Dari Algebraic Topology ke Aljabar - WordPress.com

Dari Algebraic Topology ke Aljabar Hafiz Khusyairi


Hafiz Khusyairi

Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Motivasi Dari Algebraic Topology ke Aljabar Hafiz Khusyairi

Studi topologi diawali oleh studi terhadap graf dan platonic solid

Hafiz Khusyairi



Studi topologi diawali oleh studi terhadap graf dan platonic solid

Hafiz Khusyairi



Ada sebuah pola penting Solids Tetrahedron Cube Octahedron Icosahedron Dedocahedron

Hafiz Khusyairi

yang muncul pada platonic solids Vertices Edges Faces 4 6 4 8 12 6 6 12 8 12 30 20 20 30 12



Ada sebuah pola penting yang muncul pada platonic solids Solids Vertices Edges Faces Tetrahedron 4 6 4 Cube 8 12 6 Octahedron 6 12 8 Icosahedron 12 30 20 Dedocahedron 20 30 12 Pola tersebut adalah V − E + F = 2

Hafiz Khusyairi



Ada sebuah pola penting yang muncul pada platonic solids Solids Vertices Edges Faces Tetrahedron 4 6 4 Cube 8 12 6 Octahedron 6 12 8 Icosahedron 12 30 20 Dedocahedron 20 30 12 Pola tersebut adalah V − E + F = 2 Pola ini juga berlaku untuk polihedron secara umum dan juga graf planar

Hafiz Khusyairi



Ada sebuah pola penting yang muncul pada platonic solids Solids Vertices Edges Faces Tetrahedron 4 6 4 Cube 8 12 6 Octahedron 6 12 8 Icosahedron 12 30 20 Dedocahedron 20 30 12 Pola tersebut adalah V − E + F = 2 Pola ini juga berlaku untuk polihedron secara umum dan juga graf planar Hal ini terjadi karena, secara topologi, semua polihedron dan graf planar adalah ekivalen Hafiz Khusyairi


Tentang Ekivalensi Dari Algebraic Topology ke Aljabar Hafiz Khusyairi

Homotopi, secara kasar, adalah ekivalensi topologi saat sebuah bentuk dapat diubah menjadi bentuk lain secara kontinu tanpa harus memotong atau menempel

Hafiz Khusyairi


Tentang Ekivalensi Dari Algebraic Topology ke Aljabar Hafiz Khusyairi

Homotopi, secara kasar, adalah ekivalensi topologi saat sebuah bentuk dapat diubah menjadi bentuk lain secara kontinu tanpa harus memotong atau menempel Pada saat ini klasifikasi lengkap hanya ada untuk dimensi 2 Theorem Jika M merupakan suatu permukaan, maka M pasti salah satu dari berikut: Bola (+batas) Bola ditambah beberapa ”pegangan” (+batas) Bola ditambah beberapa crosscaps (+batas)

Hafiz Khusyairi



Bagaimana dengan dimensi lebih tinggi?

Hafiz Khusyairi



Bagaimana dengan dimensi lebih tinggi? Masalah: Tidak mudah untuk membuktikan 2 bentuk sama atau berbeda, terutama pada dimensi tinggi

Hafiz Khusyairi



Bagaimana dengan dimensi lebih tinggi? Masalah: Tidak mudah untuk membuktikan 2 bentuk sama atau berbeda, terutama pada dimensi tinggi Contoh: Apakah R3 berbeda dengan S3 ? Apakah R3 berbeda dengan R4 ?

Hafiz Khusyairi


Ide Dasar Algebraic Topology Dari Algebraic Topology ke Aljabar Hafiz Khusyairi

Salah satu ide dasar di Matematika adalah mencari/mendefiniskan invariant

Hafiz Khusyairi



Salah satu ide dasar di Matematika adalah mencari/mendefiniskan invariant Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant

Hafiz Khusyairi



Salah satu ide dasar di Matematika adalah mencari/mendefiniskan invariant Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant Euler Characteristic

Hafiz Khusyairi



Salah satu ide dasar di Matematika adalah mencari/mendefiniskan invariant Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant Euler Characteristic Genus → Betti Number

Hafiz Khusyairi



Salah satu ide dasar di Matematika adalah mencari/mendefiniskan invariant Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant Euler Characteristic Genus → Betti Number Fundamental Group → Homotopy Group

Hafiz Khusyairi



Salah satu ide dasar di Matematika adalah mencari/mendefiniskan invariant Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant Euler Characteristic Genus → Betti Number Fundamental Group → Homotopy Group Homology

