Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de Segundo Grado -- página 1

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS Ejercicio 1: Indica si son ecuaciones de segundo grado las siguientes ecuaciones: a)x2 – 5x + 8 = 2x + 4 b) x2 + 4x + 4 = (x – 2)(x + 3) c) x2 + 2x – 1 Solución:

a) El primer paso es pasar todo a uno de los dos miembros de la igualdad: x2 – 5x + 8 – 2x – 4 = 0. Agrupamos los términos semejantes y nos queda: x2 – 7x + 4 = 0 Como el mayor grado de la incógnita es 2 podemos afirmas que es una ecuación de segundo grado. b) Primero operamos los paréntesis: x2 + 4x + 4 = x2 + x – 6. Pasamos, ahora, todo al primer miembro de la ecuación: x2 + 4x + 4 – x2 – x + 6 = 0 Agrupando los términos semejantes nos queda: 3x + 10 = 0 Como no hay ninguna incógnita elevada al cuadrado podemos afirmar que NO es una ecuación de segundo grado. c) No es una ecuación ya que es un polinomio de segundo grado que no está igualada a nada.

Ejercicio 2:

Dada la ecuación x2 – 2x – 3 = 0, indica si los siguientes valores son solución de la ecuación o no: x1 = 3; x2 = 2; x3 = –1; x4 = 1 Solución: a) x1 = 3. Sustituimos en la ecuación la incógnita por su valor y operamos: 32 – 2·3 – 3 = 0 ⇒ 9 – 6 – 3 = 0 ⇒ 0 = 0 Se cumple la igualdad, por tanto el valor 3 es solución de la ecuación. b) x2 = 2. Igual que antes sustituimos y operamos: 22 – 2·2 – 3 = 0 ⇒ 4 – 4 – 3 = 0 ⇒ – 3 = 0 No se cumple la igualdad, por tanto el valor 2 NO es solución de la ecuación. c) x3 = –1. Igual que antes sustituimos y operamos: (–1)2 – 2·(–1) – 3 = 0 ⇒ 1 + 2 – 3 = 0 ⇒ 0 = 0 Se cumple la igualdad, por tanto el valor –1 es solución de la ecuación. d) x4 = 1 Como ya hay dos soluciones a la ecuación este valor no puede ser solución ya que una ecuación de segundo grado tiene dos soluciones.

Ejercicio 3:

Escribe en forma general la siguiente ecuación: x2 + (1 – x)2 = 5 – (2 – x)2 Solución: Primero elevamos al cuadrado: x2 + (1 + x2 – 2x) = 5 – (4 + x2 – 4x). Ahora quitamos paréntesis: x2 + 1 + x2 – 2x = 5 – 4 – x2 + 4x Llevamos todo al primer término: x2 + 1 + x2 – 2x – 5 + 4 + x2 – 4x = 0 Finalmente agrupamos los términos semejantes: x2 – 6x = 0

Ejercicio 4: Escribe en forma general la siguiente ecuación:

5x + 1 x2 +1 x −1 − = 2− 6 2 3

Solución: 3( x 2 + 1) 2( x − 1) 6 ⋅ 2 5x + 1 − = − 6 6 6 6 2 Quitamos denominadores: 3(x + 1) – 2(x – 1) = 6·2 – (5x + 1) Ahora quitamos los paréntesis, con cuidado: 3x2 + 3 – 2x + 2 = 12 – 5x – 1 Llevamos todo al primer término: 3x2 + 3 – 2x + 2 – 12 + 5x + 1 = 0 Y agrupamos los términos: 3x2 – 3x – 6 = 0 Reducimos a común denominador:


Ejercicio 5:

Resuelve la ecuación x2 – 10x + 16 = 0 Solución: − b ± b 2 − 4ac 2a Los coeficientes son: a = 1; b = –10; c = 16 Sustituyendo los coeficientes en la fórmula y operando obtenemos:

Tenemos que utilizar la fórmula: x =

⎧10 + 6 16 = =8 10 ± 100 − 64 10 ± 36 10 ± 6 ⎪⎪ 2 2 x= = = = =⎨ 2 ⋅1 2 2 2 ⎪10 − 6 = 4 = 2 2 ⎩⎪ 2 Luego las soluciones son x = 2; x = 8 − (− 10) ±

(− 10)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 16

Ejercicio 6:

Resuelve la ecuación 4x2 + x + 4 = 6 + 3x Solución: Primero tenemos que ponerla de la forma general, llevando todo a un miembro u agrupando términos: 4x2 + x + 4 – 6 – 3x = 0 ⇒ 4x2 – 2x – 6 = 0 Los coeficientes son: a = 4; b = –2; c = –6 Sustituyendo los coeficientes en la fórmula de la ecuación de segundo grado y operando obtenemos: ⎧ 2 + 10 12 3 = = − (− 2 ) ± (− 2 )2 − 4 ⋅ 4 ⋅ (− 6) 2 ± 4 + 96 2 ± 100 2 ± 10 ⎪⎪ 8 8 2 x= = = = =⎨ 2 10 8 − − 2⋅4 8 8 8 ⎪ = = −1 8 ⎩⎪ 8 3 Luego las soluciones son x = –1 ; x = 2

Ejercicio 7:

Resuelve la ecuación x2 + 9 = 5x Solución:

La forma general de la ecuación es x2 – 5x + 9 = 0 Los coeficientes son: a = 1; b = –5; c = 9 Sustituyendo los coeficientes en la fórmula de la ecuación de segundo grado y operando obtenemos: − (− 5) ±

(− 5)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9

5 ± 25 − 36 5 ± − 11 = = 2 ⋅1 2 2 Como no podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo, resulta que esta ecuación no tiene soluciones reales. x=

