Sep 24, 2004 - ZDM subject classification: G43, K23, C½3, D43 .... e¥ffective for the students£ part if it is discovered by themselves either to some degree or on the ... there is no such decomposition since the three vertices of the original triangle must be ..... fter successfully¯finding which triangles can be divided into two ...
!"#$ %&(') #*+ ,-!"#.' /!0213154608791):-;=915?3@+?5A$BDC5EGF90HJI KMLONQPSRUTVXWMPSNQYSWOZ\[^]G_`badc9WOZeY,[M]+VfW)g^[MhQPiakjlSNQPSmQnbRUYpoXqMrM_ sut Yvxw>RQyzYRQ{|nbRQl sM}O}Mt ~&%,
U)UU"),"UMU)UU5"bU
))Q5SQ¥)5)"%U, &£Q¡^¢U¦ U)
uUQU¢U55%,£U")! &
¤)" i," §M¨©ª«u¬e®%¯#®%°±³² ´b®±,¯µ²e,¶O·-¸Q¹ 5º» ¹ ^¼½ ¹ 5¾ ¸¹ ¿ÁÀOÂÃÄ%ÅÆSà ËÒzQÑÌ"ËQÉÊÇ¥ÓÔÞÚÖÈÛÁÈbãfÌ"ÉÊÒÏß6ÈË5ÔÝÎpÍÊÌÜ^ÉJØåuÍÏÍÊÎ"ÎÜÍÊÐ5È-ÜQÌ"ÈÑQãQØÍ ÔÞãÎÒzÎÍÊÌ"ÙÔÖÙÍÊÉÊÛÔÖÓ
ÙÔÖÙ³ÕÉÊÎ×6ÈØÛJÑÑË^ËÁÚÝÍÊà ÛÎ"á àMÕÁÜá ÌSÔÖÜÛâË5ÈÈËÕ!ÛJÎ"ÈË5×SÙÈÈÌ"Ì"É!ÕØãfÛJÜÈËÍJ̳ÉÊÎÒÏÔÖÉJÙ9Û!ÍæËUÌÍÊÉÊÜQß ÌSÈfÐÍÊÜÚÖãQÈÔÖØÛæÔÞãËÎÎ"ÎÙÛÏÍÊË5ÔÖÎØÛJÛJȳÈÌSÎÍÊÚÖÉÊÜQÑQÙÌ
ÍÊÜ!ãQÔÖÌ"ÛÒÏÕpÔÝÒ ÍÊÌ"Ü È ß ÍÊÜQÈ#ËQÉÊÌ"ÐÚÖÈØ&åUÑÛJÔÖÕQ×ËÑUÉÊÈ#ØÎÍÊÜQÈØÎÍÊÔÖÙÛÎÕã&Î6ÙÌSØËQÑQÍÊÈÉËUÉÊÌS×ÉÎ"ØØÈSà è éOê!ëì íiîXï¥ðÏëzñ%íê ò X¤)) & â"
óz»UôUôQô)QÊõbâ
ó>¤)
)¤)Q#,"u5"¥!õb"ö÷µUuÁ i,¤) i,"U â¡XUQU)ø""iù¢ ó¡)
UÁ9Uù)¤)¤ i5u õiQÊùM¤â%ÏÊõ9U¤uU")¤)i¡¡iU¤uó56
u
¤)âQ9"
Uu)Uó &)U)uôQ%UU#óuuUúu óuUø¤u¦Qö,Qÿ#S¤)Uû"¢!¤)¤u"õ9ü
U"¢¦,öUÿ#ýæS¤)âU¤!fÊþ)õb iU¤)÷µ
¡uUUuµQS¾6
Q)ù)¡u%"#UuGzi¦Sÿ#¤)U¤)£Ub"""&
) & iÞÏ¡
Uõ#óu¤)U"¤)> &æ
õ9 âUSUö
ó
¥£Q )¢ Q"£QQ Q¡)Q)U¡fù)U ó ¹UuU u U5¸ ÷\¢UUS
÷µÁQu¤) ¥QÞæS#uùuÞâU
"óX¤uU¥X%¤)Q"æ%)£U"X OUUu!U
uóX¤)5¥SUU"¦ U)¡ Uu|¤u SUU5¤)"U"u¦Q"ÿ#,õ9¤)"#U6U#õbó QQ),ÁõbSöQ&#ù¢âUQ &æ55 &^%%æ¤)
5&5U
UQ""^
,)u£U
#S &%¦ æ¤)¡u5Uâ
óMó Q" Q¤)¤))ñ%ð ñ ÿ#
^¤)| ¤uUU|U) &¡kUõ#iUä iQu5 £Q)f¡+
^U|óÁÊõu55""ÁQ iä,õ¤)¤)3 iõb
"
öu",õSÊS"5kU&+¤u i
|,¤u¤)X i,£Q"ä
U õ9äUö")
""õ8ä ¤)Á" &5u)p¤uäUQU)øS,Q
ó#¤)äU%£" õ9U)£U6u%¤) ³¦ó U¾6),iõ)p ¤)"Uu¡) &u
¢ ¦#i5£QU¡¥¡)Uù) â÷JQ£)!ö »)¦#i5 &QuÊ
^ä"U¤¥ i,¤) i,"
2""U¤X â¤)5) ¹ ¦#"U¤uõ| i,"
"%6
¡)¡)QQ¤6 5)æö),õ"5Q ó Q xuõ U¡M"³Gù¢ «5²eQ
²® ³ ¦
"!
