¿é´EµÏº&´E°±´E»Ï«n­Œ²6³2¦nÇ6¥h¦n­±°Œ¥ ¹:´EµYªØ³E­Œ®€¥&²"Ç6¥ ­¯«LªO«nºLÇ6­±ºXª‰° ª‰²6Ñ꫕¥&¬?¥&¦•­Œ¦n­¯®€¥o¦•­±°±­Œ²6³ÐËØÇ6­Œº†Çê¥-×6Ç6­¯¨½­Œ¦n¹Ä°Œ´YºXª‰°¬£¥&«n¿$»Ï¦LªO¦n­Œ´E²ë­Œ¹•´E¿Æ´‰«•¬½Ç6­Œ¹•¿Æ¹ބÑ6¥-¼½²6­Œ¦n­Œ´E²6¹ ¨?¥&°±´lËÂàrª‰²6Ñ¿Æ´‰«n¥&´®€¥&«º ´E°Œ´E»Ï«Ø­Œ¹•´E°ÙªO¦•­±´E²/ª‰²6ѵ٫n¥ ìU»6¥ ²6º ­±¥&¹ØËØÇ6¥&²¦nÇ6¥ ¹•¥"ªO«n¥Ý¬6«•¥ ¹•º&«n­¯¨?¥ Ñ)À '/í¾îC›#¢Bœ¢ƒžï› ˜š™•ð„ñ:òónôOõ ÞjöÈ÷nø)÷nùúà&ûÊü†ýOþ$þÆÿ †ý  ™ ¤:¥-¦ö ¨£¥ª ¼½²6­¯¦n¥o³‰«n´E»Ï¬eª‰º-¦n­±²6³ ´E²êª ¼½²6­Œ¦•¥3¹•¥&¦Âù Ìø ÌÏ ö ù  ù ރ¦nÇ6¥3¥ °Œ¥ ¿Æ¥ ²€¦n¹´EµÓù Ë2­±°±°¨?¥Ý¦nÇ6¥3º ´E°Œ´E»Ï«n¹Là- À ¹•¹•»6¿Æ¥ ¦nǽªO¦¦nÇ6¥Â¦n­Œ°±¥ ¹­Œ² § ªO«n¥(º ´E°±´E»Ï«•¥ ÑË2­Œ¦•ÇĦ•Ç6¥—¥&°±¥ ¿Æ¥&²¾¦n¹´EµùÚÀ Х¹•ªl¸ ¦nǽªO¦¦•Ç6¥—º&´E°±´E»Ï«n­Œ²6³ ´Eµr§ ǽª‰¹ õ±òlónôOõ ÞjöÈ÷nø)÷nùúà&ûÊü†ýOþ$þÆÿ †ý0ބ´‰«È¹•­±¿D¬½°Œ¸Ô¦•Ç½ªO¦È§ ǽª‰¹ÞjöÈ÷nø)÷nùúà&ûÊü†ýOþ$þÆÿ †ý àÝ­Œµ ³E­Œ®€¥& ² êö ª‰²6Ñ ³E­Œ®€¥ ²âª¬šªO¦nºL Ç δEµ¦nÇ6¥Æ¦n­±°Œ¥ ¹´Eµ§ ­Œ²Rª‰²€¸Í¨£´E»6²6Ñ6¥ Ñ⫕¥ ³E­±´E² Ò ¦nÇ6¥&«•¥ ¥-×Ï­±¹z¦n¹ ¹•»6ºLǦnǽªO¦2­±²0ª‰²€¸Ñ6­Œ¹•º"´Eµ:«Lª‰Ñ6­±»6¹ ú´E²6¥ÝºXª‰²¼½²6Ñoªº&´‰¬U ¸ ´Eµå¦nÇ6¥—¬šªO¦nºLÇ  Ò ¦nÇ6¥Æ´E²6°Œ¸ÔºLǽª‰²6³E¥Æ¨?¥ ­Œ²6³o¦•Ç½ªO¦3¦nÇ6¥Æº ´E°Œ´E»Ï«n­±²6³o´E µ   ­Œ¹3´‰¨6¦Lª‰­±²6¥&ÑâµÙ«•´E¿ ¦nǽªO¦´E µ ú´E² ªO¬6¬½°Œ¸Y­±²6³È¦nÇ6¥—¬£¥&«n¿$»Ï¦LªO¦n­Œ´E²øÜÞ 6à-À if£g„fzqk-{b–|†ulp}ilk-v6wygρ-vj|†p„"f !¯us pjk#pji$f #&%('|†*u ),+-%/.10/' 2Ž #Ü4 3?4 %D–,f 5Ý|Lp},i fn6 …|Lp}8w 7Xulf•g^2Ž #å{wyŠ&fv}g„wyp f 6 –lf•$g .lqwyf•{qfzg6fzp f•q~i{k-syk†&wtf•gï–-f 9Ywysxsy-f ! k-všp}ilf•wtv£ilk&gƒˆOwtp}|†sxwtpƒ‚–uvjwx{lhibwyg£g„pj|•‚mifz{p}iwxgïm£k-v :Im)|†gï–lk&{lf& ;