Ejercicio 8: Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas: a) 2x2 – 392 = 0 b) 4x2 + 2x = 0 Solución:

a) La ecuación es incompleta del tipo b = 0, por tanto lo mejor es despejar x2 , siguiendo los pasos habituales: 392 ⇒ x 2 = 196 2 x 2 − 392 = 0 ⇒ 2x 2 = 392 ⇒ x 2 = 2 Ahora calculamos la raíz cuadrada y tomamos tanto su valor positivo como negativo para obtener las dos soluciones:

x = ± 196 ⇒ x = ±16 Por tanto las dos soluciones son 16 y –16 b) La ecuación es incompleta del tipo c = 0, por tanto lo mejor es sacar factor común x: 4 x 2 + 2x = 0 ⇒ x (4 x + 2) = 0 Para que el producto de dos números sea cero uno de los dos tiene que ser cero. Por tanto: ⎧x = 0 ⎪ ⎨ −2 ⎪4 x + 2 = 0 ⇒ 4x = −2 ⇒ x = 4 = −2 ⎩ Luego las soluciones son o y –2


Ejercicio 9: Resuelve la ecuación:

x + 2 x2 − 4 x2 + 2 − = 2− 4 3 6

Solución: Primero tenemos que ponerla de forma general, para ello hay que reducir a común denominador, quitar denominadores y agrupar los términos en un miembro de la ecuación. Así obtenemos: 3( x + 2) 4( x 2 − 4) 12 ⋅ 2 2( x 2 + 2) − = − ⇒ 3(x + 2 ) − 4 x 2 − 4 = 12 ⋅ 2 − 2 x 2 +2 ⇒ 3x + 6 − 4 x 2 + 16 = 24 − 2x 2 − 4 ⇒ 12 12 12 12

(

)

(

)

⇒ 3x + 6 − 4 x 2 + 16 − 24 + 2 x 2 + 4 = 0 ⇒ −2 x 2 + 3x + 2 = 0 Así hemos obtenido que los coeficientes son: a = –2 ; b = 3; c = 2 Sustituyendo los coeficientes en la fórmula de la ecuación de segundo grado y operando obtenemos: 2 −1 ⎧ −3 + 5 = = − 3 ± 3 2 − 4 ⋅ (− 2 ) ⋅ 2 − 3 ± 9 + 16 − 3 ± 25 − 3 ± 5 ⎪⎪ − 4 4 2 − x= = = = =⎨ 3 5 8 − − − 2 ⋅ (− 2 ) −4 −4 −4 ⎪ = =2 −4 ⎩⎪ − 4 −1 Luego las soluciones son x = 2 ; x = 2

Ejercicio 10: Resuelve la ecuación

x+4 x − =2 x + 2 x −1

Solución: Primero tenemos que ponerla de forma general, para ello hay que quitar denominadores (¡cuidado que son expresiones algebraicas!) y agrupar los términos en un miembro de la ecuación. Así obtenemos: (x + 4)(x – 1) – x(x + 2) = 2(x + 2)(x – 1) ⇒ (x2 – x + 4x – 4) – (x2 + 2x) = 2x2 – 2x + 4x – 4 ⇒ ⇒ x2 – x + 4x – 4 – x2 – 2x = 2x2 – 2x + 4x – 4 ⇒ x2 – x + 4x – 4 – x2 – 2x – 2x2 + 2x – 4x + 4 = 0 ⇒ ⇒ –2x2 – x = 0 Hemos obtenido una ecuación de segundo grado incompleta del tipo c = 0. Por tanto, para resolverla, sacamos factor común x: x(–2x – 1 ) = 0 Para que el producto de dos números sea cero uno de los dos tiene que ser cero. Por tanto: ⎧x = 0 ⎪ ⎨ 1 −1 ⎪− 2 x − 1 = 0 ⇒ −2x = 1 ⇒ x = − 2 = 2 ⎩ −1 Luego las soluciones son x = 2 ; x = 2

Ejercicio 11: Calcula el valor del discriminante e indicar que tipo de solución tiene las ecuaciones: a) x2 – 16 x + 39 = 0 b) 9x2 + 6x + 2 = 0 c) 4x2 – 20x + 25 = 0 Solución: Sabemos que el discriminante es ∆ = b2 – 4ac. a) Los coeficientes son a = 1; b = –16; c = 39. Por tanto el discriminante vale: ∆ = (-16)2 – 4·1·39 = 256 – 156 = 100 > 0 Como el discriminante es mayor que cero, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas. b) En este caso los coeficientes son: a = 9; b = 6; c = 2. Por tanto el discriminante vale: ∆ = 62 – 4·9·2 = 36 – 72 = –36 < 0 Como el discriminante es menor que cero, la ecuación no tiene soluciones reales. c) En esta ecuación los coeficientes son a = 4; b = –20; c = 25. Por tanto el discriminante vale: ∆ =(–20)2 – 4·4·25 = 400 – 400 = 0 Ahora el discriminante vale 0, por tanto la ecuación tiene una solución doble.

