323. DODATAK F - Uvod u Mathcad. Mathcad je sofverski paket koji je dokazao
da ima širok opseg primenljivosti na računske probleme u inženjerstvu.
DODATAK F - Uvod u Mathcad Mathcad je sofverski paket koji je dokazao da ima širok opseg primenljivosti na računske probleme u inženjerstvu. Ovaj dodatak sadrži osnovne informacije i uputstva za rad u Mathcad-u i trebalo bi da omogući razumevanje Mathcad- fajlova sa rešenjima primera iz materijala. Deo njegovog sadržaja je preuzet iz vrlo informativnog i instruktivnog tutorijala čiji je autor prof. Radovan Omorjan i koji se može naći na adresi: www.tf.uns.ac.rs/omorjan/radovan_omorjan_003a/DODATNI MATERIJAL.htm. Mathcad ima veoma sličan korisnički interfejs programima iz MS Office paketa, sadrži: Menu Bar, Standard Toolbar, Formatting Toolbar i ono što razlikuje Mathcad od ostalih programa – Math Toolbar. Math Toolbar čini izvršavanje matematičkih proračuna veoma jednostavnim, tako što korisnicima omogućava jednostavan pristup svim matematičkim simbolima i operacijama; klikom na bilo koje dugme u ovom toolbar-u dobija se proširena paleta u određenoj kategoriji. Math Toolbar uključuje : 1. Calculator Toolbar 2. Graph Toolbar 3. Matrix Toolbar 4. Evaluation Toolbar 5. Calculus Toolbar 6. Boolean Toolbar 7. Programming Toolbar 8. Greek Symbol Toolbar 9. Symbolic Keyword Toolbar Drugi način da dobijete neki od navedenih toolbar-ova da izaberete iz glavnog menija: View=>Toolbars=>traženi toolbar. Funkcije ovih toolbar-ova su prilično jasne iz njihovih naziva. Mogućnost Mathcada da jednačine prikazuje na isti način kao da su pisane na papiru čini Mathcad-ov radni list čitljivim. Izračunavanja u Mathcadu uvek se vrše s leva na desno i odozgo na dole, što je veoma intuitivno. To znači da pre nego što se promenljiva ili funkcija koristi mora biti definisana negde iznad ili levo od izraza u kome figuriše.
323
F.1 Operatori "jednakosti" U Mathcadu se koriste sledeća tri različita simbola u vezi sa jednakošću, koja imaju potpuno različite funkcije. 1. Operator za dodeljivanje vrednosti nekoj promenljivoj ili funkciji Operator := za dodeljivanje vrednosti nekoj promenljivoj ili funkciji se može dobiti iz Calculator Toolbar-a klikom na taj simbol, ili sa tastature, tasterom dvotačka : . Ako otkucate: x:3/4[razmaknica]+7 na ekranu, odnosno u radnom listu ćete dobiti: x :=
3 4
+
7
Na ovaj nacin je promenljiva sa imenom x dobila vrednost izraza sa leve strane znaka
a efekat je dodeljivanje vrednosti 7.75 promenljivoj x. Dodela vrednosti promenljivoj, u opstem slucaju se realizuje u formi:
promeljiva:=izraz izraz se sastoji od brojeva, prethodno definisanih promenljivih, operatora i funkcija. Izraz se izračuna i njegov rezultat se dodeljuje promenljivoj (unosi u memorijsku lokaciju rezervisanu za tu promenljivu). Primetili ste da se prilikom unošenja opisanog sadržaja u radni list, formira pravougaoni region, tj. samo unošenje se vrši u tom regionu. To je matematički region (nešto se računa). Dok kucate, na ekranu se pojavljuje crni kvadratić koji ćemo zvati plejsholder (placeholder) i plava horizontalna i sa njene desne strane vertikalna crta koje ćemo zvati linije za editovanje (editing lines). Plejsholder znaći da se očekuje od vas da tu nešto unesete. Linije za editovanje uokviruju ono što će biti operand za sledeći operator. Možete posmatrati linije za editovanje i kao zagrade. Pozicija ovih linija se menja strelicama i/ili razmaknicom. Kada završite sa unošenjem željenog sadržaja u region, kliknete negde izvan njega. Evo nekoliko primera jednostavnih dodela vrednosti: R := 8.315
T := 273.15
p := 101.325
v :=
R⋅ T p
Pokušajte da objasnite zašto su sadržaji sledećih regiona, po okončanju unosa, pocrveneli. Mathcad "pocrveni" ako je nešto uneseno nekorektno tj. ne poštujući pravila.. Kliknite u njih i dobićete objašnjenje zašto se Mathcad-u ti regioni "ne svidjaju" A+
5 := 8
P⋅ V := R⋅ T
1 2
+
1 4
:=
3
P⋅ V =
4
324
2. Operator za dobijanje rezultata izračunavanja ili vrednosti neke promenljive Otkucajte :
4+3^2[razmaknica]/7= i na ekranu će se dobiti: 2
3 4+ = 5.286 7
Kada otkucate znak = , Mathcad je izračunao to što ste uneli i prikazao rezultat. Evo kako se dobija vrednost prethodno izračunate molske zapremine idealnog gasa: R := 8.315
T := 273.15
p := 101.325
v :=
R⋅ T p
v = 22.415
Ugradjene promenljive u Mathcad. Neke promenljive su u Mathcad-u već definisane. Uverite se tražeći vrednosti sledećih promenljivih, koje su pod istim imenom poznate u matematici (grčko slovo π ćete naći u Greek Symbol Toolbar-u ): e=
2.718
π = 3.142
Ako potražite vrednost promenljive koja nije predefinisana, a i ni vi je niste definisali, rezultat će biti kao u primeru: Aca :=
Dakle dobićemo znak za dodeljivanje vrednosti i crveni plejsholder. Zato što ova promenljiva nije definisana, Mathcad očekuje da je definišete.
Pošto je vrlo važno savladati veštinu unošenja matematičkih izraza, kao i editovanje (ispravljanje i uređivanje radnog lista) za dodatne informacije upućujemo čitaoca na pomenuti tutorijal.
3. Operator logičke jednakosti Operator logičke jednakosti = naznačava da vrednost izraza sa njegove leve strane treba da bude jednaka izrazu sa desne strane i tako omogućava definisanje jednačina u Mathcadu-u. Realizuje se sa tastature kombinacijom tastera Ctrl+ , ili ga uzimamo iz Boolean Toolbar-a. Unesite naprimer jednačinu idealnog gasnog stanja, pV=RT. Ako ste to korektno uradili, dobićete u radnom listu: p⋅V
n⋅R⋅T
325
F.2 Korišćenje mernih jedinica u proračunima Mathcad omogućuje proračun sa mernim jedinicama. Pri tom, pored ugrađenih jedinica mogu se koristiti i jedinice koje definiše korisnik, pomoću ugrađenih jedinica.
