Movimiento Ondulatorio Ejercicios resueltos 1994 - 2009. 1. PAU CyL PM1997
Ecuación de la onda y elongación de un punto en un instante. Una varilla sujeta
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Movimiento Ondulatorio Ejercicios resueltos 1994 - 2009
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PAU CyL PM1997 Ecuación de la onda y elongación de un punto en un instante Una varilla sujeta por un extremo vibra con una frecuencia de 400 Hz y con una amplitud de 10 -3 m. La vibración se propaga en el aire a 340 m/s. Calcule: a) La ecuación de ese movimiento ondulatorio armónico. (1,5 puntos) b) La elongación que tendrá un punto que diste del origen 0,85 m al cabo de 3 s de comenzar la vibración. (1,5 puntos) La frecuencia angular ω es: ω = 2 π v = 2 π 400 Hz = 800 π rad/s 2
El número de ondas k es: k =
=
2 800 rad/s 40 = = = v·T v 340 m/s 17
-1
m
a) La ecuación que describe el movimiento es: y (x, t) = A sen (ωt - kx) = 10 - 3 sen (800 π t -
40 1 π x) = 10 - 3 sen 40 π (20 t x) metros 17 17
b) Sustituyendo: en la ecuación general: y (0,85 m; 3 s) = 10 - 3 sen 40 π (20 3 -
1 0,85) = 10 - 3 sen 40 π 59,95 = 0 m 17
PAU CyL J1998 Expresión general de una onda dadas λ, A y v 21. Una onda armónica en un hilo tiene una amplitud de 0,015 m, una longitud de onda de 2,4 m y una velocidad de 3,5 m/s. Determine: a) El período, la frecuencia y el número de onda. (2 puntos) b) La función de onda, tomando como sentido positivo del eje X el sentido de propagación de la onda. ( 1 punto) 2,4 m 24 = s v 3,5 m/s 35 1 35 Hz La frecuencia es: = = T 24 2 2 5 -1 El número de onda k es: k = = = m 2,4 m 6 35 b) La frecuencia angular es: ω = 2 π v = π rad/s 12
a) El período es: T =
=
La ecuación pedida es: y (x, t) = A sen (ω t - k x) = 0,015 sen ( Operando: y (x, t) = 0,015 sen
35 5 π t - π x) 12 6
7 5 π ( t - x) 2 6
PAU CyL S1998 Dadas ciertas condiciones de v, calcular amplitud Una onda transversal y sinusoidal de la forma: y = A sen (kx + ωt), tiene una frecuencia de 50 Hz y se desplaza con una velocidad de 0,32 m/s. En el instante inicial la velocidad de la partícula situada en el origen tiene un valor de 4 m/s. Se pide: a) Indique el sentido de propagación de la onda a lo largo del eje X. (0,5 puntos) b) Calcule la amplitud, el número de onda y la frecuencia angular ω. (0,5 puntos) a) La onda se propaga hacia el sentido de las X negativas. b) La frecuencia angular es: ω = 2 π v = 2 π 50 Hz = 100 π rad/s k=
2
El número de ondas k es: =
v
k=
2 v
=
2 50 Hz = 312,5 0,32 m/s
m
- 1
La ecuación que describe la perturbación es: y = A sen (kx + ωt) = A sen (312,5 π x - 100 π t) La velocidad de vibración de las partículas del medio es:
Movimiento Ondulatorio Ejercicios resueltos 1994 - 2009 v=
2
dy = A 100 π cos (312,5 x - 100 π t) dt
A partir de las condiciones de contorno: vt = 0, x = 0 = A 100 π cos 0 = 4 A = 0,0127 m = 12,7 mm PAU CyL J1999 Dada onda calcular f, v de propagación y distancia un desfase Cierta onda está descrita por la ecuación: ψ (x, t) = 0,002 sen (t - x/4) , todo expresado en unidades del S.I. Determine: a) La frecuencia de la onda y su velocidad de propagación. b) La distancia entre dos puntos consecutivos que vibran con una diferencia de fase de 1201. Comparando la expresión dada con la ecuación general del movimiento ondulatorio: ψx,t = A sen (ω · t – k · x) ω = 1 rad/s = 2 · π · f f = 0,159 Hz k = ¼ m-1 =
2·
8·πm
La velocidad de propagación es: v
1rad / s 1 1 m 4
k
4m / s
A una distancia de una longitud de onda le corresponde una diferencia de fase de 2 · π rad (360º). 120º 360º