Ecuaciones de Segundo Grado -- página 4 Ejercicio 12: Indica, sin resolverlas, cual es la suma y el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones: a) x2 – 3x – 4 = 0 b) 2x2 + 3x – 6 = 0 c) 12x – 3x2 = 0 Solución: Para resolver este ejercicio tenemos que utilizar que: Suma =

−b c ; Producto = a a

a) Los coeficientes son: a = 1; b = –3; c = –4. Por tanto −(−3) −4 S= =3; P = = −4 1 1 b) Los coeficientes son: a = 2; b = 3; c = –6. Por tanto −4 −3 S= ;P= = −2 2 2 a) En esta ecuación incompleta los coeficientes son: a = –3 ; b = 12; c = 0. Por tanto 0 −12 S= =4;P= =0 −3 −3

Ejercicio 13: Halla dos números sabiendo que su suma es 7 y su producto es 10. Solución: Si llamamos S a la suma y P al producto, sabemos que una ecuación de segundo grado se puede escribir como: x2 – Sx + P = 0. En nuestro caso tenemos x2 – 7x + 10 = 0. Las soluciones de esta ecuación son los números buscados. Como los coeficientes son: a = 1; b = –7; c = 10, la soluciones de la ecuación son (aplicando la fórmula) ⎧ 7 + 3 10 = =5 − (− 7 ) ± (− 7 )2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 10 7 ± 49 − 40 7 ± 9 7 ± 3 ⎪⎪ 2 2 x= = = = =⎨ 2 ⋅1 2 2 2 ⎪7 − 3 = 4 = 2 2 ⎩⎪ 2 Luego los números pedidos son 5 y 2, que efectivamente suman 7 y su producto es 10

Ejercicio 14: Encuentra una ecuación de segundo grado sabiendo que sus raíces son 1 y –5 Solución: Con estas raíces tenemos que: Suma = –4 y Producto = –5 Como sabemos que la ecuación de segundo grado se pude poner como x2 – Sx + P = 0, en este problema tenemos: x2 – (–4)x + (–5) = 0 ⇒ x2 + 4x – 5 = 0 Ésta es la ecuación pedida.

Ejercicio 15: Encuentra una ecuación de segundo grado, con coeficientes enteros, sabiendo que sus raíces son 6 y Solución: −4 −4 14 ; Producto = 6 ⋅ = −8 = 3 3 3 Aplicando la fórmula de la Suma y el Producto obtenemos: 14 x2 − x − 8 = 0 3 Como nos piden coeficientes enteros, hay que quitar los denominadores, entonces la ecuación pedida nos queda: 3x2 – 4x – 24 = 0

En este caso tenemos que: Suma = 6 +

Ejercicio 16: Encuentra una ecuación de segundo grado sabiendo que tiene la raíz doble 5 Solución: Como tiene una solución doble, tenemos que: Suma = 5 + 5 = 10; Producto = 5 · 5 = 25 Aplicando la fórmula de la suma y el producto obtenemos la ecuación pedida: x2 – 10x + 25 = 0

−4 3

Ecuaciones de Segundo Grado -- página 5 Ejercicio 17: Calcula el valor de k para que las siguientes ecuaciones tengan una raíz (solución) doble: a) x2 + 6x + k = 0 b) 2x2 + kx + 8 = 0 Solución: Para que tenga una solución doble el discriminante tiene que valer 0. Además el discriminante es ∆ = b2 – 4ac. a) Los coeficientes son: a = 1; b = 6; c = k. Por tanto: ∆=62 – 4·1·k= 36 – 4k. Igualando a cero el discriminante y despejando obtenemos k: 36 36 − 4k = 0 ⇒ 36 = 4k ⇒ k = ⇒k=9 4 b) Los coeficientes son: a = 2; b = k; c = 8. Por tanto: ∆=k2 – 4·2·8= k2 – 64. Igualando a cero el discriminante y resolviendo la ecuación obtenemos k:

k 2 − 64 = 0 ⇒ k 2 = 64 ⇒ k = ± 64 ⇒ k = ±8 Por tanto k tiene en este caso dos posible valores 8 y –8

Ejercicio 18:

En la ecuación 2x2 – mx + 3 = 0 se sabe que una raíz es 3. Calcula la otra y el valor de m Solución: Llamamos a la otra solución “s”. Sabemos que el producto de las soluciones es

c . a

En este caso tenemos (a = 2; c = 3): 3 3⋅s = 2 Despejando obtenemos s: 3 3 3 1 3⋅s = ⇒ s = 2 = = 2 3 6 2 Como además tenemos que las suma de las soluciones es

−b a

En este problema es (b = –m; a = 2): 1 −(− m ) 3+ = 2 2 Sólo falta despejar m de esta ecuación para obtener lo pedido: 1 −(− m ) 7 m 3+ = ⇒ = ⇒m=7 2 2 2 2 Luego m vale 7

Ejercicio 19: Halla dos números naturales consecutivos cuyo producto es 506. Solución: Si un número es x, el otro tiene que ser x + 1. Por tanto obtenemos: x(x + 1) = 506. Ahora hay que resolver la ecuación, para ello primero lo ponemos en la forma general: x(x + 1) = 506 ⇒ x2 + x = 506 ⇒ x2 + x – 506 = 0 Aplicando la fórmula a esta ecuación obtenemos (a = 1; b = 1; c = –506) ⎧ −1 + 45 44 = = 22 − 1 ± 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 506 ) − 1 ± 1 + 2024 − 1 ± 2025 − 1 ± 45 ⎪⎪ 2 2 x= = = = =⎨ 2 ⋅1 2 2 2 ⎪ − 1 − 45 = − 46 = −23 ⎪⎩ 2 2 Como nos piden dos números naturales, rechazamos la solución –23 Por consiguiente los números pedidos son 22 y 23.


