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C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Série II b, p. 367–372, 2000 Mécanique des solides et des structures/Mechanics of solids and structures

Determination of the size and location of a discontinuity in a waveguide by inversion of measured scattered wavefields Florent BEAUMONT a,b , Armand WIRGIN a a

Laboratoire de mécanique et d’acoustique, UPR 7051 du CNRS, 31 chemin Joseph-Aiguier, 13402 Marseille cedex 20, France b BERTIN Technologies, Parc d’Activité du Pas du Lac, 10 avenue Ampère, Montigny le Bretonneux, BP 284, 78059 Saint-Quentin-en-Yvelines Cedex, France E-mail: [email protected]; [email protected] (Reçu le 15 octobre 1999, accepté le 7 février 2000)

Abstract.

It is shown that the combined use of: 1) a rigorous, numerically efficient, model of the measurements, on a strip of the upper face of the waveguide, of the response to mono mode monochromatic probe radiation, and 2) an iterative non-linear least-squares scheme to minimize the discrepancy between measured and theoretical response, enables a fairlyaccurate retrieval, in near real-time, of the two location and one size parameters of the discontinuity.  2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS wave scattering / discontinuity / inverse problem

Localisation et détermination de la taille d’une discontinuité dans un guide d’ondes par inversion du champ diffracté mesuré Résumé.

Ce travail montre que : 1) l’utilisation combinée d’un modèle numérique de mesures, sur une zone de la surface supérieure d’un guide d’ondes, de la réponse au rayonnement d’un mode monochromatique, et 2) d’un algorithme de moindres carrés non linéaire itératif de minimisation de la différence entre la réponse mesurée et la réponse théorique, permet, presque en temps réel, la détermination précise des deux paramètres de localisation et de la longueur d’une discontinuité.  2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS diffraction d’ondes / discontinuité / problème inverse

Version française abrégée La recherche portant sur l’imagerie acoustique de milieux se focalise de plus en plus sur l’aspect caractérisation (i.e. quantitative), par exemple, lors du contrôle non destructif de solides [1,2], et de la détection d’obstacles dans des mers peu profondes ou profondes [3,4], le but étant de déterminer non seulement si une discontinuité est présente ou absente dans le milieu, mais également de la localiser avec précision et de caractériser exactement sa forme et sa taille. La présente étude, qui s’inscrit dans ce domaine de recherche, concerne la diffraction d’ondes par une discontinuité sous forme de fissure plane dans un guide d’onde d’extension latérale infinie, et s’applique à l’utilisation d’ondes électromagnétiques, élastiques, et acoustiques, pour inspecter une plaque, dalle ou couche. Celle-ci est d’épaisseur b (cf. figure 1) Note présentée par Pierre S UQUET. S1620-7742(00)00050-7/FLA  2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.

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et est le lieu dans lequel se propage une onde incidente monochromatique. On note ui (x) le champ de déplacement dû à l’onde incidente et u(x) le champ de déplacement total. u(x) et ui (x) vérifient l’équation d’Helmholtz (1) et la condition de surface libre (2) ainsi que les conditions de rayonnement à l’infini (3)–(4). Le problème inverse, que l’on résout ici, consiste en la détermination des paramètres de localisation (L, d) et de taille de l’objet (w) à partir de la connaissance de u˜(x) sur la zone de mesure S s’inscrivant sur une des faces de la plaque. La détermination de u(x) (problème direct, sous-jacent au problème inverse), fait appel à une méthode d’appariement de modes issue d’une décomposition de domaine et de séparation de variables (cf. figure 1). Il en résulte un système linéaire couplé (13) dont les coefficients de réflexion (Rm ) et de transmission (Tm ) sont les inconnues. Le calcul des coefficients de réflexion des modes propagatifs à partir du champ mesuré sur S se fait en résolvant le système linéaire (18) obtenu en minimisant la fonction coût (17). La résolution du problème inverse revient à minimiser la fonction coût (20) en utilisant l’algorithme itératif de Levenberg–Marquardt [5]. La fonction coût correspond à la somme sur les modes propagatifs du module au carré de la différence entre les coefficients de réflexion calculés à partir des « mesures » sur S et ceux calculés par résolution du système linéaire (13) pour le jeu de paramètres p = {L, d, w}. Le champ « mesuré » utilisé pour l’inversion a été simulé au moyen d’une méthode hybride mode/éléments finis décrite dans [6]. L’inversion, qui nécessite environ 30 s sur un ordinateur DEC 8400/500, donne lieu au résultat de la figure 3.