#!
$&%(')&
)
*
,+.-/+.021435-/1602-/798
:
;
;
=
?A@CB
DFEHGJIHGLKGNMPORQ=G STG UWV6ORXYQ[Z\OR]^MCGNS`_*aOWMbKHcdUHeTafVZ2g.VGheWcCGNa
)¡ ¡G¦ ¥¼bô ¤G÷ ¦ ôQd») &¡)U)¡ ¦ ô ,£U÷ &ô " ¡) i
¢ Uu)ÞQu U5 &¡),£Q&¡)Qù) â÷\U£upö ¦ Quu!ö),õ"5Q6ù¢ Ϧ »)¦ ¡)æQUù))â ó ^Q5 59 Oiu65S³QuM%Q))"%)fu5 O)&£U uU"^buõ9 d½j¾ R´ · º¸¿ À & b 85Á«Á143-«Ã Ä,3Å.Á¦Æ#0285-/1"Ç ÈmÉ:. Æ Â«Á7Ê
³
u¶
³
< ¹>
³
¸·
³
··
·
Ë
;
³ µ ¼·
P´"µ [´
;
;
mµªµ
;
4µÌµ
i
3Á021*Å.-/Ã.Ä(79Á3Å.Éh+
=
Í u;
5;
;
;
?A@«Î
DªGhg\E^cCUHeUHGLÏ
S¬g VGhZ:cPgMЯQÑMPgLcCU[eÒV2EHGGLÓHcCafV2cCUHeÕÔU[ONÏ6MCGNIHeWGcCUVOÒOV2E[GhZ
Q=GhZ\aQ=GNV2cPKWGÖ]$×ÙØ.ÚÛÜ$ÝÜÜRÛrÞLß2à#áÝâã
¸ %þ¡^Qu &U%¡^ä)¤) fU|U£,U
"ó#!
ù)ó ¤)Uf&bÞQSU &Qõ9)ä¡ u|"Uâ¤)"fQ¤u"æ"
& &¡ U%u¤uDä5^"
QóOuUU)Uu5u " âÊu"Q5Qôp"Q¤) &u5
uu"DiS5¤)Uä%¤ uu-
i)UQ5ä¦i
Þó#â6¡^¤)ÊfQ)Uù)U &䢡 UùMuDU""£U¤uU «5²eQ ,²® ,³
S¤u^U )¤)ö Q))i¤u|
U i&ùu,QQ¤)u£,, iu,Qu"Á)"¦bù^õ Uÿ#¤) iö U,))Q¡ "¤
¤u¤) iie%5 &QSu)%% "¤)¡55¤^k,"i5 ^))öUÞS Qu" >¡)¤)UQù)" iU3 UùM¡)£uu
Dóe""z dU,UQäuUi
Þ"¤) i"£U ¢Q"âõbâ
&ó-U¤u õO¤)"Q%Q¦£U&Qó Q¢âõ¤)fS^95¤)ó QG¡u,UõuâóUÞù^Q55¤), £UÝ"» Spù¤)¢ ò¤)ò i£QU) &£U" "Þ¤) U &i5Q"âQUD¤u ¯ ,
««5° ±
¶M±U±,¥®¯¯â¯µ¯² &
i¶u%°Ö ¯\i±U±,® ,â&!²e² ,%±
u² %,! ³²¯J¶ ±,¶^¯ ¯ ä®°±,ä³²eU S±Mâ³² ¶O²!®%
² «5O¶M°°
¯¬²«5%ä¶u6²¬°,³¯)¶
¯ ³² ¯\¶ ±
¶u¯¯¯µ«uiU¬«5¯µ¶u¯«u¯ U¥¶u
±
¯²¯æ% ®¯ â!² ¶M³¯«u¬%|Q±
%¶M¯¶^p¯e !¯ Á¯ &² ¯J¶° ,¥±U³® ²i±± â«u® ± %±³²e¬%°Á«5¶OU¯ ¸ ² ,%¶|®%² ®« !¯J±,¶O®³
