CORSO INTENSIVO DI STATISTICA I (V.O.) Esercizi

CORSO INTENSIVO DI STATISTICA I (V.O.) Esercizi Dott.ssa CATERINA CONIGLIANI Facoltà di Economia Università Roma Tre

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Esercizi di statistica descrittiva

Esercizio 1.1 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) In un pronto soccorso di un ospedale sono stati registrati il numero delle richieste di intervento giornaliere (X) su un arco di 100 giorni, ottenendo la seguente distribuzione di frequenza: X n(X)

0 1 2 2 9 18

3 4 22 16

5 6 7 12 9 5

8 9 10 4 2 1

Fare la rappresentazione grafica della distribuzione e della sua funzione di ripartizione; calcolarne la media e la mediana con i rispettivi indici di variabilità. Commentare i risultati. [R: µ = 3.84; M e = 3; σ 2 = 4.47; SM e = 1.68] Esercizio 1.2 Data la seguente distribuzione delle frequenze cumulate relative di un collettivo rispetto al carattere X: X 0-2 2-4 F(X) 0 0.08

4-6 0.32

6-10 0.64

10-20 20-30 0.86 0.96

30-50 1

a) individuare la classe modale; b) calcolare la media aritmetica e la varianza della variabile Z=1-3X; c) calcolare la proporzione di unità che presentano un livello di X≤12. [R: classe modale: (4-6); µz = −33.2, σz2 = 659.16; F (12) = 0.684] Esercizio 1.3 (Prof.ssa Mortera, 3-7-00) Dare una spiegazione breve della/e scelta/e: se la devizione standard di un insieme di numeri è pari a zero ne segue che: a) i dati sono distribuiti normalmente; b) la media deve essere pari a zero; c) i numeri sono tutti uguali; d) metà dei numeri sono positivi, e metà negativi. Esercizio 1.4 (Prof.ssa Terzi, 8–2-99) Una sessione è costituita da tre appelli di esame, a cui si presentano, rispettivamente, 80, 100 e 50 studenti; tutti vengono promossi. Il voto medio riportato al primo appello risulta pari a 26.4, con scostamento quadratico medio (s.q.m.) pari a 4.5. Al secondo appello il voto medio risulta pari 1

a 27.2. Al terzo appello si osserva uno s.q.m. pari a 5. Per l’intera sessione il voto medio risulta pari a 27. a) Valutare il voto medio relativo al terzo appello. b) Sapendo che lo s.q.m. complessivo vale 5.5, determinare lo s.q.m. relativo al secondo appello. [R: µ3 = 27.56; σ2 = 6.36] Esercizio 1.5 (Prof.ssa Terzi, 19–6-01) Una ditta che produce telefoni cellulari distribuisce mensilmente il suo prodotto in tre negozi che si trovano in uno stesso paese nell’entroterra sardo. Il primo negozio vende in media 3.4 telefoni al mese, con s.q.m. pari a 0.6. Il secondo negozio vende in media 7 telefoni al mese, con s.q.m. pari a 1.2. Il terzo negozio vende in media 2.8 telefoni al mese con s.q.m. pari ad 1. Calcolare: a) il numero medio di vendite mensili per l’intero paese; b) lo s.q.m. delle vendite mensili per l’intero paese. [R: µ = 4.4; σ = 2.091] Esercizio 1.6 (Prof.ssa Mortera, 13–06-01) Se la distanza interquartile di un insieme di dati è nulla allora ¤A la media è uguale a 0 ¤B i numeri sono tutti uguali ¤C i dati sono distribuiti normalmente ¤D tutti i quartili sono uguali. Esercizio 1.7 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) Al censimento del 1981 le famiglie italiane secondo il numero di componenti (X) sono risultate cos`ı distribuite: X 1 2 n(X) 3323 4402

