DENSITY OF WEIGHTED WAVELET FRAMES CHRISTOPHER HEIL ...

Download PDF
2 downloads 0 Views 255KB Size Report
Comment
co-affine wavelet systems, and to systems consisting only of dilations, obtaining some ..... y denote the left-invariant Haar measure on A. S ince μ is left-invariant,.
     !"##$%& ')(+*,.-0/21+34(654*7(258,:9@?+,:/6/A;CBED2/)FE=6,.1GB +H IKJMLKNPORQLTS ,VU)W@XZY4[0\^]`_badc7egfEh`iegfkjmlknbopnqfkrsKfknboutvUwopxKnhzy|{Knq}~lpt~rKZ€‚C]`ƒ„…]&a hv{Ki‡†…ˆKc7‰Š] ƒ egfEhŒ‹4neg}~x oEUŽrK{Kjbokegt~{daopxKnm{‡opxKnq‹)nmeg}~x oknmi ‹h nm‘gnboufp’0fpopnm“”}~nm{Knmlkhzoknmi s ’•W6a8c2awhv{i•†–egf —˜\^W6™kc2™k†G_ ›šœ† \VP™kžm_bŸp  [ P¡wŸp  [ W£¢v¤¥‡¦#žb§ ˆ)\^P™Mžm_Xc6¨ª©&,:{•okxKegf PhvRnmlq‹)nŒiKnb«P{n‘gt‹)nml|hv{Ki¬rK­nml ‹)nmeg}~xªopnmi#in{fke opegnf£® ¯ ¡ \Žc_ hv{i¬® ¯ƒ \Žc_ tvU2c@‹6e opx lpnfpRnjboopt # “ > & û ¾ * ÖØÒªÑzÒ Î¼Ë­ÑzÒ ÏŽË à & ø  Ï^Ë à &  ½ • Ï^Ë à & ø  ÏŽË à & ½ ô > > M M M M ü Öè ÙÓVÉvÖÓ^ԌÔz×PÕzÓ^ԍÝØÒÜμËdь×PÕ̕Ëdԍ]Õ ‘û )  ü õ  .  ëØÔË ø8ù  #  #  # øØù # # # ý ” > > M # “‡ü M ü M ü M # “ M M M M ˉ ­Ñ|× à Ó^ê­Ò0ͬêP×RÏ^áÙÒË­ Î •8ëdÕzÖÙÓVÔ£ÓVÔ|Ԝ×R՜ÓVÔmÝ8Ò0ܕμËdÑq×Rգ̕ËdԍÕ # ü # ü # ü ½ êP×RÏ^áÙÒÔ Ë­Î ” ¾ * ÖTáØÔªë %'& ò¼ø2ôùÙö ɪ׭ÍÓ^͏՜Ò0ÑzԜÒ0É Õ×RÕÌZˏÔm] Õ ‘ ò # ü # ü # ü ½ ö ԍҪÕzÔ|Ë­Î2ÕzÖÙÒ&μ˭ÑzÌ %'& ò # “ #ô M”Ùö ¾ ò É ö * ÖÙ҅ÚÙÑzËTËRÎ2ÓVԌԜӎ̕Ó^Ï^×­Ñq՜˕՜ÖØ҅ÚÙќËTË­Î2ËRÎ+ÚØ×RÑœÕ ò Û ö ¾ ò Ü ö iTáØÚÙÚ8ˏԍÒ#՜ÖØ×RÕ ò Pô ö  % & ò¼ø2ôùÙö A% & ò.ówôzõ ö ¾ * ÖÙÒ0Í Ò ËdáÙÏVÜâÖØ×Kê­Ò ò Pô . ö î òpówôzõ ö|÷ ò ô Kö î ò.ø6ôœùAöE÷­ò ~ô 4ö μËdь.ԍËdÌZÒ ò ô Kö ë ò ~ô )ö  % & ¾ * ÖÙÒ0ќҪμ˭ÑzÒ­è ë è ò.ówôzõªö  ÷dò¼ø2ôùÙö î ò ô Kö+÷dò ~ô )ö  î ò ô  )ö  % & ô ÔœË ò¼ø6ôœùÙö  % & òpó8ôvõ ö ¾ ԜÓ^Í à ՜ÖÙÓVÔÏ^Ҫ̬̕×Ùë è ҅ɪ×RÍ à ӎêdÒ×ZáØÔœÒ Î¼áÙÏ6ќÒ0ӎ͏՜Ò0ќÚØќҪÕz×PÕzӎËdÍ#Ë­Î2ÝØÍØÓ¸Õz҅áÙÚÙÚwÒªÑ`ÜAÒ0ÍØԜӸÕmÞ ¾ 

