Digunakan untuk mengetahui posisi dalam representasi 3 dimensi ...

21 downloads 129 Views 1MB Size Report
7 Jan 2008 ... Pada 1 Dimensi, petunjuk arah digunakan tanda + atau -. Contoh, pada ... Pada 2 atau 3 dimensi, butuh selain tanda untuk menunjukkan arah.
7/1/2008

€

€

€

Digunakan untuk mengetahui posisi  dalam representasi 3  dimensi › Posisi Lintang › Posisi Bujur › Ketinggian Dapat pula mengetahui kecepatan › Arah dan besar kecepatan Terdapat fasilitas tracking › Perjalanan tidak selamanya membentuk  garis lurus › Kadang berbelok, menanjak dan menurun

Posisi awal

Bergerak

€

Pergerakkan umumnya tidak seperti garis lurus melainkan  dalam 2 atau 3 dimensi.

€

Tanda panah adalah vektor kecepatan pelari di suatu titik di  sepanjang jalan Pada waktu sesaat, vektor kecepatan adalah tangen dari  linatasan

3

Vektor digunakan untuk menganalisis  gerak pada dua atau  tiga dimensi

4

€ € €

Panah menunjukkan  arah sedangkan panjangnya  menunjukkan  besar atau ukuran

30 km/jam 60 km/jam

Pada 1 Dimensi, petunjuk  arah digunakan tanda  + atau ‐.  Contoh, pada kasus jatuh bebas ay = ‐g. Pada 2 atau 3 dimensi, butuh selain tanda untuk menunjukkan  arah Contoh:  Dimanakan posisi  r untuk Universitas Indonesia? Contoh › Pilih titik asal: Monas Monas › Pilih koordinat Monas x jarak (km), dan r  x arah (N,S,E,W) › r adalah suatu vektor yang

Dua kali panah  sebelumnya

menunjukkan  20 km ke selatan.

5

UI

6

1

7/1/2008

€

Jika suatu gerak terjadi pada beberapa dimensi,  kita dapat memisahkan gerak pada suatu komponen  yang  tegak lurus  dan penjumlahan  dapat membuat  suatu gerak yang berbeda

Ada dua cara untuk menunjukkan  suatu besaran adalah vektor: › Notasi tebal: A A

r A = A A  › Notasi “panah” :

The net vector shows  you the  object’s actual direction of motion…

€

Komponen rr adalah koordinat  (x,y,z) › r =  (rx ,ry ,rz ) = (x,y,z)

€

Pada kasus 2‐D (paling mudah dibuat): › rx = x = r cos θ › ry = y = r sin θ

7

8

9

10

(x,y)

y r

θ = arctan( y / x )

θ

x

€

Besar (panjang) rr didapatkan dengan teorema Pithagoras :

€ € €

r

y

r = r = x2 +y2

A Unit Vector  Unit Vector is a vector having length 1 and no units It is used to specify  a direction Unit vector u u points in the direction of U U › Often denoted with a “hat”: u u = û

U

û

€

x Panjang suatu vector tidak tidak tergantung dengan arahnya

€

Useful examples are the Cartesian  unit vectors [ i, j, k ]  › point in the direction of the  x, y and  z axes

y j

z 11

k

i

x

12

2

7/1/2008

€

Misalkan vektor A A dan B B. Carilah A A + B B

A

A

B

€

Misalkan C C = A + B. (a) C = (Ax i + Ay j ) + (Bx i + By j ) = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j (b) C = (Cx i + Cy j )

€

Menjumlahkan komponen  (a) dan (b): › Cx = Ax + Bx › Cy = Ay + By

B

A

C= A + B

B

€

By B

C

We can arrange the vectors as we want, as long as we maintain  their length and direction!!

A

Ay

Bx

Ax 13

€

Vector A = {0,2,1} Vector B = {3,0,2} Vector C = {1,‐4,2}

€

What is the resultant vector, D, from adding A + B + C ?

