download materi geseran (translasi)

47 downloads 5221 Views 133KB Size Report
Bukti: Kita pilih sebuah sistem koordinat dengan misalnya t sebagai sumbu y dan sebuah garis tegak lurus pada g sebagai sumbu x. Andaikan A = (a1 a2 ) dan ...
MATERI : GESERAN (TRANSLASI) – KELOMPOK 6 (VI.E) Disusun Oleh: 1. ARI SUKA LESMANA 2. YULAIMA SUPRIHATIN 3. HERVI MARDIANA

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMUPENDIDIKAN

PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA

STKIP – PGRI LUBUKLINGGAU

GESERAN (TRANSLASI) Geseran (translasi) adalah suatu transformasi yang memindahkan semua titik pada bidang dengan jarak yang sama dan arah yang sama.

Ketentuan dan sifat-sifat Teorema 1: Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B maka AA' = BB ' dengan A" = MhMg (A) dan B " = MhMg (B) Bukti: Kita pilih sebuah sistem koordinat dengan misalnya t sebagai sumbu y dan sebuah garis tegak lurus pada g sebagai sumbu x. (x,y)

n

A’(x,y)

A"

A

N

B

B"

0 g

h

Andaikan A = (a 1 a 2 ) dan B=(b1,b2). Kalau N tengah-tengah ruas garis A" B maka harus di buktikan SN(A)=B " . Andaikan persamaan h adalah x = k

(k ≠ 0). Apabila P = (x,y) dan P ' (Mh(P)) maka PP ' memotong h di sebuah titik Q (k,y) dengan Q sebagai titik tengah PP ' . Jadi P = Mh (P) = (2k – x,y) sedangkan Mg (P) = (-x,y). Jadi MhMg (P) = MhMg (P) = Mh{(-x,y)}= (2k-x,y) Jadi pula A " = MhMg (A) = (2x + b 1 .a 2 ) B " = MhMg (B) = (2x + b1.b2)

Oleh karena N titik tengah A" B maka:

 (2k + a1 ) + b1 a2 + b2  N=  − 2 a2     2k + a1 + b1    a + b2  − a1, 2 2 − a2  Sedangkan SN(A)= 2   2   2     SN(A)=(2k+b1.b2)=B " Dengan demikian,maka AA" = BB"

Teorema 2: Apabila AB = CD maka GAB = GCD Bukti: Jika X sebarang,maka harus dibuktikan GAB(X)=GCD(X) Andaikan GAB(X)=X1 dan GCD(X)=X2 Jadi

XX 1 = AB dan XX 2 = CD

Karena AB = CD maka XX 1 = XX 2 berarti X1=X2 sehingga GAB=GCD. Teorema 3: Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan CD sebuah garis berarah tegak lurus pada C dan C

g dan D

h, apabila AB = 2 CD maka GAB =

Mh Mg Bukti: Andaikan P sebuah titik sebarang, jika P=GAB(P) dan P ' =MhMg(P) maka harus dibuktikan bahwa P=P '

P' C’ C’ = MAMg(C) h

B

h

C P

g

A

Menurut ketentuan geseran, PP ' = AB Oleh karena AB = 2 CD , maka PP ' = 2 CD berhubungan C " =MhMg(C), C ∈ g. Maka C " =Mh(C). Jadi D adalah titik tengah CC " sehingga CC " = 2 CD . Oleh karena CC " = PP ' (teorema .1). maka PP " =2 CD = PP ' ini berarti bahwa P=P ' Jadi GAB(P)=MhMg(P) karena P sebarang, maka GAB=MhMg.

Teorema 4 : Jika GAB sebuah geseran maka (GAB)=GBA Bukti: Oleh karena himpunan isometri-isometri merupakan grup bagian dari grup transformasi-transformasi. Maka setiap geseran memiliki balikan (GAB) −1 Dari uraian diatas kita peroleh berturut-turut yaitu: GAB=M h Mg=MgMh

Sedangkan GAB=MhMg=MgMh Sehingga (GAB) −1 =(MgMh)

−1

Mh −1 Mg −1 =MgMh=GBA

Jadi (GAB)=GBA

Hasil Kali Geseran Akan di perlihatkan bahwa setiap geseran dapat di uraikan sebagai hasil kali dua setengah putaran. Teorema 5 : Jika G AB Sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga AB = 2

CD maka G AB = S D SC Bukti : Andaikan G = CD ; K ⊥ g di C, n ⊥ g di D.