; 5 6Š( "'6Š(`w n:˜px (18$ 8 7(:~( 6" @ B  òpó8ôvõ ö ' E  òò Pô . öE÷dò 6ô Rö  ÷dòpó8ôvõ öö A Eú DGF'H A D ƒ  3 ò  A % & ò 6ô Rö ö ƒ  ý iTÓ^ÍØÉªÒ Ó^Ôu׭ќÛØÓ¸ÕzÑz×­ÑœÞ ×­Í؈ Ü “ F ô # > ×­ÍØÜÕzÖÙÒªÑzÒ Î¼ËdÑœÒ  ð ò  ÷­ò 6ô Röö  4-!ÛTÞ }uÑzË­ÚwËdԜӸÕzӎËdPÍ ‘ ¾ æ`Ë è ÉvÖÙËTËdԜÒ&×RÍTÞ

, .



























"!

#!







#!

#!

"!

&





"!



.





&

#!





.

&



























































 "( ÕzÖØ×PÕ

( *…í



/

Ò Õ Të -, ½ ÛwÒ à ӎêdÒªÍ ?¾ , Î ò.ówôzõªö B† %  ò 2ô Rö î 



 ,  ò % A %

ü  ö ë8՜ÖØÒªÍ è …Ò ÖØ×Kê­Ò&μËdÑ`Ò0ê­ÒªÑzÞ ò 6ô Rö    òò.ówôvõ ö  ÷dò 6ô Röœö î ý 









  œ   0 u„

TáØÚÙÚ8ˏԍÒqÕzÖØ×PÕEÕzÖÙÒªÑzÒÒ ìAÓVÔmÕvÔE×&Ú8ËdÓŽÍÕ ò¼ø2ôùÙö  % A %  òœò.ówôzõ ö  ÷zò 2ô Röö ¾!* ÖØÒªÍ ò¼ø2ôùÙö î pò ó8ôvõ ö  ­÷ ò 2ô Rö+÷­ò Pô . ö Î¼Ë­ÑŒÔœË­Ì•Ò ò Rô . ö  % ¾ iTÓ^ÍØÉ Ò è Ò&×­Ï^Ԝ˕ÖØ×Kê­Ò ò¼ø2ôùÙö  % ë è Ò&É0×RÍéÉvÖÙÒ0ÉvÐ ÕzÖØ×PÕ ò 6ô Rö  ÷­ò.ówôvõ ö î ò Pô . öE÷dò¼ø2ôùÙö  î ò û ô . ø  øØùÙö  %  ý * ÖÙÒ0ќҪμ˭ÑzÒ òpówôzõ ö  ò 2ô RöG÷ %  î %  ò 2ô Rö ¾ zr"15f5 ~i







#!



 





"!

"!



%





/

 * ‰ dË Ñ…Ò0×dÉvÖ ?, ½ ë՜ÖØÒªÑzÒ¬Ò ìAÓ^ԍÕzԇ×ɪ˭ÍØԍÕz׭͏Õ 

" ( (

ԍáØÉvÖ@՜Ö8×PÕ Î¼ËdхҪê­Ò0ÑœÞ ò 6ô Rö ë ,

òpó8ôvõ ö   ë

.





