ConStructing baSeS of finitely preSented Lie algebraS uSing Griobner

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School of Mathematical and Computational Sciences ... ideal in the free (non-associative, non-commutative) algebra ...... tion shows that the running times are roughly proportional to n5. As a second set of examples we consider Lie algebras ...
             

          



 

   



            

        

    !"# $            

       

                                   

        2 *3,   *+4,             5 / 

     6   #                                     # 

   

                     /   7

   (   #                                                   !     /      *-, *+8, *+9, 2                    

    !        

         *8, *+:,         

/   *+, *;, *+8, *+9,                            

/      !  '      

   <  =>/ ?    *8, 2               6          #  

          

       2 (  9                                   2 (  1   

       

                      #                 /      7                                   !                

          .   (  4                                 



    Æ 

                    

                       

              !                

       

"                        "               

               

               #             $   %                                                 

              

            &'  ()          *++,       &       *+-,         *+-, #        

                                       #                              .                         #         /          

       0

      '          #        *+1,       #    

  

+

.            B             2  C :     C       "        :     C                2  C      C          C       C  (  

     

    

                               .   '         B              C        C        Æ C       C  Æ #    C            G                C     D    D     4 !                       C    G          .                                      .               

                           :    C   !   (           

    '                       .        6     '

      C    +   C     

C        C    2  6                          

   !        H                    (           H   C   H                 "            "  H"                  2        "                         H" C     

Æ       # 

Æ   H"  " ( $ C   "          "     $           "   '            C    C          "        +   + >          

       ' 6                              "      #                               C    C      +      "             "                                 "   

 H"     H  2                     :           C                  H     H   C !

  



2     @     A                            .            *9, !                           *  , B          * , C :       + * , D *  , C :       8 * *  ,, D *  *  ,, D *  * ,, C :        9 E   9    0

   F                 9  0    E   +  8F  8     #        

                                    #              B +     8                #           "            B           C           .            B   C +        C   D    C                           2  '       

         

       F           #          #   

              

     5

Æ   #              '                                         D               D     D             1 (   C    #            *  ,   .    + 8   9              7       F            







 















































































 

























       





















8









                             +                                        C          6               Æ C           6        6     

         (  C  Æ       #          











 







  /  '

       '   .                



           (                              G          B         2                                         .         '                #            

Æ 

  %  +                  ( I% C %    C + 8 !      B I               C    %       C   I%   #       

             & !       C          C     (  %   %  C    D  I%          I%  C I%      I%  !   %   %  C   I%  D  I%  I%    I%     I%  I%  C   I%    I%   7   %   %  C  %   %  .     %     G  

    % C %  2     C   % C :       (      C      ' C C  #  ' C  ' >  4     '                     7     '            % C %  (        ¾

 /                

                

                         #                                                          C                   

     .                +                   C  Æ   C           Æ C         .  :      C                   C      C  G                (     '   :             

     C      C    !    C                                        # 

      ¾ 



































































































































































































































      ¾ G                + 2               

               D    D        H     +    "  %  %        C H%   C + 8  % C %                        C    C      % C  %   %    %      .        % C %  #   1                                











C                                      C     D    D                  ( C H             

             

  C C  C      2  C +  H  C H   C   H          (      + #   -             .       C       D D   D     (       '            

         











   

          













   #











































 

























      C       C              

                      2     5        5      C  (        5              D  (     C   Æ     C   Æ    C            C         (       C  % # C   C % .     C  2 

C                                        (  

       "      C %   C                 7                   ! 

6                       # 

      C %  









 !

      



























































































































































































9







              8 D +      $     +  ,   -C - 

H    7       '               C 8    D  C :        G            

       ¾ 









$  % &



2  6       C                           

                (                                            #      C + (        8   C               2          (     C         .                  D +         #   

           ' D '      D '  D +    0

     

 D +              C     D     # 

       6    !                       

        6    ¾



                                            

C   + (   H   + (        )     (     # )  C :                  

          %    %  -       G     %   D +     

    %     

     

 - .         8 D + # C                          

       - 7         

           %    %  - >  % 8                      

       -           







 

     6          







                         















            C                           

            C    #  

         2                                               /      

         (   6 

                + B         A   .  +  ,   $        +$  C   #                

          1      $  #   C  7        

   (  9                               6           

       > E   ;     

                                                     2   6          

               .    :                  C       C "   "                 G           (     

                           ( H  C  H             :  -          

   H  2         C    7                  :    C  G         C        2  6    







 $        %    ' 







¾





¼

    







¾

¼  ¼



1

+, #       '                   2          -      6            

      

 -

 .             D           0    C :   .               0    C :   .           # 

       2  C +        2   +   C  %              C      .         .  %    C %         % C    % D   %  D     % D    % C   %       % %      %   %    %       %   %    C   %  D %     %   D %    C   %     %  7  0    C :   .  ¾ G   '    #   +:  'D' 

           

        '  D '       '  - >     8 D +         !   +:        0                     

           0       - >     8 D +          (          ++ 2     

     0            ! 

       #

                C   (  E   ; -          5               *                                   (  +              

         1 (  BC +        B (  + E               (  + .  +        -             H%         %    (  + 2      +      +    - C    (  8 "      +     (  + (  8 2      

         ( / C '8 D +  (  9 E               E

    -         

    H%        %    K  -

  





































    C    C * * ,,



* , *  *  * ,,,        /  *  ,                      

     

           C :     D   C :     '  

            (     

             0

    >  

         0     C :          6  2      0

         0     ( 

   

     0

               0     C     D   D    #      5   

    #  

     6          6             (                 C                     G               1          >  

                     1          +       9                  #  - C  (   / C 3             

 0

                   #     0       C       D      D       #        5      7 

            0

     0          0           5  ( 

                  7  - C                            +, #            /       /     0         7   '               

 

          .        6      *J, *+9,               +, 2                      

        !             6         ! 



























































































4





'       +&         C :          C * ,    C *  ,   *+-, #             #                       Æ   / 

      7      6    5        6                     *+4,      2   

  6                     #   

                       0

    +, 2 *3,   *+4,         

     6                          6                           0

     

                    #     



      6      0  + !       /                   A               C :           C 0

1

1 1 1 1







# +B K     

           1    C J ++ +9 +4 +3 

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