Hafiz Khusyairi



Salah satu ide dasar di Matematika adalah mencari/mendefiniskan invariant Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant Euler Characteristic Genus → Betti Number Fundamental Group → Homotopy Group Homology Cohomology

Hafiz Khusyairi



Salah satu ide dasar di Matematika adalah mencari/mendefiniskan invariant Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant Euler Characteristic Genus → Betti Number Fundamental Group → Homotopy Group Homology Cohomology K-Theory

Hafiz Khusyairi



Misalkan terdapat bentuk Topologi X , Y dan fungsi kontinu f : X → Y , maka terdapat:

Hafiz Khusyairi



Misalkan terdapat bentuk Topologi X , Y dan fungsi kontinu f : X → Y , maka terdapat: Grup πn (X ) dan πn (Y ) serta homomorfisma grup πn (f ) : πn (X ) → πn (Y )

Hafiz Khusyairi



Misalkan terdapat bentuk Topologi X , Y dan fungsi kontinu f : X → Y , maka terdapat: Grup πn (X ) dan πn (Y ) serta homomorfisma grup πn (f ) : πn (X ) → πn (Y ) Grup abel Hn (X ) dan Hn (Y ) serta homomorfisma grup Hn (f ) : Hn (X ) → Hn (Y )

Hafiz Khusyairi



Misalkan terdapat bentuk Topologi X , Y dan fungsi kontinu f : X → Y , maka terdapat: Grup πn (X ) dan πn (Y ) serta homomorfisma grup πn (f ) : πn (X ) → πn (Y ) Grup abel Hn (X ) dan Hn (Y ) serta homomorfisma grup Hn (f ) : Hn (X ) → Hn (Y ) Ring H n (X ) dan H n (Y ) serta homomorfisma grup H n (f ) : H n (Y ) → H n (X )

Hafiz Khusyairi



Misalkan terdapat bentuk Topologi X , Y dan fungsi kontinu f : X → Y , maka terdapat: Grup πn (X ) dan πn (Y ) serta homomorfisma grup πn (f ) : πn (X ) → πn (Y ) Grup abel Hn (X ) dan Hn (Y ) serta homomorfisma grup Hn (f ) : Hn (X ) → Hn (Y ) Ring H n (X ) dan H n (Y ) serta homomorfisma grup H n (f ) : H n (Y ) → H n (X ) Familiar dengan konsep di atas?

Hafiz Khusyairi


De Rham Cohomology Dari Algebraic Topology ke Aljabar Hafiz Khusyairi

Pada geometri diferensial, diperlukan suatu cara mendefinisikan integral pada differentiable manifolds

Hafiz Khusyairi



Pada geometri diferensial, diperlukan suatu cara mendefinisikan integral pada differentiable manifolds Formalisasi aljabar dari notasi Leibniz di kalkulus (dx) disebut diffential forms

Hafiz Khusyairi



Pada geometri diferensial, diperlukan suatu cara mendefinisikan integral pada differentiable manifolds Formalisasi aljabar dari notasi Leibniz di kalkulus (dx) disebut diffential forms Contoh 1-form, 2-form, 3-form,

pada R3 : 0-form, fungsi yang memiliki turunan f (x, y , z)dx + g (x, y , z)dy f (x, y , z)dxdy + g (x, y , z)dydz f (x, y , z)dxdydz

Hafiz Khusyairi



Pada geometri diferensial, diperlukan suatu cara mendefinisikan integral pada differentiable manifolds Formalisasi aljabar dari notasi Leibniz di kalkulus (dx) disebut diffential forms Contoh 1-form, 2-form, 3-form,

pada R3 : 0-form, fungsi yang memiliki turunan f (x, y , z)dx + g (x, y , z)dy f (x, y , z)dxdy + g (x, y , z)dydz f (x, y , z)dxdydz

Turunan: d(fdx) = fx dx ∧ dx + fy dy ∧ dx + fz dz ∧ dx = −fy dxdy − fz dxdz

Hafiz Khusyairi



0-form(X ) → 1-form(X ) → 2-form(X ) → 3-form(X ) →

Hafiz Khusyairi



0-form(X ) → 1-form(X ) → 2-form(X ) → 3-form(X ) → Dari Kalkulus Multivariable, kita tahu bahwa d 2 = 0, akibatnya rantai di atas adalah co-chain complex (Im d ⊂ Ker d)