B

D C n

A k

Maka CD ruas garis berarah dari k ke n. Oleh karena AB = 2 CD maka sedangkan =(

=

)(

dan )=

(

=

=

. Jadi :

)

atau : =(

I

=

. Dengan demikian maka

=

Teorema 6 : Komposisi suatu geseran dan Suatu setengah putaran adalah Suatu setengah putaran. suatu geseran dan C sebuah titik sebarang . Andaikan E titik

Bukti : Andaikan

yang tunggal sehingga CE = AB . Andaikan D titik tengah CE maka CE = 2

CD .menurut teorema 5 =

maka

=

.Jadi,

=(

)

=

(

)=

I

=

Akibat : andaikan

,

,dan

masing-masing setengah putaran, maka

dengan D sebuah titik sehingga AD = CD

Bukti : Kita peroleh berturut – turut A

B

D

C

=

. jadi ,

=

=

Andaikan sehingga

maka 2 BC = 2 AX atau BC = AX .jadi ,

= =

.

Perhatikan dua geseran

dan

. Maka

sehingga dapat kita tulis bahwa (E) =

=

dengan

(A) = B dan

(B) = C .

(A) = C . apabila E titik sebarang , maka sedangkan G AB (E ' )=E " sehingga E ' E " =

=

.

B E’ Q

A

C

E

P

R

Maka

= E” dengan

Jadi

=

=

E’

sehingga G BC (E) = E”=

(E).

.

Hal ini dapat juga dilihat sebagai berikut dengan menggunakan teorema .6: Andaikan P.Q dua titik sehingga 2 =

dan

=

Sehingga

=(

Oleh karena 2

=

Jadi

=

)( maka

)= =

=

Dengan demikian terbukti teorema berikut:

dan titik R sehingga 2

=

maka

Teorema .7 : Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi. Catatan : Apabila

=

maka

=

= I. Disini I adalah

transformasi identitas . Jadi : kalau

=

maka kalau I dianggap sebagai translasi. Teorema diatas

tetap berlaku.

Teorema .8 : Jika

sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik 0 (0,0) dan

A (a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik p (x,y) sebagai T ( P) = (x+a,y+b) maka T = Bukti : Untuk P = ( x,y),T(p)=(x+a,y+b) . andaikan P =

(p) maka

=

sehingga p (x+a-0,y+b-0)=(x+a,y+b).karena T(P) = (x+a,y+b) untuk setiap P = (x,y) maka T (P)= P ' = G OA (P). jadi, T = G OA Contoh soal : 1. Jika A = (2,-1) dan B = (3,4) .Tentukan : a. G AB (P) Jika P = (x,y) b. Titik D sehingga G AB (D) = (1,3) Jawab : a. G AB (P) = (x,y) ={(3-2)+ x, (4+1) + y } =(1 + x , 5 + y) Jika P = (x,y)

b. Karena G AB (D) = (1,3) maka D = (1,3) .Karena G AB (P) = (-1 + x , -5 + y) jika P =(x,y) Sehingga D = G AB (1,3) = ( -1 + 1 , -5 + 3) = ( 0, -2)D) = (1,3) maka D = (1,3) .Karena G AB (P) = (-1 + x , -5 + y) jika P =(x,y) Sehingga D = G AB (1,3) = ( -1 + 1 , -5 + 3) = ( 0, -2)

2. Jika A = (3,-1),B = (1,7) dan C = (4,2) adalah titik – titik yang di =

ketahui , tentukan sebuah titik D sehingga Jawaban : Andaikan E sebuah titik sehingga

=

maka E = (4+(1-3),2+(7-(-1)) atau

E =(2,10) .Apabila D titik tengah CE maka D = (3,6) Sehingga jadi ,

=2

Menurut teorema 5 di peroleh

yang di cari adalah (3,6)

=

=2

maka titik D

.