ø ù4ý J  ô þ ò.ø6ôœùAö K . þ ò 6ô Rö  ô þ ò.ówôzõªö 0K > G 0 0 > :B B ø .  A A úND  A  DyD II I I I I I I zr"15f5 í Ò Õ ò 2ô Rö   ×­ÍØÜ ò.ówôzõ ö   Û8Ò à ӎêdÒªÍ ¾ iTÒ Õ  î þ òò 6ô Rö  ÷4ò.ówôzõ öœö  ×­ÍØÜ´Ï^Ò Õ # î  ¾* ÖÙÒªÍ è Ò&ɪ˭̕ÚÙáAÕzÒ ×­ÔqμËdώÏ^Ë è Ô  J þ ò 2ô Rö  ô þ ò.ówôzõªö  K î J  ô þ òœò 6ô Rö  ÷­òpó8ôvõ öö  K I I I I I I î I J wô þ ò ½ ô . ö  K I î NòII M:96ö 8 Gò  ö II J





&



















9 ‹

>

î ‹9 î

2 & >

2 & >

2 &

.

?>-@ 8 G ò 5 ö . 5

2"& 0 0





0 0?>=@ M:9)ø ½ J wô þ .ò ø6ô û) ö  K . ù . ø  I I & & I I ½ 0 & 0 & ø J wô þ ò.ø6ô û) ö  K . ù . ø 

2 &

2 &

î







I

I

û ½ I J wô 0 0 ø & &  û I



&

0

0 0

î G

0 0

&

0 

&

&

0



ø 

I

½



 &



&

>

&



&

0

î 

&

 +



wô

J

+

I I

þ ò¼ø2ô ö  K

0 0

>@

ø

I

+

. . I

J 

I K

+

I



I

I



ø

þ ò.ø6ô ö K

wô

+

+

. I

I

ø . I I > J þ òò 6ô Rö  ÷­ò.ówôzõªöö  ô þ ò¼ø2ô ö  K



.

+

ø

+

. .

I

þ ò.ø6ô ö 

wô

J

ø .



 & .

I

þ ò¼ø6ô ö K ø

I

.

ø ø

+

I



.

+

I

ø

ø .

+

I ô þ òœò.ówôzõªö ÷dò 2ô RöG÷dò¼ø6ô öö  K . ø ø .  II ø II ~ý J  ô þ ò.ø6ô ö  K . î   0 0 > CB ø .  A A úED  A B  DyD II I ‘ ¾ ‹ ¾  %'##A #E ! "$#+%"$( ) ò Û ö * æŒË è–è Ò à Ó^ê­ÒqÕzÖÙÒÚÙÑzˏ˭Î8Ë­ÎwÚØ×­ÑÕ ò Û ö I ËRÎ * ÖÙÒªËdќÒ0Ì ½­¾ ` È ÔzԜáÙÌ•Ò ÕzÖØ×PÕ  –ÿ ò " ö ×­ÍØÜ    ×­ÑœÒ à Ó^ê­Ò0ÍCԜáØÉvÖ@՜ÖØ×RÕ  ð ò   ö   -×RÍØÜ   ò  ö î . ¾  áÙÑ à Ëd×RÏ4ÓVÔq՜ËԜÖÙË è ÕzÖØ×PÕ " ò  ô  ö ÜAËTÒ0Ô|ÍÙ˭ՌÚ8ˏԜԜÒ0ÔzÔ|×•ÏŽË è ÒªÑqμÑv×R̕Ò&Û8ËdáÙÍØÜ ¾

î G

0 0

>

I

J









&

+

+

+

+

/



      