1. Introduction Research in acoustic imaging of media is increasingly focusing on characterization (i.e., quantitative aspect), for instance, in the framework of non-destructive evaluation of solids [1,2], and obstacle detection in shallow or deep seas [3,4], the aim being, not only to find out whether a discontinuity (crack, other flaw, well-defined inclusion or object, etc.) is present or absent in a medium, but also to precisely locate it and accurately characterize its size and shape. The work herein falls into this category of research, concentrates on a 2D configuration of a fin or plane crack-like object in a waveguide of infinite lateral extension, and is applicable to the use of electromagnetic, elastic, and acoustic wave radiation to probe a plate, slab or layer-like medium. 2. Forward and inverse scattering problems Let ui (x) be the incident (single-propagative mode) monochromatic wavefield (the exp(−iωt) time (t) factor, with ω the angular frequency, is hereafter implicit) at point x = (x, z) of the xOz plane (i.e., the field in the absence of the horizontal discontinuity (e.g., fin, crack) within the waveguide), u(x) the total field in response to ui (x), Ω the subdomain of xOz outside the discontinuity and inside the waveguide ΩR the reflection subdomain (to the left of the discontinuity), ΩT the transmission subdomain (to the right of the discontinuity), ΩA , ΩB the subdomains of Ω above and below respectively the discontinuity, Γ0 the discontinuity boundary, ΓA , ΓB , the upper and lower waveguide boundaries respectively in the xOz plane, and ∂ν the normal derivative operator (see figure 1). u(x), ui (x) satisfy the following relations:
(1) ∂x2 + ∂z2 + k 2 u(x) = 0; x ∈ Ω; k = ω/c ∈ R∗ , ∂ν u(x) = 0;

x ∈ ΓA + ΓB + Γ0 ,

u(x) − ui (x) ≡ ud (x) ∼ outgoing waves; u(x) ∼ outgoing waves;

αM

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(2) x → −∞,

x → ∞,

ui (x) = cos(αM z) exp(iβM x); x ∈ ΩR , p = M π/b, βM = k 2 − α2M , M ∈ N such that Im(βM ) = 0.

(3) (4) (5a) (5b)

Identification of a discontinuity in a waveguide

Figure 1. Discontinuity in a waveguide configuration. The to-be-determined parameters are: L (the abscissa of the left-hand edge of the discontinuity), d (related to the ordinate of the left-hand edge of the discontinuity), w (the width of the discontinuity). The incident wave ui , the abscissas x1 , x2 of the strip S on which the total field u is measured (the latter is thus known), and the thickness b of the waveguide are assumed to be known. Figure 1. Discontinuité dans un guide d’ondes. Les paramètres à déterminer sont : L (l’abscisse de l’arête gauche de la discontinuité), d (lié à l’ordonnée de l’arête gauche de la discontinuité), w (la largeur de la discontinuité). L’onde incidente ui , les abscisses x1 , x2 du segment S sur lequel le champ total u est mesuré (ce dernier est donc connu), et l’épaisseur b du guide d’ondes sont supposés connus.

The forward scattering problem is: given, ω, c (bulk wave speed in the medium occupying the waveguide), M (i.e., ui (x)), L, d, b, w; determine u(x) at all points in the waveguide, on the boundary of the latter, and on the boundary of the discontinuity. The inverse scattering problem (which will be solved herein) is: given, ω, c, M (i.e., ui (x)), b, and the measured field u ˜(x) on the strip S = [x1 , x2 ] × {0} ⊂ ΓA , such that x1 < L, x2 < L, determine the location (L, d) and size (w) of the discontinuity. Note that S is known and u(x) is unknown everywhere except on S in the inverse problem. 3. Field representations Separation of variables and the application of the boundary (2) and radiation (3)–(4) conditions lead to: u(x) = ui (x) +

∞ X

Rm exp(−iβm x) cos(αm z);

x ∈ ΩR ,

(6)

m=0

u(x) =

∞ X


Tm exp iβm [x − w] cos(αm z);

x ∈ ΩT ,

(7)

m=0

u(x) =

u(x) =

∞ X 




1 1 1 [L − x] + C2m exp −iηm [L − x] cos γm z ; C1m exp iηm

x ∈ ΩA ,

(8)




