Bukti: Kita pilih sebuah sistem koordinat dengan misalnya t sebagai sumbu y dan
sebuah garis tegak lurus pada g sebagai sumbu x. Andaikan A = (a1 a2 ) dan ...
MATERI : GESERAN (TRANSLASI) – KELOMPOK 6 (VI.E) Disusun Oleh: 1. ARI SUKA LESMANA 2. YULAIMA SUPRIHATIN 3. HERVI MARDIANA
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMUPENDIDIKAN
PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
STKIP – PGRI LUBUKLINGGAU
GESERAN (TRANSLASI) Geseran (translasi) adalah suatu transformasi yang memindahkan semua titik pada bidang dengan jarak yang sama dan arah yang sama.
Ketentuan dan sifat-sifat Teorema 1: Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B maka AA' = BB ' dengan A" = MhMg (A) dan B " = MhMg (B) Bukti: Kita pilih sebuah sistem koordinat dengan misalnya t sebagai sumbu y dan sebuah garis tegak lurus pada g sebagai sumbu x. (x,y)
n
A’(x,y)
A"
A
N
B
B"
0 g
h
Andaikan A = (a 1 a 2 ) dan B=(b1,b2). Kalau N tengah-tengah ruas garis A" B maka harus di buktikan SN(A)=B " . Andaikan persamaan h adalah x = k
(k ≠ 0). Apabila P = (x,y) dan P ' (Mh(P)) maka PP ' memotong h di sebuah titik Q (k,y) dengan Q sebagai titik tengah PP ' . Jadi P = Mh (P) = (2k – x,y) sedangkan Mg (P) = (-x,y). Jadi MhMg (P) = MhMg (P) = Mh{(-x,y)}= (2k-x,y) Jadi pula A " = MhMg (A) = (2x + b 1 .a 2 ) B " = MhMg (B) = (2x + b1.b2)
Oleh karena N titik tengah A" B maka:
(2k + a1 ) + b1 a2 + b2 N= − 2 a2 2k + a1 + b1 a + b2 − a1, 2 2 − a2 Sedangkan SN(A)= 2 2 2 SN(A)=(2k+b1.b2)=B " Dengan demikian,maka AA" = BB"
Teorema 2: Apabila AB = CD maka GAB = GCD Bukti: Jika X sebarang,maka harus dibuktikan GAB(X)=GCD(X) Andaikan GAB(X)=X1 dan GCD(X)=X2 Jadi
XX 1 = AB dan XX 2 = CD
Karena AB = CD maka XX 1 = XX 2 berarti X1=X2 sehingga GAB=GCD. Teorema 3: Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan CD sebuah garis berarah tegak lurus pada C dan C
g dan D
h, apabila AB = 2 CD maka GAB =
Mh Mg Bukti: Andaikan P sebuah titik sebarang, jika P=GAB(P) dan P ' =MhMg(P) maka harus dibuktikan bahwa P=P '
P' C’ C’ = MAMg(C) h
B
h
C P
g
A
Menurut ketentuan geseran, PP ' = AB Oleh karena AB = 2 CD , maka PP ' = 2 CD berhubungan C " =MhMg(C), C ∈ g. Maka C " =Mh(C). Jadi D adalah titik tengah CC " sehingga CC " = 2 CD . Oleh karena CC " = PP ' (teorema .1). maka PP " =2 CD = PP ' ini berarti bahwa P=P ' Jadi GAB(P)=MhMg(P) karena P sebarang, maka GAB=MhMg.
Teorema 4 : Jika GAB sebuah geseran maka (GAB)=GBA Bukti: Oleh karena himpunan isometri-isometri merupakan grup bagian dari grup transformasi-transformasi. Maka setiap geseran memiliki balikan (GAB) −1 Dari uraian diatas kita peroleh berturut-turut yaitu: GAB=M h Mg=MgMh
Sedangkan GAB=MhMg=MgMh Sehingga (GAB) −1 =(MgMh)
−1
Mh −1 Mg −1 =MgMh=GBA
Jadi (GAB)=GBA
Hasil Kali Geseran Akan di perlihatkan bahwa setiap geseran dapat di uraikan sebagai hasil kali dua setengah putaran. Teorema 5 : Jika G AB Sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga AB = 2
CD maka G AB = S D SC Bukti : Andaikan G = CD ; K ⊥ g di C, n ⊥ g di D.
