Definisi Metode Numerik

91 downloads 367 Views 62KB Size Report
Numerik. Seiring dengan pesatnya perkembangan komputer digital, ... Contoh 1 : Bilangan 0.001845 maka angka yang berarti adalah 1,. 8, 4, dan 5, sedangkan ...
Definisi Metode Numerik Seringkali kita menjumpai suatu model matematis yang berbentuk persamaan, baik itu linier ataupun non-linier, sistem persamaan linier ataupun sistem persamaan non-linier, differensial, integral maupun persamaan differensial biasa. Selanjutnya, ditunjukkan atau

bagaimana

mencari

penyelesaian

dari

model

matematis

tersebut. Penyelesaian tersebut dapat berupa penyelesaian secara analitis atau bukan analitis. Khusus penyelesaian secara analitis ini, model matematis tersebut diselesaikan

menggunakan

teori

atau

metode

dan

analisa

matematika yang telah ada sedemikian hingga hasil yang diperoleh adalah penyelesaian eksak. Sedangkan untuk penyelesaian bukan secara

analitis,

diperoleh

penyelesaian

dengan

dikembangkan

untuk

dari

menggunakan menangani

model

matematis

metode model

tersebut

pendekatan matematis

yang

tersebut

sedemikian hingga penyelesaian yang diperoleh adalah penyelesaian pendekatan. Sehingga, penyelesaian tersebut bukan penyelesaian eksak. Metode pendekatan tersebut selanjutnya disebut Metode

Numerik. Seiring dengan pesatnya perkembangan komputer digital, metode

numerik

banyak

digunakan

untuk

menyelesaikan

permasalahan-permasalahan riil, yang mana penyelesaian eksak sangat sulit untuk diperoleh. 1

Bilangan Pendekatan & Angka yang Berarti Manusia pada umumnya menyajikan bilangan dalam bentuk decimal

(basis

10)

atau

menggunakan

binary

(basis

2)

atau

hexadecimal (basis 16) atau juga basis 8. Pada operasi aritmatika, misalnya pembagian, seringkali menghasilkan bilangan decimal tak hingga

seperti

2/3.

Dalam

perhitungan

pendekatan,

bilangan

dibedakan antara bilangan yang mutlak eksak dan bilangan yang menyatakan nilai pendekatan. Bilangan seperti, 2, 1/3, 100, π, dan e adalah bilangan eksak.

2,

Bilangan-bilangan 3.1416, 1.4142

dan 2.7183 adalah bilangan pendekatan dari π,

2,

dan e.

Angka yang berarti adalah angka yang dapat digunakan dengan pasti atau dari digit 1, 2, 3, . . ., 9. Dan 0 juga suatu angka yang berarti kecuali jika 0 digunakan untuk menentukan letak titik desimal atau untuk mengisi tempat-tempat dari digit yang tidak diketahui atau dibuang.

Contoh 1 : Bilangan 0.001845 maka angka yang berarti adalah 1, 8, 4, dan 5, sedangkan nol hanya untuk menentukan tempat titik decimal (bukan angka berarti).

Contoh 2 : Pada bilangan seperti 45200 yang dapat ditulis 4.52 x 104 atau 4.520 x 104 atau 4.5200 x 104, maka faktor sebelah kiri yang menentukan banyaknya angka yang berarti yaitu 4 atau 2 atau 5. 2

Kesalahan Dalam suatu perhitungan dengan menggunakan metode numerik, seringkali digunakan komputer digital. Sehingga, sangat jarang sekali

perhitungan

menghasilkan

tersebut

penyelesaian

diselesaikan

eksak.

Secara

sedemikian umum,

pada

hingga suatu

perhitungan numerik, suatu bilangan dinyatakan dalam bentuk desimal. Ini berarti bahwa apabila diambil contoh bilangan 8 maka bilangan tersebut cenderung dinyatakan dengan 7,999..9 atau 8,000…1. Karena itu, dalam semua perhitungan numerik yang menggunakan

komputer

digital

selalu

mengandung

kesalahan

meskipun itu sangat kecil sekali. Hal ini yang menjadi perhatian apabila

menyelesaikan

suatu

permasalahan

perhitungan

dengan

metode numerik menggunakan komputer digital. Dan yang penting adalah sampai batas mana kesalahan tersebut dapat diterima, khususnya pada masalah teknik. Terdapat

beberapa

jenis

error

yang

biasa

terjadi

dalam

perhitungan numerik, yaitu absolute error, relative error, Round-

off error, truncation error dan propogated error.