3 4 5 6 7 8 e pi` u 4117 4008 1773 629 224 154

Fare la rappresentazione grafica: a) della distribuzione di frequenza; b) della funzione di ripartizione. Calcolare mediana e quartili, e rappresentarli sul grafico della funzione di ripartizione. [R: M e = 3; Q1 = 2; Q3 = 4] Esercizio 1.8 (Prof. Pieraccini, 5–2-01) Data la seguente tabella: X n(X)

0-1 1-2 15 13

2-3 15

3-5 5-10 12 15

10-15 10

15-30 15

Fare la rappresentazione grafica della distribuzione di frequenza e quella della sua funzione di ripartizione. Calcolare: a) la mediana; b) il primo e il terzo quartile; c) la differenza interquartile. Commentare i risultati ottenuti. [R: M e = 3.67; Q1 = 1.64; Q3 = 10.5; D = 8.86] Esercizio 1.9 (Prof.ssa Mortera, 28–06-01) La media aritmetica è pi` u grande della mediana quando ¤A la moda è grande ¤B ci sono valori anomali estremamente piccoli ¤C la popolazione non è normale ¤D ci sono valori anomali estremamente grandi. 2

Esercizio 1.10 (Prof. Pieraccini, 21–9-99) Sia data la seguente distribuzione dei redditi: Classi di reddito (milioni) Frequenze relative fino a 10 0.195 10-20 0.419 20-30 0.221 30-40 0.095 40-50 0.041 oltre 50 0.029 Totale 1.000 Calcolare media, s.q.m., ed un indice di asimmetria. Commentare i risultati. [R: µ = 19.84; σ = 12.87; γ = 1.41] Esercizio 1.11 (Prof. Pieraccini, 3-7-00) Data la seguente distribuzione di frequenza: X ni

0-1 15

1-2 2-3 13 12

3-5 5-10 11 10

10-15 10

15-20 8

20-30 30-40 6 6

40-50 5

50-100 4

a) fare la rappresentazione grafica della distribuzione; b) fare la rappresentazione grafica della funzione di ripartizione; c) calcolare la mediana e la media aritmetica; d) calcolare lo scarto semplice medio dalla mediana e quello quadratico dalla media aritmetica; e) calcolare un indice di asimmetria. Commentare i risultati ottenuti. [R: M e = 4.8; µ = 13.26; SM e = 11.336; σ = 17.61; γ = 2.006] Esercizio 1.12 (Prof. Pieraccini, 3-2-97) In una cittadina degli Stati Uniti è stata rilevata la concentrazione media giornaliera di ozono (X in parti di miliardi) fra l’1/5/74 e il 13/9/74, ottenendo la seguente distribuzione di frequenza: X n(X)

0-50 35

50-75 29

75-100 25

100-150 28

150-200 11

200-250 8

a) Fare la rappresentazione grafica delle frequenze relative e delle frequenze relative cumulate. b) Calcolare un indice di dimensione, uno di variabilità ed uno di asimmetria a vostra scelta. [R: µ = 88.97; σ = 56.19; γ = 0.78] Esercizio 1.13 (Prof.ssa Mortera, 28–9-00) Da un campione di 100 aziende della provincia di Milano è stata rilevata la classe di addetti, ottenendo i seguenti risultati: Classe di superficie Numero di aziende 0-10 33 10-50 43 50-100 12 100-500 10 500-1000 2 3

a) Si rappresentino graficamente i dati nel modo che si ritiene pi` u opportuno. b) Si determinino la classe modale e la classe mediana. c) Si calcolino la mediana e un indice di asimmetria. µ − Me [R: classe modale: (0-10); Me=25.814; = 0.33] σ Esercizio 1.14 (Prof.ssa Mortera, 22-2-00) Data la seguente tabella a doppia entrata relativa ai caratteri reddito mensile in milioni di lire (X) e numero di weekend dedicati a viaggiare (Y): Y