Ejercicio 20: Halla dos múltiplos de cuatro consecutivos cuya suma de sus cuadrados es 400 Solución: Si uno de los múltiplos es x, el otro tiene que ser x + 4 (recuerda que los múltiplos de 4 van de cuatro en cuatro). Por tanto el enunciado del problema lo podemos escribir como: x2 + (x + 4)2 = 400 Ahora hay que resolver la ecuación, para ello operamos para ponerla en forma general: x2 + (x + 4)2 = 400 ⇒ x2 + x2 + 16 + 8x = 400 ⇒ x2 + x2 + 16 + 8x – 400 = 0 ⇒ 2x2 + 8x – 384 = 0 Tenemos que los coeficientes son a = 2; b = 8; c = –384 Aplicando la fórmula a esta ecuación obtenemos: ⎧ −8 + 56 48 = = 12 − 8 ± 8 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 384 ) − 8 ± 64 + 3072 − 8 ± 3136 − 8 ± 56 ⎪⎪ 4 4 x= = = = =⎨ 2⋅2 4 4 4 ⎪ − 8 − 56 = − 64 = −16 ⎪⎩ 4 4 Como nos piden múltiplos de 4 rechazamos el valor –16. Por tanto los múltiplos son 12 y 16

Ejercicio 21: Halla dos números sabiendo que su diferencia es 3 y que la diferencia de sus cuadrados es 117 Solución: Si su diferencia es 3, los números son x y x + 3. Así el enunciado del problema lo podemos escribir como: (x + 3)2 – x2 = 117 Operamos esta ecuación: (x + 3)2 – x2 = 117 ⇒ x2 + 9 + 6x – x2 = 117 ⇒ 9 + 6x = 117 Se han anulado las x2 luego no es una ecuación de segundo grado sino de primer grado, que resolvemos despejando la incógnita x: 126 9 + 6 x = 117 ⇒ 6 x = 126 ⇒ x = = 21 6 Por tanto los números son 21 y 24.

Ejercicio 22: Si al doble de un número se suma la mitad de su cuadrado obtengo 16. ¿De qué número se trata? Solución: Sea x el número buscado. Entonces: x2 2x es el doble de dicho número, es la mitad de su cuadrado. 2

x2 = 16 2 Ahora hay que resolver esta ecuación , para ello primero quitamos denominadores y la ponemos de la forma general: x2 = 16 ⇒ 4x + x 2 = 32 ⇒ x 2 + 4 x − 32 = 0 2x + 2 Los coeficientes de esta ecuación de segundo grado son: a = 1; b = 4; c = –32 Aplicando la fórmula a esta ecuación obtenemos: ⎧ −4 + 12 8 = =4 − 4 ± 4 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 32 ) − 4 ± 16 + 128 − 4 ± 144 − 4 ± 12 ⎪⎪ 2 2 x= = = = =⎨ 4 12 − − − 16 2 ⋅1 2 2 2 ⎪ = = −8 2 ⎩⎪ 2 Luego obtenemos dos soluciones posibles 4 y –8 Por tanto tenemos: 2 x +


Ejercicio 23: Halla los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa mide 20 cm y su perímetro mide 48 cm. Solución: Como el perímetro mide 48 y la hipotenusa 20, la suma de las medidas de los catetos es: 48 – 20 = 28 cm Si ahora a un cateto le denominamos x, el otro debe ser 28 – x (para que sus suma sea 28) Conocemos el teorema de Pitágoras que dice que “La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”. Aplicando este teorema a nuestros datos obtenemos: x2 + (28 – x)2 = 202

Ahora hay que resolver la ecuación, para ello operamos para ponerla en forma general: x2 + (28 – x)2 = 202 ⇒ x2 + 784 + x2 – 56x = 400 ⇒ x2 + 784 + x2 – 56x – 400 = 0 ⇒ ⇒ 2x2 – 56x + 384 = 0 Tenemos que los coeficientes son a = 2; b = –56; c = 384 Aplicando la fórmula a esta ecuación obtenemos:

⎧ 56 + 8 64 = = 16 56 ± 3136 − 3072 56 ± 64 56 ± 8 ⎪⎪ 4 4 x= = = = =⎨ 2⋅2 4 4 4 ⎪ 56 − 8 = − 48 = −12 4 ⎩⎪ 4 Como nos piden la medida de los catetos tenemos que rechazar el valor –12, ya que no existen las medidas negativas.. Por tanto los catetos miden 16 y 12 − (− 56) ±

(− 56)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 384

Ejercicio 24: Calcula la base y la altura de un rectángulo sabiendo que su altura es 12 cm menos que su base y que su área es de 160 cm2. Solución: Si llamamos x a la base, la altura es x – 12. Aplicando la fórmula del área de un rectángulo (Área = Base x Altura) nos queda: x·(x – 12) = 160 Ahora hay que resolver la ecuación, para ello operamos para ponerla en forma general: x·(x – 12) = 160 ⇒ x2 – 12x = 160 ⇒ x2 – 12x – 160 = 0 Tenemos que los coeficientes son a = 1; b = –12; c = –160 Aplicando la fórmula a esta ecuación obtenemos:

⎧12 + 28 40 = = 20 12 ± 144 + 640 12 ± 784 12 ± 28 ⎪⎪ 2 2 x= = = = =⎨ 2 ⋅1 2 2 2 ⎪12 − 20 = − 8 = −4 ⎪⎩ 2 2 Como nos piden una medida tenemos que rechazar el valor –4, ya que no existen medidas negativas. Por tanto las dimensiones del rectángulo son: 20 cm y 8 cm. − (− 12) ±

(− 12)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 160)


EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Señala si son ecuaciones de segundo grado o no las siguientes ecuaciones: a) 2x – 3x2 = 5 b) x2 + 2x + 3 = 0 c) 5x2 = 55 d) 7x + x2 = 7 + x2 e) x2 – 5x + 6 = x3 f) 8 – 2x = x2 g) 3x2 = 6x h) x3 + x2 = x3 – x2 i) 12x = 7x2 + 5 j) x2 = 0

6) Escribir de forma general las ecuaciones e indicar, en cada caso, el valor de los coeficientes a, b, c: 2x 2 a) 5 − x = 9

2) Indica en las ecuaciones de segundo grado del ejercicio anterior cuales son los coeficientes a, b y c.

e)

