DERIVATA: REGOLE DI CALCOLO, ESEMPI ED ESERCIZI. Simboli usati per le
derivate: Derivate di funzioni elementari e relativi esempi: – Derivata di una ...
DERIVATA: REGOLE DI CALCOLO, ESEMPI ED ESERCIZI Simboli usati per le derivate: d f ( x) : dx "derivata di effe rispetto a x" o "de effe su de x" f'x ( x ) "effe primo di x" o " effe primo rispetto a x" Equivalentemente :
dy o y'x dx
Derivate di funzioni elementari e relativi esempi: – Derivata di una costante:
1 2 -1 1 - 12 1 1 = x2 ÷ = x = x = 2 2 2 x x
x3
)
3 2 -1 3 12 3 3 = x2 ÷ = x = x = 2 2 2 x x
x
2
)
x
7
x
'
' x
'
)
x
' x
'
3
'
2
2 3 -1 2 − 31 2 2 = x3 ÷ = x = x = 3 3 33 x x '
7
7 4 -1 7 43 7 74 = x ÷ = x = x = 4 4 4 x
4
x3
Prof.I.Savoia-DERIVATA: REGOLE DI CALCOLO, ESEMPI ED ESERCIZI– Maggio 2011-1\8
'
(
)
' 1 -1 x = -1x-1-1 = -x-2 = - 2 x x ' ' 1 2 l) 2 ÷ = x-2 = -2x-2-1 = -2x-3 = - 3 x x x x ' ' 1 3 m) 3 ÷ = x-3 = -3x-3-1 = -3x-4 = - 4 x x x x ' 3 7 -3 ' - -1 1 ÷ 3 n) = x 4÷ = - x 4 = -3x 4 = ÷ 4 3 4 x x ÷ x
1 i) ÷ = x x
(
)
(
)
4
3 x7
– Derivata di esponenziale e di logaritmo: '
' = a x × Log ea ; Se a = e si ha : ( e x ) x = e x ; ' Esempio : ( 10 x ) x = 10 x × Log e 10 ' ' 1 1 ( Log a x ) x = xLog a ; Se a = e : ( Log e x ) x = x e ' 1 Esempio : Log x = 3 x xLog e 3
( ax ) x
(
)
Derivata della somma di funzioni: ' ' ' + g ( x)]x = [f ( x)]x + [g ( x) ]x Esempi : ' ' ' 4x 2 + 5x 3 = 4x 2 + 5x 3 = 8x + 15x 2 x x x ' ' ' 3 3 + 10 x -1 = 3x + e x x = -3x-2 + e x = - 2 + e x x x x x 1 ' ' ' 3 -2Log e x + 3 x = x = -2Log e x x + x x 2 1 1 -3 2 1 = -2 + x = + 3 x 3 x 3 x2
[f ( x)
Prof.I.Savoia-DERIVATA: REGOLE DI CALCOLO, ESEMPI ED ESERCIZI– Maggio 2011-2\8
- Derivata del prodotto fra numero e funzione: ' × f ( x)]x = k ' 3 × x2 = 3 × x
' x 4 x x 2 - 1 - x 4 x 2 - 1 x x4 = 2 x2 - 1 = 2 x x - 1 4x 3 x 2 - 1 - x 4 [ 2x ] 4x 5 - 4x 3 - 2x 5 2x 5 - 4x 3 = = = 2 2 2 x 2 - 1 x 2 - 1 x 2 - 1
Esempio 3 : '
2x + 1 x x
=
'
' [ 2x + 1] x x - [ 2x + 1] x x = =
x
2 x - [ 2x + 1] x x -
1
2
2 x -
2 x =
x x
1 2 x =
1
2 x = 2x - 1 x 2x x
- Derivata della funzione reciproca. Si ottiene la formula da quella della derivata del quoziente sostituendo al numeratore il numero uno: '
'
'
1 [ 1 ] x [ g ( x ) ] - [ 1] [ g ( x ) ] x = 2 g ( x) x [g ( x)] '
'
1 [g ( x)]x = 2 g ( x) x [g ( x)]
;
'
[ 1] x
= 0
; Deve essere g ( x ) ≠ 0; '
x2 + x 1 x = - 2x + 1 esempio : 2 = 2 2 x + x x x2 + x x2 + x '
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- Derivata di funzione di funzione (composta): Si consideri una funzione il cui argomento (variabile principale Z) è a sua volta una altra funzione di(variabile finale X) ed entrambe le funzioni siano derivabili nei loro domini: la derivata è data dal prodotto della derivata della funzione rispetto alla variabile principale per la derivata di questa rispetto alla variabile X.