‰ Ó¸ì ×RÍTޛŒ/, . ¾ å ÒÖ8×Kê­Ò'   ÿ ò  ô * ö ëԍË8ë£ÔœÓŽÍØɪÒé՜ÖÙÒ7ÔœÒ ÕvÔ % & μ˭ÑzÌ ×CÍÙÒÔmÕzÒ0Ü)ë Ó^ÍØÉ ÑzÒ0×dԍÓ^Í à ëÒªìAÖØ×RáØԍ՜Ó^ê­Ò&ԜÒ0çáÙÒªÍ8É Ò…ËR& ÎGԍáØÛØԍҪÕzÔ|Ë­Î . ÕzÖÙÒªÑzÒ&̇áØÔÕŒÒ ìAÓVÔmÕŒÔœË­Ì•Ò  , ½ ԜáØÉvÖ՜ÖØ×RÕ ø ù   Œý J  ô þ ò¼ø2ôùÙö K . 0 0 > ø . @  I I ‰ Ó¸ì  ,  ò  ½ ö ¾ * ÖÙÒªÍ6ëGԜÓ^ÍØÉ ÒI   ò  ö î .Øë2I ÛTޛ}uÑzË­ÚwËdԜӸÕzӎËdÍ ‹ è Òɪ×RÍâÝ8ÍØܘ×ÚwË­Ó^ÍdÕ ò 6ô Rö   ԜáØÉvÖ#ÕzÖØü ×PÕ  AB%  ò 6ô Rö î ý í Ò Õ , ½ Û8Ò ÉvÖØËdԜҪÍéԍËZ՜Ö8×P%Õ  ò  ü  ö    ¾ * ÖÙÒªÍéÛTÞ í Ҫ̬̕4× gØë è ÒÖ8×Kê­Ò՜ÖØ×RÕ  % òòpówôzõ ö  ÷­ò 6ô Röö   B % ý

A CB Eú DGF'H æŒË è ë)ԜӎÍ8É Ò  ð ò   ö   -›ë è Ò?Q0RFS !R_.0N S aKopthvKRnhvlœ©  5)hv‘¹hv{aA*E©gaÙ')hvfMh bKbhaA3Ù©Ù?£©gaÙ(6nmeg‘VaA'+©gaAhv{i+nm{Kfpe o:’ªaTnm°0jmnmfkfknmfaØhv{KiZ‘gtªjhv‘ge bœhzopegt~{ZtvU U^lkhv“nfaeg{`KlpnKhvlMhzopegt~{©  T4n{ninmo.optKa 3K©F3K©ga­(2nmeg‘Va­'+©ga­hv{Ki·£©R>2e dnmlpn{ ope¹hzokegt~{ hv{Ki&opxK n )hv‘ge¹hv{ ª9Tt‹@opxKnmt~lknm“&a  S a R4a 5 TU706aA\. ³ 808 _b©  Q0Ea\ @J1 \ !R_.0N S

`U`_N S   4tœ‹6{K!e Ra#"Z# © $+rPhvfke »:hzy{Kn fp’0fpopnm“fhv{KiokxKnZ')hv‘giKnm&l t~% {éjmt~{Kie okegt~{a+eg{é3wlpt0j~©6'4t~{U.©6(+hvlp“t~{Kegj ;+{Phv‘ ’0fkegf)'\ "oœ©v(2t~‘ ’ t ~n~(a "&;£a 60707³œ_ba0'4t~{ oknm“© "…hzokx©ga ;2“nmlkegjhv{ "…hzokxKnm“Œhzopegjhv‘P-0tªjmegnmo:’ aª3wlptœª» egiKnm{Kjmn aP*6,MaKopthvKRnhvlœ©  W£')xlkegfpopnm{Kfknm{ad1£©gaK>+nm{K}K) a +©gaRhv{Ki&(2nmeg‘VaR'+©R>+nm{Kfpe o:’tvUw?GhvsRt~l2UŽlMhv“nmfa ` `_N S MQU> `_E=/ S .0\ >?Q0RFS a *Ha 60806a507 TKaA\p ³ 80808 _M©

