Ejercicios

Transferencia de Calor

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Ejercicios 1. Un chip de espesor despreciable se coloca sobre una placa base de baquelita de 5 mm de espesor y conductividad k=1,0 W/mK. La resistencia t´ermica de contacto entre el chip y la plaqueta es 10 −4 m2 K/W . El chip disipa calor en su parte superior por convecci´on forzada con hs = 500 w/m2 K La base de la plaqueta disipa calor por convecci´on natural con hb = 40 W/m2 K (suponga que el flujo de calor es transversal a la placa base). Todo el sistema se encuentra en un ambiente a T∞ = 20 o C. a) diagrama del circuito t´ermico. b) ¿cual es la temperatura de operaci´on del chip si genera calor a una tasa de 30 kW/m2 ? Observe que en este ejercicio las resistencias t´ermicas se indican por a´rea: RA. 2. Una masa m de hielo a Ts = 0 o C llena un recinto c´ ubico con paredes de espesor e y conductividad t´ermica k. La pared exterior del recinto se mantiene a temperatura T1 > Ts . Obtenga una expresi´on para el tiempo que demora en derretirse todo el hielo. 3. Una superficie cil´ındrica muy larga de radio a es mantenida a temperatura TA . Otra superficie cil´ındrica (coaxial con la anterior) de radio b > a es mantenida a temperatura TB < TA . El material entre ambas superficies tiene una conductividad t´ermica que decrece con el inverso de la distancia al eje: k(r) = k0 /r. Trabaje en el caso estacionario. a) Halle el perfil de temperaturas T (r) en el cilindro. b) Calcule la resistencia t´ermica del cascar´on cil´ındrico y el flujo radial de calor (por unidad de longitud). 4. Una superficie esf´erica de radio a es mantenida a temperatura T A . Otra superficie esf´erica (conc´entrica con la anterior) de radio b > a es mantenida a temperatura TB < TA . El material entre ambas superficies tiene una conductividad t´ermica k(r) que decrece con la distancia al centro como k(r) = α/r p , con α, p > 0 dos par´ametros del problema. a) Halle el perfil de temperaturas T (r) entre las esferas. b) Calcule la resistencia t´ermica del cascar´on esf´erico y el flujo de calor. 5. Considere un sistema de dos cascarones esf´ericos de radios a y b (b > a) y suponga que en la esfera interior (r ≤ a) se genera calor uniformemente a una tasa q˙gen por unidad de volumen y la conductividad t´ermica es uniforme k = k1 . En la zona r > a no se genera calor Instituto de F´ısica

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y la conductividad t´ermica tambi´en es uniforme, k = k 2 . La esfera exterior disipa calor al ambiente a T ∞ por convecci´on. En r´egimen estacionario: a) ¿cual es el calor disipado? b) Calcule y bosqueje el perfil de temperatura T (r) para r > 0. c) obtenga una expresi´on para el coeficiente h en t´erminos de la temperatura T0 en el centro, la potencia generada, conductividades y factores geom´etricos. 6. Al sistema del problema 1 se le agrega un disipador de aluminio de 6 aletas (ver figura). a) esquema del circuito t´ermico para el sistema. b) calcule la temperatura del chip con a = b = L = 1, 0 cm, k = 300 W/m K. La resistencia de contacto entre el aluminio y el chip es similar a la que existe entre el chip y la placa base. c) Compare el resultado obtenido con el que resultar´ıa de un c´alculo ”a fuerza bruta”, considerando que cada aleta se comporta simplemente como un prisma de aluminio aislado sometido a la corriente forzada. d) Ud. realiz´o el c´alculo anterior usando h s = 500 W/m2 K y T∞ = 20 o C. En realidad, la corriente de aire ¿pasar´a tabn libremente entre las aletas del disipador, como por la superficie plana del chip del problema 1? ¿Que se puede decir del coeficiente h s que realmente enfriar´a las aletas? ¿Que puede decir de la temperatura del aire entre las aletas? ¿Aumentar la densidad de aletas siempre es la mejor opci´on de dise˜ no? 7. La figura muestra una barra circular de acero (k=43 W/mK) de 0,3 m de largo y di´ametro 2,5 cm. La barra esta soldada a dos placas de acero que se mantienen a diferentes temperaturas, T 1 = 70 o C y T2 = 90 o C.