3) Indica si son soluciones a cada una de las ecuaciones los valores indicados: a) x = 1 para x2 + 5x – 6 = 0; x2 + x – 2 = 0; x2 + 1 = 0 b) x = – 2 para x2 + x – 2 = 0; x2 – 2x = 0; x2 – x – 6 = 0 c) x = 2 para x2 – 3x + 3 = 0 x2 – 2x = 0; x2 + x + 6 = 0 d) x = –1 para x2 – 2x – 3 = 0; 3x2 + 3x – 3 = 0; x2 + x = 0 1 e) x = para 2 2 4x + 2x – 2 = 0; 6x2 – 5x + 1 = 0: 4x2 + 1 = 0 −1 f) x = para 2 2 2x – 3x – 2 = 0; 2x2 + 2x + 1 = 0; 4x2 – 1 = 0 4) Escribir de forma general las ecuaciones e indicar, en cada caso, el valor de los coeficientes a, b, c: a) x2 + 5x + 14 = 10 b) x2 + 3x = 12 – 5x c) x2 + 5x – 4 = 5x d) x2 + 6x + 6 = x + 6 e) x2 + 14 = 11x – x2 f) 3x2 + 10x – 20 = 10 – 3x g) 8x2 + 8x +8 = 7 – 8x2 h) x2 – 5x + 10 = 5x – 10 i) 2x2 + 5 = x2 + 9 j) 25 – 2x2 = x2 – 25 5) Escribir de forma general las ecuaciones e indicar, en cada caso, el valor de los coeficientes a, b, c: a) (x + 4) (x + 3) = 0 b) x ( x – 3) = 12 c) x (x + 1) = 0 d) (x + 2)(x – 3) = x – 6 e) 2(x + 1) = (x – 1)2 + 1 f) (x + 3)2 – (x – 3)2 = x2 g) (x – 3)2 – 2x = 9 h) x2 – (3x – 2)2 = 5 – (x – 1)2 i) (2x – 3)2 + 4x = 12 – 7x j) x – (3x – 2)2 = 4 – (x + 1)2

b)

x 2 − 1 3 − 2x x − 3 − = 2 3 6

2(x − 2) x2 −1 +1 = 5 3 x +1 2 d) (x − 2 ) = 1 − 3 c)

x − 1 (x − 2)2 − = 4−x 3 4

x2 − 8 x x (x − 2 ) g) = 3x x −1 x−2 = 3x − 5 h) 1 + x +1 f) 2 =

7) Indicar si son completas o incompletas (en este caso de que tipo) las ecuaciones de los ejercicios 4, 5 y 6. 8) Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) x2 – 5x + 6 = 0 b) x2 + 7x + 10 = 0 c) x2 + 2x – 8 = 0 d) x2 – 4x + 3 = 0 e) x2 + 8x + 7 = 0 f) x2 – x – 20 = 0 g) x2 – 6x + 9 = 0 h) x2 + 10x + 25 = 0 i) 2x2 – 7x + 5 = 0 j) 3x2 + 5x – 22 = 0 k) 3x2 – 4x – 7 = 0 l) 5x2 – 6x – 27 = 0 m) 6x2 – 7x + 2 = 0 n) 4x2 + 4x + 1 = 0 o) 8x2 + 10x + 3 = 0 p) 25x2 – 5x – 6 = 0 q) x2 – 5x + 4 = 0 r) x2 + 4x – 4 = 0 s) x2 – 3x + 1 = 0 t) 2x2 – 6x + 1 = 0 u) x2 + 2x + 3 = 0 w) x2 – 3x + 4 = 0 x) x2 + 6x + 13 = 0 y) 5x2 + 4x + 3 = 0

Ecuaciones de Segundo Grado -- página 9 9) Resolver las siguientes ecuaciones incompletas: a) x2 – 36 = 0 b) 3x2 – 27 = 0 c) 3x2 – 48 =0 d) 5x2 – 245 =0 e) 2x2 – 50 = 0 f) 13x2 – 117 = 0 g) 3x2 = 0 h) 3x2 – 12 = 0 i) 4x2 – 1 = 0 j) 9x2 – 4 = 0 k) 16 – 25x2 = 0 l) x2 – 8 = 0 m) 44 – x2 = 0 n) 3x2 – 30 = 0 o) 4x2 +100 = 0 p) 18 + 2x2 = 0

12) Resolver las siguientes ecuaciones: a) x2 – 5x + 24 = 6x b) x2 + 3x = 2x + 42 c) x2 + 5x – 4 = 10 d) x2 + 6x = x + 6 e) x2 + 10x = 4x – 5 f) x2 + x + 4 = 10x – 10 g) x2 + 14 = 11x – x2 h) 4x2 + 10x = x – 2 i) 3x2 + 10x – 20 = 10 – 3x j) 6x2 + 1 = 3 + x k) 6x2 – 15x = 10x – 25 l) 8x2 + 8x +8 = 7 – 8x2 m) x2 – 5x + 10 = 5x – 10 n) x2 + x + 1 = 6x – 2 o) x2 + 5x = x – 7 p) x2 + 3 = 1 – 2x

10) Resolver las siguientes ecuaciones incompletas: a) x2 – 5x = 0 b) x2 + x = 0 c) 4x + x2 = 0 d) 7x – x2 = 0 e) 3x2 + 21x = 0 f) 9x – 3x2 = 0 3 g) x 2 − 12x = 0 2 1 2 h) x + 2 = 0 4 i) 2x2 – x = 0 j) 4x2 – 5x = 0 k) 4x2 + 10x = 0 l) 3x2 + 7x = 0 m) 15x – 6x2 = 0 n) 18x + 10x2 = 0 6 o) 3x 2 − x = 0 5 8 2 p) 2 x + x = 0 3 2 2 6 q) x − x = 0 3 5 1 1 2 r) x − x = 0 2 4