»Ï«Ø¼6«n¹z¦«n¥ ¹z»6°Œ¦­Œ¹¦•Ç6¥"µB´E°±°Œ´Ë2­±²6³6Ì åíUžïí  ™ñ ÿ å§-ÿ ô  ÿ  ô  ó  ónôOõ õ   ó Ïô ü  ÿ ±õ òlónôOõ Bü ò þ ò   ’ü†þ$ ò £û ÿ „ý  ÿ  ò  ô šýÞjöD÷nø)÷nù+à  ÿnÿ ‰ ô õ  ô ýbürÿ ’ü2ƒü ô—óLòbõ±ò!  "#  ò $%&  —õ±òlónô‰õ ÞjöÈ÷nø)÷nùúà&û ü†ýOþ$þÆÿ †ý è~¦C¹•Ç6´E»6°±Ñ$¨?¥¬£´E­±²€¦n¥ Ñ´E»Ï¦Ó¦•Ç½ªO¦C­Œ¦C¹•»ÏÕº ¥ ¹C¦n´—¬6«•´®€¥¦nÇ6¥«n¥ ¹z»6°Œ¦C¦Lª('Ï­Œ²6³(ö ¦n´Â¨?¥¦nÇ6¥rµB»6°±° ‰³ «n´E»Ï¬Ð´EµÜ¬?¥&«n¿$»Ï¦LªO¦•­±´E²6¹—´EµùÚÀ*)»Ï¦"¹•»Ï¨½³‰«•´E»Ï¬½¹$ö ´Eµ »Ϧބùúà´,+?¥-«"¿Æ´‰«•¥D­Œ²¾¦n¥-«n¥ ¹z¦n­Œ²6³ ¬?´E¹z¹•­Œ¨½­Œ°±­Œ¦•­±¥ ¹ ª‰¹Æː¥º ª‰²ëÑ6¥&¿ ª‰²6Ñ º ´E°±´E»Ï«Ä­Œ¹•´E°ÙªO¦n­Œ´E² ª‰²6ÑëµÙ«n¥ ìY»6¥&²6º ­±¥ ¹ Ò ¬6«n¥ ¹z¥ ²¾¦•°Œ¸ ¦n´Í¨£¥ ¥-×Y¬½°Ùª‰­±²6¥&Ñ)À