Mogli smo recimo prethodno izvedeni proračun molske zapremine idealnog gasa na zadatoj temperaturi i pritisku izvesti sa mernim jedinicama. Tako bi radi unošenja gasne konstante kucali:
R:8.315*J/mol*K Rezultat je, R := 8.315
J mol ⋅ K
Neku jedinicu unosimo sa tastature, kao u ovom primeru, ili je insertujemo pošto izaberemo iz glavnog menija Insert=>Unit. Dobićemo polje sa dva dijalog prozora i u gornjem izaberemo dimenziju (vreme, masa, površina,...). U donjem se pojavljuje niz jedinica iz različitih sistema jedinica koje se koriste za tu dimenziju. Kliknemo na odgovarajući jedinicu, a zatim na tipku OK u polju, ako je to poslednja jedinica u grupi jedinica koju želimo da unesemo (recimo K u grnjem primeru) ili na tipku Insert, ako nije završen unos svih jedinica u toj grupi. Tako, u postupku unošenja gasne konstante, pošto sa tastature unesemo, R:8.315* na ekranu dobijamo R := 8.315⋅
i sledi unošenje jedinice J (Džul) : biramo Insert=>Unit i u gornjem polju izaberemo: energy, a onda u donjem kliknemo na : Joules [J] . Na ekranu vidimo:
Pošto kliknemo na Insert, matematički region koga popunjavamo dobija izgled, 326
R := 8.315 ⋅ J
Dakle uneli smo J. Sa tastature unosimo operator deljenja / i mol dobijamo pošto u gornjem prozoru izaberemo: Substance, a u donjem kliknemo na: Mole (mol) , a potom na Insert. Preostaje da analognim postupkom unesemo jedinicu za temperaturu, pošto sa tastature ukucamo operator množenja *. Kada smo i to uradili, kompletiramo unos gasne konstante tako što kliknemo na OK. Nastavimo sa rešavanjem postavljenog zadatka izračunavanja zapremine gasa. Pošto smo uneli i temperaturu i pritisak, rezultat će biti:
R := 8.315
J mol⋅ K
T := 273.15K
p := 101.325 ⋅ kPa
Jedinica kPa je "pocrvenela" i ako klinknemo na taj region dobićemo dijagnozu:
Dakle, kilopaskal nije ugrađena jedinica i treba da ga definišemo. Sada možemo da kompletiramo rešenje:
R := 8.315
J mol⋅ K
p := 101.325 ⋅ kPa
T := 273.15K v :=
R⋅ T p
kPa := 1000Pa 3
-1
v = 0.022 m mol
Dobili smo zapreminu sa jedinicom i sa podrazumevanom (default) preciznošću od 3 decimale. Ako želimo rezultat sa 5 decimala, pošto kliknemo na matematički region sa vrednošću zapremine, biramo iz glavnog menija Format=>Result... , u dobijenom prozoru promenimo broj decimala sa 3 na 5 i kliknemo na OK. Rezultat će biti:
R := 8.315
J mol⋅ K
p := 101.325 ⋅ kPa
T := 273.15K v :=
R⋅ T p
kPa := 1000Pa 3
-1
v = 0.02242 m mol
Možda želimo da rezultat dobijemo u m 3 kmol . Da bi smo to postigli, moramo pre svega da definišemo izvedenu jedinicu kmol. Kada potražimo vrednost za v Mathcad će je opet dati u osnovnim SI jedinicama:
327
Da bi smo je dobili sa željenom jedinicom, kliknemo u matematički region sa vrednošću v i dobijamo na ekranu:
(položaj linija za editovanje zavisi od mesta na kome ste kliknuli). Plejsholder omogućuje da upišete željenu kombinaciju jedinica i dobijete rezultat (pomerite liniju za editovanje do plejsholdera , ili kliknite direktno u njega) :
Možda ćete želeti i da smanjite broj decimala na 2 (prethodno opisanim postupkom) i konačan rezultat je :
Treba reći da, pošto na opisani način jednom promenite kombinaciju jedinica i radi nove izmene ponovo kliknete u isti matematički region, ne dobijate opet plejsholder, pa novu izmenu izvodite editovanjem postojeće kombinacije jedinica. Ako bi u okviru ovog problema potražili vrednost gasne konstante, dobili bi:
Dakle, dobijamo jedinicu kao kombinaciju osnovnih jedinica (m, kg, s, K, mol) i ako nismo zadovoljni, na opisani način izmenimo kombinaciju jedinica i dobijemo recimo :
R = 8.315
J mol⋅K
ili
kJ := 1000J
R = 8.315
kJ kmol⋅K
Pored SI jedinice J (molK ) u upotrebi su i jedinice: lit ⋅ atm (mol ⋅ K ) i cal (mol ⋅ K ) za univerzalnu gasnu konstantu. Predlažemo čitaocu da potraži vrednosti R u tim jedinicama, sa preciznošću od 4 značajne cifre, dakle da dobije rezultat:
R = 0.08206
L⋅atm mol⋅K
R = 1.986
cal mol⋅K
U anglosaksonskom sistemu jedinica gasna konstanta ima jedinicu BTU (lbmol ⋅ R) . Da bi smo dobili brojnu vrednost gasne konstante u tom sistemu, neophodno je najpre definisati jedinicu lbmol , imajući u vidu da je odnos lbmol i kmol isti kao odnos funte (lb) i kilograma. Postupak bi bio sledeći:
328
R := 8.315
J mol⋅ K 2 -2
kmol := 1000mol
-2
-1
R = 29.725 kgm s K mol
BTU lbmol⋅ R
lbmol := kmol⋅
lb kg
Sta je ovo ?!
Zašto nismo dobili očekivani rezultat ? Zato što je došlo do 'konflikta'. Oznaka za ugrađenu jedinicu stepen Rankina je R kao i oznaka koju smo odabrali za gasnu konstantu. Tako, kada smo definisali gasnu konstantu pod imenom R, znači da smo redefinisali promenljivu R koja je imala ulogu stepena Rankina, tj. 'izgubili' smo stepen Rankina - R više nije stepen Rankina, nego gasna konstanta sa jedinicom J (molK ) . Problem ćemo rešiti promenom imena jedne od te dve veličine. Praktičnije je da ne menjamo ime stepenu Rankina, nego gasnoj konstanti, recimo dodajući imenu R indeks g. Rezultat će biti:
Rg := 8.315
J mol⋅ K
Rg = 1.986
BTU lbmol⋅ R
kmol := 1000mol
lbmol := kmol⋅
lb kg
Indeks g u imenu gasne konstante se dobija tako što se nakon R otkuca tačka (.) i onda g. Sve sto se u imenu neke promenljive otkuca posle tačke se spušta u indeks. To nije brojni indeks koji se koristi kod nizova i vektora (o čemu ćemo govoriti kasnije) već literalni indeks koji ima samo 'estetsku' funkciju. Zato ćemo takav indeks zvati 'lažni indeks', za razliku od 'pravog indeksa', koji se koristi radi izbora člana nekog niza ili elementa nekog vektora. Značajna prednost Mathcad-a je da podatke za neki proračun nije neophodno uneti sa konzistentnim jedinicama (recimo sve sa SI jedinicama), tj. da Mathcad automatski vrši neophodne konverzije i rezultate proračuna daje u osnovnim SI jedinicama.
