Springer-. Verlag, Berlin, 2001. [J] John, Fritz, Partial differential equations. ... de
la teorıa de Ecuaciones Diferenciales y se centrará en el desarrollo avanzado.
ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES ˜ o 2010-11 Primer Cuatrimestre, an
Curso de Tercer Ciclo
Juan Luis VAZQUEZ, UAM,
[email protected] —————————————————————– Programa del curso Bloque estacionario: Ecuaciones el´ıpticas de segundo orden 1.- La ecuaci´on de Laplace. Problemas cl´asicos de contorno. An´alisis elemental. Los principios del m´aximo. 2.- El m´etodo de Perron. 3.- El problema del m´ınimo de un funcional. C´alculo variacional. 4. Los espacios de Sobolev. 5. Soluciones d´ebiles. Teorema de Lax-Milgram. 6.- El problema de autovalores. Complementos: 7.- El problema de obst´aculo en elasticidad. Problemas de frontera libre en mec´anica. 8.- Estimaciones a priori, existencia y regularidad. 9. Ecuaciones el´ıpticas no lineales. ´ n parabo ´ lica Bloque de evolucio 1.- La ecuaci´on del calor: propiedades elementales. 2.- Obtenci´on como l´ımite continuo del paseo aleatorio. Diferencias finitas. 3.- Generaci´on de semigrupos. 4.- El comportamiento asint´otico. 5.- Las ecuaciones de difusi´on no lineal. Complementos: 6.- Las ecuaciones de difusi´on-reacci´on. 7.- La ecuaci´on de Schr¨odinger. 8.-Ecuaci´on de Stokes. 9.- Leyes de conservaci´on escalares. Bibliograf´ıa. Texto b´asico de referencia: [Ev] Evans, L. C. (1998). Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, Vol.19, AMS. Otros textos: [GT] Gilbarg, D., Trudinger, N. S. Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. SpringerVerlag, Berlin, 2001. [J] John, Fritz, Partial differential equations. Reprint of the fourth edition. Applied Mathematical Sciences, 1. Springer-Verlag, New York, 1991. [S] Strauss, Walter, Partial differential equations. An Introduction, Wiley, 1992.
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Objetivos. Este curso est´a dirigido a licenciados con conocimientos b´asicos de la teor´ıa de Ecuaciones Diferenciales y se centrar´a en el desarrollo avanzado de la teor´ıa de ecuaciones el´ıpticas y parab´olicas, con eventual extensi´on de los m´etodos a otras ecuaciones. Los objetivos principales que se persiguen con este curso son que el alumno se familiarice con una amplia clase de t´ecnicas y resultados de la teor´ıa cl´asica y reciente. Finalmente, algunos de los temas seleccionados permitir´an adem´as al estudiante familiarizarse con l´ıneas de actividad muy presentes en esta universidad. Metodolog´ıa. Los contenidos te´oricos del curso ser´an evaluados en un examen. Este se complementar´a con la realizaci´on de un trabajo personal destinado a ilustrar y desarrollar algunos de los m´etodos y aspectos abordados en el curso, con objeto de probar la capacidad matem´atica del alumno. El curso se desarrollar´a en dos sesiones semanales de hora y media. Los alumnos contar´an con material impreso (textos, notas del curso, hojas de problemas) que se proporcionar´an en clase y al que podr´an tambi´en acceder a trav´es de la p´agina web del profesor.
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