0−1

X 0-1.5 1.5-2.5 2.5-4

20 13 18

2−3 15 21 10

4 3 6 8

calcolare: a) la media e la varianza di X, la media e la varianza di Y, la Cov(X,Y); b) la media di X quando Y è tra 2 e 3 weekend; c) la media e la varianza di Z=X+Y e di W=X-Y; d) Cov(Z,W) in funzione di var(X) e var(Y). [R: µx = 1.98; σx2 = 1.01; µy = 1.83; σy2 = 1.67; σxy = 0.11; µx|y∈(2−3) = 1.86; µz = 3.81; σz2 = 2.9; µw = 0.15; σw2 = 2.46; σzw = σx2 − σy2 ] Esercizio 1.15 (Prof.ssa Mortera, 17-07-01) Con riferimento alla tabella seguente Et` a Settore Abbigliamento Bigiotteria Profumi

10 − 18

18 − 20

20 − 60

312 710 248

913 377 211

3367 208 341

dire se (giustificando le risposte): a) la classe modale della distribuzione marginale dell’età è ¤A 10-18 ¤B 18-20 ¤C 20-60 ¤D la distribuzione è bimodale b) la moda della distribuzione marginale del settore merceologico è ¤A abbigliamento ¤B bigiotteria ¤C non si può calcolare ¤D profumi c) la mediana della distribuzione marginale del settore merceologico è ¤A abbigliamento ¤B bigiotteria ¤C non si può calcolare 4

¤D

0.5.

Esercizio 1.16 (Prof.ssa Terzi, 21-9-98) Per la seguente serie di coppie di valori: X 1 2 6 10 X5 Y 7 12 32 Y4 67 si sa che il coefficiente di correlazione rxy =1. Si determinino i due valori mancanti X5 e Y4 . [R: X5 = 13; Y4 = 52] Esercizio 1.17 (Prof.ssa Mortera, 13–06-01) Date due variabili statistiche X e Y, se si trova che rxy =1.09 allora X e Y ¤A sono indipendenti ¤B sono dipendenti in modo quadratico ¤C hanno una fortissima dipendenza lineare ¤D chi ci ha dato il risultato ha sbagliato i conti. Esercizio 1.18 (Prof.ssa Terzi, 20-6-00) Si consideri il valore dei depositi in miliardi nelle aziende di credito e presso le amministrazioni postali in Italia nel 1987: Totale

Aziende di credito 460 000

Amministrazioni postali 78 000

I due tipi di deposito sono cos`ı distribuiti (percentualmente) nelle due ripartizioni del Centro-Nord e Mezzogiorno: Centro-Nord Mezzogiorno Totale

Aziende di credito 79.9% 20.1% 100%

Amministrazioni postali 65.9% 34.1% 100%

a) Sulla base di queste informazioni si costruisca la tabella che classifica congiuntamente i valori dei depositi per ripartizione territoriale e tipo di deposito. b) Quale tipo di indipendenza si può valutare su una tabella come quella del punto a)? c) Calcolare un indice adeguato per misurare la dipendenza tra i due caratteri. [R: 2 χ = 7585.39] Esercizio 1.19 (Prof.ssa Terzi, 13–7-98) Data la seguente tabella a doppia entrata: 2 4 6 tot Y X 1 4 2 6 10 3 tot 10 100 completarla nell’ipotesi di indipendenza assoluta tra i due caratteri. Calcolare poi la media aritmetica e la mediana di Y. [R: µy = 4.4; M ey = 4] 5

Esercizio 1.20 (Prof.ssa Terzi, 22-10-99) Data la seguente tabella: Y X 1 3 7 tot

1

100

6

tot

50

70 50 30 150

a) riempirla in modo che risulti ηY2 |X =1; b) senza svolgere i calcoli, quanto vale χ2 ? [R: χ2 = 150] Esercizio 1.21 (Prof.ssa Terzi, 21-9-98) Data la seguente distribuzione Y X 0 1 tot