 3 2 2 2 [L − x] + C4m exp −iηm [L − x] cos γm z ; Cm exp iηm

x ∈ ΩB ,

(9)

m=0 ∞ X m=0

αm = mπ/b, 1 γm

= mπ/b,

2 γm

p k 2 − α2m , Re(βm ) + Im(βm ) > 0, p

n n n n )2 , ηm = k 2 − (γm Re γm + Im γm > 0;

βm =

= mπ/(b − d),

(10a) n = 1, 2 (10b)

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4. Application of continuity conditions on the domain interfaces In a domain-decomposition technique, such as the one employed herein, the field representations in the various domains must be joined via the conditions of continuity of u and ∂x u on the dashed segments in figure 1. After projection: of the conditions concerning ∂x u onto {cos(αl z); l ∈ N}, of the conditions concerning uA onto {cos(γl1 z); l ∈ N}, and of the conditions concerning uB onto {cos(γl2 z); l ∈ N}, one obtains relations of the type:

 j  j ; m ∈ N ; j = 1, 2, 3, 4 , Tl = Fl2 Cm ; m ∈ N ; j = 1, 2, 3, 4 l ∈ N (11) Rl = Fl1 Cm
(12) Clj = Fl1 {Rm ; m ∈ N}, {Tm; m ∈ N} ; j = 1, 2, 3, 4; l ∈ N The introduction of (12) into (11) then yields the following coupled system of linear equations (truncated, for the purposes of computation, to order N = O(kb) corresponding to the inclusion of all propagative and at least an equivalent number of non-propagative modes in (6) and (7)) for the reflection and transmission coefficients: N X  11 
11 Wlj Rj + Wlj12 Tj = 2δlM − WlM exp(2iβM L);

l = 0, 1, 2, . . ., N

(13a)

m=0 N X  21  12 exp(2iβM L); Wlj Rj + Wlj22 Tj = −WlM

l = 0, 1, 2, . . ., N

(13b)

m=0

wherein: εl = δlj − iβl

Wlj11

Wlj12 = Z 1 = Ilm

0

−d

εl iβl

! n ηm − − 2 n n I I εm rn = Wlj22 (Elj ) , δl,l = 1, δl,m6=l = 0 (14a) Elj n w) lm jm tan(η m m=0 n=1 ! 2 ∞ n X X d f ηm + + 2 n n Ilm Ijm Elj εm rn = Wlj21 (Elj ) , rn = δn1 + δn2 (14b) n sin(ηm w) b b m=0 n=1 ∞ X

2 X


1 cos(αl z) cos γm z dz/d,

Z 2 Ilm =

f −b

−b


2 cos(αl z) cos γm (z + b) dz/f,

εl = 2 − δl0 (15a)

± = exp i(βl ± βj ) Elj

(15b)

5. Obtention of the propagative mode reflection coefficients from the measured field ˜(x, 0) − ui (x, 0) designate the diffracted field obtained from measurements of the total Let u˜d (x, 0) = u field u ˜(x, 0) on the strip S. This field can be approximated, via (6), by: u ˜d (x, 0) ≈ ud(N ) (x, 0) ≡

N X

(N ) em R exp(−iβm x);

x∈S

(16)

m=0 (N ) em } be such as to minimize the cost functional: If the meaning given to this approximation is that {R

 (N )
em = J R

Z

x2

2 d u ˜ (x, 0) − ud(N ) (x, 0)

x1 (N ) em } is the solution of the linear system: then {R

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dx x2 − x1

(17)

Identification of a discontinuity in a waveguide

Figure 2. Comparison of two simulations of the measured diffracted field on strip S. The full-line curve was obtained by the mode-match method outlined in this paper, whereas the circled curve was obtained by a hybrid mode-finite element method described in [6]. The response simulated by the latter method was employed to obtain the inversions of figure 3. Figure 2. Comparaison de deux simulations du champ diffracté sur le segment S. La courbe en trait plein a été obtenue par la méthode modale développée dans cet article, alors que celle représentée par des cercles a été obtenue par une méthode hybride mode/éléments finis décrite dans la référence [6]. La réponse simulée par cette dernière méthode a été utilisée pour obtenir les inversions de la figure 3.