PRIMER F1. Stakleni valjak sa pokretnim klipom sadrži 5 grama hlora u obliku gasa, na pritisku 1 atm. Kada je gas na sobnoj temperaturi ( 250 C ) klip se nalazi na rastojanju od 0.8 inča od dna kontejnera. Pretpostavlja se da se hlor u ovim uslovima ponaša kao idealan gas. Molekulska masa hlora je 35.45 g/mol. a) Izračunati zapremina gasa u staklenom valjku (u litrama), sa preciznošću od 3 značajne cifre. b) Gas se zagreva po konstantim pritiskom dok se klip ne udalji 2.5 inča od dna kontejnera. Izračunati krajnju temperaturu hlora ( 0 C ) sa jednom decimalom.
Molekulska masa hlora je 35.45 g/mol. Za univerzalnu gasnu konstantu uzeti R = 1.986 cal (molK ) .
329
Primetite da smo izbegli uobičajenu oznaku m za masu, da ne bi izgubili ugrađenu jedinicu za dužinu, metar (m)
Uklanjanje jedinica Nekada je potrebno ukloniti jedinice nekih veličina. Na primer, zato što neke funkcije u Mathcad-u ne podržavaju rad sa jedinicama, ili pri crtanju grafika: ako ne želimo da brojne vrednosti te veličine budu u grafik unete u osnovnim SI jedinicama, nego nekim drugim. Postupak je logičan: podelimo tu veličinu njenom jedinicom i dobijamo samo njenu brojnu vrednost, koja odgovara jedinici sa kojom smo delili. Na primer: Rg := 8.315
J
Rg
mol⋅ K
J molK ⋅
= 8.315
Rg Latm ⋅ molK ⋅
= 0.082
Rg cal molK ⋅
= 1.986
Dodavanje jedinica Ako smo u proračunu dobili bezdimenzionu vrednost za neku veličinu, koja inače nije bezdimenziona, možemo, ako je to potrebno, da joj dodamo jedinicu na način koji smo prethodno opisali - množenjem odgovarajućom kombinacijom osnovnih jedinica. To ćemo ilustrovati sledećim primerom.
PRIMER F2. U oblasti nižih i umerenih temperatura, za napon pare toluola važi Antoanova jednačina ln pvap = A −
B C +T
330
Za toluol su brojne vrednosti parametara : A = 4.0800, B = 1345.1, C = −53.63 , pri čemu je T apsolutna temperatura (K), a napon pare pvap se dobija u barima. Koristeći jedinice u Mathcadu, a) Izračunati normalnu tačku ključanja toluola.
b) Izračunati napon pare toluola na 50 0 C i to u kilopaskalima i atmosferama.
Najpre se suočavamo sa problemom definisanja parametara A − C jer datim brojnim vrednostima treba pridružiti adekvatne jedinice. Jedinice slede iz uslova dimenzione homogenosti jednačine. Mathcad naravno proverava dimenzionu homogenost izraza čiju vrednost treba da izračuna i ako uslov nije ispunjen 'pocrveni' uz komentar : Imajući u vidu da leva strana jednačine, ln pvap nema jedinice, mora biti bezdimenziona i desna strana, odakle sledi da je parametar A bezdimenzion, a da parametri C i B moraju imati dimenziju temperature. Da bi smo izračunali temperaturu ključanja Tk , treba rešiti Antoanovu jednačinu po temperaturi, pri čemu umesto napona pare treba zameniti normalan atmosferski pritisak: pvap = p0 = 1atm :
Tk =
B −C A − ln p0
Računanje po toj formuli realizujemo u Mathcad-u otkucavši na tastaturi:
T.k:B/A-ln(p.0) [razmaknica] [razmaknica]-C (Pratite pomeranje linija za editovanje). Alternativno, elementarnu funkcija ln(x) možemo dobiti iz Calculator toolbar-a. Kada kliknemo na ln u Calculator-u, dobićemo ime funkcije i plejsholder između dve zagrade u koga treba uneti broj, prethodno definisanu promeljivu ili izraz za koji računamo logaritam. Ovde je to prethodno definisana promenljiva p0 . Nakon opisanih koraka dobijamo:
Problem je u tome što argument x, funkcije ln x mora da bude bezdimenzion (što važi i za trigonometrijske funkcije, eksponencijalnu funkciju i sve ostale transcedentalne elementarne funkcije). Dakle, potrebno je ovde ukloniti jedinicu za pritisak i to bar (jer formula sa datim parametrima zahteva napon pare u barima):
331
U zadatku b) računamo:
pvap = e
A+
B C +T
Rezultat izračunavanja će biti traženi pritisak, ali bez jedinice, pa imajući u vidu da se on dobija u barima, izraz kojim se računa pritisak pomnožićemo prethodno definisanom jedinicom bar:
Izračunavanje konverzionih faktora Recimo, zanima nas koliko u jednoj funti (lb) ima kilograma, odnosno treba nam konverzioni faktor c (kg lb) , kojim množimo masu datu u funtama, da bi je dobili u kilogramima. Ako potražimo vrednost promenljive lb, dobićemo:
Iz te jednakosti sledi da je vrednost traženog konverzionog faktora 0.45359 i da se može izračunati kao:
Konverzioni faktori, izračunati na opisan način su bezdimenzioni brojevi. Možemo da uopštimo: vrednost konverzionog faktora c kojim množimo brojnu vrednost neke veličine u jedinicama j1 , da bi je dobili u jedinicama j2 , izračunava se u Mathcad-u kao:
Na primer, konverzioni faktor za dobijanje specifične toplote u SI sistemu ( J /(kg ⋅ K ) iz njene vrednosti u anglosaksonskim jedinicama ( BTU /(lb ⋅ R ) ) dobijamo kao:
332
F.3 Funkcije U prethodnom primeru smo videli da Mathcad ima ugrađene matematičke funkcije. Nekolicina njih, najčešće korišćenih, se može insertovati iz Calculator toolbar-a. Mathcad međutim raspolaže vrlo velikim brojem funkcija, čiji manji deo čine nama poznate elementarne funkcije iz matematike. Kada vam treba neka ugradjena funkcija, nju možete dobiti pomoću Insert=>Function opcije ili izborom: Dobijate sledeći dijalog prozor:
Funkcije su razvrstane po kategorijama (Function Category). Iz odredjene kategorije birate potrebnu funkciju (Function name). Pored toga vidite koliko funkcija ima argumenata (acos(z) ima jedan argument z) i kratko objašnjene šta ta funkcija daje. Ako vam to nije dovoljno možete kliknuti na ? i ući u opširan Help system Mathcad-a. Kada odaberete željenu funkciju kliknete na Insert i funkcija se ubacuje u radni list sa plejsholderima u koje unosimo konkretne brojeve, promenljive ili izraze. U početku ćete možda često koristiti ovu opciju za insertovanje funkcija, ali ćete ih vremenom zapamtiti jer je brže unositi ih sa tastature.