0

1

tot

45 5 50

15 35 50

60 40 100

a) calcolare l’indice ηY2 |X ; b) tenendo costanti le frequenze marginali, riempire la tabella in modo che risulti 2 ηX|Y = 0. [R: ηY2 |X = 0.375] Esercizio 1.22 (Prof.ssa Terzi, 22-2-00) Data la seguente tabella a doppia entrata 2 6 tot X Y Y1 5 0 5 Y2 0 5 5 Y3 15 0 15 tot 20 5 25 2 a) Calcolare ηX|Y . b) Posto Y1 =2, Y3 =6, determinare quale deve essere il valore di Y2 affinchè risulti ηY2 |X =0. 2 [R: ηX|Y = 1; Y2 = 5]

Esercizio 1.23 Su una tabella a doppia entrata in cui la variabile X è articolata in 4 modalità e la variabile Y è articolata in 2 modalità, è stato calcolato il χ2 relativo, che risulta pari a 1. Quali affermazioni si possono eventualmente fare sul valore che, 2 su questa tabella, assumono gli indici ηY2 |X , ηX|Y , r2 ?

6

Esercizio 1.24 (Prof.ssa Terzi, 1-10-98) Data la seguente tabella a doppia entrata: 1 3 tot Y X 1 90 3 50 7 60 tot 150 50 200 a) riempirla in modo che risulti ηY2 |X = 1; b) calcolare poi χ2 e χ2 relativo. [R: χ2 = 200]

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2

Esercizi di Calcolo delle Probabilit` a

Esercizio 2.1 (Prof.ssa Terzi, 1-10-98) Uno studente universitario ha programmato di sostenere nella sessione estiva gli esami X e Y. Sia A l’evento “supera l’esame T X” e sia B l’evento “supera l’esame Y”, con P(A)=0.7, P(B)=0.5, P(A B)=0.4. CalT colare T la probabilità che non superi nessuno dei due esami, ovvero P(A B). [R: P(A B)= 0.2] Esercizio 2.2 (Prof.ssa Mortera, 8–2-00) Una fabbrica produce RAM che possono avere due tipi di difetti, il difetto A e il difetto B. Il responsabile per la qualità della fabbrica afferma che, dall’esperienza passata, la probabilità che una RAM abbia almeno uno dei due difetti è pari a 0.3; la probabilità che abbia il difetto A ma non il B è pari a 0.1; la probabilità che abbia contemporaneamente i due difetti è pari a 0.2. Calcolare la probabilità che una RAM abbia: a) il difetto A; b) il difetto B; c) il difetto A, dato che si è riscontrato che non ha il difetto B. [R: P(A)=0.3; P(B)=0.2; P(A|B)=0.125] Esercizio 2.3 (Prof.ssa Mortera, 28–9-00) Nel cinema Bianchini ci sono due sale. Marco ha deciso di andare a vedere il film che viene proiettato nella sala B, ma è in ritardo. Sa che, arrivando all’ultimo momento, la probabilità di trovare ancora un posto nella sala A è pari a 0.2, la probabilità di trovarlo in almeno una delle due sale è 0.4, e la probabilità che vi sia ancora un posto nella sala B sapendo che c’è ancora un posto nella sala A è 0.3. a) Quale è la probabilità che Marco riesca a vedere il film che proiettano nella sala B? b) Come cambia tale probabilità se sappiamo che la sala A è già completa? [R: P(B)=0.26; P(B|A)=0.25] Esercizio 2.4 (Prof.ssa Mortera, 22-2-00) In ciascuna copia di una edizione economica dei Promessi Sposi, il 60% delle pagine contiene almeno un errore di stampa. Se ne produce una ristampa riveduta in cui errori di stampa sono contenuti solo nel 20% delle pagine. Da uno scaffale, che contiene 20 libri della prima edizione e 10 della seconda, si sceglie un libro a caso. Si esamina una pagina, scelta anch’essa in modo casuale, e si trova un errore di stampa. a) Quale è la probabilità che il libro sia della prima edizione? b) E della ristampa? [R: P(I|E)=0.86; P(II|E)=0.14] Esercizio 2.5 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) Un’urna contiene 4 palline bianche e 2 rosse, un’altra ne contiene 2 bianche e 4 rosse. Da una delle due urne scelta a caso è stata estratta una pallina rossa. Quale è la probabilità che sia stata estratta dalla prima urna? [R: P(U1 |R)=1/3] Esercizio 2.6 (Prof. Pieraccini, 20–2-01) Un’urna contiene 6 palline rosse e 4 nere, un’altra ne contiene 2 rosse e 8 nere. Se si estraggono con reimmissione 3 palline da una delle due urne scelta a caso, e si osservano 3 palline nere, è la probabilità T quale T che queste siano state estratte dalla prima urna? [R: P(U1 |N N N)=1/9] 8