R_.0N S )   >GhveV& a +£©gaR9Thvlkfkt~{daR>£©R*E©ga­hv{Ki -0Rnmnm}~‘gn~a> © "Z©K·GhvrKsRnmjMxKegnmfœa ,M©~/xKn)‹hm nm‘gnmo8oklkhv{KfpUŽt~lk“&aœokeg“nb»VUŽlknmºªrKnm{Kjb’ ‘gt0jhv‘ge bhzokegt~{|hv{Ki|fkeg}~{Khv‘Phv{Phv‘ ’0fkegfœ a 1324252 a 9THa 80W/³ R ³ 707aA\. ³ 80807 _b© 6_\^.0R4CKS 1 R7 Q0\ >:S86 ;=1LQ0\ Z  8 >GhvrKsRnmjMxKegnmfœaR,M© 6F1 R;: 1LB/AEa\^1C Q0R=< .>%1N 1 /AC aP-0,: ; "Za3wxKeg‘¹hviKnm‘gKxe¹haT\p ³ 80806 _M©  ³ 7u²Pnegjkxªopeg{K}~nmlœaª(u©ª?£©ga hv{KiŒ?+@ l t~? sK{Knmlœav3Ø© )hv{KhvjMx|fkKhvjnmf8tvUdiegfpoplkegsKropegt~{KfØiKnb«P{Knmis ’£injmt~“Rt~fke opegt~{ “nmopxKtªiKfœa,Ma 9 .0/ ©gaT·‡negfpfœaØ?£©ga8hv{Ki‡·eg‘gfpt~{aA56©Ù= ©A;6y{Kn~aÙºªrPhvfke »¼hzy|{Kn`hv{Ki•jmtv»¼hzy{Kn ‹h nm‘gnbokfa egF{ E 1 ZUQ0R_]; 1 N 1 /AC Ua 3K© - o t~? /j ª‘gnmlØhv{Ki?£©œ·+egnm}~tKa okthv­nhvl©  ³ 6£?+l t~? jMxKnm{Keg}KazBq©gazhv{Kiu*2h bhz«P{ Gkhzoptœ tKa (u©gaz1+{E9Ahv{KiPhvr H fA{njmnmfkfkhvlp’Ein{fke o:’Ejmt~{KiKe opegt~{KfTUŽt~lTfMhv“‘geg{K} hv{Kieg{ªopnmlkRt~‘¹hzopegt~{tvUsPhv{i»:‘geg“e opni U^r{Kjbokegt~{Kf a  S : Q0R_]UQ0R 9 .0/ `FEa/ S .U\ > Q0RFS !R_.0N S a R4a 507a5 TKaA\. ³ 808 Tª_b©  ³ u9Ahv{KiPhvraØ(u©Ù1+{‡okxKnŒiKnm{Kfpe o:’ZtvU6KxKhvfknb»:fkKhvjn`nb°Khv{Kfkegt~{Kf5a 1324252 64\^.0R4CKS 1 R7KQ0\ >?SV6 ;H1cQU\ Z 4a 9Ta ³~@³ 06R³~@³ 0WaØ\. ³ 80805 _M©  ³ 0  *2hv“Œhv{PhzopxPhv{a 3P©gaØhv{i¬-ªopnm}~nlaA/E©T,:{Kjmt~“K‘gnbopnm{KnmfkfqtvU6fpPhvlkfpn|jmt~xKnmlknm{ªoqfpokhzoknmfa

`U`_N SYMQ0>!`_E=/2S a CadK³ T 0 R@³ 05aÙ\. ³ 808 _b©  .0\ >?Q0RFS !R_.0N S )  ³ 8 *6egn ­nm‘V5a "Z© W8t~{=2nmrK“Œhv{{hv‘g}~nslMhvfhvfpfktªje¹hzopnmi#‹6e opx¬Phveglkf£tvUG‘¹hzo.okegjmnmfeg{¬9Tegn`}~lkt~rKfœa 9 .0/