333
Korisničke funkcije Korisnik može za potrebe nekog proračuna da sam definiše neku funkciju. Definicija funkcije ima oblik:
ime funkcije (niz promenljivih razdvojenih zapetama) := izraz Promenljive navedene u zagradama se nazivaju fiktivni argumenti, jer pri definisanju funkcije nemaju nikakve konkretne vrednosti. Zato njihova imena nisu od značaja - možemo da ih zamislimo kao prazna mesta u formularu u koja će tek biti nešto upisano - onda kada definisana funkcija bude 'pozvana', radi računanja njene vrednosti. Dakle, jasno je da se pri definisanju funkcije ne računa njena vrednost.
Izraz sadrži fiktivne argumente i u opštem slučaju i druge, prethodno definisane promenljive, ugrađene, kao i druge, prethodno definisane, korisničke funkcije.
Funkcija je 'pozvana' kada se u okviru nekog izraza pojavi njeno ime, pri čemu se umesto fiktivnih argumenata u zagradi zamenjuju konkretne brojne vrednosti, ili, prethodno definisane promenljive, ili izrazi čijim izračunavanjem se dobija konkretna vrednost, koja se zamenjuje umesto odgovarajuće fiktivne promenljive ('upisuje u formular'). Jasno je da mora da postoji direktna korespondencija između fiktivnih promenljivih i onoga što se pri pozivanju funkcije zamenjuje umesto njih. Naprimer, kada smo u Primeru F2 pozvali ugrađenu funkciju ln(x), umesto fiktivnog argumenta x, zamenili smo bezdimenzionu p vrednost pritiska, tj. izraz 0 , u skladu sa problemom koji smo rešavali. To što zamenjujemo bar umesto neke fiktivnog argumenta, zvaćemo realan argument (broj, promenljiva ili izraz). Da bi ste bolje razumeli razliku između fiktivnih i realnih argumenta i pravila pri pozivanju funkcije, analizirajte sledeći primer iz Tutorijala * .
prva( x) := 1 + x druga( x) := 2 + x 3
treca( x , y) := x + y
cetvrta( x , y) := ( x + y)
2
Definisali smo četiri funkcije. Prve dve imaju jedan argument, a druge dve dva argumenta.
x := 2
y := 3
prva( y) = 4
Ovi x i y nemaju nikakve veze sa fiktivnim x i y u funkcijama Nadam se de ovde nema zabune
druga( x + y) = 7
a ovde?
treca( y , x) = 11
a ovde?
cetvrta( y + 1 , x − 4) = 4
a ovde?
Iskoristićemo ovu priliku da objasnimo kako su u Mathcad-u dobijeni komentari, koji mogu da budu od velike pomoći pri formulisanu i analizi radnog lista.. Komentari se ispisuju u tzv. 334
tekstualne regione. Kreiranje tekstualnog regiona se vrši na sledeći nacin. Kliknite na mesto u listu gde želite unos tekstualnog regiona (tu se pozicionira crveni krstic). Izaberite Text Region iz Insert opcije glavnog menja ili otkucate znak navoda". Pojavljuje se kvadrat sa vertikalnom crtom. Otkucajte željeni tekst i kada završite kliknite negde van regiona. U novi red u okviru tekstualnog regiona se prelazi sa Enter. PRIMER F3. Parametri u Antoanovoj jednačini (Primer F2.) za 1-butanol imaju vrednosti:
A = 5.3215, B = 1781.7, C = −55.47 . Izračunati temperature ključanja toluola i 1-butanola pozivajući prethodno definisanu funkciju prema formuli u Primeru F2.
Zašto je za temperaturu ključanja dobijena ista vrednost kao za toluol iako smo redefinisali u radnom listu parametre A - C?. Zato što funkcija zadržava za sve promenljnive, izuzimajući fiktivne argumente, koje figurišu u definicionom izrazu vrednosti koje su one imale u momentu definisanja! To bi značilo da ovde moramo ponovo da definišemo funkciju funTk(p) nakon definisanja parametara za 1-butanol. Svakako je bolje rešenje da i parametre A - C uvrstimo u fiktivne argumente pri definisanju funkcije:
Ako bi želeli da naš računski program učinimo još fleksibilnijim tako da omugućuje i izbor jedinice za pritisak (u literaturi često nalazimo parametre A-C za Antoanovu formulu koja
335
daje pritisak u mmHg ili atm, u listu fiktivnih argumenata bi dodali još jedan umesto koga ćemo zamenjivati odgovarajuću jedinicu za pritisak, pri pozivanju funkcije.
PRIMER F4. Parametri u Antoanovoj jednačini za benzol imaju vrednosti: A = 15.905 B = 2788.9, C = −52.4 , pri čemu se napon pare dobija u mmHg (torr). Izračunati temperature ključanja benzola, toluola i 1-butanola sa jednom decimalom.
F.4 Analitička izvođenja Mathcad pruža mogućnosti analitičkog rešavanja jednačina, diferenciranja, integracije, traženja graničnih vrednosti, uprošćavanja izraza itd. Ovi postupci se u Mathcad-u nazivaju simbolički proračuni i izvode se uz pomoć Calculus i Symbolic toolbar-a. Alternativno možemo da koristimo opciju Symbolics iz glavnog menija.