Esercizio 2.7 (Prof.ssa Mortera, 3-7-00) Dati due eventi A e B indipendenti, verificare se le seguenti affermazioni sono vere o false: a) P(A|B)=P(A|B); T b) P(AS B)=P(A)-P(A)P(B); c) P(A B)=P(A)P(B)+P(B). [R: le affermazioni sono tutte vere] Esercizio 2.8 (Prof.ssa Mortera, 17-7-01) Due tifosi, Paolo e Carlo, vanno spesso allo stadio. Paolo ha assistito al 70% delle partite e Carlo ha assistito al 90% delle partite. a) Sapendo che la presenza di Paolo allo stadio è indipendente dalla presenza di Carlo (e viceversa), quale è la probabilità che almeno uno dei due tifosi abbia assistito ad una partita? b) Quale è la probabilità che Paolo abbia assistito alla quarta partita di campionato sapendo che Carlo ha assistito alla seconda partita di campionato? c) Dati due S eventi A e B, definire la proprietà di incompatibilità e di indipendenza. [R: P(P C)=0.97; P(P|C)=0.7] Esercizio 2.9 (Prof.ssa Mortera, 3-7-00) Per arrivare ad una cena tra amici, Paolo e Giovanna scelgono, con uguale probabilità, fra i seguenti mezzi di trasporto: bus, auto e bicicletta. Le probabilità che ciascuno dei due amici giunga in ritardo, se prendono rispettivamente il bus, l’auto e la bicicletta, sono pari a 0.6, 0.2 e 0.4. a) Determinare la probabilità che Paolo arrivi in ritardo. b) Se Paolo e Giovanna viaggiano indipendentemente, quale è la probabilità che almeno uno giunga in ritardo? c) Sapendo che Paolo è arrivato in ritardo, quale è la probabilità che abbia viaggiato in auto? S [R: P(RP )=0.4; P(RP RG )=0.64; P(A|RP )=0.17] Esercizio 2.10 (Prof.ssa Terzi, 20-6-00) La probabilità che durante la produzione giornaliera di una piccola azienda di componenti elettronici, si verifichino X pezzi difettosi è data da: P(X=0)=K, P(X=1)=3K, P(X=2)=K, P(X=3)=P(X=4)=2K, P(X ≥ 5)=0. a) Determinare il valore della costante K. b) Calcolare valore atteso e varianza della variabile casuale X. [R: K=1/9; E(X)=2.11; var(X)=1.88] Esercizio 2.11 (Prof.ssa Terzi, 3-7-00) Una variabile casuale discreta X ha la seguente funzione di ripartizione: F(0)=0, F(1)=0.2, F(2)=0.4, F(3)=0.4, F(4)=0.8, F(5)=1. Calcolarne il valore atteso e la varianza. [R: E(X)=3.2; var(X)=2.16] Esercizio 2.12 (Prof.ssa Terzi, 16–7-01) Un’urna contiene 5 palline bianche e 5 palline nere. Dall’urna vengono estratte (senza ripetizione) 2 palline. Sia X la 9

