Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam. Bobot soal:
10. D, E, dan F berturut-turut titik tengah sisi AB, BC, dan CA suatu segitiga ...
h a n g e Vi e
w
N y bu to k lic
c u -tr a c k
w
5. Diketahui jajargenjang OABC, D adalah titik tengah OA. Buktikanlah bahwa CD dibagi dua oleh OB dengan perbandingan 1 : 2. Buktikan juga bahwa OB dibagi dua oleh CD dengan perbandingan 1 : 2.
.d o
Bobot soal: 10
D, E, dan F berturut-turut titik tengah sisi AB, BC, dan CA suatu segitiga ABC. Buktikanlah bahwa a b c d e f
D. Perkalian Skalar Dua Vektor dan Proyeksi Vektor B
b
D O
a
A
Jika a dan b vektor-vektor tak nol dan D sudut di antara vektor a dan b, maka perkalian skalar vektor a dan b didefinisikan oleh a b _a__b_ cos D. Jika dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut, perkalian skalar dua vektor ini didefinisikan sebagai berikut.
Jika a (a1, a2, . . ., an) dan b (b1, b2, . . ., bn) adalah sebarang vektor pada Rn, maka hasil kali dalam atau perkalian skalarnya adalah ab
a1b1 a2b2 . . . anbn
100
100
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
m
JJJJG
a. Nyatakan vektor AE dan AD dalam vektor a dan b. b. Jika M titik potong antara garis AD dan BE, nyatakan vektor dalam vektor a dan b. c. Jika perpanjangan garis CM memotong garis AB di titik F, tentukanlah perbandingan AF : FB. d. Jika perpanjangan garis DE memotong garis AB atau perpanjangannya di titik H, tentukan perbandingan AH : HB.
o
.c
C
m
JJJG
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W
!
XC
er
O W
F-
w
PD
h a n g e Vi e
!
XC
er
PD
F-
c u -tr a c k
.c
F-
w
y .d o
m
(a1, a2, a3) dan b
w
o
Jika a
lic
•
C
(a1, a2) dan b
m
Jika a
o
k
to
bu
y bu to k lic C
(b1, b2) vektor-vektor di R2, maka a b a1b1 a2b2
•. c
c u -tr a c k
w
w
.d o
w
w
w
w
N
O W
!
h a n g e Vi e
N
O W
XC
er
PD
h a n g e Vi e
!
XC
er
PD
F-
c u -tr a c k
(b1, b2, b3) vektor-vektor di R3, maka a b a1b1 a2b2 a3b3
Dalam perkalian skalar dua vektor terdapat sifat-sifat berikut. Jika a, b, dan c vektor-vektor di R2 atau di R3 dan k skalar tak nol, maka: 1. a b b a 3. k(a b) (ka) b a (kb) 2. a (b c) a b a c 4. a a _a_2
Dalam buku ini akan dibuktikan sifat 1 dan sifat 3. Untuk sifat-sifat lainnya, dapat dibuktikan sendiri. Ambil sebarang vektor a
(a1, a2, a3) dan b
(b1, b2, b3), maka:
Pembuktian sifat 1
a1 ˆi a2 ˆj a3 kˆ dan b b1 ˆi b2 ˆj b3 kˆ a b ( a1 ˆi a2 ˆj a3 kˆ )( b1 ˆi b2 ˆj b3 kˆ )
Misalkan a
a1 b1 ˆi ˆi a2 b1 ˆi ˆj a3 b1 ˆi kˆ a1 b2 ˆi ˆj a2 b2 ˆj ˆj a3 b2 ˆj kˆ a1 b3 ˆi kˆ a2 b3 ˆj kˆ a3 b3 kˆ kˆ
ˆj ˆj kˆ kˆ 1 dan karena ˆi, ˆj, dan kˆ saling tegak lurus, maka ˆi ˆj
karena ˆi ˆi
ˆi kˆ
ˆj kˆ
0
sehingga a b a1b1 a2b2 a3b3 b1a1 b2a2 b3a3 ba Jadi, a b b a. Ambil sebarang vektor a (a1, a2, a3), b (b1, b2, b3) dan k skalar tak nol, maka : k(a b) k(a1b1 a2b2 a3b3) (ka1b1 ka2b2 ka3b3) … (*) (ka1)b1 (ka2)b2 (ka3)b3 (ka) b Dari persamaan (*), diperoleh k(a b) a1(kb1) a2(kb2) a3(kb3) a (kb) Perhatikan gambar berikut! Proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor c. Perhatikan segitiga AOB! Pada segitiga AOB, cos T