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a) La superficie de la barra esta aislada y por ella circula una corriente el´ectrica que genera 12 w. Calcule la temperatura m´axima en la barra y verifique sus resultados calculando la tasa de transferencia de calor en los extremos.

b)

Si la superficie de la barra esta expuesta a una corriente de aire con T∞ = 20 o C, h = 10 w/m2 o C y no circula corriente el´ectrica, calcule el calor disipado por la barra. 8. Un conductor de di´ametro D y resistencia el´ectrica r por unidad de longitud, se usa como rulo para una estufa el´ectrica. Considere la transferencia de calor por radiaci´on: a) obtenga una expresi´on anal´ıtica para la varianci´on de la temperatura del conductor con el tiempo, a partir de que se enciende la estufa. b) estime la temperatura de r´egimen y el largo total del alambre, teniendo en cuenta que la estufa esta conectada a la red el´ectrica (220 V) y consume 1 kW. Datos: D = 0, 25 mm, ρ = 10 −7 Ωm, T0 = 20 o C. c) La resistividad de un metal aumenta con la temperatura seg´ un ρ = ρ0 [1 + α(T − T0 )]

α = 5 × 10−3 K −1

¿C´omo afecta esto la temperatura de r´egimen del conductor? d) ¿Que caracter´ısticas debe tener el metal del rulo, en cuanto a su punto de fusi´on? e) Las estufas el´ectricas emiten predominantemente en el naranja (≈ 0, 6µm). ¿Coincide esta radiaci´on con el m´aximo de radiaci´on para un cuerpo negro a la temperatura de operaci´on, calculada en (b)? 9. Repita el ejercicio 2 suponiendo que la temperatura T 1 es la temperatura inicial (no fija) de la pared exterior. Bosqueje la temperatura del agua y de la pared cuando se ha derretido todo el hielo y la temperatura de ´esta u ´ ltima no es de 0 o C. 10. Un dispositivo de almacenamiento t´ermico consiste en un canal rectangular aislado t´ermicamente del exterior. En el canal hay 5 elementos acumuladores de aluminio alternados con ranuras por donde pasa el fluido caliente. Suponga que cada elemento de aluminio tiene un espesor de 5 cm y est´a inicialmente a la temperatura ambiente de 25 0 C. El dispositivo se carga haciendo circular un gas caliente por las ranuras, Instituto de F´ısica

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con h = 100 W/m2 (en cada ranura) y T∞ = 600o C. estos valores son uniformes y constantes.

aislante termico

flujo de gas Tinf, h

a) ¿Cu´anto demora el dispositivo en cargarse al 75% de su capacidad m´axima? b) Halle la temperatura de los elementos de aluminio en ese momento. 11. Una pared plana de un horno se fabrica con acero (k = 60 W/mK, ρ = 7850 kg/m3 , c = 430 J/kgK) y tiene un espesor e = 10 mm. Para protegerla de los efecto corrosivos de los gases de combusti´on, la superficie interna de la pared se recubre de una capa fina de material cer´amico que tiene una resistencia t´ermica (por unidad de superficie) ˜ = 0.01 m2 K/W . La superficie externa de la pared est´a bien aisde R lada de los alrededores. Al encender el horno, la pared se encuentra a T0 = 300 K. Los gases de combusti´on entran al horno a T ∞ = 1300 K y la convecci´on con la capa cer´amica es con h = 25 W/m 2 . Desprecie la capacidad t´ermica de la pel´ıcula cer´amica. a) ¿Cu´anto demora la superficie interna de acero de la pared en alcanzar los 1200 K? b) ¿Cu´al es la temperatura del film cer´amico en este momento?

gases interior

ceramica

acero

aislante

exterior

L

12. El techo de un cami´on que transporta alimentos a baja temperatura es un rect´angulo de 5 m de largo y 2 m de ancho, fabricado de un material aislante cuyo espesor e es de 25 mm y su conductividad t´ermica k = 0,05 W/m K. En condiciones normales dicha superficie recibe un flujo de radiaci´on solar Gs = 299 W/m2 , estando el aire circundante Instituto de F´ısica

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a T = 27 o C y el interior del cami´on a −13 o C. Se desprecia la convecci´on en el interior del cami´on. La velocidad de este u ´ ltimo es tal que el coeficiente de convecci´on exterior se puede tomar como he = 72 W/m2 K. Para dar terminaci´on a la superficie se dispone de dos tipos de pintura diferentes cuyas emisividades espectrales (para toda temperatura T) se dan a continuaci´on: ελ

pintura negra

ελ

0,98

pintura blanca (oxido de cinc)

0,95

PSfrag replacements

PSfrag replacements 0,16

λ

4,3

µm

λ µm

a) Calcular la emisividad de cada pintura a T = 325K y la absortividad apropiada para la radiaci´on solar, α s . Indicar qu´e tipo de pintura se debe elegir y por qu´e. b) Para la pintura elegida, determinar la temperatura exterior del techo y el calor que ingresa al cami´on. Se admitir´a que el valor de la emisividad calculado en la parte anterior es constante en el rango de temperaturas de inter´es. c) Si se desprecian las p´erdidas por las caras laterales y el piso del cami´on, ¿cu´al es la m´ınima potencia que requiere el equipo de refrigeraci´on del cami´on sabiendo que el calor eliminado se vuelca al ambiente (el equipo trabaja en forma c´ıclica).

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