Analitičko rešavanje jednačina Ilustrovaćemo analitičko rešavanje jednačina na primeru kvadratne jednačine: ax + bx + c = 0 . Nju zapišemo u radni list, vodeći računa da ne izostavljamo operator množenja i da se kao znak jednakosti koristi logički znak jednakosti (Ctrl+ sa tastature). Pošto je zapišemo, ne napuštajući matematički region, izaberemo iz Symbolic toolbar-a opciju Solve. Pojaviće se reč solve, plejsholder i strelica u desno. U plejsholder upisujemo promenljivu po kojoj rešavamo jednačinu (ovde x) i pritisnemo Enter. Rezultat će biti: 2
336
Ako želimo da dobijemo rešenje za konkretne vrednosti parametara a i b, prethodno ih definišemo :
Konačno, ako želimo da nam Matcad izračuna vrednosti rešenja, kliknemo u dobijeni matematički region i ukucamo operator = za dobijanje rezultata. Dobićemo:
Treba reći da bi Mathcad 'pocrveneo', ako bi prethodno u radnom listu bila definisana promenljiva x. Dakle, nije dozvoljeno simboličko rešavanje neke jednačine po promenljivoj kojoj je prethodno dodeljena numerička vrednost.
Diferenciranje i integraljenje Operatore diferenciranja (prvi i n-ti izvod) i integracije (neodređeni ili određeni integral) unosimo iz Calculus toolbar-a : kliknemo na željeni operator. Pošto kompletiramo izraz, popunivši na odgovarajući nači plejsholdere, kliknemo na strelicu u desno Symbolic toolbar-a i konačno pritisnemo tipku Enter. Ostavljamo čitaocu da na opisani način dobije rezultate:
337
⌠ 1 1 dz → ⋅ 2 ⋅ atan( z ⋅ 2) 2 2 1 + 2z ⌡
⌠ 1 1 dz → ⋅ atan( 2) ⋅ 2 2 1 + 2z2 ⌡0 1
F.5 Intervalne promenljive Pored običnih promenljivih koje imaju po jednu vrednost, u Mathcadu postoje promenljive kojima se dodeljuje više vrednosti. To su intervalne i indeksirane promenljive. Indeksirane promenljive omogućuju definisanje nizova, vektora i matrica u Mathcad-u i operacije sa njima. Intervalne promenljive uzimaju numeričke vredosti od neke početne do krajnje sa zadatim korakom, a najvažnije primene ovakvih promenljivih su : 1. Definisanje vrednosti indeksa pri radu sa indeksiranim promenljivima, 2. Definisanje vrednosti nezavisno promenljive pri crtanju grafika neke funkcije Opšti oblik definisanja intervalne promenljive je:
interv:=prvi,drugi..poslednji gde je interv intervalna promenljiva, prvi je promenljiva ili izraz koji definise prvu vrednost, a drugi je promenljiva ili izraz koji definise drugu vrednost, poslednji je promenljiva koja definiše poslednju u nizu ekvidistantnih vrednosti (razlikuju se za isti korak). Korak se, naravno, odredjuje kao razlika druge i prve vrednosti (može biti i negativan). Otkucajte na primer:
y:2,2.5;5
Na ekranu će biti: y := 2 , 2.5 .. 5
Ako potražimo vrednost promenljive y, dobićemo:
y= 2 2.5 3
.
3.5 4 4.5 5
338
Zapazite da se operator .. ne unosi sa tastature kao dve tačke .. nego kao tačka zarez ;. U slučaju da je korak jednak jedinici (vrlo čest slučaj pri definisanju vrednosti indeksa), druga vrednost se može izostaviti. Na primer, ako ukucamo:
y:2;5 rezultat je:
y := 2 .. 5
y= 2 3 4 5
F.6 Indeksirane promenljive Kao što znamo iz matematike, član nekog niza brojeva od n članova, ai , i = 1,2,..., n se identifikuje preko vrednosti njegovog indeksa, dok se za identifikaciju elementa neke matrice dimenzija (m × n) , koriste dva indeksa: indeks vrste, i = 1,2,..., m i indeks kolone, j = 1,2,..., n . Vektori su analogni nizovima, a mogu se posmatrati i kao specijalni slučajevi matrica. Tako, u matričnoj algebri se razlikuju vertikalni i horizontani vektor. Vertikalni vektor sa n elemenata je matrica dimenzija (n × 1) , dok je horizontalni vektor iste dužine, matrica dimenzija (1× n) . Nizove Mathcad prikazuje kao vertikalne vektore. Često je zgodno, radi realizacije matematičkih formula, prvom članu niza dodeliti indeks 0, a ne 1. Zato je početna vrednost indeksa po default-u, u Mathcad-u jednaka 0, ali se može redefinisati preko ugrađene promenljive ORIGIN. Recimo: ORIGIN := 1
PRIMER F5. Pokušaćemo da rešimo sledeći računski problem (Primer C1). Reakcija sinteze amonijaka, N 2 + 3H 2 → ← 2 NH 3
se izvodi u katalitičkom reaktoru na pritisku p = 40bar, pri čemu se reaktanti uvode u molskom odnosu N 2 : H 2 = 1 : 4 . Izlazna temperatura je 510K. Ako se pretpostavi uspostavljanje reakcione ravnoteže u reaktoru, stepen konverzije azota x (0< x < 1) se dobija rešavanjem uslova reakcione ravnoteže:
4 x 2 (5 − 2 x) 2 = K R = 360 (1 − x)(4 − 3 x) 3 Potrebno je izračunati ravnotežni stepen konverzije azota. Umesto date jednačine lakše je rešavati njoj ekvivalentnu jednačinu: 4 x 2 (5 − 2 x) 2 − K R (1 − x)(4 − 3 x)3 = 0
339
Ona je međutim jednačina četvrtog stepena - leva strana je polinom 4. stepena, i ne može se rešiti analitički. Tako, ako pokušamo da dobijemo njeno analitičko rešenje u Mathcad-u , rezultat će biti:
Dijagnoza je nejasna, ali svakako govori o tome da Mathcad ne može da reši postavljeni problem. Zato ćemo pristupiti numeričkom ili približnom rešavanju jednačine (Dodatak C) iteracionom metodom tangente. Polazeći od neke polazne procene rešenja neke jednačine, f ( x) = 0
koju ćemo označiti kao x0 , sledeću bolju procenu, x1 dobijamo iz formule:
x1 = x0 −
f ( x0 ) f ′( x0 )
Nastavljamo uzastopno korigovanje procene ponavljanim (iterativnim) korišćenjem formule: xk +1 = xk −
f ( xk ) f ′( xk )
k = 0,1,...
koju zovemo iteraciona formula i tako dobijamo niz procena rešenja - tzv. iteracioni niz: x1 , x2 , x3 ,... . Ako je postupak uspešan, teorijski će beskonačan iteracioni niz {xk } da konvergira tačnom rešenju jednačine. Tada kažemo da je sam iteracioni postupak konvergentan. Praktično, iteracioni proces se završava kada se dovoljno približimo tačnom rešenju, na šta ukazuje mala razlika između uzastopnih procena.