13) Resolver las siguientes ecuaciones incompletas: a) x2 = 81 b) 128 = 2x2 c) 2x2 = 72 d) 3x2 – 63 = 300 e) 4x2 – 100 = 44 f) x2 – 44 = 100 g) 2x2 + 5 = x2 + 9 h) 5 – 2x2 = x2 – 20 i) x2 + 2x – 7 = 2x + 9 j) 5x2 – 3x – 49 = 4x2 – 3x k) 4x2 = 9 l) 12x2 = 3 m) x2 – 3 = 1 – 8x2 n) 6x2 + 1 = 2 + 2x2 o) x2 = 10 p) x2 – 4 = 4 q) x2 + 5 = 1 r) 2x2 +12 = 4

11) Resolver las siguientes ecuaciones: a) x2 + 2x = 3 b) x2 – 9x = – 18 c) x2 + 8 = 6x d) x2 + 3x = 40 e) x2 = 4x + 5 f) x2 + x = 42 g) 5x2 + 21x = 20 h) 3x2 – 12 = 5x i) 3x2 +1 = 4x j) 8x2 +2x = 3 k) 18x2 + 1 = 9x l) 49x2 + 7x = 12 m) x2 + x = 1 n) 2x2 = 7x – 1 o) 3x2 + 6 = 5x p) 2x2 + 10 = 8x

14) Resolver las siguientes ecuaciones incompletas: a) 5x2 = 35x b) x2 = x c) 2x2 – 4x = 5x + x2 d) 3x = 5x2 e) 3x2 = 5x + x2 f) 6x2 = 9x 9 g) 3x 2 = x 2 7 2 h) x = 14x 3 4 2 i) x = x 2 5 3 j) x (x + 4) = 0 k) (x + 2)(x – 3) = x – 6 l) 2(x + 1) = (x – 1)2 + 1 m) (x + 3)2 – (x – 3)2 = x2 15) Resolver las siguientes ecuaciones: a) (x – 3) (x + 2) = 0 b) x ( x + 7) = 18 c) (x – 3)2 – 2x = 3x – 15 d) x2 – (3x – 5)2 = 4 – (x – 1)2 e) 4x2 + 4(2x + 1) = 0 f) (2x – 3)2 + 4x = 12 – 7x g) (3x – 2)2 + 2x = 7 – 4x h) x – (3x – 2)2 = 4 – (x + 1)2 i) x – (2x – 3)2 = 2 – (x – 1)2 j) (x + 2)2 – 2(3x – 2)2 = 5x + 2


16) Resolver las siguientes ecuaciones: 2x 2 a) x + 2 = 9 b)

x 2 − 1 3 − 2x x − 3 − = 2 3 6

c) 4 +

x2 + 1 x − 3 = + 2x 5 10

d)

x2 −1 x + 3 11 − 2x − =2− 2 4 3

e)

x2 −1 x + 3 5 − 3x − =1− 2 3 4

f)

2(x − 2) x2 −1 +1 = 5 3

5(2x − 6) 2x 2 3− x −1+ =5− 8 3 6 ( 10x − 7 )x 3 h) + =0 2 5 x +1 2 i) (x − 2 ) = 1 − 3 3x + 1 2x − 3 2 − j) (2x − 1) = 2 6 g)

k) l)

x x + 1 (2x − 1)2 2x − 3 + = − 3 8 3 4

x − 1 (x − 2)2 − = 4−x 3 4

3(x − 1)2 x 2 + 2 + = 5x − 4 m) 2 3

x (2x + 1) (x + 3)2 − 5 3x 2 + 5x + 8 − =x− n) 5 10 15 17) Resolver las siguientes ecuaciones: x2 − 8 a) 2 = x x (x − 2) = 3x − 6 b) x −1 x−2 = 3x − 5 c) 1 + x +1

3(2x − 1) 1 = x +1 2 3 1 + =2 e) x +1 x −1 3x − 2 x − 4 = f) 2 − x + 1 2x − 3 x + 1 x −1 20 g) + = x −1 x + 1 x2 −1 2x − 1 1 x −3 h) 2 − = x −4 x−2 x+2 d) x −

18) Indica, sin resolverlas, cual es la suma y el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones: a) x2 – 8x + 12 = 0 b) x2 – 10x + 16 = 0 c) x2 + 5x + 6 = 0 d) x2 + 11x + 30 = 0 e) x2 – 3x – 28 = 0 f) x2 – x – 2 = 0 g) x2 + 2x – 15 = 0 h) x2 + 4x – 45 = 0 i) x2 – 16x = 0 j) x2 + 12x = 0 k) 36 – x2 = 0 l) x2 + 16 = 0 19) Resuelve las ecuaciones del ejercicio anterior y comprueba su suma y producto. 20) Indica, sin resolverlas, cual es la suma y el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones: a) 2x2 – 3x + 2 = 0 b) 3x2 + 2x – 1 = 0 c) 4x2 – 9x – 9 = 0 d) 2x2 – 13x + 15 = 0 e) 3x2 + 21x = 0 f) 4x2 – 36 = 0 g) – 3x2 + 20x – 12 = 0 h) 2x2 – 15x + 28 = 0 i) x – 6x2 +1 = 0 j) 16x2 + 8x + 3 = 0 21) Resuelve las ecuaciones del ejercicio anterior y comprueba su suma y producto. 22) Indica, sin resolverlas, cual es la suma y el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones: a) x2 = 3x – 2 b) x2 – 2x = 2x – 3 c) x2 + 7x = x – 8 d) x2 + 9x = –18 e) 2x – 14 = 7x – x2 f) x2 + 6x + 3 = 3x – 21 g) x2 + 5x = 2x2 – 5x h) 2x + 6 = x2 – 3 23) Resuelve las ecuaciones del ejercicio anterior y comprueba su suma y producto.