3
8· m 3
PAU CyL J2000 Dado v, A y λ calcular k y v máxima Se genera en una cuerda una onda transversal cuya velocidad de propagación es de 2 m/s, cuya amplitud es de 8 10-3 m y cuya longitud de onda es de 0,2 m. Determine: a) El número de ondas y la frecuencia. b) La velocidad máxima que pueden tener los puntos de la cuerda. Aplicando la definición de número de ondas, k, y las relaciones entre las constantes del movimiento, resulta que: k
2·
2· 0,2 m
10 · m 1 ; f
v
2m / s 0,2 m
10 HZ
La ecuación general de un movimiento ondulatorio es: yx, t = A · sen (ω · t – k · x) Aplicando la definición de velocidad: vx, t =
dy = A · ω · cos (ω · t – k · x) dt
Y su valor máximo: vmáximo = A · ω = A · 2 · π · f = 8 · 10-3 m · 2 · π · 10 Hz = 0,16 · π m/s PAU CyL S2000 Expresión general de una onda dadas f, A y v Una onda se propaga por una cuerda con una velocidad de 10 m/s, una amplitud de 1,5x10 -2 m y una frecuencia de 20 Hz. Calcule: a) El período y la longitud de onda. b) La ecuación del movimiento ondulatorio. a) Aplicando las relaciones entre las distintas constantes del moviendo, se tiene: T
1 f
1 20 Hz
0,05 s ; v
·f
v f
10 m / s 20 Hz
0,5 m
La pulsación o frecuencia angular es: ω = 2 · π · f = 2 · π · 20 s-1 = 40 · π rad/s El número de ondas es: k
2·
2· 0,5 m
4 · rad / m
b) La ecuación general de un movimiento ondulatorio es: yx, t = A · sen (ω · t – k · x) yx,t = 1,5 · 10-2 m · sen (40 · π rad/s · t – 4 · π rad/m · x) PAU CyL J2002 Dadas posición un instante, piden amplitud y v vibración un punto Un extremo de una cuerda tensa horizontal de 3 m de longitud está sometido a un movimiento oscilatorio armónico. En el instante t = 4 s la elongación de este punto es de 2 cm. Se comprueba que la onda tarda 0,9 s en llegar de un extremo a otro de la cuerda y que la longitud de onda es de 1 m. Calcule: a) La amplitud del movimiento ondulatorio b) La velocidad de vibración en el punto medio de la cuerda para t = 1 s.
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Movimiento Ondulatorio Ejercicios resueltos 1994 - 2009
CUIDADO falta un dato para calcular el desfase. Del dato del tiempo que tarda el movimiento en recorrer la cuerda se deduce que la velocidad de propagación del movimiento por la cuerda es: v
3m 0,9 s
10 m/ s 3
El número de ondas es: k
Y la frecuencia angular es: v = λ · f =
2·
→ ω = k · v = 2 · π · m-1 ·
k
2· 1m
2· m
1
10 20 m/s = rad / s 3 3
La ecuación general de un movimiento ondulatorio que se propaga por una cuerda es: yx, t = A · sen (ω · t - k · x + φ0) Sustituyendo en esta ecuación las condiciones iniciales, resulta que: yx = 0 m , t = 4 s = 2 cm = A · sen (
20 -1 rad / s · 4 s - 2 · π m · 0 m + φ0) 3
Por lo que nos falta una ecuación para calcular la fase inicial. Suponiendo que la fase inicial es igual a cero, φ0, resulta que: yx = 0 m , t = 4 s = 2 cm = A · sen (
20 rad / s · 4 s) A = 2,31 cm 3
La ecuación general del movimiento es: yx, t = 2,31 cm · sen (
20 -1 rad / s · t - 2 · π m · x) 3
Y la expresión de la velocidad de vibración es: 20 20 dy -1 = 2,31 cm · rad / s · cos ( rad / s · t - 2 · π m · x) = 3 3 dt 20 -1 = 48,38 cm/s · cos ( rad / s · t - 2 · π m · x) 3
vx, t =
Y la velocidad de vibración del punto medio x = 1,5 m en el instante pedido es: vx= 1,5 m; t = 1 = 48,38 cm/s · cos (
20 -1 rad / s · 1 s - 2 · π m · 1,5 m) = 24,19 cm/s 3