U Mathcad-u rešavanje počinjemo definisanjem dve funkcije f ( x) i f ′( x) - leve strane jednačine i njenog prvog izvoda. Pošto definišemo f (x) funkciju f ′( x) ćemo definisati korišćenjem analitičkog diferenciranja na sledeći način. Pošto ukucamo ime funkcije (recimo fprim), fiktivni argument u zagradama i operator dodeljivanja vrednosti, u nastavku sprovedemo opisani postupak dobijanja prvog izvoda. Jasno je da pri tom u donji plejsholder operatora diferenciranja ukucamo x, a u desni gornji, ukucamo f(x). Rezultat će biti:
340
Za formiranje niza uzastopnih procena stepena konverzije azota neophodno je unošenje 'pravih' indeksa. Plejsholder za pravi indeks (indeks člana niza) se dobija tako što se nakon imena niza (ovde x) ukuca sa tastature znak [ ili izborom x n iz Matrix toolbar-a. Lociranje rešenja ćemo pokušati primenjujući datu iteracionu formulu osam puta, a kao polaznu procenu stepena konverzije usvojićemo 0.5. Tako ćemo dobiti delimični iteracioni niz xk , k = 0,1,...,8 primenom formule, xk +1 = xk −
f ( xk ) , k = 0,1, ,...,7 f ′( xk )
i proveriti da li iteracioni proces konvergira i da li se kao približno rešenje može usvojiti poslednji element niza, x8 . Za formiranje niza neophodno je prethodno definisati vrednosti koje uzima indeks k pri primeni iteracione formule ( 0,1,...,7 ) i to ćemo postići pomoću intervalne promenljive.
Primetite da je definisanje vrednosti indeksa kao intervalne promenljive imalo kao efekat ponavljanu primenu formule u kojoj figuriše taj indeks, za sve zadate vrednosti indeksa (onako, kako je to u izvornom, matematičkom obliku naznačeno). Pošto je uočljiva konvergencija iteracionog niza, za stepen konverzije azota možemo da uzmemo vrednost poslednje- najbolje procene, zaokružene na odabran broj decimala, recimo pet. Zaokruživanje smo izveli pomoću ugrađene funkcije round. Provera rešenja potvrđuje da je ono prihvatljivo, jer smenom u levu stranu jednačine daje broj blizak nuli.
341
Za definisanje i rad sa vektorima i matricama koristi se Matrix toolbar i objasnićemo značenja najvažnijih operatora u tom toolbar-u:
Vektorizacija Neka smo definisali funkciju za izračunavanje vrednosti neke (zavisno) promenljive za različite vrednosti jedne ili više nezavisno promenljivih (argumenata). Neka imamo po n vrednosti za svaku od nezavisno promenljivih, i želimo da izračunamo zavisno promenljivu za prve, druge, ..., n-te vrednosti nezavisno promenljivih. Prirodno je da i nezavisno promenljive i zavisno promenljivu, tretiramo u Mathcad-u kao vektore sa po n elemenata. Tada se vektor vrednosti zavisno promenljive može dobiti samo jednim pozivanjem definisane funkcije, ako se ona vektorizuje tj. na nju primeni operator vektorizacije, pri čemu se umesto argumenata zamenjuju zadati vektori njihovih vrednosti. To ćemo ilustrovati u sledećem primeru.
PRIMER F6. U Primeru F5 smo izračunavali temperature ključanja tri supstance iz Antoanove jednačine za napon pare. Pozivali smo tri puta odgovarajuću funkciju u kojoj su kao argumenti figurisali parametri Antoanove jednačine. Nameće se ideja da vrednosti parametara A, B i C definišemo kao vektore sa po tri elementa i da, koristeći vektorizaciju, samo jednim pozivanjem funkcije dobijemo sve tri temperature ključanja. Da bi smo što jednostavnije realizovali ovu ideju, potrebno je da parametri za sve tri supstance budu konzistentni, tj. da daju napone para sa istom jedinicom. U tom cilju ćemo preračunati vrednost parametra A benzola tako da sa datim parametrima B i C daje napon pare u barima. Ostavljamo čitaocu da izvede sledeći postupak preračunavanja:
342
Sledeći problem je definisanje, tj. unos vrednosti parametara. Rešićemo ga u dva koraka. U prvom koraku ćemo uneti vrednosti parametara kao elemente jedne (3 × 3) matrice, čije vrste odgovaraju supstancama, a kolone parametrima (A-C). Ovim ćemo ilustrovati
Potrebno je uneti broj redova (Rows) i broj kolona (Columns). Ovde ostavljamo 3 reda i 3 kolone i potvrdimo sa OK. Dobićemo sledeću šemu sa plejsholderima za unos pojedinih elemenata, koja liči na prikaz matrice u matematici:
Preostaje da u plejsholdere unesemo odgovarajuće vrednosti parametara i to bez jedinica, jer Mathcad ne prihvata različite jedinice pojedinih elemenata u nekoj matrici.Po matrici 'šetamo' pomoću strelica ili pomoću miša. U drugom koraku ćemo definisati vektore A, B i C sa po tri elementa, koristeći operator za izdvajanje kolone matrice. Na njega kliknemo pošto unesemo ime matrice (ovde je to Podaci) i time dobijamo plejsholder u koga unosimo indeks kolone. Konačno, radi unošenja jedinica, potrebno je i pomnožiti tako izdvojene kolone odgovarajućom jedinicom. Preostaje da definišemo funkciju za izračunavanje temperature ključanja i da je pozovemo uz vektorizaciju (nakon unosa imena funkcije, kliknemo na operator vektorizacije). Izgled radnog lista će biti:
ORIGIN := 1 〈1〉 A := Podaci
9.2848 2788.9 −52.4 Podaci := 4.08 1345.1 −53.63 5.3215 1781.7 −55.47 〈2〉 B := Podaci ⋅ K
p0 := 1atm
bar := 10 Pa 5
〈3〉 C := Podaci ⋅ K
343
funTk ( p , A , B , C) :=
B A − ln( p)
−C
→ p0 Tk := funTk , A , B , C bar
353.2 Tk = 384.4 K 391.1
Definisanje funkcije za izracunavanje temp. kljucanja
Pozivanje funkcije sa vektorizacijom
Izracunate temperature kljucanja benzola, toluola i 1-butanola
Definisanje matrice kopiranjem tabele iz Word dokumenta Mathcad dozvoljava da se matrica definiše kopiranjem numeričkog dela neke tabele (samo brojne vrednosti, bez zaglavlja) iz Word dokumenta. Pošto se ukuca ime matrice i znak za dodeljivanje vrednosti, prenese se pomoću Edit=>Paste (CtrlV) prethodno iskopirana tabela brojnih vrednosti (sa CtrlC) iz Word dokumenta.