2

24) Indica, sin resolverlas, cual es la suma y el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones: a) 3x2 + 9x = 20x – 2 b) x2 + 1 = 2x + 3x2 c) 7x – 3x2 = 3x2 + 2 d) 2 – 6x + 3x2 = 1 – 3x2 e) 3x2 + 2 = 2 – 5x f) 4x2 + 10x + 4 = 2x2 + 5x + 2 g) x2 + 4 = 4x2 – 8 h) 8x2 + 2x = 3 23) Resuelve las ecuaciones del ejercicio anterior y comprueba su suma y producto.


24) Hallar dos números sabiendo que su suma y su producto son: a) S = 7; P = 12 b) S = –5; P = 4 c) S = 6; P = –40 d) S = –3; P = –18 e) S = 1; P = –6 f) S = 4; P = 0 g) S = 0; P = 100 1 h) S = ;P=1 2 −13 i) S = ; P = –10 3 5 −3 j) S = ;P= 2 2 3 1 k) S = ;P= 4 8 −19 l) S = ;P=3 4 5 m) S = 2 ; P = 9 17 n) S = ;P=2 6 5 1 o) S = ;P= 6 9 1 −1 p) S = ;P= 6 3 −7 −15 q) S = ;P= 4 8 8 1 r) S = ;P= 15 15 s) S = 0; P = –10 t) S = 11; P = 44 u) S = 5; P = 10 25) Encontrar las ecuaciones de segundo grado cuyas raíces (soluciones) son: a) x1 = 5; x2 = 4 b) x1 = 6; x2 = 8 c) x1 = 1; x2 = 0 d) x1 = 3; x2 = 3 e) x1 = 0; x2 = 0 f) x1 = –3; x2 = 3 g) x1 = 12; x2 = –4 h) x1 = –1; x2 = 3 i) x1 = 5; x2 = –5 j) x1 = –2; x2 = –4 k) x1 = –1; x2 = –5 26) Encontrar las ecuaciones de segundo grado, de coeficientes enteros, cuyas raíces son: 1 a) x1 = 5 ; x2 = 2 −3 b) x1 = 2 ; x2 = 2 5 c) x1 = –1 ; x2 = 8 −2 d) x1 = –2 ; x2 = 3

11 5 2 1 f) x1 = ; x2 = 5 5 3 1 g) x1 = ; x2 = 4 6 7 −5 h) x1 = ; x2 = 3 6 3 −1 i) x1 = ; x2 = 8 2 −2 −7 j) x1 = ; x2 = 9 9 −1 −1 k) x1 = ; x2 = 3 6 e) x1 = 0 ; x2 =

26) Encontrar una ecuación de segundo grado sabiendo que tiene la raíz doble 2 27) Encontrar una ecuación de segundo grado sabiendo que tiene la raíz doble –1 28) Encontrar una ecuación de segundo grado sabiendo que tiene la raíz doble –3 29) Encontrar una ecuación de segundo grado sabiendo que tiene la raíz doble 0 30) Encontrar una ecuación de segundo grado 2 sabiendo que tiene la raíz doble 3 31) Encontrar una ecuación de segundo grado −3 sabiendo que tiene la raíz doble 4 32) Hallar la ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean las de x2 – 5x = 14, pero cambiadas de signo. 33) Hallar la ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean las de x2 – 10 = 3x, multiplicada la positiva por 3 y la negativa por 2. 34) Hallar la ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean las de x2 – 10x + 24 = 0, multiplicada una por 3 y otra por –4. ¿Cuántas soluciones posibles hay? 35) Hallar la ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean las de x2 – 3x – 4 = 0, dividida por dos la solución par y multiplicada por 3 la otra. 36) Hallar la ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean los denominadores de las soluciones de la ecuación 10x2 – 7x +1 = 0, multiplicada la positiva por 3 y la negativa por 2. 37) Hallar la ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean las inversas de las soluciones de la ecuación 12x2 – 17x + 6 = 0. 38) Hallar la ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean las de x2 – x – 12 = 0, elevadas al cuadrado.


PROBLEMAS PROPUESTOS 39) Calcula el valor de k para que las siguientes ecuaciones tengan una raíz (solución) doble: a) 4x2 + 12x + 4k = 0 b) 5x2 + 5kx + 80 = 0 c) 3x2 + 5x + k = 0 d) 6x2 + 3kx + 6 = 0 e) 4x2 – 2kx + 9= 0 f) 5kx2 – 10x + 15 = 0 g) x2 – 6x = k h) x2 + 12x + k = 0 i) x2 – kx + 25 = 0

56) Hallar dos números impares consecutivos sabiendo que el cuadrado de su suma es 256

40) En la ecuación 2x2 – mx + 12 = 0 se sabe que una raíz es –3. Calcular la otra y el valor de m

60) Hallar dos números pares consecutivos tal que la diferencia de sus cuadrados es 52.

41) Dada la ecuación 4x2 – 23x + c = 0, hallar c sabiendo que una de sus raíces vale 4. ¿Hay más de una solución?

61) Hallar dos números impares consecutivos tal que la diferencia de sus cuadrados es 128.

42) Dadas las ecuaciones x2 – 6x + 8 = 0; x2 – 7x + c = 0, hallar c con la condición de que estas dos ecuaciones tengan una solución común? ¿Cuántos posibles valores de c hay?

57) Hallar dos números pares consecutivos sabiendo que el cuadrado de su suma es 900 58) Hallar dos múltiplos de cinco consecutivos sabiendo que el cuadrado de su suma es 1125 59) Hallar dos números consecutivos tal que la diferencia de sus cuadrados es 55

62) Hallar dos múltiplos de cuatro consecutivos tal que la diferencia de sus cuadrados es 208. 63) Calcular dos números sabiendo que suman 10 y la suma de sus cuadrados es 52

43) Hallar el valor de m para que la ecuación 9x2 – 18x + m = 0 tenga una solución doble que la otra.