c a
_c_ _a_ cos T a
a b a b
Jadi, panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah _c_
A a
ab b ab b
T O
c C
B
b
Setelah mengetahui panjangnya, kalian dapat pula menentukan vektor proyeksi tersebut, yaitu: c _c_u vektor satuan c
Bab 4 Vektor
101
.c
h a n g e Vi e
w
N y bu to
Oleh karena c berimpit dengan b maka vektor satuan c adalah Jadi, c
a b b b b
a b b
2
w
b
Sehingga proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor c
a b b
2
.b
Contoh Diketahui vektor a (1, 1, 0) dan b (1, 2, 2). Tentukanlah: a. besar sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b b. panjang proyeksi vektor a pada vektor b c. vektor proyeksi a pada vektor b Jawab: a. Untuk menentukan besar sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b, terlebih dahulu tentukanlah a b, _a_, dan _b_. a b 1 (1) (1) 2 0 2 1 2 3 _a_
12 ( 1)2 0 2
11
2
( 1)2 2 2 2 2 1 4 4 9 3 _b_ Misalkan sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b adalah T, maka: a b 3 1 2 cos T a b 2 2 3 Didapat T 135°. b. Misalkan vektor proyeksi a pada b adalah c, maka: a b 3 c 1 1 b 3 Jadi, panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah 1. c.
Vektor proyeksi a pada b adalah c c
( 1, 2, 2) b 1 b 3
2 2· §1 ¨ , , ¸ 3 3¹ ©3
102
102
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
.d o
m
b b
o
.c
lic
k c u -tr a c k
C
m
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W
!
XC
er
O W
F-
w
PD
h a n g e Vi e
!
XC
er
PD
F-
c u -tr a c k
.c
y o
c u -tr a c k
.c
4
.d o
m
o
w
w
w
.d o
C
lic
k
to
bu
y bu to k lic C
w
w
w
N
O W
!
h a n g e Vi e
N
PD
!
XC
er
O W
F-
w
m
h a n g e Vi e
w
PD
XC
er
F-
c u -tr a c k
ASAH KEMAMPUAN
Waktu : 90 menit 1. Tentukan a b, a (a b), b (a b), dan sudut antara vektor a dan b jika: a. a (2, 1) dan b (3, 2) c. a (7, 1, 3) dan b (5, 0, 1) b. a (2, 6) dan b (9, 3) d. a ( 0, 0, 1) dan b (8, 3, 4) 2. Dari vektor-vektor a dan b pada soal nomor 1, tentukan: a. Panjang proyeksi vektor a pada vektor b b. Vektor proyeksi a pada b c. Panjang proyeksi vektor b pada vektor a d. Vektor proyeksi b pada a
Bobot soal: 10
Bobot soal: 20
3. Gunakan vektor-vektor untuk menentukan sudut-sudut di bagian dalam segitiga dengan titik-titik sudut (1, 0), (2, 1), dan (1, 4).
Bobot soal: 10
4. Misalkan, a b
Bobot soal: 10
5. Diketahui _a_
a c dengan a z o. Apakah b 4, _b_
lancip D dengan tan D a. a b b. b a
c? Jelaskan!
2, dan sudut antara vektor a dan b adalah 3 . Tentukanlah: 4
Bobot soal: 10
c. a (a b) d. (a b)(a b)
6. Diketahui vektor a (7, 6, 4), b (5, 3, 2), dan c (1, 0, 2). Tentukanlah panjang proyeksi vektor a pada vektor (b c) 7. Diketahui segitiga PQR dengan P(5, 1, 5), Q(11, 8, 3), dan R(3, 2, 1). Tentukanlah: o o o d. proyeksi vektor PR pada PQ a. panjang PR o b. panjang PQ e. luas segitiga PQR o o c. panjang proyeksi PR pada PQ 8. Diketahui vektor a (2, 1, 2) dan b (4, 10, 8). Tentukan nilai x agar vektor (a xb) tegak lurus pada vektor a.
Bobot soal: 10 Bobot soal: 20
Bobot soal: 10
Olimpiade Matematika SMU, 2000
Bab 4 Vektor
103
.c