¤uó µ Ck n l
k l
«ç ³
¹µ[·
³
³
· º¸¿
³
³ *è µ 4>
³ ½
³
³ µ
³
é>
f
5
4
;
F
ur;
[
CP;
;
^
Ì =
:;
ª
h;
ê
ëì!îíT&
ï
='"%!H
ð : É È9ñ¯Å.03ò202Â/ó.Á8(É:ôFÕõ 10\Ã02Ã÷ÁøLó -«Â/035ÁÈ*0\ÂÌ3Èm-/02Ã.Ä:«Á¥ÆWÁ¡+.Á1É7(ÇWÉ8Á+`-«Ã3É n ≥ 2ö ÁøLó -«Â/035ÁÈ*0\ÂW3È*-«02Ã.Ä:«Á8ªñ¯-35ÅÊà Éf 1 É:797ùÉ:Ã6-/Ã.à ÁÈYÇWÉ-/Ã3mú û É:«óN35-/ÉÃ
ú)XQ ú)¤)nQ =52 M¤u""Q¤)"!uä
6uU)uX"¤p"¦ u5S¤D%U5 &"¡MUQ &Þ¡^QUu%u¤)¤uS¤uMùM"""
£Uu!%Su#%
!óz)¤)äÊõ9QfUUuóUO¤)!U¤))UÁ ÁuU)æUù^" S¤^U,Á¤p%QnQ%ó =!
Q)35)â
ó#â£Q¤)f5 äS%UUó> &¡M¤)QUÞQQG^¦
ÿ#M¤)UU)US¥ 9""
¥ùM¤ui£U
&)%QU) &U &"GU¥u¡MQU5Q
#)Q¤))U"Oõ¡MGùMUU
Qpu
"Q ¤) 5UUQu
eúzU) %¦
5
¹
zú Q) ú)Q eúzU)n» %=¦ 4 õbUfU#!%Q"%95S%U &¡MQÞQfù¢ä5õu¤u6 &")Uu9
ó¤)-UQuUu
uU
zú Q)» ¸ ò ó¯ ³²e±
¶ °!®±
¶D¬!Q® uf² ¶u¯J n ²®%°%¯µ³²e±,¶ °% %,!±
¶u n ≥ 3 "ý
6
o
6
³ ³ mµ[· rç
³
P´
³
³
< º
Uu
u»U³6¦ UfQ)¢ f
Y
i
f
C
A
D
B
zú Q) » ò ¤)-QQ^¤u,õb"£USu¨[
6"U ¨ A Uu\A ¨ 6
6"U-¨ äU¤-U)UU¦]G CDB ≥ 90
-¤)5 O¦ÿæ
¡^)Q@2÷J)A
6)
QóuQS p,õæUæ6i¤uS,"))
)6¢¥UUóQÿ#U-¤¤^ó 6
U" $ U)
)¤uUzÁU¤)U óù^Uf)u)X£ù5¢f" Q)¢5Êõ9 i
Q"5QG
¦ )QS¦ þ Q)äUó#Q)QUu
)
&¡)"¤^UÁU"Q5¢ ùM"
B
o
q
C δ
β
2β
2β
A
β
D
B
úzQ) ¸
C β
2β
α
A
2β
β
D
B
zú Q) »)¦ AC = CD ¦_]% β 5u
-¤)u)æU)U,£U" u¦ ÿ#¤)" n
ufó Q ¤u¤)"U Qf¤)U5æU)U"#Uóz!U)U
DBC 6 = BCD6 = β
ú)U Q)U) &¡5Q¥Uù^Q5¤u5"#ó U,õæ9¤u
ADC 6 = β.
þ"úzU) ¸ ¦ ò ó ACD = δ )¤)"Xó Q#¤)) Uó>¤)))æU)U"#Uó
)Q> CAD6 = ADC 6 = 2β.
