Definisi: Bernoulli Perilaku Distribusi Bernoulli Contoh Binomial ...

238 downloads 2539 Views 126KB Size Report
Contoh Binomial. Melempar koin sebanyak 5 kali. Berapa peluang mendapatkan tepat 3 kepala? Catatan: - Percobaan Diskrit. - Mempunyai keluaran biner (ya ...
Definisi: Bernoulli Percobaan Bernoulli: Hanya terdapat satu kali percobaan dengan peluang sukses p dan peluang gagal 1-p   P( X = 1) =   p1 (1 − p)1−1 = p 1 1

Peluang Sukse: Peluang Gagal:

1 P( X = 0) =   p 0 (1 − p)1− 0 = 1 − p 0

Contoh Binomial

Perilaku Distribusi Bernoulli E(X) = p Var (X) = p(1-p)

Var (Y ) = E (Y 2 ) − E (Y ) 2 = [12 p + 0 2 (1 − p)] − [1 p + 0(1 − p )]2 = p − p2 = p (1 − p )

Contoh Binomial Penyelesaian:

Melempar koin sebanyak 5 kali. Berapa peluang mendapatkan tepat 3 kepala? Catatan: - Percobaan Diskrit - Mempunyai keluaran biner (ya dan tidak atau 1 dan 0) - mempunyai peluang yang sama tiap kali lemparan

Satu cara mendapat tepat 3 kepala: HHHTT Peluangnya adalah: P(heads)xP(heads) xP(heads)xP(tails)xP(tails) =(1/2)3 x (1/2)2 Cara lain mendapatkan tepat 3 kepala: THHHT Peluangnya = (1/2)1 x (1/2)3 x (1/2)1 = (1/2)3 x (1/2)2

1

Contoh Binomial

Contoh Binomial

Jadi, (1/2)3 x (1/2)2 merupakan peluang untuk mendapatkan tepat 3 kepala dan 2 ekor Sehingga, peluang untuk mendapat 3 kepala dan 2 ekor (sejauh yang kita dapat sekarang) adalah: 1/2)3 x (1/2)2 + (1/2)3 x (1/2)2 + (1/2)3 x (1/2)2 + …..

cara

 5  untuk   mengatur  3  3 kepala dalam 5 percobaan

Namun, terdapat lebih dari satu pengaturan 3 kepala dan 2 ekor. Ada berapa cara untuk mengaturnya? 5C 3

= 5!/3!2! = 10

Keluaran Peluang THHHT (1/2)3 x (1/2)2 HHHTT (1/2)3 x (1/2)2 TTHHH (1/2)3 x (1/2)2 HTTHH (1/2)3 x (1/2)2 HHTTH (1/2)3 x (1/2)2 HTHHT (1/2)3 x (1/2)2 THTHH (1/2)3 x (1/2)2 HTHTH (1/2)3 x (1/2)2 HHTHT (1/2)3 x (1/2)2 THHTH (1/2)3 x (1/2)2 HTHHT (1/2)3 x (1/2)2 10 pengaturan x (1/2)3 x (1/2)2

Peluang dari tiap pengaturan yang unik Cat: peluangnya sama

Binomial distribution function: 5

∴P(3 kepala dan 2 ekor) = 3  x P(heads)3 x P(tails)2 =  

10 x

X= banyaknya keluar kepala dari 5 kali percobaan p(x)

(½)5=31.25%

Atau lihat tabel Binomial 0

1

2

3

4

5

x

banyaknya kepala

2

Distribusi Peluang Binomial • Banyak yang tepat dari sejumlah observasi (percobaan), n – Contoh: koin dilempar 15 kali, 20 pasien, 1000 orang yang ikut survei • Peubah Acak Biner – Contoh: kepala atau ekor, rusak atau baik, laki atau perempuan – Secara umum disebut “sukses” atau “gagal” – Peluang sukses adalah p, peluang gagal adalah 1 – p • Untuk setiap observasi percobaan adalah konstan – Contoh: pe;uang mendapatkan kepala adalah sama untuk tiap percobaan

Distribusi Binomial, secara umum Bentuk umum dari distribusi Binomial adalah:

n = banyak percobaan

n X n− X   p (1 − p) X   X = # banyak sukses dari n percobaan

1-p = peluang gagal

p = peluang sukses

Definisi: Binomial

Definisi: Binomial

• Binomial: Misal terdapat n percobaan yang saling bebas, dan tiap percobaan menghasilkan sebuah sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang 1-p. Jika total banyaknya sukses, X, merupakan peubah acak Binomial dengan parameter n dan p. • Penulisannya adalah: X ~ Bin (n, p) {dibaca: “X iberdistribusi binomial dengan parameter n dan p} • Dan peluang bahwa X=r (i.e., terdapat tepat r sukses) adalah: n P ( X = r ) =   p r (1 − p ) n −r r