variabile casuale “numero di palline bianche su due estratte”. Calcolare E(X) e var(X). [R: E(X)=1; var(X)=0.44] Esercizio 2.13 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) L’altezza di 450 studenti immatricolati all’Università di Roma Tre nel 1998 è risultata in media di 170 cm., con uno s.q.m. di 7.5 cm. Nell’ipotesi che la statura si distribuisca come una Normale, quale è il numero atteso di studenti con altezza a) maggiore di 180 cm.; b) minore o uguale a 160 cm.; c) tra 162.5 e 172.5. [R: n(X>180)'41; n(X≤160)'41; n(162.5606000)=0.35; P(N≥3)=0.2352; P(M≥2)=0.9987]

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Esercizi di inferenza

Esercizio 3.1 (Prof.ssa Mortera, 1-7-99) Il tempo che l’impiegato addetto allo sportello “accettazione telegrammi” di un certo ufficio postale dedica a ciascun utente segue una distribuzione normale di media 5 minuti. E’ anche noto che la probabilità che il tempo dedicato a ciascun utente sia inferiore a 3.2 minuti è pari a 0.209. a) Ricavare il valore dello scarto quadratico medio di X. b) Determinare la probabilità che il tempo medio ricavato sulla base di un campione casuale di 25 utenti superi i 6 minuti. c) Determinare l’intervallo in cui, con probabilità 0.9, cade la varianza campionaria corretta dello stesso campione. ¡ ¢ 2 [R: σ = 2.22; P X > 6 = 0.01222; S ∈ (2.85; 7.49)] Esercizio 3.2 (Prof. Pieraccini, 19-6-01) Le cinque unità che compongono una popolazione presentano per la X i seguenti valori: 3, 4, 6, 12, 17. Si considerino tutti i possibili campioni di ampiezza due che possono essere estratti con ripetizione da questa popolazione. Calcolare: a) la media della popolazione; b) lo scarto quadratico medio della popolazione; c) la distribuzione della media campionaria; d) verificare che la media campionaria è una stima non distorta della media della popolazione; e) controllare che la varianza della distribuzione campionaria delle medie è in accordo con il risultato teorico. [R: µ = 8.4; σ = 5.31] Esercizio 3.3 (Prof.ssa Mortera, 28-6-01) Sia X1 , X2 ,...,Xn un campione di ampiezza n (n ≥ 4) estratto da una popolazione X con E (X) = µ e varianza σ 2 . Si considerino i seguenti stimatori alternativi per µ: S1 = 2

X1 X3 + X4 − + X2 n n

e

S2 = X 1 −

X2 + X3 − X4 n

a) Lo stimatore S1 è non distorto? In caso di risposta negativa proporre uno stimatore non distorto per µ modificando S1 ; b) lo stimatore S2 è non distorto? In caso di risposta negativa proporre uno stimatore non distorto per µ modificando S2 ; c) calcolare l’errore quadratico medio di S1 e di S2 ; d) S1 e di S2 sono consistenti in media quadratica? [R: S1 non distorto; S2 distorto, nS2 /(n-1) non distorto; MSE(S1 )=σ 2 (6/n2 + 1), MSE(S2 )=σ 2 (3/n2 + 1) + µ2 /n2 ; S1 e S2 non sono consistenti in media quadratica] Esercizio 3.4 (Prof.ssa Mortera, 16-6-99) Sia X1 , X2 ,X3 un campione casuale estratto da una popolazione X con distribuzione di Poisson di parametro λ. Dati i due stimatori di λ: X1 + X3 2X1 + X2 + 2X3 e T2 = T1 = 5 2 13

a) stabilire se sono non distorti; b) ricavare l’errore quadratico medio di T1 e di T2 ; c) quale tra i due stimatori è preferibile, e perchè? [R: T1 e T2 non distorti; MSE(T1 )=9λ/25, MSE(T2 )=λ/2; è preferibile T1 ] Esercizio 3.5 (Prof.ssa Mortera, 13-6-01) Il numero di clienti che si presentano ad uno sportello bancario in un giorno è descritto da una variabile casuale X con distribuzione di Poisson di parametro λ, cioè f (x; λ) = e−λ