Ð¥¼½²6Ñ ­Œ¦»6¹z¥ µB»6°£¦n´"ª‰¹•¹•­±³E²Äª‰²¥ °±¥ ¿¥ ²¾¦I´EµªÝ¼½²6­Œ¦•¥Ø³‰«n´E»Ï¬.- ¦n´Ý¦nÇ6¥Ø«n¥ °±ªO¦n­Œ®€¥r¬?´E¹z­Œ¦n­Œ´E² ´Eµ3ªÐ¦n­Œ°±¥0­±² ªâºLÇ6´E¹•¥&²eÇ6­±³EÇ6¥&«/°±¥-®€¥ °Â´Eµ—¦•Ç6¥ Ç6¥ ­¯«LªO«nºLǀ¸ ª‰²6Ñë¦nÇ6­±²' ´EµÝ­Œ¦ª‰¹¹•´E¿Æ¥o¹•´‰«•¦ ´Eµª‰² Ï´‰«n­Œ¥ ²¾¦nªO¦n­±´E²)ŌÀ ærÇ6­±¹/­±¹ìY»6­¯¦n¥ µB´‰«•¿ ª‰°(ª‰²6Ñe­±¹²6´‰¦¿´‰¦n­Œ®OªO¦n¥ Ñ ¨¾¸eª‰²€¸ ¬½Ç¾¸Y¹•­±ºXª‰° º ´E²6¹•­ŒÑ6¥&«LªO¦n­Œ´E²6¹ ÀÜæÇ6­Œ¹2­Œ¹´E»Ï«Ñ6¥&¼½²6­¯¦n­±´E²/´Eµhà Lÿ õŒô /‰ÿ-âû ò  }ÿ  ô ò ½ÅÙÞ10(¥&¼½²6­Œ¦•­±´E² 2¾à-ÀhærÇ6¥ ªO¨½¹•´E°Œ»Ï¦n¥"´‰«43  õ±ò  ôOõ65 û ò  }ÿ  ô ò 87 Þ10(¥&¼½²6­¯¦n­±´E²:9Eà­±¹r¦nÇ6¥"º »6¿$»6°±ªO¦n­Œ®€¥—¥;+?¥&º&¦´EµÓªO¬6¬½°¯¸Ï­Œ²6³ ¹•»6º º&¥ ¹•¹•­¯®€¥—«n¥&°ÙªO¦n­¯®€¥$-0É}´‰«n­±¥&²¾¦LªO¦•­±´E²6¹µB´E°±°Œ´Ë2­±²6³¦nÇÏ«•´E»6³EÇ/Ç6­Œ³EÇ6¥&«2ª‰²6Ñ/Ç6­Œ³EÇ6¥&«°±¥&®€¥ °Œ¹´Eµ¦•Ç6¥ Ç6¥ ­¯«LªO«nºLǾ¸€ÀhærÇ6¥³‰«n´E»Ï¬ö ËØÇ6­Œº†ÇĪ‰º-¦n¹ª‰¹I¬£¥&«n¿$»Ï¦LªO¦n­Œ´E²´Eµ?¦nÇ6¥º&´E°±´E»Ï«n¹¿Æªl¸$¨?¥Ø»6²Ï«n¥ °ÙªO¦•¥ Ñ ¦n´¦nÇ6¥ ³‰«•´E»Ï¬RÁ ­Œ²¾®€´E°¯®€¥ Ñ ­±²Ð¦nÇ6¥ÆµB´‰«•¿ ª‰°I²6´‰¦n­Œ´E²Ð´EµÂÃ,­Œ²¦nÇ6¥—»6²6­±ìY»6¥—§ PU .OÉ}¦•­±°±¥(Ë2Ç6­±ºLǺ ´E²€¦Lª‰­±²6¹o,UÀ ž ܞgVX¢’œ¢’žï ›  ™  · . †ÿ  ÿ F

C ÿ2§ · .½û õ ÿ óLò  ô F "#h#Û   ÿ  i m - Þ9a F Þb/ 6 .  8 à•àX - Þ9E F i m Þb/6 .  8 à•à 0

  k? ñ ÿ  -ÿÆü  ó }ÿ  õ ý õŒô [¾ÿ ü ò Ïô NaZF$Þb6 .  8 à  ÿ ’þ ô ¾ÿ ò  aZF ð  ò ^ÿ 6ô ü šó Ôô0ó 6ò ó ÿ ò  K ’ü  ò üLü

 õ ÿ3ü  ó ÿ - Þ1- à  ô G6i Ü#Û:

’ü  ÿ F ò  ò  6/.  8 ô ü   á m / ô  }ÿ†ü[?   ÿ;  ò  ô ½ýD§ i #ámn. û 1 õ ÿh, i Óámn. ò ?ÿ Ïô üGa F Þb6?7   8 à  ÿ* ’þ ô ¾ÿ ò  aZF 

/ ?^  ÿ ’þ ô ¾ÿ ò oaZF ’ü ô ü    ò!  ò -  / ? ñ ÿ ^†ÿ õŒô ¾ÿü ò 6ô ?a F i m Þ 6 7  8 à  ÿ ’þ ô ¾i ÿ ò  aNF  ò  ô ½ý3§ .šû õ ÿl, i .>  ñ ÿ  -ÿ  ÿ ò  ¾ÿ  ò  ô Rÿ õ ÿ-þ ÿ  -   ÿ ’þ ô Uÿ ò lE F m   ÿ   ÿ ƒþ ô ¾ÿ ò lE F m ’ü ô ü    ò!  ò - ô  óLò  ó Uÿ†üI&   ÿj ’þ ô ¾ÿ ò oaZF* /