Jika X mengikuti distribusi binomial dengan parameter n dan p: X ~ Bin (n, p) Maka: µx= E(X) = np catatan: varians akan berada antara σx2 =Var (X) = np(1-p) 0*N - 0.25 *N σx =SD (X)= np (1 − p ) p(1-p) mencapai maks saat p=.5

P(1-p)=.25

3

Distribusi Geometric

Definisi: Binomial For X~Bin (N,p)

X=

n

∑Y

Bernouilli ;Var (Y )

= p (1 − p)

i =1

= Var ( X ) = Var (

n

∑ i =1

Y) =

n

∑Var (Y ) = np(1 − p) i =1

• Distribusi geometric biasanya diterjemahkan sebagai banyaknya percobaan sampai kejadian gagal terjadi. • Banyaknya koin dilempar sampai keluar ekor untuk pertama kalinya. • Peubah acak X adalah banyaknya lemparan samapi ekor muncul pertama kalinya • Peluang muncul kepala (sukses) adalah p. 14

Distribusi Geometric Fungsi peluang dari distribusi Geometric

PX (1) = (1 − p )

PX (2 ) = p (1 − p )

PX ( x ) = p x −1 (1 − p )





x =1

X

x −1

x =1

x −1

x =1

= (1 − p )∑ p x = (1 − p ) (x bil. Bulat positif)



∑ P (x ) = ∑ p (1 − p ) = (1 − p )∑ p ∞

seterusnya.

PX ( x ) = ?

• Perhatikanbahwa tidak terdapat batas atas untuk X • Ingat penjumlahan semua peluang adalah 1:

PX (3) = p ( p )(1 − p ) = p 2 (1 − p ) Jadi,

Distribusi Geometric

x =0

Deret Geometric

1

(1 − p )

=1

16

4

Distribusi Geometric

Distribusi Geometric • lanjutan



∑p

x

x=0



=

1 1− p

Expectation:

(| p |< 1) Turunkan kedua sisi terhadap p:

∑ xp

x −1

= −1×

x=0

1 1 × −1 = (1 − p ) 2 (1 − p) 2







x =1

x =1

x =1

∑ xPX (x ) = ∑ xp x−1 (1 − p ) = (1 − p )∑ xp x−1 = (1 − p )

1 1 = 2 (1 − p ) 1 − p

17

Contoh: Geometric

Distribusi Geometric

Sebuah dadu dilempar sampai mata 6 didapatkan. Jika X adalah banyaknya percobaan sampai sukses didapatkan, maka tabel peluangnya adalah

• Lanjutan

Variance:

X

V (X ) =

p (1 − p )2

P(X=x)

1 1 6

2

3

4

5

n

 5  1   2   3    4    n−1      5 1   5 1  5  1 5 1  6  6  6  6  6  6  6  6 6 6

Gunakan tabel diatas untuk mendapatkan mean dan varians. Apa hasilnya?

5

Distribusi Negative Binomial (Pascal’s)

Distribusi Negative Binomial (Pascal’s)

Definisi (versi pertama):

Definisi (versi kedua):

Negatif Binomial digunakan untuk memberikan r sukses dalam x percobaan, dimana sukses terakhir merupakan akhir percobaan. Peluang sukses adalah p, sedangkan peluang gagal adl q.

Negatif Binomial digunakan untuk memberikan r gagal dalam x percobaan sebelum sukses yang ke-r. Peluang sukses adalah p, sedangkan peluang gagal adl q.

Apa yang dimaksud Negatif? Nama Negatif dimaksudkan sebagai aplikasi bentuk umum Teorema Binomial dengan Pangkat Negatif

Negatif Binomial Mean

Varians

6

Negatif Binomial (Contoh)

Hypergeometric

Sebuah dadu yang adil dilempar sampai mata 6 (enam) keluar 2 kali. Tentukan peluang bahwa 5 kali lemparan dibutuhkan untuk mendapatkan 2 kali angka 6.

Distribusi Hypergeometric terjadi ketika n sampel diambil tanpa pengembalian dari sebuah populasi (N). Banyaknya sukses pada populasi diberikan oleh r. Banyaknya sukses pada sampel diberikan oleh y.

Dimana max (0, n+r-N) ≤ k ≤ min (r,n)

Hypergeometric

Hypergeometric

Mean

E(Y) = np = nr/N Varians

Contoh: 10 kartu diambil dari satu paket kartu. Tentukan peluang terdapat tepat 1 ace dari 10 kartu. N = 10, r = 4, k = 1, N = 52, p = 1/13

7