3

(1). Absolute Error dan Relatif Error Kesalahan mutlak dari suatu bilangan adalah nilai mutlak dari selisih antara nilai sebenarnya dengan suatu nilai pendekatan pada nilai sebenarnya.

Ea = x − x * Kesalahan relative adalah perbandingan antara kesalahan mutlak dengan nilai sebenarnya.

x − x* Er = x Sedangkan

untuk

prosentase

kesalahan

adalah

besarnya

relative error dikalikan dengan 100%.

x − x* Ep = x100% x (2). Round-Off Error (Error Pembulatan) Error

pembulatan

terjadi

karena

computer

hanya

mempertahankan sejumlah angka tetap yang berarti selama proses perhitungan. Bilangan-bilangan seperti π, e,

7 tidak

dapat diekspresikan oleh sejumlah angka tetap yang berarti. Oleh karena itu, bilangan-bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan secara eksak oleh computer.

4

Error

pembulatan

pembulatan

suatu

adalah

error

yang

terjadi

akibat

bilangan

sampai

pada

beberapa

digit

tertentu.

Contoh : 1. Misalkan sebuah mesin hitung hanya mampu menampilkan bilangan sampai 10 angka di belakang koma. Untuk bilangan

1.234769123197,

akan

dibulatkan

menjadi

1.2347691232.Dan error yang didapat : Ea = 0.000000000003. 2. Misalkan nilai π =3.1415926535 Cara pemenggalan : π =3.141592 dengan Error yang didapat : Ea = 0.00000065 Cara pembulatan : π =3.141593 dengan Error yang didapat : Ea = 0.00000035 Ternyata round-off error cara pembulatan lebih baik dari pemenggalan.

(3). Truncation Error (Error Pemotongan) Truncation

error

merupakan

error

yang

terjadi

karena

pemotongan dari suatu deret tak hingga menjadi deret berhingga. Pendekatan yang sering dipakai pada penyelesaian numeric

adalah

permasalahan

deret

biasanya

Taylor. perhatian

Untuk hanya

menyederhanakan ditujukan

pada 5

beberapa suku dari deret Taylor tersebut, sedangkan suku lainnya diabaikan. Pengabaian suku inilah yang menyebabkan

truncation error. Contoh :

Selanjutnya, seandainya dihitung exp(1/3). Apabila exp(1/3) dinyatakan

dengan

exp(0.3333) maka akan muncul suatu

kesalahan, yaitu :

dimana x1 adalah kesalahan yang berkembang ( Propagated error ). Apabila deret (1) tersebut dipotong setelah suku yang ke –5 , maka diperoleh kesalahan pemotongan x2 , yaitu :

Selanjutnya,

dan

ini

menimbulkan

kesalahan

akibat

pembulatan

yaitu -0.0000296304 sehingga kesalahan totalnya adalah 0.0001124250. 6

(4). Propagated Error (Error Perambatan) Propagated error merupakan error yang terjadi pada suatu algoritma yang agak rumit karena adanya operasi matematik. Misalnya penjumlahan dua bilangan positif, sebelum dilakukan penjumlahan kita rubah bilangan menjadi bilangan floatingpoint dengan cara pemenggalan atau pembulatan.

x1 = fl ( x1 )

x 2 = fl ( x 2 )

pada saat kita melakukan operasi matematika

x1 + x 2



x1 ⊕ x 2 ⇒

jumlah bilangan floating-point jumlah hasil pemenggalan atau pembulatan

Error absolute dari nilai eksak :

(x

Ea = Error

perambatan

floating-point :

1

+ x 2 ) − ( x1 ⊕ x 2 )

sebagai

akibat

konversi

ke

bilangan

Ep = ( x1 + x 2 ) − ( x1 + x 2 )

= (x 1 − x 1 ) + ( x 2 − x 2 ) Dan akibat pembulatan muncul round-off error :

(x

1

+ x 2 ) − ( x1 ⊕ x 2 )

7

8