PAU CyL S2002 Dado ecuación general piden v, vvibración y Δφ para 1 m Una onda transversal se propaga según la ecuación: y = 4 sen 2 π [(t/4) + (x/1,8)] (en unidades SI) Determine: a) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de vibración máxima de un punto alcanzado por la onda. b) La diferencia de fase, en un instante dado, de dos puntos separados 1 m en la dirección de avance de la onda. a) Reescribiendo la ecuación de la onda dada y comparándola con la expresión general, se tiene: y x,t
4 · sen
2
2
t
0,9
rad / s; k
0,9
yx,t = A · sen (ω · t – k · x)
x unidades SI ;
m
1
La velocidad de propagación es: v
2 k 0,9
s
1
0,45 m / s m
1
Aplicando la definición de velocidad de vibración: v=
dy dt
4 · · sen t x 2 2 0,9
2 · · sen
2
t
0,9
x m/ s
Su valor máximo es: vmáximo = 2 · π m/s b) A una distancia de λ m le corresponde una diferencia de fase de 2 · π rad. La longitud de onda es: k
2·
;
2· 0,9
m
1,8 m 1
La diferencia de fase pedida es: Δφ = 1m
2· rad 1,8 m
0,9
rad
10 rad 9
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PAU CyL S2003 Desfase entre extremos de una cuerda Se zarandea uno de los extremos de una cuerda de 8 m de longitud, generándose una perturbación ondulatoria que tarda 3 s en llegar al otro extremo. La longitud de onda mide 65 cm. Determine: a) La frecuencia del movimiento ondulatorio. b) La diferencia de fase (en grados sexagesimales) entre los dos extremos libres de la cuerda. La velocidad con la que se propaga la perturbación es: v
x t
8m 3s
8 m/ s 3
Aplicando la relación entre la frecuencia y la longitud de onda resulta que: v=λ·f→ f =
v 8/3 m/s = λ 0,65 m
4,10 Hz
Dos elementos se la cuerda separados por una distancia igual a la longitud de onda les corresponde una diferencia de fase de 2 π rad = 360º. Por tanto: Δφ =
8m 360 º 12,31·360 º = 12 · 360º + 0,31 · 360º 0,65 m
Por lo que la diferencia de fase es equivalente a 0,31 · 360º = 112 º PAU CyL J2004 Dada onda expresiones de y, v, a en posición e instante Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación: y = 0,2 cos (2 t – 0,1 x) (S.I.). Calcule: a) La longitud de onda y la velocidad de propagación (1 punto). b) El estado de vibración, velocidad y aceleración de una partícula situada en x = 0,2 m en el instante t = 0,5 s (2 puntos). a) Comparando la expresión de la onda con la expresión general: y x, t = A · cos (ω · t – k · x) se tiene para la longitud de onda que: k
2·
0,1m
1
2· 0,1m
1
20 · m
Y la velocidad de propagación es: v
·f
2· k 2·
2rad / s k
0,1m
1
20 m / s
b) Sustituyendo en la ecuación de la onda se tiene que la elongación de la partícula en ese instante es: yx, t = 0,2 · cos (2 · t – 0,1 · x) → y = 0,2 · cos (2 · 0,5 – 0,1 · 0,2) = 0,11 m Aplicando la definición de velocidad de vibración: vx, t =
dy = - 0,2 · 2 · sen (2 · t – 0,1 · x) → v = - 0,4 · sen (2 · 0,5 – 0,1 · 0,2) = - 0,33 m/s dt
Aplicando la definición de aceleración de vibración: ax, t =
dv = - 0,4 · 2 · cos (2 · t – 0,1 · x) → v = - 0,8 · cos (2 · 0,5 – 0,1 · 0,2) = - 0,446 m/s2 dt
PAU CyL S2005 Definir y expresar v y vvibración, de cuál depende E Defina la velocidad de vibración y la velocidad de propagación de una onda sinusoidal (1pto). Dé sus expresiones en función de los parámetros que aparecen en la ecuación de onda (0,5pto). ¿De cuál de las dos y de qué forma depende la energía transportada por la onda? (0,5 puntos) a) La ecuación de ondas de una onda armónica unidimensional es: yx,t = A · sen (ω · t – k · x) Donde ω es la pulsación o frecuencia angular y k el número de ondas. La velocidad de propagación de la onda recibe, a menudo, el nombre de velocidad de fase, porque representa la velocidad con que se trasladan estados de vibración idénticos por el medio. Se puede expresar en función de la pulsación del movimiento vibratorio, ω, y del número de ondas, k. v = ·f =