B
D C n
A k
Maka CD ruas garis berarah dari k ke n. Oleh karena AB = 2 CD maka sedangkan =(
=
)(
dan )=
(
=
=
. Jadi :
)
atau : =(
I
=
. Dengan demikian maka
=
Teorema 6 : Komposisi suatu geseran dan Suatu setengah putaran adalah Suatu setengah putaran. suatu geseran dan C sebuah titik sebarang . Andaikan E titik
Bukti : Andaikan
yang tunggal sehingga CE = AB . Andaikan D titik tengah CE maka CE = 2
CD .menurut teorema 5 =
maka
=
.Jadi,
=(
)
=
(
)=
I
=
Akibat : andaikan
,
,dan
masing-masing setengah putaran, maka
dengan D sebuah titik sehingga AD = CD
Bukti : Kita peroleh berturut – turut A
B
D
C
=
. jadi ,
=
=
Andaikan sehingga
maka 2 BC = 2 AX atau BC = AX .jadi ,
= =
.
Perhatikan dua geseran
dan
. Maka
sehingga dapat kita tulis bahwa (E) =
=
dengan
(A) = B dan
(B) = C .
(A) = C . apabila E titik sebarang , maka sedangkan G AB (E ' )=E " sehingga E ' E " =
=
.
B E’ Q
A
C
E
P
R
Maka
= E” dengan
Jadi
=
=
E’
sehingga G BC (E) = E”=
(E).
.
Hal ini dapat juga dilihat sebagai berikut dengan menggunakan teorema .6: Andaikan P.Q dua titik sehingga 2 =
dan
=
Sehingga
=(
Oleh karena 2
=
Jadi
=
)( maka
)= =
=
Dengan demikian terbukti teorema berikut:
dan titik R sehingga 2
=
maka
Teorema .7 : Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi. Catatan : Apabila
=
maka
=
= I. Disini I adalah
transformasi identitas . Jadi : kalau
=
maka kalau I dianggap sebagai translasi. Teorema diatas
tetap berlaku.
Teorema .8 : Jika
sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik 0 (0,0) dan
A (a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik p (x,y) sebagai T ( P) = (x+a,y+b) maka T = Bukti : Untuk P = ( x,y),T(p)=(x+a,y+b) . andaikan P =
(p) maka
=
sehingga p (x+a-0,y+b-0)=(x+a,y+b).karena T(P) = (x+a,y+b) untuk setiap P = (x,y) maka T (P)= P ' = G OA (P). jadi, T = G OA Contoh soal : 1. Jika A = (2,-1) dan B = (3,4) .Tentukan : a. G AB (P) Jika P = (x,y) b. Titik D sehingga G AB (D) = (1,3) Jawab : a. G AB (P) = (x,y) ={(3-2)+ x, (4+1) + y } =(1 + x , 5 + y) Jika P = (x,y)
b. Karena G AB (D) = (1,3) maka D = (1,3) .Karena G AB (P) = (-1 + x , -5 + y) jika P =(x,y) Sehingga D = G AB (1,3) = ( -1 + 1 , -5 + 3) = ( 0, -2)D) = (1,3) maka D = (1,3) .Karena G AB (P) = (-1 + x , -5 + y) jika P =(x,y) Sehingga D = G AB (1,3) = ( -1 + 1 , -5 + 3) = ( 0, -2)
2. Jika A = (3,-1),B = (1,7) dan C = (4,2) adalah titik – titik yang di =
ketahui , tentukan sebuah titik D sehingga Jawaban : Andaikan E sebuah titik sehingga
=
maka E = (4+(1-3),2+(7-(-1)) atau
E =(2,10) .Apabila D titik tengah CE maka D = (3,6) Sehingga jadi ,
=2
Menurut teorema 5 di peroleh
yang di cari adalah (3,6)
=
=2
maka titik D
.