Hafiz Khusyairi



0-form(X ) → 1-form(X ) → 2-form(X ) → 3-form(X ) → Dari Kalkulus Multivariable, kita tahu bahwa d 2 = 0, akibatnya rantai di atas adalah co-chain complex (Im d ⊂ Ker d) Barisan di atas bukan merupakan barisan eksak, untuk mengetahui seberapa jauh barisan di atas menyimpang dari barisan eksak, kita definisikan H n = Kerd/Imd

Hafiz Khusyairi



0-form(X ) → 1-form(X ) → 2-form(X ) → 3-form(X ) → Dari Kalkulus Multivariable, kita tahu bahwa d 2 = 0, akibatnya rantai di atas adalah co-chain complex (Im d ⊂ Ker d) Barisan di atas bukan merupakan barisan eksak, untuk mengetahui seberapa jauh barisan di atas menyimpang dari barisan eksak, kita definisikan H n = Kerd/Imd Darimana struktur ring dan kontravarian De Rham cohomology berasal?

Hafiz Khusyairi


Simplicial Homology Dari Algebraic Topology ke Aljabar Hafiz Khusyairi

Permukaan dapat di-triangulasi, dan bentuk topologi bisa dipecah menjadi simplex

Hafiz Khusyairi



Permukaan dapat di-triangulasi, dan bentuk topologi bisa dipecah menjadi simplex n-simplex [v0 , v1 , ..., vn ] didefinisikan sebagai himpunan konveks terkecil yang memuat n buah titik (n vektor bebas linear)

Hafiz Khusyairi



Permukaan dapat di-triangulasi, dan bentuk topologi bisa dipecah menjadi simplex n-simplex [v0 , v1 , ..., vn ] didefinisikan sebagai himpunan konveks terkecil yang memuat n buah titik (n vektor bebas linear) 0-simplex adalah sebuah titik, 1-simplex adalah sebuah sisi, 2-simplex adalah sebuah segitiga, 3-simplex adalah sebuah tetrahedron, dst

Hafiz Khusyairi



Permukaan dapat di-triangulasi, dan bentuk topologi bisa dipecah menjadi simplex n-simplex [v0 , v1 , ..., vn ] didefinisikan sebagai himpunan konveks terkecil yang memuat n buah titik (n vektor bebas linear) 0-simplex adalah sebuah titik, 1-simplex adalah sebuah sisi, 2-simplex adalah sebuah segitiga, 3-simplex adalah sebuah tetrahedron, dst batas dari 1-simplex didefinisikan sebagai 0-simplex, batas dari 2-simplex adalah 2 buah 1-simplex, batas dari 3-simplex adalah 3 buah 2-simplex, dst

Hafiz Khusyairi



Hafiz Khusyairi



Batas dari suatu simplex didefinisikan sebagai: P i d[v0 , v1 , ..., vn ] = (−1) [v0 , ..., vˆ i , ..., vn ]

Hafiz Khusyairi



Batas dari suatu simplex didefinisikan sebagai: P i d[v0 , v1 , ..., vn ] = (−1) [v0 , ..., vˆ i , ..., vn ] Dapat diperiksa bahwa d 2 = 0, sehingga rantai di bawah merupakan chain complex

Hafiz Khusyairi



Batas dari suatu simplex didefinisikan sebagai: P i d[v0 , v1 , ..., vn ] = (−1) [v0 , ..., vˆ i , ..., vn ] Dapat diperiksa bahwa d 2 = 0, sehingga rantai di bawah merupakan chain complex → ∆3 (X ) → ∆2 (X ) → ∆1 (X ) → ∆0 (X )

Hafiz Khusyairi



Batas dari suatu simplex didefinisikan sebagai: P i d[v0 , v1 , ..., vn ] = (−1) [v0 , ..., vˆ i , ..., vn ] Dapat diperiksa bahwa d 2 = 0, sehingga rantai di bawah merupakan chain complex → ∆3 (X ) → ∆2 (X ) → ∆1 (X ) → ∆0 (X ) Grup Homologi didefinisikan sebagai Hn (X ) = Kerd/Imd

Hafiz Khusyairi


Simplicial Homology Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Contoh, grup homologi dari torus adalah:

Hafiz Khusyairi

Hn (T ) = 0 untuk n > 2, H2 (T ) = Z , H1 (T ) = Z ⊕ Z, H0 (T ) = Z

Hafiz Khusyairi




Hafiz Khusyairi

Hn (T ) = 0 untuk n > 2, H2 (T ) = Z , H1 (T ) = Z ⊕ Z, H0 (T ) = Z

Hafiz Khusyairi




Hafiz Khusyairi

Hn (T ) = 0 untuk n > 2, H2 (T ) = Z , H1 (T ) = Z ⊕ Z, H0 (T ) = Z Simplicial Topology memang relatif mudah dihitung, tapi apakah peta dari simplex juga merupakan simplex? Hafiz Khusyairi