2· = k 2· k
La velocidad de propagación o velocidad de fase no se debe confundir con la velocidad de vibración de las partículas, que se obtiene derivando la elongación en la ecuación de onda:
Movimiento Ondulatorio Ejercicios resueltos 1994 - 2009 v vibración =
dy dt
5
A · · cos ( · t k · x) 0
b) La energía transportada depende de la velocidad de vibración de las partículas del medio. A medida que las ondas se propagan por un medio material, la perturbación alcanza a las partículas y las somete a un movimiento vibratorio armónico. La energía mecánica de cada partícula es la suma de la energía cinética, asociada a su velocidad de vibración, y de la energía potencial elástica, debido a la acción de la fuerza recuperadora elástica, y que depende de su elongación, y, respecto de la posición de equilibrio. E = 2 m v2vibración + 2 K y2 Si una partícula se encuentra en el centro de la oscilación, entonces su energía cinética es máxima y su energía potencial es cero; y si se encuentra en uno de los extremos de la vibración entonces la energía cinética es mínima y la potencial máxima. Por lo que la energía mecánica de cada partícula se puede expresar con las ecuaciones: E = 2 m v2máxima = 2 K A2 Para un movimiento vibratorio armónico: K = m ω2, y ω = 2 π f, por lo que operando en la ecuación anterior, resulta que: E = 2 K A2 = 2 m ω2 A2 = 2 π2 m f 2 A2 La energía que transporta una onda armónica es función del cuadrado de la frecuencia, del cuadrado de la amplitud de la onda y de la masa de las partículas que vibran. PAU CyL J2006 Escribir ecuación dado: A, f, v,piden velocidad máxima vibración a) Escriba la ecuación de una onda que se propaga en una cuerda (en sentido negativo del eje X) y que tiene las siguientes características: 0,5 m de amplitud, 250 Hz de frecuencia, 200 m/s de velocidad de propagación y la elongación inicial en el origen es nula (1,5 puntos). b) Determine la máxima velocidad transversal de un punto de la cuerda (1,5 puntos). Si la onda se propaga hacia la izquierda y en el instante inicial la elongación del origen es igual a cero, entonces la ecuación general es: yx,t = A · sen (ω · t + k · x) La amplitud es: A = 0,5 m La frecuencia angular es: ω = 2 · π · f = 2 · π · 250 Hz = 500 · π rad/s El número de ondas es: k
2·
2· v f
2 · · 250 Hz 200 m / s
2,5 · m
1
La ecuación pedida es: yx,t = 0,5 m · sen (500 · π rad/s · t + 2,5 · π m-1· x) b) La expresión de la velocidad de vibración es: v x,t
dy x,t dt
A · · cos ( · t k · x)
Y su valor máximo es: vmáxima = A · ω = 0,5 m · 500 · π rad/s = 250 · π m/s PAU CyL S2006 A una playa llegan 15 olas por minuto y se observa que tardan 5 minutos en llegar desde un barco anclado en el mar a 600 m de la playa. a) Tomando como origen de coordenadas un punto de la playa, escriba la ecuación de onda, en el sistema internacional de unidades, si la amplitud de las olas es de 50 cm. (1,5 puntos). Considere fase inicial nula. b) Si sobre el agua a una distancia 300 m de la playa existe una boya, que sube y baja según pasan las olas, calcule su velocidad en cualquier instante de tiempo ¿Cual es su velocidad máxima? (1,5 puntos). CyL septiembre 2006 problema Se supondrá que las olas del mar se comportan como un movimiento ondulatorio De los datos iniciales se deducen los valores de la frecuencia y de la velocidad de propagación.