Neka smo naprimer formulisali problem u Primeru F6. u Word-u, pri čemu smo podatke o parametrima A , B i C upisali u tabelu: Supstanca
A
B(K)
C (K)
Benzol
9.2848
2788.9
-52.4
Toluol
4.0800
1345.1
-53.63
1-Butanol
5.3215
1781.7
-55.47
Postupak prenošenja vrednosti parametara iz tabele u matricu Podaci je sledeći.U prvom koraku obeležimo u word dokumentu (pomoći Shift i strelica) deo tabele sa brojevima i ukucamo CtrlC (ili izaberemo Edit=>Copy). U drugom, prelazimo u Mathcad dokument i ukucamo: Podaci:. Konačno, ukucamo CtrlV (ili izaberemo Edit=>Paste). Rezultat je:
F.7 Grafici U Primeru F5. smo radi određivanja stepena konverzije azota, iteracionom metodom tangente, rešavali jednačinu: 4 x 2 (5 − 2 x) 2 − K R (1 − x)(4 − 3 x)3 = 0, K R = 360, 0 ≤ x ≤ 1
344
odnosno tražili nulu funkcije f ( x) = 4 x 2 (5 − 2 x) 2 − K R (1 − x)(4 − 3 x)3 . Kao polaznu procenu rešenja uzeli smo x0 = 0.5. Da bi smo približno locirali rešenje jednačine, tj. našli dobru polaznu procenu, koja garantuje brzu konvergenciju iteracionog postupka, korisno je nacrtati grafik funkcije f ( x) .
Dobijanje grafika sa nedefinisanom nezavisno promenljivom Pošto definišemo funkciju,
KR := 360
2
2
f ( x) := 4 ⋅ x ⋅ ( 5 − 2 ⋅ x) − KR ⋅ ( 1 − x) ⋅ ( 4 − 3 ⋅ x)
3
postavimo kursor negde na radni list, ispod definicije i biramo Insert=>Graph=>X-Y plot iz
glavnog menija,ili satastature Shift@ ,iliizaberemo
iz Graph palete. Dobijamo:
Tri crna kvadaratića na rubu služe za menjanje veličine grafika - 'skupljanje' i 'razvlačenje', pomoću miša (držimo levi taster na mišu). Logično, u plejsholder ispod x - ose unesemo x, a u plejsholder uz y - osu unesemo f(x). Rezultat će biti:
Primetite da u našem radnom listu x kao nezavisna promenljiva nije definisana. Mathcad u takvom slučaju sam odredi opseg x ∈ [− 10, 10] u grafiku. Pošto je izbor oznake nezavisno promenljive slobodan, mogli smo je označiti recimo i sa z, što ostavljamo čitaocu da se uveri. Međutim, evo šta bi dobili da smo odabrali oznaku T :
345
Zašto se ne prikazuje željena funkcija ? Problem je u tome što je promenljiva T već definisana u Mathcad-u, kao jedinica gustine magnetnog fluksa, Tesla (pronađite je pomoću Insert=>Unit).
Menjanje opsega vrednosti nezavisno i zavisno promenljive Pošto naša funkcija ima smisla samo u opsegu x ∈ [0, 1] , potrebno je da promenimo opseg vrednosti za x. U tom cilju klikemo u grafik i pošto ga na opisani način i povećamo, dobijamo:
Čitamo opseg vrednosti za x : [-10,10], a za funkciju : [ − 1.554 ×108 , 50.294 ]. Kada kliknemo u te vrednosti možemo da ih promenimo onako kako nam odgovara.Promenićemo levu granicu za x na 0, a desnu na 1:
346
Vizuelno procenjujemo da grafik seče x- osu (x = 0) negde u intervalu 0.8 < x < 1, tj. da u tom intervalu leži traženo rešenje. Da bi smo preciznije locirali presek, tj. rešenje, smanjićemo opseg x - vrednosti na [0.8, 1]:
i sada procenjujemo da je presek negde oko 0.95. Umesto da rešenje lociramo grafički kao presek grafika funkcije f ( x) sa x -osom, s obzirom da je posmatranoj jednačini ekvivalentna jednačina, 4 x 2 (5 − 2 x) 2 = K R (1 − x)(4 − 3 x), K R = 360, 0 ≤ x ≤ 1 ,
mogli smo da procenjujemo rešenje tražeći položaj preseka krivih: f1 ( x) = 4 x 2 (5 − 2 x) 2 i f 2 ( x) = K R (1 − x)(4 − 3 x)
Dakle, u novi grafik ćemo ucrtati krive f1 ( x) i f 2 ( x) u odabranom opsegu za x: [0.8, 1]. To postižemo unoseći u plejsholder za funkciju ime prve funkcije, zapetu i ime druge funkcije:
347
Vidimo da je Mathcad sam odabrao boju i tip linija za grafike, a o tome kako korisnik sam bira te parametre biće reči kasnije.
Lociranje neke tačke na krivoj pomoću opcije Trace Da bi smo preciznije procenili traženo rešenje, kao presek krive f ( x) sa x -osom, ili kao presek krivih f1 ( x) i f 2 ( x) , koristimo opciju Trace. Aktiviramo je tako što desnim klikom kliknemo negde u grafik i izaberemo Trace. Dobićemo:
Sada, pomoću miša pomeramo se duž krive i čitamo koordinate tačaka. Kada lociramo vrednost za Y blisku nuli, vrednost X će biti tražena procena nule funkcije:
348
Kada smo završili operaciju, kliknemo na Close. Ostavljamo čitaocu da locira rešenje kao presek krivih f1 ( x) i f 2 ( x) .
Crtanje grafika funkcije zadavanjem vrednosti nezavisno promenljivoj Za zadavanje vrednosti nezavisno promenljive, pogodno je koristiti intervalnu promenljivu. Tako možemo da dobijemo grafik posmatrane funkcije f ( x) u odabranom intervalu na sledeći način:
Mada kriva izleda glatka ona je dobijena spajanjem izračunatih tačaka dužima. To će biti jasno, ako primenite opciju Trace za lociranje preseka sa x - osom.
Ucrtavanje eksperimentalnih tačaka Često je, potrebno radi analize međusobne zavisnosti dve veličine ucrtati eksperimentalne vrednosti, tj. tačke čije apscise predstavljaju izmerene vrednosti jedne veličine, a ordinate su izmerene vrednosti one druge veličine.