λx x!

x > 0, λ > 0

Al fine di stimare λ, è stato rilevato per cinque giorni il numero di clienti che si sono presentati a questo sportello e si è osservato: 10, 13, 8, 14, 12. a) Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza di λ. b) Calcolarne la stima in corrispondenza del campione osservato. c) Lo stimatore di massima verosimiglianza trovato è consistente in media quadratica? Dimostrare. d) Definire la proprietà di consistenza di uno stimatore. Lo stimatore trovato è anche consistente? bM L = X; x = 11.4; lo stimatore è consistente in media quadratica e consistente] [R: λ Esercizio 3.6 (Prof.ssa Mortera, 28-9-00) Un’impresa vuole valutare la durata media µ delle batterie prodotte nel proprio stabilimento. In un campione casuale di n=6 batterie si osservano le seguenti durate in ore: x1 = 10, x2 = 40, x3 = 25, x4 = 32, x5 = 27, x6 = 16. Nell’ipotesi che il tempo di vita X di ogni singola batteria segua una distribuzione esponenziale di parametro 1/µ, cioè abbia funzione di densità: f (x; µ) =

1 −x/µ e µ

x>0

a) determinare lo stimatore di massima verosimiglianza, L, per µ e ricavare il valore della stima sulla base del campione dato; b) dire se tale stimatore è corretto e consistente; 3 c) considerare lo stimatore S= X e verificare la sua correttezza; 4 d) confrontare i due stimatori L e S utilizzando l’errore quadratico medio. [R: L=X; x = 25; L è non distorto e consistente; S è distorto; MSE(L)=µ2 /n, MSE(S)=µ2 (9 + n) /16n] Esercizio 3.7 (Prof. Pieraccini, 20-02-01) In un campione di 100 piccole imprese si sono rilevate le seguenti spese annue per energia elettrica (in milioni): X ni

1-5 5-9 2 37

9-12 32

12-16 16-20 tot 28 1 100

a) Costruire un intervallo di confidenza per la spesa media annua µ al livello di confidenza 0.90, sapendo che la varianza della popolazione risulta essere σ 2 = 9. 14

b) Quale deve essere la numerosità n del campione affinché l’intervallo calcolato al punto a) abbia lunghezza minore di 0.8? [R: (9.618; 10, 602) ; n ≥ 152] Esercizio 3.8 (Prof.ssa Terzi, 19-7-00) Per un campione casuale di 14 ragazzi, sono stati osservati i seguenti pesi (in Kg): 48, 46, 45, 47, 53, 50, 38, 49, 40, 43, 46, 38, 50, 41. Nell’ipotesi che tale campione provenga da una Normale, trovare l’intervallo di confidenza per la media µ (incognita) dell’intera popolazione, con α=0.05. [R: (42.6; 47.98)] Esercizio 3.9 (Prof.ssa Mortera, 22-2-00) Supponiamo che X1 , X2 ,...,Xn sia un campione casuale estratto da una popolazione X con distribuzione Normale di media µ incognita e varianza σ 2 nota. Quale deve essere la numerosità n del campione affinché sia possibile individuare un intervallo di confidenza per µ, al livello di confidenza 0.95, di lunghezza minore di 0.01σ? [R: n ≥ 153665] Esercizio 3.10 (Prof.ssa Mortera, 3-7-00) In un campione di 500 famiglie, l’intervallo al 99% del reddito mensile medio (in milioni di lire) è dato da 2