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Movimiento Ondulatorio Ejercicios resueltos 1994 - 2009 f
15 olas 60 s
0,25 Hz ; v
600 m 5 min · 60 s / min
2m / s
a) La frecuencia angular y el número de ondas son: ω = 2 · π · f = 2 · π · 0,25 Hz = 0,5 · π rad/s;
k
2· v
0,5· rad / s 2m / s
0,25 · m
1
La expresión de la ecuación de ondas, suponiendo que se propagan hacia la derecha del observador, es: yx,t= A · cos (ω · t – k · x) = 0,50 m · cos (0,5 · π rad/s · t – 0,25 · π m-1 · x) b) La expresión general de la velocidad de vibración de las partículas del medio es: vx,t =
dy = - 0,25 · π m/s · sen (0,5 · π rad/s · t – 0,25 · π m-1 · x) dt
Y la velocidad del punto x = 300 m es: vx=300, t = - 0,25 · π m/s · sen (0,5 · π rad/s · t – 0,25 · π m-1 · 300 m) vx=300, t = - 0,25 · π m/s · sen (0,5 · π rad/s · t – 75 · π) Su valor máximo es: vmáximo = 0,25 · π m/s PAU CyL S2006 Discuta razonadamente cómo variarán, en un movimiento ondulatorio, las siguientes magnitudes cuando aumentamos la frecuencia de la onda: a) Período (0, 5 puntos); b) Amplitud (0,5 puntos); c) Velocidad de propagación (0,5 puntos); d) Longitud de onda (0,5 puntos). CyL septiembre 2006 cuestión Para determinar la variación de las magnitudes hay que expresarlas en función de la frecuencia y considerar al resto de las variables constantes. a) El período es la inversa de la frecuencia: T = 1/f Al aumentar la frecuencia disminuye el período en la misma proporción. b) La amplitud del movimiento es independiente de la frecuencia. c) La velocidad de propagación es la característica del fenómeno físico y del medio transmisor, por lo que no se modifica al modificar la frecuencia del fenómeno. d) Como la velocidad de propagación es una característica del medio transmisor. De la ecuación: v = λ · f, se deduce que al aumentar la frecuencia, debe disminuir la longitud de onda en la misma proporción. PAU CyL J2007 ecuación de onda y velocidad con dados extraídos de gráficas En las figuras se representa la variación de la posición, y, de un punto de una cuerda vibrante en función del tiempo, t, y de su distancia, x, al origen, respectivamente.
a) Deduzca la ecuación de onda (1,5 puntos). b) Determine la velocidad de propagación de la onda y la velocidad de vibración de un punto de la cuerda (1,5 puntos). a) De las representaciones gráficas se deduce que la onda se propaga hacia la derecha y que las constantes del movimiento son:
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Movimiento Ondulatorio Ejercicios resueltos 1994 - 2009 2· T
A = 0,2 cm; T = 8 s; λ = 4 m;
2· 8 sT
0,25 ·
rad ; k s
2·
2· 4m
0,5 · m
1
yx,t = A · sen (ω · t – k · x) = 0,2 ·10-2 m · sen (0,25 · π s-1 · t – 0,5 · π m-1 · x) b) La velocidad de propagación de la onda es una cantidad que depende del medio de transmisión. v
T
k
0,25 · s
1
0,5 · m
1
0,5
m s
La velocidad de vibración depende de la posición del punto a lo largo de la cuerda. v vibración
dy m = 5 · 10-4 · π · cos ((0,25 · π s-1 · t – 0,5 · π m-1 · x) dt s
PAU CyL S2008 expresiones ecuación ondas Escriba la expresión matemática de una onda armónica unidimensional como una función de x (distancia) y t (tiempo) y que contenga las magnitudes indicadas en cada uno de los siguientes apartados: a) Frecuencia angular ω y velocidad de propagación v (1 punto).b) Período T y longitud de onda λ. (1 punto). La expresión general de una onda armónica es: yx, t = A sen (ω · t – k · x) Como: v y x, t
k
k
A· sen
·t
v
v
;
·x
2· ;k T
A· sen
2·
· t
, las expresiones pedidas son: x ; y x, t v
A · sen
2· ·t T
2·
·x
A · sen 2 ·
t T
x