349
PRIMER F7. Neka imamo za odmrzavanje neke smrznute namirnice dva seta eksperimentalnih podataka: vreme i odgovarajuće temperature pri odmrzavanju u frižideru (Tab.1.) i vreme i temperature u toku odmrzavanja na sobnoj temperaturi (Tab. 2.): Tabela 1 - Temperatura T u zavisnosti od vremena odmrzavanja, t u frižideru t(min)
0
60
120
180
240
300
360
420
480
540
T( 0 C )
-18
-8.75
-5.75
-5
-3.5
-3.5
-3.5
-3.5
1
4
Tabela 2 - Temperatura T u zavisnosti od vremena odmrzavanja, t u frižideru t(min)
T( 0 C )
t(min)
0
-18
210
6
30
-8.5
240
11.75
60
-6
270
14.25
90
-5
300
16
120
-1.75
330
17.75
150
-1.25
360
18.55
180
1
T( 0 C )
Potrebno je tabelarne vrednosti ucrtati u dijagram vreme-temperatura. Pogodno je da tabelarne vrednosti vremena i temperatura posmatramo kao vektore. Pretpostavićemo da su tabele u Word dokumentu i da iz njih treba podatke preneti u Mathcad radni list. Ovo je prilika da se upoznamo sa realizacijom operacije transponovanja matrice primenom odgovarajućeg operatora iz Matrix toolbar-a i primenom ugrađenih funkcija: stack za spajanje (nadovezivanje) matrica ili vektora i submatrix za izdvajanje podmatrice iz neke matrice. Postavljanje pocetne vrednosti indeksa: Definisanje stepena Celzijusa:
ORIGIN := 0
C := K
Podaci o odmrzavanju u frizideru:
60 120 180 240 300 360 420 480 540 0 −18 −8.75 −5.75 −5 −3.5 −3.5 −3.5 −3.5 1 4
Tab1 :=
Brojne vrednosti su iskopirane iz tabele
Da bi izdvojili vektor vremena i vektor temperatura , neophodno je da to uradimo na ransponovanoj matrici Tab1, uzastopnom primenom operatora transponovanja i operatora izbora kolone .Da bi dodali jedinice mnozimo tako dobijene vektore odgovarajucim jedinicama (minut i stepen Celz.)
350
T 0 tfriz:= ( Tab1 )
〈〉
T 1 TOfriz := ( Tab1 )
〈〉
⋅ min
0
tfriz =
⋅C
Obratite paznju na to da je ORIGIN=0 !
0
0
0
0
-18
1
3.6·10 3
1
-8.75
2
7.2·10 3
2
-5.75
3
1.08·10 4
3
-5
4
1.44·10 4
4
-3.5
5
1.8·10 4
5
-3.5
6
2.16·10 4
6
-3.5
7
2.52·10 4
7
-3.5
8
2.88·10 4
8
1
9
3.24·10 4
9
4
TOfriz =
s
C
Podaci o odmrzavanju na sobnoj temperaturi:
0 30 60 Tab2 := 90 120 150 180
−18
210
−6
270
−8.5 240 −5
300
−1.75 330 −1.25 360 1
0
11.75 14.25 16 17.75 18.55 0 6
Formiranje vektora vremena:
(
〈0〉 〈2〉 tsoba := stack Tab2 , Tab2
Nadovezivanje trece na prvu kolonu: Izbacivanje poslednjeg elementa (0) i dodavanje jedinice:
)
tsoba := submatrixtsoba ( , 0 , 12 , 0 , 0) ⋅ min
(unesite funkciju submatrix pomocu Insert=>Function da bi ste razumeli njenu primenu ) Formiranje vektora temperatura:
(
〈1〉 〈3〉 TOsoba := stack Tab2 , Tab2
)
TOsoba := submatrixTOsoba ( , 0 , 12 , 0 , 0) ⋅ C
351
0
0
0
0
0
-18
1
1.8·10 3
1
-8.5
2
3.6·10 3
2
-6
3
5.4·10 3
3
-5
4
7.2·10 3
4
-1.75
5
9·10 3
5
-1.25
6
1.08·10 4
6
1
7
1.26·10 4
7
6
8
1.44·10 4
8
11.75
9
1.62·10 4
9
14.25
10
1.8·10 4
10
16
11
1.98·10 4
11 17.75
12 2.16·10 4
12 18.55
tsoba =
TOsoba =
s
C
20 U plejsholder uz y-osu unesemo imena vektora temperatura, odvojena zapetom, a u plejsholder uz x-osu unesemo odgovarajucim redosledom imena vektora vremena.
TOfriz 0
TOsoba
20
4
0
1 .10
4 4 2 .10 3 .10 tfriz , tsoba
4 .10
4
Dobili smo na x- osi podelu u sekundama. Da bi dobili podelu u minutama, delimo vektore sa min
20
TOfriz TOsoba
0
20
0
200
400
600
tfriz tsoba , min min
352
Vidimo da je Mathcad formirao grafik spajajući tačke uzete iz tabele plavim i crvenim dužima.(po deafult-u). Ako nismo zadovoljni takvim izgledom grafika možemo da ga preformatiramo.
Formatiranje grafika Izgled (format) grafika se moze menjati klikom u region grafika, a zatim izborom Format=>Graph=>X-Y plot, dvoklikom u grafik, ili desnim tasterom miča i izborom opcije Format. U svakom slučaju se dobija sledeći dijalog prozor :
Četiri kartice sluze za formatiranje grafika (X-Y Axes, Traces, Labels, Defaults). Izabraćemo karticu Traces i dobiti sledeći dijalog prozor:
353
Svaka promena se vrši prethodnim izborom ucrtane zavisnosti (trace1, trace 2 itd.) i menjanjem opcija u ovom delu prozora:
Možemo da menjamo naziv zavisnosti, tipove simbola, tipove linija, boju, tip zavisnosti i veličinu simbola odnosno debljinu linija.
Klikom u formirani grafik za svaku zavisnost ćemo pomoću ovog dela prozora promeniti opcije tako da budu:
354
Klikom na OK, grafik dobija sledeći izgled:
18.55
20
TOfriz TOsoba
0
− 18 20
0 0
200
400
tfriz tsoba , min min
600 540
F8. Rekalkulacija Veoma korisna mogućnost Mathcad-a je automatska rekalkulacija (ponovno izračunavanje kompoletnog radnog lista, uključujući i grafike) nakon redefinisanja neke promenljive ili funkcije, tj. uopšte, bilo kog koraka u proračunu. To je veoma korisno za inženjersku analizu uticaja pojedinih parametara na neki pokazatelj kvaliteta procesa. Ako u glavnom meniju izaberete opciju Math dobićete:
355
Treba da je odabrano (štiklirano): Automatic Calculation. U protivnom, Mathcad je u manuel calculation modu i neće automatski vršiti rekalkulaciju. Ukoliko primetimo da Mathcad, iako je u modu automatske rekalkulacije, nakon neke promene u radnom listu nije potpuno ponovio ceo proračun, rekalkulaciju postižemo izborom Math=>Calculate Worksheet.
356