Aplikasi Aljabar di Algebraic Topology Dari Algebraic Topology ke Aljabar Hafiz Khusyairi

Teorema-teorema di Simplicial Homology tidak mudah dibuktikan, oleh karena itu didefinisikan Singular Homology

Hafiz Khusyairi



Teorema-teorema di Simplicial Homology tidak mudah dibuktikan, oleh karena itu didefinisikan Singular Homology Singular Homology secara definisi sangat cocok untuk pembuktian, dan ekivalensi antara Simplicial Homology dan Singular Homology pada dasarnya adalah 5-lemma

Hafiz Khusyairi



Teorema-teorema di Simplicial Homology tidak mudah dibuktikan, oleh karena itu didefinisikan Singular Homology Singular Homology secara definisi sangat cocok untuk pembuktian, dan ekivalensi antara Simplicial Homology dan Singular Homology pada dasarnya adalah 5-lemma Peralatan utama dalam perhitungan grup homologi adalah barisan Mayer-Vietoris yang pada dasarnya adalah Snake-lemma Theorem Jika A adalah subruang (tutup) topologi dari X maka terdapat barisan eksak → Hn (A) → Hn (X ) → Hn (X /A) → Hn−1 (A) → Hn−1 (X ) → Hafiz Khusyairi


Derived Categories Dari Algebraic Topology ke Aljabar Hafiz Khusyairi

Kelemahan pertama (co)homology: Cohomology adalah Homology dari dual sebuah chain complex bukan dual dari Homology sebuah chain complex, karena pengambilan homology tidaklah double dual.

Masalah: (co)chain complex tidak invarian terhadap homotopy, (co)chain complex perlu dimodifikasi

Hafiz Khusyairi



Kelemahan pertama (co)homology: Cohomology adalah Homology dari dual sebuah chain complex bukan dual dari Homology sebuah chain complex, karena pengambilan homology tidaklah double dual. Kelemahan kedua (co)homology: Pengambilan homology mengurangi informasi

Masalah: (co)chain complex tidak invarian terhadap homotopy, (co)chain complex perlu dimodifikasi

Hafiz Khusyairi



Kelemahan pertama (co)homology: Cohomology adalah Homology dari dual sebuah chain complex bukan dual dari Homology sebuah chain complex, karena pengambilan homology tidaklah double dual. Kelemahan kedua (co)homology: Pengambilan homology mengurangi informasi Ide dari derived category adalah tidak mengambil (co)homology tapi mengamati (co)chain complex Masalah: (co)chain complex tidak invarian terhadap homotopy, (co)chain complex perlu dimodifikasi

Hafiz Khusyairi



Bagaimana bentuk homotopy di (co)chain complex?

Hafiz Khusyairi



Bagaimana bentuk homotopy di (co)chain complex? Misalkan X dan Y dua buah bentuk topologi yang telah dipecah menjadi simplex. X dan Y homotopik jika terdapat Z dan pemetaan simplex X ← Z → Y yang menginduksi (∆)n (X ) ← (∆)n (Z ) → (∆)n (Y )

Hafiz Khusyairi



Bagaimana bentuk homotopy di (co)chain complex? Misalkan X dan Y dua buah bentuk topologi yang telah dipecah menjadi simplex. X dan Y homotopik jika terdapat Z dan pemetaan simplex X ← Z → Y yang menginduksi (∆)n (X ) ← (∆)n (Z ) → (∆)n (Y ) Modifikasi yang dilakukan adalah me-lokalisasi semua pemetaan yang invarian terhadap homotopy

Hafiz Khusyairi



Bagaimana bentuk homotopy di (co)chain complex? Misalkan X dan Y dua buah bentuk topologi yang telah dipecah menjadi simplex. X dan Y homotopik jika terdapat Z dan pemetaan simplex X ← Z → Y yang menginduksi (∆)n (X ) ← (∆)n (Z ) → (∆)n (Y ) Modifikasi yang dilakukan adalah me-lokalisasi semua pemetaan yang invarian terhadap homotopy Yaitu, jika terdapat (∆)n (Z ) sehingga terdapat chain map (∆)n (X ) ← (∆)n (Z ) → (∆)n (Y ) maka ”dianggap” terdapat isomorfisma g : (∆)n (X ) → (∆)n (Y )

Hafiz Khusyairi