PAU CyL J2009 definiciones magnitudes movimiento ondulatorio Defina las siguientes magnitudes que caracterizan un movimiento ondulatorio: amplitud; frecuencia; longitud de onda; número de onda (1,2 puntos). Indique en cada caso las unidades correspondientes en el S. 1. (0, 8 puntos). Amplitud, se designa con la letra A, y es la máxima separación de la partícula de la posición central o de equilibrio, su unidad en el SI es el metro. Frecuencia, se designa con la letra ν, y es el número de veces que la onda se reproduce en la unidad de tiempo. La frecuencia coincide con el número de pulsos que se producen en la unidad de tiempo y se mide en el SI en hercios (Hz). La frecuencia es una propiedad característica del foco emisor de ondas. Longitud de onda, se denota con la letra λ, y es la distancia entre dos puntos consecutivos que se encuentren en la misma posición relativa respecto de su posición central o de equilibrio. La longitud de onda es también la distancia que ocupa una onda completa y se mide en el SI en metros. Número de onda, se representa con la letra k, y es la cantidad de ondas completas contenidas en una longitud de 2 · π metros. Su unidad en el SI es m-1. PAU CyL J2009 dado A, f y v ecuación onda sonora Un foco sonoro emite una onda armónica de amplitud 7 Pa y frecuencia 220 Hz. La onda se propaga en la dirección negativa del eje X a una velocidad de 340 m/s. Si en el instante t = 0 s, la presión en el foco es nula, determine: a) La ecuación de la onda sonora (2 puntos). b) La presión en el instante t = 3 s en un punto situado a 1,5 m del foco (1punto). a) La frecuencia angular y el número de ondas de la perturbación son: ω = 2 · π · f = 2 · π · 220 Hz = 440 · π rad/s;
k v
2· ;k ·f
2· · f v
2 · · 220 Hz 340 m / s
1,3 · m
1
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Movimiento Ondulatorio Ejercicios resueltos 1994 - 2009 Como en el instante inicial la presión del foco es nula, se usa para la descripción del fenómeno la función seno. Y como la perturbación se propaga a lo largo de la parte negativa del eje X, la ecuación de la de la onda es: px,t = p0 · sen (ω · t + k · x) = 7 Pa · sen (440 · π rad/s · t + 1,3 · π m-1 · x) b) Sustituyendo las pasición y el instante en la ecuación de ondas, resulta que: px,t = 7 Pa · sen (440 · π rad/s · 3 s + 1,3 · π m-1 · 1,5 m) = - 1,1 Pa
PAU CyL S2009 dado posición, velocidad y aceleración Por una cuerda tensa situada sobre el eje x se transmite una onda con una velocidad de 8 m/s. La ecuación de dicha onda viene dada por: y(x, t) = 0,2 sen(4π t + k x) (unidades SI). a) Determine el valor de k y el sentido de movimiento de la onda. Calcule el periodo y la longitud de onda y reescriba la ecuación de onda en función de estos parámetros (1,5 puntos). b) Determine la posición, velocidad y aceleración de un punto de la cuerda correspondiente a x=40 cm en el instante t=2 s (1,5 puntos). a) La ecuación general de una onda cuando se propaga siguiendo el sentido negativo del eje X es: y(x, t) = A · sen (ω · t + k · x) De donde se deduce que la frecuencia angular es : ω = 4 · π rad/s. La velocidad de propagación de dicha onda es: v Por lo que el valor del número de ondas es: k El período del movimiento es: T
1
·
k 4 · rad / s m 1 8m / s 2 2· 0,5 s 4 · rad / s
v 2·
1 2·
Aplicando la definición de número de ondas: k Aplicando las relaciones:
2· T
y k
2·
2·
2· k
2· 0,5 · m
4m
1
, se tiene que la ecuación de una onda que se propaga según el
sentido negativo del eje X, se puede escribir como: y(x, t) = A · sen (ω · t + k · x) = A · sen
2· ·t T
Y para la onda dada: y(x, t) = 0,2 · sen 2 · ·
t 0,5
2·
· x = A · sen 2 · · x 4
t T
x
en unidades SI
b) Conocido el valor de k, la ecuación de la onda es, el valor de la elongación en una posición y en un instante determinado se calcula sustituyendo en la citada ecuación. y(x, t) = 0,2 · sen (4 · π · t + 0,5 · π · x) = 0,2 · sen [0,5 · π · (8 · t + x)] m y(x=0,4 m, t=2 s) = 0,2 · sen [0,5 · π · (8 · 2 + 0,4)] = 0,1176 m Aplicando la definición de velocidad: v (x,t) =
dy( x, t) = 0,2 · 4 · π · cos [0,5 · π · (8 · t + x)] = 0,8 · π · cos [0,5 · π · (8 · t + x)] dt
v (x=0,4m, t=2s) = 0,8 · π · cos [0,5 · π · (8 · 2 + 0,4)] = 2,033 m/s Aplicando la definición de aceleración: a (x,t) =
dv( x, t) = - 0,8 · 0,5 · π2 · sen [0,5 · π · (8 · t + x)] = - 0,4 · π2 · sen [0,5 · π · (8 · t + x)] dt
a (x=0,4m, t=2s) = - 0,4 · π2 · sen [0,5 · π · (8 · 2 + 0,4)] = - 2,320 m/s2