A
6
180o = 2β + β + β + δ = 4β + δ > 4β,
ó Q õ¤)¤ β < 45 ó Q,õæ¦ ò >)ÞQù£Uu2¤u
>Uu¤u
ó¤)U)Q¤>Uù^b"£U"2¤u,z>
¢5)USXù¢ α 5¤)
β < 45 ¦ ò æQù£Uub¤u,¤)
ùM,£U%Qu5U¥æU&a`ä"Qæ¤uU¦ ¡)ÿ#¤"^£bQUu9¢âU)
)UQX6ùMõÞ5¤¥£U5äS¥))âUÊ)õ9U& 4β,
o
o
n
h
Z
Á¦ÁCbh0279-«Ã Á+å02Â/Â$ÇWÉ858-/Æ.«Á1f028Á8dc.85ÉFñÁ1f02á85ó 797ù0Èm-feÁ"ÉóNÈYÈmÁ85ó Â/38d6 g hà 4¥3È*-«02Ã.Ä:«Á35Å 038035-/8ji.Á8Y023jÂ/Á0283YÉ:Ã.ÁFÉ:ô[3Å.Á,ô¼ÉÂ/Â/Éñ¯-«Ã Ä(1fÉ:Ã.+ -/3-«É:Ã.8Y10\áÆWÁF+ -/òh-/+.Á+ -/Ã35É3uñÉ(-/85É:851Á«Á83Èm-/0\à ÄÂ/Á8dk
¦ml
&Å Á3Èm-/02Ã.ÄÂ/Á¦-/8ªÈm-/ÄÅ3onu02Ã.Ä:«Á+76
»)¦ml Cb f4 ¹ m¦ l sr β, 3β 4 ut ò #¤u99Q¤u"U))¢fu¤u,¤¥#óQU)¤)U6U¦ U¤b
uUæõÞ¤¥
&Å Áå3È*-«02Ã.Ä:«Á6Å.028F02ÃT-«Ã Ã.ÁÈ(02à ÄÂ/ÁåÂ/Á85835Å 02Ãqp ñÍÅ.-/1*ÅÊ-«8ªÁ h0213 ù3uñ¯-/1Á3Å.Á¦Ç ÈmÁòh-/Éó.8ªÉÃ.Áùõsrõ &Å ÁÍ3Èm-/02Ã.Ä:«ÁÍÅ 02802Ã-«Ã Ã.ÁÈ0\à ÄÂ/Á¯Â«Á858H35Å 0\à 45 3Å.Á)Ç ÈmÁòh-/Éó 8ÍÉà Á6õ õ 3 LÇWÁ ,3Èm-/02Ã.ÄÂ/Á8 6 ö ö
30o
o
+.ÁÄ:ÈmÁÁ8,02Ã.+¬0\à É:3Å.ÁÈ-«Ã . à ÁÈ(02à ÄÂ/Á 3 4LÇWu Á t,3Èm-/0\à ÄÂ/Á8 6 β, 2β ö ö 2 0 à ( + \ 0 à : É 3 . Å Á & È / . à à Á = È 2 0 Ã.Ä:«ÁÍ3Å * È ÁÁª3-«79Á8 o
1
U)U6UM¤u"6%Qu5Uu#U-
uS2¦ æ^ P
/
9ë(' + íì OH&ï 2ë>ñíê )ó " ¤¨ ¢¡MA
æ"uU¤
uUQ"2¦5¾6S³£5 ¤)¤)ÁÁU
)Q" 9" ÊõbâQ%"S9U)U"9¥¤)óeU âU9õ#¢U¦ 5
H
h
H
o
pf
&
f
r
úzQ) ½
C D
A
F
úzQ)
B p2
C F1
A
F2
D
E
úzQ)
»
q2
B
¸ ¦ ò "æQù5^ÁU)U"-U
Xù^&5£5S X¤)!Q%"Sæ
)QS¦Mÿ#¤)â5SfUó5%÷ % ¤)Uùu9ó UuU &»U¤)» %¦!"ò -Ueó úz &UQ &,)õæU ¤u
U¢iU)UUXùM5£5SX n Q%"S
uU"9Þó n = 3k + 2 k ∈ N ¦ ¹ ¦ æ¢
uU
+U ùM 5£)"kQ d"&
)QS¦ e äÿ#¤) QUu
æU)U
5ó£¤)5i"XQQ¹¤Qâ÷\UÊõb)Uâ"U¤#U)U
)"Q-Sb5ù¢ £e5U")DUó¥¤uÊ õb9^¤)O"Q¤)¤Qi#Uõ¤)¤)"U¤X)&#^Q¥5-ó U)¤)
uU"6U¦ ù
m)6QuS e¤uúz
Q)Uâ¢i» ³¦GU)þUu%&U
X¢ ùM i5
£5SX
)Q &nU QùM%&")S£5"
uU"X9Þó ó Unu-=3kQ% k"≥¶^² ³² ¯ f S ±U,² u ³¯\±
¶_¡ ä¯\ ¢ j £ Y ^öQ,£øUs6 i,¤G¦ )÷\ø"U"G¦ ¤ >¶^² ³² ¯ f S ±U,² u ³¯\±
¶_¡ ä¯\ ¤ e j¥