€ €

14

D = (AXi + AYj + AZk) + (BXi + BYj + BZk) + (CXi + CYj + CZk) = (AX + BX + CX)i + (AY + BY+ CY)j + (AZ + BZ + CZ)k = (0 + 3 + 1)i + (2 + 0 ‐ 4)j + (1 + 2 + 2)k = {4, ‐2, 5}

{3,5,‐‐1} (a) {3,5,

(b) {4, {4,‐‐2,5}

(c) {5, {5,‐‐2,4}

15

Adhi  Harmoko S

16

In free fall objects  accelerate  constantly toward Earth at the rate  of g . Objects moving upward slow  down until their direction is  reversed, and then they accelerate  downward. At the top of their path the upward  speed is zero.  How long?  Only instantaneously.  A constant acceleration means the  speed is changing all the time, so the  speed only  passes through the value  of zero at the top of the path. 18

3

7/1/2008

€

A dropped  ball: › Begins a rest, but soon  acquires downward speed › Covers more and more distance each second

€

A tossed  ball: › Rises to a certain height › Comes briefly to a stop › Begins to descend, much like a dropped ball

19

Falling Upward, then Downward, with a constant horizontal velocity  component

20

Here two heavy balls begin  “free fall” at the same time.  The red one is dropped,  so it moves straight downward.  The yellow ball is given some  speed in the horizontal  direction as it is released.

22

21

The horizontal lines show that  they keep pace with each other  in the vertical direction. 

The yellow ball’s horizontal  speed is not affected by  gravity,  which acts only in the  vertical direction.

Why?  They have the same  acceleration, g, downward, and  they both started with zero  speed in the downward  direction.

23

24

4

7/1/2008

Cannonballs  shot horizontally with different speeds  from  the ship  travel different distances.

A simulated strobe illustration of a plane flying horizontally  with constant speed  dropping package of food  and medical  supplies, ignoring air resistance. 

But each cannonball drops  the same distance in the same  amount of time, since the vertical acceleration is the same  for each.

The package of food and medical supplies  initially has the  same horizontal speed of the airplane.   Neglecting air resistance, it keeps that horizontal speed as  it falls, so it stays beneath the airplane. 25

€

The position,  velocity, and acceleration of a particle in 3  dimensions  can be expressed as:

€

(ii , j , k unit vectors )

We have already seen the 1‐D kinematics equations: x = x (t )

For 3‐D, we simply  apply the 1‐D equations  to each of the  component equations x = x (t )

r =  x  i + y  j + z k v = vx i + vy  j + vz k a = ax i + ay j + az k €

26

v=

dx dt

a=

€

dv d2 x = dt dt 2

y = y(t )

z = z(t )

vx =

dx dt

vy =

dy dt

vz =

dz dt

ax =

d 2x dt 2

ay =

d2 y dt 2

az =

d 2z dt 2

Which can be combined  into the vector equations v = dr / dt a = d2 r / dt2 r = r(t)

27

€

So for constant acceleration we can integrate to get: › a = const › v = v 0 + a  t › r = r0 + v 0 t +  1 /2 a t2 (where a a, vv , vv 0 , rr, rr0 , are all vectors)

29

28

€

Most 3‐D problems can be reduced to 2‐D problems when  acceleration is constant: › Choose y axis to be along direction of acceleration › Choose x axis to be along the “other” direction of motion

€

Example Example: Throwing a baseball  (neglecting air resistance) › Acceleration is constant (gravity) › Choose y axis up:  ay = ‐g › Choose x axis along the ground in the direction of the throw

30

5

7/1/2008

€

A man on a train tosses a ball straight up in the air. › View this from two reference frames:

€

Reference frame  on the moving train.

Reference frame  on the ground.

Mark McGwire clobbers a fastball toward center‐field.  The ball  is hit 1 m (yo ) above the plate, and its initial velocity is 36.5 m/s (v ) at an angle of 30o (θ ) above horizontal.  The center‐field wall  is 113 m (D) from the plate and is 3 m (h) high. › What time does  the ball reach the fence? › Does Mark get a home run?

v y0

h

θ D

31

€ € € €

Choose y axis up. Choose x axis along the ground in the direction of the hit. Choose the origin  (0,0) to be at the plate. Say that the ball is hit at t = 0, x =  x0 = 0 

32

€

Use geometry to figure out v0x and v0y :

y

g v

› Equations of motion are:

vx = v0x x = vxt  

y0

θ v0x

vy = v0y ‐ gt y = y0 + v0y t ‐ 1 /  2 gt2

v0y

x Find  and

v0x = |v | cos θ. v0y = |v | sin  θ.