Figure 3. Top: geometry of the configuration for the inverse problem (the crosses indicate the measurement strip S). Bottom: graph of the actual (segment indicated by dots) and reconstructed (segment indicated by circles) discontinuity; note the greatly-expanded scale of the x and z axes with respect to the top figure. Figure 3. Haut : géométrie considérée pour le problème inverse (les croix indiquent la zone de mesure S). Bas : représentation de la discontinuité réelle (ligne indiquée par des points) et de la discontinuité reconstruite (ligne indiquée par des cercles) ; notez l’important changement d’échelle sur les axes x et z en comparaison à ceux de la figure du haut.

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F. Beaumont, A. Wirgin N X

Z

(N ) em Hlm R = Kl ;

l = 0, 1, 2, . . ., N

m=0 x2

Hlm = x1


exp −i[βm − βl∗ ]x

dx , x2 − x1

Z

x2

Kl =

u ˜d (x, 0) exp(iβl∗ x)

x1

(18) dx x2 − x1

(19)

wherein * designates the complex conjugate operator. The {Hlm } matrix is all the more ill-conditioned the larger is N . Nevertheless, the propagative mode reflection coefficients can be obtained without difficulty e < N , with N e close to the cutoff value of m beyond which βm via (18) provided N is replaced by N becomes imaginary (this value is known, via (10a), since b and w are known). 6. Determination of the unknown location and size parameters and discussion e (N) b 6N e and let {R em } be the set of reflection coefficients determined in the manner indicated in Let N the preceding section. Let {Rm (p)} be the solution of (13) for a given parameter set p = {L, d, w}. p is chosen to be the set which minimizes the cost functional b N X R e(Ne) − Rm (p) 2 . K(p) = m

(20)

m=1

This non-linear least-squares problem for obtaining p is carried out numerically via the Levenberg– Marquardt iterative scheme [5] (subroutine DUNSLF in the IMSL library). The simulation of the ‘measured’ field was carried out by means of a hybrid mode-finite element method described in [6]. An example of this field (obtained with a suboptimal number of finite elements to simulate experimental errors), as well as the one obtained by the method outlined in the present work, are represented in figure 2. In this forward problem the parameters were: M = 1, k = 10 cm−1 , b = 1 cm, L = 0 cm, d = 0.5 e = 5, cm, w = 0.5 cm, x1 = −10 cm and x2 = −6 cm. The inverse problem was solved with N = 10, N b N = 3 and twelve guesses were made of the unknown parameters in the ranges: L ∈ [−5 cm, 0.4 cm], d ∈ [0.3 cm, 0.8 cm], w ∈ [0.3 cm, 0.8 cm] in order to initialize the Levenberg–Marquardt scheme. The ‘best’ solution was chosen to be the one, amongst the twelve computed solutions, corresponding to the smallest value of K(p). The inversion took about 30 sec on a DEC 8400/500 computer. The degree of success of the retrieval of p is represented graphically in figure 3. It was found, by shifting the dotted curve in figure 2 progressively closer to the full curve, that increased measurement accuracy is the best means for improving the precision of the inversion. References [1] Chimenti D.E., Guided waves in plates and their use in materials characterization, Appl. Mech. Rev. 50 (1997) 247–284. [2] Bui H.D., Constantinescu A., Maigre H., Diffraction acoustique inverse de fissure plane: solution explicite pour un solide borné, C. R. Acad. Sci. Paris Série II 327 (1999) 971–976. [3] Rozier C., Lesselier D., Angell T.S., Kleinman R.E., Shape retrieval of a cylindrical obstacle immersed in shallow water from single-frequency farfields using a complete family method, Inverse Probs. 13 (1997) 487–508. [4] Gilbert R.P., Scotti T., Wirgin A., Xu Y.S., The unidentified object problem in a shallow ocean, J. Acoust. Soc. Am. 103 (1998) 1320–1328. [5] Marquardt D.W., An algorithm for least square estimation of nonlinear parameters, J. Soc. Ind. Appl. Math. 11 (1963) 431–448. [6] Beaumont F., Garajeu M., Wirgin A., Scattering of SH-waves by a discontinuity in the material properties and/or by a crack in an infinite plate, in: Review of Progress in QNDE, Vol. 18A, D.O. Thompson, D.O. Chimenti (Eds.), Plenum, New York, 1999, 63–70.

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