y = f ( z ) , z = g ( x ) : y'x = y'z × z'x ; Esempi : 3 a) y = 2x 2 + 3 ; z = 2x 2 + 3 , y = z3 :
(
)
(
)
2 ' ' ' 3 2 2 2 yx = z × 2x + 3 = 3z × 4x = 12 2x + 3 x z x [ ] b) y = x 3 - 2x ; z = x 3 - 2x , y = z : ' ' 3x 2 - 2 1 2 ' 3 y x = z × x - 2x = × 3x - 2 = z x 2 z 2 x 3 - 2x 1 2x+1 1 z c) y = e ; z = 2x + 1; y = e ; 2 2 ' 1 z 1 z ' ' yx = e × [ 2x + 1 ] x = e × 2 = e 2x+1 2 z 2 d) y = Log e x 2 - 2x ; z = x 2 - 2x ; y = Log e ( z ) ' ' 1 × 2x - 2 = 2x - 2 y'x = Log e ( z ) z x 2 - 2x = ] z [ x x 2 - 2x
(
)
(
e) y = 3 x 2 + 1
)
2
; riscriviamo y =
(
2 2 3 x + 1 ;
)
quindi poniamo come variabile principale : z = x 2 + 1 2 3 e, di conseguenza, y = z ; infine, come negli altri esempi, applichiamo la formula : y'x = y'z × z'x 2 ' ' 2 -1 ' 2 3 yx = z × x + 1 = z 3 × [ 2x ] = x z 3 4x 2 = 3 × [ 2x ] = 3 3 z 3 x2 + 1
(
)
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- Esercizi da svolgere sul calcolo delle derivate. Derivate di somme, prodotti e quozienti: 1) y =
1 3 x - 2x 2 + 5x - 4 ; 3
2) y = 2 x +
3 2 x ;
S. y'x = x 2 - 4x + 5 ' S. y x =
3) y =
( x 2 - 1 ) × ( x3 + 1 ) ;
4) y =
( 2x3 - 3x + 7 ) × ( x5 ) ; S. y'x
5) y = ( 3x + 1 ) × Log e x
x2 6) y = ; 4x 2 + 3
x 5 + 8x 7) y = ; x + 1
8) y =
Log e x - 1 x2
9) y =
1 ; - 3x
x2
2 10) y = ; 3 x + 1
1 x
2 3 2 3 x
+
S. y'x = 5x4 - 3x 2 + 2x
; S.
= 16x7 - 20x 5 + 35x4
3x + 1 y'x = 3Log e x + x
S. y'x =
2 + 3 )
6x
( 4x 2
4x 5 + 5x 4 + 8 ' S. y x = 2 ( x + 1) S. y' = 3 - 2Log e x x x3 S. y'x = S. y'x =
-2x + 3 2 2 ( x - 3x ) 2 + 1 )
-6x 2
( x3
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-
Derivate di funzioni composte:
1) y =
(x
2) y =
(
3
S. y' = 3 ( x + 2 ) 2 x
;
)
x2 - 1
1 2
' S. y x =
;
2 e x -2x
;
x3 5) y = 10 3
;
(
x 2 x - 1
S. y' = e x 2-2x ( x - 1 ) x
3 S. y' = x 3x + 1
)
1 x + 1 Log e x 2 + 2x ; S. y'x = 2 x 2 + 2x
8) y =
9) y =
)
x3 ' 2 3 S. y x = x × 10 × Log e 10
6) y = Log e ( 3x + 1 ) ;
7) y =
(
4 3 2 ' 2 2x - 3x + 1 ; S. y x = 4 2x - 3x + 1 ( 2x - 3 )
3) y =
4) y =
+ 2)
(
( 2x
- 3)
x +
x
x + 1 10)y = ÷ x - 1
)
3
2
;
S. y'x = 3 2x - 3
;
S. y'x = 2x + 3 x + 1
;
4 ( x + 1) ' S. y x = 3 ( x - 1 )
2
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-
Derivate successive:
Le derivate successive alla prima sono semplicemente le derivate delle derivate: Esempio : calcolo delle derivate seconda e terza della funzione : y ( x ) = 2x 3 - 3x 2 + x + 1 Derivata prima :
y'x = 6x 2 - 6x + 1
Derivata seconda :
y'' x = 12x - 6
Derivata terza :
y''' = 12 x
Esercizi: calcola le derivate seconde e terze: 1) y = 4x - x 3 S. y'' S. y'' x = -6x ; 2) y = ( x + 1 ) x = 6 ( x + 1 ) 1 3x 3x S. y'' 3) y = Log e x S. y'' x = x = 9e 2 ; 4) y = e x 3
– Derivata di funzione inversa: La derivata della funzione inversa di una funzione invertibile è data semplicemente dal reciproco della derivata della funzione: Esempio 1 : calcolo della derivata della funzione inversa della y = x 3 : x'y =
1 1 1 = = 2 y'x 3x 2 3 3y
(
)
Esempio 2 : calcolo della derivata della funzione inversa della y = e 2x : x'y =
1 1 1 = = 2y y'x 2e 2x
Prof.I.Savoia-DERIVATA: REGOLE DI CALCOLO, ESEMPI ED ESERCIZI– Maggio 2011-8\8