64) Hallar dos números sabiendo que su diferencia es 5 y que la diferencia de sus cuadrados es 85

44) En la ecuación x2 + bx + 42 = 0, determinar el valor de b para que las soluciones sean dos números consecutivos.

65) Hallar dos números sabiendo que su diferencia es 5 y que la suma de sus cuadrados es 193

45) En la ecuación 9x2 + bx + 28 = 0, determinar el valor de b para que las soluciones tengan una diferencia de uno. 46) Dada la ecuación x2 + bx = 35, calcular b para que las dos soluciones se diferencien en 12 unidades. 47) Hallar dos números consecutivos cuyo producto es 272.

66) La suma de los cuadrados de tres números impares consecutivos es 371. Indica de qué números se trata. 67) El producto de un número aumentado en 3 por el mismo número disminuido en cuatro es 98. Calcular dicho número. 68) El producto de los 3/7 de un número natural por sus 5/9 es 735. Calcular dicho número.

48) Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto es 624

69) La diferencia de dos números es 6 y su producto es igual al cuadrado del mayor menos 114. Calcular dichos números.

49) Hallar dos números impares consecutivos cuyo producto es 195

70) Calcular un número tal que la mitad de su cuadrado es 288.

50) Hallar dos múltiplos de cuatro consecutivos cuyo producto es 192

71) Calcular un número tal que el doble de su cuadrado es 578.

51) Calcular dos números consecutivos cuyos cuadrados suman 132

72) Calcular un número tal que el doble de su cuadrado menos la mitad de su cuadrado es 1014.

52) Hallar dos números impares consecutivos cuya suma de cuadrados es 3202

73) Calcular un número tal que el doble de su cuadrado más la tercera parte de su cuadrado es 1815.

53) Hallar dos números pares consecutivos cuya suma de cuadrados es 340

74) Calcular un número tal que la suma de su cuadrado más el doble de dicho número es 120.

54) Hallar dos múltiplos de seis consecutivos cuya suma de cuadrados es 900

75) Calcula un número tal que al elevarlo al cuadrado le sumo uno y divido todo por dos obteniendo 25.

55) Hallar dos números consecutivos sabiendo que el cuadrado de su suma es 2209

76) Calcula un número tal que al sumarle uno, elevar dicha suma al cuadrado y dividir por tres obtengo 48. 77) Si a un número se suma la mitad de su cuadrado obtengo 24. ¿De qué número se trata?

Ecuaciones de Segundo Grado -- página 13 78) En una división entre números naturales resulta que el dividendo es 1081, el divisor el doble que el cociente y éste y el resto iguales. Hallar el divisor. 79) Calcula el radio de un círculo si tiene de área 36π.

90) El perímetro de un rectángulo mide 34 cm y su diagonal 13 cm. Calcular el área del rectángulo. 91) La diagonal de un rectángulo mide 61 cm y su perímetro 178 cm. Hallar sus lados

80) Calcula el lado de un cuadrado cuyo área mide 121 cm2

92) El área de una parcela rectangular es de 37 500 m2. Si la base de la parcela mide 100 m más que la altura, ¿cuáles son sus dimensiones?

81) Calcula cuanto mide los lados de un cuadrado cuya

93) Calcular la base y la altura de un rectángulo sabiendo que su altura es 2 cm menos que su base y que su área es de 168 cm2.

diagonal mide

18 cm

82) Calcula el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 50 cm

83) Calcula el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 72 cm 84) Calcula cuanto mide los lados de un cuadrado cuya diagonal mide 34 cm 85) El perímetro de un triángulo rectángulo mide 12 cm y su hipotenusa mide 5 cm. Calcular cuanto miden los catetos. 86) Hallar los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que un cateto mide 20 cm y su perímetro mide 220 cm. 87) Hallar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo tal que un cateto mide 7 cm más que el otro y la hipotenusa mide 2 cm más que el cateto mayor. 88) Los lados de un triángulo rectángulo son tres números consecutivos. Calcular la longitud de los tres lados 89) Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus lados son tres múltiplos de cinco consecutivos

94) Un terreno rectangular ocupa 128 m2. Calcular sus dimensiones sabiendo que un lado es el doble que el otro. 95) Calcular las dimensiones de un rectángulo de área 98 cm2 sabiendo que su base mide el doble que la altura 96) ¿Cuánto mide el área de un cuadrado si al aumentar dos unidades la longitud del lado, el área del cuadrado resultante mide 529 cm2? 97) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado si al aumentarle tres cm la longitud de sus lados el área aumenta 201 cm2? 98) Se quiere aprovechar un antiguo estanque circular de 10 metros de diámetro para convertirlo en una piscina rectangular, de forma que un lado mida 2 metros más que el otro y que la diagonal del rectángulo coincida con el diámetro del estanque. ¿Cuáles serán las dimensiones de la piscina? 99) Se tienen tres listones de madera de 6, 7 y 8 m. Se quiere cortar de cada listón un trozo de igual longitud de tal forma que con los nuevos listones se pueda formar un triángulo rectángulo. ¿Cuánto debe medir el trozo que hay que cortar a cada listón?

PROBLEMAS DE PROFUNDIZACIÓN 100) En la ecuación mx2 + (m – 1)x + m – 1 = 0, hallar el valor que ha de tener m para que una raíz sea el doble que la otra.

Nivel Básico Nivel Medio Bajo Nivel Medio Alto Nivel Alto Nivel Profundización

101) Resolver la ecuación x(x + 2p) = p2 – q2 102) En la ecuación x2 + mx + n = 0, hallar los valores de m y n para que las soluciones sean m y n.