33

€ €

€ €

The time to reach the wall is:  t = D / vx (easy!) We have an equation  that tell us  y(t) = y0 + v0y t + a t2 / 2 So, we’re done....now we just plug in the numbers: Find: › vox = 36.5 cos(30) m/s = 31.6 m/s › voy = 36.5 sin(30)  m/s = 18.25 m/s › t = (113 m) / (31.6 m/s) = 3.58 s › y(t) = (1.0 m) + (18.25 m/s)(3.58 s) ‐ (0.5)(9.8 m/s2 )(3.58 s)2 = (1.0  + 65.3  ‐ 62.8) m = 3.5 m › Since the wall is 3 m high, Mark gets the homer!!

34

€

A long jumper leaves the ground at an angle of 20.0 to the  horizontal and at a speed of 11.0 m/s. (a) How long does it take  for him to reach maximum height? (b) What is the maximum  height? (c) How far does he jump?  (Assume  that his motion  is  equivalent to that of a particle, disregarding the motion of his  arms and legs.) (d) Find the maximum height he reaches

35

6

7/1/2008

€

(a) Find  the time tmax taken to reach maximum height. › Set vy = 0 in and solve  for tmax:

€

Adhi Harmoko S

Motion in a circle with: › Constant Radius R › Constant Speed v = |v v|

y v (x,y)

R

x

€

€

In general, one coordinate system is as good as any other: › Cartesian:  y [position] x (x,y) v x (vx  ,vy) [velocity] (x,y) R › Polar: [position] x (R,θ) [velocity] x (vR  ,ω) In UCM: › R is constant (hence  vR = 0). › ω (angular velocity) is constant. › Polar coordinates are a natural way to describe UCM!

x

€

The arc length s (distance along the circumference) is related to  the angle in a simple way: › s = Rθ, where  θ is the angular displacement. › units of  θ are called radians. y

€

For one complete revolution: › 2πR = R θc › θc  = 2π › θ has  period 2π.

v R

(x,y)

θ

S x

1 revolution  = 2 = 2π π radians

7

7/1/2008

y €

v

x = R cos θ y = R sin θ

R

(x,y)

θ

€

S x

In Cartesian coordinates, we say velocity  dx/dt = v. › x = vt In polar coordinates, angular velocity  dθ/dt = ω. › θ = ωt y › ω has units of  radians/second

1 cos

0

€

sin π/2

π

3 π /2



v

Displacement s = vt. but s = Rθ = Rωt, so:

(x,y)

R

θ

S

v =  ωR

x

‐1

€

€

€

Recall that 1 revolution  = 2π radians › frequency (f)  = revolutions  / second › angular velocity (ω) = radians / second By combining (a) and (b) › ω = 2π f y Realize that: › period (T) = seconds  / revolution › So T = 1 / f = 2π/ω ω

€

UCM results in acceleration: › Magnitude: a = v2 / R › Direction: ‐ rˆ  (toward  center  of circle)

This is called Centripetal Acceleration. This is called  Now let’s calculate the magnitude

Δv v2

R

But ΔR = vΔt for small Δt

R

ΔR

Δv v 2 = Δt R

So: Δ v = v Δ t

v2

(x,y) S

Δv ΔR = v R

Similar triangles: v1

v

x

ω = 2π / T = 2πf  

€

€

(a) (b)

v

R

v1 a=

We know that a =

v2 R

v2 R

and v =  ωR

Substituting for v we find that: 

a

ω

a=

R

(ωR )2 R

a = ω 2R

8

7/1/2008

€

A fighter pilot flying in a circular turn will pass out if the  centripetal acceleration he experiences is more than about  9 times the acceleration of gravity g.  If his F18 is moving with a  speed of  300 m/s, what is the approximate diameter of the  tightest turn this pilot can make and survive  to tell about it ?

m2 90000 2 v2 s R= = 9g 9 × 9 .81 m s2

v2 a = = 9g R R=

10000 m ≈ 1000m 9.81

D = 2R ≈ 2000m

2 km 

See you  on monday

9